Sviluppo della conoscenza numerica: seriazione e confronto di numeri arabici e quantità

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2 SVILUPPO DELLA CONOSCENZA NUMERICA: SERIAZIONE E CONFRONTO DI NUMERI ARABICI E QUANTITÀ RICERCA ITALIANA Sviluppo della conoscenza numerica: seriazione e confronto di numeri arabici e quantità ORIANA CORTESI Dipartimento di Psicologia dello Sviluppo, Università di Padova S O M M A R I O Attraverso i compiti descritti in questo articolo si è cercato di confermare quanto già abbondantemente riportato in letteratura, e cioè come la capacità di manipolare e comprendere le quantità e i numeri sia qualcosa che avviene ben prima dell entrata nella scuola primaria e dei conseguenti apprendimenti. Questo articolo è la seconda di tre parti in cui il lavoro è stato suddiviso. Molta letteratura nazionale e internazionale spiega i processi attraverso i quali avviene lo sviluppo dell intelligenza numerica. Analizzandola, emergono due diverse aree di ricerca: una relativa ai processi implicati nello sviluppo della conoscenza numerica; l altra che analizza il funzionamento del sistema di elaborazione dei numeri e del calcolo (che non tratteremo in questa sede). Le teorie dello sviluppo: la conoscenza numerica Perché l uomo, a un certo punto, ha avvertito l esigenza di «inventare» i numeri? E in che modo questo è successo? Questi sono interrogativi ai quali, da sempre, i filosofi del pensiero hanno cercato di rispondere, trattando della natura, della rappresentazione e dell elaborazione dei numeri. Nell evoluzione delle conoscenze, la funzione dei numeri è stata cruciale, ma si deve giungere fino ai giorni nostri perché vengano riconosciuti i contributi potenziali della ricerca psicologica nella comprensione dei molteplici aspetti del concetto di numero. Edizioni Erickson Difficoltà in matematica Difficoltà in matematica Vol. 2, n. 1, ottobre 2005 (pp ) Edizioni Erickson Trento 57

3 DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA N. 1, OTTOBRE 2005 Molte sono ancora le domande che interessano il dibattito contemporaneo: quali sono i processi che consentono l accesso all alfabeto arabico, cioè il complesso sistema dei numeri? Esiste un intelligenza numerico-matematica accanto a quella verbale? Seguono alcuni cenni alle teorie più note, quella classica piagetiana e quelle più recenti inerenti allo sviluppo delle abilità di conteggio: la teoria dei principi di conteggio e la teoria dei contesti diversi. L ipotesi piagetiana Piaget 1 è sicuramente uno dei primi psicologi dello sviluppo che concepisce il soggetto come individuo attivo, artefice di forme di conoscenza, che costruisce da sé le proprie attività cognitive. Sua è l ipotesi di un rapporto inscindibile tra le strutture dell intelligenza generale e l evoluzione di competenze numeriche nelle abilità di pensiero. Egli ha infatti ricondotto l evoluzione delle strutture che presiedono la conoscenza numerica al passaggio dell intelligenza dal livello del pensiero irreversibile e preoperatorio al livello del pensiero reversibile e delle operazioni logico-formali. Presupponendo una totale dipendenza delle abilità numeriche da quelle intellettive generali, la nascita delle competenze numeriche e aritmetiche deve rientrare nell evoluzione stessa degli stadi di sviluppo. Anche se tutt oggi è ancora molto seguito in diversi settori della ricerca, il modello piagetiano ha mostrato alcuni punti deboli riguardanti soprattutto l evoluzione delle abilità numeriche, in particolare nella scansione di tali abilità negli stadi di sviluppo. I risultati di differenti ricerche mostrano come la conservazione della quantità sia presente già in bambini molto piccoli. 2 Altri ricercatori hanno invece messo in discussione le formulazioni linguistiche dei compiti piagetiani. 3 Ma se comprendere il concetto di numero, come diceva Piaget, è tutt altra cosa rispetto a usare il nome dei numeri e a saper contare, diventa necessario domandarsi come, nello sviluppo della conoscenza numerica, i bambini giungano a collegare numeri e concetti con le proprietà specifiche della serie numerica e della conta. Secondo Wynn, 4 acquisire il significato corretto delle parole-numero significa metterle in relazione con i concetti-numero: tale compito risulta arduo in quanto il bambino deve scegliere tra molti significati possibili quello concettualmente corrispondente alla parola-numero; inoltre tali parole non si riferiscono a significati univoci ma a proprietà di insiemi di elementi, il che contribuisce a complicare ulteriormente lo sforzo cognitivo. Edizioni Erickson Difficoltà in Matematica La teoria dei principi di conteggio Già nel 1977 Gelman dimostrava come bambini di 2 anni e mezzo sapessero compiere delle induzioni su piccole quantità (due o tre elementi) e discriminare disegni a seconda che rappresentassero due o tre oggetti. 58

