ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2014

Transcript

1 PRVA SPERIMENTALE P.N.I. ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia g() una funzione continua sull intervallo chiuso [ ; 6]. Il grafico di g(), disegnato a lato, passa per i punti A( ; ), (; ), B(; ), C(; ), D(6; ) e consiste della semicirconferenza di diametro A, dell arco, quarto di circonferenza, di estremi e B, del segmento BC e dell arco CD di una parabola avente per asse di simmetria l asse.. Si dica, giustificando la risposta, se g() è derivabile nei punti A,, B, C, D.. Posto f() g(t)dt, si calcolino: f( ), f(), f(), f(), f(), f(6).. Per quali valori di [ ; 6], f() è positiva, negativa o nulla? E per quali è positiva, negativa o nulla la funzione derivata seconda f ()?. La funzione f() presenta un massimo e un minimo assoluti? Qual è l andamento di f()? A Figura. B C D 5 6 PRBLEMA Sia f() ( ).. A lato è disegnato il grafico di f(). Si dimostri che (; ) è centro di simmetria di e si calcoli, in gradi e primi sessagesimali, l angolo che la tangente in esso a forma con la direzione positiva dell asse.. Si dimostri che, qualunque sia t, t, le rette tangenti a nei suoi punti di ascisse t e t sono parallele. Esistono rette tangenti a che siano parallele alla retta? E che siano parallele alla retta 5?. Si calcoli l area della regione compresa tra e l asse.. Sia h() sen( f ()). Quanti sono i punti del grafico di h() di ordinata? Il grafico di h() presenta punti di minimo, assoluti o relativi? Per quali valori reali di k l equazione h() k ha soluzioni distinte? Qual è il valore di h()d? Figura.

2 PRVA SPERIMENTALE P.N.I. QUESTINARI Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di? α Si spieghi perché non esistono poliedri regolari le cui facce sono esagoni. Figura Venti palline sono poste in un urna. Cinque sono rosse, cinque verdi, cinque gialle e cinque bianche. Dall urna si estraggono a caso, senza reimbussolamento, tre palline. Si valutino le seguenti probabilità: esattamente una pallina è rossa; le tre palline sono di colori differenti. Un solido ha per base la regione R delimitata dal grafico f () e e dall asse sull intervallo [ ; ]. In ogni punto di R di ascissa, l altezza del solido è data da h(). Si calcoli il volume del solido. In un contesto di geometria non euclidea si illustri un esempio di triangolo i cui angoli non hanno somma 8. Si calcoli l altezza e il raggio del massimo cilindro circolare retto inscritto in una sfera di raggio. Se f () ln, per quale dei seguenti valori approssimati di, f ha un minimo relativo? A 5,6 B,6 C, D,59 E La zara è un gioco d azzardo di origine araba che conobbe particolare fortuna in Italia in epoca medievale ne parla anche Dante nella Divina commedia e si giocava con tre dadi. Si confronti la probabilità di ottenere in un lancio la somma 9 con quella di ottenere la somma. Le lettere N, Z, Q, R denotano, rispettivamente, gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali e reali mentre il simbolo (aleph-zero) indica la cardinalità di N. Gli insiemi Z, Q e R hanno anch essi cardinalità? Si motivi la risposta. Si stabilisca per quali valori reali di a e b, si ha: lim a b. Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. È consentito l uso del dizionario bilingue (italiano-lingua del paese di provenienza) per i candidati di madrelingua non italiana. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema.

