INTRODUZIONE A. Guido Vagliasindi Controlli Automatici A.A. 06/07 Introduzione a MATLAB

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1 INTRODUZIONE A

2 Documentazione Sito web di Mathworks: seguendo i link alla voce support e possibile trovare i manuali di Matlab in formato pdf. ( oc/matlab.shtml) Un testo in italiano di introduzione a matlab e Simulink: Guida Operativa a MATLAB, SIMULINK e Control Toolbox Alberto Cavallo, Roberto Setola, & Francesco Vasca Liguori Editore, 1994

3 OUTLINE Descrizione generale di MATLAB Quadro delle funzioni predefinite Definizione di matrici e vettori Definizione di polinomi Rappresentazione di sistemi dinamici lineari Analisi di sistemi di controllo Rappresentazione grafica dei dati

4 Descrizione generale di Matlab MATrix LABoratory Software esplicitamente realizzato per manipolazione di matrici Interattivo Interprete di comandi Elemento base: matrice (che non richiede dimensionamento) Sviluppato agli inizi degli anni '80, come sottoprodotto dei progetti LINPACK ed EISPACK, da The MathWorks Inc.

5 Interfaccia MATLAB Workspace COMMAND WINDOW History

6 Help di MATLAB E disponibile un aiuto in linea accessibile direttamente dalla riga di comando. Digitando help nella riga di comando vengono restituite tutte le funzioni. Digitando invece help nome_funzione viene restituita la sintassi d uso della funzione e una descrizione della stessa. E possibile anche utilizzare l help di windows associato al programma MATLAB. Sono presenti vari esempi dimostrativi accessibili digitando demos nella riga di comando. Infine si può utilizzare la funzione lookfor per cercare all interno della descrizione delle varie funzioni una parola chiave.

7 VARIABILI MATLAB supporta nomi di variabili sino a 63 caratteri ed è case sensitive. E possibile utilizzare lettere, numeri e i caratteri speciali che non hanno un corrispondente significato come operatori in MATLAB (praticamente solo l underscore _). La variabile deve sempre cominciare con una lettera. E' opportuno non utilizzare i nomi delle funzioni predefinite da MATLAB, ciò comporta l'annullamento del significato prestabilito da MATLAB per quella funzione e di conseguenza un messaggio di errore. Per assegnare una variabile non è necessaria una precedente dichiarazione.

8 VARIABILI Posso visualizzare il contenuto di una variabile inserendone semplicemente il nome dalla riga di comando. Utilizzando la funzione who viene restituita la lista di variabili definite nel workspace. La funzione whos fornisce anche una descrizione delle stesse indicandone anche la dimensione, il numero di bytes occupati e la classe. Ans è una variabile di MATLAB dove viene memorizzato il risultato di una eventuale operazione se non viene specificata una variabile a cui assegnare il risultato. Variabili speciali: eps = 2-52 rappresenta l'accuratezza (o Inf) infinito NaN risultato di 0/0 (Not A Number) pi π

9 VARIABILI Range: da a Accuratezza: 16 cifre decimali Operatori: +, *, -, / (divisione destra), \ (divisione sinistra), ^ (elevamento a potenza) Uso "normale" delle parentesi per cambiare la priorità tra gli operatori MATLAB consente l'uso di numeri complessi: si usa il simbolo "i" o "j" per indicare la parte immaginaria. La dichiarazione di variabili complesse avviene moltiplicando la parte complessa per "i" o "j" e sommando la parte reale:» z = 3+4*i; (niente spazi tra i termini) N.B. E equivalente usare z=3+4i; Tutte le funzioni MATLAB accettano variabili complesse come ingressi

10 MATRICI Qualunque variabile è considerata in MATLAB come una matrice, anche gli scalari e i vettori. In particolare uno scalare sarà una matrice (1x1) mentre un vettore sarà una matrice con una sola colonna (nx1) o con una sola riga (1xn). Una matrice può essere inserita in MATLAB in diverse maniere: a. assegnazione di lista di elementi b. generate da funzioni built-in c. create con un programma (m-file) d. caricate da file esterni (di dati)

11 MATRICI a. Assegnazione di lista di elementi Bisogna: Separare gli elementi di una riga con spazi vuoti o virgole; Usare un punto e virgola ; o un invio per indicare la fine di ciascuna riga. Racchiudere l elenco intero di elementi tra parentesi quadre» A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]» A=[1,2,3; 4,5,6; 7,8,9]» A=[ ] A= Se alla fine di ciascuna assegnazione metto» un ; non c è echo. Una volta fornita la matrice essa sarà memorizzata nel workspace e richiamabile semplicemente digitanto A e invio nella CW.

