Indici di Miller nei sistemi Trigonali ed Esagonali

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1 Indici di Miller nei sistemi Trigonali ed Esagonali -a 1 ( 100) (0 10) a 3 c (001) ( 100) -a 2 (0 10) c ( 110) a 2 -a 2 ( 110) -a 1 ( 110) (1 10) (100) (010) a 1 (100) (001) -c (010) -a 3 a 2 a 1 Una croce assiale a 3 assi (a 1, a 2 ed c) analoghe a quelle usate per gli altri sistemi cristallini, sebbene compatibile con le leggi della cristallografia, presenta l inconveniente che facce equivalenti per l asse ternario o senario (ovvero appartenenti ad una forma semplice) non mostrano gli stessi indici in valore assoluto.

2 Indici di Miller nei sistema Trigonale ed Esagonale ( 100) -a 1 (0 10) a 3 c (001) ( 100) -a 2 (0 10) (00 1) c ( 110) (001) a 2 -a 2 ( 110) -a 1 ( 110) a 2 (1 10) (100) (010) a 1 (100) (001) -c -a 3 (010) a 1 Facce equivalenti per simmetria hanno terne di Miller diverse.

3 I reciproci delle intersezioni del piano cristallino con a 1, a 2 e a 3 fornisce gli indici h, k e i mentre il reciproco dell intersezione con l asse c fornisce l indice l. Piani e direzioni nelle celle elementari trigonali ed esagonali c Per determinare i piani cristallografici nelle celle elementari trigonali ed esagonali si utilizzano quattro indici detti Indici di Miller- Bravais (hkil). Questi indici a quattro cifre sono basati su un sistema di coordiante a quattro assi (a 1, a 2, a 3, c). -a 2 a 1 a 3 -a 1 -a 3 a 2

4 Indici di Miller nei sistema Trigonale a 3 ed Esagonale i = -(h+k) a 3 c -a 1 c k a 2 -a 2 h a 2 a 1 a 1 -a 3 -c -a 3 L introduzione del terzo asse nel piano normale a c è fatta per ragioni di pura comodità e non aggiunge niente alla descrizione della giacitura delle facce. Infatti, si dimostra che uno dei tre indici rispetto agli assi orizzontali è sempre la somma degli altri due cambiata di segno. h + k + i = 0

5 Indici di Miller-Bravais con celle elementari Esagonali a 3 ( 1010) -a 1 (0 110) a 3 c (0001)( 1010) -a 1 (0 110) c ( 1100) a 2 -a 2 ( 1100) ( 1100) -a 2 a 2 (1 100) (10 10) (01 10) a 1 (0001) (1010) -c -a 3 (01 10) a 1 -a 3 Facce equivalenti per simmetria hanno sempre le stesse quaterne di indici di Miller-Bravais a meno del segno e della permutazione.

6 Indici di Miller-Bravais nel sistema Trigonale ed Esagonali a 3 ( 1010) -a 1 (0 110) a 3 c (0001)( 1010) (0 110) ( 1100) -a 2 -a 1 -a 2 (000 1) c (0001) a 2 ( 1100) ( 1100) a 2 ( 1100) (10 10) (01 10) a 1 (0001) (1010) -c -a 3 (01 10) a 1 -a 3 Facce equivalenti per simmetria hanno sempre le stesse quaterne di indici di Miller-Bravais a meno del segno e della permutazione.

7 Permutazione degli indici dell asse ternario a 3 -a 1 -a 2 a 2 a 1 -a 3

8 Permutazione degli indici di un asse binario a 3 -a 1 -a 2 O a 2 a 1 -a 3 Un asse binario coincidente con l asse a 3, scambierà il primo e secondo indice e invertirà il segno del quarto.

9 Permutazione degli indici per un piano di simmetria a 3 m -a 1 -a 2 a 2 m a 1 -a 3 Un piano di simmetria che contiene l asse c e l asse a 3, scambierà il primo e secondo indice.

10 Posizioni speciali a 3 -a 1 -a 2 a 2 a 1 -a 3

11 Posizioni speciali a 3 -a 1 -a 2 a 2 a 1 -a 3

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13 FORMA CRISTALLINA Una forma semplice consiste di un gruppo di facce di un cristallo tra loro tutte equivalenti (su cui si misurano identici valori di una proprietà fisica), cioè tutte le facce che vengono generate dalla combinazione degli elementi di simmetria presenti nel cristallo. Un cristallo è delimitato da facce appartenenti a forme geometriche semplici: CHIUSE - cubo, ottaedro, rombododecaedro, APERTE - prisma, pinacoide, piramide,.. Un cristallo può essere costituito da una sola o dalla combinazione di più forme semplici Forma semplice + Forma semplice= Forma complessa + =

14 Sviluppo di una forma semplice nelle classi cristalline 1 e m3m 1 m3m c + +a 2 b a a + +a 1 a b a 2 c a Pinacoide {111} a Ottaedro {111}

15 Forma semplice Il numero delle facce (molteplicità) che appartengono ad una forma semplice viene determinato dalla simmetria della classe Gli indici di Miller vengono anche usati come simboli delle forma semplice, in questo caso sono inclusi tra parentesi graffe come {hkl}, {111}... etc. (si preferisce avere tutti gli indici positivi!). In ognuna delle classi cristalline è presente almeno una forma che tagli tutti gli assi cristallografici con lunghezze differenti, questa è la forma generale {hkl}. Tutte le altre sono forme speciali. Nel sistema triclino, monoclino e ortorombico la forma generale è la {111}, perchè tutti gli assi cristallografici hanno lunghezza differente.

