Nonostante la geometria e il ragionamento spaziale siano fondamentali per. L apprendimento della geometria in bambini da 4 a 6 anni

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1 L apprendimento della geometria in bambini da 4 a 6 anni Ricerca italiana L apprendimento della geometria in bambini da 4 a 6 anni David Giofrè Irene C. Mammarella Daniela Lucangeli Dipartimento di Psicologia dello Sviluppo, Università degli Studi di Padova S o m m a r i o Il presente lavoro si propone di fornire, attraverso un nuovo strumento, un analisi delle prestazioni dei bambini dai 4 ai 6 anni. Nello specifico gli obiettivi della ricerca erano contribuire alla standardizzazione dello strumento, analizzare le differenze legate all età e verificare se le competenze geometriche testate potessero essere distinte in conoscenze geometriche di tipo dichiarativo e abilità visuospaziali. A tale scopo lo strumento è stato somministrato a 269 bambini frequentanti le ultime due classi della scuola dell infanzia e il primo anno di scuola primaria. I risultati indicano che lo strumento possiede buone proprietà psicometriche e che esiste un trend evolutivo dai 4 ai 6 anni. Infine, attraverso l analisi fattoriale sono stati individuati due fattori, uno relativo alle conoscenze geometriche e uno alle abilità visuospaziali. Nonostante la geometria e il ragionamento spaziale siano fondamentali per l apprendimento della matematica, soltanto pochi insegnanti delle scuole dell infanzia e primaria si occupano di far esercitare i bambini in questi ambiti (Clements, 1999). Gutiérrez (1996) evidenzia come, prendendo in esame le pubblicazioni nazionali e internazionali, si può facilmente riscontrare che sono moltissime quelle che si occupano dello sviluppo e dell apprendimento del calcolo (si veda Butterworth, 2007 per una rassegna), sono molte quelle che si occupano di difficoltà nel sistema del calcolo (si veda Geary, 2004 per una rassegna), mentre sono poche le ricerche che si occupano di geometria e delle abilità visuospaziali implicate in compiti geometrici. Tale reticenza ad affrontare la questione in esame si è tramutata, in Italia, in una scarsa attenzione verso gli strumenti in grado di evidenziare precocemente eventuali lacune, ovvero specifiche difficoltà degli studenti nei confronti di questa discplina, nonché verso i programmi di potenziamento destinati a promuoverla. Difficoltà in matematica Vol. 5, n. 2, febbraio 2009 (pp. xx-xx) Edizioni Erickson Trento 21

2 Difficoltà in matematica n. 2, febbraio 2009 Il fatto che la geometria venga tenuta in così scarsa considerazione rischia di avere conseguenze molto negative e questo perché, tra l altro, i progressi da un livello al successivo dipendono non tanto dall età quanto dall educazione fornita al bambino (Crowley, 1987). Il rischio è quindi che periodi prolungati di inattività con la geometria nei primi anni di scolarizzazione portino in seguito i bambini a essere «geometricamente deprivati» (Clements e Battista, 1992). Partendo da questa prospettiva si può ben comprendere l estrema importanza della geometria e degli studi in questo campo e ciò almeno per quattro ragioni: la prima è che attualmente i curricoli delle scuole dell infanzia si occupano poco di geometria; la seconda è che molti bambini, specialmente quelli che provengono da famiglie svantaggiate, rischiano di avere successivamente difficoltà in matematica e in geometria; la terza è che i bambini piccoli generalmente sono interessati alla geometria e con l esercizio non si fa altro che assecondare una loro tendenza naturale; la quarta e ultima ragione è che le ricerche sullo sviluppo neurale ci suggeriscono che in questa fascia di età il cervello compie un notevole sviluppo e che le esperienze precoci possono modificare sensibilmente la struttura e l organizzazione cerebrale (Clements, 2001). Prima di introdurre il presente studio è utile fornire, seppur brevemente, una panoramica delle ricerche nell ambito delle conoscenze geometriche e delle abilità visuospaziali. In letteratura, infatti, quando si parla di geometria emerge continuamente il riferimento a queste abilità, coinvolte in modo sinergico in tale apprendimento. L educazione, infatti, pone le basi per l acquisizione di conoscenze di tipo dichiarativo, mentre le abilità visuospaziali forniscono le componenti cognitive necessarie per l apprendimento geometrico. Conoscenze geometriche Tra i primi autori che si sono occupati dell apprendimento della geometria vanno senz altro citati Piaget e Inhelder (1979), i quali, attraverso un gran numero di esperimenti, si sono occupati dei rapporti topologici, proiettivi ed euclidei. Il loro modello ha rappresentato per molto tempo un punto di riferimento per tutti i ricercatori. Più di recente ha acquisito consenso il modello di van Hiele (1986), il quale individua 5 livelli di sviluppo del pensiero geometrico: da un primo livello di visualizzazione (livello 1) si passerebbe a livelli sempre più sofisticati di analisi descrittivo-analitica (livello 2), di deduzione informale (livello 3), di deduzione formale (livello 4) e infine di rigore (livello 5). In aggiunta a questi, Clements e Sarama (2000) hanno proposto l introduzione di un ulteriore livello, che si formerebbe precocemente (livello 0 o di pre-riconoscimento). Le conoscenze geometriche variano in relazione ai livelli di sviluppo del pensiero geometrico; tali livelli, tuttavia, dipendono più dall educazione che dall età dei soggetti. 22