3 SLUZINE PRVA SPERIMENTALE P.N.I. SLUZINE DELLA PRVA D ESAME CRS SPERIMENTALE P.N.I. PRBLEMA. Sia g() la funzione continua nell intervallo chiuso [ ; 6] il cui grafico è rappresentato nella figura. Valutiamo se tale funzione è derivabile nei punti A,, B, C, D, tenendo conto del significato geometrico della derivata prima di una funzione in un punto, ossia coincidente con il coefficiente angolare della retta tangente al grafico in quel punto. In A( ; ): il grafico consiste a destra nella semicirconferenza di diametro A; nel punto A la tangente è verticale, pertanto in tale punto la funzione non è derivabile a destra; Figura. in (; ): il grafico è rappresentato a sinistra dalla semicirconferenza di diametro A, mentre a destra dal quarto di circonferenza di estremi e B; nel punto la tangente è verticale pertanto in tale punto la funzione non è derivabile; in B(; ): il grafico consiste, a sinistra, nel quarto di circonferenza, di estremi e B, mentre a destra, nel segmento orizzontale BC; nel punto B la tangente è, pertanto in tale punto la funzione è derivabile, con valore g () ; in C(; ) il grafico è rappresentato, a sinistra, dal segmento orizzontale BC, pertanto g (), mentre, a destra, dall arco CD di una parabola avente per asse di simmetria l asse ; troviamo l equazione di tale arco imponendo alla generica parabola con vertice in D, a 6, il passaggio per il punto C(; ): a 6 a 6 a g(), 6. Calcoliamo la derivata prima: g () g + (), pertanto, essendo g () e g + (), in tale punto la funzione non è derivabile; in D(6; ): l arco di parabola ha nel vertice tangente verticale; pertanto in tale punto la funzione non è derivabile a sinistra.. Posto f() g(t)dt, calcoliamo f ( ), f (), f (), f (), f (), f (6) sfruttando il teorema fondamentale del calcolo integrale e il calcolo di aree comprese tra una curva e l asse. f ( ) g(t)dt. f (). Corrisponde all opposto dell area di metà cerchio di raggio : f (). f (). Sfruttiamo la proprietà additiva del calcolo integrale: g(t)dt g(t)dt f () g(t)dt g(t)dt; f () g(t)dt A C B D 5 6

4 SLUZINE PRVA SPERIMENTALE P.N.I. l integrale g(t)dt corrisponde all area evidenziata in figura 5; il triangolo PQR risulta metà di un triangolo equilatero di lato e altezza, mentre il settore circolare QP ha ampiezza e raggio ; si può ottenere tale area come differenza tra l area del settore circolare e l area del triangolo PQR: f (). g(t)dt P B R π Q Figura 5. f (). Applichiamo l additività integrale: g(t)dt g(t)dt f () g(t)dt. f () g(t)dt Poiché l integrale g(t)dt corrisponde a un quarto di cerchio di raggio, risulta: f (). f (). Sfruttiamo la proprietà additiva del calcolo integrale: f () g(t)dt g(t)dt g(t)dt f () g(t)dt. L integrale g(t)dt rappresenta l area di un quadrato di lato, pertanto vale: f (). f (6). Applichiamo nuovamente l additività: g(t)dt 6 g(t)dt f () 6 g(t)dt. f (6) 6 g(t)dt Calcoliamo l integrale 6 g(t)dt come metà del segmento parabolico inscritto in un rettangolo di dimensioni e : f (6) ( ) 8.. Per valutare il segno della funzione f() g(t)dt ricordiamo che per il teorema fondamentale del cal-

5 SLUZINE PRVA SPERIMENTALE P.N.I. colo integrale risulta f () g(), con 6; dal grafico di g() di figura e dai risultati al punto ne segue che: per, g() f () f () decrescente con f ( ) e f () ; per, g() f () f () ha punto stazionario per ; per, g() f () f () crescente con f () e f () ; per, g() f () f () crescente con f () e f () ; per 6, g() f () f () crescente con f () e f (6). Dal quadro si deduce che esiste un ]; [, zero della funzione ovvero: f ( ) g(t)dt g(t)dt f () dt In sintesi: ( ). f () per 6; f () per ; f () per. Per valutare il segno della derivata seconda f () sfruttiamo nuovamente il teorema fondamentale del calcolo integrale, ricavando che f () g (), con 6. sservando la crescenza e decrescenza del grafico di g() di figura si deduce che: f () per ; f () per 6; f () per. Si osserva che per il punto la funzione f () g () non è definita per 6.. Dai precedenti punti sintetizziamo le informazioni sulla funzione f (): è una funzione definita continua nell intervallo [. 6]; passa per i punti: A ( ; ), (; ), B (; ), C (; ), D 6; ; ha segno: f () per 6; f () per ; f () per ; ha derivata prima tale che: f () decrescente per, 5

