Dallo Spazio Vissuto allo Spazio Formalizzato
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- Ilario Mazza
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1 Laboratorio CIDI Dallo Spazio Vissuto allo Spazio Formalizzato presso Scuola primaria Giovanni Cena 09 novembre 2015 Francesca Conti Candori Valerio Scorsipa F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
2 I punti focali F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
3 I punti focali Il ruolo del linguaggio e dei processi semiotici per insegnare e apprendere la matematica. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
4 I punti focali Il ruolo del linguaggio e dei processi semiotici per insegnare e apprendere la matematica. I fattori affettivi nell insegnamento-apprendimento della matematica. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
5 I punti focali Il ruolo del linguaggio e dei processi semiotici per insegnare e apprendere la matematica. I fattori affettivi nell insegnamento-apprendimento della matematica. L uso delle nuove tecnologie per insegnare e apprendere la matematica. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
6 Rappresentazioni semiotiche e concettualizzazione I concetti matematici hanno, rispetto a quelli di altre discipline, alcune specificità: F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
7 Rappresentazioni semiotiche e concettualizzazione I concetti matematici hanno, rispetto a quelli di altre discipline, alcune specificità: ogni concetto matematico ha rinvii a non-oggetti, dal punto di vista di un realismo ingenuo; dunque la concettualizzazione non è e non può essere basata su significati che poggiano sulla realtà concreta dato che, in matematica, non sono possibili rinvii ostensivi; F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
8 Rappresentazioni semiotiche e concettualizzazione I concetti matematici hanno, rispetto a quelli di altre discipline, alcune specificità: ogni concetto matematico ha rinvii a non-oggetti, dal punto di vista di un realismo ingenuo; dunque la concettualizzazione non è e non può essere basata su significati che poggiano sulla realtà concreta dato che, in matematica, non sono possibili rinvii ostensivi; ogni concetto matematico è costretto a servirsi di rappresentazioni, dato che non vi sono oggetti da esibire in loro vece o a loro evocazione; dunque la formazione di un concetto (concettualizzazione) deve necessariamente passare attraverso registri rappresentativi che, per vari motivi, soprattutto se sono a carattere linguistico, non possono essere univoci: dunque, in matematica, non c è accesso sensibile (vista, tatto,... ) diretto agli oggetti ma solo a loro rappresentazioni semiotiche in diversi registri linguistici. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
9 Rappresentazioni semiotiche e concettualizzazione I concetti matematici hanno, rispetto a quelli di altre discipline, alcune specificità: ogni concetto matematico ha rinvii a non-oggetti, dal punto di vista di un realismo ingenuo; dunque la concettualizzazione non è e non può essere basata su significati che poggiano sulla realtà concreta dato che, in matematica, non sono possibili rinvii ostensivi; ogni concetto matematico è costretto a servirsi di rappresentazioni, dato che non vi sono oggetti da esibire in loro vece o a loro evocazione; dunque la formazione di un concetto (concettualizzazione) deve necessariamente passare attraverso registri rappresentativi che, per vari motivi, soprattutto se sono a carattere linguistico, non possono essere univoci: dunque, in matematica, non c è accesso sensibile (vista, tatto,... ) diretto agli oggetti ma solo a loro rappresentazioni semiotiche in diversi registri linguistici. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
10 Rappresentazioni semiotiche e concettualizzazione I concetti matematici hanno, rispetto a quelli di altre discipline, alcune specificità: ogni concetto matematico ha rinvii a non-oggetti, dal punto di vista di un realismo ingenuo; dunque la concettualizzazione non è e non può essere basata su significati che poggiano sulla realtà concreta dato che, in matematica, non sono possibili rinvii ostensivi; ogni concetto matematico è costretto a servirsi di rappresentazioni, dato che non vi sono oggetti da esibire in loro vece o a loro evocazione; dunque la formazione di un concetto (concettualizzazione) deve necessariamente passare attraverso registri rappresentativi che, per vari motivi, soprattutto se sono a carattere linguistico, non possono essere univoci: dunque, in matematica, non c è accesso sensibile (vista, tatto,... ) diretto agli oggetti ma solo a loro rappresentazioni semiotiche in diversi registri linguistici. Noetica e semiotica nell apprendimento della matematica (Bruno D Amore) F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
11 Concetto matematico e sue rappresentazioni Un esempio F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