3 L apprendimento della geometria in bambini da 4 a 6 anni Quindi, bambini che si trovano in una stessa classe possono avere idee molto diverse sulle figure, idee che riflettono una diversa collocazione nei livelli di sviluppo del pensiero geometrico. A un livello di pre-riconoscimento (livello 0) i bambini sono capaci di distinguere tra varie figure ma non di identificarle. I bambini che si collocano a un livello successivo ovvero quello di visualizzazione (livello 1) sono capaci distinguere le figure in base a come appaiono visivamente (ad esempio «È un rombo perché assomiglia a un aquilone»). Soltanto a un livello successivo quello descrittivo-analitico (livello 2) i bambini sono in grado di distinguere le figure in base alle loro proprietà, sebbene queste ultime non siano ancora ordinate gerarchicamente e i bambini non siano ancora in grado di differenziare le proprietà in termini di definizioni e di proporzioni. L importanza del modello del pensiero geometrico di van Hiele risiede nel fatto che ne è stata confermata l utilità a partire dalla scuola dell infanzia sino ad arrivare alla scuola secondaria. La conoscenza dei livelli può essere utile, oltre che dal punto di vista teorico, anche nei casi in cui risulti necessario programmare un intervento di potenziamento. Secondo Clements e Sarama (2000), però, i singoli livelli sono poco informativi su ciò che pensano i bambini a riguardo delle più comuni figure geometriche (cerchio, quadrato, triangolo e rettangolo). Per questo motivo, in una loro ricerca, hanno intervistato 128 bambini, di età compresa tra i 3 e i 6 anni, sottoponendoli a vari compiti tra i quali identificare figure tra distrattori o riconoscere figure orientate in diverse direzioni. Dai risultati è emerso che la figura più facilmente riconosciuta era il cerchio. I bambini erano molto accurati nell identificare anche il quadrato (circa l 87% lo riconosceva correttamente), anche se spesso quelli della scuola dell infanzia tendevano a individuare come tale anche il rombo. Viceversa i bambini erano meno accurati nell identificare il triangolo (circa 60% di risposte corrette) e ancor meno precisi con i rettangoli, riconosciuti solo dal 54% dei bambini. Abilità visuospaziali Rispetto alle competenze geometriche, un ruolo chiave è svolto dalle abilità visuospaziali, una componente dell intelligenza umana coinvolta in innumerevoli compiti (Hershkowitz, 1989; Bishop, 1983; Del Grande, 1990; Clements, 1999). Hershkowitz (1989) ha evidenziato il ruolo delle abilità visuospaziali nell ambito della teoria dello sviluppo del pensiero geometrico di van Hiele. In quest ottica, al livello 1 (livello di visualizzazione), l immagine prototipica di una figura viene usata per confrontare visivamente le altre figure. In un periodo successivo (tra il primo e il secondo livello), l immagine prototipica è utilizzata per dedurre le caratteristiche di una determinata figura. Al livello 2 (livello descrittivo-analitico), invece, gli attributi e 23

4 Difficoltà in matematica n. 2, febbraio 2009 le proprietà vengono utilizzati per giudicare se una figura si ricollega a un determinato concetto. Bishop (1983) identifica nelle abilità spaziali due componenti: la prima corrispondente all abilità di interpretare informazioni sulle figure e la seconda all abilità di manipolare rappresentazioni visive. Secondo Del Grande (1990) vi sarebbero inoltre sette abilità spaziali particolarmente rilevanti nello studio della matematica, e in particolare: 1. coordinazione oculomotoria; 2. individuzione di figure su uno sfondo; 3. percezione della costanza della forma (un oggetto ha proprietà che non variano anche se, osservato da un altro punto di vista, potrebbe apparire diverso); 4. percezione della posizione nello spazio (la relazione tra due oggetti o tra un oggetto e un osservatore); 5. percezione delle relazioni spaziali; 6. discriminazione visiva; 7. memoria visiva. Riguardo a quest ultima abilità, nell apprendimento della geometria sembra essere coinvolta soprattutto la memoria di lavoro visuospaziale (Baddeley e Hitch, 1974; Logie, 1995). In particolare, Logie (1995) ha distinto all interno della memoria di lavoro visuospaziale il visual cache un magazzino temporaneo per mantenere ed elaborare le informazioni visive come forme, colori, tessiture e orientamento di oggetti e l inner scribe, un sistema spaziale legato al mantenimento temporaneo di movimenti e sequenze di movimenti. Secondo l elaborazione teorica avanzata da Clements (1999), infine, per avere «senso spaziale» occorre possedere buone abilità spaziali, abilità che sarebbero costituite da due sottocomponenti principali: l orientamento spaziale e la capacità di creare immagini mentali. Il concetto di «senso spaziale» sarebbe poi profondamente diverso da quello di «pensiero visivo». Quest ultimo, infatti, sarebbe più simile al livello di visualizzazione (livello 1) descritto da van Hiele: un livello limitato, superficiale, da non confondere con il concetto più estensivo di senso spaziale, che implica l abilità di stabilire relazioni complesse e di ordine gerarchico tra elementi nello spazio. La ricerca Obiettivi La presente ricerca si colloca all interno del quadro teorico precedentemente delineato e si propone i seguenti obiettivi: 24

5 L apprendimento della geometria in bambini da 4 a 6 anni 1. contribuire alla standardizzazione di uno strumento utile a evidenziare eventuali difficoltà in geometria nei bambini dai 4 ai 6 anni; 2. fornire un analisi delle prestazioni dei bambini di 4, 5 e 6 anni, evidenziando eventuali differenze legate all età; 3. verificare se le competenze geometriche da noi testate possano essere distinte in conoscenze geometriche di tipo dichiarativo e abilità visuospaziali. Partecipanti La prova è stata somministrata a 269 bambini, provenienti da scuole site nella città di Padova e nella Provincia di Padova. Il campione totale è distinto in tre classi di età: 4 anni, 89 bambini che appartengono alla seconda classe della scuola dell infanzia di cui 53 maschi e 36 femmine (età media = 4,39; DS = 0,51); 5 anni, 92 bambini che appartengono alla terza classe della scuola dell infanzia di cui 43 maschi e 49 femmine (età media = 5,35; DS = 0,48); 6 anni, 88 bambini che appartengono alla prima classe della scuola elementare di cui 40 maschi e 48 femmine (età media = 6,27; DS = 0,47). Materiali e procedura Ciascun bambino, testato individualmente, ha impiegato dai 20 ai 35 minuti per completare tutte le prove; la durata effettiva variava a seconda dell età e della capacità di ciascun soggetto. La situazione sperimentale è stata proposta durante il normale orario delle lezioni. Un bambino alla volta è stato condotto in un aula tranquilla, luminosa e a lui familiare (ad esempio la biblioteca). Dopo una fase iniziale di conoscenza tra il somministratore e il bambino, l alunno è stato introdotto all esperimento attraverso una fase di esercitazione, in cui gli vanivano presentate le attività da eseguire e mostrate delle figure geometriche di cartoncino appoggiate sul banco (quadrato, rettangolo, triangolo e rombo). Il bambino è stato lasciato libero di manipolarle a piacimento. Questa fase aveva lo scopo di permettere al soggetto di ambientarsi e familiarizzare con l esaminatore. Dopo questo periodo in cui si dava la possibilità al bambino di abituarsi alla situazione sperimentale e di fare la conoscenza dell esaminatore, si procedeva alla raccolta delle informazioni generali (età, classe, ecc.). Per quanto riguarda i materiali, lo strumento Conoscere le forme (Lucangeli, Mammarella, Todeschini, Miele e Cornoldi, 2009), da noi utilizzato, comprende diverse prove, che valutano componenti distinte: prove che valutano le conoscenze geometriche (ovvero le conoscenze dichiarative, inerenti le figure geometriche, possedute dal bambino in un dato momento): «Denominazione di figure» e «Differenze tra figure»; 25

6 Difficoltà in matematica n. 2, febbraio 2009 prove che valutano le abilità visuospaziali (ovvero compiti che, sempre all interno dell ambito geometrico, valutano maggiormente abilità visuospaziali): «Classificazione di figure», «Accoppiamento di figure uguali», «Ricomposizione di figure», «Colorazione di figure». Conoscenze geometriche Denominazione di figure. Vengono sottoposte al bambino, una alla volta, delle figure geometriche di cartoncino raffiguranti un quadrato, un rettangolo, un triangolo e un rombo. Il compito del bambino consiste nell attribuire il nome corretto a ogni figura. È attribuito un punteggio di 1 se il bambino dice il nome della figura in esame e di 0 quando dice di non conoscerla oppure riferisce il nome di un altra figura o altro nome (ad esempio «diamante» invece che «rombo»). Differenze tra figure. La prova delle differenze richiede al bambino di specificare se e perché due figure sono diverse tra loro. Il confronto avviene tra coppie di figure. Più precisamente vengono richiesti i seguenti confronti: 1. il quadrato con il rettangolo; 2. il quadrato con il triangolo; 3. il rettangolo con il rombo; 4. il quadrato con il rombo. Per ogni coppia il bambino deve dire in cosa, secondo lui, differiscono le due figure e perché. Il punteggio può andare da un minimo di 0 punti a un massimo di 3 punti. Si attribuisce il punteggio di 3 solo nei casi in cui il bambino introduce concetti geometrici rilevanti come lato, angolo, ecc. Abilità visuospaziali Classificazione di figure. Questa prova si compone di tre parti distinte. La prima prova è «Classificazione di figure uguali», la seconda «Classificazione di figure che variano per dimensione» e la terza «Classificazione di figure che variano per orientamento». In queste prove al bambino è richiesto di collegare tra loro le figure geometriche uguali, che variano per dimensione e variano per orientamento (si veda la figura 1). Ciascuna prova ha un punteggio che può andare da un minimo di 0 a un massimo di 10. Accoppiamento di figure uguali. La prova si compone di quattro item, ognuno contenente una figura target diversa (prima un triangolo, poi un quadrato, in seguito un triangolo e infine un rombo) e il bambino deve accoppiare la figura target con quella uguale, individuandola tra più distrattori. Viene dato un punteggio di 1 se la figura in- 26

7 L apprendimento della geometria in bambini da 4 a 6 anni Classificazione di figure uguali Classificazione di figure diverse per dimensione Classificazione di figure diverse per orientamento Fig. 1 Esempi tratti dalle prove Classificazione di figure uguali, Classificazione di figure diverse per dimensione, Classificazione di figure diverse per orientamento. dividuata è corretta e di 0 in tutti gli altri casi. Il punteggio varia, quindi, da un minimo di 0 (nessuna figura individuata) a un massimo di 4 (tutte le figure individuate). Ricomposizione di figure. Questa prova richiede di individuare le figure che, unite, ne formano un altra. Al bambino non è data la possibilità di manipolare le parti delle figure, ma l operazione deve essere svolta mentalmente. Viene attribuito un punteggio 27

8 Difficoltà in matematica n. 2, febbraio 2009 di 1 se il soggetto riconosce la figura risultante dall unione delle due figure target e di 0 in tutti gli altri casi. Il punteggio massimo (tutte le figure individuate) è di 6 (si veda la figura 2). Ricomposizione figure Fig. 2 Esempio tratto dalla prova Ricomposizione di figure. Colorazione di figure. In questa prova l esaminatore presenta al bambino un foglio con un disegno complesso, composto da forme geometriche diverse (si veda la figura 3). Il compito del bambino consiste nel colorare, all interno di disegni geometrici complessi, il bordo di tutte le figure richieste di una certa forma. Prima che il bambino inizi a colorare, l esaminatore chiede nuovamente di indicare la figura corrispondente tra quelle in cartoncino. La figura in cartoncino viene lasciata a disposizione del bambino, nel caso in cui voglia prenderla in mano e confrontarla con le forme presenti nel disegno. Vengono presentati in tutto otto disegni di cui: due figure in cui il compito è quello di colorare i quadrati; due figure in cui il compito è quello di colorare i rettangoli; due figure in cui il compito è quello di colorare i triangoli; due figure in cui il compito è quello di colorare i rombi. Viene dato un punto per ciascuna figura correttamente individuata e sottratto un punto per ogni errore. Il totale di forme corrette per ciascuna figura è di

9 L apprendimento della geometria in bambini da 4 a 6 anni Colora i quadrati Fig. 3 Esempio tratto dalla prova Colorazione. Risultati Statistiche descrittive e proprietà dello strumento In relazione al primo obiettivo della nostra ricerca, nelle tabelle 1, 2 e 3 sono presentate le statistiche descrittive (media, deviazione standard) di ogni prova e l alpha di Cronbach complessiva per le prove di conoscenze geometriche e di abilità visuospaziali. Differenze legate all età Il secondo obiettivo della ricerca era evidenziare eventuali cambiamenti evolutivi nell apprendimento delle competenze geometriche nei bambini dai 4 ai 6 anni. Di seguito sono discussi in dettaglio i risultati delle analisi. Conoscenze geometriche Denominazione di figure. Il nome del quadrato è conosciuto dal 74,2% dei bambini di 4 anni, dal 76,1% dei bambini di 5 anni e dall 88,6% dei bambini di 6 anni (χ ² = 29

10 Difficoltà in matematica n. 2, febbraio 2009 Tabella 1 Statistiche descrittive per le prove sulle conoscenze geometriche Compiti Media % risposte corrette per gruppi di età 4 anni 5 anni 6 anni Denominazione quadrato 74,20 76,12 88,63 Denominazione rettangolo 14,64 27,22 60,20 Denominazione triangolo 47,24 63,00 77,30 Denominazione rombo 3,41 10,91 31,82 Differenze quadrato/rettangolo 8,99 10,11 22,47 Differenze quadrato/triangolo 22,47 40,45 51,69 Differenze rettangolo/rombo 2,25 7,87 14,61 Differenze quadrato/rombo 4,49 12,36 16,85 Tabella 2 Statistiche descrittive per le prove sulle abilità spaziali Compiti Classifica figure uguali Classifica figure per dimensione Classifica figure per orientamento 4 anni 5 anni 6 anni M DS M DS M DS 9,21 1,61 9,84 0,5 9,91 0,47 8,34 1,95 9,39 1,33 9,68 0,86 8,44 2,12 8,72 1,83 9,36 1,38 Colora quadrati 10,70 3,16 12,38 2,42 14,23 1,51 Colora rettangoli 7,82 3,47 8,89 2,85 11,61 3,16 Colora triangoli 8,67 3,36 10,30 3,17 13,15 2,65 Colora rombi 8,40 2,85 10,54 2,46 10,75 2,01 Accoppiamento figure Ricomposizione figure 3,15 0,67 3,50 0,58 3,78 0,41 1,62 1,15 2,23 1,71 4,11 1,63 30

11 L apprendimento della geometria in bambini da 4 a 6 anni Tabella 3 Coerenza interna (alpha di Cronbach) delle prove di geometria Compiti α Cronbach Denominazione.64 Differenze.78 Classifica.66 Colora.76 Accoppiamento.20 Ricomposizione.78 6,74, p <.034). Il nome del rettangolo è conosciuto dal 14,6% dei bambini di 4 anni, dal 27,2% dei bambini di 5 anni e dal 60,2% dei bambini di 6 anni (χ ² = 43,91, p <.001). Il nome del triangolo è conosciuto dal 47,2% dei bambini di 4 anni, dal 63,0% dei bambini di 5 anni e dal 77,3% dei bambini di 6 anni (χ ² = 17,10, p <.001). Il nome del rombo è conosciuto dal 3,4% dei bambini di 4 anni, dal 10,9% dei bambini di 5 anni e dal 31,8% dei bambini di 6 anni (χ ² = 29,79, p <.001). Differenze tra figure. In questo compito è stata presa in considerazione soltanto la percentuale di risposte con punteggio 3, attribuito quando il bambino menzionava concetti geometrici rilevanti, i quali riflettono maggiormente le conoscenze geometriche. Dai dati emerge chiaramente come la percentuale di risposte con punteggio 3 tenda ad aumentare in base al gruppo di età, infatti, rispettivamente a 4, 5 e 6 anni (si veda la figura 4): differenze tra quadrato e rettangolo, la percentuale tende a crescere: 9,0%, 9,8%, 22,7%; differenze tra quadrato e triangolo, la percentuale tende a crescere: 22,5%, 39,1%, 52,3%; differenze tra rettangolo e rombo, la percentuale tende a crescere: 2,2%, 7,6%, 14,8%; differenze tra quadrato e rombo, la percentuale tende a crescere: 4,5%, 12,0%, 17,0%. Abilità visuospaziali Classificazione di figure. Per quanto riguarda i compiti di Classificazione di figure uguali, Classificazione di figure diverse per dimensione e Classificazione di figure 31

12 Difficoltà in matematica n. 2, febbraio anni 5 anni 6 anni Percentuali Quadrato rettangolo Quadrato triangolo Rettangolo rombo Quadrato rombo Fig. 4 Percentuali medie di risposte corrette ottenute dai bambini di 4, 5 e 6 anni nella prova delle Differenze tra figure. diverse per orientamento, sono state effettuate delle analisi della varianza a una via. Da questa analisi è emerso che gruppi di età diverse divergono in modo significativo tra loro nelle varie prove e in particolare: Classificazione di figure uguali F(2, 266) = 12,90, p <.001, η ² =.09, Classificazione di figure diverse per dimensione F(2, 266) = 21,11, p <.001, η ² =.14, Classificazione di figure diverse per orientamento F(2, 266) = 6,13, p =.002, η ² =.09. Si può inoltre notare che, in seguito all applicazione dell analisi post-hoc con il metodo di Bonferroni per quanto riguarda Classificazione di figure uguali e Classificazione di figure diverse per dimensione, tutti i gruppi differiscono statisticamente tra di loro, salvo il gruppo dei bambini di 5 dal gruppo dei bambini di 6 anni, mentre nel compito Classificazione di figure diverse per orientamento soltanto il gruppo dei 4 anni differisce dal gruppo dei 6 anni, quindi i bambini di 6 anni fanno meglio di quelli di 4. Accoppiamento di figure. Dall analisi della varianza effettuata per questo compito è emerso che i tre gruppi di età presi in considerazione differiscono statisticamente tra di loro, F(2, 266) = 28,31, p <.001, η ² =.18, come rilevato anche dai confronti post-hoc eseguiti con il metodo di Bonferroni: il gruppo di bambini di 6 anni fa meglio di quello di 5 che a sua volta fa meglio di quello di 4. Ricomposizione di figure. Dall analisi della varianza emerge che anche in questo compito i tre gruppi di età differiscono statisticamente tra di loro: F(2, 266) = 28,31, 32

13 L apprendimento della geometria in bambini da 4 a 6 anni p <.001, η ² =.33. In particolare si può notare, in seguito all applicazione dell analisi post-hoc con il metodo di Bonferroni, che tutti i gruppi differiscono statisticamente tra di loro, il gruppo di 6 anni fa meglio di quello di 5 che a sua volta fa meglio di quello di 4. Colorazione di figure. Per quanto riguarda i compiti di Colora quadrati, Colora rettangoli, Colora triangoli e Colora rombi è stata effettuata l analisi della varianza. Da questa analisi è emerso che gruppi di età diverse divergono in modo significativo tra loro nelle varie prove e in particolare: Colora quadrati F(2,266) = 45,59, p <.001, η ² =.25, Colora rettangoli F(2,266) = 33,81, p <.001, η ² =.20, Colora triangoli F(2,266) = 47,99, p <.001, η ² =.26 e Colora rombi F(2,266) = 24,74, p <.001, η ² =.16. Dalle analisi post hoc eseguite con il metodo di Bonferroni emerge che i gruppi di età, per ciascuna delle figure prese in esame singolarmente, differiscono statisticamente tra di loro, salvo il gruppo dei bambini di 4 anni da quello dei 5 nel compito Colora rettangoli. Quindi, in generale, il gruppo di 6 anni fa meglio di quello di 5 che a sua volta fa meglio di quello di 4. È stata infine effettuata un analisi della varianza a misure ripetute con un fattore entro i soggetti a 4 livelli: tipo di figura (Colora i quadrati, Colora i rettangoli, Colora i triangoli, Colora i rombi) e un fattore fra i soggetti a 3 livelli rappresentato dal gruppo di età dei bambini (4 anni, 5 anni, 6 anni). I risultati mostrano come significativi gli effetti principali del tipo di figura F(3,798) = 86,14, MSE= 5,42, p <.001, η ² =.245 e del gruppo di età F(2,266) = 72,21, MSE = 15,37, p <.001 η ² =.35, così come l interazione tipo di figura x gruppo di età F(6, 798) = 6,78, MSE = 5,42, p<.001 η ² =.048. Per valutare quali coppie di figure differiscono tra di loro per ciascun gruppo di età, sono stati effettuati dei confronti post hoc con il test di Tukey, da cui risulta che: per quanto riguarda i 4 anni non risultano significativi (p >.05) i confronti tra rombo e rettangolo, rombo e triangolo, triangolo e rettangolo; per quanto riguarda i 5 anni i confronti sono tutti significativi (p <.001), salvo quello tra rombo e triangolo; per quanto concerne, infine, i 6 anni i confronti sono tutti significativi (p <.001), tranne che per quadrato e triangolo (significativo a p <.05) e rombo e rettangolo. Nella figura 5 è rappresentata l interazione tipo di figura x gruppo di età. Analisi fattoriale Il terzo obiettivo della presente ricerca era analizzare se le competenze geometriche da noi testate potessero essere distinte in conoscenze di tipo dichiarativo e abilità visuospaziali. Per questo motivo è stata effettuata un analisi fattoriale sulle componenti principali e, sulla base dello Scree Test, sono stati considerati due fattori che complessivamente spiegano il 41,33% della varianza. Sulla base delle prove che hanno presentato le saturazioni più alte, i due fattori sono stati denominati Conoscenze geometriche, saturato dai compiti di denominazione 33

14 Difficoltà in matematica n. 2, febbraio anni 5 anni 6 anni Percentuali Quadrato Rettangolo Triangolo Rombo Fig. 5 Media di risposte corrette nella prova di Colorazione di figure per ogni tipo di figura (quadrato, rettangolo, triangolo e rombo) in funzione dell età (4, 5 e 6 anni). di figure e differenze tra figure, che da solo spiega il 29,93% della varianza totale, e Abilità visuospaziali, che spiega l 11,41% della varianza totale, saturato dai seguenti compiti: accoppiamento di figure, classificazione di figure, ricomposizione di figure e colorazione di figure. Essendo, inoltre, i due fattori fortemente correlati tra di loro (con una correlazione di.44), si è deciso di ricorrere a una rotazione Promax. I valori dei pesi fattoriali al di sopra di.35 sono riportati nella tabella 4. Discussione e conclusioni Per quanto concerne il primo obiettivo, ovvero contribuire alla standardizzazione dello strumento, dai dati emerge chiaramente come esso sia dotato di buone proprietà psicometriche e possieda una buona coerenza interna; le prove risultano fortemente correlate, a dimostrazione del fatto che lo strumento valuta abilità molto interconnesse tra loro. Circa il secondo obiettivo, ovvero fornire un analisi delle prestazioni dei bambini di 4, 5 e 6 anni evidenziando eventuali differenze legate all età, i dati dimostrano che in tale periodo si compie un trend evolutivo che coinvolge sia le conoscenze geometriche sia le abilità spaziali. Per quanto riguarda, più nello specifico, le conoscenze geometriche, i dati del compito di Denominazione di figure confermerebbero quelli di Clements e Sarama (2000), 34

