Simulazione. Definizione dei parametri. Confronto e validazione. Modello del sistema. Valori di aspettazione delle osservabili

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1 Simulazione L'applicazione principale di metodi Monte Carlo è la simulazione di processi che hanno delle caratteristiche di casualità: processi stocastici (es. random walk, simulazione di code, sistemi termodinamici, misure sperimentali. Confronto e validazione Definizione dei parametri Modello del sistema Valori stimati dei parametri Valori di aspettazione delle osservabili Processo di analisi dei dati Quantità osservate Fluttuazioni casuali Attilio Andreazza - Laboratorio di Calcolo 2 6

2 Cosa voglio sapere: Simulazione di un esperimento qual è l'incertezza della misura ripetere diverse volte la misura e calcolare la deviazione standard...ma spesso non posso ripetere l'esperimento più di una volta usare la propagazione degli errori...ma spesso la mia procedure di analisi può non essere analitica (ad es.: scarto misure a più di 3σ faccio una simulazione del mio esperimento, la ripeto un gran numero di volte e calcolo la deviazione standard! la mia procedura di misura introduce un errore sistematico (il valore che misuro è diverso da quello in ingresso del modello non posso saperlo direttamente dai dati quali sono i contributi delle diverse sorgenti di errore all'incertezza della misura permette di capire dove devo concentrarsi per migliorare l'esperimento ci sono correlazioni tra le quantità misurate Attilio Andreazza - Laboratorio di Calcolo 2 7

3 Spettrometro a prisma Determinare le proprietà di un materiale: indice di rifrazione in funzione della lunghezza d'onda della luce descritto dai parametri di Cauchy A e B: n = A B 2 Attraverso la misura di angoli: apertura α del prisma angolo di deflessione minima per diverse lunghezze d'onda θ m (λ entrambi ottenuti per differenza di misure angolari Calcolo di n(λ Fit di n(λ in funzione di A e B Attilio Andreazza - Laboratorio di Calcolo 2 8

4 Spettrometro a prisma - I Definizione dei parametri Modello del sistema Valori di aspettazione delle osservabili Il sistema è definito da: parametri di Cauchy A e B angolo di apertura del prisma α lunghezze d'onda λ i delle righe della lampada a Hg usate per la luce. Ciò che viene osservato: angoli θ 1 e θ 2 di riflessione totale usati per determinare l'angolo di apertura del prisma angolo θ 0 del fascio non deflesso in assenza di prisma posizione del fascio deflesso nella conzione di deviazione minima θ(λ i. Processo (quasi deterministico Attilio Andreazza - Laboratorio di Calcolo 2 9

5 Spettrometro a prisma - II Fluttuazioni casuali Quantità osservate Valori di aspettazione delle osservabili Ciò che viene osservato: angoli θ 1 e θ 2 di riflessione totale usati per determinare l'angolo di apertura del prisma Ad ogni angolo bisogna aggiungere un errore per ottenere il corrispondente valore misurato estratto da una distribuzione gaussiana: valor medio 0 angolo θ 0 del fascio non deflesso in assenza di prisma posizione del fascio deflesso nella conzione di deviazione minima θ(λ i. Processo casuale sigma pari all'incertezza dello strumento (1' Attilio Andreazza - Laboratorio di Calcolo 2 10

6 Spettrometro a prisma - III Valori stimati dei parametri Processo di analisi dei dati Dobbiamo processare le quantità misurate per ottenere i parametri del modello: Quantità osservate Nelle pagine web del laboratorio ci sono tutte le informazioni per fare questi tre passi......nei temi d'esame dovete essere voi a dimostrare di essere in grado di impostarli. 1 θ 1 e θ 2 per determinare α. 2 θ 0 e θ(λ i per determinare gli angoli di deviazione minima θ m (λ i. 3 α e θ m (λ i per determinare l'indice di rifrazione misurato n(λ i. 4 fare un fit ai valori di n(λ i per ricavare delle stime di A e B. Attilio Andreazza - Laboratorio di Calcolo 2 11

7 Valori stimati dei parametri Spettrometro a prisma - IV Lo strumento principale sono i residui (o errori nella stima dei parametri: A misurato -A B misurato -B n(λ i misurato -n(λ i... Definizione dei parametri Confronto e validazione Per fornire queste risposte dobbiamo simulare l'esperimento un numero N sufficientemente grande di volte. Dobbiamo rispondere alle domande: incertezza della misura scarto quadratico medio della distribuzione degli errori errore sistematico media della distribuzione dei residui N.B.: l'errore sulla media è r.m.s./ N correlazioni tra le quantità misurate grafici bidimensionali degli errori coefficiente di correlazione = Attilio Andreazza - Laboratorio di Calcolo 2 12

8 Residui media 6.8E-6 incertezza sulla media 5.4E-6 incertezza sulla singola misura 5.4E-4 n(λ 1 misurato -n(λ 1 Attilio Andreazza - Laboratorio di Calcolo 2 13

9 n(λ 2 misurato -n(λ 2 Correlazioni n(λ 1 misurato -n(λ 1 Attilio Andreazza - Laboratorio di Calcolo 2 14