6 SLUZINE PRVA SPERIMENTALE P.N.I. f () allora punto stazionario; f () crescente per 6, pertanto, per il teorema di Weierstrass, la funzione ha minimo assoluto nel punto (; ), massimo relativo per 6 e con f (6), f ( ) e quindi massimo assoluto in D 6; ; ha derivata seconda tale che la funzione ha: concavità verso l alto per ; concavità verso il basso per 6; un flesso per, F( ; ), mentre f () per, pertanto il grafico è un segmento B C, sorretto dalla retta di equazione. In figura 6 è riportato l andamento della funzione f (). A π + π + C 6 D F π B = f() π Figura 6. PRBLEMA. Sia data la funzione f () ( ). Essa ha dominio [; ]. Per verificare che il corrispondente grafico è simmetrico rispetto al punto (; ), applichiamo alla funzione la simmetria centrale di centro (; ), di equazioni: e verifichiamo come si comporta la curva rispetto a tale trasformazione: ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ). Si conclude che la curva è unita rispetto alla trasformazione e che pertanto il punto (; ) è centro di simmetria di. Determiniamo il coefficiente angolare m della retta tangente al grafico nel punto ricordando che equivale alla derivata prima della funzione calcolata in quel punto: ( )( ) 8 f (). 6

7 SLUZINE PRVA SPERIMENTALE P.N.I. 8 m f (). L angolo che la tangente forma con la direzione positiva dell asse è rappresentato dall arcotangente del valore di m ovvero: arctg m arctg( ) 6,. Si tratta di un angolo negativo ovvero il proprio secondo lato si trova in senso orario sotto il semiasse positivo delle (figura 7). Il corrispondente angolo positivo è: 8 arctg m 8 arctg( ) α 8 6, 6,56 6. α Γ Figura 7.. Considerato t, con t, calcoliamo i coefficienti angolari delle rette tangenti al grafico nei suoi punti di ascisse t e t. ( t) 8( t) t m( t) f ( t), ( t) ( t) t ( t) 8( t) t m( t) f ( t). ( t) ( t) t Poiché m( t) m( t), con t, allora le corrispondenti rette sono parallele (figura 8). sserviamo inoltre che agli estremi dell intervallo del dominio risulta: t lim t m( t) lim, lim m( t) lim t t t Consideriamo le rette e 5. Esse hanno coefficiente angolare rispettivamente m e m. Per stabilire se esistono rette tangenti a che siano parallele a queste, t è necessario valutare i coefficienti angolari delle rette tangenti nel dominio. Per il punto il coefficiente angolare della retta tangente nel punto vale. Per le consi- derazioni precedenti, cioè per nei punti ( t) e ( t) il coefficiente angolare Figura 8. tende a, e osservando la figura 8 si deduce che m. t t t m = + t Γ. 7

