Algoritmi di progettazione di basi di dati relazionali e altre dipendenze

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1 Algoritmi di progettazione di basi di dati relazionali e altre dipendenze Nel Capitolo 11 è stata illustrata la tecnica di progettazione relazionale top-down e i relativi concetti che risultano ampiamente utilizzati negli attuali strumenti commerciali per la progettazione di basi di dati. La procedura prevede la progettazione di uno schema concettuale er o eer e la corrispondente traduzione in relazionale mediante un procedimento come quello descritto nel Capitolo 9. Le chiavi primarie sono assegnate a ogni relazione sulla base delle dipendenze funzionali conosciute. Il processo successivo può essere denominato progettazione relazionale per analisi e prevede che le relazioni definite secondo l approccio precedente o quelle ereditate da file, form o altre sorgenti precedenti vengano analizzate per identificare dipendenze funzionali indesiderate. Tali dipendenze vengono rimosse per mezzo di una successiva procedura di normalizzazione descritta nel Paragrafo 11.3 insieme con le definizioni delle relative forme normali, che permettono il miglioramento progressivo della qualità di progettazione di ogni singola relazione. Nel Paragrafo 11.3 è stato ipotizzato che le chiavi primarie fossero assegnate a ogni singola relazione, mentre nel Paragrafo 11.4 si è presentato un approccio di normalizzazione più generale in cui, per ogni relazione, venivano considerate tutte le chiavi candidate. In questo capitolo partiremo dalla teoria delle forme normali e delle dipendenze funzionali, multivalore e di join con l obiettivo di analizzare tre diversi punti. Per prima cosa discuteremo il concetto di inferenza di nuove dipendenze funzionali da un insieme dato e analizzeremo nuove nozioni tra cui la copertura, la copertura minimale e l equivalenza. Concettualmente è necessario comprendere la semantica degli attributi di una relazione in modo completo e conciso, e questo lo si può fare mediante il concetto di copertura minimale. Discuteremo quindi le proprietà desiderabili dei join non-additivi (senza perdita o lossless) e di conservazione delle dipendenze funzionali. Presenteremo un algoritmo generale per la verifica della non-additività dei join su un insieme di relazioni. In seguito, descriveremo un approccio relativo alla progettazione relazionale per sintesi delle dipendenze funzionali. Si tratta di un approccio bottom-up alla progettazione in cui si ipotizza che le dipendenze funzionali conosciute tra gli insiemi di attributi dell universo del discorso

2 2 Approfondimento Web (UoD, universe of discourse) vengano fornite come input. Introdurremo algoritmi che permettono di ottenere le forme normali auspicabili, cioè la 3NF e la bcnf, e una o entrambe le proprietà di non-additività dei join e di conservazione delle dipendenze funzionali. Sebbene l approccio per sintesi si riveli interessante come approccio formale, esso non viene impiegato nella pratica per la progettazione di basi di dati di grandi dimensioni a causa della difficoltà di fornire tutte le possibili dipendenze funzionali prima di cominciare la progettazione. Invece, seguendo l approccio presentato nel Capitolo 11, le decomposizioni successive e i raffinamenti progressivi dello schema sono più gestibili e possono evolvere nel tempo. L obiettivo finale di questo capitolo è discutere ulteriormente la nozione di dipendenza funzionale multivalore (MVD) introdotta nel Capitolo 11 e trattare brevemente gli altri tipi di dipendenze che sono state identificate. Nel Paragrafo 1 vedremo le regole di inferenza per le unzionali e le useremo per illustrare i concetti di copertura, equivalenza e copertura minimale tra dipendenze funzionali. Nel Paragrafo 2 descriveremo prima le due auspicabili proprietà delle decomposizioni, cioè la proprietà di conservazione delle dipendenze e la proprietà di join senza perdita, entrambe utilizzate dagli algoritmi di progettazione per ottenere delle decomposizioni auspicabili. È bene notare che per le forme normali superiori come la 2NF, la 3NF e la bcnf, non è sufficiente verificare gli schemi di relazione in modo indipendente l uno dall altro. Affinché si possa parlare di uno schema relazionale di buona qualità, le relazioni risultanti devono soddisfare collettivamente queste due ulteriori proprietà. Nel Paragrafo 3 tratteremo lo sviluppo di algoritmi di progettazione relazionale che iniziano con uno schema di relazione molto ampio chiamato relazione universale, ovvero un ipotetica relazione contenente tutti gli attributi di interesse. Questa relazione viene decomposta (o, in altre parole, le dipendenze funzionali date vengono sintetizzate) in relazioni che soddisfano una certa forma normale come la 3NF o la bcnf e che soddisfano anche una o entrambe le proprietà auspicabili. Nel Paragrafo viene introdotto il concetto di dipendenza multivalore (mvd) seguito dalle nozioni di inferenza ed equivalenza applicate alle MVD. Infine, nel Paragrafo 6 completeremo la discussione sulle dipendenze tra i dati introducendo le dipendenze di inclusione e le dipendenze modello. Le dipendenze di inclusione possono rappresentare vincoli di integrità referenziale e vincoli di classe/sottoclasse tra relazioni. Le dipendenze modello sono un modo per rappresentare qualunque vincolo generalizzato sugli attributi. Discuteremo inoltre alcune situazioni in cui, per stabilire e verificare una dipendenza funzionale tra attributi, è necessario definire una procedura o una funzione. Infine, discuteremo brevemente la forma normale dominio-chiave (DKNF, domain-key normal form), considerata la forma normale più generale. 1. Argomenti ulteriori sulle dipendenze funzionali: regole di inferenza, equivalenza e copertura minimale Nel Paragrafo 11.2 (Capitolo 11) abbiamo introdotto il concetto di dipendenza funzionale (DF), l abbiamo illustrata con alcuni esempi e definito una notazione per denotare DF multiple su una singola relazione. Abbiamo identificato e discusso le problematiche

3 Algoritmi di progettazione di basi di dati relazionali e altre dipendenze 3 relative alle dipendenze funzionali nei Paragrafi 11.3 e 11.4, mostrando come queste possono essere eliminate mediante una decomposizione appropriata della relazione. Nel Paragrafo 11.3 questo procedimento è stato descritto come normalizzazione e abbiamo mostrato come ottenere forme normali dalla prima alla terza (da 1NF a 3NF) partendo da chiavi primarie date. Nei Paragrafi 1.4 e 1. abbiamo illustrato alcuni test generalizzati per 2NF, 3NF e BCNF dato un qualunque numero di chiavi candidate in una relazione e abbiamo mostrato come ottenere queste forme normali. Ora torniamo allo studio delle dipendenze funzionali e mostriamo com è possibile inferire nuove dipendenze a partire da un insieme dato, discutendo i concetti di chiusura, equivalenza e copertura minimale che saranno necessari più avanti, quando illustreremo un approccio alla progettazione relazionale per sintesi dato un insieme di DF. Regole di inferenza per dipendenze funzionali Si indichi con F l insieme di dipendenze funzionali specificate sullo schema di relazione R. Generalmente il progettista dello schema specifica le dipendenze funzionali semanticamente evidenti; di solito, però, sussistono molte altre dipendenze funzionali in tutte le istanze di relazione valide che soddisfano le dipendenze in F. Queste altre dipendenze possono essere inferite o dedotte dalle dipendenze funzionali presenti in F. Per esempi tratti dalla vita reale è praticamente impossibile specificare tutte le dipendenze funzionali che possono sussistere per la situazione data. Ad esempio, se ogni dipartimento ha un solo direttore, in modo che N_DIP determina univocamente SSN_ DIRETTORE (N_DIP SSN_DIR) e un Direttore ha un unico numero di telefono chiamato TELEFONO_DIR (SSN_DIR TELEFONO_DIR), queste due dipendenze insieme implicano la dipendenza N_DIP TELEFONO_DIR. Questa è una df inferita e non deve essere esplicitamente dichiarata in aggiunta alle due df date. Formalmente, quindi, è utile definire il concetto di chiusura che comprende tutte le possibili dipendenze deducibili dall insieme F dato. Definizione. Convenzionalmente, l insieme di tutte le dipendenze formato da F e da tutte le dipendenze che possono essere dedotte da F è chiamato chiusura di F ed è indicato con F +. Si supponga ad esempio di specificare il seguente insieme F di dipendenze funzionali ovvie sullo schema di relazione della Figura 11.3(a) (Capitolo 11): F = {SSN {NOME_I, DATA_N, INDIRIZZO, NUMERO_D}, NUMERO_D {NOME_D, SSN_DIR_DIP} } Alcune dipendenze funzionali che possiamo inferire da F sono le seguenti: SSN {NOME_D, SSN_DIR_DIP} SSN SSN NUMERO_D NOME_D Una df X Y è inferita da un insieme di dipendenze F specificate su R se X Y sussiste in ogni stato di relazione r di R; cioè ogni volta che r soddisfa tutte le dipendenze in F, in r sussiste anche X Y. La chiusura F + di F è l insieme di tutte le dipenden-

