Il Value at risk. Misurazione del rischio di mercato. Da quale esigenza e nato il VaR? Anno accademico 2005/06. m=7.6m$ Prof.ssa Rosella Giacometti

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1 Il Value at risk Modelli Matematici per i Mercati Finanziari Anno accademico 005/06 Nuove metriche di rischio: il VaR -Cosa è il VaR -Come si calcola:la stima dei parametri di un modello VaR multinormale -Misure di VaR marginale -Il VaR dei portafogli gestiti a benchmark Prof.ssa Rosella Giacometti Da quale esigenza e nato il VaR? 3 Misurazione del rischio di mercato. 4 Cattura, in un solo numero, un importante aspetto del rischio. Risponde alla semplice domanda: Quanto male possono andare le cose? Introduce il concetto di distribuzione di probabilità Permette di misurare strumenti diversi con lo stesso metro È facile da comprendere Numero di giorni Istogramma profitti/perdite giornalieri, JP Morgan Profitti perdite giornaliere ($m) m=7.6m$

2 Value at risk. Analisi dell istogramma 5 Cos è il Valore a Rischio (VaR)? 6 Consideriamo l istogramma di Profit & Loss (P&L) giornaliere della JP Morgan. Siamo concentrati sulle perdite estreme possibili e una stima monetaria di quanto è possibile perdere il giorno successivo (o alcuni giorni successivi) con una data probabilità. Fissiamo un livello di confidenza α che ci permette di individuare un punto di cut-off. Con α=95%, individuiamo la massima perdita W* giornaliera realizzabile il 95% delle volte (9 giorni su 0). Livello di confidenza 95% W* =-,4 m$ Livello di confidenza 99% W* =-6,5m$ Il calcolo del VaR mira a consentire un affermazione del seguente tipo: Siamo certi all α per cento che non perderemo più di W Euro nei prossimi N giorni. La variabile W* è il VaR del portafoglio. Il VaR è funzione di due parametri: N, l orizzonte temporale, e α, il livello di confidenza. La scelta di N dipende dal grado di liquidità dei mercati in cui gli operatori lavorano dalla frequenza con cui viene ricalibrato il portafoglio gestito Cos è il Valore a Rischio (VaR)? 7 Graficamente 8 Elementi fondamentali nel calcolo del VAR sono livello di confidenza α orizzonte temporale N (dipende dalla liquidità delle posizioni) In genere si lavora con rendimenti R* (perdite percentuali) e si deduce la perdita monetaria associata W*. 99% Indichiamo con R(N) il rendimento aleatorio del portafoglio in [0,N]. Il valore critico R* è quel valore del rendimento per il quale vale Pr[R(N)<R*]=-α R* R

3 Cos è il Valore a Rischio (VaR)? 9 Graficamente 0 Siano W 0 valore dell investimento iniziale E(W N ) valore dell investimento dopo N giorni W * dell investimento valutato al livello critico 99% VaR= W* = E(W N )-W * =W 0 (+ µ)-w 0 (+R * )= +µw 0 -R*W 0 Poiché l orizzonte N è breve si pone µ =0 e W* =-R*W 0 Nella definizione di perdita e implicito un segno meno Var= R*W 0 R* R Data una distribuzione di probabilità P&L, il Var corrispondente ad un α=99% ad N giorni e determinato dal punto di cut off R*, VAR= R*W 0 Come si calcola il VAR? Metodo parametrico La metodologia VAR differisce principalmente nel modo in cui viene costruita la funzione di densità di probabilità. Le classiche tecniche per approssimare la distribuzione di probabilità sono:.metodi parametrici o varianza covarianza.simulazioni storiche 3.Simulazioni Montecarlo VAR ad un giorno di una posizione unica con ipotesi di normalità * R µ R µ Pr( R < R*) = α Pr( < ) = α σ σ R* = Z α σ + µ Dove σ è la volatilità giornaliera. Ipotizzando µ=0 e considerando α=99% questo si traduce nel dire che e quindi R * % = Z σ =, 33σ VAR=,33σW 0 Il VaR a N giorni si ottiene ipotizzando VAR=,33σW 0 N

