Campo magnetico B (o di induzione magnetica)

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1 Campo magnetico B (o di induzione magnetica) La proprietà di alcuni materiali, come la magnetite Fe 3 O 4, di attirare a sè la limatura di ferro, era nota già dal VII secolo a.c. e fu denominata "magnetismo. I nomi "magnetite" e "magnetismo" derivano da quello della città di Magnesia, in Asia Minore, dove veniva estratto il materiale (magnētēs lithos o pietra di Magnesia). Nel XVI secolo W. Gilbert compì una serie di esperimenti con la magnetite al fine di osservare in dettaglio le proprietà del magnetismo e comprenderne l'origine. A questo scopo preparò dei piccoli cilindri di magnetite, detti "magneti", ed osservò che la proprietà di attirare la limatura di ferro si concentrava solo alle estremità del cilindro, che chiamò poli magnetici (Nord e Sud) perché nelle bussole, gli aghetti magnetici avevano la proprietà di orientarsi verso il polo Nord magnetico della Terra. I poli magnetici si comportavano in modo analogo a cariche elettriche di segno opposto.ad es.le forze dipendono dal quadrato della distanza. La limatura di ferro rendeva evidenti anche l andamento delle linee di forza del campo magnetico. 1 Gilbert pensò che la Terra potesse essere pensata come un magnete il cui polo Sud è posto nel Polo geografico. In realtà il Polo Nord Magnetico oltre a non coincidere con quello Geografico è pure in movimento. Posizione del Polo Nord geografico e magnetico. Il polo Nord magnetico si sposta nel tempo 2

2 Però esistono differenze sostanziali tra il caso elettrico e quello magnetico. a) le cariche elettriche negative si possono separare da quelle positive mentre non è possibile isolare su di un magnete una delle polarità: se si spezza una calamita in due parti, non si ottiene la separazione dei due poli, ma si ottengono ancora due magneti. b) Conosciamo le particelle elementari che sono responsabili dell'elettrizzazione dei corpi: gli elettroni e i protoni. Invece, non riusciamo a identificare le particelle che determinano le proprietà magnetiche delle calamite. c) Non potendo ottenere dei "monopoli" magnetici non si conosce nel magnetismo alcun fenomeno analogo alla corrente elettrica, nel senso che non esiste un equivalente magnetico della carica elettrica. d) Mentre nel campo elettrico le linee di forza che si dipartono da un corpo elettrizzato possono perdersi all'infinito ( cosa che accade, ad esempio, nel caso di una carica positiva isolata), nel campo magnetico le linee di forza si chiudono sempre sui poli del magnete. In analogia con quanto ricavato per il campo E B nda= 0 seconda equazione di Maxwell in forma integrale, poiché tante linee di campo entrano e tante ne escono da cui B= 0 in forma differenziale, (non ci sono sorgenti del campo magnetico). N N S N S 3 S Campo magnetico B (o di induzione magnetica) Non essendo state osservate cariche magnetiche, la definizione operativa del campo magnetico B non può avvenire come nel caso di E. Per procedere, osserviamo che un campo magnetico determina un azione su una carica elettrica in moto. Quindi se in una regione di spazio c è B l azione sulle carica q in moto sarà F=q v B forza di Lorentz, in modulo B= F/(qv) se v B (unità tesla T=Ns/(Cm): tale forza può servire come definizione di B Quindi la forza complessiva su una carica in cui sono presenti contemporaneamente un campo E e B è F=q (v B + E) La forza è perpendicolare a v e a B e quindi il campo non fa lavoro sulla particella. Se una particella entra in un campo magnetico uniforme e non dissipa energia la traiettoria è circolare (perché?) 4

3 Gli effetti di questa forza si osservarono inizialmente su un filo percorso da corrente immerso in un campo magnetico. Un tratto Δl del filo contiene una carica Δq= n e A Δl. Poiché le cariche si muovono con con una velocità di deriva v D, la corrente è i= n e v D A F= Δq v D B= n e A Δl v D B= i Δl B avendo definito il vettore Δl B F Di modulo Δl, direzione del tratto di filo e verso i concorde con quello della corrente (def.di i). Cerchiamo di calcolare il campo B. Δ l Il campo B è generato dal movimento delle cariche, cioè dalle correnti. Dato un circuito, questo può essere pensato suddiviso in elementi di corrente i dl (vettoriali) che come sopra hanno modulo i dl e verso quello della corrente, il contributo db al campo nel punto P è dato da r P db=(μ 0 /4π) i dl r /r 3 = (μ 0 /4π) i dl ^r /r 2, legge di Biot-Savart, anche in questo caso i dl l andamento è r -2 come per la legge di Coulomb, dove r è il vettore che unisce i dl al punto P, ma al 5 posto della carica scalare q c è l elemento vettoriale di corrente che ha un valore solo formale poiché non è separabile dal circuito a cui appartiene; μ 0 = 4π 10-7 T m/ A = T m/ A è una costante detta permeabilità magnetica del vuoto. Tramite la legge di Biot-Savart possiamo calcolare il campo generato da un filo rettilineo percorso da corrente i che in modulo vale B= μ 0 i/(2π r) con r distanza dal filo. Le linee di forza del campo B risultano circonferenze concentriche. Quindi, al contrario del campo elettrostatico, le linee sono chiuse e non hanno inizio o fine, questo esprime il fatto che non esistono sorgenti (o pozzi) del campo ed è una proprietà generale del campo magnetico. Le linee si chiudono attorno alle correnti (sono concatenate) questo si esprime dicendo che i vortici del campo sono generati dalle correnti. Se si esegue la circuitazione (integrale su una linea chiusa) del campo B dl = μ 0 i c, legge di Ampere, dove i c sono le correnti concatenate con la linea (cioè racchiuse entro la linea). 6

