(in Newton) agente nel punto A (7,3,1) (in m). Qual è il momento in N m rispetto all'origine? Qual è il momento rispetto al punto P (0,10,0)?

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1 FACOLTA' DI INGEGNERIA CdL INGEGNERIA ELETTRONICA (A-Z) INSEGNAMENTO DI FISICA SPERIMENTALE I ESERCIZI SVOLTI O PROPOSTI DURANTE LE ESERCITAZIONI IN AULA A.A Docente: Prof. A. SCORDINO INTRODUZIONE 1. La massa di un atomo di rame è g, e la densità del rame è 8.8 g/cm 3. Determinare l ordine di grandezza del numero di atomi presenti in 1 cm 3 di rame. 2. L'ordine di grandezza di un atomo è 1 Å (1 Å = m), mentre la dimensione del nucleo è 10-4 Å. Se volessimo disegnare su carta una mappa dell'atomo e scegliessimo di disegnare il nucleo con il diametro di 1 cm, a quale distanza dovremmo disegnare la nube di elettroni? CALCOLO VETTORIALE 3. Una persona cammina lungo un percorso circolare di 5 m, per una mezza circonferenza. Trovare: (a) il modulo del vettore spostamento, (b) quale distanza ha percorso la persona, (c) quale è il modulo dello spostamento se si completa la circonferenza. 4. Un aeroplano viaggia per 200 Km verso Est, quindi per 300 Km in direzione Nord-Est inclinata di 60 rispetto ad Est. Determinare lo spostamento finale C. 5. Una particella è sottoposta a due spostamenti. Il primo ha un modulo di 150 cm e forma un angolo di 120 con l'asse x positivo. Lo spostamento risultante ha un modulo di 140 cm ed è diretto con un angolo di 35 rispetto all'asse x positivo. Trovare il modulo e la direzione del secondo spostamento. 6. Il pilota di un aereo vuole raggiungere un punto 200 Km a Est della sua attuale posizione; un vento soffia da Nord-Ovest con una velocità di 300 Km/h. Calcolare la sua velocità vettoriale rispetto alla massa di aria in moto sapendo che la sua tabella di volo gli impone di arrivare a destinazione in 40 minuti. 7. Un esempio molto curioso della scomposizione delle forze può manifestarsi nel moto di una barca a vela. Come si riesce a navigare contro vento? 8. Il lavoro di una forza costante F vale F r, ove r è lo spostamento subito dalla particella su cui agisce la forza F. Due forze costanti F1 = xˆ + 2 yˆ + 3 zˆ (in Newton) e F2 = 4 xˆ 5 yˆ 2 zˆ (in Newton), agiscono entrambe su una particella mentre questa si muove dal punto A (20,15,0) (in m) al punto B (0,0,7) (in m). Qual è il lavoro eseguito sulla particella? 9. Il momento N di una forza è dato da r F, dove r è il vettore condotto da un punto dato al punto di applicazione della forza F. Consideriamo una forza F = 3 xˆ + yˆ + 5 zˆ (in Newton) agente nel punto A (7,3,1) (in m). Qual è il momento in N m rispetto all'origine? Qual è il momento rispetto al punto P (0,10,0)? 10. Due particelle 1 e 2 si muovono lungo gli assi x e y con velocità rispettivamente v1 = 2 xˆ m/sec e v2 = 3 yˆ m/sec. All'istante t=0 le loro posizioni sono: x 1 = -3 m, y 1 = 0 e x 2 = 0, y 2 = -3 m. (a) Trovare il vettore r 2 -r 1 che dà la posizione relativa di 2 rispetto a 1 in funzione del tempo. (b) Quando e dove le due particelle raggiungono la minima distanza mutua? CINEMATICA 11. Determinare la profondità di un pozzo sapendo che il tempo tra l'istante in cui si lascia cadere un sasso, senza velocità iniziale, e quello in cui si ode il rumore, in conseguenza dell'urto del sasso con il fondo del pozzo, è t=4.8 s. Si trascuri la resistenza dell'aria e si assuma la velocità del suono pari a 340 m/s. 12. Un uomo vuole attraversare a nuoto un fiume di larghezza l =20 m, puntando in direzione normale alle sponde. La velocità di spostamento dell'uomo, relativa all'acqua, è costante e pari a 3.6 Km/h. Se la velocità dell'acqua del fiume varia con la distanza y dalla sponda di partenza secondo la relazione v = y(l-y) m/s, si determini: (a) il tempo impiegato ad attraversare il fiume; (b) il punto di arrivo B. Si ponga l'origine nel punto di partenza A. 13. Una sferetta di acciaio è lasciata cadere dal tetto di un edificio. Un uomo posto dietro una finestra alta h=1.2 m nota che la sferetta impiega un tempo t=0.125 sec ad attraversare la luce della finestra. La sferetta continua la caduta fino ad urtare in modo completamente elastico il marciapiede e riappare sul 1

