STUDIO DELLE CURVE PIANE

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1 Autore/i: Titolo: Collocazione: Difficoltà: Livello di scolarità: Periodo scolastico: Abstract: M.Maddalena Bovetti Docente di matematica dell Istituto di Istruzione Superiore Statale "F.Liceti" di Rapallo (Ge) STUDIO DELLE CURVE PIANE Scuola Media superiore Media Quarto anno di Scuola Media Superiore Il periodo di trattazione dell'argomento dipende dalla programmazione individuale del docente Lo scopo di questa unità didattica è quello di descrivere un'attività realizzata utilizzando la calcolatrice programmabile Fx CG20 della Casio per affrontare un argomento di matematica particolarmente importante, ma che non sempre riesce ad attrarre gli allievi per le difficoltà sia grafiche che di calcolo: lo studio delle curve piane. In particolare vogliamo analizzare la loro rappresentazione in coordinate polari, solitamente trascurate o, addirittura evitate.l'equazione cartesiana di alcune curve, per esempio le spirali o altre curve celebri, può essere di molto semplificate utilizzando il riferimento polare, ma il grafico relativo può presentare qualche difficoltà se realizzato manualmente.l'argomento si presta molto bene per un lavoro interdisciplinare in quanto le curve piane che prenderemo in considerazione hanno molte interessanti applicazioni in biologia ed in fisica, in astronomia e in architettura ed inoltre la loro trattazione permette al docente di matematica di fare anche qualche riferimento alla storia della matematica L Unità Didattica è corredata della descrizione dell'attività svolta in classe. Prerequisiti d'ingresso: Prerequisiti Cognitivi Conoscenza del piano cartesiano e delle modalità di rappresentazione grafica Conoscenza delle funzioni goniometriche Conoscenza dei sistemi di riferimento Conoscenza del concetto di luogo geometrico dei punti del piano, di esponenziale, di logaritmo Prerequisiti strumentali: Conoscenza dei Menu della Calcolatrice Usare i tasti principali della calcolatrice,saper passare da un menù all'altro, utilizzare i tasti con più funzioni, conoscere i tasti FN per attivare i comandi posti sulla parte bassa dello schermo, i tasti di cancellazione, saper memorizzare un lavoro, ecc. Risultati attesi: Fasi e tempi: Al termine dell unità gli allievi devono: saper trasformare l'equazione di una curva algebrica in coordinate cartesiane in polari e viceversa (almeno nei casi più facili), rappresentarla usando la calcolatrice e studiarne la forma al variare dei valori delle costanti. Saper individuare in ambiti diversi da quelli matematici (in natura, nell'arte, ecc) forme che si avvicinano alla forma delle curve studiate. Conoscere elementi di storia della matematica relativamente alle curve. Comprendere come talune curve permettono la risoluzione di problemi non risolubili con riga e compasso 1ª parte: tempo previsto 2 ore Breve "addestramento" sull'uso dei comandi principali della calcolatrice 2ª parte: tempo previsto 2 ore Rappresentazione di alcune curve in coordinate polari e studio delle loro proprietà anche al variare delle costanti presenti nell'equazione. 3ª parte: tempo previsto 1 ora

2 Analisi di interessanti applicazioni in biologia ed in fisica, in astronomia e in architettura delle curve piane con qualche riferimento alla storia della matematica. 4ª parte: tempo previsto 1 ora Verifica del lavoro svolto con l uso della calcolatrice Metodi e strumenti: Modalità di lavoro: Gli studenti lavorano a gruppi di due con una calcolatrice. Verranno dunque utilizzati i seguenti strumenti: - calcolatrici per gli studenti - calcolatrice per l'insegnante e view screen per la proiezione L'attività viene svolta contemporaneamente da insegnante e allievi;. sarà priviligiato l'apprendimento attraverso il fare; questo servirà a migliorare le strategie per imparare, in modo che imparare non sia solo memorizzare, ma anche e soprattutto comprendere.

