MATEMATICA DISCIPLINA FONDAMENTALE CLASSE PRIMA

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1 MATEMATICA DISCIPLINA FONDAMENTALE CLASSE PRIMA Il corso di matematica del primo anno inizia con la messa a punto degli strumenti di calcolo numerico e algebrico. In seguito verrà introdotto il concetto di funzione e saranno trattate le funzioni affini e quadratiche. Il laboratorio a classi dimezzate consente di aiutare l allievo ad acquisire maggiore autonomia nell apprendimento e di introdurlo a temi, quali la statistica descrittiva, che permettono anche di avvicinarlo all utilizzo degli strumenti informatici. Numeri e calcolo numerico Numeri interi, razionali e irrazionali. Calcolo con le frazioni. Potenze con esponente intero. Radici e potenze con esponente razionale. Notazione scientifica e arrotondamenti. Calcolo numerico mentale e con la calcolatrice. Calcolo algebrico Operazioni con monomi e polinomi. Prodotti notevoli. Scomposizioni in fattori e semplificazione di frazioni algebriche. Equazioni lineari, quadratiche, fratte e irrazionali. Sistemi di equazioni lineari. Disequazioni lineari, quadratiche e fratte. Problemi di primo e secondo grado. Funzioni Relazioni tra due insiemi e funzioni. Rappresentazione grafica e lettura di grafici. Funzioni affini, quadratiche e funzione valore assoluto. Geometria Costruzioni geometriche: asse di un segmento, bisettrice di un angolo, poligoni regolari. Applicazioni dei teoremi di Talete, Pitagora, Euclide. Elementi di statistica Raccolta ed elaborazione di dati. Media e mediana. Frequenze assolute e relative. Rappresentazioni grafiche: tabelle e diagrammi. Saper svolgere correttamente calcoli semplici senza usare la calcolatrice. Conoscere e saper applicare le proprietà delle potenze. Saper calcolare con radici quadrate e radici cubiche. Saper usare correttamente la calcolatrice. Saper arrotondare in modo adeguato. Saper applicare le regole di calcolo con monomi e polinomi. Saper effettuare la divisione tra polinomi. Saper scomporre un polinomio in fattori usando la messa in evidenza e i prodotti notevoli. Saper risolvere algebricamente equazioni e disequazioni di primo, di secondo grado e fratte. Saper risolvere semplici equazioni irrazionali e semplici equazioni con valori assoluti. Saper risolvere sistemi lineari in 2 o 3 incognite. Saper risolvere problemi di primo e di secondo grado. Conoscere il concetto di funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva. Sapere trovare l inversa di alcune semplici funzioni. Saper rappresentare graficamente e determinare il segno di funzioni affini e quadratiche. Saper usare in modo adeguato gli strumenti geometrici ed eseguire costruzioni accurate e precise. Conoscere gli enunciati dei teoremi di Talete, Pitagora, Euclide. Saper applicare questi teoremi alla risoluzione di semplici problemi geometrici. Saper elaborare e presentare i dati in forma tabulare e grafica nel modo più opportuno. Saper calcolare le frequenze assolute e relative da una tabella di dati. Conoscere il concetto di media e di mediana. Saper utilizzare la scomposizione in fattori primi per semplificare calcoli in cui appaiono delle potenze. Saper approssimare e stimare i risultati ottenuti risolvendo problemi. Saper utilizzare in modo ottimale la calcolatrice nelle concatenazioni di calcoli. Conoscere il criterio di divisibilità di un polinomio per un binomio di primo grado. Saper applicare il metodo del completamento del quadrato. Saper risolvere equazioni e disequazioni mediante sostituzione. Saper risolvere sistemi di disequazioni. Saper risolvere disequazioni irrazionai. Saper risolvere e discutere equazioni e problemi in cui compaiono dei parametri. Saper stabilire se una funzione è iniettiva. Saper costruire il grafico dell inversa di una funzione. Problemi di massimo e minimo di II grado. Saper combinare le costruzioni geometriche di base per costruire luoghi geometrici più complessi. Saper calcolare la media, la mediana, la moda, la varianza e lo scarto quadratico medio di una raccolta di dati.

