Lezione 8 Centro di massa e baricentro Momento di una forza Momento di inerzia Momento angolare Conservazione del momento angolare Statica e leve

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1 Corsi di Laurea in Scienze motorie - Classe L-22 (D.M. 270/04) Dr. Andrea Malizia 1 Lezione 8 Centro di massa e baricentro Momento di una forza Momento di inerzia Momento angolare Conservazione del momento angolare Statica e leve

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5 BARICENTRO 5 Il baricentro o centro di gravità di un corpo rigido è quel punto del corpo al quale si può ritenere che sia applicata la forza risultante di tutte le forze peso parallele, applicate a loro volta alle parti piccolissime di materia che compongono il corpo.

6 Il braccio di una forza 6 Il braccio di una forza F rispetto a un punto O è dato dalla distanza tra il punto O e la retta che contiene F. Perché la rotazione del bullone è più agevole se la chiave inglese è più lunga? Il momento di una forza F rispetto a un punto O è uguale al prodotto dell intensità F della forza per il braccio b.

7 Il momento di una coppia di forze 7 Il momento di una coppia è dato dalla somma dei momenti delle forze rispetto al punto medio O. Esso è uguale al prodotto dell intensità F di una forza per la distanza d tra le rette di azione delle due forze.

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10 10 Se, come stiamo supponendo, il corpo è rigido allora la velocità angolare ω è la stessa per tutte le particelle di cui si compone, e l energia cinetica totale K sarà la somma delle energie cinetiche di tutte le particelle : K = ½ m 1 ω 2 r ½ m 2 r ½ m N ω 2 r 2 N K = ½ ( m 1 r m 2 r m N r 2 N ) ω 2 K = ½ ( m i r 2 i ) ω 2 Il termine ( m i r 2 i ) che indichiamo col simbolo I è denominato Momento di Inerzia del corpo rigido rispetto a quel particolare asse di rotazione I = ( m i r 2 i )

11 11 Va sottolineato che il Momento di Inerzia di un corpo rigido dipende quindi dall asse, oltre che dalla forma del corpo e dalla distribuzione delle masse. Il Momento di Inerzia I ha dimensioni: [ M L 2 ] e si misura in: kg m 2 Introducendo il Momento di Inerzia, l energia cinetica di un corpo rigido in rotazione K rot è espressa pertanto dalla: K rot = ½ I ω 2

12 Una interessante analogia: Moto traslatorio Moto rotatorio 12 Energia cinetica ½ m v 2 ½ I ω 2 velocità v ω massa m I Cosi come ω è nel moto rotatorio l equivalente della velocità v nel moto traslatorio, I è nel moto rotatorio l equivalente della massa m nel moto traslatorio. Occorre però ricordare che mentre m non dipende dalla posizione del corpo, I dipende dal particolare asse attorno a cui avviene la rotazione

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14 Per la dinamica del moto rotatorio di un corpo rigido si definiranno pertanto una serie di grandezze perfettamente analoghe a quelle del moto rettilineo di una particella : 14 Moto rettilineo di una particella Moto rotatorio di un corpo rigido Spostamento x Spostamento angolare θ Velocita v = x/ t Velocità angolare ω = θ/ t Accelerazione a = v / t Accelerazione angolare α = ω/ t Massa m Momento di inerzia I Forza F = ma Momento della forza τ = I α Lavoro F x Lavoro τ dθ Energia cinetica ½ m v 2 Energia cinetica ½ I ω 2 Quantità di moto mv Momento angolare I ω

15 Momento angolare di una particella 15 Nella dinamica del moto rotatorio, il concetto di momento angolare (o momento della quantità di moto) ha un ruolo simile a quello che ha la quantità di moto nella dinamica del moto traslatorio. Vedremo che la definizione e l applicazione di questo concetto ci permetterà di ricavare un altra importante Legge di conservazione. Consideriamo una particella di massa m e quantità di moto p situata ad una distanza r dall origine O di un sistema di assi x-y-z. Il momento angolare della particella rispetto al punto O è definito dalla: L = r x p Cioè: il prodotto vettoriale di r per p

16 Momento angolare di una particella 16 In accordo con la definizione di prodotto vettoriale, il modulo di L è dato da: L = r p sin θ La direzione è perpendicolare al piano individuato dai due vettori r e p Il verso è stabilito dalla consueta regola della mano destra. Dalla definizione, che è del tutto analoga al momento di una forza, si vede che il momento angolare L è il momento della quantità di moto.