4 Graficamente α=99% 3 bibliografia 4 Hull Opzioni futures e e altri derivati terza edizione il sole 4 ore Cap 6 (VaR) Cap 6 (rischio di credito) 99% W*=.33 σw 0 N Previsione della volatilità 5 Previsione della volatilità 6 Come si calcola la volatilità? Per semplicità possiamo usare la volatilità storica. RiskMetrics usa l exponentially weighted moving average model (EWMA) con utilizza λ = 0,94. σ n = rn + λ( σ n rn ) A seguito di uno shock (un rendimento grande in valore assoluto), la volatilità reagisce velocemente allo shock, in base al peso dato all informazione piu recente. Inoltre la volatilità decresce esponenzialmente nel tempo, rimanendo come patrimonio storico.

5 Volatilità Giornaliere 7 VAR per attività che dipendono da un solo fattore 8 Nel calcolo del VaR si usa una misura di volatilità giornaliera Se ci sono 5 giorni lavorativi in un anno, la relazione tra la volatilità giornaliera, σ g e quella annuale, σ a, è σ = g σ a 5 Ricordiamo che se X N((µ,σ ) e Y N((µ,σ ) sono normali indipendenti allora X+Y N((µ + µ,σ +σ ) Questa formula è esatta quando le variazioni di valore del portafoglio in giorni successivi sono normali indipendenti, a media nulla e il rendimento è logaritmico. Esempio Valute e Azioni. Ipotizziamo che il rendimento sia distribuito normalmente Esempio con Azioni IBM Abbiamo una posizione lunga su azioni IBM del valore di Euro. La volatilità giornaliera dell IBM è del % (circa il 3% su base annua) Usiamo N = 0 e α = 99% VaR=,33σW 0 N=.473,6Euro Esempio con Azioni AT&T 9 Il VaR di un portafoglio 0 Valore della posizione: 5 mila Euro Volatilità giornaliera dell AT&T: % Consideriamo un portafoglio con azioni VaR decadale con un livello di confidenza del 99%: VaR=,33σW 0 N= 368,405 Euro σ p = x σ + x σ + x x ρσ σ dove σ i è la volatilità dell i-esima variabile x i è il valore della posizione i-esima ρ è il coefficiente di correlazione Il Var del portafoglio di valore W è VAR p = VAR + VAR + ρvar VAR

6 Il VAR di un portafoglio Il VAR di un portafoglio: esempio Considerando due titoli rischiosi VAR p = se ρ= se ρ=0 VAR + VAR + ρvar VAR VAR p = VAR + VAR VAR p = VAR + VAR < VAR + VAR Consideriamo ora un portafoglio composto dalle azioni IBM e dalle azioni AT&T Supponiamo che la correlazione tra i tassi di rendimento delle due azioni sia pari a 0,7 se ρ=- VAR p = VAR VAR E facile estendere ad un portafoglio ad n titoli Il VAR di un portafoglio: esempio 3 VaR di un Portafoglio: esempio 4 Dalla formula della varianza Il VaR delle azioni IBM e AT&T è pari, rispettivamente, a.473,6 e a 368,405 VAR p = VAR + VAR + ρvar VAR I benefici della diversificazione sono pari a (.473, ,4).75,4 = 90, 6 Il VaR delle azioni IBM e AT&T è pari, rispettivamente, a.473,6 e a 368,4, il coefficiente di correlazione ρ = 0,7 quindi 473, ,4 + 0,7 473,6 368,4 = 75,4 Qual è l effetto marginale delle azioni AT&T sul VaR?.75, ,6 = 77,8

