Corso di Fisica Generale 1

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1 Corso di Fisica Generale 1 a.a. 2018/2019 corso di laurea in Ingegneria dell'automazione, Informatica, Biomedica, Telecomunicazioni ed Elettronica canali CIS-FER e RON-Z 12 lezione ( 19 e 21 / 11 / 2018) Prof. Laura VALORE laura.valore@na.infn.it / laura.valore@unina.it Pagina web : Ricevimento : appuntamento per studio presso il Dipartimento di Fisica (Complesso Universitario di Monte Sant'Angelo, Edificio 6) stanza 1H09 Oppure Laboratorio (Hangar) 1H11c0

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3 Centro di massa di un sistema di particelle sistema di piu' particelle Per un sistema di n particelle, possiamo generalizzare l'espressione precedente : n xcdm = m1x1 + m2x2 + m3x mnxn M = 1 mixi M i=1 Se le particelle sono distribuite in uno spazio tridimensionale, occorrono 3 coordinate per definire il centro di massa : n xcdm = 1 mixi M i=1 n ycdm = 1 miyi M i=1 n zcdm = 1 mizi M i=1

4 Centro di massa di un sistema di particelle notazione vettoriale Per un sistema di n particelle, possiamo generalizzare l'espressione precedente : n xcdm = m1x1 + m2x2 + m3x mnxn M = 1 mixi M i=1 Se le particelle sono distribuite in uno spazio tridimensionale, occorrono 3 coordinate per definire il centro di massa : usando la notazione vettoriale : rcdm = xcdm i + ycdm j + zcdm k quindi l'equazione che definisce la posizione del centro di massa puo' essere scritta così : n rcdm = 1 miri M i=1

5 Seconda legge di Newton per un sistema di punti materiali Come si muove il centro di massa sotto l'azione di forze esterne? Dato un sistema di punti materiali sottoposto all'azione di una forza esterna, l'equazione che governa il moto del suo centro di massa è : Fnet = Macdm dove : 1. Fnet è la somma vettoriale di tutte le forze esterne agenti sul sistema. Non vanno considerate le forze interne, ovvero quelle che i punti materiali del sistema esercitano tra loro! 2. M è la massa totale del sistema : deve restare invariata, nessuna massa deve entrare o lasciare il sistema che in questo caso si dice CHIUSO. 3. acdm è l'accelerazione del solo centro di massa del sistema. come tutte le equazioni vettoriali, possiamo scriverla come 3 equazioni scalari : Fnet,x = Macdm,x Fnet,y = Macdm,y Fnet,z = Macdm,z

6 Relazione tra forza e quantità di moto per un punto materiale La quantità di moto di una particella è : p = mv La seconda legge di Newton Fnet = ma puo' essere espressa anche così : Fnet = dp/dt E' facile infatti dimostrare che Fnet = dp/dt = d(mv)/dt = m(dv/dt) = ma La rapidità di variazione della quantità di moto una particella è proporzionale alla forza netta che agisce sulla particella ed ha la stessa direzione di quella forza Quando sulla particella agisce una forza esterna, la sua quantità di moto cambia. Viceversa, la quantità di moto puo' variare solo in presenza di una forza esterna, altrimenti resta costante.

7 Quantità di moto di un sistema di punti materiali Consideriamo un sistema di punti materiali, ciascuno con una propria massa, velocità e quantità di moto. I punti materiali possono interagire tra di loro ed essere soggetti all'azione di una o piu' forze esterne La quantità di moto del sistema è : P = p1 + p2 + p3 + pn = m1v1 + m2v mnvn da cui P = M vcdm La quantità di moto di un sistema di particelle è uguale al prodotto della massa totale del sistema per la velocità del suo centro di massa

8 Relazione tra forza e quantità di moto di un sistema di punti materiali Derivando l'espressione precedente : P = M vcdm dp/dt = M dvcdm /dt = Macdm La seconda legge di Newton per un sistema di punti materiali è Fnet = dp/dt in cui Fnet è la forza risultante esterna che agisce sul sistema di particelle.

