Omomorfismi e matrici

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1 apitolo Omomorfismi e matrici Introduzione Nel corso di Geometria è stato visto come associare una matrice ad un omomorfismo tra spazi vettoriali Rimandiamo al testo del corso per esempi e esercizi su ciò Il simbolismo compatto introdotto nel capitolo 8 ci permette di scrivere in altro modo formule già introdotte nel corso di geometria L analisi della matrice associata ad un omomorfismo ci permette di avere informazioni sulle dimensioni del nucleo e dell immagine di un omomorfismo Vediamo poi come varia la matrice associata ad un omomorfismo tra due spazi vettoriali al variare delle basi scelte nei due spazi vettoriali Vediamo infine la matrici associata alla composizione di omomorfismi Omomorfismi e matrici Teorema Sia η : E F un omomorfismo tra spazi vettoriali Sia {e,, e q} una base di E Per ogni vettore si ha: v = e + + e q di E η(v) = η(e ) + + η(e q) Dimostrazione Lasciata per esercizio Nota La formula precedente con simbolismo compatto introdotto diventa: η(v) = η 4(e e 5 = (η(e ) η(e Osserviamo la formula precedente Essa ci dice che, per determinare l immagine attraverso η di un qualsiasi vettore v basta conoscere le sue coordinate (,, ) relative alla base {e,, e q} e le immagini dei vettori di tale base bbiamo pertanto il seguente : 83

2 84 PITOLO OMOMORFISMI E MTRII Teorema 3 Siano E e F due spazi vettoriali su un campo K Sia {e,, e q} una base di E Siano {w,, w q} vettori qualsiasi di F llora esiste ed è unico un omomorfismo η : E F tale che si abbia: η(e i) = w i i =,, q Esempio 4 onsideriamo lo spazio vettoriale R e sia {e, e } la base canonica di R Sia W uno spazio vettoriale su R Siano f e f due vettori di W L unico omomorfismo η : R W tale che: è dato da: η(e ) = f, η(e ) = f η[(a, b)] = af + bf Infatti, poiché η deve essere un omomorfismo, si deve avere: η[(a, b)] = η(ae + be ) = aη(e ) + bη(e ) = af + bf Definizione 5 Sia η : E F un omomorfismo tra spazi vettoriali su un campo K Siano {e,, e q} e {f,, f p} basi di E e di F rispettivamente Definiamo matrice associata ad η relativamente alle basi scelte la matrice = (a ij) M(K, p, q) avente come j-esima colonna le coordinate del vettore η(e j) relative alla base {f,, f p} ioè: η(e j) = a jf + + a pjf p j =,, q Usando il simbolismo compatto, si ha quindi: (η(e ) η(e q)) = (f f p) Esempio 6 Si consideri l omomorfismo η : R 3 R definito da η[(x, y, z)] = (z, y) erchiamo la matrice associata all omomorfismo relativamente alle basi canoniche {e, e, e 3} e {f, f } di R 3 e R rispettivamente Si ha: η(e ) = η[(,, )] = (, ) = f + f η(e ) = η[(,, )] = (, ) = f + f η(e 3) = η[(,, )] = (, ) = f + f La matrice associata a η relativamente alle basi canoniche è quindi: Esercizio E Sia η : M(R,, ) R definito da:» a b η = (a + d, b + c) c d i) Dimostrare che η è un omomorfismo tra spazi vettoriali su R ii) Determinare la matrice associata ad η relativamente alle basi canoniche

3 OMOMORFISMI E MTRII 85 Esercizio E Sia β : R definito da: β[(x, y)] = x + (x + y)i i) Dimostrare che β è un omomorfismo tra spazi vettoriali su R ii) Determinare la matrice associata a β relativamente alle basi canoniche Teorema 7 Sia η : E F un omomorfismo tra spazi vettoriali su un campo K Siano {e,, e q} e {f,, f p} basi di E e di F rispettivamente e sia la matrice associata ad η relativamente alle basi scelte llora, si ha: η(v) = η(e + + e q) = (f f Dimostrazione Lasciata per esercizio asta applicare le formule viste in precedenza Nota 8 Usando il simbolismo compatto la formula precedente diventa: η 4(e e 5 = (f f Definizione 9 Siano E e F spazi vettoriali su un campo K Sia {e,, e q} una base di E e {f,, f p} una base di F Sia M(K, p, q) Si definisce omomorfismo associato ad relativamente alle basi {e,, e q}, {f,, f p} l omomorfismo definito da: η(e j) = a jf + + a pjf p j =,, q Esempio Sia data la matrice: = L omomorfismo η : R 3 R associato ad relativamente alle basi canoniche dei due spazi è tale che: Quindi: η (e ) = f + f =, η (e ) = f + f = f, η (e 3) = f + f = f η [(x, y, z)] = xη (e ) + yη (e ) + zη (e 3) = x + yf + zf = (z, y) Notiamo che l omomorfismo η coincide con l omomorfismo η visto nell esempio 6 Teorema Sia η : E F un omomorfismo tra spazi vettoriali su K aventi come basi rispettivamente {e,, e q} e {f,, f p} Sia la matrice associata ad η relativamente alle basi scelte llora: ) dim η(e) = rk() ) dim Ker η = dim E rk() da cui: 3) dim E = dim Ker η + dim η(e)

