A B C D E. Capitolo 5 Relazioni insiemistiche

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1 Capitolo 5 Relazioni insiemistiche Il concetto di insieme corrisponde a quello che nel linguaggio comune è sinonimo di categoria, collezione, classe, raccolta. Un insieme può essere formato dai più svariati elementi, concreti o astratti. Per esempio l insieme degli alunni delle scuole elementari, l insieme dei numeri naturali, l insieme delle consonanti dell alfabeto ecc. Le rappresentazioni di insiemi sono test logici che si esprimono graficamente con i diagrammi di Eulero Venn. Questi diagrammi, impiegati per la prima volta dal matematico svizzero Leonard Euler ( ) e ripresi dall inglese John Venn ( ), racchiudono all interno di una cornice dalla forma tonda o ovoidale tutti gli elementi appartenenti a un insieme. Il test di rappresentazioni di insiemi richiede un ragionamento di tipo sillogico e una riflessione sui rapporti di classificazione e sui concetti di parte e tutto. Se, per esempio, si deve rappresentare graficamente mediante uno dei cinque diagrammi che seguono l insieme ANIMALI - OVINI - PECORE A B C D E la figura da scegliere è la A perché è formata da tre cerchi concentrici. L insieme grande, infatti, corrisponde ad ANIMALI; perché tutte le pecore sono animali. Ma anche, tutti gli ovini sono animali, quindi entrambi gli insiemi sono interamente contenuti nell insieme Animali; inoltre tutte le pecore sono ovini, quindi questo insieme è interamente contenuto non solo nell insieme ANIMALI, ma anche nell insieme OVINI. Se invece il grafico deve illustrare la relazione tra AUSTRALIANI FRANCESI EUROPEI la figura che la esprime in maniera corretta è la E. L insieme FRANCESI, infatti, è interamente contenuto nell insieme EUROPEI, in quanto tutti i francesi sono europei. Il terzo insieme, dato in questo caso da «Australiani», non fa parte di nessuno degli altri due insieme risultando così estraneo. Gli esempi seguenti, interamente svolti, ti aiuteranno a capire come procedere speditamente nella risoluzione di questa tipologia di prova. Capitolo 5 Relazioni insiemistiche 47

2 Esempio n. 1 Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati. Acqua, mare, laghi. A Diagramma 6 D Diagramma 1 La risposta corretta è la A. Perché? Poniti le domande seguenti e lo capirai: 1) l acqua appartiene all insieme del mare? NO (ATTENZIONE: non farti confondere dalla constatazione che il mare è costituito da acqua): quando due insiemi non hanno elementi in comune sono disgiunti, ovvero bisogna disegnarli come mostrato di seguito; mare acqua 2) i laghi appartengono all insieme del mare? NO: i laghi sono una cosa, il mare un altra. Quindi l insieme dei laghi e quello del mare sono disgiunti (in questo caso diresti nessun lago è un mare ed è la parola NESSUN che ti deve far intuire che i due insiemi sono disgiunti); 3) i laghi appartengono all insieme dell acqua? NO, per ragioni analoghe a quelle espresse nella risposta alla prima domanda. Quindi l insieme dei laghi è disgiunto (ovvero, bisogna disegnarlo esternamente) sia rispetto a quello dell acqua, sia rispetto a quello del mare, come mostrato nell immagine seguente. mare acqua laghi 48 Capitolo 5 Relazioni insiemistiche

3 Esempio n. 2 Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati. Polacchi, nuotatori, ragazzi. A Diagramma 3 D Diagramma 6 La risposta corretta è la C. Perché? Anche in questo caso chiediti: 1) i polacchi sono nuotatori? ALCUNI, nel senso che esistono polacchi che sanno nuotare, ma è verosimile che esistano anche polacchi che non sanno nuotare. La parola ALCUNI ti deve fare intuire che l insieme dei polacchi è intersecato all insieme dei nuotatori, come mostrato di seguito; polacchi nuotatori 2) i ragazzi sono nuotatori? ALCUNI, nel senso che non tutti i ragazzi sanno nuotare, alcuni ne sono capaci, altri meno. Anche in questo caso, la parola ALCUNI ti deve fare intuire che l insieme dei ragazzi è intersecato all insieme dei nuotatori; nuotatori ragazzi 3) i ragazzi sono polacchi? ALCUNI, ovvero esistono ragazzi polacchi, ma non tutti sono polacchi, esistono anche ragazzi di altre nazionalità. L insieme dei ragazzi, quindi, oltre ad essere intersecato all insieme dei nuotatori, è intersecato anche all insieme dei polacchi, come mostrato nell illustrazione seguente. polacchi nuotatori ragazzi Capitolo 5 Relazioni insiemistiche 49