2 davanzale della finestra dopo un tempo t'=2.00 sec che è passata la prima volta cadendo. Calcolare l'altezza dell'edificio. 14. In un palazzo la portinaia viene informata che qualcuno, da un appartamento, lascia cadere sacchetti pieni di acqua sui passanti. Essa verifica che i sacchetti attraversano il vano della sua finestra, che è al piano terreno, in 0.1 sec. La sua finestra è alta 1.8 m e la distanza tra i piani è di 3 m. A quale piano dovrebbe cercare per scoprire il colpevole? Tenete conto che i sacchetti cadono con una accelerazione costante di 9.8 m/s Una particella parte dall origine all istante t=0 con velocità iniziale v 0 = 8.0 î + 15 ĵ (m/s) e si muove nel piano xy con una accelerazione costante a = 1.5 î 4.0 ĵ (m/s 2 ). Quanto vale la distanza (in m) dall origine della particella all istante t=3.0 s? 16. All istante t=0 una particella parte dall origine con una velocità iniziale v 0 = 7.2 m/s nella direzione positiva dell asse y. La sua accelerazione è a = 3.0 î 2.0 ĵ (m/s 2 ). All istante in cui la particella attraversa nuovamente l asse x, quanto vale la distanza dall origine della particella? 17. A t = 0, una particella in moto nel piano xy con accelerazione costante si trova all origine del sistema di riferimento e ha una velocità v 0 = (3.00 î 2.00 ĵ) m/s. A t = 3.00 s, la sua velocità è v = (9.00 î ĵ) m/s. Trovare: (a) la accelerazione a della particella, (b) le sue coordinate ad un generico istante t. 18. Un automobile è parcheggiata su di una costa inclinata che sovrasta l oceano, ad una inclinazione di 37.0 rispetto all orizzontale. Il conducente negligente lascia la macchina senza marcia innestata ed il freno è difettoso. La macchina parte dalla quiete giù per la discesa con una accelerazione costante di 4.00 m/s 2 e percorre 50.0 m per raggiungere il bordo dell altura. Questa è a 30.0 m al di sopra dell oceano. Trovare: (a) la velocità dell automobile quando raggiunge il bordo dell altura, (b) la posizione dell automobile rispetto alla base dell altura quando l automobile arriva al livello dell oceano. 19. Un aereo vola ad una quota di 5.0 Km con velocità orizzontale costante di 500 Km/h verso un punto posto sopra al bersaglio. A quale angolo di mira φ deve essere sganciato un pacco di viveri per raggiungere il bersaglio? 20. Una pallina viene lanciata dall'origine degli assi cartesiani nello stesso istante in cui un'atra pallina viene lasciata cadere da un punto di coordinate x 0 =3 m, y 0 =2 m. La direzione di lancio della prima pallina è quella della congiungente l'origine degli assi con il punto di coordinate x 0,y 0 mentre la sua velocità vale, in modulo, v=8 m/s. Determinare le coordinate x i,y i del punto di incontro. 21. Un giocoliere lanciando ripetutamente una dopo l'altra cinque palle ad una altezza di 3 m riesce a mantenerle sempre in aria. Determinare (a) il tempo che intercorre tra due lanci successivi; (b) le altezze a cui si trovano tutte le altre palle quando una di esse raggiunge la mano del giocoliere. 22. Due ciclisti si esibiscono in una gara di inseguimento in una pista circolare di raggio R=40 m. Essi partono contemporaneamente, uno da A con velocità costante v 1 e l'altro da B (A e B sono gli estremi di uno stesso diametro della circonferenza) con velocità v 2 =40 Km/h. Trovare il valore di v 1 perché il primo ciclista raggiunga il secondo dopo aver percorso 2.5 giri di pista e calcolare il tempo necessario. DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE 23. Un sacco di cemento di massa m = 32.5 kg, è sostenuto da tre funi come è mostrato in figura. Due funi formano gli angoli θ 1 = 10.0 e θ 2 = 25.0 con l orizzontale. Se il sistema è in equilibrio, determinare le tensioni T 1, T 2 e T 3 nelle funi. 24. Una massa m=10 kg deve essere calata dal secondo piano di una casa con una fune inestensibile e di massa trascurabile il cui carico di rottura è F=70 N. Può essere calata a velocità costante senza che la fune si spezzi? In caso contrario, con quale accelerazione minima dovrebbe essere calata? 25. Un blocco di 3.00 kg parte da fermo dalla sommità di un piano inclinato di 30.0 rispetto all orizzontale e scivola verso il basso percorrendo una distanza di 2.00 m lungo il piano in 1.50 s. Trovare: (a) l accelerazione del blocco, (b) il coefficiente di attrito dinamico fra il blocco e il piano. 26. Su un piano liscio inclinato di un angolo uguale a 30, un blocco di massa 40 kg è collegato mediante una fune, attraverso una piccola carrucola senza attrito, a un secondo blocco sospeso di massa m 2 =30 kg. (a) Qual è l'accelerazione di ciascun blocco? (b) Qual è la tensione della fune? 2