3 Premessa Lo scopo di questa unit{ didattica è quello di descrivere un attivit{ realizzata utilizzando la calcolatrice programmabile Fx CG20 della Casio per affrontare un argomento di matematica particolarmente importante, ma che non sempre riesce ad attrarre gli allievi per le difficoltà sia grafiche che di calcolo: lo studio delle curve piane. In particolare vogliamo analizzare la loro rappresentazione non solo in coordinate cartesiane come avviene di solito, ma utilizzando anche le equazioni parametriche e, soprattutto quelle polari, solitamente trascurate o, addirittura evitate. L equazione cartesiana di alcune curve, per esempio le spirali o altre curve celebri, può essere di molto semplificate utilizzando il riferimento polare, ma il grafico relativo può presentare qualche difficoltà se realizzato manualmente. L argomento, adatto per una classe del triennio dello scientifico, si presta molto bene per un lavoro interdisciplinare in quanto le curve piane che prenderemo in considerazione hanno molte interessanti applicazioni in biologia ed in fisica, in astronomia e in architettura ed inoltre la loro trattazione permette al docente di matematica di fare anche qualche riferimento alla storia della matematica. Nei tre esempi considerati verranno presentate oltre alla costruzione del grafico, altre attività che permettono di approfondire la conoscenza della curva sotto diversi punti di vista. E ovvio che le varie attività costituiscono un esempio di utilizzo dei vari menù della calcolatrice e sarà scelta del docente quale abbinare allo studio di una o l altra curva o ad altre, come è mostrato negli esercizi proposti la fine dell unit{. La calcolatrice grafica ci permetterà di rappresentare in maniera veloce e, soprattutto, precisa, le varie curve e potremo, quindi, privilegiare lo studio su come la loro forma può cambiare variando il valore dei parametri che compaiono nelle rispettive equazioni, rimandando l esecuzione del disegno manuale ad un altro momento, per esempio come compito. Prima di iniziare la descrizione dei vari momenti che hanno caratterizzato l attivit{ devo precisare che è bene che gli allievi conoscano l uso dei tasti principali della calcolatrice, che sappiano cioè muoversi fra i vari menù, utilizzare i tasti con più funzioni, i tasti FN per attivare i comandi posti sulla parte bassa dello schermo, i tasti di cancellazione, come memorizzare un lavoro, ecc. Questo tipo di attività non dovrebbe richiedere più di una o due lezioni, anche perché, in genere, i ragazzi hanno una buona manualit{ con gli strumenti informatici ed imparano molto in fretta. Per quanto riguarda l esposizione del lavoro non procederò alla descrizione di tutti i comandi tipo manuale d istruzioni, che sicuramente annoierebbe il lettore, ma spiegherò i principali strumenti man mano che si usano, rimandando eventualmente al manuale stesso i passaggi più tecnici. Per facilitare la comprensione costruirò una tabella a due colonne: sulla prima indicherò i tasti che vanno digitati per ottenere il risultato desiderato e sull altra il risultato stesso.

4 La prima curva che prendiamo in considerazione è la spirale, di cui, se ne conoscono tre: la logaritmica, quella di Archimede e l iperbolica (ne studieremo due). Cominciamo con la prima. Accendiamo la calcolatrice e ci apparirà la schermata del menù principale: Utilizzando il tasto cursore con le quattro frecce portiamoci sul menù Graph (n. 5), e digiatiamo EXE (ultimo tasto sulla destra ) ci apparirà la segeuente schermata: Trascuriamo, per ora, le indicazioni riportate sulla parte alta ed occupiamoci della restante. Quando si accede alle modalità Graph, Dyna Graph o Table la prima schermata visualizzata ci permette di inserire le equazioni delle curve di cui vogliamo tracciare il grafico e, digitando F3, (TYPE )possiamo scegliere il tipo di rappresentazione che preferiamo(cartesiana, parametrica, polare). Ricordo brevemente le caratteristiche delle coordinate polari: il sistema di coordinate polari è un sistema di coordinate bidimensionale nel quale ogni punto del piano è identificato da un angolo e da una distanza da un punto fisso detto polo. Il sistema di coordinate polari è utile specialmente nelle situazioni in cui le relazioni tra due angoli possono essere espresse più facilmente in termini di angoli e distanza. Alcune curve hanno, in coordinate polari, una espressione particolarmente semplice, mentre risulta molto complessa la corrispondente equazione in coordinate cartesiane. Il primo esempio che prendiamo in considerazione è la spirale logaritmica equiangolare, studiata nel 1638 da Cartesio e definita dal matematico Jakob Bernoulli meravigliosa ; essa si sviluppa allargandosi costantemente un giro dopo l'altro. Vorrei far osservare che lo studio di questa curva si presta per uno stimolante lavoro pluridisciplinare; infatti essa è particolarmente interessante non solo per le sue proprietà matematiche, ma anche perché si ritrova in ambiti diversi: troviamo questa forma in molti vegetali, nella disposizione