4 Test 1) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Numeri compresi tra 6 e 9, Numeri compresi tra 5 e 15, Numeri compresi tra 13 e 23 A Diagramma 7 D Diagramma 1 2) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Conducenti di autobus, Cittadini di Sassari, Persone simpatiche C Diagramma 1 3) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Amanti della fotografia, Dentisti, Giapponesi D Diagramma 1 4) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Cittadini piemontesi, Statue, Persone simpatiche B Diagramma 3 D Diagramma 6 5) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Persone di colore, Ingegneri, Olandesi B Diagramma 6 C Diagramma 1 50 Capitolo 5 Relazioni insiemistiche

5 6) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Studentesse beneventane, Studentesse nate nel 1976, Studentesse fidanzate C Diagramma 2 7) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Funivie, Fondisti, Sciatori B Diagramma 3 C Diagramma 6 8) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Bevande, Bicchieri, Vini B Diagramma 6 9) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Dischi, Strumenti musicali, Zampogne B Diagramma 3 C Diagramma 1 10) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Penne stilografiche, Matite, Cartucce d inchiostro A Diagramma 6 C Diagramma 2 D Diagramma 5 11) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Stilisti, Americani, Riviste 12) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Numeri positivi minori di 6, Numeri compresi fra 0 e 20, Numeri multipli di 7 A Diagramma 7 Capitolo 5 Relazioni insiemistiche 51

6 13) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Numeri compresi tra 10 e 20, Numeri compresi tra 10 e 50, Numeri compresi tra 10 e 30 A Diagramma 4 C Diagramma 6 D Diagramma 1 14) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Nigeriani, Magri, Diplomati C Diagramma 6 15) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Numeri compresi tra 5 e 80, Numeri compresi tra 5 e 20, Numeri compresi tra 5 e 40 A Diagramma 4 D Diagramma 5 16) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Studenti, Maggiorenni, Persone colte C Diagramma 6 17) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Violoncellisti, Musicisti, Conservatori B Diagramma 6 C Diagramma 4 D Diagramma 5 18) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Forchette, Sedie, Oggetti in plastica A Diagramma 3 B Diagramma 5 C Diagramma 4 D Diagramma 2 52 Capitolo 5 Relazioni insiemistiche

7 19) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Camerieri, Uomini sposati, Bicchieri B Diagramma 5 D Diagramma 2 20) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Analfabeti, Inglesi, Disoccupati C Diagramma 6 21) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Opere d arte preziose, Dipinti, Impressionisti B Diagramma 5 C Diagramma 2 22) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Città italiane, Città umbre, Regioni italiane C Diagramma 4 D Diagramma 6 23) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Atleti, Tifosi di calcio, Palloni da calcio B Diagramma 3 D Diagramma 2 24) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Cantanti, Laureati, Dischi B Diagramma 6 C Diagramma 2 25) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Atleti, Cittadini canadesi, Persone ricche D Diagramma 6 Capitolo 5 Relazioni insiemistiche 53

8 26) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Carpe, Pesci, Pescatori C Diagramma 1 D Diagramma 7 27) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Numeri compresi tra 5 e 8, Numeri compresi tra 4 e 14, Numeri compresi tra 12 e 22 A Diagramma 7 B Diagramma 3 C Diagramma 1 28) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Giocatori di tennis, Giovani, Atei B Diagramma 3 C Diagramma 1 29) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Insetti, Gamberi, Mosche C Diagramma 4 30) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Automezzi, Camion, Caselli autostradali C Diagramma 4 D Diagramma 5 31) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Sedie, Chiodi, Martelli A Diagramma 6 D Diagramma 2 32) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Monete europee, Franchi svizzeri, Dollari statunitensi 54 Capitolo 5 Relazioni insiemistiche