3 27. Due blocchi connessi da una fune leggera devono essere trascinati da una forza orizzontale F. Supponiamo che sia F=50 N, m 1 =10 kg, m 2 =20 kg e che il coefficiente di attrito cinetico tra ciascun blocco e la superficie sia µ c =0.1. Determinare la tensione T della fune e l'accelerazione del sistema. 28. Un blocco di 4.0 kg è posto sopra un altro blocco di 5.0 kg. Per far si che il blocco superiore scivoli su quello di sotto, deve essere applicata una forza di 12 N al blocco superiore. Supponendo il tavolo senza attrito, trovare: (a) la massima forza orizzontale F che deve essere applicata al blocco inferiore perché i blocchi si muovano insieme; (b) l accelerazione risultante dei blocchi. 29. Due masse, m 1 =1.65 kg e m 2 =3.30 kg, fissate agli estremi di un'asta di massa trascurabile parallela al profilo del piano inclinato sul quale entrambe scivolano, si muovono verso il basso ed m 1 segue la pista di m 2. L'angolo di inclinazione è θ=30. Il coefficiente di attrito dinamico tra m 1 e il piano inclinato è µ 1 =0.226, mentre tra m 2 e il piano è µ 2 = Calcolare: (a) la tensione dell'asta che collega m 1 e m 2 e (b) l'accelerazione comune delle due masse. (c) Cambiano le risposte ai quesiti (a) e (b) se è m 2 a seguire la pista di m 1? 30. Un aeroplano supersonico vola orizzontalmente con velocità v=1500 Km/h e deve invertire la rotta senza variare il modulo della velocità. Qual è il raggio della semicirconferenza da descrivere in un piano orizzontale perché il pilota non sia soggetto a più di tre volte il suo peso? 31. Una macchina di massa m percorre una curva di raggio R=150 m a velocità costante v = 25 m/sec. Se la strada non è sopraelevata, qual è il minimo coefficiente di attrito µ min per impedire lo sbandamento? E se µ è trascurabile, di quale angolo α deve essere inclinata la strada per evitare lo sbandamento? 32. Un corpo sferico di massa m = 50 g e raggio r = 2 cm cade verticalmente dalla quiete in un mezzo di densità ρ=1.3 kg/m 3. La forza di resistenza dovuta al mezzo è: R = ½ C ρ A v 2 dove A è la sezione del corpo e C = 0.5. Determinare la velocità limite. CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA E DELLA QUANTITA' DI MOTO 33. Una sferetta pesante, partendo dal vertice A di una semisfera liscia di raggio R = 60 cm, scivola sul profilo della semisfera sotto l'azione del suo peso. Di quanto dovrà abbassarsi la particella prima di schizzare via dalla sfera? 34. Un blocco di massa m = 1 kg viene lanciato con una velocità v 0 = 4 m/s lungo un piano orizzontale scabro e si arresta dopo aver percorso un tratto s = 136 cm. Determinare il coefficiente di attrito tra il piano e il blocco. 35. Un corpo puntiforme di massa m = 100 g è appoggiato (senza essere attaccato) ad una molla ideale di costante elastica k = 100 N/m, compressa di 10 cm rispetto alla sua posizione di equilibrio. Corpo e molla poggiano su una guida costituita da un tratto rettilineo orizzontale privo di attrito raccordato ad un tratto rettilineo inclinato di 30 rispetto all orizzontale e scabro (µ d = 0.100). Ad un certo istante si lascia libero il corpo. Determinare: (a) La velocità con cui il corpo si stacca dalla molla; (b) L altezza massima raggiunta da corpo sul piano inclinato; (c) L energia meccanica dissipata. 36. Un blocco di massa m =1 kg viene lanciato su per un piano inclinato scabro (µ=0.2) con velocità v 0 =3 m/sec. Se l'angolo di inclinazione è α=30, calcolare: (a) la distanza s percorsa dal blocco lungo il piano; (b) il tempo impiegato a percorrerla, nonché il tempo complessivo di andata e ritorno; (c) l'energia trasformata in calore lungo l'intero percorso. 37. Il cavo di un ascensore di massa M = 2000 kg si spezza quando l ascensore è fermo al primo piano a distanza d = 4.0 m da una molla di attenuazione di costante elastica k = N/m. Un dispositivo di sicurezza agisce sulle guide in modo da far sviluppare una forza di attrito costante di 4900 N che si oppone al moto dell ascensore. (a) Calcolare la velocità dell ascensore prima che urti la molla. (b) Trovare di quale tratto s è compressa la molla. 38. La molla di un fucile ha una costante elastica k = 700 N/m. Con il fucile inclinato di 30 rispetto all'orizzontale, viene sparato un proiettile di massa m = 80 g ad una altezza di 2 m rispetto alla bocca della canna. (a) Con quale velocità esce il proiettile dalla canna del fucile? (b) Di quanto è stata compressa inizialmente la molla? 39. Un blocco di ferro di massa M = 1 kg è appoggiato su un piano orizzontale scabro di coefficiente di attrito µ = 0.7. Un proiettile di massa m = 40 g viene sparato orizzontalmente contro il blocco nel quale resta conficcato. Il blocco percorre in seguito all'urto un tratto s = 34 cm sul piano scabro. Calcolare la velocità v del proiettile. 40. Un proiettile di massa m = 12 g si muove orizzontalmente e colpisce, restandovi conficcato, una massa M = 3.0 kg fermo alla base di un piano inclinato liscio. In seguito all urto il sistema delle due masse si 3