5 delle foglie, nella conchiglia del Nautilus di cui parleremo più diffusamente in seguito, nelle galassie, ecc. Cominciamo a studiare la curva dal punto di vista matematico; la sua equazione, in coordinate polari è R= a e bθ (1) dove con a,b costanti reali strettamente positive. La spirale logaritmica fu chiamata così da Varignon ( ) perché dall equazione in forma polare, applicando ad entrambi i membri dell equazione il logaritmo naturale, si ottiene Ln R=ln A+ Bθ Iniziamo il nostro lavoro alla calcolatrice: entriamo nel menù Graph e digitiamo F3 (Type) per la scelta del tipo di rappresentazione (cartesiana, polare, ecc), seguito da F2(r=). Queste due operazioni hanno predisposto la calcolatrice alla rappresentazione in coordinate polari, ora non ci resta che inserire l equazione in corrispondenza di r1: Facendo riferimento alla (1), poniamo a = 0,1 e a b=0,2. Terminato l inserimento digitiamo EXE, seguito da F6 (Draw): sullo schermo apparirà la curva. Per ottenere un grafico migliore, potrebbe essere necessario configurare le impostazioni della finestra di visualizzazione, cioè gli intervalli di variazione per la x, la y e per l angolo. Rimaniamo nella finestra del grafico e procediamo in questo modo: rimanendo nella schermata del grafico digitiamo Shift+ F3 per far apparire View Window che offre la possibilit{ di cambiare l impostazione dello schermo. Nella lista che appare apportiamo i seguenti dati, digitando ogni volta EXE X:min: -6 X:max: +6 Scale:0.5 Dot:0.03 Ymin:--3 Ymax :+3 Scale:0.5 T θmin:0 T θmax: 5π ( ) Al termine digitiamo EXIT seguito da F6 e otteniamo il seguente grafico: (nel caso il grafico non fosse interamente visibile, spostare con il tasto Replay il sistema di assi cartesiani). La curva ottenuta è la seguente:

6 A questo punto l insegnante potr{ fare tutte le considerazioni matematiche che ritiene opportune, legate anche alla storia di questa curva. Variando i due parametri a e b si possono ottenere diversi tipi di spirali logaritmiche: il coefficiente a modifica le dimensioni della spirale, cioè cambia l ingrandimento della spirale; il termine b controlla quanto è stretta e in quale direzione essa si avvolge, cioè cambia il rapporto tra le spire e la direzione della spirale. Possiamo verificare quanto affermato nel seguente modo: lasciamo fisso il valore di B e variamo A, poi fissiamo A e variamo B. Se ci troviamo nella videata del grafici digitiamo EXIT per tornare alla schermata di definizione delle equazioni, poi portiamoci con il cursore in corrispondenza dell equazione e cancelliamo con il tasto DEL il coefficiente 0,2 e sostituiamolo con la lettera A (per farlo digitiamo ALPHA+[X,θ,T ] e confermiamo con EXE). Digitiamo, poi, il tasto VARS e apparirà nella parte bassa della finestra un menù da cui scegliamo l opzione GRAPH con F4 e, dal nuovo menù, r con F2. In corrispondenza di r2 scriviamo: r2=r1(a=0.3) +EXE ed in corrispondenza di r3 r3= r1(a=0,5) +EXE ed in corrispondenza di r4 r3= r1(a=1,5) +EXE (Ovviamente possiamo scegliere altri valori.). A questo punto deselezioniamo la prima funzione (digitiamo F1 in corrispondenza di r1),) digitiamo F6 ed appariranno i grafici corrispondenti ai valori delle variabili. Possiamo ripetere l operazione mantenendo costante A e variando B. Dato a