4 SVILUPPO DELLA CONOSCENZA NUMERICA: SERIAZIONE E CONFRONTO DI NUMERI ARABICI E QUANTITÀ Diversi studi successivi, utilizzando il paradigma sperimentale dell abituazione, hanno rilevato come neonati (di 5-6 mesi) riuscivano a compiere una discriminazione numerica fra serie di tre, a volte anche di quattro elementi. 5 Alla base della teoria dei principi di conteggio 6 sta dunque la convinzione che i bambini piccoli possiedano un concetto innato di numero, il quale si evolve attraverso l acquisizione delle procedure di calcolo, seguendo alcuni principi: il principio della corrispondenza uno a uno; il principio dell ordine stabile; il principio della cardinalità. D altronde, se i principi della conta possono essere considerati vere e proprie strutture innate, non per questo si può escludere l importanza dell apprendimento. Infatti il sistema cognitivo è predisposto ad assimilare ed elaborare i dati dall esperienza per costruire la conoscenza. Quindi, se i principi della conta guidano le azioni del soggetto, le strutture innate incanalano l attenzione verso aspetti rilevanti dell ambiente circostante e dirigono le inferenze che il bambino compie per lo sviluppo della conoscenza numerica. La teoria dei contesti diversi Secondo la teoria dei contesti diversi, 7 le abilità di calcolo si sviluppano progressivamente attraverso ripetuti esercizi e attraverso l imitazione. Per i bambini più piccoli le parole-numero non hanno alcun referente semantico di quantità, ma consistono soltanto in una sequenza di suoni senza alcun significato intrinseco, recitata meccanicamente. L ipotesi relativa allo sviluppo delle abilità di conteggio proposta da Fuson 8 si differenzia da quella di Gelman e Gallistel per il valore considerevolmente minore attribuito alle strutture innate della conoscenza. L autrice non riconosce un ruolo primario alle competenze innate rispetto a quelle apprese, ma sottolinea una costante interazione tra le due. Fuson, come Gelman e Gallistel, riscontra la presenza dei principi della conta, di associazione uno a uno e di ordine stabile, ma è convinta che siano indispensabili ripetuti momenti di apprendimento, e quindi molto tempo, prima che questi principi siano attivati in modo appropriato. 9 La ricerca Scopo della ricerca era indagare l esistenza di un intelligenza numerica precedente alla scolarizzazione e sottesa a certi compiti, scoprendo come evolve insieme al normale sviluppo psicologico. Edizioni Erickson Difficoltà in matematica 59

5 DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA N. 1, OTTOBRE 2005 Soggetti Hanno preso parte alla ricerca 98 bambini frequentanti due scuole per l infanzia nella zona della provincia bergamasca. I soggetti sonno stati selezionati considerando cinque diverse fasce d età. I bambini scelti compivano l anno o l anno e mezzo nel corso dei tre mesi di test; in questo modo si è cercato di ridurre al minimo la variabilità dell età all interno di ciascun gruppo: 20 bambini la cui età media era 3 anni e 7 mesi (gamma: 3,5-3,9); 20 bambini con un età media di 4 anni (gamma: 3,9-4,1); 19 bambini la cui media d età era 4 anni e 7 mesi (gamma: 4,6-4,9); 19 bambini di 5 anni (gamma: 4,9-5,1); 20 bambini di 5 anni e 7 mesi (gamma: 5,6-5,9). Materiali e procedure Ciascun bambino è stato sottoposto a cinque prove distinte volte a valutare la conoscenza numerica. In particolare sono stati proposti compiti di riconoscimento di simboli numerici e compiti atti a valutare la comprensione semantica dei suddetti simboli. I compiti somministrati sono stati i seguenti: seriazione di triplette di numeri arabici; seriazione di triplette di configurazioni di pallini; confronto di numeri arabici; confronto di configurazioni di pallini; confronto di figure. Edizioni Erickson Difficoltà in Matematica I bambini sono stati tutti testati individualmente in una stanza tranquilla e attigua alla classe. Ciascuna sessione durava in media 20 minuti per soggetto, con variabilità dovute alle differenze individuali. In ogni caso, al bambino non era fatta alcuna pressione di tempo. Le prove erano introdotte come situazioni-gioco in cui dimostrare cosa conoscevano dei numeri e sono state interamente registrate per garantire la corretta codifica e valutazione delle risposte. Tutti i bambini sono stati sottoposti agli stessi test, nelle medesime condizioni sperimentali e ordine di presentazione. Le consegne per ogni singolo compito sono descritte di seguito. Seriazione di triplette di numeri arabici Il compito misurava l abilità del bambino nell ordinare, dal più piccolo al più grande, tre numeri arabici presentati ciascuno su cartoncino. Cinque triplette includevano 60

6 SVILUPPO DELLA CONOSCENZA NUMERICA: SERIAZIONE E CONFRONTO DI NUMERI ARABICI E QUANTITÀ numeri consecutivi (1-2-3, 2-3-4, 4-5-6, 6-7-8, 7-8-9) e cinque triplette includevano numeri non consecutivi (1-3-5, 2-4-6, 4-6-8, 5-7-9, 1-5-9), per un totale di dieci stimoli. Le triplette erano state classificate anche in base alla grandezza dei numeri da cui erano composte: 1-2-3, 2-3-4, 1-3-5, erano le triplette considerate come aventi numeri piccoli; e erano quelle con i numeri a «misura media»; 6-7-8, 7-8-9, 4-6-8, erano le triplette con i numeri classificati come grandi. L ordine di presentazione era pseudocasuale evitando che triplette successive includessero numeri identici. La consegna era: «Prendi queste carte [queste ultime erano consegnate nelle mani del soggetto]; c è un numero scritto su ognuna: puoi provare a metterle in ordine dal numero più piccolo al numero più grande?». Seriazione di triplette di configurazioni di pallini Il compito era identico al precedente: stesse quantità, stesse variabili sperimentali; l unica differenza consisteva nel presentare configurazioni di pallini anziché numeri arabici (si veda un esempio nella figura 1). Triplette con quantità consecutive (aventi numeri piccoli) Triplette con quantità non consecutive (aventi numeri «misura media») Triplette con quantità non consecutive (aventi numeri grandi) Fig. 1 Esempi di compiti di seriazione di configurazioni di pallini. Edizioni Erickson Difficoltà in matematica 61