4 muove su per il piano inclinato e si ferma ad una quota di 12 cm rispetto alla quota iniziale. Quale era la velocità iniziale del proiettile? 41. Una pallottola di massa m = 80.0 g, viene sparata, con velocità v 0 = 152 m/s, contro un blocco di massa M = 2.50 kg, inizialmente in quiete ad una distanza d = 20 cm dal bordo di un tavolo alto h = 1.00 m. Il proiettile si conficca nel blocco e, dopo l urto, il blocco cade dal tavolo. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico tra tavolo e blocco vale 0.70, calcolare: (a) la velocità del blocco quando abbandona lo spigolo del tavolo; (b) la distanza D dallo spigolo del tavolo a cui cade il blocco. 42. Una pallina di stucco di massa m 1 = 200 g mobile orizzontalmente con velocità v 1 = 20 m/s urta anelasticamente un blocco di massa M = 1.4 kg in quiete su un piano scabro (µ = 0.70) e appoggiato ad una molla di massa trascurabile e costante elastica k = 400 N/m, inizialmente in equilibrio. (a) Di quanto si è compressa la molla in seguito all urto? (b) Di quanto si allontana il blocco dalla primitiva posizione di equilibrio, in seguito alla riespansione della molla, supponendo che questa raggiunga subito, riespandendosi, la configurazione iniziale senza entrare in oscillazione? 43. Una massa M = 0.50 kg, poggiata su un piano orizzontale liscio, è collegata tramite una molla (k = 450 N/m) ad una parete rigida. Essa esegue delle oscillazioni armoniche di ampiezza A = 20 cm. Quando si trova nel punto di massima elongazione più lontano dalla parete, M viene colpita da una massa m = 0.10 kg che si muove con velocità v = 18 m/s lungo l asse della molla. Dopo l urto le due masse restano unite. Calcolare: (a) la velocità del sistema delle due masse subito dopo l urto; (b) l ampiezza A delle oscillazioni dopo l urto. 44. Due sfere di massa m e M sono inizialmente in quiete e separate di poco. Una terza sfera di massa m si avvicina ad esse con velocità v 0, dalla parte della sfera di eguale massa e lungo la congiungente m con M. Si supponga di avere a che fare con urti elastici frontali. Si dimostri che (a) se è M<m avvengono due urti; se è M>m avvengono tre urti. 45. Una massa m =4 kg si muove di moto rettilineo ed uniforme con velocità v=10 m/sec quando esplode in due frammenti uguali. I due frammenti si sposteranno a velocità costante v 1 =3 m/sec e v 2 e sotto angoli costanti α 1 =30 e α 2 rispetto alla direzione della massa primitiva. Il secondo frammento, durante il moto, urterà assialmente una molla di costante elastica k=1700 N/m. Calcolare la massima compressione l che può subire la molla. OSCILLATORE ARMONICO 46. Due molle, di costante elastica k 1 e k 2, sono attaccate, da due parti opposte, ad un blocco di massa m che può scivolare lungo una superficie orizzontale priva di attrito. Dimostrare che la frequenza di oscillazione del blocco è ν= ν1 2 + ν2 2 dove ν 1 e ν 2 sono le frequenze alle quali oscillerebbe il blocco se fosse collegato solamente o alla molla 1 o alla molla Due molle, di costante elastica k 1 e k 2, sono congiunte insieme e connesse ad un blocco di massa m che può scivolare lungo una superficie orizzontale priva di attrito. Dimostrare che la frequenza di oscillazione del blocco è 1 ν = ν ν 1 dove ν 1 e ν 2 sono le frequenze alle quali oscillerebbe il blocco se fosse collegato solamente o alla molla 1 o alla molla Un oscillatore armonico semplice con una frequenza angolare di 5.0 rad/s, al tempo t = 0 s ha compiuto uno spostamento dalla posizione di equilibrio di 25.0 cm e ha una velocità di 40.0 cm/s. Determinare l ampiezza A dell oscillazione e la costante di fase. 49. Per quanto riguarda le oscillazioni verticali, un automobile si può considerare montata su quattro molle. Le molle di una automobile di massa 1460 kg sono regolate in modo che le vibrazioni abbiano una frequenza di 2.95 Hz. (a) Trovare la costante elastica di ciascuna delle quattro molle (considerate 4 2

