Il calcolo dello Spettro di Risposta Elastico

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1 Università degli Studi di Firenze Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica Il calcolo dello Spettro di Risposta Elastico Tesi di Laurea di Filippo Micheletti Relatori: Prof. Fabrizio Argenti Ing. Simone Morosi Ing. Barbara Ortolani Anno Accademico 2007/2008

2 ... a tutte le persone che non hanno mai smesso di credere in me.

3 Ringraziamenti Il pensiero piú importante ai miei genitori, che mi hanno sostenuto moralmente ed economicamente nel corso degli studi, con la comprensione che li ha sempre caratterizzati, e alla mia ragazza, Irene, che ha saputo addolcire i momenti piú difficili. Un ringraziamento altrettanto grande all Ing. Simone Morosi, ed al Prof. Fabrizio Argenti, soprattutto come persone, per l importante aiuto tecnico ed umano. Un saluto infine all Ing. Ronga ed a tutti i ragazzi del LENST, all Ing. Barbara Ortolani ed il Dipartimento di Ingegneria Civile per lo stimolo ed il supporto tecnico, a Francesco Del Viva e Valentina Ciani per le piacevoli discussioni in merito agli argomenti trattati, ed al settore di Sismica dell ENEL per aver fornito i dati su cui lavorare.

4 Indice Ringraziamenti Introduzione ii ix 1 Onde sismiche e metodi di rilevamento Onde di volume Onde P Onde S Onde di superficie Onde di Rayleigh Onde di Love Sismografi ed accelerogrammi Strumenti per la misura sismica Accelerogrammi e standard delle registrazioni Contenuto spettrale di un segnale sismico La tecnica della Deconvoluzione La progettazione in zona sismica L Analisi Modale Spettri di Risposta Grandezze utili

5 Indice iv Spettri medi, di inviluppo e lisciati Gli Spettri di Normativa L oscillatore semplice smorzato Equazione del moto nella risposta libera Soluzione dell equazione differenziale del moto Risposta forzata Risposta impulsiva Eccitazione arbitraria Eccitazione impressa al vincolo Calcolo dello SdR nel dominio del tempo Soluzione dell equazione del moto tramite simulazione Descrizione del codice e del modello Calcolo diretto dell integrale di Duhamel Possibili strategie Calcolo dello SdR nel dominio della frequenza Passaggio al dominio trasformato Le altre grandezze di spettrali Implementazione Matlab Lo Spettro di Risposta Limiti imposti da calcolo numerico ed analisi in frequenza Aliasing in frequenza Condizione sul periodo minimo Derivazione della risposta per bassi periodi Aliasing nel tempo Condizione sul minimo numero di punti FFT Estensione alle altre grandezze spettrali

6 Indice v 5.3 Un confronto tra tempo e frequenza Un esempio di applicazione: spettri di dati deconvoluti I dati deconvoluti Risultato dell elaborazione e confronto SpectCalc Installazione Contenuto della cartella di installazione Panoramica delle sezioni del programma Utilizzo del programma Item list e formato dati in ingresso Lo script di acquisizione dati Tracce, tipi di spettro ed altri parametri Spettri medi, di inviluppo e plotting dati Selezione dell output desiderato Help di sezione Note Conclusioni 99 A Il DeciBel 101 A.1 I decibel assoluti A.2 Operazioni e conversioni con i db B Il Campionamento 105 Bibliografia 109

7 Elenco delle figure 1.1 Onde P Onde S Onde di Rayleigh Onde di Love Composizione di un onda sismica Accelerogramma RA01134-NS Spettro dell accelerogramma RA01134-NS Sistema meccanico equivalente al sismografo Spettro in pseudo-accelerazione della traccia RA01134-NS Spettri di normativa orizzontale e verticale in pseudo-accelerazione Oscillatore smorzato SDOF Oscillazione sottosmorzata Modello Simulink dell oscillatore Risposta forzata ottenuta per simulazione Modulo della f.d.t. oscillatore Aliasing in frequenza Modulo della f.d.t. oscillatore al variare di T Maggiorazione della risposta impulsiva dell oscillatore

8 Elenco delle figure vii 6.1 Confronto spettro in spostamento Confronto spettro in pseudo-velocitá Confronto spettro in pseudo-accelerazione Finestra principale del programma SpectCalc Finestra principale del programma SpectCalc con il pulsante di calcolo abilitato Esempio di spettri medio e di inviluppo con tracce sovrapposte Organizzazione della matrice spects prodotta dal programma Esempio di help del programma B.1 Campionamento di un segnale

9 Elenco delle tabelle 2.1 Periodi di separazione dell andamento dello spettro di normativa Altri parametri per il calcolo dello spettro di normativa Esempi di valori di periodo minimo Esempi di valori di numero minimo di punti FFT

10 Introduzione Nell ambito dell Ingegneria Civile la progettazione di strutture sottoposte a sollecitazioni dinamiche di varia natura (sia naturali come sismi, che artificiali come vibrazioni prodotte da macchinari, mezzi di trasporto, ecc.) riveste un ruolo fondamentale per la sicurezza. A tal fine l Ingegneria Sismica, branca specializzata dell Ingegneria Civile, si avvale di sofisticati strumenti matematici sia per il progetto di nuove strutture che per la verifica di quelle giá esistenti, facendo riferimento a specifiche opportunamente normate. In alcune tecniche di progetto, come quella dell analisi dinamica lineare tale verifica avviene mediante la riduzione del problema ad un modello relativamente semplice costituito da un opportuna combinazione di oscillatori smorzati ad un grado di libertá, analizzando la risposta massima di ciascuno di questi oscillatori con quello che viene indicato come spettro di risposta. Lo spettro di risposta é infatti un diagramma che rappresenta la massima risposta in spostamento, velocitá o accelerazione, ed in funzione del periodo naturale di pulsazione T, dell oscillatore semplice smorzato, eccitato da una forzante nota. Lo scopo del lavoro svolto é stato quello di esplorare i metodi di calcolo degli spettri di risposta, valutandone vantaggi e svantaggi, con particolare attenzione al calcolo nel dominio trasformato della frequenza, ed agli aspetti

11 Introduzione x legati all elaborazione numerica la quale, necessitando inevitabilmente della discretizzazione delle grandezze in gioco, richiede i necessari accorgimenti per ottenere risultati validi. Nei primi capitoli che seguono si troverá un introduzione alla sismologia ed al progetto in zona sismica, necessarie tanto per comprendere l ambito in cui si applicano i risultati ottenuti, quanto per capire sulla base di quali ragionamenti si é arrivati ad essi. Nei capitoli successivi verrá invece esposta l analisi nel dominio del tempo ed in quello della frequenza, illustrando i calcoli principali ed i risultati prodotti dal lavoro, con alcune applicazioni di questi.