4 4 Approfondimento Web ze funzionali che possono essere dedotte da F. Per determinare un modo sistematico per inferire dipendenze, occorre trovare un insieme di regole di inferenza che possono essere usate per inferire nuove dipendenze a partire da un insieme dato di dipendenze. Ora si considereranno alcune di queste regole di inferenza. Verrà usata la notazione F = X Y per indicare che la dipendenza funzionale X Y è inferita dall insieme di dipendenze funzionali F. Nella trattazione seguente, quando verranno esaminate le dipendenze funzionali, si userà una notazione abbreviata. Le variabili di attributo verranno concatenate e le virgole omesse per comodità. Perciò la df {X,Y} Z è abbreviata in XY Z, e la df {X,Y,Z} {U,V} è abbreviata in XYZ UV. Le seguenti sei regole, da RI1 a RI6, sono note regole di inferenza per dipendenze funzionali: RI1 (regola riflessiva) 1 : se X $ Y, allora X Y; RI2 (regola di arricchimento) 2 : {X Y} = XZ YZ; RI3 (regola transitiva): {X Y, Y Z} = X Z; RI4 (regola di decomposizione, o di proiezione): {X YZ} = X Y; RI (regola di unione, o additiva): {X Y, X Z} = X YZ; RI6 (regola pseudo-transitiva): {X Y, WY Z} = WX Z. La regola riflessiva (RI1) afferma che un insieme di attributi determina sempre se stesso o uno qualsiasi dei suoi sottoinsiemi, il che è ovvio. Dato che RI1 genera dipendenze che sono sempre vere, tali dipendenze sono dette banali. Formalmente una dipendenza funzionale X Y è banale se X $ Y; altrimenti è non-banale. La regola di arricchimento (RI2) sostiene che aggiungendo lo stesso insieme di attributi alla parte sinistra e alla parte destra di una dipendenza si ottiene un altra dipendenza valida. Secondo la RI3 le dipendenze funzionali sono transitive. La regola di decomposizione (RI4) sostiene che si possono rimuovere attributi dalla parte destra di una dipendenza; l applicazione ripetuta di questa regola può decomporre la df X {A 1, A 2,... A n } nell insieme di dipendenze {X A 1, X A 2,... X A n }. La regola di unione (RI) consente di fare l opposto: è possibile combinare un insieme di dipendenze {X A 1, X A 2,... X A n } nella singola df X {A 1, A 2,... A n }. Un avvertenza importante riguarda l uso di queste regole. Anche se X A e X B implicano X AB per la regola di unione dichiarata precedentemente, X A, e Y B non implica che XY AB. Inoltre XY A non implica necessariamente X A o Y A. Ognuna delle precedenti regole di inferenza può essere dimostrata a partire dalla definizione di dipendenza funzionale, con prova diretta o per assurdo. Una prova per assurdo suppone che la regola non valga e mostra che ciò porta a una contraddizione. Verrà ora dimostrato che le prime tre regole, da RI1 a RI3, sono valide. La seconda prova è per assurdo. 1 La regola riflessiva può anche essere enunciata come X X, ossia ogni insieme di attributi determina funzionalmente se stesso. 2 La regola di arricchimento può anche essere enunciata come {X Y} = XZ Y, ossia l arricchimento degli attributi di parte sinistra di una DF produce un altra DF valida.

5 Algoritmi di progettazione di basi di dati relazionali e altre dipendenze PROVA DI RI1 Si supponga che X $ Y e che esistano due tuple t 1 e t 2 in una certa istanza di relazione r di R tali che t 1 [X] = t 2 [X]. Allora t 1 [Y] = t 2 [Y] perché X $ Y; perciò in r deve valere X Y. PROVA DI RI2 (PER ASSURDO) Si supponga che in un istanza di relazione r di R valga la X Y, ma che non valga la XZ YZ. Devono perciò esistere due tuple t 1 e t 2 in r tali che (1) t 1 [X] = t 2 [X], (2) t 1 [Y] = t 2 [Y], (3) t 1 [XZ] = t 2 [XZ], e (4) t 1 [YZ] t 2 [YZ]. Ciò non è possibile, perché da (1) e (3) si deduce () t 1 [Z] = t 2 [Z], e da (2) e () si deduce (6) t 1 [YZ] = t 2 [YZ], contraddicendo (4). PROVA DI RI3 Si supponga che in una relazione r sussistano sia (1) X Y sia (2) Y Z. Allora, per ogni coppia di tuple t 1 e t 2 in r tali che t 1 [X] = t 2 [X], si deve avere (3) t 1 [Y] = t 2 [Y], dall ipotesi (1); perciò occorre anche avere (4) t 1 [Z] = t 2 [Z], dalla (3) e dall ipotesi (2); quindi in r deve valere la X Z. Usando argomentazioni simili è possibile provare le regole di inferenza da RI4 a RI6 e ogni altra regola di inferenza valida. Però un modo più semplice per dimostrare che una regola di inferenza per dipendenze funzionali è valida consiste nel provarla usando regole di inferenza che sono già state dimostrate valide. Ad esempio si può provare le regole da RI4 a RI6 usando le regole da RI1 a RI3 come segue. PROVA DI RI4 (USANDO DA RI1 A RI3) 1. X YZ (data). 2. YZ Y (usando RI1 e sapendo che YZ $ Y). 3. X Y (usando RI3 su 1 e 2). PROVA DI RI (USANDO DA RI1 A RI3) 1. X Y (data). 2. X Z (data). 3. X XY (usando RI2 su 1 arricchendo con X; si noti che XX = X). 4. XY YZ (usando RI2 su 2 arricchendo con Y).. X YZ (usando RI3 su 3 e 4). PROVA DI RI6 (USANDO DA RI1 A RI3) 1. X Y (data). 2. WY Z (data). 3. WX WY (usando RI2 su 1 arricchendo con W). 4. WX Z (usando RI3 su 3 e 2). È stato dimostrato da Armstrong (1974) che le regole di inferenza da RI1 a RI3 sono corrette e complete. Per corrette si intende che, dato un insieme di dipendenze funzio-

