Soluzioni a problemi e quesiti della simulazione della seconda prova di Fisica

Transcript

1 Soluzioni a problemi e quesiti della simulazione della seconda prova di Fisica PROBLEMI Problema n. 1: Il metodo delle parabole di Thomson 1. Figura 1 Consideriamo la particella carica q che ha velocità iniziale vv 0 lungo x e che attraversa la regione di azione del campo elettrico EE. Su questa particella agisce una forza FF = qqee perpendicolare a. vv 0 La particella è quindi soggetta a due moti simultanei: un moto lungo la direzione x con velocità vv 0 e un moto uniformemente accelerato lungo la direzione y, con velocità iniziale nulla. Ricordando le relazioni della meccanica per la forza, F = ma, e per lo spostamento, s = ½ at, e considerando lo spostamento lungo l asse y abbiamo che: qqqq = mmmm aa = qqqq mm dd yy = qqqq mm tt Consideriamo ora l azione del campo magnetico. Sappiamo che, su una carica in movimento con velocità vv 0 perpendicolare all induzione magnetica BB, agisce la forza di Lorentz. Tale forza, in generale, ha una direzione variabile e ha le proprietà di una forza centripeta. Il testo del problema, tuttavia, dà indicazioni chiare sul fatto che la forza di Lorentz, in questo caso, è sempre diretta nella direzione z. È un approssimazione e non è richiesto che lo studente ne dia una giustificazione. Quindi, la componente della forza di Lorentz lungo la direzione z è: FF = qq vv oo BB 1

2 Da cui, come abbiamo fatto per il campo in precedenza otteniamo: qq vv oo BB = mmmm aa = qq vv oo BB mm dd zz = qq vv oo BB mm tt Sappiamo che lungo x il moto è uniforme con velocità vv. 0 Possiamo quindi dire che il tempo impiegato dalle particelle per uscire dalla regione in cui agiscono i campi, che è lunga R, è: Da cui: tt = RR vv 0 dd yy = qqqq RR mm vv 0 qqqq RR dd zz = mm vv 0 Se la lastra fotografica fosse posta alla fine della regione R, quella in cui agiscono i campi, avremmo il risultato dell esperimento di Thomson considerando: AA 1 = EE RR ee AA = BB RR La figura data nel testo, invece, mostra la lastra fotografica all estremità destra della regione in cui non agiscono il campo elettrico e il campo magnetico, come rappresentato in Figura. Figura All uscita dalla regione R abbiamo che: vv xx = vv 0 qqqq RR vv yy = mm vv 0 qqqq RR vv zz = mm

3 Indichiamo con t il tempo necessario alle particelle per percorrere la distanza R, ovvero la distanza tra la fine della regione in cui agiscono i campi e lo schermo fotografico. Abbiamo: Da cui: tt = RR vv 0 yy = dd yy + vv yy tt = qqqq RR qqqq RR RR + mm vv 0 mm vv 0 vv 0 Da cui segue la tesi: Allo stesso modo abbiamo: Da cui segue la seconda tesi: yy = zz = qq EE RR AA mm vv 11 cccccc AA 11 = 00 + EEEEEE zz = dd zz + vv zz tt = qqqq RR qqqq RRRR + mm vv 0 mm vv 0 qq BB RR AA mm vv cccccc AA = 00 + BBBBBB. Quando le particelle entrano nella regione dove agiscono i campi, hanno tutte velocità che non conosciamo e diverse tra loro. Prendiamo la relazione ottenuta al punto precedente, lungo la direzione z: zz = Sostituiamo ora v0 nell equazione per y: yy = Che è proprio l equazione di una parabola. qq AA mm vv vv 0 = qq 0 mm zz AA qq mm vv 0 AA 1 = mm qq AA 1 zz AA 3

4 3. Abbiamo già dimostrato che l equazione è quella di una parabola semplice, dove il rapporto q/m indica l ampiezza della parabola stessa. Quindi, più grande è il rapporto q/m più la parabola sarà ampia e schiacciata sull asse magnetico z. Lo ione di idrogeno (H+) ha il massimo rapporto q/m quindi è rappresentato dalla parabola più schiacciata sull asse orizzontale, quasi invisibile nella fotografia inserita nel testo del problema. Per risolvere il quesito tracciamo una retta parallela all asse y sulla fotografia, come fatto nel seguente schema. Figura 3 Dobbiamo ora misure la coordinata y dei punti ottenuti dall incontro tra la retta verticale, la parabola dell idrogeno (disegnata in rosso) e un altra delle parabole che rappresentano altri ioni. Nell esempio riportato in Figura 3, in pratica, dobbiamo misurare ya, ovvero la coordinata su y del punto A, e yb, la coordinata su y del punto B. Per calcolare il rapporto q/m per elementi diversi dall idrogeno basterà, a questo punto, fare una semplice proporzione: se lo ione sconosciuto ha un rapporto di xx qq allora per trovare x mm basta fare il rapporto tra ya/yb, con ya e yb misurati con il righello direttamente sulla fotografia. Per migliorare i dati, inoltre, è possibile misurare i valori con il righello diverse volte e poi calcolare la media. 4

