Problem solving e Logica Valentina Ciriani

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1 Problem solving e Logica Valentina Ciriani Problemi logici? Successioni numeriche 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, Relazioni tra valori semantici caldo : X = Y : orribile X = freddo, Y = bello X = assetato, Y = gelato X = brutto, Y = ustionante X = intenso, Y = caldissimo Calcolo delle probabilità Qual è la probabilità che tirando due dadi esca un totale minore o uguale a 3? Relazioni insiemistiche Dare la corretta relazione insiemistica tra l insieme A dei gatti rossi, l insieme B dei felini e l insieme C dei mammiferi con il pelo rosso Personale Docente 1

2 Problemi logici? Calcoli In febbraio Luigi andrà in piscina 5 volte. Sapendo che Luigi va in piscina solo il mercoledì e che questo è un anno bisestile, dire che giorno è il primo di aprile. Proporzionalità e grafici Dato un grafico dedurre quali affermazioni sulle proporzioni sono corrette Ragionamento logico Se oggi piove Luca va al cinema. Se Luca oggi non è andato al cinema, cosa posso sicuramente affermare? Oggi c è il sole Oggi non piove Oggi è una bella giornata Nessuna delle risposte precedenti Problem solving Analisi del problema capire le proprietà del problema creare delle istanze del problema attraverso esempi Formulazione di un modello formalizzazione utilizzando strumenti logici e/o matematici Costruzione di un procedimento risolutivo creazione di una procedura automatica che risolva il problema (algoritmo) Personale Docente 2

3 Problem solving Prima regola: NIENTE PANICO Seconda regola: USARE CARTA E PENNA (o MATITA) Terza regola: LA LOGICA PUO ESSERE DIVERTENTE! C è problema e problema Paolino ha in tasca 4,95 euro suddivisi in: 4 monete da 1 euro 1 moneta da 50 centesimi 2 monete da 20 centesimi 1 moneta da 5 centesimi Se un pezzo di pizza costa 1,15 euro, Paolino potrà pagare 4 pezzi di pizza senza chiedere il resto? Voglio organizzare un viaggio in giro per l Italia: è possibile partendo da Milano, trovare un percorso lungo meno di1500 Km che passi da Bologna, Firenze, Napoli e Venezia? Sto pavimentando la mia cucina con mattonelle colorare incastrate con un particolare disegno: sono sufficienti sette colori diversi per riuscire a non affiancare due mattonelle dello stesso colore? Personale Docente 3

4 Formalizzazione I problemi di Raphel Bombelli (1572): 1. Trovisi un numero che gionto con 40 faccia Faccisidi 80 due parti che l una sia 20 più dell atra Formalizzazione I problemi di Raphel Bombelli (1572): 1. Trovisi un numero che gionto con 40 faccia 100 x + 40 = 100 e quindi x = Faccisidi 80 due parti che l una sia 20 più dell atra x + (x + 20) = 80 quindi 2x + 20 = 80 ovvero x = 30 Personale Docente 4

5 L esperimento di Wason Un suo famoso esperimento richiede un mazzo di carte con una lettera su una faccia e un numero dall altra U1 2L L esperimento di Wason Date le carte: A R 6 7 Quale è il minor numero di carte da voltare per poter affermare che la regola se c è una vocale su una faccia allora sull altra c è un numero pari sia vera? Personale Docente 5

6 L esperimento di Wason Date le carte: Whisky Aranciata Quale è il minor numero di carte da voltare per poter affermare che la regola se la bevanda è un superalcolico allora l età deve essere maggiore di 18 sia vera? L esperimento di Wason I due problemi sono del tutto identici, sono solo stati codificati in modo diverso Abbiamo più facilità nel risolvere il secondo problema perché è calato nella vita di tutti i giorni Mentre il primo problema è più astratto Vedremo nel seguito come formalizzarli Personale Docente 6

7 Analizziamo! Ci sono molti tipi di enunciati, per esempio: Rispondi al telefono! enunciato imperativo Come ti chiami? enunciato interrogativo Oggi è domenica. enunciato dichiarativo(o asserzione) Noi considereremo solo proposizioni, che sono: asserzioni che hanno un valore di verità (vero o falso) Esempi Oggi è il 5 gennaio Proposizione falsa X = 5 Non è una proposizione perché il valore di verità dipende da X ed è sconosciuto X > 5 oppure X <= 5 Pulisci la tua stanza! Oggi non è il 5 gennaio E una proposizione perché è vera indipendentemente da X Non è una proposizione perché non è un asserzione Proposizione vera Y > 7 e Y < = 7 Proposizione falsa Personale Docente 7