12 MATRICI b. Generate da funzioni built-in L output di alcune funzioni MATLAB è costituito da una matrice. Alcune funzioni elementari che restituiscono una matrice come uscita sono: eye(n,n) -> matrice identita nxn; zeros(n,m) -> matrice di zeri nxm; ones(n,m) -> matrice di uni nxm; rand(n,m) -> matrice nxm con elementi distribuiti uniformemente tra 0 e 1. c. Create con un programma In MATLAB è possibile scrivere degli script definiti m-files che contengono al loro interno una sequenza di comandi elementari o chiamate a funzioni che vengono poi interpretate da MATLAB come se venisse scritta nella command window.

13 MATRICI d. Caricate da file esterni (di dati) Ciascuna variabile contenute nel workspace possono essere salvate su disco con il comando save nome_file lista_variabili <opzioni> E possibile salvare tutto il workspace nel file nome_file.mat semplicemente con il comando save nome_file E possibile richiamare le variabili salvate precedentemente con un save o contenute in file di dati ottenuti attraverso altri programmi o acquisizioni con i comandi load nome_file lista_variabili <opzioni> load nome_file <opzioni> Per un dettaglio delle opzioni, digitare help load e help save nella command window

14 MATRICI E possibile accedere ai singoli elementi della matrice specificando la riga e la colonna.»a(1,2) ans = 2 E possibile selezionare intere righe o intere colonne della matrice utilizzando la wildcard :» A(1,:)» A(:,2) ans = ans = E anche possibile selezionare porzioni di matrice con la seguente sintassi» A(1:2,2:3) ans=

15 Funzioni in MATLAB MATLAB prevede un gran numero di funzioni matematiche standard Funzioni trigonometriche (sin, cos, tan, acos, asin, atan ) Esponenziale e logaritmo (exp, log, log10, sqrt ) Numeri complessi (abs -> modulo, angle -> fase, real -> parte reale, imag -> parte immaginaria ) Per un elenco delle funzioni matematiche elementari digitare help elfun per un elenco più avanzato help specfun o help elmat Esistono anche funzioni più complesse, realizzate tramite m-file e raccolte in forma di libreria dette toolbox. Per maggiori informazioni è possibile visitare il sito e scaricare i manuali dei singoli toolbox.

16 Operazioni su matrici Sono definite le normali operazioni aritmetiche: addizione + sottrazione - moltiplicazione * divisione / elevamento a potenza ^ ADDIZIONE E SOTTRAZIONE Le operazioni si possono effettuare tra elementi della stessa dimensione ed elementi di dimensioni diverse. Esempio :» A = [1 2 ; 2 1];» B = [2 1; 1 2];»A+B ans = »A-B ans = » x = [1 2 3]';» y = x + 1 y = 2 3 4

17 Operazioni su matrici PRODOTTO Anche in questo caso ci possono essere diverse combinazioni. Matrice * Matrice Matrice * Vettore Matrice * Scalare» A = [1 2 ; 2 1];» B = [2 1; 1 2];»A*B» ans= » A = [1 2 ; 2 1];» x = [1 2];»x*A» ans 5 4» A = [1 2 ; 2 1];»a=2;»a*A» ans

18 Operazioni su matrici DIVISIONE Sia A invertibile (quadrata, non singolare): A\B equivale a: A -1 B inv(a)*b B/A equivale a: BA -1 B*inv(A) Si usa nella soluzione di sistemi di equazioni lineari: x = B/A soluzione di x*a = B x = A\B soluzione di A*x = B ELEVAMENTO A POTENZA Sia A matrice quadrata, p uno scalare (non necessariamente intero) A^p p-esima potenza di A ovvero A*A*A*...*A se p intero