4 86 PITOLO OMOMORFISMI E MTRII Dimostrazione ) Sappiamo che {η(e ),, η(e q)} è un insieme di generatori di η(e) Per estrarre da questi una base, consideriamo la matrice avente come colonne le coordinate di tali vettori relative alla base scelta in F Tale matrice è proprio la matrice Dal teorema 45 del capitolo 5 segue la tesi ) erchiamo i vettori v E tali che η(v) = Sia: Si ha: Da cui: v = (e e η(v) = (f x x q x x q x x q = = bbiamo un sistema omogeneo di p equazioni in q incognite Lo spazio vettoriale delle soluzioni ha dimensione uguale a q rango Da cui la tesi Nota La dimostrazione appena data dà un modo concreto per determinare una base per il nucleo di η e una base per l immagine di η Esercizio E3 onsiderare l omomorfismo dato in E Determinare una base per il nucleo e una base per l immagine Esercizio E4 onsiderare l omomorfismo dato in E Determinare una base per il nucleo e una base per l immagine orollario 3 Sia η : E F un omomorfismo tra spazi vettoriali su K aventi basi finite llora dim η(e) dim E Dimostrazione pplicare la parte 3) del teorema orollario 4 Sia η : E F un omomorfismo tra spazi vettoriali su K aventi basi finite Sia E un sottospazio vettoriale di E llora dim η(e ) dim E Dimostrazione pplicare il corollario precedente alla funzione f E 3 ambio di base Teorema 5 Siano {e,, e q} e {f,, f p} basi di E e di F rispettivamente e sia la matrice associata ad η relativamente alle basi scelte Quindi: η 4(e e 5 = (f f

5 3 MIO DI SE 87 Siano {e,, e q} e {f,, f p} altre basi di E e di F rispettivamente e sia la matrice associata ad η relativamente ad esse Quindi: b 3 b 6 η 4(e e 5 = (f f Sia: Sia: Si ha allora: (e e q) = (e e q)m (f f p) = (f f p)n = N M Dimostrazione Si ha: Da cui la tesi 6 η 4(e e = (f f b b = η 4(e e = (f f p)n M = b Esercizio E5 Sia L : S(R, ) R [x] definito da: L() = tr + (tr )x dove: tr =somma degli elementi della diagonale principale di, tr =somma degli elementi della diagonale secondaria di (Ricordiamo che S(R, ) è lo spazio vettoriale delle matrici simmetriche di ordine a coefficienti reali) ) Dimostrare che L è un omomorfismo ) Dimostrare che: j = = 3 = è una base di S(R, ) Questa base viene detta base canonica di S(R, ) 3) Determinare la matrice associata a L relativamente alla base canonica di S(R, ) e alla base canonica di R [x] 4) Dimostrare che: j = = 3 = è una base di S(R, ) 5) Dimostrare che {f = + x, f = x} è una base di R [x] ff ff

6 88 PITOLO OMOMORFISMI E MTRII 6) Determinare la matrice associata a L relativamente alle basi date in 4) e 5) Si suggerisce di rispondere alla domanda 6) in due modi: a) determinando direttamente la matrice ; b) determinando la matrice utilizzando la matrice e il teorema 5 4 omposizione di omomorfismi Teorema 6 Siano E, F, G spazi vettoriali su un campo K aventi come basi rispettivamente {e,, e q}, {f,, f p}, {g,, g r} Sia α : E F un omomorfismo avente come matrice associata relativamente alle basi {e,, e q} e {f,, f p} la matrice Sia β : F G un omomorfismo avente come matrice associata relativamente alle basi {f,, f p} e {g,, g r} la matrice llora l omomorfismo β α ha come matrice associata relativamente alle basi {e,, e q} e {g,, g r} la matrice Dimostrazione Poiché è la matrice associata ad α si ha: α 4(e e 5 = (f f Poichè è la matrice associata a β, si ha: c β 4(f f 5 = (g g c p c c p Ma allora: Da cui la tesi (β α) 4(e e = β 4(f f = β 4α 4(e e = (g g = Esercizio E6 Sia L : M(R,, ) S(R, ) definito da: L () = + t ) Dimostrare che L è un omomorfismo ) Determinare la matrice associata a L relativamente alle basi canoniche 3) Dato l omomorfismo L definito nell esercizio E5, determinare la matrice associata a L L relativamente alle basi canoniche Si suggerisce di rispondere alla domanda 3) in due modi: a) determinando direttamente la matrice associata; b) determinando la matrice associata utilizzando il teorema 6 e le matrici associate a L e a L relativamente alle basi canoniche che sono state calcolate in precedenza

7 4 OMPOSIZIONE DI OMOMORFISMI 89 Esercizio E7 Determinare basi per il nucleo e l immagine degli omomorfismi L, L, L L definiti negli esercizi E5 e E6 Esercizio E8 Sia γ = β η dove η e β sono gli omomorfismi definiti negli esercizi E e E i) Determinare la matrice associata ad γ relativamente alle basi canoniche ii) Determinare nucleo e immagine di γ Teorema 7 Siano M(K, p, q) e M(K, r, p) llora: rk() rk(), rk() rk() Dimostrazione Diamo solo alcuni suggerimenti lasciando la dimostrazione completa come esercizio Si considerino gli omomorfismi α : K q K p e β : K p K r associati rispettivamente alle matrici e relativamente alle base canoniche dei tre spazi vettoriali Si ha rk = dim α(k q ), rk = dim β(k p ), rk = dim(β α)(k q ) Notiamo poi che (β α)(k q ) β(k q ) e quindi rk rk Inoltre (β α)(k q )β(α(k q ))) e quindi dal teorema 4 segue rk rk Esercizio E9 Determinare due matrici e tali che: rk() < rk(), rk() < rk() Esercizio E Sia M(K, m, n) e M(K, r, m) e sia rk() = m Dimostrare che allora si ha rk() = rk() Suggerimento Pensare le matrici come omomorfismi Uno di essi è surgettivo

8 9 PITOLO OMOMORFISMI E MTRII