9 C Diagramma 6 33) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Ingegneri, Laureati, Analfabeti 34) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Giornate lunghe, Giornate calde, Mari C Diagramma 4 35) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Sacerdoti, Persone calve, Poliziotti A Diagramma 3 C Diagramma 2 D Diagramma 1 36) Individuare il diagramma che soddisfa la relazione insiemistica esistente tra i termini dati: Verbi transitivi, Verbi della prima coniugazione, Avverbi D Diagramma 2 Capitolo 5 Relazioni insiemistiche 55

10 Risposte 1) Risposta esatta: A Tutti i Numeri compresi tra 6 e 9 sono compresi nell insieme dei Numeri compresi tra 5 e 15. Solo alcuni dei Numeri compresi tra 5 e 15 sono compresi nell insieme dei Numeri compresi tra 13 e 23; nessuno dei Numeri compresi tra 6 e 9 appartiene all insieme dei Numeri compresi tra 13 e 23. 2) Risposta esatta: A Alcuni elementi degli insiemi dei Conducenti di autobus, dei Cittadini di Sassari e delle Persone simpatiche sono in comune per cui i relativi insiemi si intersecano. 3) Risposta esatta: D Alcuni elementi degli insiemi degli Amanti della fotografia, degli Artisti e dei Giapponesi sono in comune per cui i relativi insiemi si intersecano. 4) Risposta esatta: D Alcuni Cittadini piemontesi sono compresi nell insieme Persone simpatiche e viceversa. Nessuna Statua è compresa negli altri insiemi. 5) Risposta esatta: C Alcuni elementi degli insiemi delle Persone di colore, degli Ingegneri e degli Olandesi sono in comune per cui i relativi insiemi si intersecano. 6) Risposta esatta: D Alcuni elementi degli insiemi, Studentesse beneventane, Studentesse nate nel 1976, Studentesse fidanzate, sono in comune per cui i relativi insiemi si intersecano. 7) Risposta esatta: C Alcuni Fondisti sono Sciatori e viceversa. Nessuna Funivia è compresa negli altri insiemi. 8) Risposta esatta: B Tutti i Vini sono compresi nell insieme delle Bevande. Nessun Bicchiere è compreso nell insieme dei Vini, né in quello delle Bevande. 9) Risposta esatta: B Tutte le Zampogne sono Strumenti musicali per cui il primo insieme è compreso nel secondo. Nessun Disco è uno strumento musicale o una Zampogna per cui questo insieme è disgiunto dagli altri due. 10) Risposta esatta: A I tre insiemi, Penne stilografiche, Matite e Cartucce d inchiostro non hanno alcun elemento in comune per cui i relativi insiemi sono disgiunti. 11) Risposta esatta: A Alcuni Stilisti sono compresi nell insieme degli Americani e viceversa. Nessun elemento dell insieme delle Riviste è compreso in Stilisti, né in Americani. 56 Capitolo 5 Relazioni insiemistiche