19 Operazioni su matrici FUNZIONI TRASCENDENTI exp(a) e sqrt(a) eseguono rispettivamente l'esponenziale e la radice quadrata dei singoli elementi si A expm(a), logm(a) e sqrtm(a) operano invece sulle matrici nella loro globalità: expm(a) I + A + A 2 / sqrtm(a) A^(1/2) TRASPOSIZIONE L operatore di trasposizione di una matrice è l apice. Se applicato ad un vettore lo trasforma da riga a colonna e viceversa. Se applicato ad una matrice a coefficienti complessi restituisce la matrice complessa coniugata trasporta.

20 Operazioni su matrici ALTRE FUNZIONI det(a) Calcola il determinante della matrice A eig(a) Calcola gli autovalori della matrice A inv(a) Calcola l inversa della matrice A rank(a) Calcola il rango della matrice A trace(a) Calcola la traccia della matrice A poly(a) Calcola i coefficienti del polinomio caratteristico di A norm(a) Calcola la norma della matrice A size(a) Calcola le dimensioni della matrice A

21 Array o vettori I vettori hanno due funzioni fondamentali in Matlab: rappresentazione dei polinomi (un polinomio è descritto dal vettore dei suoi coefficienti); rappresentazione di segnali (un segnale è rappresentato mediante la sequenza dei valori che assume in un insieme di istanti di tempo, quindi mediante un vettore). Possono essere definiti: Con l operatore : :» v=(0:10) v = » v=(0:0.5:3) v = Come matrici riga o colonna:» v=[1 2 3] v =1 2 3

22 Operazioni su array Finora gli operatori aritmetici visti agivano sulle matrici nella loro globalità Le operazioni sugli array si riferiscono ad operazioni aritmetiche eseguite elemento per elemento. Gli operatori su array si distinguono da quelli per matrici per il simbolo "." prima dell'operatore (niente spazio tra punto e operatore) Addizione (.+) e sottrazione (.-) sono le stesse Moltiplicazione (.*) e divisione (./ oppure.\) si differenziano:» x = [1 2 3]; y = [4 5 6];»z = x.*y z= » z = x.\y z=

23 Operazioni sui polinomi Detto p un polinomio definito sotto forma di vettore pol=[1 2 5], possiamo utilizzare le seguenti funzioni roots(pol): calcola le radici del polinomio polyval(pol,0): calcola il valore del polinomio in un punto conv(p1,p2): esegue il prodotto tra polinomi [Q,R]=deconv(p1,p2): calcola la divisione tra polinomi. Restituisce in Q e R rispettivamente il quoziente e il resto. [R,P,K]=residue(p1,p2): calcola i residui, i poli e i termini diretti della espansione in fratti semplici del rapporto tra due polinomi p1 e p2.

24 Operatori relazionali Operatori relazionali: <, <=, >, >=, ==, ~= (~ alt-126) Operano una comparazione elemento per elemento. Il risultato è 1 se il test è TRUE 0 se il test è FALSE Operatori logici: & (and), (or), ~ (not) Consentono di combinare più operatori relazionali. Le variabili su cui operano vanno considerate TRUE se diverse da 0 FALSE se uguali a 0 I risultati sono 1 se TRUE 0 se FALSE >> a=(1>2) a = 0 >> a=(1<2) a = 1

25 GRAFICA 2D plot(y): produce un grafico lineare degli elementi di y in cui le ascisse sono l indice degli elementi di y plot(x,y): produce un grafico lineare di y rispetto a x plot(x,y, colore_stile_marcatore ): produce un grafico di y rispetto a x specificando il colore della linea, lo stile della linea e il marcatore per identificare gli elementi di y nel grafico plot(x1,y1,x2,y2,,xn,yn): produce un grafico multiplo. hold on: consente di aggiungere un tracciato ad un grafico preesistente xlabel( string ), ylabel( string ), title( string ): consentono di specificare una label per l asse x, l asse y e l intero grafico axis: consente di personalizzare la misurazione in scala e il rapporto di aspetto tra i tracciati