12 Concetto matematico e sue rappresentazioni Un esempio Se si chiede a un bambino piccolo che cos è il numero tre, egli mostra le tre dita alzate della mano destra; la domanda riguarda l oggetto matematico tre ma ha come risposta una rappresentazione semiotica di quell oggetto. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
13 Concetto matematico e sue rappresentazioni Un esempio Se si chiede a un bambino piccolo che cos è il numero tre, egli mostra le tre dita alzate della mano destra; la domanda riguarda l oggetto matematico tre ma ha come risposta una rappresentazione semiotica di quell oggetto. Se si pone ad un bambino infine scuola primaria la stessa domanda, egli scriverà con la penna su un pezzo di carta la cifra 3; è cambiata la rappresentazione, ma il problema della differenza tra un oggetto e la sua rappresentazione permane. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
14 I fattori affettivi Non c è materia scolastica in cui la paura dell errore è così forte e radicata come in matematica. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
15 I fattori affettivi Non c è materia scolastica in cui la paura dell errore è così forte e radicata come in matematica. Questo primato per alcuni è conseguenza della natura stessa della disciplina, caratterizzata da una rigida sequenzialità. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
16 I fattori affettivi Non c è materia scolastica in cui la paura dell errore è così forte e radicata come in matematica. Questo primato per alcuni è conseguenza della natura stessa della disciplina, caratterizzata da una rigida sequenzialità. La paura di sbagliare nasce già nella scuola primaria come paura associata alla valutazione, e può diventare nel tempo paura di non capire, di imparare,... addirittura paura di aver paura. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
17 I fattori affettivi Non c è materia scolastica in cui la paura dell errore è così forte e radicata come in matematica. Questo primato per alcuni è conseguenza della natura stessa della disciplina, caratterizzata da una rigida sequenzialità. La paura di sbagliare nasce già nella scuola primaria come paura associata alla valutazione, e può diventare nel tempo paura di non capire, di imparare,... addirittura paura di aver paura. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
18 I fattori affettivi Non c è materia scolastica in cui la paura dell errore è così forte e radicata come in matematica. Questo primato per alcuni è conseguenza della natura stessa della disciplina, caratterizzata da una rigida sequenzialità. La paura di sbagliare nasce già nella scuola primaria come paura associata alla valutazione, e può diventare nel tempo paura di non capire, di imparare,... addirittura paura di aver paura. L errore in matematica: alcune riflessioni (Rosetta Zan) F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
19 Riflessione sulle nuove tecnologie [... ] un primo impoverimento si è verificato in passato, con la riduzione della GEO-metria del mondo reale (bi-e tri-dimensionale) a FOGLIO-metria (solo bi-dimensionale). F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
20 Riflessione sulle nuove tecnologie [... ] un primo impoverimento si è verificato in passato, con la riduzione della GEO-metria del mondo reale (bi-e tri-dimensionale) a FOGLIO-metria (solo bi-dimensionale). Oggi il rischio è che, con l avvento dei calcolatori, la FOGLIO-metria degeneri in SCHERMO-metria. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
21 Riflessione sulle nuove tecnologie [... ] un primo impoverimento si è verificato in passato, con la riduzione della GEO-metria del mondo reale (bi-e tri-dimensionale) a FOGLIO-metria (solo bi-dimensionale). Oggi il rischio è che, con l avvento dei calcolatori, la FOGLIO-metria degeneri in SCHERMO-metria. Ciò non deve assolutamente accadere. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
22 Riflessione sulle nuove tecnologie [... ] un primo impoverimento si è verificato in passato, con la riduzione della GEO-metria del mondo reale (bi-e tri-dimensionale) a FOGLIO-metria (solo bi-dimensionale). Oggi il rischio è che, con l avvento dei calcolatori, la FOGLIO-metria degeneri in SCHERMO-metria. Ciò non deve assolutamente accadere. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
23 Riflessione sulle nuove tecnologie [... ] un primo impoverimento si è verificato in passato, con la riduzione della GEO-metria del mondo reale (bi-e tri-dimensionale) a FOGLIO-metria (solo bi-dimensionale). Oggi il rischio è che, con l avvento dei calcolatori, la FOGLIO-metria degeneri in SCHERMO-metria. Ciò non deve assolutamente accadere. Geometria senza Software Geometrico (V. Villani) F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
24 Contro la Matematica per deficienti (B. de Finetti) [... ] bisogna che nei primi gradi delle scuole (scuole elementari e scuole medie) l insegnamento della matematica sia esclusivamente intuitivo. [... ] bisogna suscitare la curiosità degli allievi. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