12 Capitolo 1 Onde sismiche e metodi di rilevamento I terremoti sono vibrazioni del terreno causate essenzialmente da fratture che si producono nelle rocce della crosta terrestre a seguito di un accumulo di energia di deformazione causato da movimenti tettonici a grande scala. Tale energia in parte viene liberata sotto forma di calore prodotto dall attrito e in parte convertita in energia cinetica e propagata a distanza sotto forma di onde sismiche 1. Da alcuni decenni la teoria della tettonica a placche, o tettonica a zolle, fornisce il principale riferimento per interpretare i fenomeni sismici. La teoria é nata alla fine del XIX secolo da considerazioni morfologiche e geologiche, ma é stata definitivamente convalidata solo da pochi decenni grazie ai recenti sviluppi della geofisica e della geodesia 2. Secondo questa teoria, la litosfera (particolarmente rigida, costituita dalla 1 Per la stesura di questo capitolo si faccia riferimento a: [1], [2] in Bibliografia. 2 Rispettivamente le discipline che si occupano di magnetismo terrestre e delle osservazioni satellitari della morfologia del globo.

13 Capitolo 1. Onde sismiche e metodi di rilevamento 2 crosta terrestre e dalla parte piú esterna del mantello) é suddivisa in grandi placche che navigano su uno strato piú viscoso, detto astenosfera. Le placche si muovono l una rispetto all altra con modalitá diverse: in corrispondenza delle dorsali oceaniche, il materiale caldo del mantello risale fino alla superficie della terra, producendo un progressivo assottigliamento della crosta oceanica, mentre in corrispondenza delle zone di subduzione si ha sprofondamento della crosta terrestre al di sotto delle zolle adiacenti. Esistono inotre altri due tipi di interazione tra zolle: un moto relativo prevalentemente orizzontale, detto trascorrente ed un moto di collisione tra due continenti. Questi moti, che provocano spostamenti dell ordine di pochi centimetri all anno, costituiscono la principale causa degli eventi sismici. Spesso i terremoti generati dalla subduzione sono molto profondi, mentre quelli generati da moti trascorrenti sono superficiali. Le onde sismiche generate dall energia sprigionata durante un terremoto sono dunque disturbi elastici che si propagano dall ipocentro 3, attraverso la crosta terrestre, in tutte le direzioni; in particolare quelle che giungono sulla superficie terrestre sono responsabili delle azioni esercitate sulle costruzioni 4. Esistono vari tipi di onde sismiche classificate in base ai diversi caratteri e velocitá con cui si propagano attraverso i vari mezzi. Si possono individuare due grandi categorie: le onde di volume, per le quali l onda elastica generata all ipocentro si propaga interessando gli strati piú profondi della litosfera, e le onde superficiali, per le quali invece la propagazione interessa soltanto gli strati piú superficiali della crosta terrestre. 3 In geofisica si indica con ipocentro il punto in cui si sprigiona l energia della scossa sismica, in profonditã nella crosta terrestre, mentre con epicentro ci si riferisce alla proiezione dell ipocentro sulla superficie terrestre. 4 Possono esistere anche onde sismiche artificiali, generate sia in superficie che in profonditá dall attivitá umana, come ad esempio da esplosioni, perforazioni, macchinari e grandi mezzi di trasporto.

14 Capitolo 1. Onde sismiche e metodi di rilevamento Onde di volume Le onde volumetriche, dette anche di corpo, si propagano in tutte le direzioni coinvolgendo gli strati profondi della litosfera (sostanzialmente in maniera analoga ad un onda sferica). Schematizzando la superficie terrestre come superficie di separazione fra un mezzo denso, la crosta, e un mezzo molto leggero, l aria dell atmosfera, le onde che vi sopraggiungono in parte vengono riflesse, tornando all interno della terra, in parte passano per trasparenza e, a contatto con l aria, generano rumore 5. L onda di volume puó essere matematicamente scomposta come somma di due componenti diverse, distinte dall azione meccanica svolta: le onde P e le onde S Onde P Le onde P, abbreviazione di primarie, dette anche di compressione o longitudinali, sono onde di pressione, simili alle onde acustiche, che agiscono sulla materia tramite un azione longitudinale alla direzione di propagazione dell onda stessa. Al passaggio di questo tipo di eccitazione dunque la materia subisce un alternanza di forti compressioni seguite da rapidi rilassamenti che corrispondono ad un moto oscillatorio impresso alle particelle nella direzione di propagazione dell onda. 5 É questa la causa dei tipici boati spesso avvertiti in corrispondenza dei terremoti, nonché della maggior sensibilitá di certi animali agli eventi sismici. L osservazione del comportamento di alcuni animali domestici, come i cani, ha infatti tradizionalmente associato a questi la capacitá di prevedere gli eventi sismici; in realtá é la maggior sensibilitá dell apparato uditivo di questi animali a permettere loro di udire l onda acustica trasmessa nell aria dall incidenza con la superficie terrestre di onde piú veloci che, a seconda della distanza dell epicentro dal punto di osservazione, possono arrivare con significativo anticipo rispetto alle piú lente.