7 VaR marginale di un titolo 5 VaR di un Portafoglio: esempio 6 Se voglio studiare il contributo marginale di un titolo A al VaR del portafoglio, devo: ) Calcolare il VaR del portafoglio completo ) Calcolare il VaR del portafoglio completo - A 3) calcolare la differenza tra i due VaR Il VaR marginale può essere positivo => contributo positivo al rischio negativo => il nuovo titolo costituisce un hedge nullo il calcolo del VaR in forma matriciale è ' ' VaRp = Z αw0 N x V x = ( VaR) C( VaR) Dove C è la matrice delle correlazioni Il VaR dell esempio precedente puo essere calcolato come ,6 VaR p = [.473,6 368,4] = 75, ,4 Il Modello Lineare 7 Come risolviamo le non linearita 8 Abbiamo lavorato fino ad ora con un modello lineare in cui la variazione di valore del portafoglio dipende in modo lineare dalle variazioni di alcune variabili di mercato le variazioni di valore delle variabili di mercato si distribuiscono in modo normale Se nel portafoglio sono presenti titoli il cui valore non varia in modo lineare rispetto al sottostante? Esempio: Rendimenti su opzioni e obbligazioni non sono funzioni lineari delle variazioni nei fattori di rischio Max(0,S-K) P S i

8 Il VAR per opzioni su azioni 9 Opzioni su IBM 30 Consideriamo un opzione call C che dipende dal prezzo, S, di un azione Sia δ = C S C δ S C Co + δ S S ) = k + Sδ ( 0 Consideriamo un opzione su azioni IBM (il prezzo unitario del titolo è di Euro 0) Il delta delle opzioni rispetto al prezzo del titolo è 0,6 il VAR della singola opzione su IBM con δ=0,6 VAR=,33 0 0,0 δ 0=0,6 Euro con k trascurabile perché costante C s VAR = δvar = δ( Z α σs N ) Obbligazioni e tassi d interesse 3 Obbligazioni e tassi d interesse 3 Come vengono trattate le obbligazioni? due approcci ) linearizzazione ) clumping P i tassi Il VaR viene calcolato come al solito VAR = Z α σ P p N Sia P il valore di una obbligazione, allora vale P i ΜD i p i La volatilità di tassi influenza la volatilità dell obbligazione, secondo la relazione σ P MD i σ i σ P MD i σi Questo mi permette di calcolare il VAR in funzione della volatilità dei tassi invece che della volatilità del rendimento del titolo, VAR = Z α MD i σi P N

9 Cash Flow Mapping (clumping) 33 Cash Flow Mapping (clumping) 34 Abbiamo visto un metodo per calcolare il VaR di un obbligazione basato sulla approssimazione lineare. Un approccio alternativo consiste nello scegliere come variabili di mercato tassi di rendimento spot di titoli senza cedola con scadenze standard (m, 3m, 6m, a, a, 5a, 7a, 0a, 30a) il problema diventa distribuire i flussi c t relativi a scadenze τ-<t< τ diverse dalle scadenze scelte come riferimento, in flussi c τ- e c τ criteri uguale segno dei flussi uguale valore attuale (valore di mercato) uguale rischio di mercato ( Riskmetrics suggerisce che i flussi abbiano la stessa volatilità) Occupiamoci di un flusso alla volta. Supponiamo di avere un flusso di 0000 Euro all anno 6,5 e che le scadenze di riferimento siano 5 e 7 anni Per tali scadenze sono stati stimati i seguenti valori: I tassi a 5 e a 7 anni sono pari al 6% e al 7% Le volatilità giornaliere dei due tassi sono pari, rispettivamente, allo 0,5 e allo 0,58% La correlazione tra i tassi a 5 e a 7 anni e pari a 0,6 Graficamente 35 Cash Flow Mapping (clumping) 36 Un metodo per procedere e l interpolazione lineare delle curve dei tassi e delle volatilità i 7 =7% i 5 =6% σ 5 =0,5% σ 7 =0,58% Il tasso a 6,5 anni, ottenuto mediante interpolazione dei tassi a 5 e 7 anni, è del 6,75% La volatilità giornaliera del titolo a 6,5 anni, ottenuta mediante interpolazione delle volatilità dei titoli a 5 e 7 anni, è dello 0,56% 5 6,5 7 scadenze