26 GRAFICA 2D subplot(m,n,p): permette di esporre grafici multipli sulla stessa finestra. Si trasforma la finestra della figura in una matrice mxn e si accede di volta in volta all elemento specificato in p. loglog(x,y): produce un grafico in scala logaritmica di y rispetto a x semilogx(x,y): produce un grafico in scala semilogaritmica, con un solo asse logaritmico (l asse x) semilogy(x,y): produce un grafico in scala semilogaritmica, con un solo asse logaritmico (l asse y) ginput: consente di risalire alle coordinate di un punto specifico

27 Controllo di flusso Cicli "for"» for i = 1:n for j = 1:n A(i,j) = i+j, end metterli a fine ciclo!!! end» for i = 1:2:n incrementi di 2 ad ogni iterazione Cicli "while"» while (condizione) istruzioni; end

28 Controllo di flusso Operazioni condizionate... "if"» if (espressione) istruzioni elseif (espressione) istruzioni else istruzioni end Si può uscire in modo immediato da un ciclo con l'istruzione "break"» while 1 n = input('scrivi un numero'); if n <= 0, break, end m = sqrt(n) end Questo programma stampa indefinitamente la radice del numero introdotto finchè non si scrive un numero minore o uguale a zero.

29 Controllo di flusso Switch case» switch variable case val1 istruzioni case val2 istruzioni case istruzioni otherwise istruzioni end

30 Control System Toolbox E un insieme di funzioni per l analisi di sistemi dinamici (tipicamente lineari tempo invarianti LTI) e per la sintesi di controllori. E possibile visionare tutte le funzioni della libreria utilizzando help control. Tra queste funzioni andremo ad analizzare quelle preposte a: Creazione di modelli LTI Conversioni tra modelli Analisi nel dominio del tempo Analisi nel dominio della frequenza

31 Creazione di modelli LTI Un generico sistema dinamico può essere rappresentato in varie forme: State-space Transfer-function Zero-Pole-Gain MODELLI STATE-SPACE (SS) Dato un sistema in forma di stato x& ( t) y( t) = Ax( t) + Bu( t) = Cx( t) + Du( t) le cui matrici sono A =,, [ 0 1], B = 1 C = D = per creare il modello in MATLAB bisogna usare la funzione ss» sys=ss(a,b,c,d);

32 Creazione di modelli LTI MODELLI TRANSFER-FUNCTION Dato un sistema in forma di stato rappresentato attraverso la relazione ingresso-uscita, cioè la sua funzione di trasferimento m N( s) bms b0 G( s) = = = n 3 D( s) a s a s per creare il modello in MATLAB bisogna usare la funzione tf» num=[1 2];» den=[ ];» sys=tf(num,den); Transfer function: s s^3 + 2 s + 4 n 0 s s + 4

33 Creazione di modelli LTI MODELLI ZERO-POLE-GAIN Dato un sistema in forma di stato rappresentato attraverso la relazione ingresso-uscita, cioè la sua funzione di trasferimento G( s) = N( s) = K D( s) per creare il modello in MATLAB bisogna usare la funzione zpk»k=3;»z=[-1];» p=[ ];» sys=zpk(z,p,k); Zero/pole/gain: 3 (s+1) (s+3) (s+5) (s+10) m i= 1 n i= 1 ( s + zi ) ( s + 1) = 3 ( s + 3)( s + 5)( s + 10) ( s + p ) i

34 Conversione tra modelli Le funzioni precedentemente introdotte (ss,tf,zpk) servono anche per convertire un sistema da una forma all altra. Dato per esempio un sistema in forma di stato memorizzato nella variabile sys, se vogliamo convertirlo in termini di funzione di trasferimento posso scrivere» sys1=tf(sys); Le funzioni ssdata, tfdata, zpkdata consentono di estrarre da un modello LTI qualsiasi i dati caratteristici di una particolare rappresentazione:» [A,B,C,D]=ssdata(sys);» [NUM. DEN]=tfdata(sys, v );» [Z,P,K]=zpkdata(sys, v ); Dove il parametro v da utilizzarsi per sistemi SISO specifica di restituire il risultato in forma vettoriale