2 CLASSE SECONDA CORSO NORMALE Il secondo anno del corso normale di matematica inizia con lo studio delle funzioni trigonometriche e con le loro applicazioni geometriche. In seguito si introducono gli spazi vettoriali e, per mezzo dei vettori, si affronterà lo studio della geometria vettoriale e analitica del piano. Trigonometria Rapporti trigonometrici e risoluzione di triangoli rettangoli. Sistemi di misura degli angoli. Funzioni trigonometriche e inverse delle loro restrizioni. Equazioni trigonometriche. Teoremi dei seni e del coseno. Conoscere le definizioni dei rapporti trigonometrici e saper risolvere i triangoli rettangoli. Conoscere la definizione, le proprietà e i grafici delle funzioni trigonometriche. Conoscere le relazioni trigonometriche fondamentali. Saper utilizzare le funzioni trigonometriche inverse. Saper risolvere semplici equazioni trigonometriche. Saper risolvere problemi geometrici usando i teoremi dei seni e del coseno. Conoscere i principali valori esatti delle funzioni trigonometriche. Conoscere e saper applicare le formule di addizione e sottrazione. Saper costruire il grafico di una funzione armonica e collegare i parametri all aspetto grafico. Spazi vettoriali Vettori geometrici e vettori numerici in due e tre dimensioni. Combinazioni lineari. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Norma e prodotto scalare. Basi ortonormate. Geometria vettoriale e analitica Equazione parametrica e cartesiana di una retta nel piano. Distanze e angoli nel piano cartesiano. Equazione di una circonferenza. Problemi relativi alla circonferenza. Sapere operare con vettori geometrici e aritmetici. Sapere usare i determinanti per stabilire la dipendenza lineare di vettori in due dimensioni. Conoscere il concetto di base ortonormata. Sapere determinare l equazione cartesiana di una retta del piano. Sapere risolvere problemi fondamentali di incidenza, di distanza e di misura degli angoli. Saper riconoscere l equazione di una circonferenza e determinarne gli elementi caratterizzanti. Saper risolvere i problemi fondamentali di incidenza di rette e circonferenze. Conoscere e saper utilizzare i determinanti di ordine 3. Saper trovare le equazioni di rette tangenti a una circonferenza.

3 CLASSE TERZA CORSO NORMALE Il terzo anno del corso normale di matematica comincia con lo studio della geometria analitica e vettoriale dello spazio. In seguito si affronterà lo studio delle funzioni esponenziali e logaritmiche. Si proseguirà poi con un introduzione al calcolo delle probabilità. Infine si inizierà lo studio dell analisi introducendo il concetto di limite. Geometria vettoriale e analitica Rappresentazioni parametriche della retta e del piano nello spazio. Equazione cartesiana di un piano. Posizioni relative di rette e piani. Prodotto vettoriale. Distanze e angoli nello spazio euclideo. Sapere determinare la rappresentazione parametrica di una retta nello spazio e l equazione cartesiana di un piano. Sapere risolvere problemi fondamentali di incidenza, di distanza e di misura degli angoli. Conoscere la definizione e le proprietà del prodotto vettoriale. Saper applicare questo prodotto al calcolo di aree e di distanze. Conoscere la definizione e le proprietà del prodotto misto e saper applicare questo prodotto al calcolo di volumi. Saper determinare l equazione di una sfera. Funzioni esponenziali e logaritmiche Definizioni, proprietà e grafici delle funzioni esponenziali e logaritmiche. Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche. Applicazioni alle scienze sperimentali. Conoscere le proprietà e il grafico della funzione esponenziale. Conoscere la definizione e il grafico della funzione logaritmica e sapere usare le sue proprietà. Sapere effettuare il cambiamento di base dei logaritmi. Conoscere il concetto di crescita esponenziale. Saper utilizzare le coordinate logaritmiche per la linearizzazione di funzioni. Probabilità Elementi di calcolo combinatorio. Calcolo delle probabilità classico. Analisi Accenni alla topologia usuale dell insieme dei numeri reali. Successioni e limiti. Limiti di funzioni e funzioni continue. Conoscere e saper applicare le definizioni di disposizioni, permutazioni e combinazioni. Conoscere la definizione di probabilità classica e saperla applicare. Conoscere il concetto di intorno di un numero reale. Saper operare con le progressioni aritmetiche, geometriche e con altre successioni definite per ricorrenza. Conoscere la definizione di limite di una successione. Saper illustrare il concetto di limite di una funzione. Conoscere e saper applicare le regole di calcolo dei limiti. Conoscere alcuni limiti fondamentali (forme indeterminate 0/0, /, 0 ). Conoscere la definizione di continuità di una funzione. Saper affrontare problemi di calcolo combinatorio. Saper utilizzare l induzione matematica. Conoscere le serie aritmetiche e geometriche. Conoscere la definizione di limite di una funzione. Conoscere e saper usare i teoremi sugli zeri e sugli estremi di una funzione continua.