9 Urto ed impulso La quantità di moto di un corpo varia se interviene una forza esterna Per esempio, possiamo colpire una palla da biliardo con la stecca per variare la sua quantità di moto : inizialmente è ferma la colpiamo con la stecca, facendo agire una forza F per un tempo breve (lo definiamo URTO) URTO la palla da biliardo si mette in movimento la sua quantità di moto è variata

10 Urto singolo L'urto è il termine fisico con il quale si identifica la collisione di due corpi. Piu' nel dettaglio, l'intervallo di tempo durante il quale tali oggetti sono a contatto si compone di un periodo di compressione, nel quale si compie una deformazione spesso impercettibile dei corpi, e di un periodo di ritorno elastico durante il quale la forma torna allo stato iniziale. Esempio : lancio di una palla da baseball l'urto è di breve durata, la palla risente di una forza che la arresta ed inverte il suo moto. La forza F(t) è variabile nel tempo e modifica la quantità di moto p = mv della palla F(t) = dp/dt

11 Urto singolo e forza impulsiva Durante un urto tra due corpi, la forza viene esercitata per un breve intervallo di tempo. Si parla di forze impulsive Esempio : pallina da tennis in collisione con la racchetta l'urto è di breve durata, la pallina risente di una forza che la arresta ed inverte il suo moto. F(t) = dp/dt da cui : dp = F(t)dt F(t)

12 Urto singolo ed impulso dp = F(t)dt integrando i due membri tra l'istante di tempo immediatamente precedente l'urto e quello immediatamente successivo troviamo la variazione totale della quantità di moto : tf ti dp = tf ti F(t) dt variazione totale della q.tà di moto : tf ti dp = pf pi = p tf F(t) dt = J Grandezza fisica legata alla durata ed all'intensità della forza che sta agendo durante l'urto : impulso J della forza ti L'impulso J è una grandezza vettoriale ed è l'integrale di una forza, che puo' essere costante o variabile, per il tempo in cui tale forza sta agendo. Si misura in N s

13 Teorema dell'impulso La variazione di quantità di moto di un corpo è uguale all'impulso della forza che agisce su di esso tf ti tf dp = ti F(t) dt p = J Possiamo esplicitare le componenti, come per qualsiasi vettore : ad es. la componente x sarà pf,x pi,x = Jx = tf ti Fx(t) dt L'impulso puo' essere calcolato : a) integrando la funzione F(t), se è nota b) mediante il calcolo dell'area sotto la curva F(t), se è disponibile il grafico della forza J

14 Calcolo dell'impulso come area sottesa dal grafico F(t) la curva rappresenta come varia la forza F(t) che sta agendo sulla palla da baseball durante la collisione. L'area sotto la curva è il modulo dell'impulso J sulla palla a volte non è noto il modo in cui varia la forza, ma è nota l'intensità media della forza Fm che sta agendo e la durata della collisione t : graficando la forza media, otteniamo un rettangolo. L'altezza del rettangolo equivale al modulo della forza media Fm che agisce durante l'intervallo di tempo t e l'area del rettangolo è l'impuso. L'area sottesa dalla curva F(t) è uguale all'area del rettangolo, per cui : J = Fm t

15 Verifica Un paracadutista, per la mancata apertura del paracadute atterra nella neve fresca. Se fosse caduto sul terreno, il tempo di arresto sarebbe stato di 10 volte piu' breve. La presenza di neve aumenta, diminuisce o non cambia i valori di : a) variazione di quantità di moto del paracadutista b) impulso d'arresto del paracadutista c) forza che arresta il paracadutista

16 Verifica Un paracadutista, per la mancata apertura del paracadute atterra nella neve fresca. Se fosse caduto sul terreno, il tempo di arresto sarebbe stato di 10 volte piu' breve. La presenza di neve aumenta, diminuisce o non cambia i valori di : a) variazione di quantità di moto del paracadutista non cambia, la velocità iniziale è la stessa e la velocità finale è zero b) impulso d'arresto del paracadutista è uguale alla variazione di quantità di moto, non cambia c) forza che arresta il paracadutista diminuisce, perché la forza media F = J/ t è minore sulla neve

17 Verifica Una palla vista dall'alto rimbalza contro un muro senza variazione di velocità scalare. Si consideri la variazione p della sua quantità di moto. a) px è positivo, negativo o nullo? b) py è positivo, negativo o nullo? c) qual è la direzione/verso di p? y θ θ x