5 4. In Figura 4, qui sotto, è rappresentata la richiesta del quesito, con il vettore velocità posto nel verso dell asse x, il campo elettrico entrante nella pagina della figura e il campo magnetico in verticale lungo y. In questa configurazione le forze dovute al campo elettrico e magnetico sono opposte e dirette lungo z. Figura 4 Affinché la deflessione sia nulla bisogna imporre che le forze si equilibrino quindi: Da cui: vv 0 = EE BB qq EE = qq vv 0 BB Possiamo quindi usare lo strumento per misurare e selezionare le velocità delle particelle, misurando i campi elettrici e magnetici. 5

6 Problema nr. : Uno strumento rinnovato 1. Rappresentiamo la nuova situazione nella figura sottostante. È stato scelto di porre il campo magnetico BB entrante rispetto al piano del foglio. Figura 5 Per semplicità è stato disegnato il campo BB una sola volta ma bisogna considerare l intera struttura immersa nel campo magnetico. Quando vengono eliminati i blocchi A e B la barra inizia a cadere verso il basso, soggetta alla forza peso, lungo l asse x disegnato nella figura. Man mano che la barra scende, aumenta l area S delimitata dalla barretta e dalla guida. Questa area, rappresentata in verde in Figura 6, può essere considerata come una spira. La variazione dell area della spira provoca una variazione del flusso del campo magnetico che la attraversa. Si ha quindi induzione elettromagnetica: la barretta diventa sede di una forza elettromotrice indotta che, per la legge di Lenz, ha il verso indicato in Figura 7. 6

7 Figura 6 Figura 7 Per la legge di Faraday-Neumann sappiamo che la f.e.m. indotta f è pari a: ff = Il campo magnetico è uniforme e perpendicolare alla spira, quindi il flusso concatenato con la spira è dato da φφ = BBBB. Sappiamo che la superficie della spira aumenta nel tempo man mano che la barretta scende, quindi: ff = = dd BBBB = dd BBBB xx(tt) = BBBB = BBBB vv(tt) Questa f.e.m. genera una corrente indotta che circola in senso antiorario lungo la spira e ha intensità direttamente proporzionale alla velocità della barra: ii ii = ff RR = BBBB vv(tt) RR con R la resistenza del materiale di cui è composta la spira. La barra, percorsa dalla corrente ii e immersa nel campo magnetico BB risente anche di una forza magnetica : FF MM FF MM = iill BB Per la regola della mano destra questa forza ha la stessa direzione della forza peso ma verso opposto. Inoltre, visto che ll e BB sono perpendicolari, il modulo della forza magnetica diventa: FF = iiii BB = BBBB vv(tt) RR llll = BB LL RR vv(tt) Quindi possiamo dire che la forza magnetica è una forza che ostacola il moto della barretta, si comporta infatti come una forza di attrito viscoso, e ha un intensità proporzionale alla velocità istantanea v(t). 7

8 . Dai risultati ottenuti al punto 1 sappiamo che, con il passare del tempo, la forza magnetica aumenta e diminuisce quindi l accelerazione della barretta. A un certo punto la forza magnetica bilancia la forza peso e il moto della barra diventa rettilineo uniforme a velocità costante. Considerando che il grafico 1 rappresenta un moto uniformemente accelerato, che il grafico rappresenta un moto con accelerazione che cresce nel tempo, il grafico che stiamo cercando non può essere che il Come descritto al punto, la barra comincia a muoversi a velocità costante, e massima, quando la forza magnetica eguaglia la forza peso quindi: mmmm = BB ll RR vv mmmmmm vv mmmmmm = mmmmmm BB ll Sostituendo i valori numerici si ottiene: vv mmmmmm = ( kkkk)(9,81 mm/ss )(,00 Ω) (,5 TT) (40 10 mm) = 0,5886 mm ss 59cccc/ss 4. Dalla seconda legge della dinamica sappiamo che F = ma. Nel nostro caso la forza è quella risultante dall azione della forza peso e di quella magnetica quindi: FF PP FF mm = mm Al punto 1 abbiamo trovato la forza magnetica quindi: mmmm BB ll vv(tt) = mm vv (tt) RR Al punto 3, invece, abbiamo trovato la velocità massima da cui: vv (tt) + gg vv mmmmmm vv(tt) = gg ( ) Prendiamo ora l equazione data nel testo del quesito e deriviamola: vv(tt) = vv mmmmmm 1 ee tt ττ vv (tt) = vv mmmmmm ττ ee tt ττ 8