8 SLUZINE PRVA SPERIMENTALE P.N.I. Pertanto non può esistere una retta tangente a con coefficiente angolare uguale a, mentre esistono due rette tangenti e parallele con coefficiente angolare m.. Dimostrata la simmetria del grafico nel punto, l area della regione compresa tra e l asse è il doppio dell integrale definito dalla funzione f () calcolata in [; ]: ( ) d ( ) d ( ) 6.. Sia h() sen(( ) )) con. Per determinare quanti punti del grafico di h() hanno ordinata, osserviamo che la funzione h() sen(f ()) assume valore per f () k, con k Z. π A B Γ Figura 9. Dal grafico (figura 9) si deduce che la funzione f () assume valori compresi tra e e che pertanto acquista il valore in due punti e, per cui h( ) h( ). Quindi i punti del grafico di h() di ordinata sono due. Per dedurre l andamento della funzione h() sen(f ()) studiamo puntualmente i massimi e i minimi della funzione f () osservando il grafico. Dal punto è noto che f () ( ). Tale derivata si annulla per A, con f ( A ) (massimo assoluto) e per B, con f ( B ) (minimo assoluto). Poiché è simmetrica rispetto al punto (; ) e la funzione è dispari, il grafico di h() risulta ancora simmetrico rispetto al punto (; ), pertanto studiamo l andamento della funzione h() sen(f ()) nell intervallo [; ]. h() h() ; per, f () e f () crescente h() crescente e h() ; per, f ( ) h( ) ; per, f () e f () crescente h() decrescente e sen h() ; per, f ( ) h( ) sen ; per, f () e f () decrescente h() crescente e sen h() ; 8

9 SLUZINE PRVA SPERIMENTALE P.N.I. per, f ( ) h( ) ; per, f () e f () decrescente h() decrescente e h(). Rappresentiamo in figura l andamento di h() tenendo conto della simmetria centrale in (; ). La funzione h() presenta: due massimi assoluti nei punti e, con h( ) h( ) ; un massimo relativo per ( ), con h( ) sen ; un massimo relativo in, con h() ; due minimi assoluti in e con h( ) h( ) ; un minimo relativo per, con h( ) sen ; un minimo relativo in, con h(). sen sen + = h() sservando il grafico di h() vediamo che l equazione h() k ha quattro soluzioni distinte quando una retta k interseca il grafico in quattro punti distinti, ovvero per sen k e per k sen. L integrale h()d può essere calcolato per la proprietà additiva come h()d h()d h()d. Per la simmetria centrale del grafico di h() rispetto al punto (; ) e per il significato geometrico di integrale definito, risulta h()d h()d e quindi: h()d = h()d h()d. Figura. QUESTINARI Vedi lo svolgimento del quesito della prova del corso di ordinamento. Vedi lo svolgimento del quesito della prova del corso di ordinamento. Considerata la composizione dell urna (cinque palline rosse, cinque verdi, cinque gialle e cinque bianche) e l estrazione senza reimbussolamento di tre palline, calcoliamo la probabilità P che vi sia solo una pallina rossa. Sfruttando il calcolo combinatorio, una pallina delle cinque disponibili è rossa, mentre le altre due, non rosse, si ottengono dalle combinazioni di 5 palline, in gruppi di due. I casi favorevoli sono quindi: casi favorevoli 5 C 5, ; 9

10 PRVA SPERIMENTALE P.N.I. i casi possibili sono le combinazioni di elementi a tre a tre: casi possibili C,. Pertanto risulta: casi favorevoli 55 P 5,6 6%. casi possibili 76 Calcoliamo la probabilità P che le tre palline siano di colori differenti. I quattro colori si possono combinare in gruppi di tre. Si tratta di quattro elementi distinti (i colori) a tre a tre ossia C,. In queste quattro combinazioni a gruppi di tre colori, ogni colore può essere rappresentato da cinque palline, pertanto i casi favorevoli sono: casi favorevoli C, 5 5, I casi possibili sono sempre, pertanto risulta: casi favorevoli 5 P 5, %. casi possibili 57 5 Vedi lo svolgimento del quesito della prova del corso di ordinamento. Ricordiamo il V Postulato della geometria euclidea: «data una retta e un punto esterno a essa, per il punto passa al più una retta parallela alla data». Una delle conseguenze del postulato è che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a due angoli retti, ovvero Rˆ. Nella geometria non euclidea di Lobacevskij e Bolai, denominata iperbolica, il V postulato viene sostituito dalla sua negazione: per un punto passano almeno due rette parallele a quella data. Il corrispondente modello di Poincaré fa riferimento a una porzione di piano euclideo formata da un cerchio detto disco di Poincaré. I concetti di punto, retta, angolo, hanno una loro nuova definizione: un punto è un punto interno al cerchio; una retta è un diametro della circonferenza di Poincaré oppure un arco di circonferenza, interno al cerchio di Poincaré e ortogonale a esso; un angolo è l angolo tra due rette definite precedentemente. Rappresentiamo in figura un triangolo iperbolico ABC e i corrispondenti angoli interni. gni angolo è minore del corrispondente angolo euclideo, pertanto la loro somma è minore di Rˆ. A C B Figura. Un altro esempio di geometria non euclidea è quella sferica; essa nega il V postulato assumendo che non esiste nessuna retta parallela a una data. Il corrispondente modello di Riemann considera una superficie sferica dove: un punto è un punto sulla superficie sferica; una retta è una circonferenza massima della sfera (intersezione tra superficie sferica e un piano passante per il centro);