4 CLASSE QUARTA CORSO NORMALE Il quarto anno del corso normale di matematica inizia con un introduzione al calcolo differenziale. Si proseguirà poi con un introduzione al calcolo integrale. Infine si terminerà il calcolo delle probabilità definendo la probabilità condizionata e introducendo le variabili aleatorie discrete. Analisi Definizione di derivata di una funzione. Regole di calcolo delle derivate. Teoremi classici sulle funzioni derivabili. Rapporti tra continuità e derivabilità. Applicazioni del calcolo differenziale. L'integrale di Riemann. Funzioni primitive e teorema fondamentale del calcolo infinitesimale. Tecniche di integrazione. Applicazioni geometriche del calcolo integrale. Conoscere la definizione di derivata. Conoscere e saper applicare le regole di derivazione. Sapere determinare l equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un suo punto. Saper illustrare il teorema di Rolle e il teorema del valor medio del calcolo differenziale. Saper calcolare limiti di forme indeterminate applicando la regola di Bernoulli-de L Hôpital. Saper studiare e rappresentare graficamente una funzione derivabile. Saper risolvere problemi di massimo e minimo. Saper illustrare il concetto di integrale di Riemann di una funzione continua. Conoscere le primitive delle principali funzioni elementari e saper integrare altre funzioni applicando la linearità, l integrazione per sostituzione e quella per parti. Saper usare gli integrali per calcolare l area di una superficie piana e il volume di un solido di rotazione. Conoscere l interpretazione fisica della prima e della seconda derivata. Saper calcolare i limiti di forme indeterminate di tipo esponenziale. Conoscere e saper usare il metodo di bisezione e il metodo di Newton per determinare gli zeri di una funzione continua. Probabilità Probabilità condizionata. Eventi indipendenti. Variabili aleatorie discrete. Conoscere e saper applicare la definizione di probabilità condizionata. Conoscere la definizione di eventi indipendenti. Saper risolvere problemi utilizzando la formula di Bayes e la formula della probabilità totale. Conoscere il concetto di variabile aleatoria discreta. Saper rappresentare graficamente la distribuzione di probabilità e la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria discreta. Saper calcolare la media e varianza di una variabile aleatoria discreta.