8 Ambiguità Ho in mano una carta di fiori e una figura. Ho in mano una carta che è una figura di fiori Ho in mano due carte: una è di fiori e l altra è una figura Sara conosce il numero di scarpe di Matteo. Sara sa quale taglia di scarpe ha Matteo Sara conosce quante scarpe possiede Matteo Proposizioni composte Negazione: non Oggi non c è il sole Domani non vado in montagna Disgiunzione: o, oppure Mangio la frutta o il dolce Chiederò a Maria oppure a Sandro Congiunzione: e Teresa ha gli occhi azzurri e i capelli neri Domani andremo al mare e faremo il bagno Implicazione: se allora Se prendi un bel voto a scuola ti porto a Firenze Se ci vediamo domani portami le fotografie Personale Docente 8

9 La negazione: esempio Non è impossibile che ci siano testimoni che non mentano sempre. Basandoci su questa frase, cosa possiamo affermare? Ci sono alcuni testimoni che non mentono mai E possibile che alcuni testimoni dicano a volte la verità E impossibile che tutti i testimoni mentano sempre Non sempre riusciamo a far dire la verità ai testimoni La negazione: esempio Non è impossibile che ci siano testimoni che non mentano sempre. Basandoci su questa frase, cosa possiamo affermare? Ci sono alcuni testimoni che non mentono mai E possibile che alcuni testimoni dicano a volte la verità E impossibile che tutti i testimoni mentano sempre Non sempre riusciamo a far dire la verità ai testimoni Personale Docente 9

10 La negazione Negazione di una proposizione Oggi c è il sole Oggi non c'è il sole Semplicemente inverte il valore di verità Tabella di verità Oggi c è il sole Falso Vero Oggi non c'è il sole Vero Falso La negazione: formalizzazione Negazione di una proposizione S = Oggi c è il sole ~S = Oggi non c'è il sole S ~S F V V F Oggi c è il sole Falso Vero Oggi non c'è il sole Vero Falso Personale Docente 10

11 Attenzione alla negazione! Non piango mai non è una doppia negazione, è un rafforzativo Qual è la negazione di sempre? Non dormo sempre Corrisponde a sono sempre sveglio? No! La negazione di sempre non è mai, ma qualche volta non! Vuol dire semplicemente che non passo tutto il mio tempo a dormire ovvero qualche volta non dormo ovvero qualche volta sono sveglio Attenzione alla negazione! Qual è la negazione di tutti? Non tutti mentono La negazione di tutti non è nessuno, ma qualcuno non! La frase vuol dire che che c è almeno una persona sincera! Ovvero qualcuno non mente Ovvero qualcuno è sincero Personale Docente 11

12 Attenzione alla negazione! Qual è la negazione di esiste uno? Non esiste un topolino con gli occhi verdi La negazione di esiste uno è tutti non La frase vuol dire che Tutti i topolini hanno gli occhi di un colore che non è il verde La negazione: esempio Non è impossibile che ci siano testimoni che non mentano sempre. Basandoci su questa frase, cosa possiamo affermare? Ci sono alcuni testimoni che non mentono mai E possibile che alcuni testimoni dicano a volte la verità E impossibile che tutti i testimoni mentano sempre Non sempre riusciamo a far dire la verità ai testimoni Analizziamo: Non è impossibile: che è equivalente a dire è possibile non mentano sempre: che è equivalente a dire qualche volta dicono la verità Quindi: E possibile che ci siano testimoni che qualche volta dicono la verità Personale Docente 12

13 La negazione: esercizi Non c'è niente nella scatola. Equivale a dire: La scatola è piena La scatola contiene qualche cosa La scatola è vuota La parola niente è contenuta nella scatola Non posso negare che qui non ci sia nessuno. Equivale a dire: Qui ci sono sicuramente tutti Non c è qualcuno Devo dire che qualcuno è presente Devo affermare che nessuno è presente La negazione: esercizi Non sempre sono indeciso. Equivale a dire: Sono sempre deciso Non riesco mai a decidermi Qualche volta sono deciso Niente mi aiuta a decidere Non tutti i bambini non vanno a scuola. Equivale a dire: Tutti i bambini vanno a scuola Alcuni bambini vanno a scuola Nessun bambino va a scuola Nessun bambino non va a scuola Personale Docente 13