7 per b =0 la spirale logaritmica degenera in un cerchio mentre a seconda del segno di B, la spirale si avvolge in un verso o in quello opposto (verificarlo). Come abbiamo visto a e b sono delle costanti appartenenti a R, e, quindi, è possibile dare a questi parametri alcuni valori particolari, ottenendo spirali diverse: quella che più ha affascinato gli studiosi è la spirale aurea o armonica. L equazione della spirale armonica è quella della spirale logaritmica in cui il primo parametro (a) è poco significativo, mentre il secondo (b) è quello che determina l andamento della curva e vale: b= (formula dimostrata da Erman DiRienzo, La divina proporzione ) dove è il numero aureo il cui valore è1,6180 A questo punto possiamo inserire nella lezione la storia del numero aureo e della sezione aurea, legati alla famosa serie di Fibonacci e, arrivare così, analizzare alcuni esempi in natura dove troviamo questi concetti matematici. Un esempio particolarmente significativo è la conchiglia del Nautilus le cui cavità sono disposte approssimativamente secondo una spirale aurea. Possiamo verificare questa proprietà con la nostra calcolatrice. Si può fare ciò sovrapponendo la curva a una riproduzione della conchiglia, mostrando così come l andamento delle cavit{ di quest ultima approssimano la spirale. La calcolatrice FX mette a disposizione un menù, PicturePlot, che permette di registrare e disegnare un grafico di un'equazione della forma Y=f(x) e sovrapporlo su una foto. Il problema, in questo specifico caso, è che l equazione cartesiana della spirale logaritmica è molto complicata e, soprattutto, è difficile esplicitarla rispetto ad Y. Si può ovviare a questo inconveniente con un semplice escamotage. Possiamo disegnare la nostra curva con il procedimento seguito prima e poi scegliere come background l immagine da noi scelta. Ma vediamo in dettaglio come eseguire questa operazione. Scegliamo in menù PicturePlot e apriamolo: viene visualizzata la schermata di elenco dei file da cui scegliamo la cartella Casio e con il tasto F1 (Open) scegliamo la cartella g3p seguita da F1. Facciamo scorrere con il tasto Replay l elenco che apparirà e scegliamo Nautilus. Apparirà la schermata qui di seguito riprodotta Entriamo ora, in menù Graph e digitiamo SHIFT Menù per far apparire la videata da cui potremo scegliere lo sfondo del nostro grafico. Facciamo scorrere con il tasto Replay l elenco fino a Background; digitiamo F3 (OPEN) e ci apparirà lo stesso elenco già visto, da cui scegliamo Nautilus. Usciamo digitando EXIT fino ad arrivare alla videata di introduzione della funzione. Cancelliamo eventualmente quelle presenti e inseriamo l equazione della spirale aurea:

8 0,03 e^((ln1.618) 1,57)) e visualizziamo il grafico: LA SPIRALE ARCHIMEDEA Proseguiamo il nostro studio occupandoci di un altra famosa spirale: quella archimedea. Tale curva ha un equazione sempre in coordinate polari molto semplice: r= aθ con a costante reale strettamente positiva e θ 0. Come abbiamo gi{ fatto per l altra spirale la disegniamo e otteniamo la seguente curva per a=0,2: L equazione esprime la proporzionalità diretta tra r e. Per r = 0 si ottiene θ = 0, quindi la curva passa per il polo. Attribuendo a r valori positivi crescenti, i valori corrispondenti di θ aumentano in proporzione; pertanto la curva si avvolge intorno al polo con infinite spirali successive che vanno via via allargandosi. Se sommiamo al secondo membro dell equazione un coefficiente b il punto di partenza si sposter{ sull asse orizzontale Potrebbe essere utile far svolgere alla classe un esercizio in cui si attribuiscono ad a e b diversi valori e studiare il comportamento della curva corrispondente. La spirale archimedea ci offre l occasione per studiare due dei tre problemi classici dell antichit{ non risolubili con il solo uso di riga e compasso: la trisezione dell angolo e la quadratura del cerchio. Occupiamoci del primo problema, lasciando il secondo come esercizio. Vediamo la costruzione: l'angolo è disposto in modo che il vertice e uno dei lati coincidano con il punto iniziale della spirale e con la posizione iniziale della semiretta che ruota. L'altro lato dell'angolo interseca la spirale in un punto che individua su questo lato un segmento lungo R; si tracciano delle