25 Contro la Matematica per deficienti (B. de Finetti) [... ] bisogna che nei primi gradi delle scuole (scuole elementari e scuole medie) l insegnamento della matematica sia esclusivamente intuitivo. [... ] bisogna suscitare la curiosità degli allievi. Specialmente la geometria si dovrà considerarla, in questa fase, come una vera e propria scienza fisica[... ] F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
26 Contro la Matematica per deficienti (B. de Finetti) [... ] bisogna che nei primi gradi delle scuole (scuole elementari e scuole medie) l insegnamento della matematica sia esclusivamente intuitivo. [... ] bisogna suscitare la curiosità degli allievi. Specialmente la geometria si dovrà considerarla, in questa fase, come una vera e propria scienza fisica[... ] Nessuna definizione nei primordi dell insegnamento: suscitare l idea coll immagine concreta dell oggetto e andare avanti. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
27 Contro la Matematica per deficienti (B. de Finetti) [... ] bisogna che nei primi gradi delle scuole (scuole elementari e scuole medie) l insegnamento della matematica sia esclusivamente intuitivo. [... ] bisogna suscitare la curiosità degli allievi. Specialmente la geometria si dovrà considerarla, in questa fase, come una vera e propria scienza fisica[... ] Nessuna definizione nei primordi dell insegnamento: suscitare l idea coll immagine concreta dell oggetto e andare avanti. Lo so che queste sono norme pedagogiche che hanno tanto di barba; ma io mi domando quand è che le abbiamo seguite sul serio nell insegnamento della matematica. E anche nelle scuole superiori andare cauti, cauti, cauti colle disquisizioni sui principi. [... ] F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
28 Il fusionismo tra G. del piano e G. dello spazio F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
29 Il fusionismo tra G. del piano e G. dello spazio Le prime esperienze geometriche dei bambini in età prescolare riguardano figure tridimensionali quali dadi, scatole, palline, palloni, barattoli. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
30 Il fusionismo tra G. del piano e G. dello spazio Le prime esperienze geometriche dei bambini in età prescolare riguardano figure tridimensionali quali dadi, scatole, palline, palloni, barattoli. Solo in un secondo momento la loro attenzione si rivolge alle forme delle superfici che delimitano tali solidi (quadrati, rettangoli, cerchi). F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
31 Il fusionismo tra G. del piano e G. dello spazio Le prime esperienze geometriche dei bambini in età prescolare riguardano figure tridimensionali quali dadi, scatole, palline, palloni, barattoli. Solo in un secondo momento la loro attenzione si rivolge alle forme delle superfici che delimitano tali solidi (quadrati, rettangoli, cerchi). Già agli inizi del Novecento, e non solo in Italia, autorevoli matematici (tra cui in prima linea Felix Klein) elaborarono un programma, detto fusionista, col proposito di insegnare in parallelo la geometria del piano e quella dello spazio. (V. Villani) F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
32 Fusionismo attenuato (V. Villani) F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
33 Fusionismo attenuato (V. Villani) Individuazione di analogie e differenze tra le definizioni e le proprietà del parallelismo e della perpendicolarità nel piano e nello spazio. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
34 Fusionismo attenuato (V. Villani) Individuazione di analogie e differenze tra le definizioni e le proprietà del parallelismo e della perpendicolarità nel piano e nello spazio. Costruzione di una tabella per confrontare le formule per il calcolo delle aree di figure piane (triangoli, quadrati, cerchi,...) e le formule per il calcolo dei volumi delle omologhe figure solide (piramidi, cubi, sfere,...). F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
35 Fusionismo attenuato (V. Villani) Individuazione di analogie e differenze tra le definizioni e le proprietà del parallelismo e della perpendicolarità nel piano e nello spazio. Costruzione di una tabella per confrontare le formule per il calcolo delle aree di figure piane (triangoli, quadrati, cerchi,...) e le formule per il calcolo dei volumi delle omologhe figure solide (piramidi, cubi, sfere,...). Consapevolezza del fatto che se una figura (del piano o dello spazio) viene modificata per effetto di una similitudine di fattore k: le ampiezze angolari restano tutte invariate, le lunghezze, le aree, i volumi si modificano tutti secondo il fattore moltiplicativo k. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
36 Fusionismo attenuato (V. Villani) Individuazione di analogie e differenze tra le definizioni e le proprietà del parallelismo e della perpendicolarità nel piano e nello spazio. Costruzione di una tabella per confrontare le formule per il calcolo delle aree di figure piane (triangoli, quadrati, cerchi,...) e le formule per il calcolo dei volumi delle omologhe figure solide (piramidi, cubi, sfere,...). Consapevolezza del fatto che se una figura (del piano o dello spazio) viene modificata per effetto di una similitudine di fattore k: le ampiezze angolari restano tutte invariate, le lunghezze, le aree, i volumi si modificano tutti secondo il fattore moltiplicativo k. Riflessione sulla rigidità (o non rigidità) delle figure geometriche: i triangoli sono figure rigide del piano (terzo criterio di uguaglianza), i quadrati non sono rigidi. Analogamente, i tetraedri sono figure rigide dello spazio, i cubi non sono rigidi. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