14 Ricapitolando: doppia negazione ~~A è equivalente a A Non è vero che non è sabato E sabato Bisogna fare però attenzione ai rafforzativi non conosco nessuno A ~A ~~A F V F V F V Il paese dei sinceri e dei bugiardi Esiste un paese i cui abitanti sono di due tipi: Sinceri: che dicono sempre la verità Bugiardi: che dicono sempre il falso Simona arriva nel paese e incontra due abitanti: Snoopy Charlie Brown Personale Docente 14

15 Sinceri o bugiardi? Possiamo sapere che tipo di abitanti sono Snoopy e Charlie Brown? Snoopy Charlie Brown Sinceri o bugiardi? Possiamo sapere che tipo di abitanti sono Snoopy e Charlie Brown? Snoopy è sincero Charlie Brown è sincero Snoopy Charlie Brown Personale Docente 15

16 La disgiunzione La disgiunzione può essere esclusiva inclusiva Esempio di disgiunzione esclusiva: Il prossimo mese sposerò Mario oppure Giorgio Ne sposo solo uno dei due Esempio di disgiunzione inclusiva: Per vincere il premio bisogna aver un biglietto della lotteria oppure essere finalista del concorso Non è escluso che un concorrente abbia il biglietto e sia anche finalista del concorso La disgiunzione: esempi Quali sono disgiunzioni inclusive e quali esclusive? Per essere ammessi al secondo anno di informatica uno studente deve aver seguito il primo anno di informatica o il primo di matematica Inclusiva La ditta Acme Auto per i suoi clienti effettua uno sconto di 2000 oppure garantisce un finanziamento a tasso 0 Esclusiva Domani mattina alle 9:00 vado al mare oppure in montagna Esclusiva Martina si innamora sempre dei ragazzi con gli occhi verdi o i capelli biondi Inclusiva Martina si innamora sempre dei ragazzi con gli occhi verdi o gli occhi blu Esclusiva Personale Docente 16

17 Regole della logica Le due disgiunzioni hanno significati differenti: Tabella di verità disgiunzione esclusiva (EXOR) Tabella di verità disgiunzione inclusiva (OR) A B A B F F F F V V V F V V V F A B A B F F F F V V V F V V V V Sinceri o bugiardi? Analizziamo! Possiamo sapere che tipo di abitanti sono Snoopy e Charlie Brown? Snoopy Charlie Brown Snoopy afferma: ~ S C S significa Snoopy è sincero C significa Charlie Brown è sincero Personale Docente 17

18 Sinceri o bugiardi? Analizziamo! Snoopy Charlie Brown Snoopy afferma: ~ S C S significa Snoopy è sincero C significa Charlie Brown è sincero S C ~S ~S C F F V V F V V V V F F F V V F V Sinceri o bugiardi? Analizziamo! Snoopy afferma: ~ S C Supponiamo che Snoopy sia bugiardo S C ~S ~S C F F V V F V V V V F F F V V F V Snoopy Charlie Brown Personale Docente 18

19 Sinceri o bugiardi? Analizziamo! Snoopy afferma: ~ S C Supponiamo che Snoopy sia sincero S C ~S ~S C F F V V F V V V V F F F V V F V Snoopy Charlie Brown Sinceri o bugiardi? Analizziamo! Snoopy afferma: ~ S C Supponiamo che Snoopy sia sincero S C ~S ~S C F F V V F V V V V F F F V V F V Snoopy Charlie Brown Personale Docente 19

20 Sinceri o bugiardi? Simona incontra altri due abitanti del paese dei sinceri e dei bugiardi Possiamo sapere che tipo di abitanti sono Arturo e Barbara? Arturo Barbara Sinceri o bugiardi? Formalizziamo il problema con la logica A dice ~A ~B Arturo Barbara Personale Docente 20

21 Usiamo la logica Le tabelle di verità: A ~A F V V F A B A B F F F F V V V F V V V V A B ~A ~B ~A ~B F F V V V F V V F V V F F V V V V F F F Usiamo la logica Arturo sincero Barbara bugiarda! A B ~A ~B ~A ~B F F V V V F V V F V V F F V V V V F F F Arturo Barbara Personale Docente 21

