EORIA. Poligoni. Triangoli. G. Bonola - I. Forno S. Lattes & C. Editori SpA

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1 EORI I diagrammi di Eulero-enn Per rappresentare graficamente gli insiemi usiamo i diagrammi di Eulero-enn. orse vi sarete chiesti chi era il signor Eulero enn. In realtà questi signori erano due e non si sono mai conosciuti, essendo vissuti a più di un secolo di distanza l uno dall altro. Leonhard Euler (nome spesso italianizzato in Eulero), era svizzero e fu professore di fisica e di matematica nelle più importanti ccademie d Europa dell epoca: erlino e San Pietroburgo. u matematico, fisico, astronomo e filosofo, contribuì allo sviluppo della matematica per quanto riguarda l aritmetica, la geometria e l algebra ed è ritenuto il più grande scienziato del 700. Eulero approfondì le intuizioni che Leibnitz (filosofo e matematico del 600) aveva avuto sulla possibilità di rappresentare i ragionamenti mediante simboli, schemi, rappresentazioni grafiche. bbiamo testimonianza dell uso dei «cerchi di Eulero» in una sua opera di divulgazione scientifica: Lettere a una principessa tedesca. Si tratta di 234 lettere scritte, tra il 1768 e il 1772, alla figlia del marchese di randeburgo, all epoca la più importante regione della Germania settentrionale. Eulero era stata affidata l educazione scientifica della signorina ed egli utilizzò i suoi «cerchi» per spiegarle alcuni modi di ragionare. Eulero rappresenta alcune affermazioni mediante cerchi e le relazioni tra le affermazioni risultano rappresentate dalla posizione reciproca dei cerchi. Ecco un esempio: 1.Tutti i rettili sono vertebrati 2.Tutte le lucertole sono rettili ertebrati Rettili Lucertole Se si rappresentano i vertebrati con un cerchio, i rettili saranno un cerchio che sta dentro quello dei vertebrati. Le lucertole saranno, a loro volta, un cerchio che sta dentro ai rettili. Dallo schema dei «cerchi di Eulero» si possono osservare immediatamente le posizioni reciproche dei cerchi che rappresentano le relazioni tra le affermazioni e si può ricavare una nuova affermazione: che tutte le lucertole sono vertebrati. ediamo un altro esempio: 1.Tutti i rettili sono vertebrati 2.Tutte le lucertole sono animali con quattro zampe ertebrati Rettili nimali a 4 zampe Lucertole G. onola - I. orno S. Lattes & C. Editori Sp 1

2 EORI Questa volta il cerchio delle lucertole sta dentro un cerchio (quello degli animali a quattro zampe), che non è il cerchio già rappresentato. L affermazione riguardante le lucertole sarà quindi rappresentata da due cerchi separati dai precedenti. L osservazione dello schema ci dice che non possiamo ricavare alcuna nuova affermazione. John enn ( ) era un matematico e statistico inglese, nonché pastore della Chiesa Evangelica. Dedicò gran parte della sua ricerca allo studio della logica matematica, definendo l uso dei diagrammi. Insegnò logica e teoria della probabilità presso l università di Cambridge. Egli precisò meglio sia la relazione tra i «cerchi» di Eulero e le affermazioni che questi potevano rappresentare, sia il possibile uso di queste rappresentazioni. Eulero e enn concepirono i loro diagrammi come delle circonferenze che permettessero di creare delle relazioni tra insiemi. Infatti dalla seguente rappresentazione si deduce che ogni triangolo è un poligono. Poligoni Triangoli Noi consideriamo diagrammi di Eulero-enn delle linee chiuse che permettono di effettuare una netta separazione tra ciò che sta all interno e ciò che sta all esterno. In questo modo è possibile collocare all interno della linea chiusa tutti gli elementi che fanno parte dell insieme che si prende in considerazione, all esterno tutti gli altri. I diagrammi vengono utilizzati anche per rappresentare le operazioni insiemistiche, per risolvere problemi di logica, per rappresentare relazioni tra classi di oggetti, per rappresentare relazioni tra insiemi. 2 G. onola - I. orno S. Lattes & C. Editori Sp

3 EORI Giochi con gli insiemi E ora, volete mettervi alla prova? (attenzione la soluzione non è sempre unica) 1 Un esercizio facile facile! Osservate il diagramma di Eulero enn e indicate se le affermazioni che seguono sono ERE o LSE a Tutti i gatti sono mammiferi. b Tutti i felini sono mammiferi. c Tutti i vertebrati sono gatti. d Tutti i mammiferi sono gatti. e Tutti i mammiferi sono vertebrati. ertebrati Mammiferi elini Gatti 2 Osserva ora la seguente rappresentazione. Paola Ezio Ilaria Si può affermare che: a Paola è nel cerchio ma nel cerchio. b Ezio è nel cerchio nel cerchio. c Ilaria è nel cerchio ma nel cerchio. 3 Completa le frasi facendo riferimento alla figura riportata qui sotto. Roberto Luigi Carlo a è nel cerchio ma non nel cerchio. b è sia nel cerchio sia nel cerchio. c Non è vero che è sia nel cerchio sia nel cerchio. G. onola - I. orno S. Lattes & C. Editori Sp 3

4 EORI 4 Piero Luca Lorenzo a è sia nel cerchio sia nel cerchio. b è nel cerchio ma non nel cerchio. c Non è vero che e sono entrambi nel cerchio. 5 C a è nel cerchio ma né nel cerchio né nel cerchio. b e e sono nel cerchio. c Non è vero che e sono nello stesso cerchio. d è sia nel cerchio sia nel cerchio. e e sono nel cerchio ma non nel cerchio. 6 Prova ora a completare le figure tenendo conto delle frasi. a nna e Lucia sono sia nel cerchio sia nel cerchio. b Marco è nel cerchio ma non nel cerchio. 7 a e sono nel cerchio. b è sia nel cerchio sia nel cerchio. 4 G. onola - I. orno S. Lattes & C. Editori Sp

5 EORI 8 a 3 e 5 sono sia nel cerchio sia nel cerchio ma non nel cerchio C. b 7 è in tutti e tre i cerchi. c 11 è nel cerchio C ma né nel cerchio né nel cerchio. C 9 C a 2 è sia nel cerchio sia nel cerchio. b 8 è sia nel cerchio sia nel cerchio C. c 4 è nel cerchio ma non nel cerchio C. d 16 è nel cerchio. G. onola - I. orno S. Lattes & C. Editori Sp 5