7 DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA N. 1, OTTOBRE 2005 Confronto di numeri arabici La prova era volta a valutare la comprensione del meccanismo semantico relativo ai numeri arabici. Al soggetto era richiesto infatti di indicare, fra due numeri arabici presentati visivamente, quello maggiore. La consegna era: «Mi sai indicare quale di questi numeri è il maggiore?». Per la scelta delle coppie di numeri sono state considerate tre distanze numeriche 1, 3 e 5 e per ognuna di esse sono state scelte quattro coppie sperimentali: per la distanza 1, le coppie 2-1, 3-4, 7-6, 8-9; per la distanza 3, le coppie 2-5, 8-5, 6-3, 4-7; per la distanza 5, le coppie 7-2, 1-6, 9-4, 3-8. Ogni coppia era presentata due volte, ciascuna volta invertendo l ordine delle cifre, per un totale di 24 coppie di stimoli. L ordine di presentazione degli stimoli era pseudocasuale secondo i seguenti criteri: coppie successive non potevano includere alcuna cifra in comune; non più di tre coppie successive presentavano la cifra maggiore nella stessa posizione (sinistra o destra). Confronto di configurazioni di pallini Edizioni Erickson Difficoltà in Matematica Il compito valutava la capacità di riconoscimento di quantità richiedendo al soggetto di indicare, fra due configurazioni di pallini, quella di numerosità maggiore. Sono state utilizzate coppie di numerosità identica a quelle del confronto tra numeri arabici. La dimensione fisica dei pallini, nella stessa configurazione, poteva variare determinando tre condizioni: congruente, incongruente, neutra. Nella condizione congruente, la configurazione di numerosità maggiore era costituita da pallini più grandi rispetto alla configurazione di numerosità minore (figura 2A), nella condizione incongruente la configurazione di numerosità maggiore era costituita da pallini di misura più piccola e quella di numerosità minore da pallini più grandi (figura 2B), e nella condizione neutra i pallini erano di dimensioni uguali per le due numerosità (figura 2C). Ognuna delle dodici coppie sperimentali era presentata in ciascuna delle tre condizioni di congruenza per un totale di trentasei coppie di stimoli. L ordine di presentazione era pseudocasuale secondo i seguenti criteri: prove consecutive non includevano configurazioni d uguale numerosità; non più di tre prove consecutive appartenevano alla stessa condizione di congruenza; non più di tre prove consecutive erano di uguale distanza numerica; non più di tre prove consecutive presentavano la numerosità maggiore nella stessa posizione (destra o sinistra). 62

8 SVILUPPO DELLA CONOSCENZA NUMERICA: SERIAZIONE E CONFRONTO DI NUMERI ARABICI E QUANTITÀ La consegna era: «Guarda queste figure: puoi indicarmi dove ci sono più pallini?». A congruente B iincongruente C neutra Fig. 2 Esempi di compiti di confronto di configurazioni di pallini nelle tre condizioni: congruente (A), incongruente (B) e neutra (C). Confronto di figure Il compito era identico al precedente ma al posto di configurazioni di pallini venivano utilizzate figure colorate composte da diversi elementi familiari come animali, oggetti o frutti le cui dimensioni reali fossero, in modo non ambiguo, classificabili come grandi, medie o piccole. Ad esempio, gli oggetti classificati come piccoli erano una fragola, una lumaca e una mela; quelli di medie dimensioni erano un cane, un gatto, un orsacchiotto di peluche, un vaso di fiori; gli oggetti classificati come grandi erano un castello, un albero, un elefante. Utilizzando questa caratteristica gli stimoli erano stati accoppiati in modo da ottenere tre condizioni di congruenza. Nella condizione congruente la configurazione di maggiore numerosità era costituita da elementi di dimensioni reali più grandi rispetto alla configurazione di numerosità minore (figura 3A), nella condizione incongruente la configurazione di numerosità maggiore era costituita da elementi di dimensioni reali più piccole rispetto alla configurazione di numerosità minore (figura 3B), mentre nella condizione neutra gli elementi avevano dimensioni reali uguali per le due numerosità (figura 3C). Edizioni Erickson Difficoltà in matematica 63

9 DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA N. 1, OTTOBRE 2005 Le condizioni e l ordine di presentazione delle coppie di stimoli erano le stesse del compito di confronto precedente. La familiarità con i singoli elementi e la tipicità dei disegni utilizzati sono state verificate attraverso un compito di denominazione, precedente al compito sperimentale. A congruente B incongruente C neutra Fig. 3 Esempi di compiti di confronto di figure nelle tre condizioni: congruente (A), incongruente (B) e neutra (C). Risultati Analisi e risultati vengono riportati distintamente per i rispettivi compiti. Per ognuno è stata condotta un analisi sia quantitativa, riguardante l accuratezza generale della prestazione, sia qualitativa, riguardante gli errori commessi. I criteri adottati per quest ultima analisi sono specificati nei rispettivi compiti. Edizioni Erickson Difficoltà in Matematica Seriazione di triplette di numeri arabici L analisi della varianza sulla percentuale di risposte corrette evidenzia un fattore età significativo, F (4,93) = 9,2, Ms = 13570,6, p <.0001, e il confronto tra i gruppi (test di Tukey) fornisce i seguenti risultati: le prestazioni dei bambini fino a 4 anni e 7 64