5 identiche). (b) Quale sarà la frequenza di vibrazione se sull'auto viaggiano cinque persone aventi in media la massa di 73.2 kg? 50. Si supponga di esaminare le caratteristiche di un sistema di sospensioni di un'automobile di massa 2000 kg. La sospensione "si accorcia" di 10 cm quando il peso di tutta l'automobile è posto su di essa. Inoltre, l'ampiezza della oscillazione diminuisce del 50% durante una oscillazione completa. Trovare i valori della costante elastica k e della costante b della forza di attrito viscoso per il sistema molla-ammortizzatore di ogni ruota. Si supponga che ciascuna ruota sostenga 500 kg. 51. Un'automobile di kg trasporta quattro persone, di 81.6 kg ciascuna, lungo una strada ondulata. La distanza tra le ondulazioni è di 3.96 m. Si osserva che la macchina sobbalza con ampiezza massima quando la sua velocità è di 16.1 Km/h. Ad un certo punto la macchina si ferma e i quattro passeggeri scendono. Di quanto si alza la carrozzeria della macchina sulle proprie sospensioni in seguito alla diminuzione di peso? 52. Un pendolo semplice, di lunghezza 2.23 m e massa 6.74 kg, ha una velocità iniziale di 2.06 m/s quando si trova nella posizione di equilibrio. Nell ipotesi che il pendolo compia un moto armonico semplice, determinare: (a) il periodo del moto, (b) l energia totale e (c) il massimo angolo di spostamento. 53. Calcolare la frequenza di risonanza dei seguenti sistemi: (a) una massa di 3.00 kg collegata ad una molla di costante elastica 240 N/m, (b) un pendolo semplice lungo 1.50 m. 54. Alla massa di 2.00 kg, collegata ad una molla, è applicata la forza esterna F = (3.00N)sin(2πt). Se la costante elastica della molla è 20.0 N/m, determinare (a) il periodo e (b) l ampiezza del moto, assumendo che non vi sia smorzamento. 55. Un oscillatore armonico smorzato è costituito da un blocco (m = 2.00 kg), una molla (k = 10.0 N) e presenta una forza di smorzamento F = -bv. Inizialmente oscilla con una ampiezza di 25.0 cm, che scende a tre quarti di questo valore al termine di quattro oscillazioni complete. (a) qual è il valore di b? (b) Quanta energia è stata dissipata durante queste quattro oscillazioni? 56. Un oscillatore armonico smorzato è costituito da un blocco di massa m = 1.5 kg collegato ad una molla di costante elastica k = 8.0 N/m che si muove in un mezzo che oppone una forza di attrito viscoso R = -b v con b = 0.23 kg/s. Determinare il numero di oscillazioni fatte dal blocco nell intervallo di tempo necessario perché l ampiezza si riduca a ⅓ del valore iniziale. 57. Un oscillatore armonico smorzato è costituito da una molla di costante k = 12.6 N/m e da un corpo di massa m = 2.01 kg, su cui agisce la forza resistiva F = -b v x. L ampiezza iniziale delle oscillazioni vale A 0 = 26.2 cm, ma si riduce a metà di questo valore dopo quattro cicli completi. Si calcoli: (a) il valore di b, (b) l energia dissipata durante i primi quattro cicli. DINAMICA ROTAZIONALE. 58. Un asta omogenea di massa M = 4.0 kg e lunghezza { = 1.0 m in un piano orizzontale è libera di ruotare rispetto ad un asse verticale passante per il suo centro O. Contro l estremo A dell asta viene scagliato, in direzione ortogonale all asta, un proiettile di massa m = 1.0 kg con velocità v = 5.0 m/s. Esso rimane conglobato nell asta, la quale compie N = 20 giri prima di fermarsi. Si calcoli: (a) la velocità angolare ω dell asta subito dopo l urto; (b) il momento meccanico costante τ delle forze frenanti. 59. Una sbarra di lunghezza L = 80 cm e massa m = 2 kg può ruotare liberamente in un piano verticale intorno ad un asse orizzontale passante per un punto A distante L/4 da un estremo. Supponendo che la sbarra sia lasciata libera dalla posizione di equilibrio instabile, determinare, nell'istante in cui la sbarra passa per la posizione orizzontale: (a) la velocità angolare; (b) l'accelerazione angolare. 60. Una sfera di legno, di raggio r =0.1 m e densità ρ=0.48 g/cm 3 è libera di ruotare attorno ad un perno cui è fissata mediante una barra rigida di massa m 1 =1 kg, raggio trascurabile e lunghezza l=0.4 m. Ad un dato istante la sfera, che si trova nella sua posizione di equilibrio stabile, viene colpita da un proiettile di massa m 2 =20 g che si muove di moto rettilineo uniforme lungo una retta orizzontale passante per il centro della sfera. Nell'ipotesi che il proiettile rimanga conficcato nella sfera, calcolare: (a) la velocità minima v 0 che il proiettile deve possedere perché la sfera compia un giro completo attorno al perno; (b) il valore di v 0 nell'ipotesi che la barra venga sostituita da un filo inestensibile di massa trascurabile. 61. Una sbarretta di lunghezza l e massa m, è incernierata intorno ad un asse orizzontale passante per un estremo. Essa viene portata in posizione orizzontale e lasciata andare da ferma. Quando passa per la posizione verticale, il suo estremo compie un urto completamente anelastico contro una massa 5