6 6 Approfondimento Web nali F specificate su uno schema di relazione R, tutte le dipendenze che è possibile inferire da F usando le regole da RI1 a RI3 sussistono in ogni stato di relazione r di R che soddisfa le dipendenze in F. Per complete si intende che, usando ripetutamente le regole da RI1 a RI3 per inferire dipendenze finché non se ne possono più dedurre, si ottiene come risultato l insieme completo di tutte le possibili dipendenze che possono essere dedotte da F. In altre parole, l insieme di dipendenze F +, che è stato detto chiusura di F, può essere determinato da F usando solo le regole di inferenza da RI1 a RI3. Le regole di inferenza da RI1 a RI3 sono note come regole di inferenza di Armstrong. 3 Generalmente i progettisti di basi di dati specificano dapprima l insieme F delle dipendenze funzionali che possono essere facilmente determinate dalla semantica degli attributi di R; poi usano RI1, RI2 e RI3 per inferire ulteriori dipendenze funzionali, le quali saranno pure valide su R. Un modo sistematico per determinare queste dipendenze funzionali aggiuntive è quello di determinare prima di tutto ogni insieme X di attributi che appare come parte sinistra di qualche dipendenza funzionale in F, e poi di determinare l insieme di tutti gli attributi che sono dipendenti da X. Definizione. Per ogni insieme X di attributi di questo tipo, si calcola l insieme X + di attributi che sono determinati funzionalmente da X sulla base di F; X + è detto chiusura di X rispetto a F. Per calcolare X + si può usare l Algoritmo 1. Algoritmo 1. Determinazione di X +, chiusura di X rispetto a F. X + := X; repeat oldx + := X + ; for ogni dipendenza funzionale Y Z in F do if X + $ Y then X + := X + Z; until (X + = oldx + ); Tale algoritmo inizia ponendo X + uguale a tutti gli attributi in X. Da RI1 è noto che tutti questi attributi sono funzionalmente dipendenti da X. Servendosi delle regole di inferenza RI3 e RI4 si aggiungono attributi a X +, usando tutte le dipendenze funzionali in F. Si continuano a considerare tutte le dipendenze in F (il ciclo repeat) finché non vengono più aggiunti attributi a X + durante un ciclo completo (il ciclo for) sulle dipendenze in F. Ad esempio si consideri lo schema di relazione IMP_PROG della Figura 11.3(b) (Capitolo 11); dalla semantica degli attributi è possibile specificare il seguente insieme F di dipendenze funzionali che devono valere su IMP_PROG: F = { SSN NOME_I, NUMERO_P { NOME_P, SEDE_P}, { SSN, NUMERO_P} ORE} 3 A dire il vero, sono note come assiomi di Armstrong. Però, in senso matematico stretto, gli assiomi (fatti dati) sono le dipendenze funzionali in F, dato che si suppone che esse siano corrette, mentre le regole da RI1 a RI3 sono le regole di inferenza per inferire nuove dipendenze funzionali (nuovi fatti).

7 Algoritmi di progettazione di basi di dati relazionali e altre dipendenze 7 Usando l Algoritmo 1 si possono calcolare i seguenti insiemi chiusura rispetto a F: { SSN} + = { SSN, NOME_I} { NUMERO_P} + = { NUMERO_P, NOME_P, SEDE_P} { SSN, NUMERO_P} + = { SSN, NUMERO_P, NOME_I, NOME_P, SEDE_P, ORE} Intuitivamente, l insieme di attributi nella parte destra di ogni riga rappresenta tutti gli attributi che dipendono funzionalmente dall insieme di attributi nella parte sinistra, in base all insieme F dato. Equivalenza di insiemi di dipendenze funzionali Vediamo ora l equivalenza di due insiemi di dipendenze funzionali. Innanzitutto diamo alcune definizioni preliminari. Definizione. Si dice che un insieme F di dipendenze funzionali copre un altro insieme E di dipendenze funzionali, se ogni df in E è presente anche in F +, cioè se ogni dipendenza in E può essere inferita a partire da F; in alternativa possiamo dire che E è coperto da F. Definizione. Due insiemi E e F di dipendenze funzionali sono equivalenti se E + = F +. Perciò l equivalenza implica che ogni df in E possa essere inferita da F, e ogni df in F possa essere inferita da E; ossia E è equivalente a F se sussistono entrambe le condizioni E copre F e F copre E. Si può determinare se F copre E calcolando X + rispetto a F per ogni df X Y in E, e quindi verificando se questo X + comprende gli attributi presenti in Y. Se è così per ogni df in E, allora F copre E. Si determina se E e F sono equivalenti verificando se E copre F e F copre E. Insiemi minimali di dipendenze funzionali Informalmente, una copertura minimale di un insieme E di dipendenze funzionali è un insieme F di dipendenze funzionali che soddisfa la proprietà che ogni dipendenza in E è presente nella chiusura F + di F. Inoltre questa proprietà si perde rimuovendo una dipendenza dall insieme F; F non deve quindi contenere alcuna ridondanza e le dipendenze in E devono essere in forma standard. Per soddisfare queste proprietà, possiamo stabilire formalmente che un insieme F di dipendenze funzionali è minimale se soddisfa le seguenti condizioni: 1. ogni dipendenza presente in F ha come parte destra un solo attributo; 2. non è mai possibile sostituire una dipendenza X A di F con una dipendenza Y A, dove Y è un sottoinsieme proprio di X, e avere ancora un insieme di dipendenze equivalente a F; 3. non è mai possibile rimuovere una dipendenza da F e avere ancora un insieme di dipendenze equivalente a F.

8 8 Approfondimento Web Si può pensare a un insieme minimale di dipendenze come a un insieme di dipendenze in una forma standard o canonica e senza ridondanze. La condizione 1 assicura che ogni dipendenza si presenti in una forma canonica con un solo attributo nella parte destra. 4 Le condizioni 2 e 3 assicurano che non ci siano ridondanze nelle dipendenze o per la presenza di attributi ridondanti nella parte sinistra di una dipendenza (condizione 2) o per la presenza di una dipendenza che può essere inferita dalle altre df in F (condizione 3). Definizione. Una copertura minimale di un insieme E di dipendenze funzionali è un insieme minimale F di dipendenze che è equivalente a E. Possono esserci più coperture minimali per un dato insieme di dipendenze funzionali. Usando l Algoritmo 2 si può sempre trovare almeno una copertura minimale F per qualunque insieme E di dipendenze. Se parecchi insiemi di df risultano essere coperture minimali di E sulla base della definizione precedente, è comune usare ulteriori criteri per la minimalità. Ad esempio si può scegliere l insieme minimale sulla base del numero minimo di dipendenze oppure sulla base della lunghezza totale plain (la lunghezza totale di un insieme di dipendenze viene calcolata concatenando le dipendenze e trattandole come una lunga stringa di caratteri). Algoritmo 2. Ricerca di una copertura minimale F per un insieme E di dipendenze funzionali. 1. Si imposti F := E. 2. Si sostituisca ogni dipendenza funzionale X { A 1, A 2,..., A n } in F con le n dipendenze funzionali X A 1, X A 2,..., X A n. 3. Per ogni dipendenza funzionale X A in F per ogni attributo B che è un elemento di X se { {F {X A} } { (X {B} ) A} } è equivalente a F, allora si sostituisca X A con (X {B} ) A in F. 4. Per ogni dipendenza funzionale rimanente X A in F se {F {X A} } è equivalente a F, allora si rimuova X A da F. Illustriamo il precedente algoritmo con il seguente esempio. Sia dato E : {B A, D A, AB D} come insieme di dipendenze funzionali. Dobbiamo trovare la copertura minimale di E. Tutte le precedenti dipendenze sono in forma canonica; quindi il primo passo dell Algoritmo 2 è completato e possiamo procedere con il secondo. Nel secondo passo dobbiamo determinare se AB D contiene attributi ridondanti nella parte sinistra, cioè se la dipendenza è sostituibile da B D o A D. Poiché B A, aggiungendo B da entrambe le parti della dipendenza (RI2), otteniamo BB AB, cioè B AB (i). Tuttavia abbiamo che AB D come stabilito in (ii). 4 Questa è la forma standard per semplificare le condizioni e gli algoritmi che garantiscono che non esiste alcuna ridondanza in F. Usando la regola di inferenza RI4, si può convertire una singola dipendenza con più attributi nella parte destra in un insieme di dipendenze con singoli attributi nella parte destra.