10 SVILUPPO DELLA CONOSCENZA NUMERICA: SERIAZIONE E CONFRONTO DI NUMERI ARABICI E QUANTITÀ mesi non differiscono fra loro e il loro livello di accuratezza (gruppo uno = 18%, gruppo due = 18%, gruppo tre = 23,2% p >.1) è significativamente inferiore a tutti gli altri gruppi. La prestazione migliora, ma non in modo significativo, tra i 4 anni e 7 mesi e i 5 anni (23,2% vs. 42,6% p >.1) e tra i 5 anni e i 5 anni e 7 mesi (42,6% vs. 60% p >.1), mentre il miglioramento di prestazione tra i 4 anni e 7 mesi e i 5 anni e 7 mesi raggiunge la significatività (23,2% vs. 60% p <.05). Poiché le triplette erano state classificate come aventi serie di numeri consecutivi e serie di numeri non consecutivi, la tabella 1 mostra le percentuali degli errori commessi durante la seriazione, calcolate in rapporto al totale di errori per le due serie di stimoli e considerando ogni gruppo d età. TABELLA 1 Percentuali degli errori nella seriazione di numeri arabici Età Numeri consecutivi Numeri non consecutivi 3,5 16,9 16,5 4 16,7 16,7 4,5 14,9 14,3 5 11,6 10,6 5,5 8,6 7,7 È evidente che il livello di accuratezza aumenta con il crescere dell età, ma le prestazioni non sembrano essere facilitate dalla presenza del fattore consecutività dei numeri presentati. Per quanto riguarda il fattore «grandezza dei numeri», si è proceduto con un analisi statistica dei numeri piccoli in opposizione ai numeri grandi; rispetto a questo fattore risultano significativi non solo il fattore età, F (4,93) = 7,9, Ms = 12560,7, p <.0001 e il fattore grandezza del numero, F (1,4) = 6,9, Ms = 2744,8, p <.01, ma anche la loro interazione, F (4,93) = 2,8, Ms = 1107,7, p <. 05. La percentuale di risposte corrette nelle seriazioni di numeri è mostrata dal grafico nella figura 4. Visto che gli errori potevano corrispondere a: 1. seriazione con errori di ripetizione (stimolo 9-7-8, risposta 9-7-8); 2. seriazione con errori speculari (stimolo 9-7-8, risposta 8-7-9); 3. seriazione con primo numero giusto (stimolo 3-1-2, risposta 1-3-2); 4. seriazione con ultimo numero giusto (stimolo 8-6-4, risposta 6-4-8); 5. seriazione con ordine inverso (stimolo 4-2-6, risposta 6-4-2); 6. altro (stimolo 4-2-6, risposta 4-6-2); si è proceduto all analisi delle diverse tipologie d errore. Edizioni Erickson Difficoltà in matematica 65

11 DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA N. 1, OTTOBRE 2005 % di risposte corrette ,5 4 4,5 5 5,5 numero piccolo numero grande Gruppi di età Fig. 4 Percentuali di risposte corrette nella seriazione di numeri arabici. La tabella 2 presenta le percentuali di ogni tipologia d errore calcolate in rapporto al numero totale di risposte errate per ognuna delle diverse fasce d età. TABELLA 2 Tipologia di errori nella seriazione di numeri arabici (in percentuali) Tipo di errore Età 3,5 Età 4 Età 4,5 Età 5 Età 5,5 Ripetizione 11,7 13,4 14,2 7,1 6,0 Speculare 4,8 2,1 2,7 4,4 1,8 Primo giusto 3,5 3,2 1,1 2,6 1,4 Ultimo giusto 1,1 1,1 0,5 0,5 0,2 Edizioni Erickson Difficoltà in Matematica 66 Ordine inverso 1,4 1,5 1,8 1,8 1,4 Altro 2,3 3,5 1,8 0,3 1,4

12 SVILUPPO DELLA CONOSCENZA NUMERICA: SERIAZIONE E CONFRONTO DI NUMERI ARABICI E QUANTITÀ I risultati sembrano indicare che il compito di seriazione di triplette di numeri arabici risultava difficoltoso per tutti i bambini, anche per quelli più grandi. L analisi delle tipologie di errore fa pensare che le risposte date fossero casuali: il soggetto sa seriare in modo corretto solo quando si tratta di numeri piccoli. Se la difficoltà di seriare numeri arabici è ancora presente, si può presumere che la facilità dimostrata nell enumerazione rispecchi l apprendimento non della reale sequenza dei numeri ma piuttosto di una «filastrocca». Seriazione di triplette di configurazioni di pallini L analisi della varianza sulla percentuale di risposte corrette mostra che sono significativi i fattori età, F (4,93) = 28,8, Ms = 22878,5, p <.0001, e serie numerica, F (1,4) = 37,9, Ms = 11756,8, p <.0001, indicando una migliore prestazione sia con il crescere dell età, sia nella seriazione di triplette aventi quantità consecutive. Il confronto tra gruppi (test di Tukey) fornisce interessanti risultati: le prestazioni dei bambini fino ai 4 anni hanno un livello di accuratezza significativamente inferiore a tutti gli altri gruppi (gruppo uno = 38% e gruppo due = 48,5%, p >.1). Similmente, la prestazione migliora, ma non in modo significativo, tra i 4 anni e 7 mesi e i 5 anni (71,6% vs. 88,4%, p >.1) e tra i 5 anni e i 5 anni e 7 mesi (88,4% vs. 92,5%, p >.1); la differenza di prestazione tra i 4 anni e 7 mesi e i 5 anni e 7 mesi raggiunge invece la significatività (71,6% vs. 92,5%, p <.05). Le triplette di pallini erano state classificate come serie numeriche aventi quantità consecutive e serie numeriche aventi quantità non consecutive; la tabella 3 mostra le percentuali degli errori commessi durante la seriazione, calcolate in rapporto al totale di errori per le due diverse serie di stimoli, considerando ciascun gruppo d età. Non solo le prestazioni non sembrano essere facilitate dalle configurazioni con quantità consecutive, ma gli errori sono meno nella seriazione di triplette con quantità TABELLA 3 Percentuali degli errori nella seriazione di configurazioni di pallini Età Numeri consecutivi Numeri non consecutivi 3,5 14,9 10,4 4 12,2 8,8 4,5 7,9 3,1 5 2,6 1,8 5,5 2,2 0,6 Edizioni Erickson Difficoltà in matematica 67

