a.a Geometria e Algebra bis 2. Spazi vettoriali e sottospazi. Indichiamo con IR n l'insieme delle ennuple reali IR n = 8 >< X = >: 0 x

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1 aa - Geometria e lgebra bis Spazi vettoriali e sottospazi Indichiamo con IR n l'insieme delle ennuple reali IR n = 8 >< X = >: x j ;:::; IR volte identifichiamo IR n con i vettori uscenti dall'origine, ossia i segmenti orientati aventi il primo x estremo nell'origine O = e il secondo nel punto X = ffl In IR n si possono definire la somma fra vettori ed il prodotto di un vettore per un numero reale nel modo seguente: si definiscono dati X = X + Y := x ; Y = + y x + y + y n y y y n IRn ; 9 >= : >; IR; x X := : () In IR, il vettore X + Y coincide con il vettore ottenuto sommando X e Y con la regola del parallelogramma Questa interpretazione geometrica in realt a vale in generale Dati due vettori X; Y IR n, esiste infatti un piano ß passante per X; Y e per l'origine O, e il vettore X + Y coincide col vettore ottenuto applicando la regola del parallelogramma ad X e Y nel piano ß Si verifica facilmente che le operazioni di somma e prodotto per uno scalare su IR n hanno una serie di propriet a, che derivano essenzialmente dalle analoghe propriet a della somma e del prodotto fra numeri reali: (commutativit a della somma) 8X; Y IR n X + Y = Y + X; (associativit a della somma) 8X; Y; Z IR n (X + Y )+Z = X +(Y + Z); (elemento neutro per la somma) 9O IR n : O + X = X + O = X; 8X IR n, precisamente O = ; 4 (opposto per la somma) 8X IR n ; 9( X) : X +( X) =( X) +X = O, precisamente ( X) = ;

2 5 (associativit a del prodotto) 8 ; μ IR; 8X IR n ( μ)x = (μx); 6 (distributivit a del prodotto) 8 ; μ IR; 8X IR n ( + μ)x = X + μx; 7 (distributivit a del prodotto) 8 IR; 8X; Y IR n (X + Y )= X + Y ; 8 (elemento neutro per il prodotto) X = X; 8X IR n Esercizio Far vedere che vale il principio dell'annullamento X = O ) = oppure X = O: Le propriet a 8 sono esattamente gli assiomi che definiscono uno spazio vettoriale reale Definizione somma Uno spazio vettoriale reale V e un insieme su cui sono definite un'operazione di V V! V; (v; w) 7! v + w e di moltiplicazione per uno scalare reale che soddisfano le propriet a IR V! V; ( ; v) 7! v (commutativit a della somma) 8u; v V u + v = v + w; (associativit a della somma) 8u; v; w V (u + v) +w = u +(v + w); (elemento neutro per la somma) 9O V : O + v = v + O = v; 8v V ; 4 (opposto per la somma) 8v V; 9( v) : ( v) +v = v +( v) =O; 5 (associativit a del prodotto) 8 ; μ IR; 8v V ( μ)v = (μv); 6 (distributivit a del prodotto) 8 ; μ IR; 8v V ( + μ)v = v + μv; 7 (distributivit a del prodotto) 8 IR; 8v V (v + w) = v + w; 8 (elemento neutro per il prodotto) v = v; 8v V Dunque IR n, con la somma fra vettori e il prodotto di un vettore per uno scalare definiti in (), e un esempio di spazio vettoriale reale Esempio Un esempio analogo e dato dalle matrici m n a coefficienti reali a a ::: a n a a ::: a n M(m; n; IR) = fm = a m a m ::: a mn j a ij IR; i =;:::;m; j =;:::;ng; dove la somma fra matrici e il prodotto di una matrice per uno scalare sono definiti nel modo seguente M +N := a + b a + b ::: a n + b n a + b a + b ::: a n + b n a m + b m a m + b m ::: a mn + b mn dove M = fa ij g, N = fb ij gm(m; n; IR), IR ; M := a a ::: a n a a ::: a n ; a m a m ::: a mn

