Corrente elettrica (regime stazionario)

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1 Corrente elettrica (regime stazionario) Metalli Corrente elettrica Legge di Ohm Resistori Collegamento di resistori Generatori di forza elettromotrice

2 Metalli Struttura cristallina: ripetizione di unita` fondamentali Ioni fissi +elettroni di conduzione (cubica a facce centrate) Rame: 1 e di conduzione / atomo ρ = 8.96 g cm -3 = 8960 kg m -3 (T=20 0 C) A=63.55 a= x m [g / m 3 ] A N A = elettroni conduzione / volume m "3

3 Moto degli elettroni Moto disordinato (termico) Interazione elettrone-ione ( urto ) Interazione elettrone-elettrone trascurabile Gas di elettroni 1 2 m<v2 >= 3 2 k B T m= kg k B = JK -1 mole -1 v < v 2 > = 3k T B m = 2E T m 3 "1.4 "10#23 " "10 #31 = 1.2 "10 5 m/s sbagliata di ~ 1 ordine di grandezza (Energia media 2 ordini di grandezza)

4 Moto degli elettroni Necessaria la meccanica quantistica Potenziale medio in cui si muovono gli elettroni + principio di esclusione di Pauli Energia di Fermi E F : energie elettroni tra E min ed E F (E F = max energia occupata allo zero assoluto) n(e) 1 T ~ 0 0 K n(e) = 1 " exp E E F $ # kt % ' +1 & E F E F = h2 3n $ # & 2m " 8 % 2/3 1.7 ev

5 Moto degli elettroni Necessaria la meccanica quantistica Potenziale medio in cui si muovono gli elettroni + principio di esclusione di Pauli Energia di Fermi E F : energie elettroni tra E min ed E F (E F = max energia occupata allo zero assoluto) E F E Termica V F = 2E F m 106 ms 1

6 Conduzione elettrica nei metalli V 1 > V 2 equilibrio C 1 C 2 C 1 C 2 V 1 E V 2 elettroni corrente elettrica = moto ordinato di elettroni tra i due conduttori in una direzione definita V V fenomeno transitorio Per mantenere la corrente elettrica e` necessario un dispositivo in grado di mantenere una differenza di potenziale diversa da zero tra due punti di uno stesso conduttore (o di conduttori a contatto) Generatore di f.e.m.

7 Conduzione elettrica Nei gas (ionizzati) portatori Nei liquidi (soluzioni elettrolitiche) portatori Nei semiconduttori - portatori Nei metalli ± ± ± moto dei portatori di carica ostacolato dalle interazioni con il mezzo in cui si muovono ( resistenza elettrica) Superconduttivita`

8 Corrente elettrica Cariche elettriche in un conduttore in moto sotto l azione di un campo elettrico. Tracciata una superficie Σ nel conduttore, l intensita` di corrente i e` definita come la quantita` di carica Δq che passa attraverso Σ nel tempo Δt. Σ dv = v D t dacos n + cariche per unita` di volume i = lim t"0 q t Prendiamo le cariche positive: si muovono con velocita` di deriva v D q = n + edv = n + e v D dacost di = n + e v D dacos J n + e v D = v = D i = " ( J ) = $ " J nda J # nda

9 Corrente elettrica Densita` di corrente J Quantita` di carica elettrica che attraversa l unita` di superficie perpendicolare al moto delle cariche per unita` di tempo = Corrente che attraversa l unita` di superficie perpendicolare al moto delle cariche A E i = JA ( J / / n) [i] = [Q] T = C s = A [J ] = A m 2

10 Corrente elettrica Se sono presenti cariche positive e negative J = n + e v + n e v entrambi i termini sono concordi hanno la direzione e verso del campo elettrico Su scala macroscopica non si puo` correlare il verso della corrente al segno dei portatori di carica Covenzionalmente: corrente=verso delle cariche + (da potenziale > a potenziale < ).