13 DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA N. 1, OTTOBRE 2005 non consecutive: infatti, la media di risposte corrette nella seriazione di triplette consecutive è del 59,8%, mentre la media di risposte corrette nella seriazione di triplette non consecutive è del 75,3%. Anche in questo compito, per quanto riguarda il fattore «grandezza delle configurazioni» si è proceduto con un analisi che considerava le configurazioni quantitativamente grandi in opposizione alle configurazioni quantitativamente piccole; sono risultati significativi sia il fattore età, F (4,93)= 24,7, Ms = 20315,9, p <.0001, che il fattore grandezza delle configurazioni, F (1,4) = 43,6, Ms = 13566,7, p <.0001 (figura 5); non si è invece dimostrata significativa la loro interazione. È evidente come mettere in ordine configurazioni quantitativamente piccole rappresentasse, per il nostro campione, un compito più facile per i bambini di tutte le età, forse perché più conosciute, anche se, intuitivamente, i bambini dei gruppi quattro e cinque raggiungevano i livelli di prestazione più alti anche nelle seriazioni di configurazioni quantitativamente più grandi. 110 % di risposte corrette ,5 4 4,5 5 5,5 quantità piccola quantità grande Gruppi di età Fig. 5 Percentuali di risposte corrette nella seriazione di configurazioni di pallini. Edizioni Erickson Difficoltà in Matematica Visto che, come nella seriazione di numeri arabici, anche in quella di configurazioni di pallini i soggetti potevano compiere errori di tipo diverso (ripetizione, speculari, con primo numero giusto, con ultimo numero giusto, con ordine inverso, altro) si è proceduto all analisi delle diverse tipologie. Si sono dimostrati significativi sia il fattore età, F (4,93) = 24,9, Ms =15,8, p <.0001, sia il fattore tipo di errore, F (5,20) = 21,9, Ms = 17,1, p <.0001, sia la loro interazione, F (20,465) = 2.6, Ms = 2.0, p <

14 SVILUPPO DELLA CONOSCENZA NUMERICA: SERIAZIONE E CONFRONTO DI NUMERI ARABICI E QUANTITÀ La tabella 4 presenta le percentuali di ogni tipologia d errore calcolate in rapporto al numero totale di risposte errate date da ognuna delle diverse fasce d età. Le prestazioni, molto buone anche per i più piccoli, indicano che anche a 3 anni e 7 mesi si può rilevare la presenza di un concetto di quantità: i soggetti erano perfettamente in grado di discriminare le numerosità maggiori dalle altre. TABELLA 4 Tipologia di errori nella seriazione di configurazioni di pallini (in percentuali) Tipo di errore Età 3,5 Età 4 Età 4,5 Età 5 Età 5,5 Ripetizione 15,6 13 7,5 2,9 2,9 Speculare 6,8 6,8 1,9 0,3 0 Primo giusto 6,2 7,2 2,6 1,6 1,3 Ultimo giusto 2,3 2,6 3,6 1,9 0,3 Ordine inverso 1,9 2,3 0,6 0 0 Altro 3,3 1,6 1,3 1 0,3 Procedendo a un confronto analitico fra compiti di seriazione, risultano significativi non solo il fattore età, F (4,93) = 24,5, Ms = 16892,1, p <.0001, e il fattore tipo di compito, F (1,4) = 137,5, Ms = 61512,1, p <.0001, ma anche la loro interazione, F (4,93) = 2.9, Ms = , p <.05; quindi non solo le prestazioni migliorano con il crescere dell età, ma il compito di seriazione di pallini risulta più semplice di quello con i numeri arabici: se nel primo caso la media di risposte esatte è del 67,5%, nel compito di seriazione di arabici la media è del 32,3%. Vista la facilità con cui il compito di seriazione di pallini è stato eseguito e visti i buoni livelli di accuratezza ottenuti, si può affermare che esiste un concetto di quantità anche nei soggetti più giovani, che precede, dal punto di vista evolutivo, il simbolismo convenzionale; i bambini in età prescolare del nostro campione, quindi, non solo conoscevano le quantità, sapendo distinguere quelle che «sono di più», ma erano anche in grado di seriarle secondo un ordine stabilito (principio dell ordine stabile). 10 Edizioni Erickson Difficoltà in matematica 69

15 DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA N. 1, OTTOBRE 2005 Confronto di numeri arabici Le risposte corrette nelle diverse condizioni sperimentali sono state analizzate con un ANOVA 3 x 2 x 5 per disegno misto. I fattori within erano la distanza numerica (1, 3, 5) e la posizione della cifra maggiore (prima, seconda); il fattore between era l età (3 anni e 7 mesi, 4 anni, 4 anni e 7 mesi, 5 anni, 5 anni e 7 mesi). Il fattore età risulta significativo, F (4, 93) = 16,3, Ms = 38169,8, p <.0001, indicando un miglioramento nella prestazione con il crescere dell età, come mostra la figura 6. Il confronto tra i gruppi (test di Tukey) evidenzia che la differenza di prestazione tra i 4 anni e 7 mesi e i 5 anni e 7 mesi raggiunge la significatività (64,7% vs. 86%, p <.05). Risulta significativo anche il fattore distanza numerica, F (2, 186) = 5,08, Ms = 2111,03, p <.01 (distanza numerica 1 = 59.4%, distanza numerica 3 = 62.7%, distanza numerica 5 = 65.9%); infatti, le coppie di numeri a distanza 1 e a distanza 3 si dimostrano significativamente più difficili rispetto alle coppie a distanza 5 (p <.01). Anche per il compito di confronto tra numeri arabici esiste una proporzionalità inversa fra difficoltà del compito ed età dei soggetti; da una scelta vicina al caso per i bambini più giovani, la prova diventa gradualmente alla portata dei bambini più grandi, anche se non esente da errori (86% di risposte corrette). Come ampiamente riportato in letteratura, la difficoltà del confronto numerico era determinata, per il nostro campione, soprattutto dalla distanza numerica tra le cifre da comparare, cioè dall effetto distanza. Lo svantaggio per le coppie composte da numeri consecutivi costituisce un risultato attendibile e sembra non subire cambiamenti con l età. Edizioni Erickson Difficoltà in Matematica % di risposte corrette ,5 4 4,5 5 5,5 Gruppi di età Fig. 6 Percentuali di risposte corrette nel confronto di numeri arabici media deviazione standard 70