6 puntiforme m. Trascurando gli attriti della cerniera e dell'aria, calcolare la elongazione massima θ che la sbarretta compie dopo l'urto. 62. Un volano di massa M = 2000 kg e raggio R = 50 cm viene posto in rotazione con accelerazione costante attorno al suo asse e raggiunge la velocità angolare ω=10 rad/s in un intervallo di tempo t=40 s. Calcolare: (a) il momento meccanico M 0 necessario per porre in rotazione il volano, (b) l'accelerazione angolare α del volano, (c) il lavoro necessario per portarlo alla velocità angolare ω, (d) il numero di giri compiuti nel tempo t. 63. Un motore elettrico mette in rotazione un volano costituito da un cilindro omogeneo di raggio R=0.5 m e spessore s=5 cm, costituito in acciaio (ρ=7.6 g/cc). Sapendo che il motore eroga una potenza costante W=1000 W e che all'istante iniziale t 0 la velocità di rotazione è n 0 =100 giri/min, calcolare: (a) gli intervalli di tempo necessari affinché il volano raggiunga le velocità di rotazione n 1 =500 giri/min e n 2 =1000 giri/min; (b) l'accelerazione angolare cui è soggetto il volano in corrispondenza dei tre suindicati valori della velocità angolare. 64. Un cilindro cavo di raggio interno R i =0.20 m, raggio esterno R e =2R i e lunghezza L 1 =0.10 m, costituito da materiale di densità ρ= kg/m 3, ruota con velocità ω 1 =100 rad/s attorno ad un cilindro pieno costruito con lo stesso materiale ed avente raggio R 2 = R i e lunghezza L 2 = 4 L 1. Il secondo cilindro è inizialmente fermo ed è libero di ruotare attorno al suo asse. Dopo un certo tempo i due cilindri, a causa degli attriti, ruoteranno entrambi con velocità ω. Calcolare: (a) la velocità angolare ω; (b) l'energia dissipata. 65. Due cilindri aventi la stessa massa m, uno pieno omogeneo di raggio R e l'altro cavo di raggio esterno R e raggio interno r=r/2, rotolano senza strisciare lungo un piano, inclinato di un angolo α=30 rispetto all'orizzontale. Supponiamo che i due cilindri partano entrambi da fermi dalla quota h=6.0 m. (a) Quale dei due cilindri arriverà per primo alla fine del piano inclinato e quanto tempo impiegherà? (b) Quale sarà la distanza x tra i due cilindri quando il più veloce è arrivato alla fine del piano? 66. Una piattaforma cilindrica di massa m 0 = 1000 kg e raggio R = 3 m è dotata di un cannoncino di massa m = 100 kg, posto sul bordo e caricato con un proiettile di massa m 1 = 10 kg. Il sistema piattaformacannone-proiettile è tenuto in rotazione con velocità angolare costante ω 0 = 30 giri/min da un motore elettrico. Calcolare: (a) in quanto tempo il sistema si ferma se, spento il motore, agisce un momento di attrito di Nm; (b) con quale velocità e in quale verso dovrebbe essere sparato tangenzialmente il proiettile nell istante in cui il motore viene spento, per ridurre ad ½ il tempo di fermata CALORIMETRIA 67. Una quantità m 1 =500 g di acqua è in equilibrio, alla temperatura t 1 =0 C, con una massa m 2 =100 g di ghiaccio. Se nella miscela viene introdotta una massa m 3 =200 g di vapore alla temperatura t 3 =100 C, trovare la temperatura finale t f e la composizione della miscela. 68. Se si mescolano 100 g di ghiaccio a -5 C con 40 g di acqua a 30 C e 10 g di vapore a 100 C a 1atm, che temperatura finale raggiunge la miscela? 69. Un litro di acqua a 25 C è usato per fare del tè ghiacciato. Quanto ghiaccio a -10 C bisogna aggiungere per abbassare la temperatura del tè a 10 C? (Il ghiaccio ha un calore specifico pari a metà del valore per l'acqua). 70. Due pezzi di ghiaccio di uguale massa m sono lanciati l uno contro l altro con velocità uguale in modulo. Si scontrano e si trasformano completamente in vapore. Trovare la minima velocità necessaria perché ciò avvenga, supponendo che il ghiaccio si trovi inizialmente alla temperatura di 0 C. EQUAZIONE DI STATO E GAS PERFETTI 71. Un gas perfetto si espande quasi staticamente lungo la curva del piano (p,v) di equazione V p 3 = k dove k è una costante assegnata. Durante l espansione la temperatura aumenta o dimimuisce? 