11 Conservazione della carica Attraverso una superficie chiusa i = "# J nda = $ %q interna %t " = $ % %t # V " dv flusso totale uscente dalla superficie Teorema della divergenza " J + # #t = 0 equazione di continuita` se il flusso uscente e` positivo la carica interna diminuisce e qinterna < 0 t

12 Regime stazionario q interna t = 0 " t = 0 " # $ J = 0 La densita` di corrente e` solenoidale. (la corrente puo` dipendere dal tempo, ma la carica che entra per unita` di tempo e` uguale a quella che esce tempo variab. corrente << d/c) regime stazionario " ( J ) = " J # nda = "$ 0 superficie chiusa

13 Regime stazionario n 1 "# " q interna t Σ 1 J nda = J 1 n 1 da # + " 1 = 0 " t = 0 " # $ J = 0 Σ 2 J 1 J 2 n 2 conduttore "# " 1 " 2 J 1 n 1 da + " 2 " J 2 ($ n 1 )da In un conduttore J differisce da zero solo all interno E` nulla la componente ortogonale alla superficie (dalle pareti laterali non esce carica) J 2 n 2 da = "# 0 # = 0 i = i 1 2 La corrente e` la stessa in ogni sezione trasversale

14 Legge di Ohm Gas di elettroni (modello di Drude) Moto disordinato (agitazione termica) Campo elettrico moto disordinato + deriva v = v urto e E m t < v > = < v urto > e E m < t > = e E m " v D

15 Legge di Ohm v = e D m E (simile al moto viscoso) J = ne v D = ne2 E = E m Legge di Ohm conduttivita` v ± = ± e ± E in generale: J = ne v m ± + ne v " = ne % $ ' E " = ne % $ ' # m + & # m + m & m

16 Legge di Ohm J = E E = J = 1 " resistivita` Potenza spesa dalla forza per mantenere la carica in moto con velocita` v D P = F v D = e E v D per unita` di volume dp dv = ne E v D = J E " = E 2 # $ J 2 Energia trasferita agli ioni del reticolo cristallino. Aumento energia interna. Aumento temperatura.

17 Legge di Ohm h A 1 2 E J + - Regime stazionario: J = i A V 1 V 2 =V = Eh = Jh = h A i V = Ri R = h A Resistenza elettrica 1 = 1V 1A R = 2 1 dh A G = 1 R conduttanza

18 Alcune considerazioni Anche in assenza di un campo elettrico (= deriva collettiva) esiste una corrente elettrica fluttuante in modo casuale (fluttuazione statistica del vettore somma delle velocita` degli elettroni) Questa corrente fluttuante e` una sorgente di rumore Pone un limite alla rivelazione di segnali elettrici molto deboli

19 Limitazioni della legge di Ohm Supponiamo il campo elettrico molto intenso, in modo tale che uno ione tra due urti acquisti una velocita` v < v > termica Il tempo medio tra due urti non e` piu` costante: τ=τ(e) non c e` piu` linearita` Esempio: gas debolmente ionizzato Cammino libero medio λ ~ 10-8 m eeλ ~ kt E ~ kt/eλ " "19 10 "8 # V m

20 Limitazioni della legge di Ohm Se il campo e` molto intenso puo` anche variare il numero dei portatori di carica (es. scarica in un gas) Alternativamente, se il campo elettrico varia su una scala temporale molto breve, paragonabile a τ, la risposta dei portatori sara` come quella di corpi liberi (inerziale)

21 Legge di Ohm. Effetti termici. = " 1+ ( t 20 0 ) $ 20 0 # % α = coefficiente termico α > 0 per i metalli puri α < 0 per C, Ge, Si (nei semiconduttori diminuisce ~ e T/T0 ) Normalmente nei metalli: ρ(t) ρ 0 per T 0 Superconduttori: ρ(t) 0 per T<T c

22 Resistivita` e coefficiente termico di alcune sostanze

23 Superconduttori Omnes, 1911 Mercurio a T=4.2 K la resistenza R crolla da 0.12 a 10-5 Ohm Alla transizione i campi magnetici non penetrano nel materiale (diamagnetismo perfetto). Fenomeno quantistico. Per spessori sottili i campi magnetici entrano e distruggono localmente la supercoduttivita`.

