Misura dell accelerazione di gravità

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1 Misura dell accelerazione di gravità Relazione sperimentale Scopo dell esperimento è la misurazione del valore dell accelerazione di gravità terrestre g mediante la misura del periodo di oscillazione di un pendolo di nota lunghezza e massa. MATERIALI A DISPOSIZIONE 9 dischetti metallici di massa circa 20 g l uno e un supporto con gancio anch esso di massa 20 g (la massa precisa del peso nel complesso è ± 0.1 g); cronometro a fotocellula con sensibilità ± s collegato a un computer per l acquisizione dati; filo di dakron; un goniometro con sensibilità ± 1 ; un calibro con sensibilità ± 0.05 mm; un metro a nastro con sensibilità ± 0.1 cm; supporti in acciaio per la realizzazione della struttura; livella a bolla. RELAZIONI USATE E APPROSSIMAZIONI Al fine di poter ricavare la formula per il calcolo di g, il filo è stato considerato inestensibile ed è stato inizialmente posto per angoli molto piccoli. La legge ricavata dall integrazione della legge del moto del pendolo è pertanto con L la lunghezza del filo e T il periodo misurato. Questa legge è tuttavia valida unicamente per un pendolo teorico, dove la massa è un punto materiale. Pertanto, si è approssimata la massa da noi utilizzata a un punto materiale coincidente con il suo baricentro. Figura 1: Il pendolo assemblato MODALITÀ DI ESECUZIONE Si è realizzato un pendolo a doppio filo come rappresentato in Figura 1. In particolare, il filo è stato annodato alla barra orizzontale e fissato con nastro adesivo onde evitare possibili rotazioni dell asola intorno alla barra. La barra orizzontale è stata messa in bolla agendo sui perni che regolano le aste. Il doppio appoggio al tavolo riduce eventuali vibrazioni dell apparato dovute all oscillazione del pendolo. Sono state effettuate una serie di rilevazioni variando la distanza verticale del peso dai nodi l, la massa m e l angolo iniziale di oscillazione θ. Ciascuna rilevazione è associata ad un proprio set di dati (di seguito dataset) acquisiti dal sensore e tabulati su PC. Il Dataset I è considerato nullo perché contenente le misure di test del pendolo. Pagina 1 di 16

2 DATASET II Misura Periodo ( s ) 1 2, , , , , , , , , ,1798 Tabella 1: Dataset II Dati ottenuti e configurazione del pendolo: <T> = σ T = m σ T = L = ± m m = ± 0.1 g θ = 9.5 ± 1 N = 10 Dettagli peso: Numero dischetti: 9 Lunghezza totale: 70,0 ± 0,05 mm Lunghezza masse compresa base: 47,4 ± 0,05 mm Lunghezza gancio: 22,6 ± 0,05 mm Distanza finale baricentro-gancio b: 46,7 ± 0,07 mm Dettagli filo: Sezione 0,5 mm Dimensione nodi A e B: 1,0 mm ± 0,05 mm Lunghezza asola C-Peso: 8,0 mm ± 1,0 mm AC: 113,8 ± 0,1 cm AB: 34,5 ± 0,1 cm Per questa configurazione il calcolo di L risulta Figura 2: Schema del pendolo Pagina 2 di 16

3 Accelerazione di gravità (m/s 2 ) PROPAGAZIONE DELL ERRORE DI G 9,95 Valore sperimentale Valore vero 9,9 5 Misurato Discrepanza Atteso Grafico 1: Confronto fra risultato sperimentale e risultato atteso (Dataset II), plot con dev.std CORREZIONE DELL ACCELERAZIONE IN FUNZIONE DELL ANGOLO Pagina 3 di 16

4 Accelerazione di gravità (m/s 2 ) 9,95 Valore sperimentale Valore vero Valore sperimentale corretto 9,9 5 Serie Misurato Discrepanza Atteso Originale Corretto Grafico 2: Confronto fra risultato sperimentale e risultato atteso (Dataset II corretto con Taylor), plot con dev.std La correzione con lo sviluppo in serie di Taylor migliora in modo sensibile i risultati: la discrepanza passa da circa 6 (indicativa di errori sistematici) a 0.16, che corrisponde a un livello di confidenza del 13%. La deviazione standard, sebbene l errore relativo sull angolo fosse decisamente elevato (11%), aumenta in modo molto ridotto. Pagina 4 di 16