16 SVILUPPO DELLA CONOSCENZA NUMERICA: SERIAZIONE E CONFRONTO DI NUMERI ARABICI E QUANTITÀ Confronto di configurazioni di pallini Anche per questo compito, le risposte corrette nelle diverse condizioni sperimentali sono state analizzate con un ANOVA 3 x 3 x 5 per disegno misto. I fattori within erano la distanza numerica (1, 3, 5), la condizione di congruenza (congruente, neutra, incongruente) e la posizione della cifra maggiore (prima, seconda); il fattore between era l età (3 anni e 7 mesi, 4 anni, 4 anni e 7 mesi, 5 anni, 5 anni e 7 mesi) ed è risultato significativo, F (4,93) = 10,3, Ms = 8748,6, p < Il confronto tra gruppi (test di Tukey) evidenzia una sostanziale somiglianza tra la prestazione dei bambini di 3 anni e 7 mesi e 4 anni, da un lato, e tra la prestazione dei bambini d età compresa tra i 4 anni e 7 mesi e i 5 anni e 7 mesi, dall altro, come mostra il grafico nella figura 7. Risulta significativo anche il fattore distanza numerica, F (2,186) = 225,2, Ms = 40922,7, p >.0001: il numero d errori, infatti, è inversamente correlato con la distanza numerica tra le numerosità da confrontare (le percentuali di risposte corrette sono: distanza numerica 1 = 73,9%, distanza numerica 3 = 90,7%, distanza numerica 5 = 96,5%, tutti p <. 0001). L effetto ordine delle numerosità non risulta significativo né entra in alcuna interazione significativa. 100 % di risposte corrette ,5 4 4,5 5 5,5 Gruppi di età Fig. 7 Percentuali di risposte corrette nel confronto di configurazioni di pallini. La prestazione dipende anche dal fattore congruenza, F (2,186) = 21,7, Ms = 3799,1, p <.0001, il quale interagisce significativamente con l età. Per meglio indagare tali effetti si è ritenuto opportuno procedere a un analisi separata per ciascun gruppo d età. Edizioni Erickson Difficoltà in matematica 71

17 DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA N. 1, OTTOBRE 2005 La tabella 5 mostra le percentuali delle risposte corrette delle variabili congruenza e distanza numerica, per tutti e cinque i gruppi. TABELLA 5 Risposte corrette nel confronto di configurazioni di pallini (in percentuali) Tipi compito Età 3,5 Età 4 Età 4,5 Età 5 Età 5,5 Coppie incongruenti 66,7 77,5 88,1 90,7 92,5 Coppie neutre 79,1 85,4 89,9 91,2 95 Coppie congruenti 83,7 88,3 92,5 91,6 94,1 Distanza numerica 1 66,7 73,3 73,6 74,1 81,6 Distanza numerica 3 74,5 82,9 97,3 99,5 100 Distanza numerica 5 88, , Edizioni Erickson Difficoltà in Matematica L analisi della prestazione dei bambini di 3 anni e 7 mesi mostra sia un significativo effetto distanza, F (2,38) = 30,7, Ms = 7211,8, p <.0001, che un effetto congruenza, F (2,38) = 10,5, Ms = 4690,9, p <.001 e una significativa interazione F (4.76) = 5.3, Ms = 967,01, p <.001. Infatti, come già emerso dall analisi generale, il numero degli errori diminuisce all aumentare della distanza numerica tra le numerosità da confrontare. Inoltre, le coppie incongruenti risultano significativamente più difficili sia delle coppie neutre che delle coppie congruenti; infatti, il confronto tra coppie neutre e coppie congruenti non mostra alcuna differenza significativa, per cui i bambini erano disturbati da una situazione incongruente ma non venivano facilitati da una prova congruente. L interazione significativa indica però che tale modello di risultati è valido solo quando il confronto tra le numerosità è relativamente semplice (distanze numeriche 3 e 5); diversamente, quando le discriminazioni sono più difficili, in presenza di una distanza numerica minima (1), la prestazione è ugualmente scarsa e vicina al caso nelle condizioni neutra (79,1%) e incongruente (66,7%), ma migliora nella condizione congruente (83,7%). Questi risultati sembrano indicare che, quando la discriminazione tra numerosità era più difficile, i bambini più piccoli del nostro campione tendevano a basare la loro scelta sulla dimensione fisica irrilevante dei pallini. Analizzando la prestazione dei bambini di 4 anni emerge sia un significativo effetto distanza, F (2,38) =19,1, Ms = 7072,9, p <.0001, che un effetto congruenza, F (2,38) = 9,2, Ms = 1885,4, p <.001, mentre la loro interazione non risulta significativa. Come già emerso dall analisi generale e così come accade per i bambini del gruppo uno, il numero degli errori decresce con l aumentare della distanza numerica tra 72