16 Forma semplice Una faccia (hkl) non sarà mai parallela o perpendicolare ad un asse o ad un piano di simmetria, indipendentemente dalla classe di simmetria. Una forma speciale, invece consisite in facce che sono parallele o perpendicolari a qualcuno degli elementi di simmetria.

17 I 33 tipi di forme non cubiche Nome* N. Di Facce Nome N. Di Facce Pedione 1 Bipiramide rombica 8 Pinacoide 2 Bipiramide trigonale 3 Doma 2 Bipiramide ditrigonale 6 Sfenoide 2 Bipiramide tetragonale 8 Prisma rombico 4 Bipiramide ditetragonale 16 Prisma trigonale 3 Bipiramide esagonale 12 Prisma ditrigonale 6 Bipiramide diesagonale 24 Prisma tetragonale 4 Trapezoedro trigonale 6 Prisma ditetragonale 4 Trapezoedro tetragonale 8 Prisma esagonale 6 Trapezoedro esagonale 12 Prisma diesagonale 12 Scalenoedro tetragonale 8 Piramide rombica 4 Scalenoedri esagonale 12 Piramide trigonale 3 Romboedro 6 Piramide ditrigonale 6 Bisfenoide rombico 4 Piramide tetragonale 4 Bisfenoide tetragonale 4 Piramide ditetragonale 8 Piramide esagonale 6 Piramide diesagonale 12 *Secondo il sistema di Groth-Rogers

18 Forme semplici non cubiche Pedione: forma aperta costituita da una sola faccia Pinacoide: forma apera costituita da due facce parallele

19 Forme semplici non cubiche Doma: forma aperta costituita da due facce non parallele, simmetriche rispetto ad un piano m Sfenoide: forma aperta costituita da due facce non parallele, simmetriche rispetto ad asse binario

20 Forme semplici non cubiche Prisma: forma aperta composta da 3, 4, 6, 8 o 12 facce, tutte parallele allo stesso asse.

21 Forme semplici non cubiche Prisma: forma aperta composta da 3, 4, 6, 8 o 12 facce, tutte parallele allo stesso asse.

22 Forme semplici non cubiche Piramide: forma aperta composta da 3, 4, 6, 8 o 12 facce, non parallele fra loro che si incontrano in un punto.

23 Forme semplici non cubiche Bipiramide: forma chiusa composta da 6, 8, 12, 16 o 24 facce, non parallele. Si può considerare formata da due piramidi simmetriche rispetto ad un piano di riflessione orizzontale

24 Forme semplici non cubiche Trapezoedro: forma chiusa costituita da 6, 8 o 12 facce, con le 3, 4, o 6 facce superiori spostate rispetto alla 3, 4, o 6 facce inferiori.

25 Nome dell forme Scalenoedro: forma chiusa composta da 8 o 12 facce raggruppate in coppie simmetriche.

26 Forme semplici non cubiche Romboedro: forma chiusa composta da 6 facce, con tre nella parte superiore che si alternano con altre 3 nella parte inferiore. Le due serie sono rotate di 60.

27 Forme semplici non cubiche Bisfenoide: forma chiusa costituita da due facce superiore alternate rispetto a due facce inferiori, ruotate di 90.

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29 L ABITO di un cristallo è dato dalla forma semplice più sviluppata

30 Habitus cristallino e aggregati Il primo si riferisce all aspetto che assume il minerale in base allo sviluppo delle forme cristalline che lo compongono. Sappiamo però che i minerali sono quasi sempre costituiti da aggregati di cristalli con morfologia da euedrale (regolare) a subedrale fino ad anedrale (irregolare). Se le facce sono ben definite, l'abito è ben riconoscibile e si parla di abito euedrale (o idiomorfo); se le facce, invece, sono parzialmente sviluppate e l'abito è ancora riconoscibile si tratta di abito subedrale (o ipidiomorfo); se, infine, le facce non sono ben sviluppate e l'abito è completamente irregolare, l'abito prende il nome di anedrale (o allotriomorfo).

31 Ci sono vari tipi di abiti: ABITO CRISTALLINO - abito equidimensionale (o equante, o isometrico): se il minerale ha simmetria cubica (es. granato); - abito colonnare (o prismatico): se il minerale è abbastanza allungato in una dimensione (es. pirosseni, anfiboli, tormalina); - abito aciculare: se il minerale è esageratamente allungato in una dimensione (es. tormalina, anfiboli); - abito tabulare (o "a libro"): se il minerale è abbastanza appiattito in una dimensione (es. feldspati); - abito lamellare: se l'abito è esageratamente appiattito in una dimensione (es. miche); - abito fibroso (o asbestiforme): è una variante dell'abito tabulare (es. Serpentino); - abito a forma di lama (es. cianite); - abito "a barilotto": è poco comune (es. corindone); - abito bipiramidale (es. zolfo): consiste in due piramidi, una sopra l'altra; - cristalli "a tramoggia": quando la velocità di crescita del minerale è molto marcata (es. quarzo); - abito spatico: è caratterizzato da un'ottima sfaldatura, cioè la capacità del minerale di rompersi lungo superfici nette (es. calcite)

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34 Letture consigliate Trattato di mineralogia Carobbi - 3 a edizione Assi Cristallografici Proiezione dei cristalli La simmetria nei cristalli Leggere: pag 21-85

35 Letture consigliate C. KLEIN - Mineralogia, Zanichelli 2004 Morfologia cristallina Notazione cristallografica per i piani Abito cristallino Forma Nomi delle forme Pag: