Teoria Classica della Laminazione

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Maddalena Monti
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1 Teoria Classica della Laminazione Classical Lamination Theor - CLT - Calcolo matrici di rigidezza dei laminati in base alla teoria delle piastre th σ dz { } { } { } κ z + eformazione: [ ] piastra th th th th th Q zdz zdz zdz dz dz γ τ σ σ τ σ

2 Teoria Classica della Laminazione Classical Lamination Theor - CLT - ornisce una legge costitutiva lineare-elastica per il laminato (piastra) σ dz σ dz τ th th th th th th σ σ τ dz zdz zdz zdz [ Q] piastra γ Può essere applicata direttamente per: Progettare le sequenze di laminazione per ottenere determinate rigidezze Calcolare gli sforzi nelle lamine noti i carichi generalizzati

3 Teoria Classica della Laminazione Classical Lamination Theor - CLT - Calcolo matrici di rigidezza dei laminati in base alla teoria delle piastre O O O O κ κ κ γ

4 Teoria Classica della Laminazione Classical Lamination Theor - CLT - Procedura iretta : Progettazione del Laminato Programma CLT_KE umero Lamine Caratteristiche Lamine (Proprietà elastiche e spessori) ngoli di Orientamento Input: files di caratteristiche elastiche e spessori atrici di Rigidezza delle Lamine in Coordinate Lamina Posizioni delle Lamine Rispetto alla Superficie edia Rotazioni atrici di Rigidezza in Coordinate Laminato ssemblaggio atrici di Rigidezza del Laminato Caratteristiche Laminato emorizzazione di una struttura dati: L. numero lamine L.Lamine files lamine L.lfa angoli L.Q_lamine matrici rigidezza lamine L.Z posizioni z rispetto alla su. edia L.TH spessore totale laminato L., L., L. sottomatrici, e laminato

5 Osservazione) atrici di Rigidezza delle Lamine E E v [ ] G lamina E v E v E E G [ Q] ([ ] ) lamina lamina γ [ ] lamina σ σ τ σ σ τ [ Q] lamina γ Rotazione in coordinate laminato T [ Q] [ T ( α )] [ Q] [ T ( α )] lamina_

6 Osservazione 2) Posizioni z th lamina z + z +th TH z 2 z 2 +th z z j z j TH/2

7 ssemblaggio atrice Laminato [ ] [ ] ( ) + j j j j z z Q _ [ ] [ ] ( ) + j j j j z z Q 2 2 _ 2 [ ] [ ] ( ) + z j z j Q 3 3 [ ] [ ] [ ] [ ] γ [ ] [ ] j j Q _ 3 [ ] ato La Q min γ [ ] [ ] ato La ato La Q min min γ

8 Presentazione script matlab

9 ateriali: Compositi con atrice Epossidica C_IG6_U Unidirezionale Carbonio: E 5 Pa, v.34 E Pa, G 65 Pa spessore (lamina polimerizzata).5 mm (Valori tipici per U in carbonio, modulo standard, alta resistenza Rottura a trazione 7-2 Pa densità.5 g/cc) G_S2449_U Unidirezionale Vetro S2: E 476 Pa, v.34 E 33 Pa, G 475 Pa spessore (lamina polimerizzata).23 mm (Valori tipici vetro S2 alta resistenza Rottura a trazione 5-6 Pa densità.85 g/cc) C_S4_PW Tessuto Carbonio: E 63 Pa, E 63, Pa, v.5 G 55 Pa spessore (lamina polimerizzata).22 mm C_S4_5H Tessuto Carbonio: E 59 Pa, E 59, Pa, v.5 G 428 Pa spessore (lamina polimerizzata).32 mm

10 Esercizio : atrice di un Laminato Omogeneo (a) Z, W, V, U b2 mm TH.9 mm (m/m) (/m) Laminato omogeneo [U ] 6 odulo di oung del materiale in direzione : E 5 Pa Lamina: se b << l puo essere considerata una trave con azioni interne (in una generica ) omento lettente b ed zione ssiale b Rigidezza lessionale della trave: EJ ρ W 2 W 2 E J W lettente b E J Rigidezza ssiale della trave: E U U ssiale U E E b Calcoli bt J (/2)bt 3 E J E ote le rigidezze generalizzate: Calcolo spostamenti (Es.: linea elastica)

11 Esercizio : atrice di un Laminato Omogeneo (a) Z, W, V, U b2 mm TH.9 mm (m/m) (/m) Laminato omogeneo [U ] 6 odulo di oung del materiale in direzione : E 5 Pa Lamina: se b << l puo essere considerata una trave con azioni interne (in una generica ) omento lettente b ed zione ssiale b Rigidezza lessionale della trave: EJ ρ W 2 W 2 E J W lettente b E J Rigidezza ssiale della trave: E U U ssiale U E E b Calcoli bt 8. mm 2 J (/2)bt 3.25 mm 4 E J.8225e+5 mm 2 E 2.7e+6 ote le rigidezze generalizzate: Calcolo spostamenti (Es.: linea elastica)

12 Esercizio : atrice di un Laminato Omogeneo (b). eterminiamo la matrice di rigidezza del laminato TH.9 mm l Z, W, V b2 mm, U a) b) γ γ 2.Consideriamo le due seguenti condizioni di carico e verifichiamo le rigidezze assiali e flessionali [ ] [ ] La min ato La min ato La min ato ( 4, ) 4, La min ato( ) b E J E E J b ( 4,4) /(4,4)) 2 mm? b E /(,)) 2 mm? (, ) b

13 γ Esercizio : atrice di un Laminato Omogeneo (b) J E b 44 E J b 44 b J E 44 Rigidezza lessionale per unità di larghezza

14 γ Esercizio : atrice di un Laminato Omogeneo (b) E b E b b E Rigidezza ssiale per unità di larghezza

15 Esercizio : atrice di un Laminato Omogeneo (b). eterminiamo la matrice di rigidezza del laminato TH.9 mm l Z, W, V b2 mm, U a) b) γ γ 2.Consideriamo le due seguenti condizioni di carico e verifichiamo le rigidezze assiali e flessionali [ ] [ ] La min ato La min ato La min ato ( 4, ) 4 La min ato (, ) b E J E b E J (/(4,4)) 2 mm ( 4,4).8225e+5 mm 2 E J b E /(,)) 2 mm (, ) 2.7e+6 E b I termini /(i,j) sono le rigidezze generalizzate della piastra per unità di larghezza

16 ccoppiamenti e casi speciali di laminati O O O κ γ membranale - flessionale Estensione taglio membranale lesso - torsionale Laminato Composito κ κ

17 Esercizio 2: Laminati Simmetrici Carbonio U + Carbonio U +3 Carbonio U +45 Carbonio U +45 Carbonio U +3 Carbonio U + Vetro U + Vetro U +3 Vetro U +45 Vetro U +45 Vetro U +3 Vetro U + L_C_U_Sim Spessore: L.TH.9 mm L_G_U_Sim Spessore: L.TH.38 mm a: ccoppiamenti fra sollecitazioni generalizzate e deformazioni generalizzate b: Confrontare le Rigidezze ssiali in direzione e c: Valutare i pesi per unità di area (ρ Carbonio/Epo 5 g/m 3, ρ Vetro/Epo 85 g/m 3 )

18 Esercizio 2: Laminati Simmetrici (a) TRICE I LESSIILIT I Carbonio U + Carbonio U +3 Carbonio U +45 Carbonio U +45 Carbonio U +3 Carbonio U + γ [ ] [ ] [ ] [ ] ccoppiamento fra trazione e deformazione membranale a taglio il laminato non è equilibrato ccoppiamento fra flessione e deformazione torsionale il laminato non è bilanciato

19 Esercizio 2: Laminati Simmetrici (b) laminato simmetrico: se α a z i, α a z i laminato equilibrato: se α, -α laminato bilanciato: se α a z i, -α a -z i L_C_U_Sim Spessore: L.TH.9 mm (E/w) 6322 /mm (E/w) 377 /mm L_G_U_Sim Spessore: L.TH.38 mm (E/w) /mm (E/w) 2386 /mm ρ ρ TH.35 g/m 2 ρ ρ TH 2.55 g/m 2

20 Esercizio 3: Laminati Equilibrati e ilanciati Equilibrato e ilanciato (on Simmetrico) Equilibrato e Simmetrico (non ilanciato) Carbonio U + Carbonio U +3 Carbonio U +45 Carbonio U -45 Carbonio U -3 Carbonio U + Carbonio U + Carbonio U +3 Carbonio U -3 Carbonio U -3 Carbonio U +3 Carbonio U + L_C_U_il Spessore: L.TH.9 mm L_C_U_Eq Spessore: L.TH.9 mm a: ccoppiamenti fra sollecitazioni generalizzate e deformazioni generalizzate b: Confrontare le Rigidezze ssiali in direzione e

21 Esercizio 4: Laminati U e Tessuti (a) Equilibrato e Simmetrico (non ilanciato) U Carbonio U + Carbonio U +3 Carbonio U -3 Carbonio U -3 Carbonio U +3 Carbonio U + Laminato di Tessuto Carbonio /9 Carbonio +/-45 Carbonio +/-45 Carbonio /9 Spessore: L.TH.9 mm Spessore: L.TH.88 mm a: ccoppiamenti fra sollecitazioni generalizzate e deformazioni generalizzate b: Confrontare le Rigidezze ssiali in direzione e c: Ruotare le sottomatrici (funzione Rotazione_atrice(L.,α)), α +2, -3 d: Confrontare Rigidezze e pesi del laminato in tessuto con una lamina in lega l di uguale spessore (E 72 Pa, ρ 28 g/m 3 )

22 Esercizio 4: Laminati U e Tessuti (b) TRICE I LESSIILIT I Carbonio U + Carbonio U +3 Carbonio U -3 Carbonio U -3 Carbonio U +3 Carbonio U + [ ] [ ] [ ] [ ] γ L_C_U_EqSim Spessore: L.TH.9 mm (E/b) 8948 /mm (E/b) 273 /mm ρ ρ TH.35 g/m 2

23 Esercizio 4: Laminati U e Tessuti (c) TRICE I LESSIILIT I Carbonio /9 Carbonio +/-45 Carbonio +/-45 Carbonio /9 γ [ ] [ ] [ ] [ ] L_C EqSim Spessore: L.TH.88 mm (E/b) 4663 /mm Lamina Lega l Spessore: TH.88 mm (E/b) (E th) 6336 /mm (E/b) 4663 /mm ρ ρ TH.32 g/m 2 ρ ρ TH g/m 2

24 Esercizio 4: Laminati U e Tessuti (c) TRICE I LESSIILIT I Carbonio /9 Carbonio +/-45 Carbonio +/-45 Carbonio /9 γ [ ] [ ] [ ] [ ] L_C EqSim Spessore: L.TH.88 mm ρ ρ TH.32 g/m 2 Lamina Lega l Spessore: TH.47 mm ρ ρ TH.32 g/m 2 (E/b) 4663 /mm (E/b) 4663 /mm (E/b) (E th) 3384 /mm (EJ/b) (E th 3 /2) 623 mm (EJ/b) /_lam(4,4) 3375 mm (EJ/b) /_lam(5,5) 3375 mm

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