9 Algoritmi di progettazione di basi di dati relazionali e altre dipendenze 9 Per la regola transitiva (RI3), da (i) e (ii) otteniamo B D. Dunque possiamo sostituire AB D con B D. In questo modo, otteniamo un insieme Eʹ equivalente a quello E di partenza, così composto Eʹ : {B A, D A, B D}. Poiché tutte le dipendenze funzionali hanno un singolo attributo nella parte sinistra non sono possibili ulteriori riduzioni nel secondo passo. Nel passo 3 verifichiamo la presenza in Eʹ di eventuali dipendenze funzionali ridondanti. Applicando la regola transitiva su B D e D A deriviamo B A. Dunque B A è ridondante in Eʹ e può essere eliminata. Abbiamo quindi che la copertura minima di E è {B D, D A}. 2. Proprietà delle decomposizioni relazionali Consideriamo il procedimento di decomposizione che è stato utilizzato in tutto il Capitolo 11 per decomporre relazioni ed eliminare dipendenze indesiderate ottenendo così forme normali superiori. Decomposizione delle relazioni e insufficienza delle forme normali Gli algoritmi di progettazione di basi di dati relazionali che presenteremo qui prendono inizio da un unico schema di relazione universale R = {A 1, A 2,..., A n } contenente tutti gli attributi della base di dati. Si farà implicitamente l ipotesi di relazione universale, la quale stabilisce che ogni nome di attributo sia unico. L insieme F di dipendenze funzionali che deve sussistere sugli attributi di R è specificato dai progettisti della base di dati ed è fornito agli algoritmi di progettazione. Basandosi sulle dipendenze funzionali, gli algoritmi decompongono lo schema di relazione universale R in un insieme di schemi di relazione D = {R 1, R 2,..., R m } che diventerà lo schema della base di dati relazionale; D è detto decomposizione di R. È necessario assicurarsi che ogni attributo presente in R sia anche presente in almeno uno schema di relazione R i nella decomposizione, così che non ci siano attributi persi ; formalmente si ha m i=1 R i = R Questa condizione è detta condizione di conservazione degli attributi di una decomposizione. Un altro obiettivo è quello che ogni singola relazione R i nella decomposizione D sia in bcnf o in 3NF. Questa condizione non è però sufficiente a garantire di per sé una buona progettazione di basi di dati. Occorre infatti considerare la decomposizione nel complesso, oltre a esaminare le singole relazioni. Per illustrare questo punto, si consideri la relazione IMP_SEDI(NOME_I, SEDE_P) della Figura 11. (Capitolo 11), che è sia in

10 10 Approfondimento Web 3NF sia in bcnf. In realtà ogni schema di relazione con due soli attributi è automaticamente in bcnf. Anche se IMP_SEDI è in bcnf, essa dà comunque origine a tuple spurie quando viene unita tramite join con IMP_PROG1(SSN, NUMERO_P, ORE, NOME_P, SEDE_P), che non è in bcnf (si veda il risultato del join naturale nella Figura 11.6). IMP_SEDI rappresenta perciò uno schema di relazione particolarmente mal definito, a causa della sua semantica contorta in cui SEDE_P fornisce la sede di uno dei progetti sui quali lavora un impiegato. L unione tramite join di IMP_SEDI con PROGETTO(NOME_P, NUMERO_P, SEDE_P, NUM_D) della Figura 11.2 che è in bcnf dà pure origine a tuple spurie. Ciò evidenzia la necessità di altri criteri che, insieme con le condizioni di 3NF o bcnf, evitino progetti di cattiva qualità di questo tipo. Nei tre sottoparagrafi seguenti verranno esaminate le condizioni aggiuntive che devono sussistere su una decomposizione D considerata nel suo insieme. Proprietà di conservazione delle dipendenze di una decomposizione Sarebbe utile che ogni dipendenza funzionale X Y specificata in F apparisse direttamente in uno degli schemi di relazione R i della decomposizione D, oppure potesse essere inferita dalle dipendenze presenti in qualche R i. Informalmente, quella enunciata è la condizione di conservazione delle dipendenze: si desidera conservare le dipendenze perché ogni dipendenza in F rappresenta un vincolo sulla base di dati. Se una delle dipendenze non è rappresentata in una singola relazione R i della decomposizione, non è possibile imporre questo vincolo considerando una sola relazione; occorre piuttosto unire tramite join due o più relazioni della decomposizione e quindi verificare che nel risultato dell operazione di JOIN sussistano le dipendenze funzionali. Non è necessario che le dipendenze specificate in F si presentino esattamente nelle singole relazioni della decomposizione D. È sufficiente che l unione delle dipendenze che sussistono sulle singole relazioni in D siano equivalenti a F. Si darà ora definizione formale di questi concetti. Definizione. Dato un insieme di dipendenze F su R, la proiezione di F su R i, denotata con p Ri (F), dove R i è un sottoinsieme di R, è l insieme di dipendenze X Y di F + tali che gli attributi di X Y siano tutti contenuti in R i. Perciò la proiezione di F su ogni schema di relazione R i della decomposizione D è l insieme delle dipendenze funzionali in F +, chiusura di F, tali che tutti i loro attributi di parte sinistra e di parte destra siano in R i. Si dirà che una decomposizione D = {R 1, R 2,..., R m } di R conserva le dipendenze rispetto a F se l unione delle proiezioni di F su ogni R i in D è equivalente a F; cioè ((p R1 (F))... (p Rm (F))) + = F + Se una decomposizione non conserva le dipendenze, qualche dipendenza viene persa nella decomposizione. Come detto prima, per verificare se una dipendenza persa sussiste comunque, occorre effettuare il JOIN di due o più relazioni presenti nella decomposizione, fino a ottenere una relazione che presenti tutti gli attributi di parte sinistra e di parte Il lettore è invitato a dimostrare, per esercizio, questa affermazione.