9 Dalla relazione per v(t) otteniamo che: Quindi possiamo scrivere la derivata come: vv mmmmmm ee tt ττ = vv mmmmmm vv(tt) vv (tt) = 1 ττ vv mmmmmm vv(tt) vv (tt) + vv(tt) ττ vv mmmmmm ττ = 0 Ricordando che τ corrisponde a: Otteniamo: Che è proprio l equazione (*). vv (tt) + ττ = vv mmmmmm gg gg vv mmmmmm vv(tt) gg = 0 Consideriamo ora l equazione vv(tt) = vv mmmmmm 1 ee tt ττ. Il grafico di questa equazione è proprio il grafico numero 3 del punto 3 del problema: τ rappresenta il tempo che la barretta impiegherebbe a raggiungere la velocità massima in assenza del campo magnetico B ovvero mantenendo l accelerazione iniziale g. In fisica τ, che ha le dimensioni fisiche di un tempo, viene chiamata costante di tempo e viene usata, per esempio anche nei circuiti RC, per indicare che, trascorsi alcuni τ, tutte le variazioni tendono ad annullarsi e le grandezze possono essere considerate uguali al valore asintotico. 9

10 QUESITI Quesito 1 Possiamo riscrivere la relazione data nel testo del quesito come: PP MMMM = PP MMMM,0 100 = 1,0 10 0,0 =,0 WW Con PME la potenza media emessa e PMA la potenza media assorbita. Sappiamo poi che l intensità è legata alla potenza e alla superficie che viene considerata. Il testo del quesito ci permette di fare l approssimazione di una sorgente che emette uniformemente in tutte le direzioni. Consideriamo quindi come superficie S la sfera di raggio d =,0 m indicata nel testo. Possiamo quindi scrivere l intensità media come: ii mmmmmmmmmm = PP MMMM SS = PP MMMM 4ππ dd = (,0 WW) 4ππ (,0 mm) = 4,0 10 WW/mm Nella nostra approssimazione la sorgente emette in modo uniforme in tutte le direzioni quindi l intensità sarà la stessa in tutti i punto dell immaginaria superficie sferica che abbiamo preso in considerazione, a due metri di distanza dalla lampadina. Tale intensità media, sulla superficie, può anche essere scritta come: ii mmmmmmmmmm = ccεε 0 EE eeeeee Possiamo quindi scrivere, sostituendo i valori numerici, che: EE eeeeee = II mm ccεε 00 = 33, 9999/CC Sappiamo infine che Beff = Eeff/c quindi possiamo scrivere: BB eeeeee = EE eeeeee cc = 3,9 NN/CC 3, mm/ss = 11, TT Considerando una distanza di due metri possiamo dire che la presenza dell aria non cambia molto il risultato per quanto riguarda l intensità luminosa. Sicuramente la lampadina non può essere considerata una sorgente puntiforme perché il filamento ha una certa dimensione e perché la radiazione non viene emessa in tutte le direzioni: sul retro del bulbo della lampadina c è l attacco al filo di alimentazione. 10

11 Quesito Sappiamo che la corrente di spostamento è data da: ii ss = εε 0 (EE) ( ) con εε 0 la costante dielettrica del vuoto e il flusso del campo elettrico pari a con A l area delle armature ovvero: φφ(ee) = AA EE AA = ll = (5,0 10 ) =, mm Sappiamo inoltre che l intensità del campo elettrico all interno del condensatore è dato da E = V/s con V la differenza di potenziale tra le armature e s la distanza tra le armature. Questa distanza, come descritto nel testo, varia nel tempo secondo la relazione Dal testo sappiamo inoltre che EE(tt) = ss(tt) = ss 0 + vvvv VV ss(tt) = VV ss 0 + vvvv Calcolando la derivata troviamo la velocità di variazione del campo elettrico: (tt) = VV vv (ss 0 + vvvv) Riprendiamo ora dalla relazione (**) e aggiungiamo quello che abbiamo ottenuto per il flusso e per la derivata del campo elettrico. Otteniamo: ii ss = εε 0 (EE) = ii ss = εε 0 (tt) vv = εε 0 AA VV (ss 0 + vvvv) Considerando la corrente di spostamento nell istante t = 0, sostituendo tutti i valori numerici, abbiamo che: ii ss (00) = AA Il segno meno, in questo risultato, indica che la carica sulle armature del condensatore diminuisce. 11