5 DATASET III Si vuole ora analizzare il rapporto fra la misura di g e la lunghezza del pendolo L, e pertanto definire con quale lunghezza del pendolo si ottiene la configurazione sperimentale più efficace. Sono stati effettuati cinque differenti set di misure variando la lunghezza di L. Lunghezza pendolo (L) cm cm cm cm cm Periodo medio rilevato (<T>) ± ± ± ± ± Tabella 2: Dataset III Altri dati e configurazione del pendolo: m = ± 0.1 g θ = 8 ± 1 N = 10 Dettagli peso: Numero dischetti: 9 Lunghezza totale: 70,0 ± 0,05 mm Lunghezza masse compresa base: 47,4 ± 0,05 mm Lunghezza gancio: 22,6 ± 0,05 mm Distanza finale baricentro-gancio b: 46,7 ± 0,07 mm Dettagli filo: Sezione 0,5 mm Dimensione nodi A e B: 1,0 mm ± 0,05 mm Lunghezza asola C-Peso: Variabile, si veda Tabella 3 AC: 113,8 ± 0,1 cm AB: 34,5 ± 0,1 cm Lunghezza pendolo (L) cm cm cm cm cm Lunghezza asola C-Peso 8.0 ± 1.0 mm 7.0 ± 1.0 mm -rimossa- -rimossa- -rimossa- Tabella 3: Lunghezza asole al variare di L Si noti che per tre misure l asola è stata rimossa: è stato infatti osservato che più si riduce la lunghezza L del pendolo, maggiore sono gli effetti di oscillazione delle masse causati dalla presenza dell asola (che si comporta come un piccolo pendolo monofilo). Onde evitare di perdere i benefici derivanti dal pendolo a doppio filo, si è pertanto deciso di rimuoverla. Per il computo di L in ogni caso si consideri la formula introdotta per il dataset II Pagina 5 di 16

6 Accelerazione di gravità (m/s 2 ) 9,95 9,9 5 9,65 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 Distanza baricentro (m) Distanza baricentro (m) Serie g misurato Discrepanza g atteso cm cm cm cm cm Grafico 3: Valori di g calcolati con i dati del Dataset III, plot con dev.std (sinistra) e dev.med (destra) Dall andamento dei grafici appare evidente che è presente un errore sistematico che porta a sovrastimare l accelerazione di gravità. Poiché tale errore è sempre meno pesante maggiore è L, si può supporre che in larga parte deve trattarsi di un errore di sovrastima di L (da individuarsi in un errore di valutazione delle lunghezze fisse del sistema, cioè invarianti fra una misura e l altra: le asole; il baricentro; i nodi). Tale supposizione trova conferma nel calcolo della propagazione degli errori (si veda il Dataset II per lo sviluppo), che mette in evidenza il ruolo molto marginale dell errore di T nell errore propagato di g grazie all estrema sensibilità dello strumento. Il plot con deviazione dalla media mette in risalto, inoltre, che le misure sono tendenzialmente non compatibili fra di loro, e tantomeno con il valore teorico, ad eccezione di due sole serie (quella da e da cm). Si potrebbe eseguire una media pesata fra i due risultati compatibili, ma c è da chiedersi che significato fisico abbia tale calcolo: il vero risultato ottenuto da questo test è l osservazione che la miglior stima di g si ottiene con il massimo valore di L. Concludendo, i risultati ottenuti con il Dataset III corroborano il valore ottenuto con il Dataset II. Pagina 6 di 16

7 DATASET IV Si vuole ora analizzare il rapporto fra la misura di g e l angolo di oscillazione iniziale θ e studiare per quale valore di θ si ottiene la configurazione sperimentale più efficace. Considerata la maggior efficacia dello sviluppo in serie di Taylor per θ piccoli, si suppone che il miglior setup si ottenga minimizzando l angolo iniziale di oscillazione. Si noti che in questo dataset ciascuna serie ha 100 dati, a differenza delle precedenti che ne avevano solo 10. Sono stati effettuati cinque differenti set di misure variando l anglo iniziale. Angolo iniziale (θ) 4 ± 1 8 ± 1 12 ± 1 16 ± 1 19 ± 1 Periodo medio rilevato (<T>) ± ± ± ± ± Periodo corretto (T ) ± ± ± ± ± Tabella 4: Dataset IV Altri dati e configurazione del pendolo: m = ± 0.1 g L = ± m N = 100 Dettagli peso: Numero dischetti: 9 Lunghezza totale: 70,0 ± 0,05 mm Lunghezza masse compresa base: 47,4 ± 0,05 mm Lunghezza gancio: 22,6 ± 0,05 mm Distanza finale baricentro-gancio b: 46,7 ± 0,07 mm Dettagli filo: Sezione 0,5 mm Dimensione nodi A e B: 1,0 mm ± 0,05 mm Lunghezza asola C-Peso: 8.0 ± 1.0 mm AC: 113,8 ± 0,1 cm AB: 34,5 ± 0,1 cm Pagina 7 di 16