72. Una ditta A vende gas, non liquefatto, in bombole da 300 litri (alla pressione di 3 atmosfere). Il prezzo è di per bombola. Un'altra ditta B vende lo stesso gas, non liquefatto, in bombole da 350 litri (pressione 2 atmosfere) a per bombola. Le pressioni sono riferite in entrambi i casi alla temperatura di 20 C. Se foste direttori di un laboratorio che deve utilizzare quel gas alla pressione atmosferica, a quale ditta vi rivolgereste in base a considerazioni di convenienza economica? (Si tratti il gas come perfetto e si supponga che le ditte offrano le stesse condizioni di sicurezza, praticità, etc.). 6

7 73. La figura mostra la relazione fra pressione e volume durante una trasformazione quasistatica di un sistema PVT. Calcolare il lavoro compiuto dal sistema per ognuna delle trasformazioni 1 2, 2 3 e 3 1 e per la trasformazione ciclica PRIMO PRINCIPIO 74. Una mole di gas ideale biatomico compie una trasformazione descritta dall'equazione: p = k V con k = 2.00 atm/{. Sapendo che il volume iniziale è V A =4.00 { e che il volume finale V B è il doppio di quello iniziale, calcolare: a) il lavoro L compiuto durante la trasformazione; b) la variazione U di energia interna del gas; c) la quantità di calore Q assorbita dal gas. 75. Mezza mole di un gas perfetto monoatomico compie una trasformazione irreversibile tra due stati alla stessa temperatura T = 300 K, assorbendo una quantità di calore Q = 900 J. Quanto lavoro W compie? Quale dovrebbe essere il rapporto tra il volume finale V f e quello iniziale V i per ottenere lo stesso lavoro con una trasformazione isoterma reversibile? 76. Un cilindro a pareti adiabatiche è diviso in due parti A e B da una parete diatermica; la parte A è chiusa da un pistone adiabatico. Inizialmente sia A che B contengono n=2 moli di gas perfetto monoatomico alla pressione p 0 =1 atm e temperatura t 0 =17 C. Lasciando il pistone libero di muoversi senza attriti, si riscalda il gas in B, mediante una resistenza, fornendogli 2.68 kj. Si calcoli la temperatura finale. 77. Del gas perfetto monoatomico alla temperatura di 300 K viene raffreddato in maniera isocora fino a che la sua pressione si dimezza. Successivamente esso si espande in maniera isobara finché la temperatura finale diventa uguale a quella iniziale. Rappresentare la trasformazione, supposta reversibile, sul piano pv e determinare il lavoro compiuto, il calore scambiato e la variazione di energia interna per l intera trasformazione, assumendo il numero di moli n = 10 3 moli. MACCHINE TERMICHE 78. Un inventore sostiene di aver progettato un motore che assorbe J/s alla temperatura di 400 K, cede J/s alla temperatura di 200 K e sviluppa 15 kw di potenza. Consigliereste di investire denaro nella produzione di questo motore? 79. Una mole di gas ideale biatomico, alla pressione iniziale di 4.00 atm ed alla temperatura di 300 K, compie il seguente ciclo reversibile: a) si espande isotermicamente finché il suo volume raddoppia; b) viene compresso fino al suo volume originale a pressione costante; c) viene compresso isotermicamente fino alla pressione di 4.00 atm; d) si espande a pressione costante fino al suo volume originale. I) Fare un grafico accurato della trasformazione ciclica in un diagramma pv. II) Calcolare il lavoro L fatto per ogni ciclo. III) Calcolare il calore totale Q assorbito per ogni ciclo. IV) Calcolare il rendimento η del ciclo. 80. Utilizzando una macchina frigorifera che ha ω = ½ ω c si vuole congelare una massa m = 2.0 kg di acqua alla temperatura iniziale di 15 C. La temperatura della cella frigorifera è di 0 C mentre quella dell'ambiente circostante è 27 C. Il lavoro necessario per far funzionare il frigorifero viene fornito da una macchina reale avente rendimento η = ½ η c ed operante tra i serbatoi t 1 =227 C e t 2 =27 C. Calcolare le quantità di calore scambiate da ciascun dispositivo con i rispettivi serbatoi. 7