5 CLASSE SECONDA CORSO DI LIVELLO APPROFONDITO Il secondo anno del corso approfondito di matematica inizia con lo studio delle funzioni esponenziali e logaritmiche e prosegue con la trigonometria. In seguito si introducono gli spazi vettoriali e, per mezzo dei vettori, si affronterà lo studio della geometria vettoriale e analitica del piano. Lo studio delle coniche concluderà il capitolo della geometria piana. Funzioni esponenziali e logaritmiche Definizioni, proprietà e grafici delle funzioni esponenziali e logaritmiche. Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche. Applicazioni alle scienze sperimentali. Conoscere le proprietà e il grafico della funzione esponenziale. Conoscere la definizione e il grafico della funzione logaritmica e sapere usare le sue proprietà. Sapere effettuare il cambiamento di base dei logaritmi. Conoscere la definizione delle funzioni iperboliche e ricavare le loro principali proprietà. Trigonometria Definizione delle funzioni trigonometriche e loro relazioni fondamentali. Funzioni trigonometriche di archi opposti, complementari e supplementari. Formule di addizione, duplicazione e bisezione. Definizione delle funzioni arcsin, arcos e arctan. Teorema dei seni e teorema del coseno. Equazioni trigonometriche. Applicazioni alle scienze sperimentali. Coordinate polari. Conoscere la definizione, i grafici e i principali valori esatti delle funzioni trigonometriche. Sapere ricavare le relazioni fondamentali tra le funzioni trigonometriche e le relazioni tra i valori di archi opposti, complementari e supplementari. Sapere disegnare qualitativamente il grafico di una funzione armonica e conoscere il significato di ampiezza, periodo, frequenza e fase. Sapere risolvere problemi geometrici riconducibili alle relazioni tra elementi di un triangolo, usando anche i teoremi dei seni e del coseno. Sapere risolvere equazioni trigonometriche elementari. Sapere passare dal sistema cartesiano al sistema polare e viceversa. Sapere risolvere equazioni trigonometriche con l uso delle formule di addizione e delle formule da queste derivate. Conoscere alcuni esempi di curve definite da equazioni polari. Saper utilizzare i teoremi dei seni e del coseno per dimostrare teoremi di geometria piana. Spazi vettoriali Definizione di spazio vettoriale. Combinazioni lineari. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi e dimensione. Norma e prodotto scalare. Basi ortonormate. Sapere riconoscere la struttura di spazio vettoriale in alcuni casi particolari. Sapere operare con vettori geometrici e aritmetici. Sapere usare i determinanti per stabilire la dipendenza lineare di vettori. Sapere utilizzare le basi ortonormate. Riconoscere le strutture di gruppo e corpo e il concetto di isomorfismo. Conoscere e sapere dimostrare il teorema di Cauchy-Schwarz. Geometria analitica Equazioni di una retta nello spazio. Distanze e angoli nel piano cartesiano. La circonferenza. Rette tangenti ad una circonferenza. Le coniche. Sapere determinare l equazione cartesiana di una retta del piano. Sapere risolvere problemi fondamentali di incidenza, di distanza e di misura degli angoli, anche usando il prodotto scalare. Sapere risolvere problemi relativi alla circonferenza. Saper riconoscere l equazione di una conica e determinarne gli elementi caratterizzanti. Sapere classificare geometricamente l insieme soluzione di un equazione di secondo grado a due incognite. Conoscere le equazioni parametriche e polari delle coniche.

6 CLASSE TERZA CORSO DI LIVELLO APPROFONDITO Il terzo anno del corso approfondito di matematica inizia con lo studio dell analisi, definendo i concetti di limite e di derivata. In seguito si affronterà il calcolo delle probabilità e si completerà lo studio della geometria analitica nello spazio tridimensionale. Analisi Gli assiomi di R. Accenni alla topologia usuale di R. Il principio d induzione matematica. Successioni e limiti. Definizione di funzione continua e limiti di una funzione. Teoremi sugli zeri e sugli estremi di una funzione continua. Definizione di derivata di una funzione. Regole di calcolo delle derivate. Derivate di ordine superiore. Conoscere le principali proprietà dei numeri reali. Conoscere la definizione di intorno. Sapere utilizzare la dimostrazione per induzione. Conoscere la definizione di limite di una successione e alcuni limiti fondamentali. Conoscere e sapere applicare i principali teoremi sui limiti. Conoscere e sapere applicare la definizione di limite e di continuità di una funzione. Sapere trovare le equazioni degli asintoti