22 Sinceri o bugiardi? Elenchiamo le soluzioni Altra tecnica di problem solving: elenchiamo tutte le possibili soluzioni (4) e ne cerchiamo una corretta Arturo Barbara Bugiardo Bugiarda no Bugiardo Sincera no Sincero Bugiarda sì Arturo Barbara Sincero Sincera no Mettiamo insieme disgiunzione e negazione Non è vero che Luca ha i capelli viola o gli occhi neri. E equivalente a dire: Luca non ha i capelli viola e non ha gli occhi neri Luca non ha i capelli viola oppure non ha gli occhi neri Luca ha i capelli viola e non ha gli occhi neri Luca non ha i capelli viola ma ha gli occhi neri V N V N F F F F V V V F V V V V V N ~(V N) F F V F V F V F F V V F Personale Docente 22

23 Mettiamo insieme disgiunzione e negazione Sara non ha la penna o la matita. E equivalente a dire: Sara non ha la penna o non ha la matita Sara non ha la penna e nemmeno ha la matita Sara ha la matita ma non la penna Sara non ha penna ma ha la matita P M P M F F F F V V V F V V V V P M ~(P M) F F V F V F V F F V V F Ricapitolando disgiunzione e negazione ~(A B) è equivalente a A falso e B falso A B A B F F F F V V V F V V V V A B ~(A B) F F V F V F V F F V V F Personale Docente 23

24 Congiunzione Maria ha gli occhi verdi e i capelli castani Tabella di verità congiunzione (AND) V C V C F F F F V F V F F V V V Mettiamo insieme congiunzione e negazione Non è vero che Maria ha gli occhi verdi e i capelli castani. E equivalente a dire: Maria non ha gli occhi verdi oppure non ha i capelli castani Maria non ha gli occhi verdi e non ha i capelli castani Maria non ha gli occhi verdi ma ha i capelli castani Maria ha gli occhi verdi ma non ha i capelli castani V C V C F F F F V F V F F V V V V C ~(V C) ~V ~C F F V V F V V V V F V V V V F F Personale Docente 24

25 Mettiamo insieme congiunzione e negazione Ieri Giovanni non ha mangiato le troffieal pesto. E equivalente a dire: Ieri Giovanni non ha mangiato le troffieoppure non ha usato il pesto come condimento Ieri Giovanni non ha mangiato le troffie Ieri Giovanni non ha mangiato la toffie e non ha usato il pesto Ieri Giovanni non ha usato il pesto come condimento Ricapitolando congiunzione e negazione ~(A B) è equivalente a A falso o B falso A B A B F F F F V F V F F V V V A B ~(A B) ~A ~B F F V V F V V V V F V V V V F F Personale Docente 25

26 Implicazione e doppia implicazione Tabella di verità doppia implicazione (se e solo se) A B A B F F V F V F V F F V V V Tabella di verità implicazione (se) A B A B F F V F V V V F F V V V Esempio: se sbadiglio allora ho sonno Se non sbadiglio potrei avere sonno oppure no! Implicazione e doppia implicazione Tabella di verità doppia implicazione (se e solo se) A B A B F F V F V F V F F V V V Tabella di verità implicazione (se) A B A B F F V F V V V F F V V V Esempio: sbadiglio se e solo se ho sonno Se non sbadiglio sicuramente non ho sonno! Personale Docente 26

27 L implicazione - Se oggi c è il sole, vado al mare - Se sono andato al mare, oggi c è il sole? - Oggi c è il sole se e solo se vado al mare - Se sono andato al mare, oggi c è il sole? S = Oggi c è il sole M = Vado al mare S M S M F F V F V V V F F V V V S M S M F F V F V F V F F V V V Implichiamoci! - Se Marco è un cantante allora è un uomo - Marco non è un cantante - Posso dedurre che Marco non è un uomo? - Se Marco è un cantante allora è un uomo - Marco non è un uomo - Posso dedurre che Marco non è un cantante? Personale Docente 27

28 Implichiamoci! - Marco è un cantante se e solo se è un uomo - Marco non è un cantante - Posso dedurre che Marco non è un uomo? - Marco è un cantante se e solo se è un uomo - Marco non è un uomo - Posso dedurre che Marco non è un cantante? Implichiamoci! - Se domani mi alleno allora vincerò la gara - Domani non mi alleno - Cosa posso dedurre? - Se domani mi alleno allora vincerò la gara - Vinco la gara - Cosa posso dedurre? Personale Docente 28