18 Verifica Una palla vista dall'alto rimbalza contro un muro senza variazione di velocità scalare. Si consideri la variazione p della sua quantità di moto. a) px è positivo, negativo o nullo? px = m vx = m(vf,x vi,x) = 0 (nullo) b) py è positivo, negativo o nullo? py = m vy = m(vf,y (-vi,y)) > 0 (positivo) c) qual è la direzione/verso di p? verso positivo di y, influisce solo su y e non su x y θ θ x

19 Problema Un giocatore riceve una pallina da tennis di massa m = 60 g ad una velocità di 50 m/s. La pallina, dopo il colpo ricevuto dalla racchetta, riparte con la stessa velocità ma in verso opposto. La forza impulsiva della racchetta è stata esercitata per 0,2 s. Qual è la forza media esercitata sulla pallina?

20 Problema svolto 9.4 α = 30 β = 10 m = 80 kg vi = 70 m/s vf = 50 m/s y α β x

21 Conservazione della quantità di moto Quando su un sistema di punti materiali la risultante delle forze esterne è nulla e la massa resta invariata, la quantità di moto totale P del sistema si conserva se la risultante delle forze esterne agenti sul sistema Fnet = 0 (sistema isolato) e nessuna particella entra od esce dal sistema (massa totale costante = sistema chiuso) Fnet = 0 dp/dt = 0 P = costante Principio di conservazione della quantità di moto se P = costante Pf = Pi E' un'equazione vettoriale, valida per ciascuna componente scalare. Non è vero il viceversa : la quantità di moto puo essere costante in una direzione e non in un altra. In questo caso, possiamo affermare che la quantità di moto è costante SOLO in quella direzione, ma non possiamo dire che il vettore quantità di moto P è costante.

22 Conservazione della quantità di moto nel moto del proiettile Se la risultante delle forze esterne è nulla lungo un asse e la massa resta invariata, la componente della quantità di moto lungo quell'asse si conserva Moto del proiettile : se lanciamo una palla ad una certa distanza, durante il volo l'unica forza che agisce è la forza di gravità, che agisce verticalmente, di conseguenza : la componente verticale della quantità di moto varia (ed infatti vy varia) la componente orizzontale resta invariata (ed infatti vx = costante) c è conservazione della quantità di moto solo lungo l asse orizzontale (asse x) e non lungo l asse verticale (asse y) Fg

23 Verifica Un oggetto posto su un pavimento privo di attrito esplode spaccandosi in due pezzi che si allontanano scivolando sul pavimento. Un pezzo corre lungo l'asse x. a) qual è la somma della quantità di moto dei due pezzi dopo l'esplosione? b) Puo' il secondo pezzo allontanarsi in una direzione diversa dall'asse x? c) Qual è la direzione della quantità di moto del secondo pezzo?

24 Verifica Un oggetto posto su un pavimento privo di attrito esplode spaccandosi in due pezzi che si allontanano scivolando sul pavimento. Un pezzo corre lungo l'asse x. a) qual è la somma della quantità di moto dei due pezzi dopo l'esplosione? zero (la p = mv del primo sarà uguale a p = -mv del secondo) b) Puo' il secondo pezzo allontanarsi in una direzione diversa dall'asse x? no c) Qual è la direzione della quantità di moto del secondo pezzo? verso negativo delle x, come la velocità e lo spostamento

25 Conservazione della quantità di moto e dell energia cinetica negli urti Consideriamo l'urto dal punto di vista del sistema nel suo insieme (proiettile + bersaglio) ed assumiamo che il sistema sia chiuso ed isolato. isolato la massa totale del sistema è costante La risultante delle forze esterne è zero in queste condizioni, vale sempre il principio di conservazione della quantità di moto Se nell'urto l'energia cinetica totale del sistema non cambia : URTO ELASTICO Dal punto di vista dell energia, significa che ci solo forze conservative in gioco vale il principio di conservazione dell energia meccanica, quindi se l urto avviene senza variazione di quota Emec = K + U = K = costante Se nell'urto parte dell'energia cinetica viene trasformata in energia termica o altre forme di energia, si parla di URTO ANELASTICO Significa che ci sono in gioco forze conservative e non conservative : vale il principio di conservazione dell energia (E = K + U + Eth + Eint = costante)