24 Effetto Joule Potenza spesa per fare circolare una corrente i in un conduttore di sezione A e lunghezza dh dp = dp dv dv = i 2 A 2 Adh = dh A i 2 = (dr)i 2 Integrando su tutta la lunghezza P = i 2 dh S = Ri 2 P = Ri 2 =Vi = V 2 R

25 Effetto Joule La potenza dissipata produce un aumento della temperatura del conduttore Nell intervallo di tempo tra t 1 e t 2 viene speso il lavoro W = t 2 P dt = Ri 2 dt t 2 t 1 t 1 se la corrente e` costante: W = Ri 2 (t 2 t 1 ) = Ri 2 "t

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27 Serie e parallelo di resistori R 1 R 2 A B C i serie V A V B = R 1 i V B V C = R 2 i V A V C = R 1 i + R 2 i = (R 1 + R 2 )i = Ri i + - A i 1 i 2 R1 B i = i 1 + i 2 = V R 1 + V R 2 i = V R 1 i R2 parallelo R = 1 R R 2 + -

28 Collegamento di resistori n resistori in serie: R = n R i i=1 n resistori in parallelo: n " i=1 R 1 = R i 1

29 Esempio Cilindro di altezza h, raggio r 2 con foro coassiale di raggio r 1 : resistenza tra le 2 superficie? R = l A r 2 r 1 Settore cilindrico di raggio r, spessore dr h dr = dr A = dr 2" rh Settori in serie somma delle resistenze R = dr = 2" h r 2 r 1 dr r = 2" h ln r 2 r 1

30 Esempio Tra due sfere di raggi r 1 e r 2 vi e` un fluido con resistivita` ρ. Calcolare la resistenza. R = l A Settore sferico di raggio r, spessore dr dr = dr A = dr 4" r 2 Settori in serie somma delle resistenze R = dr = 4" r 2 r 1 dr r = # 1 " 1 & % ( 2 4" $ r 1 r 2 '

31 Forza elettromotrice Legge di Ohm per un conduttore di resistenza R nel tratto AB V A V B = B # A E " d r = Ri Per un circuito chiuso f.e.m. = = E d r = R T i 0 resistenza totale non puo` essere un campo elettrostatico a fare circolare le cariche

32 Generatori di f.e.m. conduttore E es E es E es +q -q E es A E * generatore Campo elettrostatico E es diretto da A a B sia ext che int E es " d r B = ( E es d r A ) ext + ( E es d r ) int = 0 A B B

33 Generatori di f.e.m. conduttore E es E es E es +q -q E es A E * generatore B Quindi il passaggio di carica da un polo all altro non puo` avvenire per effetto di E es Deve esistere un campo elettromotore di natura non elettrostatica all interno del generatore: E *

34 Generatori di f.e.m. conduttore E es E es E es +q -q E es E = A E * generatore B # E * + E es all'interno del generatore " $# E es all'esterno del generatore

35 Generatori di f.e.m. conduttore E es E es E es +q -q E es = A " B E * d r caratteristica del generatore f.e.m. = E d r = " A generatore B " A E * B E es d r + A " B La f.e.m. di E coincide con la tensione del campo elettromotore E * calcolata tra B e A " E es + E * ( ) d r = A " B E * d r

36 Generatori di f.e.m. A +q E es -q B E * Scollegando il circuito esterno, il campo all interno del generatore e` nullo (dopo il transiente dello spostamento delle cariche i due campi interni si equilibrano) A " E d r = B,int A " B,int E es + E * ( ) d r = 0 = A E * d r = " B,int A E es d r = V 0 0 A V B B La forza elettromotrice di un generatore e` uguale alla differenza di potenziale ai capi del generatore quando questo non eroga corrente

37 Generatori di f.e.m. conduttore E es E es E es +q -q E es Dentro al generatore una carica dq viene spostata da B verso A da una forza df * che deve vincere la forza elettrostatica df es =dqe es E * d F * dq A E * generatore B A E * > E es ( E * + E es ) " d r > 0 B

38 Generatori di f.e.m. conduttore E es E es E es +q -q E es Dentro al generatore circola la stessa corrente i che circola all esterno A ( E * + E es ) " d r # ri r = resistenza interna del generatore B A E * generatore B

39 Generatori di f.e.m. conduttore E es E es E es +q -q E es A E * B = Ri + ri = (R + r)i = R T i generatore La corrente e` data dal rapporto tra la f.e.m. e la resistenza totale V A V B = Ri = ri Se nel circuito circola corrente la d.d.p. tra i poli A e B e` minore della f.e.m. del generatore