37 Aspetti Figurali e Aspetti Concettuali (V. Villani) F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
38 Aspetti Figurali e Aspetti Concettuali (V. Villani) Livello 1 (visuale). Le figure geometriche sono riconosciute e identificate globalmente in base al loro aspetto e alla loro forma. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
39 Aspetti Figurali e Aspetti Concettuali (V. Villani) Livello 1 (visuale). Le figure geometriche sono riconosciute e identificate globalmente in base al loro aspetto e alla loro forma. Livello 2 (descrittivo). Le figure sono identificate in base a certe loro proprietà matematiche. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
40 Aspetti Figurali e Aspetti Concettuali (V. Villani) Livello 1 (visuale). Le figure geometriche sono riconosciute e identificate globalmente in base al loro aspetto e alla loro forma. Livello 2 (descrittivo). Le figure sono identificate in base a certe loro proprietà matematiche. Livello 3 (razionale). Si riconoscono i legami e le gerarchie esistenti tra le diverse proprietà di una figura, nonché le relazioni che intercorrono tra figure diverse. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
41 Aspetti Figurali e Aspetti Concettuali (V. Villani) Livello 1 (visuale). Le figure geometriche sono riconosciute e identificate globalmente in base al loro aspetto e alla loro forma. Livello 2 (descrittivo). Le figure sono identificate in base a certe loro proprietà matematiche. Livello 3 (razionale). Si riconoscono i legami e le gerarchie esistenti tra le diverse proprietà di una figura, nonché le relazioni che intercorrono tra figure diverse. Livello 4 (logico). Si comprende la struttura di un sistema assiomatico e il ruolo dei procedimenti deduttivi. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
42 Aspetti Figurali e Aspetti Concettuali (V. Villani) Livello 1 (visuale). Le figure geometriche sono riconosciute e identificate globalmente in base al loro aspetto e alla loro forma. Livello 2 (descrittivo). Le figure sono identificate in base a certe loro proprietà matematiche. Livello 3 (razionale). Si riconoscono i legami e le gerarchie esistenti tra le diverse proprietà di una figura, nonché le relazioni che intercorrono tra figure diverse. Livello 4 (logico). Si comprende la struttura di un sistema assiomatico e il ruolo dei procedimenti deduttivi. Livello 5 (critico). Si sanno confrontare tra loro vari sistemi assiomatici e si è in grado di esplorare geometrie diverse, basate su differenti sistemi di postulati. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
43 Lo sviluppo del cubo F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
44 Lo sviluppo del cubo Ma ce n è uno solo? F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
45 Lo sviluppo del cubo Ma ce n è uno solo? F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
46 Gli 11 sviluppi del cubo F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
47 Affettiamo un cubo Tagliamo il cubo secondo le diagonali di tre facce? Quante volte si può sezionare? Che cosa resta del cubo? F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
48 Affettiamo un cubo Tagliamo il cubo secondo le diagonali di tre facce? Quante volte si può sezionare? Che cosa resta del cubo? F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
49 Affettiamo un cubo Tagliamo il cubo secondo le diagonali di tre facce? Quante volte si può sezionare? Che cosa resta del cubo? F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
50 Affettiamo un cubo Tagliamo il cubo secondo le diagonali di tre facce? Quante volte si può sezionare? Che cosa resta del cubo? F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
51 La ricerca dei cammini minimi Individuare il cammino minimo tra due vertici opposti in un cubo. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
52 La ricerca dei cammini minimi Individuare il cammino minimo tra due vertici opposti in un cubo. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
53 La ricerca dei cammini minimi Individuare il cammino minimo tra due vertici opposti in un cubo. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
54 La ricerca dei cammini minimi Individuare il cammino minimo tra due vertici opposti in un cubo. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
55 La ricerca dei cammini minimi Individuare il cammino minimo tra due vertici opposti in un cubo. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
56 La ricerca dei cammini minimi Il cammino minimo tra due vertici opposti in un cubo nel suo sviluppo sul piano. F. Conti - V. Scorsipa Dal Vissuto al Formalizzato PG, 11 nov / 17
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