Test e strumenti di valutazione psicologica e educativa. Collana diretta da Cesare Cornoldi e Luigi Pedrabissi

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1 Test e strumenti di valutazione psicologica e educativa Collana diretta da Cesare Cornoldi e Luigi Pedrabissi Irene C. Mammarella, Marta Todeschini, Germana Englaro, Daniela Lucangeli e Cesare Cornoldi Geometriatest Prove di Valutazione per la scuola primaria e secondaria di primo grado Erickson

2 I n d i c e 7 Introduzione 11 Cap. 1 Valutare l apprendimento della geometria nella scuola primaria e secondaria di primo grado 21 Cap. 2 Struttura e procedure di somministrazione/scoring 33 Cap. 3 Interpretazione dei punteggi e fasce di prestazione 43 Cap. 4 Proprietà psicometriche dello strumento 57 Cap. 5 Esemplificazioni di utilizzo del test in bambini con difficoltà in geometria 67 Bibliografia 71 Appendice Risposte corrette Esempi di attribuzione del punteggio nei problemi di geometria

3 Introduzione In alcuni testi recenti (Lucangeli e Mammarella, 2010; Ianes, Lucangeli e Mammarella, 2010) abbiamo cercato di fare il punto sulle conoscenze psicologiche attuali sul mondo della matematica e dei numeri. In questa occasione abbiamo trovato conferma del fatto che l apprendimento geometrico, pur essendo uno degli ambiti matematici fondamentali e avendo ricevuto grande attenzione dai settori matematici, è stato raramente considerato dagli psicologi. Questo è in parte sorprendente perché l apprendimento geometrico mette in gioco una serie di processi cognitivi che sono stati oggetto classico di studio della psicologia cognitiva, ma trova una spiegazione nella complessità che lo caratterizza e che lo rende difficile da inquadrare e studiare in maniera lineare. Se le basi cognitive dell apprendimento geometrico non sono state adeguatamente studiate dagli psicologi cognitivi, non c è da sorprendersi se gli studiosi dell apprendimento non si sono occupati di sviluppare procedure (di valutazione e di intervento) a sostegno delle prassi pedagogiche. Quando abbiamo avviato, alcuni anni orsono, questo progetto sulla geometria ci siamo impegnati a colmare alcune lacune fondamentali in questo campo. Abbiamo cominciato con il produrre strumenti per la valutazione e la promozione dei prerequisiti, proseguito con la costruzione di prove standardizzate per la scuola dell obbligo (il cui risultato è questo test) e stiamo ora procedendo nella direzione di individuare piste di potenziamento per bambini e ragazzi in difficoltà.

4 8 Geometriatest Geometriatest costituisce dunque un momento fondamentale, probabilmente il più impegnativo, di un percorso sulla geometria. Ci rendiamo conto che, nella prassi clinica sempre essenziale e mirata alle acquisizioni fondamentali, la valutazione delle competenze dei bambini in geometria non costituisce obiettivo prioritario e che la stessa scuola può avere delle riserve a introdurre ulteriori prove standardizzate, ma pensiamo che nell ampia gamma delle scelte psicopedagogiche una attenzione alle effettive competenze acquisite dagli alunni nella geometria possa essere importante. Ormai è fuori discussione il fatto che senza l ausilio di prove standardizzate è difficile avere una misura sensibile del grado di competenze raggiunte da un alunno e da una classe. Le prove oggettive del Geometriatest, risultato di procedure ben collaudate e basate su valori normativi raccolti su molte centinaia di bambini italiani, possono quindi aiutare l operatore e l insegnante a superare il grado elevato di approssimazione presente nelle normali prove non-standardizzate. Il presente test è stato costruito sulla base di una distinzione, già validata per la matematica e qui ulteriormente confermata, fra l ambito della conoscenza e quello della soluzione di problemi. Inoltre, si è deciso di introdurre un terzo ambito rappresentato dalle abilità visuospaziali che sostengono l apprendimento geometrico. Dal punto di vista di una valutazione degli apprendimenti sono rilevanti i primi due ambiti, ma per una comprensione completa del profilo «geometrico» dei bambini appare importante avere anche una stima delle sue abilità visuospaziali. Pertanto, per ogni fascia dalla seconda classe della scuola primaria alla terza della scuola secondaria di primo grado sono disponibili tre distinte prove, relative rispettivamente agli ambiti delle conoscenze geometriche, dei problemi di geometria e delle abilità visuospaziali, con delle norme di riferimento per dare significato alla prestazione del singolo bambino o di una intera classe. Ai fini di una analisi qualitativa delle prestazioni abbiamo anche previsto delle ulteriori differenziazioni per la prova di conoscenze geometriche (conoscenze lessicali, proprietà delle figure e formule geometriche) e per la prova relativa ai problemi geometrici (esercizi, problemi procedurali e problemi strategici): sono riportati dei valori di riferimento che potranno essere utilizzati per ricavare delle informazioni ulteriori sulle eventuali debolezze manifestate dall alunno. Nel manuale, dopo una panoramica sulle conoscenze psicologiche sull apprendimento geometrico (capitolo 1), verranno presentate le prove con le istruzioni per la somministrazione, lo scoring e l interpretazione dei punteggi (capitoli 2 e 3), le norme psicometriche e i dati di ricerca relativi all uso delle prove in som-

5 Introduzione 9 ministrazioni avvenute su gruppi di bambini (capitolo 4) e due esemplificazioni per la somministrazione delle prove a livello individuale (capitolo 5). Per un più agevole utilizzo dei materiali, dal DVD-ROM allegato al manuale dove sono presentati dei filmati sul test, sarà possibile stampare direttamente tutti i protocolli di notazione e tutte le prove suddivise per classi.

6 1 Valutare l apprendimento della geometria nella scuola primaria e secondaria di primo grado Per circa due millenni la geometria ha rappresentato uno dei campi del sapere tra i più importanti della matematica, tanto che i matematici amavano definire se stessi «geometri». Un ulteriore testimonianza dell importanza di questa disciplina è la scritta riportata nel portico della famosa Accademia di Atene, dove Platone impartiva le sue lezioni e dove compariva il seguente avvertimento: «Non entri chi non conosca la geometria» (per un approfondimento si veda Sbaragli e Mammarella, 2010). Eppure oggigiorno la geometria non riveste più l importanza di un tempo e talvolta viene trascurata nella didattica e relegata a un ruolo marginale tra le discipline scolastiche. Tale marginalità sembra almeno in parte essere la conseguenza delle decisioni prese nel 1867 da alcuni illustri matematici italiani, i quali sancirono che l unico modello epistemologicamente adeguato per questa disciplina fosse quello euclideo e, riconoscendo improponibile una rigorosa sequenza di tale impostazione nella scuola primaria, la abolirono (Sbaragli e Mammarella, 2010). La tendenza a proporre un impostazione euclidea nell insegnamento della scuola di base è presente ancora ai nostri giorni: spesso gli insegnanti introducono la geometria iniziando da concetti distanti dall esperienza del bambino e prediligono la trattazione esclusiva della geometria piana. Diversi studi nell ambito della didattica della matematica, tuttavia, hanno evidenziato che la geometria tridimensionale può rappresentare una lettura della realtà più intuitiva per il bambino essendo più vicina alle sue esperienze (Arrigo e Sbaragli, 2004).

7 12 Geometriatest Lo sviluppo cognitivo e le fasi dell apprendimento della geometria Come anticipato nell introduzione va ricordato che, al contrario di quanto avvenuto per le ricerche sull aritmetica e il calcolo, negli ultimi 20 anni il numero di pubblicazioni scientifiche relative alla geometria non è aumentato. I primi studiosi che si sono interessati sistematicamente allo sviluppo dell apprendimento geometrico sono stati probabilmente Piaget e Inhelder (1979). Nel libro La rappresentazione dello spazio nel bambino, i due autori distinguono tra spazio percettivo, ovvero quello percepito dal bambino attraverso l attività senso-motoria, e spazio rappresentativo riferito allo spazio che il bambino può rappresentarsi a livello intellettuale con la comparsa del linguaggio. Piaget, individua tre grandi classi di rapporti spaziali: i rapporti topologici, che riguardano ad esempio la vicinanza, la separazione, l ordine e i diversi tipi di connessione fra i vari punti dello spazio; i rapporti proiettivi, che fanno riferimento alle relazioni spaziali che sono in stretta relazione con il punto di vista da cui si osservano gli oggetti e variano con il variare di questo; i rapporti euclidei, che sono contemporaneamente oggettivi e definibili mediante ricorso all unità di misura. Secondo Piaget i bambini di 4 anni riescono già a fornire una corretta rappresentazione di tutti i rapporti topologici, mentre per una corretta rappresentazione dei rapporti spaziali euclidei e proiettivi bisogna aspettare fino agli 8-9 anni, quando cioè i bambini hanno raggiunto un tipo di pensiero operatorio e reversibile. Le ricerche successive sono state influenzate da questi studi classici per alcuni decenni. Tuttavia, le ipotesi di Piaget sono state spesso smentite e sottoposte a diverse critiche da parte degli studiosi. Negli anni seguenti, altri autori hanno infatti proposto nuove descrizioni dello sviluppo del pensiero geometrico. Tra di essi, Pierre e Dina van Hiele hanno descritto dei veri e propri livelli di sviluppo relativi all apprendimento della geometria (van Hiele, 1986; Crowley, 1987): 1. nel primo livello previsto nella teorizzazione dei van Hiele (livello visivo), i bambini riconoscono le forme ma non riescono a rappresentarsele mentalmente, ovvero non sono in grado di creare delle immagini mentali delle forme geometriche. Una risposta tipica di un bambino che si collochi a tale livello potrebbe essere: una figura è un rettangolo «perché è simile a una porta». Non vi è, quindi, una comprensione delle proprietà delle figure. I bambini a questo livello possono apprendere il vocabolario geometrico, identificare e riprodurre le figure in modo corretto;

8 Valutare l apprendimento della geometria nella scuola primaria e secondaria nel secondo livello (descrittivo-analitico) i bambini iniziano a riconoscere le figure in base alle loro proprietà. Le immagini perdono di importanza rispetto ai loro attributi, ma le proprietà non sono ancora ordinate, e i bambini non sono ancora in grado di differenziarle in termini di definizioni e proposizioni, e non sono ancora capaci di spiegare le relazioni tra le varie figure geometriche. Ad esempio, un quadrato non è ancora riconosciuto come un particolare rettangolo; 3. nel terzo livello (deduzioni informali o della geometria euclidea) il bambino comincia a osservare le varie relazioni tra le figure dal punto di vista logico. Ad esempio, il quadrato è un caso particolare di rettangolo poiché soddisfa tutte le proprietà del rettangolo. Questo presuppone la conoscenza di una terminologia specifica che consente di riconoscere classi di figure e dedurne alcune proprietà. A questo livello, tuttavia, non vi è ancora una comprensione degli assiomi e delle dimostrazioni; 4. nel quarto livello (deduttivo o della logica formale) i ragazzi cominciano a essere in grado di distinguere formalmente tra una proposizione e la sua inversa, e possono capire le dimostrazioni, i postulati, gli assiomi e i teoremi. Il pensiero si occupa del significato di deduzione, del reciproco di un teorema, della condizione necessaria e sufficiente; 5. nel quinto e ultimo livello (rigore geometrico) gli studenti possono apprendere la geometria non-euclidea e confrontare diversi sistemi di assiomi. La geometria viene pertanto rappresentata in modo astratto. I Van Hiele non forniscono esempi o illustrazioni di questo livello che comunque considerano scolasticamente assai più raro ed eventualmente presente a gradi di istruzione molto elevati. Tale modello sicuramente offre un utile punto di riferimento, anche se suscettibile di precisazioni e sviluppi. Ad esempio, Clements e Battista (1992) hanno inserito un livello precedente a quello visivo (il livello 1 del modello di Van Hiele), da loro denominato livello zero o di pre-riconoscimento, nel quale i bambini percepiscono le forme in modo corretto ma non sono in grado di classificarle o di riprodurle attraverso il disegno. Oltre a descrivere i vari livelli di sviluppo, i Van Hiele hanno individuato delle proprietà interne ai processi di sviluppo delle competenze geometriche, utili principalmente agli insegnanti, dal momento che possono fornire indicazioni inerenti la didattica della geometria (van Hiele, 1986). a) La proprietà sequenziale, secondo la quale il passaggio da un livello al successivo avviene nell ordine proposto dal modello. Per passare al livello successivo è indispensabile che lo studente abbia acquisito le strategie del livello precedente.

9 14 Geometriatest b) La proprietà del passaggio tra i livelli, secondo la quale i progressi da un livello al successivo dipendono non tanto dall età ma dall educazione fornita al bambino. La completa assenza di un istruzione formale non consentirebbe alcuno sviluppo. Pertanto i metodi di insegnamento sono fondamentali: alcuni favoriscono il passaggio a un livello successivo, altri lo impediscono. È possibile dunque favorire e accelerare tale processo. c) La proprietà intrinseca ed estrinseca, secondo la quale l oggetto di interesse di un dato livello, diventa oggetto di studio del livello successivo. Ad esempio, nel primo livello il bambino impara a denominare le figure in base a caratteristiche percettive e ogni figura possiede delle proprietà, ma queste possono essere scoperte, comprese ed analizzate, solo al livello successivo. d) La proprietà linguistica, secondo cui a ogni livello corrisponde uno specifico utilizzo del linguaggio che può essere considerato corretto all interno di quel particolare livello, ma può essere ulteriormente ampliato a un livello successivo. Ad esempio, una figura può avere più di un nome: un quadrato è un rettangolo, ma è anche un parallelogramma e un quadrilatero. Tali distinzioni non sono utilizzabili al secondo livello, ma diventano fondamentali dal terzo livello in avanti. e) La proprietà della discrepanza, secondo la quale il tipo di educazione fornita deve essere coerente con il livello dell alunno; se viene fornita un istruzione che si colloca a un livello più alto, lo studente incontrerà difficoltà nel seguire i processi di pensiero formulati dall insegnante. Ciò accade spesso tra insegnante e studente. Nessuno dei due riesce a capire il percorso mentale dell altro e il loro dialogo continua unicamente poiché lo studente tenta di intuire il pensiero dell insegnante e a esso si uniforma. I ragazzi non riescono a maturare un vero e proprio apprendimento se imparano, per abitudine, a manipolare relazioni matematiche che non conoscono e delle quali non hanno mai visto la nascita. Essi finiscono così per disporre senza consapevolezza e padronanza, ma solo per imitazione, della stessa unica rete di conoscenze dell insegnante, identica per tutti, nella quale le relazioni sono di tipo logico e deduttivo. È difficile per lo studente conservare nella memoria a lungo termine e soprattutto padroneggiare con competenza una rete di relazioni così costruita, non fondata su esperienze sensoriali personali. Nel migliore dei casi egli non conoscerà altro, oltre a ciò che gli è stato insegnato. D altra parte, tuttavia, è importante che l insegnante utilizzi termini tecnici e specifici tipici della disciplina di insegnamento, con la consapevolezza del complesso rapporto che intercorre tra esposizione della matematica, intenzione di farla apprendere, il suo apprendimento consapevole, la necessità comunicativa in aula, il contratto di comunicazione che si instaura in aula e la «lingua comune» (per un approfondimento si veda D Amore, 2000).

10 2 Struttura e procedure di somministrazione/scoring Conoscenze geometriche, problemi di geometria e abilità visuospaziali Geometriatest offre delle prove standardizzate per la valutazione dell apprendimento geometrico di facile somministrazione (anche a livello di intera classe) e con una semplice modalità di attribuzione del punteggio. Come già evidenziato più in generale per l apprendimento matematico (Lucangeli e Mammarella, 2010), appare in primo luogo necessario differenziare l ambito delle conoscenze da quello della soluzione di problemi. Inoltre, nello sforzo di riconoscere il peso di abilità sottostanti, nel caso dell apprendimento geometrico appare particolarmente rilevante avere una stima delle competenze visuospaziali dell alunno. Sono state quindi predisposte delle prove di valutazione dell apprendimento della geometria per studenti della scuola primaria e della scuola secondaria di primo grado che fanno riferimento a tre aree fondamentali e cioè conoscenze, problemi e abilità visuospaziali, che vanno a costituire i tre rispettivi subtest: a) conoscenze geometriche; b) problemi di geometria; c) abilità visuospaziali. Tutti e tre i gruppi di prove sono modulati per difficoltà in base alla classe e al grado di scuola a cui sono rivolti, e sono stati sviluppati considerando le indicazioni curricolari disponibili per le varie classi scolastiche. Più precisamente i materiali sono distinti per le seguenti classi: 1. prove per le classi seconda e terza della scuola primaria; 2. prove per le classi quarta e quinta della scuola primaria;

11 22 Geometriatest 3. prove per la classe prima della scuola secondaria di primo grado; 4. prove per la classe seconda della scuola secondaria di primo grado; 5. prove per la classe terza della scuola secondaria di primo grado. Classi seconda e terza (Scuola primaria) Conoscenze geometriche Problemi di geometria Abilità visuospaziali Classi quarta e quinta (Scuola primaria) Conoscenze geometriche Problemi di geometria Abilità visuospaziali Classe prima (Scuola secondaria di primo grado) Conoscenze geometriche Problemi di geometria Abilità visuospaziali Classe seconda (Scuola secondaria di primo grado) Conoscenze geometriche Problemi di geometria Abilità visuospaziali Classe terza (Scuola secondaria di primo grado) Conoscenze geometriche Problemi di geometria Abilità visuospaziali Fig. 2.1 Articolazione delle prove del Geometriatest per le varie classi. Conoscenze geometriche Il subtest Conoscenze geometriche è composto di una serie di domande a scelta multipla che indagano la conoscenza del significato di termini tecnici (lessico), di formule geometriche e della proprietà delle figure geometriche. Ogni interrogativo, posto in modo chiaro e di facile comprensione, è seguito da tre possibili risposte (a, b, c), tra cui lo studente deve scegliere quella che ritiene corretta. È ammessa un unica risposta. Per le classi seconda-terza, quarta-quinta della scuola primaria e prima della scuola secondaria di primo grado alcune domande

12 Struttura e procedure di somministrazione/scoring 23 sono relative al lessico geometrico e altre valutano la conoscenza relativa alle proprietà delle figure; per le classi seconda e terza della scuola secondaria di primo grado le domande riguardanti il lessico sono state sostituite da domande che indagano la conoscenza e la comprensione delle formule geometriche. Problemi di geometria I problemi di questo gruppo di prove presentano tipologie e indici di difficoltà differenti. Alcuni sono esercizi di disegno o misurazione, che pongono maggior attenzione alla conoscenza del lessico e a specifici concetti geometrici; altri prevedono l applicazione di uno schema risolutivo appreso; altri ancora stimolano il pensiero di tipo «produttivo» anziché «riproduttivo». Più precisamente, il subtest si articola in esercizi, problemi procedurali e problemi strategici. Per esercizio si intende una prova di ragionamento, priva della domanda finale; i problemi procedurali possiedono la struttura tipica dei problemi matematici (presentazione della situazione problema seguita dalla domanda finale) la cui soluzione può essere raggiunta attraverso l applicazione di formule e procedure note allo studente; nei problemi strategici, infine, la conoscenza delle formule e delle procedure, pur essendo necessaria, non è sufficiente per raggiungere il risultato corretto, poiché deve intervenire una scoperta da parte dell esecutore (insight) che, attraverso un pensiero produttivo, ma sostenuto dal ragionamento, permetta di arrivare alla soluzione. È da notare che la distinzione tra problemi procedurali e strategici è contestuale, e dipende dalle conoscenze che si presume uno studente possieda a una data età. Un problema strategico per la seconda classe della scuola primaria potrebbe essere considerato procedurale se riferito a uno studente che frequenta la prima classe della scuola secondaria di primo grado. Abilità visuospaziali Questo subtest è composto da ventiquattro tavole operative suddivise in sei tipologie differenti di esercizi. Ogni tipologia consta di quattro tavole ed è preceduta da esempi esplicativi. Le sei tipologie di esercizi sono le seguenti: scomposizione di figure: l alunno deve osservare la configurazione che gli viene proposta e individuare, tra le alternative a disposizione, il gruppo di figure geometriche corrette che compongono la configurazione mostrata. Tali figure geometriche rimangono invariate di dimensione e forma ma possono cambiare orientamento. Questa operazione riguarda figure piane o solide (fig. 2.2); composizione di figure: lo studente deve immaginare di unire le figure geometriche proposte, e indicare quale forma assumono fra le tre opzioni a disposizione (fig. 2.3);

13 24 Geometriatest TAVOLA 3 Osserva la configurazione dentro il riquadro e trova quella composta dalle stesse figure. Fai una crocetta sotto la figura corretta. A B C Fig. 2.2 Esempio di esercizio di scomposizione di figure. TAVOLA 5 Cerca la figura che deriva dall unione dei pezzi all interno del riquadro. A B C Fig. 2.3 Esempio di esercizio di composizione di figure.

14 Struttura e procedure di somministrazione/scoring 25 sviluppo di figure solide: lo studente deve immaginare di ricomporre la rappresentazione «aperta» e bidimensionale delle figure solide, e individuare tra le alternative quella rappresentante il solido stesso (fig. 2.4); TAVOLA 11 Quale tra le tre alternative rappresenta la composizione della figura nel riquadro? A B C Fig. 2.4 Esempio di esercizio di sviluppo di figure solide. stima del volume: lo studente deve individuare il volume delle diverse figure proposte o determinare se due figure solide sono equivalenti attraverso il conteggio dei cubetti che li compongono (fig. 2.5); figure nascoste: lo studente deve cogliere la figura semplice racchiusa all interno di una più complessa, delimitandone il contorno con una matita colorata (fig. 2.6); intersezione di figure: all alunno viene chiesto di individuare e colorare la parte di piano in cui tutte le figure si sovrappongono, ossia la zona di intersezione (fig. 2.7). Istruzioni per la somministrazione delle prove, correzione e attribuzione del punteggio Geometriatest è stato pensato per una somministrazione individuale e collettiva. L obiettivo è un accertamento generale delle competenze geometriche dell intera classe, ma si presta anche all analisi di casi singoli con difficoltà nell area della matematica in generale e in geometria, in particolare.