9 circonferenze con centro nell'origine e raggio pari ad 2R/3 e R/3, che intersecano la spirale in due punti che individuano le due rette che trisecano l'angolo di partenza. Realizziamo quanto descritto con la nostra FX. In menù Graph disegniamo la curva di equazione r=3θ; sullo schermo ne comparirà una sola spira, ma per la nostra costruzione è sufficiente. La salviamo seguendo la seguente procedura: dalla schermata del grafico clicchiamo sul tasto OPTN; nella parte bassa dello schermo compaiono due opzioni: PICTURE e PAN; digitiamo F1 per attivare la prima opzione, poi ancora F1 per sceglie STORE, ancora F1 per scegliere il numero che verrà associato alla radice PICT del nome del grafico, scegliamo un numero da 1 a 20, seguito da EXE. Il grafico è stato salvato con il nome PCTn (dove n è il numero che abbiamo scelto). A questo punto cambiamo menù e andiamo sul MENU Geometry. Ci apparirà uno schermo vuoto; digitiamo F1 e comparirà un menù dal quale digitando 2 scegliamo Open; nella schermata che appare (no File) digitiamo F6 (STRGMEN) e ci apparir{ l elenco delle cartelle che contengono grafici memorizzati. Con il cursore scendiamo e scegliamo la cartella Pict e dalla lista che appare il grafico che abbiamo appena costruito. Dobbiamo ora tracciare il secondo lato dell angolo: per fare questo attiviamo il menù Draw (F3), poi 2 (Line segment), poi portiamo il cursore sul punto O e digitiamo EXE. In questo modo abbiamo fissato l origine dell angolo; ora spostare il puntatore nella posizione in cui si desidera che il segmento termini e premere EXE. Questo secondo lato interseca la spirale in un punto P. Disegniamo ora un cerchio ( digitiamo F3-5 Circle) con centro nell origine e raggio R=OP e poi altri due cerchi, sempre di centro l origine, di raggio rispettivamente 2/3 R e 1/3 R. Tracciamo i segmenti aventi per estremi l origine ed i punti di intersezione delle due circonferenze con la spirale e la costruzioni è terminata ed è quella che vediamo in figura: Alcuni accorgimenti per migliorare i nostro lavoro: Quando disegniamo un segmento la calcolatrice attribuisce agli estremi una etichetta, cioè una lettera che li contraddistingue. Poiché l origine ha gi{ un etichetta accade che le due lettere si sovrappongano. Per eliminarne una proseguiamo nel modo seguente: Selezionare l origine la cui etichetta si desidera modificare. Premere VARS; se avete centrato esattamente il punto compare nella parte bassa dello schermo un icona contenente una A e nel campo adiacente l etichetta che vogliamo modificare o cancellare.

10 Confermiamo con EXE e nella finestra che appare con la scritta Label: digitiamo DEL per cancellare. Possiamo seguire la stessa procedura per modificare un etichetta. Un altro accorgimento per avere un grafico più chiaro, date le dimensioni ridotte dello schermo, è quello di abbassare il sistema di riferimento della curva; per fare questo, prima di memorizzare il grafico, utilizzando il cursore, far scendere di due posizioni l asse X. LA LUMACA DI PASCAL Studieremo ora una nuova curva, la cosiddetta Lumaca di Pascal; questa curva, prende appunto il nome dal matematico francese Etienne Pascal, padre del più famoso Blaise Pascal, che per primo ne definì proprietà e caratteristiche. La sua equazione in coordinate polari è: r= a+b cosθ e il grafico che la rappresenta è il seguente: Anche in questo caso è interessante studiare le caratteristiche della curva in tre casi: a b la curva è convessa; nel caso limite a = 2b, il punto ( a,0) ha curvatura nulla; b la curva è concava a mano a mano che a si riduce rispetto a b, la concavità diventa più pronunciata, fino a diventare una cuspide; per a = b: la curva diventa una cardioide. 0 la curva presenta un anello che si intreccia nell'origine; con il diminuire di a l'anello interno tende a riempire quello esterno, fino a che, per a = 0, la curva diventa un cerchio percorso due volte. Analizziamo, ora, un nuovo modo di studiare questa curva partendo dalla sua definizione come luogo geometrico di punti: la lumaca di Pascal, infatti, viene definita come il luogo di punti dei piedi delle perpendicolari condotte da un punto dato A alle tangenti a una circonferenza data. Proviamo a verificare questa proprietà utilizzando la nostra FX. La costruzione che dimostra questa affermazione è la seguente: data la circonferenza di centro O e il punto A fuori di essa, segnare un punto C sulla circonferenza e trovare la tangente in C alla circonferenza. Il punto di intersezione tra la perpendicolare a detta tangente passante per A e la tangente stessa determina il punto che genera il luogo al variare di B sulla circonferenza. Entriamo nel menù Geometry e digitando F1-New apriamo un nuovo lavoro. Dal menù corrispondente a F3 scegliamo 6 (Circle) e disegniamo un cerchio di centro A (per fare ciò basta selezionare un punto all incirca in mezzo allo schermo e poi spostarsi con il cursore).