18 SVILUPPO DELLA CONOSCENZA NUMERICA: SERIAZIONE E CONFRONTO DI NUMERI ARABICI E QUANTITÀ le numerosità da confrontare (vedi tabella 5). Inoltre, le coppie incongruenti risultano significativamente più difficili sia delle coppie neutre che delle coppie congruenti. Analizzando le prestazioni dei bambini di 4 anni e 7 mesi emerge un significativo effetto distanza, F (2,36) = 138,2, Ms = 11736,1, p <.0001 e un altrettanto significativo effetto congruenza, F (2,36) = 3,7, M s= 277,7, p <.05. Non si evidenzia invece un interazione significativa di questi fattori. Anche per questa età, si rileva il decrescere del numero di errori all aumentare della distanza numerica tra le numerosità (vedi tabella 5). Per questi soggetti le coppie incongruenti sono risultate più difficili rispetto alle coppie neutre e a quelle congruenti, anche se non in modo significativo. I risultati sembrano indicare che, quando la discriminazione tra numerosità è più difficile, anche i bambini di questa fascia d età tendono a basare la loro scelta sull irrilevante dimensione fisica dei pallini. Nell analisi della prestazione dei bambini di 5 anni e di 5 anni e 7 mesi, solo l effetto distanza appare significativo, rispettivamente F (2,36) = 130,5, Ms = 12510,9, p <.0001 e F (2,38) = 58,9, Ms = 6722,2, p < La prestazione non è ancora del tutto esente da errori sia per il gruppo quattro che per il gruppo cinque, anche se le prestazioni migliorano significativamente. Le coppie di numerosità congruenti, incongruenti e neutre sono risultate della stessa difficoltà per i bambini di 5 anni, per cui la congruenza si dimostra ininfluente come nel caso dei bambini di 5 anni e 7 mesi. Il compito di confronto tra configurazioni di pallini presenta una certa difficoltà per i bambini fino ai 4 anni e 7 mesi, età in cui la dimensione fisica dei pallini determina la scelta della configurazione. Infatti, la difficoltà del confronto numerico è determinata sia dalla distanza numerica tra le configurazioni che dalla condizione di congruenza (a volte anche dalla loro interazione); i bambini più grandi, invece, non vengono influenzati dalla dimensione fisica dei pallini ma prendono in considerazione solo le quantità da comparare. Confronto di figure Le risposte corrette nelle diverse condizioni sperimentali sono state analizzate con un ANOVA 3 x 3 x 5 per disegno misto. I fattori within erano la distanza numerica (1, 3, 5), la condizione di congruenza (congruente, neutra, incongruente) e la posizione della numerosità maggiore (prima, seconda); il fattore between era rappresentato dall età ed è risultato significativo, F (4,93) = 21,3, Ms = 16640,9, p < Il confronto tra i gruppi (test di Tukey) evidenzia, anche per questo compito, una sostanziale somiglianza tra la prestazione dei bambini di 3 anni e 7 mesi e 4 anni (72,3% vs. 83,6%) da un lato, e dei bambini d età compresa tra i 4 anni e 7 mesi e i 5 anni e 7 mesi (4 anni e 7 mesi = 90,5%; 5 anni = 94,6%; 5 anni e 7 mesi = 95,8%), dall altro. Anche il fattore distanza numerica risulta significativo F (2,186) = 98,2, Ms = 20689,4, p <.0001; infatti il numero di risposte esatte aumenta con l aumentare della Edizioni Erickson Difficoltà in matematica 73

19 DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA N. 1, OTTOBRE 2005 distanza numerica (distanza numerica 1 = 77,8%, distanza numerica 3 = 90,5%, distanza numerica 5 = 93,7%). Inoltre, il fattore congruenza interagisce significativamente con l età, F (2,186) = 40,4, Ms = 9809, 5, p < L effetto ordine delle numerosità non risulta significativo e non entra in alcuna interazione significativa. Per meglio indagare tali effetti si è ritenuto opportuno procedere a un analisi separata per i diversi gruppi d età. La tabella 6 mostra le percentuali delle risposte corrette delle variabili congruenza e distanza numerica, per tutte e cinque le fasce d età. TABELLA 6 Risposte corrette nel confronto di figure (in percentuali) Età 3,5 Età 4 Età 4,5 Età 5 Età 5,5 Coppie incongruenti 61, ,2 92,9 95 Coppie neutre 70,4 93,3 94,7 96,9 97,9 Coppie congruenti 85,4 82,5 89,4 93,8 94,5 Distanza numerica ,4 76,7 84,6 87,5 Distanza numerica 3 71,7 84,5 97,3 99,1 100 Distanza numerica 5 80,4 90,8 97, Edizioni Erickson Difficoltà in Matematica L analisi della prestazione dei bambini di 3 anni e 7 mesi ha rilevato sia un significativo effetto distanza, F (2,38) = 13,5, Ms = 3586,8, p <.0001, che un effetto congruenza, F (2,38) = 22,3, Ms = 8930,5, p <.0001 e una loro significativa interazione F (4,76) = 3,6, Ms =1326,3, p <.05. Infatti, come già emerso dall analisi generale, il numero degli errori decresce all aumentare della distanza numerica tra le numerosità da confrontare. Inoltre, le coppie incongruenti sono risultate significativamente più difficili sia delle coppie neutre che delle coppie congruenti. L interazione significativa indica però che tale modello di risultati è valido solo quando il confronto tra le numerosità è relativamente semplice (distanze numeriche 3 e 5); diversamente, quando le discriminazioni sono più difficili, in presenza di una distanza numerica minima (1), la prestazione è ugualmente scarsa e vicina al caso nelle condizioni incongruente (61,2%) e congruente (70,4%), ma migliora significativamente nella condizione neutra (85,4%). Questo specifico pattern di risultati sembra indicare che i bambini più piccoli del nostro campione tendevano a essere influenzati, nella loro scelta, dalla presenza della condizione di congruenza. Procedendo all analisi delle prestazioni dei bambini di 4 anni, è emerso sia un significativo effetto distanza, F (2,38) = 10,7, Ms = 3607,6, p <.001, che un effetto 74