11 Algoritmi di progettazione di basi di dati relazionali e altre dipendenze 11 destra della dipendenza persa, e quindi verificare se nel risultato del JOIN sussiste la dipendenza, il che si presenta come un opzione poco pratica. Un esempio di decomposizione che non conserva le dipendenze è presentato nella Figura 11.12(a), in cui la dipendenza funzionale DF2 è persa quando LOTTI1A viene decomposta in {LOTTI1AX, LOTTI1AY}. Le decomposizioni della Figura 11.11, invece, conservano le dipendenze. Analogamente, per l esempio nella Figura 11.13, indipendentemente da quale delle tre decomposizioni mostrate venga scelta per la relazione INSEGNA(STUDENTE, INSEGNAMENTO, DOCENTE), una o entrambe le dipendenze originariamente presenti vengono perse. Si enuncia qui una proposizione relativa a tale proprietà senza darne la dimostrazione. Proposizione 1. È sempre possibile trovare una decomposizione D che conserva le dipendenze rispetto a F e tale che ogni relazione R i di D sia in 3NF. Più avanti descriveremo l Algoritmo 3, che crea, a partire da un insieme di dipendenze funzionali F, una decomposizione D = {R 1, R 2,..., R m } di una relazione universale R, che conserva le dipendenze e tale che ogni R i di D sia in 3NF. Proprietà di join non-additivo (senza perdita) di una decomposizione Un altra proprietà che una decomposizione D deve soddisfare è quella di join senza perdita o join non-additivo, che assicura che non vengano generate tuple spurie quando alle relazioni della decomposizione viene applicata un operazione di JOIN NATURALE. Il problema è già stato illustrato nel Sottoparagrafo (Capitolo 11) con l esempio delle Figure 11. e Dato che si tratta della proprietà di una decomposizione di schemi di relazione, la condizione di assenza di tuple spurie deve sussistere per ogni stato valido di relazione, cioè per ogni stato di relazione che soddisfa le dipendenze funzionali in F. La proprietà di join senza perdita è perciò sempre definita rispetto a un insieme specifico F di dipendenze. Definizione. Formalmente, una decomposizione D = {R 1, R 2,..., R m } di R soddisfa la proprietà di join senza perdita (non-additivo) rispetto all insieme di dipendenze F di R se, per ogni stato di relazione r di R che soddisfa F, sussiste quanto segue, dove * è il JOIN NATURALE di tutte le relazioni in D: *(p R1 (r),..., p Rm (r)) = r La parola perdita in senza perdita si riferisce a perdita di informazione, non a perdita di tuple. Se una decomposizione non soddisfa la proprietà di join senza perdita, è possibile che si presentino tuple spurie aggiuntive, dopo che sono state eseguite le operazioni di PROIEZIONE (p) e di JOIN NATURALE (*); queste tuple aggiuntive rappresentano un informazione errata. Si preferisce qui la locuzione join non-additivo perché essa descrive più fedelmente la situazione. Sebbene il termine join senza perdita sia molto popolare in letteratura, d ora in avanti useremo il termine join non-additivo, poiché risulta auto-esplicativo e non ambiguo. La proprietà di join non-additivo assicura che

12 12 Approfondimento Web non verranno generate tuple spurie nel risultato dell esecuzione delle operazioni di PRO- IEZIONE e JOIN. A volte potremo comunque usare il termine schema lossy (con perdite) per indicare uno schema contenente perdite di informazione (Algoritmo 4). Ovviamente la decomposizione di IMP_PROG(SSN, NUMERO_P, ORE, NOME_I, NOME_P, SEDE_P), della Figura 11.3, in IMP_SEDI(NOME_I, SEDE_P) e IMP_ PROG1(SSN, NUMERO_P, ORE, NOME_P, SEDE_P), presente nella Figura 11., non soddisfa la proprietà di join non-additivo, come illustrato nella Figura Per verificare se una decomposizione D di una relazione in n relazioni soddisfa la proprietà di join non-additivo rispetto a un insieme F di dipendenze funzionali date per la relazione useremo una procedura generale, presentata nel seguente Algoritmo 3. Come vedremo più avanti, per verificare la proprietà di join senza perdita nel caso di decomposizioni binarie si può usare invece un test più semplice. Algoritmo 3 Verifica della proprietà di join non-additivo. Input. Una relazione universale R, una decomposizione D = {R 1, R 2,..., R m } di R, e un insieme F di dipendenze funzionali. Nota: al termine di alcuni passi sono riportati commenti esplicativi nel seguente formato: (* commento *). 1. Si costruisca una matrice iniziale S con una riga i per ogni relazione R i di D, e una colonna j per ogni attributo A j di R. 2. Si ponga S(i, j) := b ij per ogni elemento della matrice. (* ogni b ij è un simbolo distinto associato agli indici (i, j) *) 3. Per ogni riga i che rappresenta lo schema di relazione R i { per ogni colonna j che rappresenta l attributo A j { se (la relazione R i contiene l attributo A j ) allora si ponga S(i, j) := a J ;} ;}; (* ogni a j è un simbolo distinto associato all indice (j) *) 4. Si ripeta il ciclo seguente finché l esecuzione di un ciclo completo non dà luogo ad alcun cambiamento in S { per ogni dipendenza funzionale X Y in F { per tutte le righe di S che presentano gli stessi simboli nelle colonne corrispondenti ad attributi presenti in X { si faccia sì che i simboli in ogni colonna corrispondente a un attributo di Y siano gli stessi per tutte queste righe nel modo seguente: se una riga presenta un simbolo a in quella colonna, allora si pongano le altre righe uguali, nella colonna, allo stesso simbolo a. Se non esiste alcun simbolo a per l attributo in alcuna riga, si scelga per l attributo uno dei simboli b presenti in una delle righe e si ponga nelle altre righe lo stesso simbolo b per quella colonna;} ;} ;} ;. Se una riga è costituita per intero di simboli a, allora la decomposizione ha la proprietà di join non-additivo; altrimenti non ha questa proprietà. Data una relazione R che è decomposta in un certo numero di relazioni R 1,R 2,..., R m, l Algoritmo 3 definisce la matrice S che rappresenta uno stato di relazione r di R. La riga i in S rappresenta una tupla t i (relativa alla relazione R i ) che ha simboli a nelle colonne corrispondenti agli attributi di R i e simboli b nelle altre colonne. L algoritmo