26 Conservazione della quantità di moto e dell energia cinetica negli urti Consideriamo l'urto dal punto di vista del sistema nel suo insieme (proiettile + bersaglio) ed assumiamo che il sistema sia chiuso ed isolato. isolato URTO ELASTICO Ktot,i (prima dell urto) = Ktot,f (dopo l urto) Ptot,i (prima dell urto) = Ptot,f (dopo l urto) URTO ANELASTICO Ptot,i (prima dell urto) = Ptot,f (dopo l urto) Un urto è tanto piu anelastico quanta piu energia cinetica si perde. Un urto puo essere approssimato ad urto di tipo elastico se la perdita di energia cinetica è trascurabile rispetto al computo totale di energia. Esempio : pallina di gomma che rimbalza sul pavimento. Se l'urto fosse completamente elastico, la pallina di gomma tornerebbe esattamente alla stessa quota da cui è partita. Nella realtà arriva sempre ad una quota leggermente inferiore la perdita di energia cinetica è modesta e possiamo assumere l'urto come elastico Se due oggetti dopo la collisione restano attaccati e si muovono insieme, si dice che l'urto è COMPLETAMENTE ANELASTICO

27 Urto anelastico unidimensionale Consideriamo due corpi che subiscono una collisione di tipo anelastico in sistema chiuso ed isolato : l'energia cinetica del sistema non si conserva. la quantità di moto si conserva. vi,1 prima dell'urto dopo l'urto vi,2 m2 m1 vf,1 m1 vf,2 m2 p1,i + p2,i = p1,f + p2,f conservazione della quantità di moto il moto è unidimensionale possiamo scrivere : m1v1,i + m2v2,i = m1v1,f + m2v2,f

28 Urto completamente anelastico unidimensionale Se l'urto è completamente anelastico, i due corpi restano attaccati dopo l'urto. m1 è il proiettile mentre m2, fermo, è il bersaglio. Dopo l'urto, entrambi i corpi si muoveranno insieme a velocità vf,1 = vf,2 = v vi,1 prima dell'urto m1 dopo l'urto vi,2 = 0 m2 vf,1 = vf,2 = v m1 + m2 possiamo scrivere : m1v1,i = ( m1 + m2 ) v v = m1 v1,i ( m 1 + m2 ) v sarà sempre minore di v1,i visto che il rapporto m1/(m1+m2) < 1

29 Come si comporta il centro di massa del sistema proiettile + bersaglio durante un urto? In un sistema chiuso e isolato la velocità del centro di massa vcdm non puo' cambiare, perché non interviene alcuna forza esterna a modificarla. A cosa sarà uguale vcdm? In generale, la quantità di moto totale del sistema di due corpi è P = Mvcdm Consideriamo di nuovo l'urto anelastico unidimensionale tra due corpi : possiamo scrivere : P = Mvcdm P = (m1 + m2) vcdm P si conserva, quindi Pi = Pf p1,i + p2,i = p1,f + p2,f quindi : p1,i + p2,i = (m1 + m2) vcdm da cui : vcdm = P / (m1 + m2) = (p1,i + p2,i ) / (m1 + m2)

30 Urti elastici unidimensionali Un urto è elastico quando l'energia cinetica totale del sistema di corpi si conserva. Attenzione : l'energia cinetica del singolo corpo puo' variare, quella TOTALE si conserva! Stiamo sempre considerando un sistema è chiuso ed isolato, quindi anche la quantità di moto si conserva. Consideriamo due corpi di massa diversa, m1 ed m2 : vi,1 vi,2 = 0 prima dell'urto dopo l'urto m1 m2 vf,1 vf,2 m1 m2 Per esperienza, sappiamo che dopo l'urto elastico, a seconda del rapporto tra le masse del proiettile e del bersaglio, il proiettile puo' rimbalzare indietro oppure proseguire in avanti. Il bersaglio, inizialmente fermo, proseguirà sicuramente in avanti.