4 Per trovare la direzione del campo B si utilizza la regola della mano destra 7 Come nel caso della legge di Gauss, anche la legge di Ampere permette in casi di distribuzioni simmetriche di corrente di calcolare il campo B senza ricorrere all integrale vettoriale della legge di Biot-Savart. Es. filo di raggio R percorso da corrente sia pieno che cavo Ricordiamo che la legge di Gauss ci ha condotto alla prima legge di Maxwell. La legge di Ampere B dl = μ 0 i c può essere utilmente riscritta come B dl = μ 0 J da (quarta equazione di Maxwell in forma integrale) dove il secondo è un integrale sulla superficie appoggiata alla curva chiusa della circuitazione. Per il teorema del rotore o di Stokes il primo integrale può essere esteso alla stessa superficie sostituendo il campo con il rotore del campo B da = μ 0 J da ovvero ( B - μ 0 J ) da = 0 ciò vale per ogni superficie da cui B = μ 0 J (IV eq.di Maxwell in forma differenziale) che mostra in modo esplicito che i vortici di B sono dovuti alle correnti (nel caso stazionario). 8

5 Ricordiamo a questo punto la definizione di ampere, l unità della corrente elettrica del Sistema internazionale. Un ampere corrisponde a quella corrente costante che scorrendo in due fili di lunghezza infinita e di dimensione trascurabile posti a distanza di 1 m nel vuoto, produrrebbe una forza tra di essi pari a 2 x 10-7 newton per metro di lunghezza. Consideriamo gli effetti meccanici su una spira, che è utilizzata in molti dispositivi (es. motori elettrici). Per semplicità consideriamo una spira rettangolare di lati a,b in cui circola una corrente i costante immersa in un campo B uniforme. La a F 1 forza su ciascun lato è b F 4 i i F= i Δl B. Le forze F 2 e F 2 F 4 (=- F 2 ) determinano un F 2 θ n momento torcente (F 1 e F 3 B sono uguali ed opposte B F 3 F 4 giacenti sulla stessa retta, momento nullo). In modulo il momento sarà t=i b B a sin θ, se ci sono N spire t=n i b B a sin θ. Se definiamo un vettore (dipolo magnetico) μ di modulo Ni a b=ni A (A=area della spira) e direzione legata alla 9 direzione della corrente tramite la regola della mano destra (n è il versore orientato come il pollice mentre le dita ruotano nella direzione di i e μ= μ n) possiamo esprimere il momento torcente come t= μ B (relazione analoga a t= p E per il dipolo elettrico) Anche in questo caso è possibile definire un energia potenziale magnetica la cui espressione è simile a quella del dipolo elettrico U= - μ B (avendo definito la direzione θ=0 quando il dipolo è allineato nella direzione del campo B) a Da osservare che le linee di forza del b dipolo elettrico e del dipolo magnetico i n sono geometricamente di forma uguale. Infatti con la legge di Biot e Savart si può calcolare il campo lungo l asse di una spira circolare di raggio R ed il risultato per z>>r è B(z)= μ 0 i R 2 /(2 z 3 ) o in termini del dipolo μ B= (μ 0 /2 π) ( μ / z 3 ) simile a quanto trovato per il dipolo elettrico 10

6 Campo di un solenoide Una spira genera un campo magnetico, ma per aumentarne il valore si utilizzano più spire (solenoide). Utilizziamo la legge di Ampere per calcolare il campo all interno di un solenoide. Consideriamo una linea chiusa come in figura. Essa racchiude N spire e nell ipotesi che il solen. sia sufficientemente lungo, il campo esterno è trascurabile e il campo è praticamente uniforme all interno, diretto parallelamente all asse; l integrazione sui lati verticali è nulla B dl = B l=μ 0 Ni c con l=lato B i orizzontale da cui B= μ 0 (N/l) i c = μ 0 n i c (n=n/l num.spire per unità di lunghezza) il verso di B è dato dalla regola della mano destra. 11 Linee di forza del campo magnetico di un solenoide in cui le spire non sono a stretto contatto Linee di forza del campo magnetico di un solenoide in cui le spire sono a più stretto contatto. Il campo disperso esternamente è inferiore rispetto a prima. Si noti la somiglianza col campo di un dipolo elettrico 12