13 Algoritmi di progettazione di basi di dati relazionali e altre dipendenze 13 quindi trasforma le righe di questa matrice (durante il ciclo del passo 4) in modo tale che esse rappresentino tuple che soddisfano tutte le dipendenze funzionali in F. Al termine del passo 4, ogni coppia di righe in S che rappresentano due tuple di r che si accordano sui valori degli attributi di parte sinistra X di una dipendenza funzionale X Y di F, si accorderanno anche sui valori degli attributi di parte destra Y. Si può dimostrare che se, dopo aver applicato il ciclo del passo 4, una qualsiasi riga di S termina con tutti simboli a, allora la decomposizione D soddisfa la proprietà di join non-additivo rispetto a F. Se, d altro lato, nessuna riga ha alla fine tutti simboli a, allora D non soddisfa la proprietà di join non-additivo. In quest ultimo caso lo stato di relazione r rappresentato da S alla fine dell algoritmo sarà un esempio di stato di relazione r di R che soddisfa le dipendenze in F, ma non soddisfa la condizione di join non-additivo; perciò questa relazione serve come controesempio che p20rova che D non ha la proprietà di join nonadditivo rispetto a F. Si noti che i simboli a e b alla fine dell algoritmo non hanno alcun significato particolare. La Figura 1(a) mostra come si applica l Algoritmo 3 alla decomposizione dello schema di relazione IMP_PROG della Figura 11.3(b) nei due schemi di relazione IMP_PROG1 e IMP_SEDI della Figura 11.(a). Il ciclo al passo 4 dell algoritmo non può cambiare alcun simbolo b in un simbolo a ; perciò la matrice S risultante non ha una riga di soli simboli a, e quindi la decomposizione non gode della proprietà di join non-additivo. La Figura 1(b) mostra un altra decomposizione di IMP_PROG (in IMP, PROGETTO e LAVORA_SU) che gode della proprietà di join non-additivo, e la Figura 1(c) mostra come si può applicare l algoritmo a questa decomposizione. Una volta che una riga consista solo di simboli a, si sa che la decomposizione gode della proprietà di join non-additivo, ed è possibile smettere di applicare le dipendenze funzionali (passo 4 dell algoritmo) alla matrice S. Verifica della proprietà di join non-additivo su decomposizioni binarie L Algoritmo 3 ci consente di controllare se una specifica decomposizione D in n relazioni soddisfa la proprietà di join non-additivo rispetto a un insieme F di dipendenze funzionali. Esiste un caso speciale di decomposizione chiamata decomposizione binaria, che consiste nella decomposizione di una relazione R in due relazioni. A questo proposito vedremo un test più semplice da applicare dell Algoritmo 3, ma che è limitato alle sole decomposizioni binarie. Proprietà NJB (test di join non-additivo per decomposizioni binarie) Una decomposizione D = {R 1, R 2 } di R soddisfa la proprietà di join non-additivo rispetto a un insieme di dipendenze funzionali F di R se e solo se la DF ((R 1 R 2 ) (R 1 R 2 )) è in F +, oppure la DF ((R 1 R 2 ) (R 2 R 1 )) è in F +. Si verifichi come questa proprietà sussista nei nostri esempi informali di normalizzazione successiva dei Paragrafi 11.3 e 11.4 (Capitolo 11). Nel Paragrafo 11. abbiamo decomposto LOTTI1A in due relazioni BCNF chiamate LOTTI1AX e LOTTI1AY e abbiamo decomposto la relazione INSEGNA della Figura 11.14

14 14 Approfondimento Web (a) R={SSN, NOME_I, NUMERO_P, NOME_P, SEDE_P, ORE} R 1 =IMP_SEDI={NOME_I, SEDE_P} R 2 =IMP_PROG1={SSN, NUMERO_P, ORE, NOME_P, SEDE_P} D={R 1, R 2 } F={SSN NOME_I;NUMERO_P {NOME_P, SEDE_P}; {SSN,NUMERO_P} ORE} SSN NOME_I NUMERO_P NOME_P SEDE_P ORE R 1 b a b b a b R 2 a b a a a a (nessun cambiamento alla matrice dopo aver applicato le dipendenze funzionali) (b) IMP PROGETTO LAVORA_SU SSN NOME_I NUMERO_P NOME_P SEDE_P SSN NUMERO_P ORE (c) R={SSN, NOME_I, NUMERO_P, NOME_P, SEDE_P, ORE} R 1 =IMP={SSN, NOME_I} R 2 =PROG={NUMERO_P, NOME_P, SEDE_P} R 3 =LAVORA_SU={SSN, NUMERO_P, ORE} D={R 1, R 2, R 3 } F={SSN NOME_I;NUMERO_P {NOME_P, SEDE_P}; {SSN,NUMERO_P} ORE} SSN NOME_I NUMERO_P NOME_P SEDE_P ORE R 1 R 2 a a b b 1 2 b b b b a a a b R 3 a b a b b a (matrice originale S all inizio dell algoritmo) SSN NOME_I NUMERO_P NOME_P SEDE_P ORE R 1 a a b b 1 2 b b R 2 R 3 b b a a a b a a a a b 2 a b 4 b a (matrice S dopo l applicazione delle prime due dipendenze funzionali l ultima riga è costituita da tutti simboli a, e pertanto ci fermiamo) Figura 1 Test di join non-additivo per le decomposizioni n-arie. (a) Caso 1: la decomposizione di IMP_PROG in IMP_PROG1 e SEDI_IMP non soddisfa il test. (b) Una decomposizione di IMP_PROG che verifica la proprietà di join non-additivo. (c) Caso 2: la decomposizione di IMP_PROG in IMP, PROGETTO e LAVORA_SU soddisfa il test.

15 Algoritmi di progettazione di basi di dati relazionali e altre dipendenze 1 nelle due relazioni {DOCENTE, INSEGNAMENTO} e {DOCENTE, STUDENTE}. Queste sono decomposizioni valide, poiché sono non-additive in base al test sopra descritto. Ulteriori decomposizioni non-additive Nei paragrafi precedenti abbiamo visto la decomposizione successiva di relazioni durante il processo di normalizzazione seconda e terza forma normale. Per verificare che queste decomposizioni non siano non-additive, dobbiamo verificare un altra proprietà, come enunciato nella Proposizione 2. Proposizione 2 (Conservazione della non-additività in decomposizioni successive) Se una decomposizione D = {R 1, R 2,..., R m } di R soddisfa la proprietà di join non-additivo (senza perdita) rispetto a un insieme di dipendenze funzionali F su R e, se una decomposizione D i = {Q 1, Q 2,..., Q k } di R i soddisfa la proprietà di join non-additivo rispetto alla proiezione di F su R i, allora la decomposizione D 2 = {R 1, R 2,..., R i-1, Q 1, Q 2,..., Q k, R i+1,, R m } di R soddisfa la proprietà di join non-additivo rispetto a F. 3. Algoritmi di progettazione di schemi di basi di dati relazionali Forniamo ora tre algoritmi per creare una decomposizione relazionale. Ogni algoritmo, come vedremo nel seguito, ha proprietà specifiche. Decomposizione in schemi 3NF con conservazione delle dipendenze L Algoritmo 4 crea una decomposizione con conservazione delle dipendenze D = {R 1, R 2,..., R m } di una relazione universale R basata su un insieme di dipendenze funzionali F, in modo che ogni R i in D sia in 3NF. Garantisce solo la proprietà di conservazione delle dipendenze; non garantisce la proprietà di join non-additivo. Il primo passo dell Algoritmo 4 consiste nel trovare una copertura minimale G per F; a tale scopo si può usare l Algoritmo 2. Si noti che, per un dato insieme F, possono esistere diverse coperture minime (come mostreremo in seguito nell esempio successivo all Algoritmo 4). In questi casi gli algoritmi possono anche produrre schemi alternativi diversi. Algoritmo 4 Algoritmo di sintesi relazionale in 3NF con conservazione delle dipendenze. Input. Una relazione universale R e un insieme di dipendenze funzionali F sugli attributi di R. 1. Si trovi una copertura minimale G per F (si usi l Algoritmo 2); 2. Per ogni parte sinistra X di una dipendenza funzionale che compare in G, si crei uno schema di relazione in D con attributi {X {A 1 } {A 2 }... {A K } }, dove X A 1, X A 2,..., X A K sono le sole dipendenze in G con X come parte sinistra (X è la chiave di questa relazione); 3. Si pongano tutti gli attributi restanti (che non sono stati posti in alcuna relazione) in un unico schema di relazione per assicurare la proprietà di conservazione degli attributi.