15 Capitolo 1. Onde sismiche e metodi di rilevamento 4 Queste onde, che raggiungono picchi di velocitá nella roccia compatta dell ordine di 5-6 km/s, sono quelle che raggiungono per prime la superficie terrestre (da qui la denominazione di primarie) e si propagano in qualunque mezzo, sia solido che fluido. Figura 1.1: Rappresentazione dell azione di compressione longitudinale alla direzione di propagazione esercitata da un onda P sulle particelle di terreno Onde S Le onde S, secondarie o di taglio, provocano invece nel mezzo interessato sollecitazioni perpendicolari rispetto alla direzione di propagazione, in direzione di taglio appunto, che corrisponde ad un moto oscillatorio impresso alle particelle della materia in tale direzione. Le onde S non possono propagarsi in mezzi fluidi i quali non oppongono resistenza al taglio, sono piú lente rispetto alle P, raggiungendo picchi

16 Capitolo 1. Onde sismiche e metodi di rilevamento 5 di velocitá dell ordine di km/s nella roccia compatta, ma sono anche caratterizzate da ampiezze maggiori di quest ultime. Figura 1.2: Rappresentazione dell azione di taglio perpendicolare alla direzione di propagazione esercitata da un onda S sulle particelle di terreno. 1.2 Onde di superficie Le onde di superficie si generano ogni qualvolta un onda di corpo viene ad attraversare una discontinuitá nel materiale in cui si propaga; il caso di maggior interesse é, ovviamente, quello della superficie libera della terra, intesa come interfaccia tra crosta terrestre ed atmosfera. Volendo fare un analogia con un onda elettromagnetica potremmo associare l onda di superficie all onda elettromagnetica trasmessa all incidenza con un conduttore elettrico perfetto (p.e.c.), o ad esempio all onda evanescente che si propaga nel cladding di una fibra ottica: l energia dell onda di superficie infatti decade come un esponenziale negativo con la profonditá

17 Capitolo 1. Onde sismiche e metodi di rilevamento 6 per cui l energia dell onda risulta concentrata nello strato immediatamente adiacente alla superficie del mezzo in cui si propaga. Le onde di superficie sono inoltre caratterizzate da una velocitá di propagazione minore di qualsiasi onda di volume (sia P che S), e per questo vengono anche dette onde lunghe. Anche le onde di superficie si distinguono in 2 categorie in funzione del tipo di azione meccanica esercitata sul mezzo che attraversano: le onde di Rayleigh e le onde di Love Onde di Rayleigh Le onde di Rayleigh sono generate dall interferenza tra un onda P ed un onda S alla superficie libera della crosta terrestre e possono essere dunque viste come somma vettoriale dei vettori descriventi ciascuna delle due componenti. Di conseguenza anche l azione meccanica esercitata sulla materia é una composizione dei moti che genererebbero singolarmente un onda P ed un onda S. In particolare le particelle attraversate da un onda di Rayleigh compiono dei movimenti detti ellittici retrogradi, caratterizzati cioé da un orbita di forma ellittica nel cui piano giace il vettore d onda, e percorsa in senso antiorario guardando il piano dell orbita stessa con il vettore d onda orientato da sinistra verso destra. Le orbite ellittiche percorse dalle particelle sono sempre piú contenute all aumentare della profonditá (infatti l onda é superficiale) e nei punti di incontro tra due orbite adiacenti si hanno dei nodi corrispondenti a punti del mezzo che non risentono dell azione meccanica impressa dall onda; il moto ellittico antiorario si smorza inoltre molto rapidamente. Le onde di Rayleigh raggiungono velocitá massime di km/s.

18 Capitolo 1. Onde sismiche e metodi di rilevamento 7 Figura 1.3: Rappresentazione delle orbite ellitiche retrograde impresse da un onda di Rayleigh alle particelle di terreno Onde di Love Le onde di Love sono anch esse generate dall incidenza di onde S con la superficie libera della crosta ma hanno origine solo nei mezzi in cui la velocitá di queste aumenta con la profonditá del terreno, quindi in presenza di un mezzo disomogeneo, pertanto sono sempre onde disperse. L azione impressa alle particelle del terreno é simile al taglio, in direzione perpendicolare a quella di propagazione dell onda, ma sul piano parallelo alla superficie terrestre; le onde di Love si propagano con velocitá simile a quella delle onde di Rayleigh.

19 Capitolo 1. Onde sismiche e metodi di rilevamento 8 Figura 1.4: Azione di taglio impressa da un onda di Rayleigh alle particelle di terreno. 1.3 Sismografi ed accelerogrammi Nelle stazioni sismiche le onde nelle varie tipologie giungono in tempi diversi e si sovrappongono le une alle altre generando interferenza. Dall analisi dei sismogrammi registrati in almeno tre stazioni diverse si puó determinare la posizione dell epicentro Strumenti per la misura sismica Lo strumento per la misura e registrazione dei fenomeni sismici é il sismografo. In generale uno strumento del genere puó essere in grado rilevare e registrare i valori istantanei di spostamento, velocitá ed accelerazione del suolo in un determinato intervallo di tempo. I sismografi moderni sono sostanzialmente costituiti da una combinazione

20 Capitolo 1. Onde sismiche e metodi di rilevamento 9 Figura 1.5: In un onda sismica i tipi di onde arrivano in momenti diversi in funzione della rispettiva velocitá; tali istanti risultano piú o meno distinguibili a seconda della distanza dall epicentro dello strumento usato per la misurazione. di tre accelerometri disposti ortogonalmente 6 in grado di rilevare i valori di accelerazione impressi dal sisma nelle tre direzioni nord-sud, est-ovest e verticale, o z. I valori cosí rilevati vengono registrati tramite un sistema di acquisizione digitale pronti per l elaborazione e/o l archiviazione 7. Inoltre un sismografo non viene normalmente utilizzato a sé stante, ma inserito in una rete sismica costituita da una serie di strumenti opportunamente disposti in circolo o ad L nella zona di interesse per le rilevazioni, per poter estrapolare dalle registrazioni il modo di propagarsi delle onde sismiche nell area indagata. 6 Come una terna di assi ortogonali. 7 I sismografi piú datati in realtá utilizzano metodi di registrazione analogici, ma i dati ottenuti devono essere in ogni caso digitalizzati per poter essere elaborati ed archiviati in formato elettronico.