8 Accelerazione di gravità (m/s 2 ) 9,95 9, Angolo iniziale ( ) Angolo iniziale ( ) Serie g misurato Discrepanza g atteso 4 ± ± ± ± ± Grafico 4: Valori di g calcolati con i dati del Dataset IV, plot con dev.std (sinistra) e dev.med (destra) Ancor più che nel caso del Dataset III è evidente un forte errore sistematico che porta a sovrastimare tutte le misure dell accelerazione gravitazionale. In questo caso, tuttavia, nessuna misura è compatibile con il valore teorico e solo due sono compatibili fra di loro. A giudicare dal grafico, l accelerazione gravitazionale mostra un minimo intorno agli 8, e l andamento è simile a una parabola. Si lascia a successive analisi la verifica di questa ipotesi. Anche questo Dataset corrobora il risultato del Dataset II, poiché la miglior stima dell accelerazione di gravità si ha per un valore di θ pari a 8. Ciò che appare strano è che i valori di g calcolati nei due Dataset entrambi con θ = 8 siano incompatibili: poniamo quindi un'altra ipotesi, che gli attriti in gioco nel pendolo facciano diminuire θ con il passare del tempo alterando il risultato, e che quindi la miglior stima del periodo si ottiene con N minimo. Solo lo studio della media in funzione di N può confermare o confutare tale ipotesi, come si vedrà in seguito. Pagina 8 di 16

9 Periodo pendolo T (s) Periodo cubo del pendolo T^3 (s^3) ANALISI DEL DATASET III: ANDAMENTO DEL PERIODO IN FUNZIONE DELLA LUNGHEZZA Prima di dedicarci all analisi dei risultati ottenuti nel Dataset IV, eseguiamo un test sui valori ottenuti nel Dataset III che può indirizzarci all origine dell errore sistematico: studiamo i coefficienti di correlazione lineare fra L e T, T 2 e T 3. Ovviamente, il valore massimo del coefficiente di correlazione R indica la miglior approssimazione dell andamento del fit. Serie <T> corretto cm s s s cm s s s cm s s s cm s s s cm s s s Tabella 5: Valori ottenuti dal Dataset III Tipo di correlazione Coefficiente di correlazione R L T, lineare R = L T 2, quadratica R = L T 3, cubica R = Tabella 6: Correlazioni fra L e T 2,2 2,1 2 1,9 Valori sperimentali Regressione Valori sperimentali Regressione 1,8 7 1,7 6 1,6 5 1,5 4 1,4 3 0,5 0,7 0,9 1,1 0,5 0,7 0,9 1,1 Lunghezza pendolo L (m) Lunghezza pendolo L (m) Grafico 5: Regressione lineare fra L e T e fra L e T 3. Questi due fit hanno R inferiore rispetto alla regressione quadratica Pagina 9 di 16

10 Periodo quadrato del pendolo T^2 (s^2) Valori sperimentali Regressione 4,6 4,1 3,6 3,1 Indice Valore Gradi libertà 3 A B σ A σ B σ y ,6 2,1 0,5 0,7 0,9 1,1 Lunghezza pendolo L (m) Grafico 6: Regressione lineare fra L e T 2. La regressione quadratica è il fit migliore per stimare l andamento di T in funzione di L L aumento quadratico di T in funzione di L rispecchia perfettamente l andamento teorico secondo cui, con g è costante, L e T 2 devono avere rapporto costante. Si noti che gli errori delle variabili A e B sono stati stimati tramite il calcolo di σ y della retta di regressione. Abbiamo osservato precedentemente che all aumentare di L si otteneva sempre una miglior stima di g. Ma c è un modo di formalizzare questa intuizione? Il metodo è molto semplice: abbiamo a disposizione l equazione della parabola che meglio approssima T in funzione di L per questo setup sperimentale; non dobbiamo far altro che una semplice sostituzione algebrica Come ci aspettavamo la funzione mostra un asintoto orizzontale per Si osservi che nella formula che fornisce g best non è presente il termine noto a poiché. Quanto osservato algebricamente è facilmente visualizzabile calcolando il valore di g all aumentare del valore di L (Grafico 7). Pagina 10 di 16