16 16 Approfondimento Web Esempio dell Algoritmo 4. Si consideri la seguente relazione universale: U(SSN_imp, N_P, Stip_I, Telefono_I, N_D, Nome_P, Sede_P) SSN_imp, Stip_I, Telefono_I indicano, rispettivamente, codice della tessera sanitaria, stipendio e numero di telefono di un impiegato. N_P, Nome_P, Sede_P indicano, rispettivamente, numero, nome e sede di un progetto, mentre N_D è il numero di dipartimento. Sono presenti le seguenti dipendenze funzionali: DF1: SSN_imp Stip_I, Telefono_I, N_D DF2: N_P Nome_P, Sede_P DF3: SSN_imp, N_P Stip_I, Telefono_I, N_D, Nome_P, Sede_P In virtù della DF3, l insieme di attributi {SSN_imp, N_P} rappresenta una chiave della relazione universale. Dunque, l insieme F delle DF date comprende {SSN_imp Stip_I, Telefono_I, N_D; N_P Nome_P, Sede_P; SSN_imp, N_P Stip_I, Telefono_I, N_D, Nome_P, Sede_P}. Applicando l Algoritmo 2 di copertura minima, al passo 3 osserviamo che N_P è un attributo ridondante in SSN_imp, N_P Stip_I, Telefono_I, N_D. Inoltre, SSN_imp è ridondante in SSN_imp, N_P Nome_P, Sede_P. Dunque la copertura minima è data da DF1 e DF2 (DF3 è totalmente ridondante) come segue (raggruppando gli attributi con la medesima parte sinistra in un unica DF): Copertura minima G: {SSN_imp Stip_I, Telefono_I, N_D; N_P Nome_P, Sede_P} Applicando l Algoritmo 4 alla precedente copertura minima G, otteniamo uno schema in 3NF composto da due relazioni con rispettive chiavi SSN_imp e N_P come segue: R 1 (SSN_imp, Stip_I, Telefono_I, N_D) R 2 (N_P, Nome_P, Sede_P) Un lettore attento potrebbe facilmente notare che queste due relazioni hanno perso l informazione originaria contenuta nella chiave della relazione universale U (cioè l esistenza di impiegati che lavorano su progetti con associazione molti-a-molti). Quindi, pur preservando le dipendenze iniziali, l algoritmo non fornisce garanzia che tutte le informazioni siano preservate. Dunque, lo schema risultante è lossy. Proposizione 3 Ogni schema di relazione creato dall Algoritmo 4 è in 3NF. (Qui non forniremo una dimostrazione formale; 6 la dimostrazione dipende dal fatto che G sia un insieme minimale di dipendenze.) È ovvio che tutte le dipendenze in G vengono conservate dall algoritmo perché ogni dipendenza appare in qualche relazione R i nella decomposizione D. Poiché G è equivalente a F, tutte le dipendenze in F vengono conservate direttamente nella decomposizione oppure sono derivabili da quelle nelle relazioni risultanti, usando le regole di inferenza presentate all inizio di questo capitolo; in questo modo viene assicurata la proprietà 6 Per una dimostrazione si consulti Maier (1983) o Ullman (1982).

17 Algoritmi di progettazione di basi di dati relazionali e altre dipendenze 17 di conservazione delle dipendenze. L Algoritmo 4 è chiamato algoritmo di sintesi relazionale, perché ogni schema di relazione R i nella decomposizione è sintetizzato (costruito) a partire dall insieme di dipendenze funzionali in G aventi la stessa parte sinistra X. Decomposizione non-additiva in schemi in BCNF L algoritmo seguente decompone uno schema di relazione universale R = {A 1, A 2,..., A n } in una decomposizione D = {R 1, R 2,..., R m }, in modo che ogni R i sia in bcnf e la decomposizione D goda della proprietà di join non-additivo rispetto a F. L Algoritmo utilizza la proprietà LJ1 e la proposizione 2 (conservazione di non-additività in decomposizioni successive) per creare una decomposizione senza perdita D = {R 1, R 2,..., R m } di una relazione universale R basata su un insieme di dipendenze funzionali F, in modo che ogni R i in D sia in bcnf. Algoritmo Decomposizione relazionale in bcnf che verifica la proprietà di join non-additivo. Input. Una relazione universale R e un insieme di dipendenze funzionali F sugli attributi di R. 1. Si ponga D := {R} ; 2. Finché c è uno schema di relazione Q in D che non è in bcnf si esegua { si scelga uno schema di relazione Q in D che non sia in bcnf; si trovi una dipendenza funzionale X Y in Q che violi bcnf; si sostituisca Q in D con due schemi di relazione (Q Y) e (X Y); } ; Ogni volta che attraversiamo il ciclo presente nell Algoritmo decomponiamo uno schema di relazione Q che non è in bcnf in due schemi di relazione. Secondo la proprietà LJ1 per le decomposizioni binarie e la proposizione 2, la decomposizione D verifica la proprietà di join non-additivo. Al termine dell algoritmo, tutti gli schemi di relazione in D saranno in bcnf. Il lettore può verificare che l esempio di normalizzazione delle Figure e (Capitolo 11) segua sostanzialmente questo algoritmo. Le dipendenze funzionali DF3, DF4 e, più tardi, DF, violano la bcnf, pertanto la relazione LOTTI viene decomposta in relazioni bcnf e inoltre la decomposizione soddisfa la proprietà di join non-additivo. Analogamente, se applichiamo l algoritmo allo schema di relazione INSEGNA della Figura 11.13, questo viene decomposto in INSEGNA1(DOCENTE, STUDENTE) e INSEGNA2(DOCENTE, CORSO) dato che la dipendenza DF2: DOCENTE CORSO viola la bcnf. Nel passo 2 dell Algoritmo è necessario determinare se uno schema di relazione Q è o meno in bcnf. Un metodo per fare ciò consiste nel testare, per ogni dipendenza funzionale X Y in Q, se X + non riesce a includere tutti gli attributi di Q, stabilendo quindi se X è una (super)chiave di Q. Un altra tecnica si basa sull osservazione che, ogni volta che uno schema di relazione Q viola la bcnf, esiste una coppia di attributi A e B di Q tale che {Q {A, B} } A; calcolando la chiusura {Q {A, B} } + per ogni coppia di attributi {A, B} di Q, e verificando se la chiusura comprende A (o B), possiamo determinare se Q è in bcnf.