10 Graficamente 37 Cash Flow Mapping (clumping) 38 i 7 =7% σ 6,5 =0,56% i 6,5 =6,75% σ 7 =0,58% Criterio : stessi segni Criterio : stesso valore di mercato Il valore attuale del pagamento di tra 6,5 anni è pari a = ,5,0675 i 5 =6% σ 5 =0,5% Allochiamo ai titoli a 5 e a 7 anni una quota del valore attuale dei pari, rispettivamente, ad α e - α 5 6,5 7 scadenze Cash Flow Mapping (clumping) 39 Cash Flow Mapping (clumping) 40 Criterio 3 : stessa volatilita Supponiamo che la correlazione tra le variazioni dei prezzi dei titoli a 5 e a 7 anni sia pari a 0,6 Affinché la varianza del portafoglio sia uguale alla varianza del titolo a 6,5 anni occorre che 0,5 α + 0,58 (-α) + 0,6 0,5 0,58 α(-α)=0,56 Il pagamento di Euro tra 6,5 anni viene sostituito da due pagamenti: - Euro 648=6.540,06 5 0,074 tra 5 anni - Euro 9.75 =6.540,07 7 0,96 tra 7 anni Il valore e la varianza del portafoglio così costruito sono uguali al valore e alla varianza del titolo a 6,5 anni. Risolvendo si ottiene α = 0,074

11 Graficamente 4 Se ho un BTP? i 7 =7% i 5 =6% Euro0.000 Euro 975 Euro ,5 7 scadenze 0,3 0,8 Ipotizziamo che le scadenze di riferimento siano 3 mesi, 6 mesi e anno. Il valore attuale della posizione sia W 0. - Scompongo il primo flusso in flussi a 3 e 6 mesi. - Scompongo il secondo flusso in flussi a 6 mesi e anno. - Sommo i flussi relativi alle scadenze 3 mesi, 6 mesi e anno. - Le volatilità e le correlazioni dei tassi a 3 mesi, 6 mesi e anno sono note. - Calcolo la volatilità del portafoglio. - Calcolo il VaR come,33 σ 0 W 0. - Oppure calcolo il VaR delle singole posizioni e aggrego i VaR.. Esempio 43 Riassumendo 44 flusso in 0,3 flusso in 0,8 totale volatilita' mesi mesi anno Noti ρ 3mesi,6mesi =0,9 ρ 3mesi,anno =0,6 ρ 6mesi,anno =0,7 σ=0.003 ho due nodi e un flusso c t da ripartire α e - α. dati i tassi nei due nodi, calcolo il tasso y t in t. dati i due nodi, calcolo la volatilità σ t in t 3. calcolo il valore attuale W 0 =W(+y t ) -t 4. determino le percentuali di ripartizione α e - α in modo che la volatilità pesata dei flussi sia uguale alla volatilità del flusso originale 5. determino i valori dei due flussi scomposti W = α W 0 (+y τ- ) τ- W = (-α) W 0 (+y τ ) τ VaR=, W 0

12 Procedura per il calcolo del VAR 45 Esempio 46. Valuto le posizioni a rischio e dei diversi fattori posizioni in valuta posizioni in azioni e indici azionari posizioni in obbligazioni prodotti derivati con pay-off non lineari. calcolo delle volatilità e correlazioni tra i fattori di rischio 3. Valuto l orizzonte in base al tempo di liquidazione 4. Scelgo il livello di confidenza 5. calcolo del VaR per ogni classe 6. aggrego i singoli VaR utilizzando le correlazioni Supponiamo di essere un investitore italiano e di possedere un portafoglio in titoli azionari ($00) e obbligazionari statunitensi ($00). In nostro portafoglio e soggetto a 3 fonti di rischio. Scomponiamo operazioni finanziari complesse in operazioni semplici Rischio di cambio USA 300$ cambio /$ Rischio di interesse USA 00$ cambio /$ Rischio azionario USA 00$ cambio /$ cambio $/ =/. Esempio 47 Esempio 48 Stimiamo la volatilità del tasso di cambio, delle obbligazioni e delle azioni Calcoliamo il Var di ogni posizione Supponiamo, per semplicità, che la correlazione tra i diversi comparti sia nulla allora VAR p = VAR + VAR + VAR < VAR + VAR + VAR 3 3 Supponiamo che le volatilità delle singole posizioni siano pari a Volatilità del tasso di cambio 0% - Volatilità della posizione in obbligazioni 7% ( σ ) P MD r σ r - Volatilità delle azioni 5% Calcoliamo, usando un foglio excel il Var del portafoglio VAR p = VAR + VAR + VAR < VAR + VAR + VAR 3 3 Inserire le correlazioni corrette