11 Accelerazione di gravità (m/s 2 ) Accelerazione di gravità (m/s 2 ) 9,95 Valore vero Valore limite Regressione quadratica 9,9 5 9, Distanza baricentro (m) Grafico 7: Andamento di g in funzione di L posto T 2 = a + bl Procediamo dunque al calcolo di g. Al fine del calcolo di σ g è stato propagato l errore della variabile B, a sua volta stimato con σ y. 5 Valore sperimentale Valore vero 9,65 g ottenuto Discrepanza Atteso Grafico 8: Valore di g ottenuto posto T 2 = a + bl Pagina 11 di 16

12 Accelerazione di gravità (m/s 2 ) Come si osserva dal grafico, l analisi dei dati del Dataset III ha portato alla stima di un valore di g fortemente sottostimato e del tutto incompatibile con il valore teorico. Tale errore sistematico viene evidenziato dal valore dell intercetta a del fit, la cui compatibilità con 0 è pari al rapporto fra il valore e l errore e vale Tentiamo infine di correggere il valore di g ottenuto supponendo l errore sistematico come un errore di calcolo di T ,65 9,65 9,6 9,6 9,55 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 Distanza baricentro (m) Distanza baricentro (m) Serie g corretto Discrepanza g atteso cm cm cm cm cm Grafico 9: Correzione di g con la regressione lineare Il tentativo di correggere il valore con l intercetta della retta non ha dato buoni frutti: i valori ottenuti sono in accordo con il valore di g calcolato con l asintoto, ma non hanno alcuna compatibilità con la teoria. In conclusione, modificare la lunghezza del pendolo non sembra essere un metodo efficace per migliorare la stima di g. 9,55 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 Pagina 12 di 16

13 Conteggi per intervallo Periodo (s) ANALISI DEL DATASET IV: ANDAMENTO DEL PERIODO IN FUNZIONE DEL TEMPO 2,1806 2,1805 2,1804 2,1803 2,1802 2,1801 2,1800 2,1799 2,1798 2, Tempo trascorso (s) Grafico 10: Andamento del periodo in funzione del tempo trascorso dall inizio della presa dati (rispettivamente, Dataset III L= cm e Dataset IV θ=19 ) Analizziamo ora un altro importante punto, cioè l ipotesi formulata concludendo la presentazione del Dataset IV. Il Grafico 10 mette in evidenza un effettiva correlazione fra il periodo rilevato e il tempo trascorso dall inizio dell esperimento, confermando che gli attriti in gioco contribuiscono a far variare il periodo (per esempio facendo diminuire l angolo di oscillazione, e pertanto invalidando la correzione dei dati su un angolo costante effettuata precedentemente). Ricorriamo pertanto a un plot in frequenza dei valori ottenuti (appropriatamente istogrammati con un numero adatto di bin) e eseguiamo un test di χ 2 ipotizzando che i valori di media e dev.std. precedentemente calcolati siano le migliori stime dei valori veri (pertanto considerando la distribuzione di riferimento come una gaussiana centrata sulla media e di sigma pari alla dev.std.). 2,198 2,196 2,194 2,192 2,19 2,188 2,186 2,184 2,182 2, Tempo trascorso (s) Periodo (s) Pagina 13 di 16

14 Conteggi per intervallo Frequenza Attesa Periodo (s) Grafico 11: Distribuzione dei periodi in frequenza (30 bin ciascuno di ampiezza 0,0005 s) e confronto con la curva attesa dall ipotesi della media Come ci si può attendere dal Grafico 12, il test di χ 2 non passa e pertanto invalida l ipotesi di distribuzione gaussiana: i valori ottenuti per χ 2 e χ 2 ridotto sono del tutto sballati. L ipotesi prima formulata si rivela corretta: il metodo di valutazione del valor medio non è valido. Nelle analisi precedenti come valore di riferimento per il periodo T si è considerata la media di ciascun Dataset: a fronte di questa osservazione si conclude che tale valore della media è inaffidabile ed è conveniente considerare il primo valore rilevato, di cui si conosce con sicurezza l angolo di oscillazione. DATASET IV PRIMO VALORE A seguito delle considerazioni svolte con il test di χ 2 sono stati considerati solo i primi due valori del periodo del Dataset IV (per poter calcolare la dev.std). In Tabella 7 sono riportati i valori del periodo ottenuti. Per i dati di configurazione del pendolo si veda Dataset IV. Angolo iniziale (θ) 4 ± 1 8 ± 1 12 ± 1 16 ± 1 19 ± 1 Periodo medio rilevato (<T>) ± ± ± ± ± Periodo corretto (T ) ± ± ± ± ± Tabella 7: Dataset IV modificato Pagina 14 di 16