8 ENTROPIA 81. Una massa m=1 kg di acqua a temperatura T 1 =273K è posta a contatto con un grande scambiatore di calore a temperatura T 2 =373K. (a) Quando l'acqua raggiunge la temperatura T 2, qual è la sua variazione di entropia e quella dell'universo? (b) Se l'acqua fosse riscaldata da T 1 a T 2 portandola a contatto prima con un serbatoio a temperatura T 0 =323 K e successivamente con uno a temperatura T 2, quale sarebbe la variazione di entropia dell'universo? (c) Come si potrebbe portare l'acqua da T 1 a T 2 senza far variare l'entropia dell'universo? 82. Un recipiente a pareti rigide e adiabatiche è diviso in due parti uguali di volume V 0 =54 { da un setto adiabatico in grado di muoversi senza attrito. Entrambe le parti contengono uno stesso gas ideale monoatomico a temperatura t 0 =0 C e pressione p 0 =1atm. Si scalda lentamente il gas in A fino a quando il pistone non ha compresso il gas in B alla pressione p f =3 atm. Calcolare la variazione di entropia del sistema. 83. Una mole di vapore di una sostanza pura, partendo dallo stesso stato iniziale a temperatura T 1 =400 K e pressione atmosferica, compie due trasformazioni a contatto con un serbatoio di calore a temperatura T 2 =600 K. La prima è una trasformazione isocora e la seconda una trasformazione isobara in cui si verifica una variazione di volume V=0.48 { e di energia interna pari a 2/3 di quella della prima trasformazione. Sapendo che γ=1.32, e supponendo c p e c v costanti nell'intervallo di temperatura considerato, calcolare la variazione di entropia del sistema e dell'universo, separatamente per le due trasformazioni. 84. Una mole di gas ideale monoatomico esegue il ciclo reversibile mostrato in figura nel piano T-S. (a) Sapendo che T 2 =2 T 1, calcolare il rendimento η del ciclo ABC. (b) Sapendo inoltre che t 2 =27 C e che S 2 -S 1 =1.60 J/K, calcolare i lavori compiuti lungo le tre trasformazioni. 85. Si supponga di prendere 5 litri di acqua alla temperatura di 80 C, di metterli a contatto termico con un termostato alla temperatura di 10 C ed attendere che il tutto si porti all'equilibrio termico. (a) Qual è la temperatura finale del sistema? (b) Di quanto è aumentata l'entropia dell'universo? 86. Una macchina termica lavora, utilizzando n= 1.00 moli di gas ideale biatomico, su un ciclo costituito da: I ) una espansione isobara A B, II) una espansione adiabatica reversibile B C, III) una isocora C D, IV) una compressione adiabatica reversibile D A. Sapendo che la macchina scambia calore con due soli serbatoi a temperatura T B =1000 K e T D =400 K, che p B = N/m 2 e che V D = m 3, calcolare: (a) il rendimento del ciclo; la variazione S U dell universo. 87. Una mole di gas perfetto monoatomico, che occupa un volume iniziale V 1, si espande isotermicamente a temperatuta T 1 = 300 K fino al volume V 2 = 4 V 1, prelevando calore da un serbatoio a temperatura T S = 400 K e compiendo un lavoro pari a 3000 J. Calcolare la variazione di entropia dell universo. 88. Un gas perfetto, inizialmente a temperatura T 1 = 200 K, pressione p 1 e volume V 1, compie un espansione libera (trasformazione adiabatica irreversibile alla fine della quale il gas perfetto si trova alla stessa temperatura iniziale) fino ad un certo volume V 2. Il gas quindi viene compresso adiabaticamente e reversibilmente fino ad uno stato (3), in cui la pressione è uguale a quella iniziale e la temperatura è T 3 = 630 K. Infine il gas è riportato allo stato iniziale mediante una trasformazione isobara reversibile.calcolare il lavoro compiuto, il calore scambiato, la variazione di energia interna e la variazione di entropia in ciascuna delle trasformazioni. Si assuma il numero di moli n = 8 e γ=c p /c v = 7/ Un gas ideale biatomico in equilibrio con l ambiente circostante (p 0 = 1 atm, V 0 = 0.01 m 3, T 0 = 293 K), viene compresso adiabaticamente e reversibilmente fino al volume V = m 3. Dopo un certo tempo il gas ritorna alla temperatura iniziale T 0 a causa dell imperfetto isolamento termico. Calcolare: (a) la massima pressione raggiunta, (b) la massima temperatura raggiunta, (c) la pressione finale del gas, (d) la variazione di entropia del gas. 90. Una macchina termica preleva calore da una sorgente S 3 costituita da acqua e vapore saturo a temperatura T 3 = 373 K e cede calore a una sorgente S 2, un termostato, alla temperatura T 2 = 323 K e 8

9 alla sorgente S 1 costituita da acqua e ghiaccio alla temperatura T 1 = 273 K. Si fa funzionare la macchina e si condensa una massa m 3 = kg di vapore (calore latente di condensazione J/kg). Il rendimento della macchina sia η = e nel processo S 2 riceva una quantità di calore Q 2 = 13.4 kj. Calcolare la massa m 1 di ghiaccio che si è fuso (calore latente di fusione J/kg) e la variazione di entropia della sorgente S 1. 9