7 Induzione elettromagnetica Faraday osservò che ogniqualvolta c è una variazione del flusso del campo magnetico concatenato con un circuito, nasce una f.e.m. nel circuito (legge di induzione di Faraday). Più tardi Lenz scoprì che la corrente indotta ha verso tale da opporsi alla variazione di campo magnetico che l ha indotta. Consideriamo una spira immersa in un campo magnetico la f.e.m. indotta ε= - dφ B /dt = - d/dt B da (Φ B = B da flusso di B (weber Wb=Tm 2 )) per N spire ε= -N dφ B /dt = - N d/dt B da. Il flusso può cambiare per variazione del campo B, variare l area delle spire, variare l angolo fra la normale alla spira e B. Il calcolo della f.e.m. ε = E dl corrisponde al calcolo del potenziale ma su una linea chiusa non è zero nel caso non stazionario E non è conservativo. Applicando il teorema del rotore a E dl = - d/dt B da E= - B / t III eq.di Maxwell, 13 Come nel caso dei condensatori, si definisce l induttore come l elemento circuitale che presenta induttanza ovvero la costante di proporzionalità fra flusso di B e corrente i L=NΦ / i (unità henry H) (mostrare che μ 0 è in unità H/m) Per un solenoide L= μ 0 (N/l) 2 A l = μ 0 n 2 A l (A=area delle spire) In un solenoide, ad una variazione della i che vi scorre determina una f.e.m. autoindotta da NΦ =Li N dφ/dt =L di/dt ε= - L di/dt questa rappresenta la caduta di potenziale ai capi di un induttore. Formiamo un circuito RL. Dalla eq.delle maglie si ha V=iR+L di/dt (equazione differenziale in i, V f.e.m. generatore).es. Dal confronto con l equazione del moto di un corpo in caduta in fluido che presenta viscosità, determinare la soluzione i=i(t) per il circuito. + R 14 L

8 Famoso disegno di Escher che potrebbe ben rappresentare l azione su un elettrone di un circuito chiuso immerso in un campo magnetico variabile: il campo elettrico indotto (generato dal flusso variabile di B) è non conservativo e continua ad agire (spingere) l elettrone che quindi si trova sempre in discesa anche quando completa un giro. 15 Energia del campo magnetico Nel caso del condensatore avevamo dimostrato che l energia può essere pensata come contenuta nel campo elettrico. Nel caso dell induttore il lavoro svolto per far fluire la corrente attraverso di esso è diverso da zero solo nei transienti (ove di/dt 0) infatti la potenza istantanea è data da P= -ε i= - ( - L di/dt i) = d/dt (½ L i 2 ) e quindi l integrale nel tempo (lavoro fatto dall esterno sull induttore) è l energia immagazzinata pari a U=(½ L i 2 ). Infatti quando si interrompe la corrente, lo stesso lavoro viene restituito dal solenoide. Per associare questo lavoro al campo magnetico utilizziamo un solenoide (trascurando tutti i flussi dispersi) dalla relazione L= μ 0 n 2 A l e da B= μ 0 n i l energia diviene E=½ μ 0 n 2 A l i 2 =½ B 2 A l/ μ 0 e dividendo per il volume del solenoide vol=a l, si ottiene la densità di energia del campo magnetico u B =½B 2 / μ 0. Questo risultato vale in generale. In presenza di un campo elettromagnetico la densità di energia è u= u E + u B =½ ε 0 E 2 + ½ B 2 / μ 0. 16

9 Consideriamo un circuito formato da un condensatore e da un induttore. Dalla eq.delle maglie -q/c - L di/dt =0 ovvero di/dt + q /(LC)=0 C ma i=dq/dt quindi L d 2 q/dt 2 + ω 2 q = 0 (eq.del moto armonico) con ω 2 =1 /(LC) Un circuito LC rappresenta perciò un oscillatore elettrico. Se inizialmente C è carico esso si scarica attraverso L. Quando C è scarico non c è più corrente ma L impedisce che la corrente cessi istantaneamente e quindi i continua e C si ricarica invertendo il segno sulle sue armature. Il processo si ripete con la corrente che scorre nel verso opposto. Dal punto di vista energetico l energia immagazzinata nel campo elettrico serve a incrementare il campo magnetico che immagazzina a sua volta energia e viceversa. Osservando l equazione, B è legato all energia cinetica del fittizio oscillatore meccanico, il campo E all energia potenziale elastica. 17 Nel caso reale c è sempre dissipazione e si hanno oscillazioni smorzate Il circuito presenterà perciò una resistenza e l eq.delle maglie diventa -q/c -Ri -L di/dt =0 ovvero di/dt +(R/L)i+ q /(LC)=0 d 2 q/dt 2 + (R/L) dq/dt+ ω 2 q = 0 (oscillatore smorzato) Le soluzioni sono le stesse del caso meccanico dove C R L il coefficiente β legato alla viscosità del fluido è sostituito da R. In presenza di un generatore di corrente alternata il circuito RLC presenta il fenomeno della risonanza quando la frequenza del generatore è prossima a quella del circuito (f=ω/2π) C e valgono le stesse considerazione fatte per il caso di un oscillatore meccanico. ~ L 18