21 Capitolo 1. Onde sismiche e metodi di rilevamento Accelerogrammi e standard delle registrazioni Come si é detto le registrazioni piú importanti ai fini pratici sono quelle inerenti alle accelerazioni impresse dal sisma 8 pertanto di solito ci si riferisce alle registrazioni di tipo accelerometrico dette accelerogrammi. La misurazione effettuata dallo strumento si riduce quindi ad una serie di tracce, generalmente tre nelle direzioni di cui si é detto al paragrafo precedente; tali tracce riportano i valori discreti dell accelerazione relazionati con i valori temporali in cui sono stati rilevati. La marcatura temporale é ovviamente fondamentale, sia quella relativa alla scossa sismica che ha quindi come riferimento t=0 l inizio della scossa stessa, sia quella assoluta per il confronto della rilevazione con quelle delle altre stazioni della rete. L uscita del sismografo (o la digitalizzazione di essa nel caso di uno strumento analogico) é quindi un file di testo ASCII, ossia privo di formattazione, contenente le tre tracce precedute ciascuna da un intestazione che riporta dei dati interessanti come appunto il tempo di registrazione, la durata della traccia, la frequenza di campionamento, ecc.. Di seguito é riportata a titolo di esempio l intestazione ed i primi cinque campioni di una delle registrazioni utilizzate per il lavoro svolto, provenienti dalla rete sismica dell ENEL, e l andamento temporale della traccia a cui si riferisce. 8 Le ragioni di tale importanza saranno chiarite nel seguito.

22 Capitolo 1. Onde sismiche e metodi di rilevamento 11 ENEL - SIN/IN/INGEGNERIA TERRITORIO E AMBIENTE RA01134 ORIGIN TIME : EPICENTRE : Lat. Lon. MAGNITUDE : HYPOCENTRAL DEPTH : EPICENTRAL MACRO INTENSITY : RECORDED COLFIORITO DATE RECORD : STATION CODE : CLF COORDINATE : Lat Lon SITE INSTALLATION : 1 TYPE INSTALLATION : 1 MORFOLOGICAL CHAR. : GEOTECHNICAL CHAR. : 0 GEOTECHNICAL DATA : EPICENTRAL DISTANCE : FAULT DISTANCE : LOCAL MACROSEISMIC INTENSITY : MCS RECORD. INSTRUMENT : RAKA236 FULL SCALE : G SENSIBILITY : cm/g NATURAL FREQ. : Hz DAMPING : % COMP : NS UNCORRECTED DATA AUTOMATIC DIG. FIX SAMPLING TIME : SUBTRACTED MEDIUM VALUE AND POSITIONED FT OR FC SUBTRACTED AMAX : CM/SEC**2 TIME (AMAX) : SEC TOTAL DURATION : SEC RMS : CM/SEC**2 UNITS ARE : SEC CM/SEC**2 POINTS :

23 Capitolo 1. Onde sismiche e metodi di rilevamento accelerazione [cm/s 2 ] tempo [s] Figura 1.6: Tabulazione dei dati relativi alla traccia Nord-Sud dell accelerogramma RA01134, registrato dalla stazione di Colfiorito in data 03/09/1997; nel grafico i dati sono raccordati Contenuto spettrale di un segnale sismico Effettuando la trasformata veloce di Fourier 9 di un accelerogramma qualunque si puó facilmente notare che la parte significativa dello spettro é contenuta in una banda piuttosto stretta: analizzando la trasformata di un accelerogramma normalizzato al valore massimo assunto e riportando le ampiezze in db 10 é ancora piú evidente come l energia del segnale sia quasi completamente contenuta sotto i 30 Hz. D altronde é plausibile che in un sistema come quello in cui si propagano le onde sismiche, cioé costituito dalla litosfera, da mari ed oceani, l inerzia associata a delle masse cosí imponenti non permetta la propagazione di onde meccaniche a frequenze molto elevate, benché ad esse siano associate quantitá 9 Per una spiegazione esauriente dell operazione di trasformata di Fourier e degli algoritmi di trasformata veloce si consulti [3]. 10 Si consulti l Appendice A per una spiegazione del significato del db e del suo utilizzo.

24 Capitolo 1. Onde sismiche e metodi di rilevamento 13 altrettanto grandi di energia. Sulla base di queste considerazioni i dati accelerometrici provenienti dalle stazioni sismiche, compresi quelli su cui si é lavorato, sono campionati ad una frequenza di campionamento di 200 Hz, che rispetta il teorema di Nyquist 11 in maniera sufficientemente cautelativa. A titolo di esempio la Figura 1.7 riporta lo spettro della traccia graficata nel tempo in Figura Ampiezza [db] Frequenza [Hz] Figura 1.7: Modulo della trasformata discreta di Fourier della traccia Nord-Sud dell accelerogramma RA01134 normalizzata al suo valore massimo, riportato in db: si noti come intorno ai 30 Hz l ampiezza del segnale sia giá inferiore a -30 db. 11 In base alla teoria del campionamento, il teorema di Nyquist stabilisce un limite alla minima frequenza di campionamento sufficiente a non generare aliasing in frequenza, ossia sovrapposizione delle repliche dello spettro del segnale risultanti appunto dal campionamento di questo. La frequenza di Nyquist risulta quindi pari al doppio del massimo contenuto in frequenza del segnale da campionare, ossia nella pratica alla banda ritenuta significativa del segnale. Per maggiori delucidazioni in merito al campionamento ed al fenomeno dell aliasing si veda l Appendice B.

25 Capitolo 1. Onde sismiche e metodi di rilevamento La tecnica della Deconvoluzione Parliamo brevemente della Deconvoluzione, una tecnica introdotta in tempi relativamente recenti per ripulire i segnali sismici rilevati dai fattori che li degradano 12. Giá dalla semplice osservazione di un accelerogramma, come quello in Figura 1.6, si puó notare come nella registrazione la fine della scossa sismica non sia netta, ma prosegua, teoricamente in maniera indefinita, con un ampiezza esigua. Come é facile immaginarsi alla scossa rilevata sará dunque sovrapposto un certo rumore di fondo dovuto a svariate cause, che sará modellizzabile con adeguati sistemi di natura statistica 13. Dal punto di vista meccanico poi la struttura di un singolo accelerometro puó essere schematizzata come in Figura 1.8, ossia come un oscillatore semplice smorzato ad un grado di libertá. D altro canto é anche intuitivamente necessario che il sistema meccanico preposto alla misura presenti un certo smorzamento proporzionale all ampiezza massima che si stima di dover misurare, altrimenti il risultato della misurazione sarebbe un valore pressoché costantemente saturato al valore massimo (o minimo) della dinamica rilevabile. Ma allora si capisce come l accelerogramma che si riceve in uscita dallo strumento sia in realtá una versione filtrata dal sistema sismografo (e in particolare per i fini pratici attenuata) dell acclerazione realmente impressa allo strumento, quindi a qualsiasi struttura posta in quell area, dal sisma. 12 In realtá la tecnica della Deconvoluzione é applicabile ed applicata anche in molti altri settori quali l elaborazione delle immagini o, in generale, ogni qualvolta si abbiano segnali affetti da disturbi modellizzabili. 13 Lo studio e la modellizzazione del rumore presente sui sistemi non sará oggetto di discussione per questo volume, tuttavia l argomento riveste un importanza cruciale coadiuvato alle opportune tecniche di elaborazione del segnale. Per maggiori approfondimenti si puó fare riferimento alla letteratura scientifica in ambito geofisico.