15 Accelerazione di gravità (m/s 2 ) 9,95 9, Angolo iniziale ( ) Serie g misurato Discrepanza g atteso 4 ± ± ± ± ± Media pesata Grafico 12: Valori di g calcolati con i primi due dati del Dataset IV Confrontando il Grafico 12 con il Grafico 4 si osserva immediatamente che i valori di g ottenuti sono molto più confidenti con il valore teorico. I valori di Discrepanza a confronto confermano l osservazione: tutti i valori ricavati con il Dataset IV modificato sono compatibili con il valore teorico entro il 95% e sono compatibili fra loro, mentre prima nessun valore era compatibile né con la teoria né con altri. Il valor medio delle cinque serie è un ottima stima dell accelerazione di gravità in quanto compatibile con il valore teorico nonostante il piccolo errore. CONFRONTO FRA I RISULTATI E INDAGINE SUGLI ERRORI Un ultimo test che si può eseguire prima di stilare le conclusioni è tentare di forzare i valori di g ad uniformarsi al valore teorico stimando la sovrastima di L (cioè sottraendo una quantità fissata alla lunghezza) e la sottostima di T (cioè aggiungendo una quantità fissata al periodo). Questo test, chiaramente, non ha come finalità la correzione del valore di g, ma l indagine sulla possibile fonte di un ulteriore errore sistematico. Le due formule per ottenere la sovrastima di L (detta l) e la sottostima di T (detta t) sono Pagina 15 di 16

16 Serie g misurato Sovrastima L Sottostima T Dataset 3, cm ,0001 0,0001 Dataset 3, cm ,0056-0,0056 Dataset 3, cm ,0012 0,0013 Dataset 3, cm ,0017 0,0021 Dataset 3, cm ,0038 0,0052 Dataset 4 mod, ,0014 0,0013 Dataset 4 mod, ,0000 0,0000 Dataset 4 mod, ,0018-0,0017 Dataset 4 mod, ,0023-0,0021 Dataset 4 mod, ,0034-0,0031 Tabella 8: Stima della sovrastima di L e della sottostima di T nei Dataset III e IV modificato Nel Dataset IV singolo punto non è individuabile nessun pattern evidente né nella sovrastima di L né nella sottostima di T: non vi è evidenza chiara di errore sistematico. Nel Dataset III, invece, si nota una costante sovrastima di L e sottostima di T (al netto di una misurazione). A fronte di tutte le analisi compiute, si attribuisce tale errore sistematico (come ipotizzato nell analisi del Dataset III) ad un errore di valutazione o misura delle grandezze lineari invarianti fra i due Dataset, cioè le asole, i nodi e la posizione del baricentro nella massa. CONCLUSIONI Attraverso diverse analisi si è giunti a una serie di conclusioni riguardo al modo di calcolare g tramite un pendolo a doppio filo: 1. È opportuno correggere il valore di T ottenuto con l angolo di oscillazione iniziale; 2. All aumentare della lunghezza L del pendolo il valore di g rilevato si avvicina sempre più al valore teorico (a causa di un probabile errore sistematico nella misura del baricentro delle masse); 3. Una miglior stima di T (e quindi di g) si ottiene per angoli di oscillazione piccoli (< 8 ); 4. Per migliorare la stima di T non è conveniente far variare la lunghezza L (conviene lasciarla fissa al suo valore massimo); 5. Poiché l attrito gioca un ruolo decisivo nella variazione dell angolo di oscillazione, è necessario utilizzare solo i primi dati su cui si ha la ragionevole certezza che l angolo di oscillazione non sia mutato da quello misurato. A fronte di queste conclusioni, si ritiene che il valore più affidabile di g ottenuto con questo setup sperimentale sia la media dei g calcolati nel Dataset IV a singolo punto. Tale valore infatti rispetta tutte le considerazioni fatte ed è più affidabile del valore ottenuto da una sola misurazione; se non si conoscesse il valore teorico di confronto, esso sarebbe il valore più sicuro da utilizzare. Pagina 16 di 16