13 Esempio 49 Esempio 50 Il contributo di un titolo al VaR complessivo di un portafoglio dipende dalla composizione pregressa. Supponiamo che Esempio Due investitori A e B inseriscono in portafoglio titoli IBM con VAR=0 L investitore A ha un portafoglio prevalentemente azionario USA con VaR=00 L investitore B ha un portafoglio prevalentemente obbligazionario con VAR= 00 la correlazione delle azioni IBM con il portafoglio esistente USA sia 0.8 la correlazione delle azioni IBM con il portafoglio esistente obbligazionario sia 0. Cosa mi aspetto? VAR p = VAR + VAR + ρvar VAR Esempio 5 Osservazioni finali 5 Il Var del portafoglio A diventa = VAR A = 6.6 Con un VaR marginale di 6.6 Il Var del portafoglio B diventa Il rischio marginale di un nuovo titolo in portafoglio dipende dalla composizione pregressa. Il VaR di portafoglio può subire delle variazioni a causa di un aumento della volatilità del mercato, anche a parità di composizione. Ricordiamoci la scomposizione del rischio in = VAR B = Rischio totale= Rischio specifico+ rischio sistematico Con un VaR marginale di 5.83 Anche in questo caso la diversificazione agisce solo sul rischio specifico

14 Vantaggi e Svantaggi 53 Simulazioni Storiche 54 Questo approccio è molto facile e trattabile tuttavia: il calcolo della matrice di varianza covarianza non è banale per grandi portafogli, le ipotesi di normalità sono molto limitative, è possibile ipotizzare altre distribuzioni (esempio gamma) ma non tutte hanno la stessa versatilità della normale, le non linearità degli assets rimangono un problema se il portafoglio non è quasi lineare in partenza (con poche opzioni) Idea alla base del metodo Questo metodo si basa sull ipotesi che l andamento dei prezzi segue un moto che si ripete nel tempo Seguendo questo approccio, la costruzione della variazione nel valore del portafoglio viene effettuata in base ai dati storici e non in base a delle ipotesi sulla distribuzione dei rendimenti (per questo motivo viene spesso chiamato metodo non parametrico) Simulazioni Storiche 55 Simulazioni Storiche 56 Passi Passi.. ( continua). Individuati i fattori di rischio e data la loro serie storica, viene costruito il database e delle variazioni percentuali giornaliere dei fattori di rischio su un orizzonte τ.. Partendo dal valore attuale del fattore di rischio, si costruisce una serie di fattori di rischio futuri, moltiplicando tra loro il valore attuale e le variazioni passate. 4.Si valuta la variazione percentuale nel valore del portafoglio o rendimento 5. Si costruisce la distribuzione empirica del portafoglio. 6. Infine si calcoli il VAR a τ 3. Per ogni variazione cosi ottenuta, si valuta il valore finale del portafoglio considerando la composizione odierna.

15 Simulazioni Storiche -Vantaggi 57 Simulazioni Monte Carlo 58 estremamente semplice (basta uno spread-sheet), non richiede il calcolo della matrice di varianza e covarianza, non richiede l ipotesi di distribuzione normale, non ha problemi con non linearità richiede la disponibilità di molti dati, l ipotesi che il passato è una accurata immagine del futuro è molto forte, i dati passati hanno tutti lo stesso peso nel determinare il futuro. la scelta della lunghezza del database influenza i risultati L idea alla base del metodo L idea di base di questo metodo è la simulazione di un grande numero di scenari di evoluzione dei prezzi. Consideriamo una sola azione S = µ S t + σsε t Si consideri un azione che non paga dividendi con tasso di rendimento atteso µ e volatilità annua ρ Possiamo simulare un «sentiero» scegliendo un intervallo di lunghezza t e usando la versione discreta del processo: S = µ t + σε t S dove ε è un estrazione casuale da N(0, ) Metodo Monte Carlo - Un Sentiero 59 Metodo Monte Carlo - Un Sentiero 60 σ=0% µ=4% t =0.0 anni Prezzo Shock effetto Shock Variazione S ε η = ( µ t + σε t ) S = Sη 0,000 0,5 0,08 0,36 0,36,44 0,030 0,6 0,847 0,86 0,058 0,39 0,58,46 0,0306 0,68,46 0,69 0,40 0,6 0,883 0,74 0,034 0,80 0,603 0, 0,0056 0,5 0,79,0 0,006 0,47 0,9 0,73 0,060 0,35 0,67,6 0,046 0,507,4,56 0,056, S = S(0.4 t+ 0, ε t) t = 0.0 ) Questo è solo uno dei possibili scenari Prezzo azione Scenario tempo

16 Estrazioni da una Normale Bivariata 6 Simulazioni Monte Carlo 6 Per ottenere un estrazione casuale da una normale bivariata si devono generare, da N(0, ), due estrazioni indipendenti, x ed x Quindi si pone ε = x = x + x e ε ρ ρ dove ρ è il coefficiente di correlazione tra le variabili della distribuzione bivariata (SI VEDA FOGLIO EXCEL) Una procedura nota come scomposizione di Cholesky può essere utilizzata per estrarre campioni da distribuzioni normali multivariate Passi. Specifica il meccanismo casuale che governa i fattori di rischio.. Stima i parametri dai dati storici 3. Simula diversi scenari di evoluzione dei fattori di rischio 4. Considera le correlazioni 5. Calcola i prezzi dei singoli asset che costituiscono il portafoglio 6. Calcola e memorizza il rendimento del portafoglio 7. Ripeti i punti 3,4,5,6 molte volte(nsim) 8. Calcola il VAR della distribuzione empirica Metodo Monte Carlo: Vantaggi e Svantaggi 63 Riassumendo 64 L approccio è simile alle simulazioni storiche ma qui gli scenari sono ottenuti grazie ad un processo stocastico E un approccio molto potente tuttavia e molto oneroso perché una buona stima del VAR richiede molte simulazioni (N_SIM), un portafoglio di 00 titoli richiede 00*N_SIM simulazioni, il rischio di modello ha un peso notevole. Paramet Simul. Montecarlo Storiche Asset non no si si lineari Distribuzioni normale qualsiasi qualsiasi Calcolo Σ si no si Correlazioni si si si Valuation partial Full Full Model risk si no si Facile implement. si si no

17 Back-Testing e Stress Tests 65 VaR e C-VaR 66 Le procedure di back-testing verificano, in via retrospettiva, l accuratezza delle misure di VaR Rispondono alla domanda: Quanto spesso si sono verificate perdite superiori al VaR decadale con un livello di confidenza del 99 per cento? Gli stress tests consistono nella stima della performance del portafoglio in presenza di alcuni tra i più estremi movimenti di mercato verificatisi negli ultimi 0 o 0 anni Il VaR è il livello delle perdite che, ad un certo livello di probabilità, non verrà superato Var α =(R* Prob(R<R*)=-α) Il C-VaR ( o expected shortfall) è la perdita attesa, condizionata dal fatto che la perdita sia superiore al VaR Il C-VaR non è molto usato, anche se è teoricamente più attraente del VaR C-Var α =E(R R<Var α ) VaR e Requisiti Patrimoniali 67 Le autorità di vigilanza chiedono alle banche di avere un capitale minimo pari al prodotto tra la media dei VaR stimati negli ultimi 60 giorni lavorativi (con N = 0 e X = 99) e un coefficiente moltiplicativo Di solito, il coefficiente moltiplicativo è pari a 3