11 PRVA SPERIMENTALE P.N.I. un angolo è l angolo formato dai due piani che tagliano la superficie secondo le due rette. Rappresentiamo un triangolo ABC nella geometria sferica, considerando i lati sulle rette r, s, t perpendicolari tra loro (figura ). C s Rˆ r A Rˆ t Rˆ B Figura. La somma degli angoli interni di questo triangolo è Rˆ, ovvero maggiore di Rˆ. 6 Consideriamo un cilindro circolare retto inscritto in una sfera di raggio P (figura ). S R P Q Il segmento PR è un diametro della sfera e misura. Indichiamo con l angolo RPˆQ, dove. Per i teoremi trigonometrici dei triangoli rettangoli risulta: QR sen, PQ cos. Calcoliamo il volume V() del cilindro inscritto: V() P Q QR. Figura. Sostituiamo: V() cos sen V() 6 cos sen V() 6 (sen sen ),. Calcoliamo la derivata prima V () e studiamone il segno nell intervallo, tenendo conto che in tale intervallo il seno e il coseno sono positivi e compresi tra e : V () 6 (cos cos sen ) V () 6 cos ( sen ), V () per arcsen,

12 PRVA SPERIMENTALE P.N.I. V () per arcsen, V () per arcsen. Pertanto la funzione V() è dotata di massimo assoluto nel punto arcsen. Determiniamo la corrispondente altezza e il raggio r di base: QR, r P. Q 7 La funzione derivata prima f () ln è definita continua e derivabile per. Pertanto la corrispondente f() è continua e derivabile in tale intervallo. Studiamo il segno della derivata prima tenendo conto che si tratta di una funzione trascendente. Poniamo ln e e tracciamo i corrispondenti grafici (figura ). Dalla figura deduciamo che le funzioni ln e si intersecano in due punti di ascisse, con, e, con. = = ln Figura. Pertanto risulta: f () ln ln, f() crescente; f () ln ln,, f() decrescente; f () ln ln, punti stazionari. La funzione f() ha un minimo relativo in e un massimo relativo per. sservato che, l alternativa esatta è la D: un valore approssimato di, dove f ha un minimo relativo, è,59. 8 Si consideri il lancio contemporaneo di tre dadi a sei facce: il numero di casi possibili si ottiene dalle disposizioni con ripetizione di 6 elementi (i numeri da a 6) in gruppi di elementi: casi possibili D 6, 6 6. Valutiamo i casi favorevoli in cui la somma dei tre numero usciti sia 9 ovvero le terne: a),, 6;,, 5;,, ; b),, ;,, 5; c),,. I termini di ciascuna delle prime tre terne (caso a) possono essere permutati e le permutazioni sono P! 6. Il caso a conta quindi 6 8 casi favorevoli.