11 12) Risposta esatta: B Tutti i Numeri positivi minori di 6 sono compresi nell insieme dei Numeri compresi fra 0 e 20. Solo alcuni Numeri multipli di 7 sono compresi nei Numeri tra 0 e 20; nessun Numero multiplo di 7 è compreso nei Numeri positivi minori di 6. 13) Risposta esatta: D Tutti i Numeri da 10 a 20 sono compresi nei Numeri da 10 a 30 e nei Numeri da 10 a 50. Tutti i Numeri da 10 a 30 appartengono all insieme dei Numeri da 10 a ) Risposta esatta: C Alcuni elementi degli insiemi, Nigeriani, Magri, Diplomati, sono in comune per cui i relativi insiemi si intersecano. 15) Risposta esatta: C Tutti i Numeri compresi tra 5 e 20 appartengono all insieme dei Numeri compresi tra 5 e 40 e dei Numeri compresi tra 5 e 80. Tutti i Numeri compresi tra 5 e 40 appartengono all insieme dei Numeri compresi tra 5 e ) Risposta esatta: A Alcuni elementi degli insiemi, Studenti, Maggiorenni, Persone colte, sono in comune per cui i relativi insiemi si intersecano. 17) Risposta esatta: D Tutti i Violoncellisti sono Musicisti per cui il primo insieme è compreso nel secondo. Nessun Conservatorio è un Violoncellista o un Musicista per cui tale insieme sarà disgiunto dagli altri due. 18) Risposta esatta: B Alcune Forchette ed alcune Sedie sono comprese nell insieme degli Oggetti in plastica. 19) Risposta esatta: B Alcuni Camerieri sono compresi nell insieme Uomini sposati. Nessun Bicchiere è compreso negli altri insiemi. 20) Risposta esatta: B Alcuni elementi degli insiemi degli Analfabeti, degli Inglesi e dei Disoccupati sono in comune per cui i relativi insiemi si intersecano. 21) Risposta esatta: B Alcuni Dipinti sono Opere d arte preziose per cui questi due insiemi sono intersecati. Nessun Impressionista è un Opera d arte preziosa o un Dipinto per cui questo insieme è disgiunto dagli altri due. 22) Risposta esatta: D Tutte le Città umbre sono Italiane per cui il primo insieme è compreso nel secondo. Nessuna Regione italiana è una Città italiana o umbra per cui questo insieme è disgiunto dagli altri. 23) Risposta esatta: A Alcuni Tifosi di calcio sono Atleti per cui tali insiemi saranno intersecati. Nessun Pallone è un Tifoso o un Atleta, per cui tale insieme sarà disgiunto dagli altri due. Capitolo 5 Relazioni insiemistiche 57

12 24) Risposta esatta: D Alcuni Cantanti sono compresi nell insieme dei Laureati e viceversa. Nessun Disco è compreso nell insieme dei Cantanti, né nell insieme dei Laureati. 25) Risposta esatta: D Alcuni elementi degli insiemi degli Atleti, dei cittadini Canadesi e delle Persone ricche sono in comune per cui i relativi insiemi si intersecano. 26) Risposta esatta: A Tutti le Carpe sono Pesci per cui il primo insieme è compreso nel secondo. I Pescatori non sono ne Carpe ne Pesci per cui questo insieme è disgiunto dagli altri due. 27) Risposta esatta: A Tutti i Numeri compresi tra 5 e 8 sono compresi nell insieme Numeri compresi tra 4 e 14. Solo alcuni Numeri compresi tra 12 e 22 appartengono anche all insieme Numeri compresi tra 4 e ) Risposta esatta: B Alcuni elementi dei Giocatori di Tennis, dei Giovani e degli Atei sono in comune per cui i relativi insiemi si intersecano. 29) Risposta esatta: B Tutte le Mosche sono comprese nell insieme Insetti. Nessun Gambero è compreso negli altri insiemi. 30) Risposta esatta: A Tutti i Camion sono compresi nell insieme degli Automezzi. Nessun Casello autostradale è compreso tra i Camion, né tra gli Automezzi. 31) Risposta esatta: C I tre insiemi, Sedie, Chiodi e Martelli, non hanno alcun elemento in comune per cui i relativi insiemi sono disgiunti. 32) Risposta esatta: A Tutti i Franchi svizzeri sono compresi nell insieme delle Monete europee. Nessun Dollaro è compreso nell insieme dei Franchi svizzeri, né in quello delle Monete europee. 33) Risposta esatta: C Tutti gli Ingegneri sono compresi nell insieme dei Laureati. Nessun Analfabeta è compreso nell insieme degli Ingegneri, né in quello dei Laureati. 34) Risposta esatta: A Alcune Giornate lunghe sono comprese nell insieme delle Giornate calde e viceversa. Nessun Mare è compreso nelle Giornate calde, né nelle Giornate lunghe. 35) Risposta esatta: A Tra Sacerdoti e Poliziotti vi sono alcune Persone calve. 36) Risposta esatta: D Alcuni dei Verbi transitivi sono compresi nell insieme Verbi della prima coniugazione e viceversa. Nessun Avverbio è compreso in Verbi transitivi, né in Verbi della prima coniugazione. 58 Capitolo 5 Relazioni insiemistiche