SMORZAMENTO PASSIVO DI VIBRAZIONI ATTRAVERSO LAMINE PIEZOELETTRICHE
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1 AIMETA`3 XVI Congresso AIMETA di Meccanica Teorica e Applicata th 16 AIMETA Congress of Theoretical and Applied Mechanics SMORZAMENTO PASSIVO DI VIBRAZIONI ATTRAVERSO LAMINE PIEZOELETTRICHE E. SILVERII, A. TATONE Dipartimento di Ingegneria delle Strutture, delle Acque e del Terreno, Università dell Aquila, L Aquila
2 Obiettivi riduzione dell ampiezza delle oscillazioni dissipando energia meccanica attraverso un circuito elettrico realizzazione di un circuito risonante RLC con elevati valori di induttanza (richiesti a basse frequenze) simulazione di un induttanza con un giratore confronto della risposta sperimentale con la risposta calcolata attuatore (V a ) accelerometro R V s L smorzatore C 2 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
3 Modello meccanico W out (w, ω) = (b w + c ω) dξ + t w() + t L w(l) + m ω() + m L ω(l), W b (w, ω) = W a (w a ) = W s (w s ) = (z w + t w + z ω + m ω ) dξ, H (z a w a + t a w a) dξ, H (z s w s + t s w s) dξ, l p L H(ξ) = { 1 ξ Ip ξ I p I p := [l p L p /2, l p + L p /2] [, L] 3 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
4 Modello meccanico W out (w, ω) = (b w + c ω) dξ + t w() + t L w(l) + m ω() + m L ω(l), W b (w, ω) = W a (w a ) = W s (w s ) = (z w + t w + z ω + m ω ) dξ, H (z a w a + t a w a) dξ, H (z s w s + t s w s) dξ, a 2 h a 1 w a := w + ω h 2 a 2, w s := w ω h 2 a 2, 4 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
5 Modello meccanico-elettrico W out (w, ω) = (b w + c ω) dξ + t w() + t L w(l) + m ω() + m L ω(l), W b (w, ω) = W a (w a ) = W s (w s ) = (z w + t w + z ω + m ω ) dξ, H (z a w a + t a w a) dξ, H (z s w s + t s w s) dξ, W c (I s ) = ( L Q s + R Q s + V s ) Is. R V s L C 5 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
6 Obiettività materiale Per ogni atto di moto test rigido sia W b (w, ω) = (z w + t w + z ω + m ω ) dξ W a (w a ) = W s (w s ) = ω(ξ) = ω H (z a w a + t a w a) dξ H (z s w s + t s w s) dξ w(ξ) = w + ω (x(ξ) x ) z w + t w + z ω + m ω = z a w a + t a w a = z s w s + t s w s = 6 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
7 Obiettività materiale z =, z a =, z s =, z = x t, = x a t a, = x s t s. W b (w, ω) = (t w x t ω + m ω ) dξ W a (w a ) = W s (w s ) = (t a H) w adξ (t s H) w sdξ 7 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
8 Equazioni di bilancio W out + W b + W a + W s + W c =, w, ω C 1 ([, L]), I s R Integrando per parti si ottiene + (t a H) w a dξ = t w dξ = (b + t + (t a H) + (t s H) ) w dξ (t a H) w a dξ t w dξ + t(l)w(l) t()w() (c + x t + m + h2 a 2 (t a H) h2 ) a 2 (t s H) ω dξ + (t + t()) w() + (m + m()) ω() + (t L t(l)) w(l) + (m L m(l)) ω(l) + ( L Q s + R Q ) s + V s Is =. 8 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
9 Equazioni di bilancio b + t + (t a H) + (t s H) = c + x t + m + h 2 a 2 (t a H) h 2 a 2 (t s H) = L Q s + R Q s + V s = v() =, θ() =, t(l) = t L m(l) = m L b := ρ ẍ c := ρ := ρ b + (ρ a + ρ s )H t L := µ ẍ(l) + µ r( θ(l) a 1 + θ(l) 2 a 2 ) m L := µ r 2 θ(l) a3 µ r a 2 ẍ(l) µ massa dell accelerometro r eccentricità dell accelerometro 9 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
10 Tensione interlaminare b + t + (t a H) + (t s H) = x a t a = x s t s = ( ta (ξ) H(ξ) ) = t a (ξ) H(ξ) + t a (ξ) δ(ξ l p + L p /2) t a (ξ) δ(ξ l p L p /2). 1 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
11 Tensione interlaminare b + t + (t a H) + (t s H) = x a t a = x s t s = ( ta (ξ) H(ξ) ) = t a (ξ) H(ξ) + t a (ξ) δ(ξ l p + L p /2) t a (ξ) δ(ξ l p L p /2) Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
12 Tensione interlaminare b + t + (t a H) + (t s H) = x a t a = x s t s = ( ta (ξ) H(ξ) ) = t a (ξ) H(ξ) + t a (ξ) δ(ξ l p + L p /2) t a (ξ) δ(ξ l p L p /2) Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
13 Caratterizzazione costitutiva delle lamine piezoelettriche t s = N s a 1 attuatore smorzatore ( Na Q a ( Ns V s ) ) = = t a = N a a 1 ( ) ( ) CE 11 ē 31 a ē 31 C V a ( ) ( ) CD 11 ν 31 s ν 31 1/C Q s s = a = h ( θ(lp + L p /2) θ(l p L p /2) ) 2 C 11 D = N/m, C 11 E = N/m, ν 31 = N/nF, ē 31 =.157 N/V, C = 48.6 nf Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
14 Equazioni lineari di bilancio T ρ v = M + T h 2 (N ah) + h 2 (N sh) = v() =, θ() =, T (L) = µ v(l), M(L) = µ r 2 θ(l), 14 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
15 Equazioni lineari di bilancio T ρ v = M + T h 2 (N ah) + h 2 (N sh) = v() =, θ() =, T (L) = µ v(l), M(L) = µ r 2 θ(l), M h 2 (N ah) + h 2 (N sh) + ρ v =, v() =, θ() =, M (L) = µ v(l), M(L) = µ r 2 θ(l) Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
16 Equazioni lineari di bilancio T ρ v = M + T h 2 (N ah) + h 2 (N sh) = v() =, θ() =, T (L) = µ v(l), M(L) = µ r 2 θ(l), M h 2 (N ah) + h 2 (N sh) + ρ v =, v() =, θ() =, M (L) = µ v(l), M(L) = µ r 2 θ(l). (N a, N s, costanti) M h 2 N ah + h 2 N sh + ρ v = 16 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
17 Equazioni del moto (θ = v ) YJ v + h2 4 ( C E 11 + C D 11) ( v (l p + L p /2) v (l p L p /2) ) H + ρ v = h 2 ν 31Q s H + h 2 ē31v a H v() =, v () =, YJ v (L) = µ v(l) YJ v (L) = µ r 2 v (L) L Q s + R Q s + Q s C ν h ( 31 v (l p + L p /2) v (l p L p /2) ) = Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
18 Equazioni modali v(ξ, t) = N Φ i (ξ)x i (t), i=1 Φ i := Ẍ i + 2ω i ζ i Ẋ i + ω 2 i X i + q i Q s = p i V a, L Q s + R Q s + Q s C + N i=1 ρ Φ 2 i (ξ) dξ + µ Φ i (L) 2 + µ r 2 Φ i(l) 2, q i := 1 Φ i p i := 1 Φ i h 2 ν 31Φ i (ξ)h (ξ) dξ = h 2 ν 31 h 2 ē31φ i (ξ)h (ξ) dξ = h 2 ē31 q i Φ i X i =, Φ i (l p + L p /2) Φ i (l p L p /2), Φ i Φ i (l p + L p /2) Φ i (l p L p /2). Φ i 18 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
19 Barra di alluminio L =.511 m h = m J = m 4 Y = 67.6 GPa ρ b =.2236 Kg/m Lamina Piezoelettrica L p = m l p = m h p = m Y11 E = N/m 2 Y33 E = N/m 2 ρ p = Kg/m 19 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
20 Giratore di Antoniou modificato A 2 + _ 1 Z 2 2 Z 3 3 R 4 Z 5 4 Z 5 6 _ + A 1 Z 6 8 R 7 E Z Z Z Z Z R 2 in = + R Z Z Z E Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
21 Giratore frequenza (Hz) C (nf) Operazionali A 1 -A 2 TL81 ±15 Volt V a (Volt) Z 2 (KΩ) Z 3 (KΩ); Z 4 (KΩ) Z 5 (µf ) Z 6 (KΩ) R E (KΩ) R (KΩ) L = 1/(ω 2 C) (Henry) L ottima (Henry) L ottima /L R ottima (KΩ) Attenuazione della risposta 69 % 7 % 32 % 71 % 73 % 21 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
22 m s Circuito Aperto L =.96 L ottima L =.98 L ottima L = 1. L ottima L = 1.2 L ottima L = 1.4 L ottima Hz m s Circuito Aperto R =.5 R ottima R =.75 R ottima R = 1. R ottima R = 1.25 R ottima R = 1.5 R ottima Hz 22 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
23 Confronto tra risposta calcolata e risposta misurata m s Dati Sperimentali Circuito Aperto Dati Sperimentali Circuito Chiuso Modello - Circuito Chiuso Hz m s m s Hz Hz m s m s Hz Hz 23 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
24 Conclusioni sensibile attenuazione dell ampiezza delle oscillazioni buon accordo tra risposta calcolata e risposta misurata Problemi saturazione degli operazionali del giratore risposta del modello poco accurata per frequenze alte Propositi utilizzare nuova elettronica (giratore basato su current-conveyors) adottare nuovo modello costitutivo per le lamine piezoelettriche 24 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
25 Riferimenti bibliografici [1] A. Fernandes, J. Pouget, E. Silverii, Piezoelectric multilayer plates: sensor, actuator and vibration aspects, in Mechanics of Electromagnetic Solids, Eds. J. Yang & G.A.M. Maugin, Kluwer Academic Publisher, Norwell, 22. [2] E. Silverii, Smorzamento attivo e passivo di vibrazioni strutturali con lamine piezoelettriche, Tesi di Dottorato in Ingegneria delle Strutture, Roma-L Aquila, 22. [3] V. Gattulli, E. Silverii, A. Tatone, Feedback Bending Control Experienced by Piezoelectric Actuators, 3rd World Conference on Structural Control, 22. [4] Seung Jo Kim, Chang Heon Han, Chul Yong Yun, Improvement of aeroelastic stability of hingeless helicopter rotor blade by passive piezoelectric damping, SPIE vol. 3672, [5] A. Tatone, E. Silverii and G. Rotoli, Oscillazioni di una lamina metallica accoppiata ad una lamina piezoelettrica, Congresso AIMETA 99, Como, 4-6 Ottobre [6] A. Tatone, A one-dimensional model for multilayered planar beams, Proceedings SPIE s 1996 Symposium on Smart Structures and Materials, San Diego (CA), [7] Shu-yau Wu, Piezoelectric shunts with a parallel R-L circuit for structural damping and vibration control, Proceedings of the International Society for Optical Engineering, 25 - Silverii Tatone: Smorzamento passivo di vibrazioni attraverso lamine piezoelettriche - Aimeta 3.
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