15 L apprendimento della geometria in bambini da 4 a 6 anni Tabella 4 Pesi fattoriali dei due fattori (conoscenze geometriche e abilità visuospaziali) risultati dall analisi fattoriale Prove Conoscenze geometriche Differenza quadrato/rombo.77 Differenza rettangolo/rombo.74 Differenza quadrato/triangolo.71 Differenza quadrato/rettangolo.69 Denominazione rettangolo.65 Denominazione triangolo.53 Denominazione quadrato.53 Denominazione rombo.41 Fattori Abilità visuospaziali Classificazione figure per dimensione.82 Classificazione figure uguali.69 Classificazione figure per orientamento.68 Colora i quadrati.58 Colora i rombi.53 Colora i rettangoli.53 Accoppiamento figure.52 Ricomposizione figure.50 Colora i triangoli.49 secondo i quali le figure maggiormente riconosciute dai bambini sarebbero, nell ordine, il quadrato, il triangolo e, in misura minore, il rettangolo (nella ricerca citata il rombo non era tra le figure in esame; vi era invece il cerchio, risultato la figura individuata con maggiore frequenza). Nel compito delle Differenze tra figure, che richiedeva di confrontare due figure tra di loro, il numero di risposte a cui si è dato un punteggio di 3 (considerate risposte a un livello di sviluppo più alto, in quanto i bambini facevano riferimento a concetti geometrici) tendeva a crescere in base al gruppo di età. Questi dati suggeriscono che a un maggiore grado di istruzione corrisponderebbero, in media, prestazioni più elevate, anche se le differenze individuali sembrano essere determinanti. 35

16 Difficoltà in matematica n. 2, febbraio 2009 In merito alle abilità visuospaziali, in tutte le prove prese in esame Classificazione di figure uguali, diverse per dimensione e per orientamento le medie dei tre gruppi di età differiscono significativamente per cui si assiste, con lo sviluppo, a un miglioramento delle prestazioni. Nella prova di Accoppiamento di figure i tre gruppi di età differiscono significativamente tra di loro e la media di figure individuate correttamente tende ad aumentare nelle classi di età più grandi. Nella prova di Ricomposizione di figure, tutti e tre i gruppi differiscono tra di loro e la media di figure ricomposte correttamente mostra di aumentare nelle classi di età più elevate. Infine, nel compito Colorazione di figure, in cui si richiedeva di colorare una specifica figura (quadrato, rettangolo, triangolo e rombo) tra altre utilizzate come distrattori, è stato riscontrato un effetto sia entro i soggetti che tra soggetti. Quest ultimo potrebbe essere spiegato con il fatto che i bambini più piccoli sarebbero maggiormente legati a una forma prototipica di una figura, il che li porterebbe a escludere figure presentate in forma non prototipica (ad esempio solo i triangoli isosceli e non gli scaleni). In generale questi dati potrebbero essere riconducibili al fatto che lo sviluppo delle abilità visuospaziali (come ad esempio la capacità di manipolare immagini mentali) aumenterebbe gradualmente con l età e con lo sviluppo (Clements, 1999). In relazione al terzo obiettivo, ovvero verificare se le competenze geometriche da noi testate potessero essere distinte in conoscenze geometriche di tipo dichiarativo e abilità visuospaziali, l analisi fattoriale ha dimostrato l esistenza di due fattori, che insieme spiegano gran parte della varianza totale. I due fattori rispecchiano esattamente la distinzione teorica da noi ipotizzata tra conoscenze geometriche e abilità visuospaziali. I dati, inoltre, confermano quanto riportato in letteratura, ossia che le abilità visuospaziali e quelle geometriche sono fortemente correlate (Baddeley e Hitch, 1974; Logie, 1995). Secondo il National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000), tutti i bambini, a partire dalle ultime due classi della scuola dell infanzia sino alle prime due della scuola primaria, dovrebbero essere in grado di: 1. analizzare le caratteristiche e le proprietà di forme geometriche tridimensionali e in particolare: riconoscere, nominare, costruire, disegnare, comparare forme bi- e tridimensionali; descrivere caratteristiche o parti di forme bi- e tridimensionali; predire il risultato che deriva dall unione di forme bi- o tridimensionali; 2. descrivere relazioni spaziali usando coordinate geometriche e altri sistemi rappresentazionali, in particolare: descrivere, interpretare, nominare diverse posizioni nello spazio; descrivere, interpretare, nominare utilizzando concetti quali direzione e distanza; essere in grado di trovare e nominare luoghi nello spazio attraverso parole come «vicino a» in un sistema coordinato come ad esempio una mappa; 36