29 L implicazione: ricapitolando - Se A allora B e A - Allora posso dedurre B - Se A allora B e ~B - Allora posso dedurre ~A - Se A allora B e ~A - Non posso dedurre niente A B A B F F V F V V V F F V V V - Se A allora B e B - Non posso dedurre niente La doppia implicazione: ricapitolando - A se e solo se B e A - Allora posso dedurre B - A se e solo se B e ~B - Allora posso dedurre ~A - A se e solo se B e ~A - Allora posso dedurre ~B A B A B F F V F V F V F F V V V - A se e solo se B e B - Allora posso dedurre A Personale Docente 29

30 L esperimento di Wason Date le carte: Whisky Aranciata Quale è il minor numero di carte da voltare per poter affermare che la regola se la bevanda è un superalcolico allora l età deve essere maggiore di 18 sia vera? L esperimento di Wason Soluzione: Formalizziamo la frase: se la bevanda è un superalcolico (S) allora l età deve essere maggiore di 18 (M) con S M che è falso in un solo caso: S ~M Basta quindi girare le carte con un superalcolico (vocale) e quelle con un minorenne (dispari) S M S M F F V F V V V F F V V V Personale Docente 30

31 Il caso del difensore sprovveduto Ecco un altro caso in cui un indovinello basato sull implicazione ci crea problemi Il caso del difensore sprovveduto Un uomo viene processato per furto. Il Pubblico Ministero e l Avvocato Difensore si affrontano: PM: Se l imputato è colpevole, allora ebbe un complice Avvocato: Non è vero! Perché questa è la cosa peggiore che l Avvocato Difensore potesse dire? La risposta del Difensore sembrerebbe del tutto innocua, ma Personale Docente 31

32 Il caso del difensore sprovveduto Formalizziamo la frase detta dal PM usando: I : l imputato è colpevole C: l imputato ebbe un complice Se l imputato è colpevole, allora ebbe un complice Ovvero: I C che è falso solo in un caso I C I C F F V F V V V F F V V V Dire che è falso significa: L imputato è colpevole e non ha avuto un un complice Ricapitolando: negazione e implicazione ~(A B) è equivalente a A vero e B falso A B A B ~(A B) A ~B F F V F F F V V F F V F F V V V V V F F Personale Docente 32

33 E ora Esercizi! In sintesi ~~A è equivalente a A ~(A B) è equivalente a A falso o B falso ~(A B) è equivalente a A falso e B falso ~(A B) è equivalente a A vero e B falso Se A allora B e A Allora posso dedurre B Se A allora B e ~B Allora posso dedurre ~A Se A allora B e ~A Non posso dedurre niente Se A allora B e B Non posso dedurre niente A se e solo se B e A Allora posso dedurre B A se e solo se B e ~B Allora posso dedurre ~A A se e solo se B e ~A Allora posso dedurre ~B A se e solo se B e B Allora posso dedurre A Personale Docente 33

34 Le scatole di Mafalda Quale scatola scelgo? Le scritte sono entrambe vere o entrambe false Almeno una di queste scatole contiene un dolce A L altra scatola contiene la minestra B Le scatole di Mafalda Contenuto A B A B M M F V D M V F M D V V D D V F Le scritte sono entrambe false Almeno una di queste scatole contiene un dolce A L altra scatola contiene la minestra B Personale Docente 34

35 Le scatole di Mafalda Contenuto A B A B M M F V D M V F M D V V D D V F Le scritte sono entrambe vere Almeno una di queste scatole contiene un dolce A L altra scatola contiene la minestra B Le scatole di Mafalda Contenuto A B A B M M F V D M V F M D V V D D V F Le scritte sono entrambe vere Almeno una di queste scatole contiene un dolce A L altra scatola contiene la minestra B Personale Docente 35

36 Le scatole di Mafalda Quale scatola scelgo? Le scritte sono una vera e una falsa Nessuna delle scatole contiene dolci A L altra scatola contiene la minestra B Le scatole di Mafalda Contenuto A B A B M M V V D M F F M D F V D D F F Le scritte sono A vera e B falsa Nessuna delle scatole contiene dolci A L altra scatola contiene la minestra B Personale Docente 36

37 Le scatole di Mafalda Contenuto A B A B M M V V D M F F M D F V D D F F Le scritte sono A falsa e B vera Nessuna delle scatole contiene dolci A L altra scatola contiene la minestra B Le scatole di Mafalda Contenuto A B A B M M V V D M F F M D F V D D F F Le scritte sono A falsa e B vera Nessuna delle scatole contiene dolci A L altra scatola contiene la minestra B Personale Docente 37

38 Valentina Ciriani Personale Docente 38