26 Capitolo 1. Onde sismiche e metodi di rilevamento 15 Sulla base di ragionamenti come questi si puó pensare di individuare ciascuna ragionevole causa di disturbo, studiarne la dinamica, e una volta ricavato un modello matematico immaginare che il segnale originale attraversi dei sistemi, ciascuno dei quali produce su di esso un effetto deterministico. In particolare se il sistema ottenuto per modellizzare un certo disturbo é lineare sará possibile determinarne una funzione di trasferimento, ma soprattutto una funzione di trasferimento inversa 14, con la quale filtrare il segnale in uscita dallo strumento con l aspettativa di liberarlo da quel determinato disturbo. Questa é tecnica viene indicata sotto il nome di Deconvoluzione; come vedremo l analisi di un segnale non deconvoluto e quella dello stesso deconvoluto possono portare a risultati sensibilmente diversi. Figura 1.8: Schema del sistema meccanico equivalente ad un sismografo. 14 Non entriamo in merito ai problemi di causalitá che si possono incontrare; in maniera numerica é comunque possibile realizzare un sistema lineare anche non causale a patto di rinunciare ad un elaborazione di tipo real-time.

27 Capitolo 2 La progettazione in zona sismica In ambito progettuale é di interesse primario conoscere i valori massimi dei parametri strutturali che maggiormente condizionano la progettazione esecutiva della costruzione, come ad esempio il taglio massimo alla base o lo spostamento massimo di un punto di controllo particolare 1. In linea generale la valutazione dei parametri strutturali che caratterizzano il comportamento dinamico, e quindi le relative sollecitazioni, viene ottenuta realizzando un modello computazionale della struttura (modello ad elementi finiti, analisi FEM); nell ipotesi di un comportamento strutturale di tipo elastico lineare, l analisi della risposta, ossia la valutazione degli effetti dell azione sismica, puó essere effettuata mediante l impiego della Analisi Dinamica Multimodale con spettro di risposta, detta piú semplicemente Analisi Modale. 1 Per la stesura di questo capitolo si faccia riferimento a: [4], [5], [6] in Bibliografia.

28 Capitolo 2. La progettazione in zona sismica L Analisi Modale L Analisi Modale permette in sostanza di ricondurre la struttura in esame ad un sistema caratterizzato da N modi di vibrare, approssimandone cosí il comportamento dinamico come la combinazione lineare di N risposte modali. Tramite gli opportuni passaggi matematici il modello MDOF 2 cosí ottenuto puó essere disaccoppiato in una combinazione lineare di sistemi SDOF 3. Appare subito evidente come nel condurre l Analisi Modale siano di fondamentale importanza la determinazione della quantitá di modi con cui approssimare il comportamento della struttura, per ottenere un modello sufficientemente accurato ma al tempo stesso non troppo oneroso per il calcolo, cosí come la scelta del criterio piú adatto a valutare la risposta complessiva a partire da quella degli oscillatori SDOF in cui si é scomposto il sistema MDOF. A tal fine le normative prevedono vincoli specifici in relazione al tipo di struttura da progettare ae alle caratteristiche geografiche e morfologiche della zona d interesse. Lo studio delle risposte di ogni singolo oscillatore semplice ad un grado di libertá permette dunque di determinare la risposta complessiva della struttura. Spesso peró, per la progettazione di strutture soggette a vibrazioni non a regime come nel caso della progettazione in zona sismica, piú che l andamento nel tempo delle singole risposte interessa conoscere i valori massimi della risposta in termini di spostamento, velocitá ed accelerazione di ciascuno di questi oscillatori per verificare le sollecitazioni massime a cui sará sottoposta la struttura in quella determinata zona: qui entra in gioco lo spettro 2 Acronimo di Multi Degrees Of Freedom ossia gradi di libertá multipli. 3 Acronimo di Single Degrees Of Freedom ossia un solo grado di libertá.

29 Capitolo 2. La progettazione in zona sismica 18 di risposta. 2.2 Spettri di Risposta Lo spettro di risposta é un diagramma le cui ordinate corrispondono alla massima ampiezza di uno dei parametri della risposta, in funzione del periodo proprio naturale di oscillazione di un sistema elastico lineare smorzato SDOF, calcolata per una determinata eccitazione nota. Lo spettro cosí determinato andrebbe in realtá distinto come spettro di risposta elastico in quanto presuppone che il comportamento del materiale sia indefinitamente elastico lineare 4. Per verifiche particolari in regime plastico si ricorre ad un altro tipo di spettro, detto spettro di risposta inelastico. Poiché il lavoro é stato incentrato sul calcolo dello spettro di risposta elastico nei prossimi capitoli si descriveranno i metodi possibili per raggiungere tale scopo; d ora in avanti si fará comunque riferimento sempre a spettri di tipo elastico Grandezze utili I parametri della risposta a cui si é fatto riferimento fin ora sono spostamento, velocitá ed accelerazione. Nella pratica ci si riferisce tuttavia a delle grandezze leggermente diverse da queste: gli spettri utilizzati riportano infatti la risposta massima in termini di spostamento spettrale, pseudo-velocitá spettrale e pseudo-accelerazione spettrale. 4 Ossia che la rigidezza della molla k sia costante per qualunque valore di elongazione; questa situazione é ovviamente solo un approssimazione semplificativa che viene peró ritenuta valida per un gran numero di analisi.