35 Operazioni sui modelli sys=sys1+sys2 sys=sys1-sys2

36 Operazioni sui modelli sys=sys1+sys2 sys=sys1-sys2 sys=sys1*sys2

37 Operazioni sui modelli Altre funzioni utili che consentono di fornire alcune informazioni sul sistema espresso in qualunque delle rappresentazioni possibili:» P=pole(sys); Restituisce i poli del sistema memorizzato nella variabile sys» Z=zero(sys); Restituisce gli zeri del sistema memorizzato nella variabile sys» [P Z]=pzmap(sys); Calcola poli e zeri del sistema e li salva nei vettori P e Z» pzmap(sys); Disegna la mappa dei poli e zeri del sistema» dcgain(sys); Calcola il guadagno statico del sistema sys» [Wn, CSI]=damp(sys); Calcola smorzamento e pulsazione naturale dei poli del sistema

38 Interconnessione tra modelli Concatenazione Orizzontale: sys=[sys1,sys2] Verticale: sys=[sys1;sys2] Feedback sys=feedback(sys1,sys2)

39 Analisi nel dominio del tempo L analisi nel dominio del tempo comporta la valutazione della risposta del sistema agli ingressi canonici o di tipo generico Impulse risposta all impulso» impulse(sys); Traccia la risposta ad impulso del sistema» impulse(sys, Tend); Traccia la risposta all impulso fino all istante di tempo specificato in Tend» impulse(sys,t); Traccia la risposta all impulso utilizzando il vettore degli istanti di tempo specificato» impulse(sys1, sys2,,t); Traccia la risposta all impulso di più sistemi mettendole a confronto» [Y,t]=impulse(sys);» [Y]=impulse(sys,t); Calcola la risposta all impulso e salva il risultato nel vettore Y. Il vettore del tempo può essere specificato come output o parametri di ingresso

40 Analisi nel dominio del tempo step risposta al gradino» step(sys); Traccia la risposta ad un gradino del sistema» step(sys, Tend); Traccia la risposta ad un gradino fino all istante di tempo specificato in Tend» step(sys,t); Traccia la risposta ad un gradino utilizzando il vettore degli istanti di tempo specificato» step(sys1, sys2,,t); Traccia la risposta ad un gradino di più sistemi mettendole a confronto» [Y,t]=step(sys);» [Y]=step(sys,t); Calcola la risposta ad un gradino e salva il risultato nel vettore Y. Il vettore del tempo può essere specificato come output o parametri di ingresso

41 Analisi nel dominio del tempo Initial evoluzione libera di un sistema» initial(sys, X0); Traccia l'evoluzione libera del sistema a partire dalla condizione iniziale X0» initial(sys, X0, Tend); Traccia l'evoluzione libera fino all istante di tempo specificato in Tend» initial(sys,x0, t); Traccia l'evoluzione libera utilizzando il vettore degli istanti di tempo specificato» initial(sys1, sys2,,x0,t); Traccia l'evoluzione libera di più sistemi mettendole a confronto» [Y,t]=initial(sys,X0);» [Y]=initial(sys,X0,t); Calcola l'evoluzione libera e salva il risultato nel vettore Y. Il vettore del tempo può essere specificato come output o parametri di ingresso

42 Analisi nel dominio del tempo lsim risposta ad un ingresso arbitrario» lsim(sys,u,t); Traccia la risposta del sistema all ingresso descritto dai vettori u e t.» lsim(sys,u,t,x0); Traccia la risposta del sistema all ingresso u specificando le condizioni iniziali del sistema per l istante di tempo t(1). Quando non specificato le condizioni iniziali sono considerate nulle» lsim(sys1, sys2,,u,t,x0); Traccia la risposta di più sistemi all ingresso u mettendole a confronto» [Y]=lsim(sys,u,t,X0); Calcola la risposta del sistema all ingresso u e salva il risultato nel vettore Y.» [Y,T,X]=lsim(sys,u,t,X0); Quando il sistema è di tipo SS restituisce anche la traiettoria dello stato, una matrice con tante righe quanti sono gli istanti di tempi e tante colonne quanti sono gli stati del sistema