40 Generatori di f.e.m. La f.e.m. e` la somma delle cadute di potenziale (o cadute di tensione) ai capi delle resistenze interna ed esterna = Ri + ri = (R + r)i = R T i V ε ri caratteristica tensione-corrente di un generatore reale Ri i una pila si consuma quando r diventa grande

41 Esempio Un circuito esterno resistivo (resistenza R) e` collegato ad un generatore di f.e.m. ε La potenza dissipata nel generatore per effetto Joule e` ri 2 quanto vale i? La potenza dissipata e` uguale al lavoro per unita` di tempo del campo elettromotore: P = εi Vale anche: P=(r+R)i 2 i = R + r

42 Esempio Collegamento in serie di N generatori uguali r r r r A B A circuito aperto V A V B = N r' = Nr La f.e.m. (o tensione) totale e` la somma delle tensioni di ciascun singolo generatore

43 Esempio Collegamento in parallelo di N generatori uguali A circuito aperto V A V B = r' = r N A circuito aperto V A V B = 1.5 V Il generatore parallelo ha resistenza inferiore Eroga una corrente piu` elevata Puo` sostenere il passaggio di corrente per un tempo N volte maggiore

44 Esempio Una pila di f.e.m. V e resistenza interna r alimenta un circuito resistivo di resistenza R. Per quale valore di R vi e` il massimo trasferimento di potenza dal generatore alla resistenza esterna R? i = V R + r P = Ri 2 = R V 2 (R + r) 2 dp dr =V (R + r) 2 2R(R + r) r R 2 =V 2 (R + r) 4 (r + R) 3 dp dr = 0 r = R dp > 0 R < r " dr # < 0 R > r

45 Leggi di Kirchoff Equazioni che traducono nei circuiti due risultati fondamentali conservazione della carica elettrica condizione di campo elettrico conservativo Rete elettrica: serie di nodi e rami Nodo: confluenza di tre o piu` rami di un circuito I rami collegano i nodi. Ci possono essere elementi attivi (es. generatori) e passivi (es. resistori) Maglia: insieme di rami che formano un circuito chiuso

46 Leggi di Kirchoff (corrente continua) L intensita` di corrente che circola in un ramo e` uguale al rapporto tra la d.d.p. (tensione) ai capi del ramo e la resistenza del ramo (incluse le resistenze interne dei generatori) Legge dei nodi ( = conservazione della carica elettrica) in un nodo la somma delle correnti entranti e uscenti (segno opposto) e` nullo i k = 0 N nodi N-1 condizioni Legge delle maglie ( = il campo elettrico e` conservativo) nodo 1 corrente va in almeno 2 nodi la somma delle f.e.m. nell ordine in cui si susseguono in una maglia (inizio e fine in uno stesso nodo) e` zero ( E d x = 0). R k i k = R rami è R-(N-1)=R-N+1 maglie k maglia maglia indipendenti

47 Leggi di Kirchoff (corrente continua) L intensita` di corrente che circola in un ramo e` uguale al rapporto tra la d.d.p. (tensione) ai capi del ramo e la resistenza del ramo (incluse le resistenze interne dei generatori) Legge dei nodi ( = conservazione della carica elettrica) in un nodo la somma delle correnti entranti e uscenti (segno opposto) e` nullo i k = 0 N nodi N-1 condizioni Legge delle maglie ( = il campo elettrico e` conservativo) nodo 1 corrente va in almeno 2 nodi la somma delle f.e.m. nell ordine in cui si susseguono in una maglia (inizio e fine in uno stesso nodo) e` zero ( E d x = 0). V k = 0 R rami è R-(N-1)=R-N+1 maglie maglia indipendenti

48 Leggi di Kirchoff Si scelgono M maglie indipendenti Si associa ad ogni maglia una corrente e un verso di percorrenza (arbitrariamente) Si scrivono le M equazioni alle maglie Le soluzioni forniscono le correnti incognite Se una corrente e` negativa, significa che il suo verso arbitrariamente scelto era opposto a quello effettivo

49 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r ε, r G ε Rami: R=6 Nodi: N=4 è Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r ε r G

50 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r ε, r G ε Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r ε r i G 1

51 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r ε, r G ε i 2 Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r ε r G

52 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r ε, r G ε Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r ε r G i G