30 Capitolo 2. La progettazione in zona sismica 19 Lo spostamento spettrale, che indicheremo con S d, é coincidente con lo spostamento inteso tradizionalmente, determinato dalla risposta dell oscillatore con un determinato periodo di oscillazione, mentre pseudo-velocitá S v e pseudo-accelerazione S a sono ricavate a partire dallo spostamento spettrale secondo le relazioni: S v = ωs d (2.1) S a = ω 2 S d dove con ω si intende la pulsazione naturale dell oscillatore per cui é calcolato quel dato valore di S 5 d. La differenza tra le pseudo-quantitá utilizzate e quelle reali é minima: come sará chiaro piú avanti, ricavare gli spettri nei tre parametri della risposta in questi termini é decisamente meno oneroso dal punto di vista del calcolo di quanto non lo sarebbe la determinazione di velocitá ed accelerazione come derivate prima e seconda dello spostamento, e permette di evitare l instabilitá del calcolo numerico di queste 6. Inoltre il fatto che il risultato ottenuto differisca in maniera minima da quello rigoroso non é un caso: la risposta massima di ogni singolo oscillatore a quella determinata (e fissa per tutto lo spettro) forzante é infatti riconducibile al fenomeno della risonanza per cui, con un ragionamento del tutto intuitivo, potremmo immaginare di ottenere, ai fini della determinazione della risposta massima in spostamento, lo stesso risultato che si ottiene dalla soluzione dell equazione che descrive risposta forzata del moto, considerando 5 Per una trattazione esauriente della risposta di un oscillatore lineare SDOF si veda il capitolo seguente. 6 Senza entrare troppo nel dettaglio é sufficiente pensare a quanto sia concettualmente piú semplice l operazione di moltiplicazione rispetto a quella di derivazione, dunque anche un implementazione a livello numerico delle due operazioni.

31 Capitolo 2. La progettazione in zona sismica 20 invece l oscillatore come se fosse eccitato dalla sola componente armonica alla frequenza di risonanza contenuta nella forzante 7. La risonanza di un oscillatore viene raggiunta quando questo é eccitato da una forza armonica caratterizzata dalla stessa pulsazione (o frequenza) naturale dell oscillatore stesso, dunque poiché la risposta dell oscillatore assume sempre forma sinusoidale, come dettagliatamente descritto nel capitolo successivo, risulta chiaro il passo con cui si puó ragionevolmente passare da velocitá ed accelerazione a pseudo-velocitá e pseudo-accelerazione, semplicemente tenendo conto delle relazioni che legano una quantitá sinuosoidale con le sue derivate prima e seconda ed i relativi massimi: x(t) = A sin(ωt) x max = A ẋ(t) = Aω cos(ωt) ẋ max = Aω ẍ(t) = Aω 2 sin(ωt) ẍ max = Aω Spettri medi, di inviluppo e lisciati Gli spettri di risposta calcolati sulla base di un determinato accelerogramma presentano un andamento piuttosto irregolare che corrisponde ad effetti di risonanza locale, i quali legano il contenuto in frequenza dell accelerogramma al periodo naturale dell oscillatore (e quindi alla sua frequenza di risonanza); queste irregolaritá si attenuano passando a curve calcolate per indici di smorzamento via via maggiori. Uno spettro cosí frastagliato, benché rappresenti un andamento preciso della risposta massima in funzione del periodo dell oscillatore, non ha molto significato per la progettazione, proprio perché legato ad una singola registrazione. 7 Si é qui implicitamente supposto di poter avere in qualche maniera una stima del contenuto spettrale della forzante stessa.

32 Capitolo 2. La progettazione in zona sismica Risposta in pseudo accelerazione normalizzata a g Periodo naturale oscillatore [s] Figura 2.1: spettro di risposta in pseudo-accelerazione normalizzata a g calcolato per un indice di smorzamento ν = 0.05 usando come forzante la registrazione Nord-Sud della traccia RA In fase di progetto é invece molto piú significativo utilizzare spettri generalizzati ricavati da una moltitudine di spettri calcolati su altrettante registrazioni relative ad eventi compatibili, rilevati cioé nella stessa zona di interesse nel corso del tempo, ed opportunamente normalizzati. Dall insieme di singoli spettri si estrapola poi uno spettro medio, come media di ciascuno di questi, oppure, per una valutazione piú cautelativa, uno spettro di inviluppo, ottenuto appunto effettuando l inviluppo della sovrapposizione di tutti gli spettri 8. Se si hanno a disposizione un buon numero di registrazioni si ottiene uno spettro di risposta molto piú significativo di quanto non si possa avere da una singola traccia; il risultato viene inoltre frequentemente lisciato per addolcire l andamento della curva, tagliando in pratica i picchi piú elevati e 8 Che corrisponde piú semplicemente a prendere il massimo valore tra tutti gli spettri per ciascun valore del periodo.

33 Capitolo 2. La progettazione in zona sismica 22 appianando i minimi: questa operazione corrisponde nella pratica all assunzione di una determinata probabilitá di rischio, alla quale tuttavia si deve dare il giusto peso, considerando che ad uno spettro di risposta di inviluppo, corrisponde giá un certo atteggiamento cautelativo 9 ; comunque il progetto dovrá rispettare anche vincoli economici che in certi casi potrebbero non essere propriamente in accordo con un eccessivo sovradimensionamento dal punto di vista sismico Gli Spettri di Normativa Spesso per il progetto in zone sismiche non soggette a particolare rischio, o per le quale non sono disponibili registrazioni accelerometriche, non ci si riferisce ad uno spettro di risposta del tipo appena descritto, ma a degli spettri forniti come normativa dall Ente preposto. Questi spettri, che indicheremo come spettri di normativa, presentano il vantaggio di avere un andamento descrivibile analiticamente per cui non c é la necessitá di calcolarli in ciascun caso specifico e di averli tabulati a portata di mano. Per un approccio il piú generale possibile faremo rifermento all Eurocodice 8, norma europea in fase di ricezione da parte dei paesi comunitari, compresa l Italia 10. Ai fini della presente norma i territori devono essere suddivisi dalle autoritá nazionali in zone sismiche sulla base del rischio locale. Per definizione si assume che all interno di una data zona sismica il rischio sismico sia costante. Per la maggior parte delle applicazione di questo Eurocodice il rischio sismico é descritto per mezzo di un unico parametro, cioé il valore a g del 9 É costituito infatti dai massimi di tutti gli spettri. 10 Si faccia riferimento a [6] in Bibliografia.