del grafico di una funzione. Conoscere la definizione di derivata e saper applicare le regole di derivazione. Sapere determinare l equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un suo punto. Comprendere l idea di sistema assiomatico. Conoscere la definizione di successione di Cauchy. Sapere dimostrare alcuni teoremi sui limiti e sulle funzioni continue. Conoscere il metodo di Newton per determinare gli zeri di una funzione continua. Conoscere il significato cinematico della prima e seconda derivata. Geometria analitica Sistemi di coordinate nello spazio tridimensionale. Rappresentazioni parametriche della retta e del piano nello spazio. Equazione cartesiana ed equazione normale di un piano. Definizione di prodotto vettoriale e prodotto misto. Posizioni relative di rette e piani. Distanze e angoli nello spazio euclideo. Equazione cartesiana di una sfera. Posizioni relative di sfere, piani e rette. Sapere determinare la rappresentazione parametrica di una retta nello spazio e l equazione cartesiana di un piano. Sapere risolvere problemi fondamentali di incidenza, di distanza e di misura degli angoli. Conoscere le definizioni le proprietà di prodotto vettoriale e di prodotto misto. Saper applicare questi prodotti al calcolo di aree, volumi e distanze. Conoscere l equazione cartesiana della sfera e saper risalire alle coordinate del centro e al raggio. Sapere trovare il piano tangente a una sfera in un suo punto. Sapere determinare le intersezioni di una retta e di un piano con una sfera. Sapere trovare la perpendicolare comune a due rette sghembe e calcolare la loro distanza. Sapere determinare l intersezione di due sfere. Conoscere le equazioni cartesiane di altre quadriche. Riconoscere nelle coniche le intersezioni di coni circolari con piani. Probabilità Definizione di spazio campionario associato ad una prova aleatoria. Definizione di evento casuale e algebra degli eventi. Assiomi di Kolmogorov. Definizione di probabilità condizionata e di eventi indipendenti. Elementi di calcolo combinatorio. Distribuzione binomiale. Sapere operare con gli eventi casuali. Conoscere gli assiomi di Kolmogorov. Conoscere la definizione di probabilità condizionata e saper applicare i teoremi di Bayes e della probabilità totale. Conoscere la definizione di eventi indipendenti. Conoscere e sapere applicare le definizioni di disposizioni, permutazioni e combinazioni. Sapere utilizzare la distribuzione binomiale. Sapere usare gli assiomi di Kolmogorov per dimostrare alcuni teoremi del calcolo delle probabilità. Sapere risolvere dei problemi utilizzando la probabilità geometrica.

7 CLASSE QUARTA CORSO DI LIVELLO APPROFONDITO Nel quarto anno del corso approfondito di matematica si conclude il capitolo dell analisi, caratterizzato dallo studio delle funzioni derivabili e dal calcolo integrale. In seguito si terminerà il calcolo delle probabilità con lo studio delle variabili aleatorie continue. Verrà poi affrontato lo studio dei numeri complessi e dell algebra lineare. Analisi Teoremi sulle funzioni derivabili. Teoremi sulla monotonia e sulla convessità e loro applicazione allo studio di funzioni e ai problemi di massimo e minimo. Serie numeriche e loro criteri di convergenza. Teorema di Taylor e sviluppo in serie di funzioni. Integrale di Riemann. Primitiva di una funzione, teorema del valor medio e teorema fondamentale del calcolo integrale. Regole di calcolo degli integrali. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Integrali impropri. Applicazioni geometriche del calcolo integrale. Probabilità Variabili aleatorie discrete e continue. Densità di probabilità e funzione di ripartizione. Speranza matematica, varianza e scarto quadratico medio. La distribuzione di Poisson e la distribuzione normale. Conoscere e saper illustrare i teoremi di Rolle e del valor medio del calcolo differenziale. Saper calcolare limiti di forme indeterminate applicando la regola di Bernoulli-de L Hôpital. Saper studiare in modo completo una funzione reale, sintetizzando il risultato in un grafico. Saper risolvere problemi di massimo e minimo. Sapere la definizione di serie numerica e in particolare conoscere e saper applicare le proprietà della serie geometrica. Saper applicare i criteri del quoziente, del confronto e della radice. Conoscere e saper applicare il teorema di Taylor. Conoscere lo sviluppo in serie di alcune funzioni elementari. Conoscere il concetto di integrale di Riemann. Conoscere il teorema del valor medio del calcolo integrale e il suo significato grafico. Conoscere e saper applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale. Conoscere le primitive delle funzioni elementari e saper integrare altre funzioni applicando la linearità, l integrazione per sostituzione e quella per parti. Saper integrare alcune funzioni razionali fratte. Conoscere la definizione e saper calcolare alcuni integrali impropri. Saper calcolare l area di una superficie piana e il volume di un solido di rotazione. Conoscere la definizione di variabile aleatoria. Conoscere e saper rappresentare graficamente la densità di probabilità e la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria discreta. Conoscere e saper calcolare la speranza matematica e la varianza di una variabile aleatoria discreta. Conoscere la definizione di densità di probabilità, di funzione di ripartizione, di speranza matematica e di varianza di una variabile aleatoria continua. Conoscere la definizione e le proprietà di una variabile aleatoria normale. Saper usare le tavole per trovare i valori della funzione di ripartizione di una Saper dimostrare i teoremi di Rolle e del valor medio del calcolo differenziale. Conoscere e saper dimostrare il teorema di Cauchy. Saper studiare funzioni non derivabili in alcuni punti. Saper giustificare i metodi d integrazione per sostituzione e per parti. Saper calcolare la primitiva di alcune funzioni irrazionali. Saper calcolare la lunghezza di un arco di curva piana e l area laterale di un solido di rotazione. Saper calcolare i baricentri di alcuni corpi semplici. Conoscere la distribuzione di Poisson come limite di una distribuzione binomiale. Saper usare altri tipi di distribuzioni di probabilità.

8 Numeri complessi Il corpo dei numeri complessi. Modulo e argomento di un numero complesso. Coniugazione complessa. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi nel piano di Gauss. Forma trigonometrica di un numero complesso. Formula di de Moivre. Radici di un numero complesso. Algebra lineare Definizione di applicazione lineare. Nucleo e insieme immagine di un applicazione lineare. Teorema della dimensione. Isomorfismi. Matrici e calcolo matriciale. Determinanti. Inversa di una matrice. variabile aleatoria normale. Saper utilizzare la distribuzione normale per approssimare una distribuzione binomiale. Conoscere la struttura del corpo dei numeri complessi e saper calcolare con i numeri complessi. Conoscere e saper usare le proprietà del modulo, dell argomento e della coniugazione complessa. Saper rappresentare i numeri complessi nel piano di Gauss. Saper passare dalla forma cartesiana a quella trigonometrica e viceversa. Saper calcolare la radice n-esima di un numero complesso e saper risolvere semplici equazioni. Conoscere alcune semplici funzioni complesse e saper rappresentare nel piano di Gauss l immagine di sottoinsiemi particolari. Conoscere la definizione di applicazione lineare. Saper trovare il nucleo e l insieme immagine di un applicazione lineare. Conoscere il concetto di isomorfismo. Saper trovare la matrice che rappresenta un applicazione lineare. Conoscere e saper applicare le operazioni matriciali. Conoscere le proprietà dei determinanti e saperle applicare al caso di determinanti di ordine inferiore a 4. Saper interpretare un sistema lineare come un equazione matriciale. Conoscere alcune funzioni complesse trascendenti. Saper utilizzare la forma esponenziale di un numero complesso. Conoscere la forma complessa di alcune trasformazioni geometriche del piano di Gauss. Saper applicare il calcolo matriciale al cambiamento di base. Saper determinare gli autovalori e gli autovettori di un applicazione lineare. Conoscere la forma matriciale delle principali trasformazioni geometriche piane. Saper operare con determinanti di ordine superiore a 3. Modalità di insegnamento Nei diversi anni è necessario dosare il tempo dedicato ai momenti espositivi della teoria e a quelli di esercitazione graduate dalla semplice ripetizione alla presenza di questioni più complesse e di problemi aperti per suscitare nell allievo il gusto per la materia, il piacere di fare matematica. Valutazione Fondamentale quella formativa, che ha lo scopo di regolare e correggere l apprendimento. L allievo deve essere abituato ad esprimersi anche oralmente sui contenuti dell insegnamento. Per la valutazione verranno presi in considerazione lavori scritti e interrogazioni orali, senza dimenticare gli aspetti relativi all autonomia intellettuale, alla coerenza dei ragionamenti, all interesse per la materia, alla curiosità e alla capacità di pensare in modo matematico.