11 Prendiamo sulla circonferenza un punto (anche senza selezionarlo) e tracciamo la tangente alla circonferenza per questo punto selezionando la circonferenza e scegliendo dal menù F4 l opzione 7(Tangent). Il punto verrà indicato automaticamente con C. Ora dobbiamo tracciare la perpendicolare: prendiamo un punto esterno alla circonferenza e selezioniamo il punto stesso e la tangente, poi dal menu F4 scegliamo 2 (Perpendicular). Ora dobbiamo indicare il punto di intersezione tra la tangente e la perpendicolare: le selezioniamo e poi sempre dallo stesso menù scegliamo 4 (Intersection). Apparirà il punto E. Il disegno è pronto:ora dobbiamo animarlo per costruire il luogo. Procediamo in questo modo: Selezioniamo il punto C e la circonferenza. Digitiamo F6 e 1 (Add animation) per fare muovere C sulla circonferenza Selezioniamo E dal menù F6 scegliamo 3 (Trace) per fare in modo che il punto E muovendosi lasci la traccia del suo percorso. Infine digitiamo 5 (Go Once) Ovviamente ogni comando va seguito da EXE. Il risultato è che C comincerà a muoversi sulla circonferenza insieme alla tangente e alla perpendicolare e, di conseguenza il punto E comincerà anch esso a muoversi e a lasciare la traccia del suo cammino. Alla fine vedremo disegnarsi la lumaca di Pascal come quella in figura. E possibile che la prima volta la curva si presenti formata da tanti segmenti consecutivi. Per ovviare a questo inconveniente ritorniamo al menù F6, scegliamo l opzione 4 (Edit animation) e portiamo il valore di Steps a 100 e poi ripetiamo il disegno. Questo accorgimento migliorerà il risultato. STUDIO DI ALTRE CURVE A questo punto gli allievi hanno acquisito alcuni elementi per studiare altre curve utilizzando la loro calcolatrice; propongo alcune esercitazioni che potranno essere eseguite individualmente o a gruppi, per consolidare i concetti appresi. Esercitazione 1: Studio del folium di di Cartesio 1. Nota la sua equazione r= disegnarla per a=1 2. Studiare la forma della curva per diversi valori di a 3. Trovare fra le immagini proposte dal menù Picture Plot quella che può essere considerata un modello della curva e verificarlo.

12 Esercitazione 2: Studio della catenaria 1. Nota la sua equazione r= cosh( ) disegnarla per a=1 2. Studiare la forma della curva per diversi valori di a 3. Fare una ricerca sulle numerose applicazioni della curva in architettura, studiandone le sue caratteristiche dal punto di vista fisico. 4. Trovare fra le immagini proposte dal menù Picture Plot quelle che possono essere considerate un modello della curva. Poiché è nota l equazione cartesiana della catenaria, una volta caricata l immagina opportuna, procedere nel modo seguente Digitare OPTN, scegliere F4(DefG) e digitare l equazione della curva. Esercitazione 3: Studio del la versiera di Agnesi 1. Nota la sua equazione y= disegnarla per a=1 2. Studiare la forma della curva per diversi valori di a 3. Eseguire la costruzione della curva tenendo presente che la versiera è il luogo dei punti P intersezione di una retta parallela all asse X e passante per un punto M e una retta perpendicolare all asse X e passante per per un punto N al variare del punto M sulla circonferenza. 4. Per inserire gli assi cartesiani digitare SHIF MENU (Set up), portarsi su AXES e digitare F1(On) Questa è la costruzione: per prima cosa tracciamo la circonferenza di raggio r =OC =CB e centro in C situato a distanza r dal centro degli assi. Sia s una retta, parallela all asse x e tangente alla circonferenza nel punto B a distanza 2 a dal centro degli assi. Adesso tracciamo una retta passante per l origine degli assi e un qualsiasi punto M della circonferenza. Questa retta intersecherà la retta s in un punto N. Infine tracciamo una retta perpendicolare all asse x passante per il punto N.