34 Capitolo 2. La progettazione in zona sismica 23 picco di accelerazione in un terreno roccioso o comunque compatto; si parla quindi di valore di progetto dell accelerazione del terreno. Tale valore di progetto dell accelerazione del terreno, scelto come si é detto dalle autoritá nazionali per ogni zona sismica, corrisponde ad un periodo di ritorno di riferimento di 475 anni. A questo periodo di riferimento é assegnato un coefficiente d importanza γ I pari a 1,0. L influenza delle caratterisctiche locali del terreno sul valore dell azione sismica é generalmente tenuta in conto considerando tre classi di appartenenza per il sottosuolo, dette A, B e C, definite sulla base dei differenti profili stratigrafici qui di seguito descritti: Sottosuolo di tipo A: roccia o altra formazione geologica caratterizaata da una velocitá di propagazione delle onde di taglio, v s, pari almeno a 800 m/s, includendo al massimo uno strato di materiale a piú debole consistenza di 5 m; depositi compatti di sabbia, ghiaia o argilla sovraconsolidata con spessori maggiori di diverse decine di metri, caratterizzati da un graduale incremento delle proprietá meccaniche con la profonditá (e da valori di v s pari ad almeno 400 m/s ad una profonditá di 10 m). Sottosuolo di tipo B: depositi profondi di sabbie mediamente addensate, ghiaia e argille mediamente rigide con spessori che vanno dalle diverse decine di metri alle molte centinaia, caratterizzati da valori minimi della v s che vanno da 200 m/s ad una profonditá di 10 m, fino a 350 m/s a 50 m. Sottosuolo di tipo C: depositi privi di coesione con o senza qualche morbido strato ceosivo, caratterizzati da valori di v s sotto ai 200 m/s

35 Capitolo 2. La progettazione in zona sismica 24 nei primi 20 m; depositi di terreni coesivi caratterizzati da rigidezze basse/medie e con valori di v s sotto ai 200 m/s nei primi 20 m. L azione sismica orizzontale descritta dalle due componenti ortogonali considerate indipendenti é rappresentata mediante il medesimo spettro di risposta. A meno che studi specifici non diano indicazioni contrarie, la componente verticale dell azione sismica sará modellata secondo lo spettro di risposta dell azione sismica orizzontale, ma con i valori in ordinata ridotti nel seguente modo: per T < 0.15s le ordinate vengono scalate per un coefficiente pari a 0.70; per T > 0.50s le ordinate vengono scalate per un coefficiente pari a 0.50; per 0.15 T 0.50s le ordinate vengono ridotte interpolando linearmente. Lo spettro di risposta elastico S e (T ) é definito mediante le seguenti espressioni: 0 T < T B S e (T ) = a g S ( ) 1 + T T B (η β 0 1) T B T < T C S e (T ) = a g S η β 0 T C T < T D S e (T ) = a g S η β 0 ( T CT ) k1 T D T S e (T ) = a g S η β 0 ( T C T D ) k1 ( T DT ) k2 (2.2) dove β 0 é il fattore di amplificazione dell accelerazione dello spettro per smorzamento viscoso pari al 5%, T B e T C sono i limiti del tratto costante

36 Capitolo 2. La progettazione in zona sismica 25 dello spettro di accelerazione, T D é il valore che definisce l inizio del tratto di spostamento costante dello spettro, k 1 e k 2 sono esponenti che modificano la forma dello spettro per un periodo di vibrazione maggiore, rispettivamente, di T C e T D, S é un parametro che caratterizza il sottosuolo ed η é un fattore correttivo dello smorzamento che assume un valore pari ad 1 per uno smorzamento viscoso pari al 5%. Le seguenti Tabelle 2.1 e 2.2 descrivono il valore assunto dai coefficienti dell equazione 2.2. Categoria S T B [s] T C [s] T D [s] di suolo A B C Tabella 2.1: Valori del parametro S e dei periodi T B, T C, T D che separano le sezioni ad andamento diverso, dello spettro orizzontale di normativa. Categoria β 0 k 1 k 2 di suolo A B C Tabella 2.2: Valori dei dei parametri β 0, k 1 e k 2, al variare del tipo di sottosuolo per l equazione dello spettro orizzontale di normativa. La Figure 2.2 e mostra l andamento degli spettri di normativa orizzontale e verticale.

37 Capitolo 2. La progettazione in zona sismica 26 3 A B C S e /a g [/] T [s] 2 A B C 1.5 S e /a g [/] T [s] Figura 2.2: Spettri di normativa orizzontale e verticale in pseudo accelerazione per le varie categorie di suolo, normalizzati rispetto ad a g, calcolati secondo le direttive dell Eurocodice 8.

38 Capitolo 3 L oscillatore semplice smorzato Una trattazione matematica esaustiva condurrebbe lo studio delle oscillazioni di un oscillatore SDOF a partire dall analisi della risposta libera di un oscillatore semplice non smorzato ad un grado di libertá, per introdurre cosí il termine di smorzamento e successivamente studiare la risposta del sistema all eccitazione armonica, giungendo infine all eccitazione da parte di forzanti generiche e carichi impulsivi. Benché questo tipo di approccio sia ottimo per la comprensione del problema, in questa sede ci si limiterá allo studio della risposta libera di un oscillatore semplice smorzato SDOF tralasciando l eccitazione armonica e passando direttamente a quella generica. Questi due passaggi possono essere infatti considerati il caso generale, visto che un oscillatore semplice non smorzato equivale ad un corrispondente smorzato con indice (o coefficiente) di smorzamento nullo, e che un eccitazione armonica non é che una particolare forma dell eccitazione generica 1. 1 Per la stesura di questo capitolo si faccia riferimento a: [4], [7], [8] in Bibliografia.