12 Quesito 3 Dalla teoria sappiamo che cc = ffff quindi, la lunghezza d onda massima per ogni banda corrisponde alla frequenza minima: Modulazione di frequenza λλ mmmmmm = Onde medie λλ mmmmmm = Onde corte cc = 3,0 108 mm/ss ff mmmmmm ss 1 = 3,4 mm λλ mmmmmm = cc = 3,0 108 mm/ss ff mmmmmm =,8 mm ss 1 cc = 3,0 108 mm/ss ff mmmmmm ss 1 = 5,6 10 mm λλ mmmmmm = cc = 3,0 108 mm/ss ff mmmmmm ss 1 = 1,9 10 mm λλ mmmmmm = cc = 3,0 108 mm/ss ff mmmmmm 6, ss 1 = 50 mm λλ mmmmmm = cc = 3,0 108 mm/ss ff mmmmmm = 17 mm ss 1 Quando un onda incontra un ostacolo sul suo percorso, se le dimensioni dell ostacolo sono minori o uguali alla lunghezza d onda, si ha il fenomeno della diffrazione. In questo caso l onda riesce ad aggirare l ostacolo e propagarsi lo stesso. Se consideriamo edifici possiamo ipotizzare un ordine di grandezza di 10 m. Possiamo quindi dire che le onde meno influenzati da edifici sono le onde medie, poi quelle corte e infine quelle a modulazione di frequenza. 1

13 Quesito 4 Partiamo dall equazione di Ampere-Maxwell: BB ddll = μμ 0 ii + εε 0 Tale relazione indica che un campo magnetico può essere generato da una corrente elettrica i ma anche dalla variazione del flusso del campo elettrico nel tempo, calcolato per una superficie delimitata da una curva chiusa. In questo caso specifico, essendo nel vuoto, non c è una corrente elettrica quindi: BB ddll = μμ 0 εε 0 Per calcolare il flusso del campo elettrico, per semplicità di calcolo, scegliamo come curva chiusa una circonferenza di raggio R. Possiamo considerare il campo magnetico costante lungo tale curva quindi la circuitazione sarà data da BB ddll = BB ππ RR La variazione del campo elettrico, invece, è pari a Quindi: = mmmmmmmmmmee ππrr BB ππ RR = μμ 0 εε 0 mmmmmmmmmm EE ππrr BB = μμ 0εε 0 mmmmmmmmmm EE RR = 55, TT All aumentare di R il campo magnetico indotto aumenta in modo proporzionale. 13

14 Quesito 5 Figura 8 Nella cella ci sono otto ioni che formano dodici coppie con carica di segno opposto, separate da una distanza x = l/: EE 1 = 1 qq 4ππεε 0 xx Ci sono poi 1 coppie di ioni con segno concorde separati dalla distanza xx: EE = 1 4ππεε 0 qq xx Ci sono infine 4 coppie di ioni con carica di segno opposto separati dalla distanza 3 xx: Quindi: EE = EE 1 + EE + EE 3 = 1 EE 3 = 1 4ππεε 0 qq 3 xx qq 4ππεε 0 xx Quindi, sapendo che il numero N di ioni della cella è 8, l energia per ione è data da: EE NN = 1 qq 4ππεε 0 xx 5,84 8 = 33, 7777 eeee Questo valore è circa il 90 % del valore sperimentale dell energia di legame. 14

15 Quesito 6 Secondo la legge di Malus l intensità della luce incidente su un filtro polarizzatore I0 è legata all intensità della luce che esce dal filtro nel seguente modo: II = II 0 cccccc θθ ( ) Con θθ l angolo tra la direzione di polarizzazione della luce incidente e di quella uscente. Se l onda incidente non è polarizzata, θθ varia da 0 a π e l intensità luminosa in uscita è la media su θθ ovvero: II = II 0 Se l onda è polarizzata, invece, vale la relazione (***). Nel nostro caso specifico si ha che I0 incide su P1 quindi l intensità uscente da P1 è: II 1 = II 0 Il testo ci dice che α è l angolo esistente tra P1 e P3 quindi: II 3 = II 1 cccccc αα mentre l angolo tra P3 e P, invece, è 90 α da cui: II = II 3 cccccc αα ssssss αα = 1 4 II 3 ssssss (αα) L intensità massima si ha quindi per α = 90 ovvero per α = 45 a cui corrisponde: II = II 11 = II 00 15