53 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r ε, r G ε i 2 Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r ε r G Maglia con il generatore + (R 1 + R 2 + r )i 2

54 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r ε, r G ε Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r ε r i G 1 Maglia con il generatore + (R 1 + R 2 + r )i 2 (R 2 + R 1 )i 1

55 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r ε, r G ε Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r ε r G i G Maglia con il generatore + (R 1 + R 2 + r )i 2 (R 2 + R 1 )i 1 + R 2 i G = 0

56 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r ε, r G ε Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r ε r i G 1 Maglia con le 4 resistenze (R 2 + R 1 + R 3 + R x )i 1

57 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r ε, r G ε i 2 Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r ε r G Maglia con le 4 resistenze (R 2 + R 1 + R 3 + R x )i 1 (R 1 + R 2 )i 2

58 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r ε, r G ε Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r ε r G i G Maglia con le 4 resistenze (R 2 + R 1 + R 3 + R x )i 1 (R 1 + R 2 )i 2 (R 2 + R x )i G = 0

59 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r ε, r G ε Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r ε r G i G Maglia triangolare (R 2 + R x + r G )i G

60 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r ε, r G ε i 2 Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r ε r G Maglia triangolare (R 2 + R x + r G )i G + R 2 i 2

61 Esempio: ponte di Wheatstone Misura di R X attraverso R 1,2,3 e r ε, r G ε Rami: R=6 Nodi: N=4 Maglie: M=R-N+1=6-4+1=3 r ε r i G 1 Maglia triangolare (R 2 + R x + r G )i G + R 2 i 2 (R x + R 2 )i 1 = 0

62 Esempio: ponte di Wheatstone " $ # $ % $ (R 2 + R 1 )i 1 + (R 1 + R 2 + r )i 2 + R 2 i G = (R 2 + R 1 + R 3 + R x )i 1 (R 1 + R 2 )i 2 (R 2 + R x )i G = 0 (R x + R 2 )i 1 + R 2 i 2 + (R 2 + R x + r G )i G = 0 i G = 1 D (R 1 + R 2 ) (R 1 + R 2 + r ) (R 1 + R 2 + R 3 + R x ) (R 1 + R 2 ) 0 (R 2 + R x ) R 2 0 = D R 1 R x R 2 R 3 " # $ % & R x = R 2 R 3 R 1 se i G = 0

63 Resistenze elettriche

64 Relazione tra capacita` e resistenza di un conduttore 3d B A Σ ρ resistivita` ( E) = ( E) = # E nda = q int = C(V V ) A B C 0 = " R E " nda "$ = 0 0 "$ J " nda = i = V %V A B R # RC = " 0

65 Esempio Due sfere concentriche b a R = " $ 4" # C = 4" 0 1 a 1 b 1 a 1 b % ' & RC = " 0

66 Esempio Condensatore piano A R = h A C = 0 A h h RC = " 0

67 Riepilogo leggi di Kirchoff Legge per le tensioni (delle maglie) Lungo qualsiasi maglia la somma algebrica delle tensioni e` zero positive: le tensioni concordi con il verso di percorrenza della maglia negative: le tensioni discordi con il verso di percorrenza della maglia " V k = 0 V 1 concorde kmaglia V 2,3 discordi

68 Riepilogo leggi di Kirchoff Legge per le tensioni (delle maglie) Lungo qualsiasi maglia la somma algebrica delle tensioni e` zero positive: le tensioni concordi con il verso di percorrenza della maglia negative: le tensioni discordi con il verso di percorrenza della maglia k maglia Ri k k = k maglia ε k

69 i A R B V A -V B = Ri i A R B V A -V B = - Ri A i - + B A B i - + +ε 0 -ε 0

70 Riepilogo leggi di Kirchoff Legge per i nodi La somma algebrica di tutte le correnti relative a un nodo e` zero positive: le correnti entranti nel nodo negative: le correnti uscenti dal nodo k nodo i k = 0

71 Commenti Abbiamo usato il metodo delle maglie Un metodo equivalente e` quello dei nodi si sceglie un nodo come riferimento si scrivono N-1 equazioni per i potenziali dei rimanenti nodi Se M=R-N+1 < N-1 conviene usare le maglie Se M > N-1 conviene usare i nodi