43 Analisi nel dominio del tempo Altre funzioni utili sono: ltiview Apre una interfaccia grafica per l analisi della risposta nel tempo e in frequenza gensig Funzione che genera segnali periodici per la simulazione della risposta nel tempo con lsim stepfun Consente di creare la funzione a gradino da utilizzare eventualmente con lsim

44 Analisi nel dominio della frequenza bode diagramma di Bode» bode(sys); Traccia il diagrama di Bode (modulo e fase) del sistema.» bode(sys,{wmin wmax}); Traccia il diagramma di Bode del sistema nell intervallo di frequenze specificato dai valori wmin e wmax» bode(sys,w) Traccia il diagramma di Bode alle frequenze specificate nel vettore w» bode(sys1,sys2,,w); Traccia il diagramma di Bode di più sistemi mettendoli a confronto» [MAG,PHASE]=bode(sys,w);» [MAG,PHASE,w]=bode(sys); Calcola il diagramma di Bode e salva in MAG e PHASE i vettori dei guadani e degli sfasamenti. Il vettore w può essere specificato come ingresso o richiesto come output

45 Analisi nel dominio della frequenza margin margine di fase e di guadagno» margin(sys); Traccia il diagrama di Bode (modulo e fase) del sistema indicando i margini di fase e di guadagno» [Gm,Pm,Wg,Wp]=margin(sys); Calcola il diagramma di Bode e salva il margine di guadagno e di fase in Gm e Pm salvandone anche le frequenze in Wg e Wp.

46 Analisi nel dominio della frequenza nyquist diagramma di Nyquist» nyquist(sys); Traccia il diagrama di Nyquist del sistema.» nyquist(sys,{wmin wmax}); Traccia il diagramma di Nyquist del sistema nell intervallo di frequenze specificato dai valori wmin e wmax» nyquist(sys,w) Traccia il diagramma di Nyquist alle frequenze specificate nel vettore w» nyquist(sys1,sys2,,w); Traccia il diagramma di Nyquist di più sistemi mettendoli a confronto» [RE,IMG]=nyquist(sys,w);» [RE,IMG,w]=nyquist(sys); Calcola il diagramma di Nyquist e salva in RE e IMG i vettori della parte reale e immaginaria della risposta in frequenza. Il vettore w può essere specificato come ingresso o richiesto come output

47 Analisi nel dominio della frequenza rlocus luogo delle radici» rlocus(sys); Traccia il luogo delle radici del sistema.» rlocus(sys,k); Traccia il luogo delle radici del sistema utilizzando il vettore dei guadagni specificato» rlocus(sys1,sys2,,k); Traccia il luogo delle radici di più sistemi mettendoli a confronto» [RE,IMG]=rlocus(sys,k);» [RE,IMG,w]=rlocus(sys); Calcola il luogo delle radici e salva in RE e IMG i vettori della parte reale e immaginaria dei rami del luogo. Il vettore k può essere specificato come ingresso o richiesto come output

48 Altre funzioni obsv(a,c) restituisce la matrice di osservabilità per il sistema specificato ctrb(a,b) restituisce la matrice di controllabilità per il sistema dato [Abar,Bbar,Cbar,T,K]=obsvf(A,B,C) trasforma il sistema originario in uno equivalente in forma canonica di osservabilità, restituendo anche la matrice di trasformazione T e un vettore la cui somma (sum(k)) restituisce il numero di stati osservabili [Abar,Bbar,Cbar,T,K]=ctrbf(A,B,C) trasforma il sistema originario in uno equivalente in forma canonica di controllabilità, restituendo anche la matrice di trasformazione T e un vettore la cui somma (sum(k)) restituisce il numero di stati controllabili