18 18 Approfondimento Web Decomposizione con conservazione delle dipendenze e non additiva (senza perdita) in schemi in 3NF Fino a questo punto abbiamo mostrato come ottenere uno schema in 3NF con una possibile perdita di informazione nell Algoritmo 4 e come ottenere uno schema in BCNF con una perdita potenziale di certe dipendenze funzionali nell Algoritmo. Ora sappiamo che non è possibile assicurare tutte e tre le seguenti condizioni: (1) garanzia di schema senza perdite, (2) garanzia di conservazione delle dipendenze, (3) tutte le relazioni in BCNF. Come detto in precedenza, la prima condizione è obbligatoria e non può essere compromessa. La seconda condizione è auspicabile, ma non obbligatoria, e potrebbe dover essere rilassata qualora si insistesse per ottenere BCNF. Ora presentiamo un algoritmo alternativo mediante il quale si soddisfano le condizioni 1 e 2 e si garantisce soltanto la 3NF. Una semplice modifica all Algoritmo 4, che produce l Algoritmo 6, fornisce una decomposizione D di R con le seguenti proprietà: mantiene le dipendenze; soddisfa la proprietà di join non-additivo; è tale che ogni schema di relazione risultante nella decomposizione è in 3NF. Poiché l Algoritmo 6 garantisce entrambe le proprietà auspicabili, e non solamente la conservazione delle dipendenze funzionali come nel caso dell Algoritmo 4, possiamo dire che si tratta di un algoritmo preferibile. Algoritmo 6 Algoritmo di sintesi relazionale in 3NF con conservazione delle dipendenze e proprietà di join non-additivo. Input. Una relazione universale R e un insieme di dipendenze funzionali F sugli attributi di R. 1. Si trovi una copertura minimale G di F (si usi l Algoritmo 2). 2. Per ogni parte sinistra X di una dipendenza funzionale che compare in G, si crei uno schema di relazione in D con attributi {X {A 1 } {A 2 }... {A K } }, dove X A 1, X A 2,..., X A K sono le sole dipendenze di G con X come parte sinistra (X è la chiave di questa relazione). 3. Se nessuno degli schemi di relazione in D contiene una chiave di R, allora si crei un ulteriore schema di relazione in D contenente attributi che formano una chiave di R Si eliminino le relazioni ridondanti dall insieme di relazioni risultante nello schema relazionale della base di dati. Una relazione R è considerata ridondante se R è una proiezione di un altra relazione S dello schema, oppure se R è sussunta da S. 8 7 Il passo 3 dell Algoritmo 4 non è necessario nell Algoritmo 6 per la conservazione degli attributi, perché la chiave comprenderà tutti gli attributi non considerati; questi sono gli attributi che non partecipano ad alcuna dipendenza funzionale. 8 Si noti che esiste un ulteriore tipo di dipendenza: R è una proiezione del join di due o più relazioni dello schema. Questo tipo di ridondanza è considerata una dipendenza di join e viene successivamente discussa in Dipendenze di join e quinta forma normale pubblicato on-line su questo sito come Approfondimento Web al Capitolo 11. Dunque, tecnicamente, questa dipendenza può continuare a esistere senza interferire con la condizione di 3FN dello schema.

19 Algoritmi di progettazione di basi di dati relazionali e altre dipendenze 19 Il passo 3 dell Algoritmo 6 comporta l identificazione di una chiave K per R. Esempio 1 dell Algoritmo 6 Consideriamo nuovamente l esempio illustrato alla fine dell Algoritmo 4. Come nell esempio precedente, facciamo riferimento alla copertura minima G e alle relazioni R 1 e R 2 prodotte al secondo passo dell algoritmo. Ora, nel passo 3, generiamo una relazione corrispondente alla chiave {SSN_imp, N_P}. Dunque, lo schema risultante contiene: R 1 (SSN_imp, Stip_I, Telefono_I, N_D) R 2 (N_P, Nome_P, Sede_P) R 3 (SSN_imp, N_P) Questo schema preserva entrambe le proprietà di conservazione delle dipendenze e di join non-additivo. Esempio 2 dell Algoritmo 6 (Caso X). Si consideri lo schema di relazione LOTTI1A mostrato nella Figura 11.13(a). Si assuma che questa sia fornita come relazione universale con le seguenti dipendenze funzionali: DF1: #id_proprietà #lotto, Nome_contea, Area DF2: #lotto, Nome_contea Area, #id_proprietà DF3: Area Nome_contea Nella Figura 11.13(a) queste erano indicate con DF1, DF2 e DF. Il significato dei precedenti attributi e le implicazioni delle precedenti dipendenze funzionali sono stati illustrati nel Paragrafo Per semplicità, abbreviamo ogni attributo con la prima lettera del nome (P per #id_proprietà, C per Nome_contea, A per Area, L per #lotto) rappresentando le dipendenze funzionali come l insieme: F: {P LCA, LC AP, A C} Se applichiamo a F l Algoritmo 2 di copertura minima, (al passo 2) possiamo rappresentare l insieme F come F: {P L, P C, P A, LC A, LC P, A C} Nell insieme F, P A può essere dedotta per transitività da P LC e LC A, ed è perciò ridondante. Quindi una possibile copertura minima è Copertura minima GX: {P LC, LC AP, A C} Al passo 2 dell Algoritmo 6 produciamo lo schema X (prima di eliminare le relazioni ridondanti) corrispondente a: Schema X: R 1 (P, L, C), R 2 (L, C, A, P) e R 3 (A, C) Al passo 4 dell algoritmo, troviamo che R 3 è sussunta da R 2 (cioè R 3 è sempre una proiezione di R 2 ) e allo stesso modo R 1 è una proiezione di R 2. Dunque queste due relazioni sono entrambe ridondanti e lo schema in 3NF che preserva le proprietà auspicabili è (dopo aver eliminato le relazioni ridondanti): Schema X: R 2 (L, C, A, P)

20 20 Approfondimento Web In altri termini questo schema è identico alla relazione LOTTI1A(#lotto, Nome_contea, Area, #id_proprietà) che abbiamo stabilito essere in 3NF nel Paragrafo (Capitolo 11). Esempio 2 dell Algoritmo 6 (caso Y). Partendo con LOTTI1A come relazione universale e con il medesimo insieme di dipendenze funzionali, il secondo passo dell Algoritmo 2 di copertura minima produce come in precedenza F: {P C, P A, P L, LC A, LC P, A C} La DF LC A può essere considerata ridondante, visto che può essere derivata per transitività da LC P e P A. Anche P C è considerabile ridondante, essendo derivabile per transitività da P A e A C. Questo porta a coperture minime alternative come Copertura minima GY: {P LA, LC P, A C}. Lo schema Y alternativo prodotto dall algoritmo è ora: Schema Y: S 1 (P, A, L), S 2 (L, C, P) e S 3 (A, C) Si noti che questo schema ha tre relazioni in 3NF, nessuna delle quali può essere considerata ridondante dalla condizione al passo 4. Tutte le DF nell insieme F iniziale sono preservate. Il lettore noterà che delle tre relazioni, le relazioni S 1 e S 3 sono state prodotte come schema in bcnf dalla procedura illustrata nel Paragrafo 11. (con l implicazione che S 2 è ridondante in presenza di S 1 e S 3 ). Tuttavia, non si può eliminare la relazione S 2 da questo insieme di tre relazioni in 3NF poiché essa non è proiezione né di S 1 né di S 3. Quindi, lo schema Y costituisce un possibile risultato finale dell Algoritmo 6 applicato alla relazione universale, producendo relazioni in 3NF. È importante notare che la teoria di decomposizione dei join non-additivi è basata sull ipotesi che non siano ammessi valori nulli per gli attributi di join. Nel paragrafo seguente si discutono alcuni dei possibili problemi causati dai valori nulli nelle decomposizioni relazionali. 4. Questioni relative a valori nulli, tuple dangling e progettazioni relazionali alternative In questo paragrafo discuteremo alcune questioni relative ai problemi che sorgono quando la progettazione relazionale non è affrontata in modo opportuno. Quando progettiamo uno schema di base di dati relazionale dobbiamo considerare attentamente i problemi associati ai valori nulli. Finora non c è una teoria di progettazione relazionale pienamente soddisfacente che comprenda i valori nulli. Quando alcune tuple presentano valori nulli negli attributi che saranno usati per collegare via join singole relazioni nella decomposizione si verifica un problema. Per illustrare ciò, si consideri la base di dati mostrata nella Figura 2(a), in cui vengono mostrate le due relazioni IMPIEGATO e DIPARTIMENTO. Le ultime due tuple impiegato, cioè Berger e Benitez, rappresentano impiegati appena assunti che non sono stati ancora assegnati a un dipartimento (si dia per scontato che ciò non violi alcun vincolo d integrità). Si supponga ora di voler reperire un elenco di valori di (NOME_I, NOME_D) per tutti gli impiegati. Se