31 Urti elastici unidimensionali, bersaglio fermo vi,1 prima dell'urto vi,2 = 0 m2 m1 dopo l'urto a) m1v1,i = m1v1,f + m2v2,f b) ½ m1v21,i = ½ m1v21,f + ½ m2v22,f vf,1 vf,2 m1 m2 conservazione della quantità di moto conservazione dell'energia cinetica con queste equazioni, conoscendo le masse m1 ed m2 del proiettile e del bersaglio e la velocità inziale del proiettile possiamo calcolare le velocità finali del proiettile e del bersaglio. a) m1( v1,i v1,f ) = m2v2,f b) m1(v21,i - v21,f ) = m2v22,f m1(v1,i - v1,f )(v1,i + v1,f ) = m2v22,f

32 Urti elastici unidimensionali, bersaglio fermo a) m1( v1,i v1,f ) = m2v2,f b) m1(v21,i - v21,f ) = m2v22,f m1(v1,i - v1,f )(v1,i + v1,f ) = m2v22,f Risolvendo il sistema per trovare v1,f e v2,f rispetto alle v iniziali ed alle masse di proiettile e bersaglio, v1,f = m1 m2 v1,i m1 + m 2 positiva se m1>m2, cioè se il proiettile ha massa maggiore del bersaglio : in questo caso prosegue in avanti. Se m1<m2, il proiettile rimbalza contro il bersaglio e torna indietro. v2,f = 2m1 v1,i m1 + m 2 sempre positiva, quindi il bersaglio m2 si muove sempre in avanti

33 Urti elastici unidimensionali, bersaglio fermo casi particolari v1,f = m1 m2 v1,i m1 + m 2 v2,f = 2m1 v1,i m1 + m 2 1. Masse del proiettile e del bersaglio uguali (m1 = m2) 2. Bersaglio massiccio (m2 >> m1) 3. Proiettile massiccio (m1 >> m2)

34 Casi particolari v1,f = m1 m2 v1,i m1 + m 2 v2,f = 2m1 v1,i m1 + m 2 1. Masse del proiettile e del bersaglio uguali (m1 = m2) v1,f = 0 v2,f = v1,i due corpi di massa uguale che si scontrano frontalmente si scambiano le velocità 2. Bersaglio massiccio (m2 >> m1) v1,f - v1,i v2,f (2m1/m2) v1,i il proiettile, di massa molto inferiore al bersaglio torna indietro con velocità praticamente invariata mentre il bersaglio si muove in avanti lentamente. 3. Proiettile massiccio (m1 >> m2) v1,f v1,i v2,f 2 v1,i il proiettile, di massa molto superiore al bersaglio, prosegue in avanti con velocità praticamente invariata rispetto a prima dell'urto, mentre il bersaglio schizza in avanti con velocità doppia di quella del proiettile

35 Urto elastico unidimensionale bersaglio mobile v2,i v1,i m2 m1 a) m1v1,i + m2v2,i = m1v1,f + m2v2,f b) ½ m1v21,i + ½ m2v22,i = ½ m1v21,f + ½ m2v22,f a) m1( v1,i v1,f ) = - m2 ( v2,i - v2,f) b) m1(v21,i - v21,f ) = - m2(v22,i - v22,f ) conservazione della quantità di moto conservazione dell'energia cinetica m1(v1,i - v1,f )(v1,i + v1,f ) = - m2(v2,i - v2,f )(v2,i + v2,f ) v1,f = m1 m2 v1,i + 2m2 v2,i m1 + m 2 m 1 + m2 v2,f = 2m1 v1,i + m2 m1 v2,i m 1+m2 m1 + m 2

36 Urti in due dimensioni Quando l'urto non è frontale (ovvero i corpi non si muovono lungo lo stesso asse) i corpi non si muoveranno lungo la stessa direzione iniziale dopo l'urto. Se il sistema è chiuso ed isolato e l'urto è elastico, applichiamo la conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica in forma vettoriale P1,i + P2,i = P1,f + P2,f K1,i + K2,i = K1,f + K2,f per analizzare il moto possiamo scomporre le due equazioni nelle loro componenti scalari lungo x e lungo y v2,f m2 v1,i m1 lungo l'asse y 0 = - m1 v1,f senθ1 + m2 v2,f senθ2 θ2 θ1 conservazione della quantità di moto : lungo l'asse x m1 v1,i = m1 v1,f cosθ1 + m2 v2,f cosθ2 v1,f conservazione dell'energia cinetica: ½ m1 v21,i = ½ m1 v21,f + ½ m2 v22,f abbiamo 2 masse, 3 velocità e 2 angoli : conoscendo i valori di 4 grandezze, con le 3 equazioni di sopra possiamo ricavare i valori mancanti