3 Molti esempi di spazi vettoriali vengono dall'analisi e sono dati da spazi di funzioni Esempio : La famiglia delle funzioni di una variabile reale a valori reali F (IR; IR) = ff:ir! IRg; con la somma e il prodotto per uno scalare reale definiti da (f + g)(x) :=f(x)+g(x) ( f)(x) := f(x); f;g F (IR; IR); IR; e uno spazio vettoriale reale ffl Gli spazi vettoriali si presentano per lo piú come sottospazi di spazi vettoriali dati, ossia come sottoinsiemi non vuoti S ρ V di uno spazio vettoriale, chiusi rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare: (i) s + t S; 8s; t S (ii) s S; 8 IR; 8s S: Osservazione (i) Sia V uno spazio vettoriale L'elemento neutro per la somma fog é un sottospazio vettoriale di V (detto sottospazio banale): infatti, O + O = O, e per ogni IR siha O = O (ii) Ogni sottospazio vettoriale S ρ V contiene l'elemento neutro O (per (ii), con =) Esempio Le seguenti famiglie di funzioni sono tutti sottospazi vettoriali di F (IR; IR) (IR; IR) = ff:ir! IR; continueg: Infatti, se f;g sono funzioni continue, f + g e una funzione continua e per ogni IR; f e una funzione continua nalogamente, (IR; IR) = ff:ir! IR; con derivata continuag + (IR; IR) = ff:ir! IR; crescentig IR[x] =fp(x) =a + a x + :::+ a n ; n g; polinomi IR m [x] =fp(x) =a + a x + :::+ a m x m ; m g; polinomi di grado» m Inoltre, valgono le seguenti inclusioni fra sottospazi IR m [x] ρ IR[x] ρ (IR; IR) ρ (IR; IR) ρ F (IR; IR) Definizione Siano v ;:::;v k elementi in uno spazio vettoriale V L'insieme delle combinazioni lineari di v ;:::;v k (indicato spanfv ;:::;v k g) e per definizione spanfv ;:::;v k g = f v + :::+ k v k j ;:::; k IRg:

4 Proposizione L'insieme delle combinazioni lineari di un insieme di elementi v ;:::;v k in uno spazio vettoriale V e un sottospazio vettoriale di V Dimostrazione Siano X = v + ::: + k v k ; Y = μ v + ::: + μ k v k elementi arbitrari di spanfv ;:::;v k g Facciamo vedere che X + Y spanfv ;:::;v k g Inoltre, per ogni ff R, anche ffx spanfv ;:::;v k g Infatti X +Y =( v +:::+ k v k )+(μ v +:::+μ k v k )=( +μ )v +:::+( k +μ k )v k spanfv ;:::;v k g; ffx = ff( v + :::+ k v k )=ff v + :::+ ff k v k spanfv ;:::;v k g: Esercizio (i)inir, determinare e disegnare spanf g; spanf g; spanf ; g; spanf ; (ii) Determinare se spanf ; g (iii) Determinare se spanf ; g (iv) Determinare se spanf ; g (v) Far vedere che 6 spanf ; g: (vi) Far vedere che un arbitrario vettore in X IR appartiene a spanf ; g; spanf ; g g: Esercizio (i)inir, determinare spanf g; spanf g; spanf ; g; spanf ; g; (ii) Determinare se spanf ; g (iii) Determinare se spanf ; ; g (iv) Determinare se spanf ; g (v) Far vedere che 6 spanf ; ; g: (vi) Far vedere che un arbitrario vettore in X IR appartiene a spanf spanf ; g: ; ; g 4

5 Proposizione Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite sono un sottospazio vettoriale di IR n Dimostrazione Siano S = m equazioni in n incognite Facciamo vedere che s s n sono ancora soluzioni del sistema Sia t e T = due soluzioni di un sistema lineare omogeneo di s + t s S + T = s n + t n e S = s n ; t n 8 IR; a j + :::+ a jn =; j f;:::;mg; una equazione qualunque del sistema Per ipotesi, Sostituendo S + T nell'equazione, troviamo a j s + :::+ a jn s n = a j t + :::+ a jn t n =: a j (s + t )+:::+ a jn (s n + t n )=(a j s + :::+ a jn s n )+(a j t + :::+ a jn t n )=+=: Similmente, sostituendo nell'equazione S troviamo come richiesto a j s + :::+ a jn s n = (a j s + :::+ a jn s n )= =; Osservazione Osserviamo che le soluzioni di un sistema lineare di m equazioni in n incognite formano un sottospazio vettoriale di IR n se e solo se il sistema e omogeneo: infatti O = non e mai soluzione di un sistema non omogeneo, mentre un sottospazio vettoriale deve sempre contenere l'elemento O 5