20 SVILUPPO DELLA CONOSCENZA NUMERICA: SERIAZIONE E CONFRONTO DI NUMERI ARABICI E QUANTITÀ congruenza, F (2,38) = 12,06, Ms = 5097,2, p <.0001, e una significativa interazione, F (4,76) = 6,05, Ms = 1560,7, p <.001; il numero degli errori decresce all aumentare della distanza numerica tra le numerosità da confrontare. Le coppie incongruenti appaiono significativamente più difficili sia delle coppie neutre che delle coppie congruenti. Anche a questa età l interazione significativa indica che tale modello di risultati è valido solo quando il confronto tra le numerosità è relativamente semplice (distanze numeriche 3 e 5), mentre quando le discriminazioni sono più difficili, in quanto la distanza numerica è uguale a 1, la prestazione risulta scadente, anche se non vicina al caso, nella condizione incongruente (75%), per migliorare significativamente nelle condizioni congruente (82,5%) e neutra (93,3%); nel nostro campione, quindi, anche i bambini di 4 anni sono condizionati dalla dimensione reale delle figure. Analizzando le prestazioni dei bambini di 4 anni e 7 mesi si rileva un significativo effetto distanza F (2,36) = 45,7, Ms = 8073,8, p <.0001 e congruenza, F (2,36) = 5,57, Ms = 836,9, p <.05, ma non un interazione significativa. Inoltre, si evidenzia una diminuzione del numero di errori all aumentare della distanza numerica tra le numerosità. Per questi soggetti le coppie incongruenti e quelle congruenti risultano della stessa difficoltà rispetto alle più facili coppie neutre. I risultati sembrano indicare che, quando la discriminazione tra numerosità è più difficile, anche i bambini di questa fascia d età tendono a basare la loro scelta sulla dimensione reale delle figure. Nell analisi della prestazione dei bambini di 5 anni e di 5 anni e 7 mesi, risulta significativo solo l effetto distanza, rispettivamente F (2,36) = 35,4, Ms = 4236,1, p <.0001 e F (2,38) = 20,8, Ms = 3125, p < Infatti, per entrambi i gruppi, le prestazioni non sono ancora del tutto esenti da errori, benché migliorino significativamente con l aumentare della distanza numerica. Le coppie di numerosità congruenti, incongruenti e neutre risultano della stessa difficoltà per i bambini di 5 anni, per cui non si evidenzia un effetto congruenza significativo, che non emerge neanche nel caso dei bambini di 5 anni e 7 mesi. Il compito di confronto di figure comportava una forte difficoltà per i bambini fino ai 4 anni e 7 mesi per diventare gradualmente alla portata dei bambini più grandi, età in cui l aumento dell accuratezza delle prestazioni correla direttamente con la distanza numerica tra le numerosità da confrontare. Infatti, erano l effetto distanza e l effetto congruenza a influire sulle prestazioni dei soggetti. Conclusioni Dai risultati emersi, è possibile trarre alcune conclusioni. La somministrazione dei compiti di confronto fornisce dati che confermerebbero la presenza di un concetto Edizioni Erickson Difficoltà in matematica 75

21 DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA N. 1, OTTOBRE 2005 di numerosità evolutivamente precedente al riconoscimento del lessico corrispondente. La capacità di discriminare quantità e quindi l elaborazione attraverso il meccanismo semantico precedono la scolarizzazione e sono innati. Dai risultati ottenuti dai compiti di seriazione viene dimostrata, ancora una volta, l ipotesi della presenza di una conoscenza delle quantità che precede evolutivamente la conoscenza del numero arabico. La seriazione delle configurazioni di pallini è facilmente accessibile anche ai bambini più piccoli: nonostante gli errori, essi sanno perfettamente discriminare le numerosità «dove ce n è di più» dalle altre. Nel caso della seriazione di numeri arabici, il livello di prestazione è inferiore. Ciò dimostra che la padronanza della capacità di seriazione che i bambini mostrano durante l enumerazione non è reale: se non sanno seriare i numeri arabici con la stessa facilità con cui li enumerano, probabilmente il contare è, per loro, la semplice recita di una filastrocca. Il principio dell ordine stabile descritto dalla letteratura è ancora in fase di sviluppo. Anche in questi compiti si evidenzia come l età dei 4 anni e 7 mesi svolga il ruolo di «spartiacque» nello sviluppo delle competenze numeriche. L intelligenza numerica raggiunge a questa età un primo traguardo evolutivo proteso verso un maggiore sviluppo delle abilità che si sono chiaramente evidenziate. Bibliografia Edizioni Erickson Difficoltà in Matematica 1 Piaget J. (1968), Le structuralisme, Paris, Presses Universitaires de France. 2 Meheler J. e Bever T.G. (1978), Cognitive capacity of very young children, «Science», vol. 158, pp Markman E.M. e Seibert J. (1976), Classes and collections: Internal organization and resulting holistic properties, «Cognitive Psychology», vol. 8, pp Wynn K. (1992), Children s acquisition of the number words and the counting system, «Cognitive Psychology», vol. 24, pp Antell S. e Keating D.P. (1983), Perception of numerical invariance in neonates, «Child Development», vol. 54, pp Starkey P. e Cooper R.G. Jr (1980), Perception of numbers by human infants, «Science», vol. 210, pp Strauss M.S. e Curtis L.E. (1981), Infant perception of numerosity, «Child Development», vol. 52, pp Gelman G. (1977), How young children reason about small numbers. In N.J. Castellan, D.B. Pisoni e G.R. Potts (a cura di), Cognitive theory, Hillsdale, NJ, Erlbaum. Gelman G. e Gallistel C.R. (1978), The child s understanding of number, Cambridge, Harvard University Press. Gelman G. e Meck E. (1983), Preschoolers counting: Principles before skill, «Cognition», vol. 13, pp Gelman R. e Greeno J.G. (1989), On the nature of competence: Principles for understanding in a domain. In L.B. Resnick (a cura di), Knowing and learning: Issues for a cognitive science of instruction, Hillsdale, NJ, Erlbaum.

22 SVILUPPO DELLA CONOSCENZA NUMERICA: SERIAZIONE E CONFRONTO DI NUMERI ARABICI E QUANTITÀ 7 Fuson K.C. (1991), Relations entre comptange et cardinalité chez les enfants de 2 à 8 ans. In J. Bideaud, C. Meljac e J.P. Fischer (a cura di), Les chemins du nombre, Lille, Presses Universitaires de Lille. Fuson K.C. e Hall J.W. (1983), The acquisition of early number word meaning: A conceptual analysis and review. In H.P. Ginsburb (a cura di), The development of mathematical thinking, New York, Academic Press. Fuson K.C. e Mierkiewicz D. (1980), A details analysis of the act of counting, relazione presentata al convegno annuale dell American Educational Research Association, Boston, aprile. 8 Fuson K.C. (1988), Children counting and concepts of number, New York, Springer-Verlag. 9 Lucangeli D. (1999), Il farsi e il disfarsi del numero, Roma, Borla. 10 Gelman G. e Gallistel C.R. (1978), op. cit. Gelman G. e Meck E. (1983), op. cit. Gelman R. e Greeno J.G. (1989), op. cit. Edizioni Erickson Difficoltà in matematica 77