Laboratorio di Strumentazione per Bioimmagini A.A

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1 Laboratorio di Strumentazione per Bioimmagini A.A Esercizio 1: soluzione Creiamo un immagine fantoccio con la funzione phantom di Matlab: creo immagine >> I = phantom(); Definiamo tre diversi campionamenti angolari: il primo campionando con 360 angoli tra 0 e 360 gradi, il secondo campionando ogni 5 gradi (73 angoli tra 0 e 360 gradi) e il terzo campionando ogni 10 gradi (37 angoli tra 0 e 360 gradi): definisco diversi passi di campionamento angolare >> angoli_1 = 0: 360/359 : 360; campiono con 360 angoli >> angoli_2 = 0: 5 : 360; campiono ogni 5 gradi >> angoli_3 = 0: 10 : 360; campiono ogni 10 gradi Calcoliamo ora i sinogrammi relativi ai campionamenti appena definiti, usando la funzione Matlab radon : calcolo sinogrammi >> s1 = radon(i, angoli_1); >> s2 = radon(i, angoli_2); >> s3 = radon(i, angoli_3); Visualizziamo i tre diversi sinogrammi ottenuti: >> figure(1) >> subplot(131) >> imagesc(s1) >> title('sinogramma con 360 angoli tra 0 e 360 gradi') >> subplot(132) >> imagesc(s2) >> title('sinogramma con 73 angoli tra 0 e 360 gradi') >> subplot(133) >> imagesc(s3) >> title('sinogramma con 37 angoli tra 0 e 360 gradi') >> colormap(hot) Come si può vedere al diminuire della frequenza angolare di campionamento diminuisce il numero di proiezioni nel sinogramma.

2 Calcoliamo ora le immagini ricostruite, mediante retroproiezione filtrata, a partire dai tre diversi sino grammi precedentemente ottenuti: calcolo immagine ricostruita >> Irec1 = iradon(s1, angoli_1); >> Irec2 = iradon(s2, angoli_2); >> Irec3 = iradon(s3, angoli_3); E le visualizziamo: >> figure(2) >> subplot(131) >> imagesc(irec1) >> title('immagine ricostruita dal sinogramma 1') >> subplot(132) >> imagesc(irec2) >> title('immagine ricostruita dal sinogramma 2') >> subplot(133) >> imagesc(irec3) >> title('immagine ricostruita dal sinogramma 3')

3 Appare evidente come al diminuire della frequenza di campionamento angolare peggiori la qualità dell immagine ricostruita (artefatti e scarsa resa di alcune regioni). Esercizio 2: soluzione La funzione che vogliamo creare dovrà ricevere in ingresso un singolo profilo proiettato e l angolo corrispondente di proiezione. Restituirà in uscita l immagine ottenuta retroproiettando il profilo: function img = retroproiezione_singola(s, theta) Funzione che calcola la retroproiezione (non filtrata) di un singolo profilo. INPUT: - s : singolo profilo - theta: angolo di proiezione OUTPUT: - img : immagine ricostruita (retroproiezione) La lunghezza del profilo rappresenta la massima lunghezza attraverso l immagine, ossia la lunghezza della sua diagonale, quindi a partire da questa possiamo ricavare la lunghezza del lato dell immagine che vogliamo ricostruire: N = 2*floor( length(s)/(2*sqrt(2)) ); lunghezza lato dell'immagine Ora che conosciamo il lato dell immagine allochiamo lo spazio in memoria per contenere la retroproiezione e definiamo gli assi x e y dell immagine ricostruita: img = zeros(n); allochiamo spazio in memoria per l'immagine definiamo gli assi x e y per l'immagine ricostruita [x y] = meshgrid(1:n, N:-1:1); x = x - floor(n/2); spostiamo l origine dell asse x al centro dell immagine y = y - floor(n/2); spostiamo l origine dell asse y al centro dell immagine Ora definiamo alcune variabili utili che ci permetteranno di calcolare direttamente la retroproiezione: costheta = cos(theta); sintheta = sin(theta); len = length(s); lunghezza del profilo (proiezione) ctridx = ceil(len/2); indice del centro della proiezione Infine retroproiettiamo il profilo: retroproiezione proj = s; questa in iradon viene filtrata prima di essere retroproiettata("spalmata") t = round(x*costheta + y*sintheta); img = img + proj(t + ctridx); retroproiezione del profilo img = img / max(img(:)); normalizza valori immagine tra zero e 1

4 La variabile proj contiene il profilo p (k) non filtrato. Nella retroproiezione filtrata, s viene appunto filtrato prima di essere retroproiettato ( spalmato ) nell immagine. Nella matrice t, tutti i pixel (x, y) che stanno su una stessa retta xcos( ) ysin( ) r hanno valore uguale a r. Ne risulta che nella matrice t c è una mappa di tutte le rette che ricoprono il dominio dell immagine da ricostruire. Tutte le rette hanno pendenza tale da risultare perpendicolari alla direzione di acquisizione della proiezione p (k). Vediamo sotto l esempio di una matrice t calcolata per un immagine 200 x 200 ad un angolo di 45 gradi: L assegnazione img = img + proj(t + ctridx); replica il profilo proj fino a costruire un immagine 200 x 200. In ogni pixel (x, y) di tale immagine mette il valore assunto da proj nel suo indice pari al valore assunto da t(x, y) + ctridx. Infine l immagine img viene normalizzata affinché assuma valori compresi tra 0 e 1. Verifichiamo ora la correttezza della funzione, retroproiettando tre profili corrispondenti agli angoli 0, pi/4; pi/2 calcolati su un immagine di lato 200 avente valore zero ovunque tranne in un quadrato centrale di lato 100 con valore 1: >> I = zeros(200); >> I(51:150,51:150) = 1; >> theta1 = 0; >> theta2 = pi/4; >> theta3 = pi/2; >> p1 = radon(i, theta1*180/pi); >> p2 = radon (I, theta2*180/pi); >> p3 = radon (I, theta3*180/pi); (NB: Volendo potremmo calcolare le singole proiezioni con la funzione creata nell esercizio 2 dello scorso laboratorio ) >> img1 = retroproiezione_singola(p1, theta1); >> img2 = retroproiezione_singola(p2, theta2); >> img3 = retroproiezione_singola(p3, theta3); E ora visualizziamo le immagini retroproiettate:

5 >> figure(1) >> imagesc(img1) >> title('retroproiezione per il profilo con theta = 0') >> figure(2) >> imagesc(img2) >> title('retroproiezione per il profilo con theta = pi/4') >> figure(3) >> imagesc(img3) >> title('retroproiezione per il profilo con theta = pi/2') Verifichiamo infine la correttezza di tali retroproiezioni confrontandole con le corrispondenti ottenute usando la funzione iradon (che però esegue una retroproiezione filtrata). Nella documentazione di Matlab si vede che la retroproiezione di un singolo profilo richiede l utilizzo della funzione iradon nel seguente modo: >> img1_irad = iradon([p1 p1], [theta1*180/pi theta1*180/pi])/2; >> img2_irad = iradon([p2 p2], [theta2*180/pi theta2*180/pi])/2; >> img3_irad = iradon([p3 p3], [theta3*180/pi theta3*180/pi])/2;

6 >> figure(4) >> imagesc(img1_irad); >> title('retroproiezione filtrata per il profilo con theta = 0') >> figure(5) >> imagesc(img2_irad); >> title('retroproiezione filtrata per il profilo con theta = pi/4') >> figure(6) >> imagesc(img3_irad); >> title('retroproiezione filtrata per il profilo con theta = pi/2')

7 Esercizio 3: soluzione La funzione richiesta riceverà in ingresso il sinogramma s e il corrispondente passo di campionamento angolare thetas usato per la sua acquisizione: function img = retroproiezione(s, thetas) Funzione che calcola la retroproiezione (non filtrata) di un'immagine dato il sinogramma e il passo di campionamento angolare usato per acquisirlo. INPUT: - s : sinogramma - thetas: passo di campionamento angolare OUTPUT: - img : immagine ricostruita (retroproiezione) D ora in poi considereremo il sinogramma s come una matrice che ha come colonne i diversi profili (proiezioni) ottenuti per diversi angoli theta. Di fatto l esercizio si risolve facilmente a partire dalla funzione scritta per l esercizio 2, con minime variazioni nella fase finale di retroproiezione (che ora coinvolge più profili anziché uno solo). La prima parte riportata di seguito è del tutto analoga alla prima parte dell esercizio 2 (si veda sopra per un commento più dettagliato): N = 2*floor( size(s,1)/(2*sqrt(2)) ); lunghezza lato dell'immagine img = zeros(n); allochiamo spazio in memoria per l'immagine definiamo gli assi x e y per l'immagine ricostruita [x y] = meshgrid(1:n, N:-1:1); y = y - floor(n/2); x = x - floor(n/2); costheta = cos(thetas); sintheta = sin(thetas); len = size(s,1); lunghezza di ogni proiezione ctridx = ceil(len/2); indice del centro delle proiezioni Ora inseriremo la retroproiezione realizzata precedentemente per un singolo profilo, all interno di un ciclo for. In tal modo calcoleremo iterativamente un immagine retroproiettata a partire da ogni profilo contenuto nel sinogramma s e sommeremo (integrazione lungo theta) le diverse immagini: retroproiezione for i=1:length(thetas) proj = s(:,i); ogni colonna del sinogramma è un profilo da retroproiettare t = round(x*costheta(i) + y*sintheta(i)); img = img + proj(t + ctridx); calcoliamo e sommiamo le immagini end img = img / max(img(:)); normalizza valori immagine tra zero e 1 Testiamo ora la funzione creata. Calcoliamo la retroproiezione di un immagine di lato 200 avente valore zero ovunque tranne in un quadrato centrale di lato 100 con valore 1: >> I = zeros(200); >> I(51:150,51:150) = 1;

8 Calcoliamo il sinogramma s corrispondente ad un passo di campionamento angolare thetas usando la funzione radon: >> thetas = 0:pi/179:pi; definiamo passo di campionamento angolare >> s = radon(i, thetas*180/pi); calcoliamo sinogramma (NB: Volendo potremmo calcolare il sinogramma con la funzione creata nell esercizio 3 dello scorso laboratorio ) Calcoliamo la retroproiezione usando la funzione retroproiezione appena sviluppata: >> img = retroproiezione(s, thetas); Calcoliamo la retroproiezione filtrata usando la funzione Matlab iradon: >> img_irad = iradon(s, thetas*180/pi); Confrontiamo le due immagini ottenute: >> figure(1) >> imagesc(img) >> title('immagine retroproiettata senza filtraggio') >> figure(2) >> imagesc(img_irad) >> title('retroproiezione filtrata ottenuta con iradon')