13 PRVA SPERIMENTALE P.N.I. I termini delle terne di tipo b possono essere permutate: si tratta di permutazione con ripetizione, ogni terna ha P! () possibilità di apparire. Il caso b conta quindi 6 casi favorevoli.! Il caso c ha solo una possibilità di apparire. I casi favorevoli totali sono: casi favorevoli La probabilità P(9) che la somma dei tre numeri usciti dia 9 è allora: casi favorevoli 5 P(9),6,6%. casi possibili 6 In maniera analoga valutiamo i casi favorevoli in cui la somma dei tre numero usciti sia ovvero le terne: a),, 6;,, 5;,, 5; b),, 6;,, ;,,. I termini di ciascuna delle prime tre terne (caso a) possono essere permutati e le permutazioni sono P! 6. Il caso a conta quindi 6 8 casi favorevoli. I termini delle terne di tipo b possono essere permutate: si tratta di permutazione con ripetizione, ogni terna ha P! () possibilità di apparire. Il caso b conta quindi 9 casi favorevoli.! I casi favorevoli totali sono: casi favorevoli La probabilità P() che la somma dei tre numeri usciti sia è quindi: casi favorevoli 7 P(),5,5%. casi possibili 6 La probabilità di ottenere in un lancio la somma 9 è minore rispetto a quella di ottenere la somma. 9 La cardinalità (o potenza) di un insieme è il numero degli elementi che lo costituiscono. Due insiemi hanno la stessa cardinalità se esiste una corrispondenza biunivoca tra gli elementi dei due insiemi; un insieme ha cardinalità minore di un altro se esiste una funzione iniettiva tra il primo insieme e il secondo, ma non viceversa. Consideriamo l insieme N e l insieme Z e stabiliamo la seguente corrispondenza biunivoca: Pertanto l insieme Z è numerabile ovvero ha la stessa cardinalità di N. Consideriamo l insieme N e Q. La numerabilità dell insieme dei numeri razionali Q fu dimostrata da G Cantor (85-98). La sua dimostrazione si basa sul diagramma a fianco (figura 5) che stabilisce con il metodo della diagonalizzazione una corrispondenza biunivoca tra i razionali positivi Q + e N. Seguendo le frecce si possono ordinare i numeri razionali positivi, evidenziando le frazioni equivalenti che non rappresentano nuovi numeri razionali e che perciò non vanno contati. Lo stesso procedimento può essere adottato per dimostrare la numerabilità di Q. Poiché Q Q Q {} e l unione di insiemi numerabili è numerabile, si deduce che Q è numerabile Figura

14 PRVA SPERIMENTALE P.N.I. Si può dimostrare che l insieme dei numeri naturali N ha cardinalità minore dell insieme dei numeri reali R, in particolare si dimostra che N ha cardinalità minore dei numeri reali compresi tra e e a maggior ragione l avrà rispetto a tutto R. Tale dimostrazione si basa sul cosiddetto argomento diagonale, proprio di G. Cantor, con quale il matematico dimostrò la non numerabilità di R. Ipotizziamo per assurdo l esistenza di una corrispondenza biunivoca tra N e i numeri reali appartenenti all intervallo [; ]; ciò genera una successione i formata da tutti questi numeri che esprimeremo in forma decimale:, a a a, a a a, a a a dove a ij è la cifra j-esima del numero i-esimo. sserviamo il numero formato dagli elementi della diagonale principale della matrice {a ij }:, a a a e costruiamo un nuovo numero, b b b, dove la cifra b i è così generata: a b i ii se a ii 9 se a ii 9 Si può dedurre che il numero, reale e appartenente all intervallo [; ] non appare nella successione { i }. Pertanto non esiste una corrispondenza biunivoca tra N e i numeri reali dell intervallo [; ] e, a maggior ragione, tra N e R. Consideriamo il limite finito: lim a b, con a, b R. sserviamo che per la funzione tende alla forma a. Pertanto se a il limite è infinito. Ne segue che: a a a. Il limite diventa: lim b e ha forma indeterminata. Razionalizziamo il numeratore della funzione: lim ( b )( b ) ( b ) Poniamo il limite uguale a : lim b b. Concludendo, il limite vale se a e b. b ( b ) b lim b ( b ). Per esercitarti ancora sugli argomenti affrontati nei problemi e nei quesiti vai sul sito