39 Capitolo 3. L oscillatore semplice smorzato Equazione del moto nella risposta libera L oscillatore semplice smorzato ad un grado di libertá é un sistema meccanico elementare costituito da una massa m che puó traslare secondo una sola direzione x, legata al vincolo da una molla di rigidezza k e da uno smorzatore (o ammortizzatore) caratterizzato da un coefficiente di resistenza viscosa c. Figura 3.1: Schema di un oscillatore semplice smorzato ad un grado di libertá a) in posizione di riposo e b) all istante t in posizione diversa da quella di riposo. Si noti che, essendo l oscillatore ad un solo grado di libertá e considerando la forza peso della massa bilanciata dalla reazione del piano (liscio) su cui questa si muove, si puó ragionare in termini monodimensionali, per cui il formalismo adottato non sará di tipo vettoriale per questa motivazione. Ricordiamo che sia la forza di richiamo esercitata dalla molla, che quella di resistenza viscosa dello smorzatore, si oppongono al moto della massa; in particolare la forza elastica risulta proporzionale attraverso la rigidezza k alla posizione istantanea della massa, mentra la resistenza viscosa é proporzionale alla velocitá istantanea della massa stessa tramite il coefficiente di smorzamento c. Immaginiamo dunque che la massa si trovi in un generico istante t in una

40 Capitolo 3. L oscillatore semplice smorzato 29 posizione diversa da quella di riposo, ossia che quest ultima si trovi in una deteminata posizione x(t) in moto con una velocitá ẋ(t); allora applicando la seconda legge della dinamica ed il principio di D Alambert, é possibile scrivere il diagramma di corpo libero alla massa: mẍ = cẋ kx (3.1) dove si é volutamente tralasciata la dipendenza dal tempo per non appesantire la notazione, e dove, relativamente alla Figura 3.1 risulta: F e = kx F v = cẋ F i = mẍ Dividendo tutto per m ed introducendo le quantitá pulsazione naturale ω ed indice di smorazmento ν si giunge all equazione differenziale del moto dell oscillatore: ẍ + 2νωẋ + ω 2 x = 0 (3.2) con: ω = ν = k m c 2 mk = c 2mω (3.3) 3.2 Soluzione dell equazione differenziale del moto L equazione differenziale 3.2 é lineare, omogenea a coefficienti costanti. Si cerca allora una soluzione della forma: x(t) = x = e λt

41 Capitolo 3. L oscillatore semplice smorzato 30 Calcolate le prime due derivate di x(t) rispetto al tempo, la sostituzione di queste nella 3.2 fornisce: e λt (λ 2 + 2νωλ + ω 2 ) = 0 che é soddisfatta per qualsiasi valore di t quando: λ 2 + 2νωλ + ω 2 = 0 (3.4) L equazione di secondo grado 3.4 nell incognita λ si dice equazione caratteristica associata all omogenea 3.2 ed ha radici: {λ 1, λ 2 } = ( ν ± ν 2 1)ω Pertanto le due soluzioni: e λ1t = e tω( ν+ ν 2 1) e λ2t = e tω( ν ν 2 1) sono entrambe soluzioni particolari della 3.2, e la soluzione generale si trova come combinazione lineare di esse: x(t) = C 1 e λ 1t + C 2 e λ 2t (3.5) Dall analisi del discriminante dell equazione caratteristica si evidenzia la possibilitá di tre tipi distinti di soluzione; indicando come smorzamento critico, c 2 cr, il valore del coefficiente di smorzamento che rende nullo il discriminante della 3.4: ν 2 1 = 0 c cr = 2mω = 2k ω le tre soluzioni possono essere distinte confrontando il coefficiente di smorzamento con quello critico. In particolare si ha: 2 Spesso l indice di smorzamento dell oscillatore viene indicato come rapporto tra il coefficiente di smorzamento e quello critico ν = c c cr

42 Capitolo 3. L oscillatore semplice smorzato 31 Se c > c cr ossia ν > 1 il sistema si dice sovrasmorzato; Se c = c cr ossia ν = 1 il sistema si dice criticamente smorzato; Se c < c cr ossia ν < 1 il sistema si dice sottosmorzato. Dove, come detto all inizio del capitolo, il caso di c = ν = 0 corrisponde ad un oscillatore SDOF non smorzato. Nei casi di sistema sovrasmorzato o criticamente smorzato il determinante assume un valore rispettivamente positivo o nullo da cui le radici risultano in entrambi i casi reali (e coincidenti nel caso di smorzamento critico). In entrambe queste situazioni la soluzione del problema di Cauchy che si ottiene fissando i valori iniziali x(t) e ẋ(t) ha una forma esponenziale negativa, corrispondente ad un moto aperiodico che riporta la massa nella posizione di equilibrio, dal punto di partenza, senza l insorgere di oscillazioni complete attorno ad esso. Nella realtá pratica a cui si é interessati questi casi non trovano tuttavia applicazione: gli oscillatori equivalenti che si vengono a considerare nell analisi dinamica lineare delle strutture assumono infatti indici di smorzamento molto inferiori all unitá. É interessante allora studiare la soluzione del sistema sottosmorzato. Essendo ν < 1 le radici λ 1 e λ 2 dell equazione caratteristica 3.4 risultano complesse coniugate con parte reale negativa: λ 1 = νω + jω 1 ν 2 λ 2 = νω jω 1 ν 2 Sostituendo le soluzioni torvate nella 3.5 si otterrebbe una combinazione di due esponenziali complessi, che non é adatta a descrivere il moto dell oscillatore.

43 Capitolo 3. L oscillatore semplice smorzato 32 Ricorrendo alle formule di Eulero si puó allora individuare un nuovo insieme di soluzioni reali da utilizzare in maniera piú utile: e λ 1t = e νωt (cos(ω D t) + j sin(ω D t)) e λ 2t = e νωt (cos(ω D t) j sin(ω D t)) da cui ponendo: z 1 = e λ 1t + e λt 2 z 2 = e λ 1t e λt 2j = e νωt (cos(ω D t)) = e νωt (sin(ω D t)) la soluzione generale: x(t) = A 1 z 1 + A 2 z 2 = e νωt (A 1 cos(ω D t) + A 2 sin(ω D t)) (3.6) dove con il termine ω D si é indicata la pulsazione smorzata dell oscillatore: ω D = ω 1 ν 2 La soluzione trovata in 3.6 mette in evidenza come nella risposta libera dell oscillatore in esame la massa oscilli attorno alla posizione di equilibrio, con pulsazione pari alla pulsazione smorzata ω D (ovvero con periodo T D = 2π ω D ), ma con ampiezza man mano decrescente, governata da un esponenziale negativo che é funzione dell indice di smorzamento ν. Si puó determinare allora la soluzione del problema di Cauchy; fissate le condizioni iniziali: x(t = 0) = x 0 ẋ(t = 0) = ẋ 0