17 L apprendimento della geometria in bambini da 4 a 6 anni 3. applicare trasformazioni e utilizzare la simmetria in contesti matematici e in particolare: riconoscere e applicare rotazioni; riconoscere e creare figure simmetriche. Pertanto, si può sostenere che, in generale, i bambini che ricevono un educazione precoce nell ambito della geometria hanno migliori possibilità di raggiungere traguardi di sviluppo più elevati rispetto ai bambini che non la ricevono (Clements, 1999b). Oltre a ciò, va sottolineato che non tutti i bambini raggiungono gli obiettivi identificati dagli standard di sviluppo proposti dal NCTM (2000) e questo potrebbe essere dovuto, tra l altro, al fatto che soltanto pochi insegnanti delle scuole dell infanzia e primaria si occupano di far esercitare gli alunni in questi ambiti (Clements, 1999). Ciò accade, probabilmente, sia per la scarsa importanza attribuita alla geometria, sia perché l insegnamento della geometria spesso è solo incidentale e informale (Clements, 1999b). In aggiunta, i bambini con difficoltà in quest ambito non ricevono gli aiuti di cui avrebbero bisogno, sia per la mancanza di test standardizzati in grado di evidenziare queste lacune, sia per la ridottissima disponibilità di programmi in grado di promuovere competenze geometriche (come ad esempio programmi di potenziamento cognitivo e metacognitivo). Auspichiamo, alla luce dei dati empirici sopra descritti, che in ambito nazionale la situazione possa modificarsi, portando alla realizzazione di nuovi programmi e strumenti rivolti ai bambini con difficoltà nell ambito della geometria. Il nuovo strumento di valutazione proposto (Lucangeli et al., 2009) tenta di andare in questa direzione, consentendo di individuare i bambini con specifiche difficoltà in ambito geometrico così da rendere possibile la pianificazione di interventi precoci, mirati al recupero e al potenziamento di queste abilità. Ringraziamenti Ringraziamo il prof. Cesare Cornoldi per i preziosi consigli forniti durante la progettazione della ricerca e durante la stesura dell articolo. Bibliografia Baddeley A.D. e Hitch G.J. (1974), Working memory. In G.A. Bower (a cura di), Recent advances in learning and motivation, New York, Academic Press, pp Bishop A. (1983), Space and geometry. In R. Lesh e M. Landau (a cura di), Acquisition of mathematics concepts and process, Orlando, Academic Press, pp Butterworth B. (2007), Lo sviluppo delle capacità aritmetiche, «Difficoltà in Matematica», vol. 4, n. 1, pp

18 Difficoltà in matematica n. 2, febbraio 2009 Clements D.H. (1999a), Geometric and spatial thinking in young children, «Mathematics in the Early Years», vol. 5, pp Clements D.H. (1999b), Playing math with young children, «Curriculum Administrator», vol. 35, pp Clements D.H. (2001), Mathematics in the preschool, «Teaching Children Mathematics», vol. 7, pp Clements D.H. e Sarama J. (2000), Young children s ideas about geometric shapes, «Teaching Children Mathematics», vol. 6, pp Crowley M.L. (1987), The van Hiele model of development of geometric thought. In M.M. Lindquist e A. Shulthe (a cura di), Learning and teaching geometry: K-12, Reston, VA, NCTM, pp Del Grande J. (1990), Spatial sense, «Arithmetic Teacher», vol. 37, pp Geary D.C. (2004), Mathematics and learning disabilities, «Journal of Learning Disabilities», vol. 37, pp Gutiérrez A. (1996), Visualization in 3-dimensional geometry: In search of a framework. In L. Puig e A. Gutiérrez (a cura di), Proceedings of the 20th conference of the international group for the psychology of mathematics education. Vol. 1, Valencia, Universidad de Valencia, pp Hershkowitz R. (1989), Visualization in geometry: Two sides of the coin, «Focus on Learning Problems in Mathematics», vol. 11, pp Logie R.H. (1995), Visuo-spatial working memory, Hove, UK, Lawrence Erlbaum Associates. Lucangeli D., Mammarella I.C., Todeschini M., Miele G. e Cornoldi C. (2009), Conoscere le forme geometriche: Valutazione delle competenze e schede di intervento per bambini dai 4 ai 6 anni, Firenze, Giunti. NCTM National Council of Teachers of Mathematics (2000), Principles and standards for school mathematics, Reston, VA, NCTM. Piaget J. e Inhelder B. (1979), La rappresentazione dello spazio nel bambino, Firenze, Giunti e Barbera. Van Hiele P.M. (1986), Structure and insight, Orlando, Academic Press. 38