17 Momento angolare di un SISTEMA di particella 17 Il caso trattato riguarda una particella. Nel caso di un sistema di più particelle, dovremo tenere in conto la somma vettoriale di tutti i momenti angolari di ogni particella rispetto allo stesso punto di riferimento O. A variare del tempo, a secondo delle forze (o meglio dei loro momenti) agenti sul sistema, potrà essere osservata una variazione dl/dt. In linea di principio, questa variazione potrebbe essere imputabile a due cause: a) Vi sono momenti di forze interne al sistema di particelle b) Vi sono momenti di forze esterne al sistema di particella Tuttavia, in base alla III legge di Newton, le forze fra coppie di particelle, non solo sono eguali e contrarie, ma sono dirette lungo la linea che unisce le particelle e pertanto il momento risultante è nullo.

18 Momento angolare di un SISTEMA di particella 18 Quando il momento risultate delle forze applicate ad un sistema è nullo, il momento angolare è costante. Cioè: il momento angolare di un sistema isolato è costante QUINDI: in un sistema isolato I ω = costante

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20 Momento angolare di un SISTEMA di particella Se durante il moto rotatorio cambia la distribuzione delle masse (e quindi cambia I) cambierà di conseguenza ω, un fenomeno largamente usato da atleti e ballerini!!! 20

21 LA STATICA Lo scopo della STATICA è il calcolo delle forze agenti su strutture o entro strutture che siano in equilibrio. Lo studio di queste forze permette di stabilire se le strutture possano sostenere le forze senza subire significative deformazioni o fratture. Gli ingegneri e gli architetti devono essere in grado di calcolare le forze agenti sui componenti strutturali di un edificio, di un ponte. Nel corpo umano la conoscenza delle forze agenti nei muscoli e nelle giunture è di grande importanza per la medicina e la fisioterapia 21

22 SISTEMI RIGIDI ED EQUILIBRIO 22 Un corpo è in equilibrio quando è fermo e continua a restare fermo. Il punto materiale è un oggetto che è considerato come un punto, perché è piccolo rispetto all ambiente in cui si trova. Il corpo rigido è un oggetto esteso che non subisce alcuna deformazione qualunque siano le forze che gli vengono applicate.

23 Gli oggetti con cui abbiamo comunemente a che fare hanno almeno una forza agente su di essi (la gravità) e, se sono in quiete, devono esistere altre forze agenti su di essi in modo tale che la forza risultante sia nulla. Un oggetto in quiete su un tavolo, per esempio, subisce l azione di due forze, la forza di gravità che lo tira verso il basso e la forza Normale che il tavolo esercita su di lui verso l alto. Poiché la forza risultante è nulla, la forza esercitata dal tavolo verso l alto deve essere in modulo uguale alla forza di gravità, diretta verso il basso. 23 Il corpo è in equilibrio sotto l azione delle due forze.

24 Le forze vincolari 24 Un vincolo è un oggetto che impedisce a un corpo di compiere alcuni movimenti. Il vincolo adatta la propria reazione alla forza attiva che agisce su di esso. Tutti i vincoli si rompono se sono sottoposti a forze eccessive.

25 25 Che forza deve applicare l uomo per mantenere fermo il vaso?

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28 CORPO RIGIDO E EQUILIBRIO Per l equilibrio di un CORPO RIGIDO il fatto che la risultante delle forze su esso agenti sia nulla è una condizione necessaria ma non sufficiente. Consideriamo, ad esempio, una bacchetta rigida cui applichiamo due forze di uguale intensità ma verso opposto, così che la loro risultante sia nulla. A seconda di come sono applicate le due forze la bacchetta sarà in equilibrio (Caso A) oppure ruoterà (caso B): 28 Caso A Caso B Quindi la condizione che la risultante sia nulla, soddisfatta in entrambi i casi, non è sufficiente a garantire l equilibrio del corpo.

29 SECONDA CONDIZIONE DI EQUILIBRIO Affinché un oggetto sia in equilibrio, non è sufficiente che la somma delle forze sia uguale a zero. Ad esempio sul righello in figura, nonostante le due forze F si sommino dando una forza risultante nulla, esse producono un momento torcente risultante diverso da zero che farà ruotare l oggetto 29

30 L equilibrio di un corpo rigido 30 Un corpo rigido fermo rimane in equilibrio quando: la somma vettoriale delle forze applicate su di esso è uguale a zero; la somma vettoriale dei momenti delle forze, calcolati punto qualsiasi, è uguale a zero. rispetto a un

31 31 EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO Un CORPO RIGIDO è in EQUILIBRIO se: 1) la forza risultante di tutte le forze ad esso applicate è nulla: FRisultante F i 0 2) il momento risultante di tutti i momenti di tutte le forze applicate al corpo, determinati rispetto ad uno stesso punto, è nullo: M Risultante M i 0 Se sono soddisfatte queste condizioni il corpo non trasla e non ruota, quindi è in equilibrio. i i

32 32 EQUILIBRIO E STABILITÀ Un corpo è in equilibrio stabile se, spostandolo di poco dalla sua posizione di equilibrio, tende naturalmente a ritornarvi; Un corpo è in equilibrio instabile quando, scostandolo di poco dalla sua posizione di equilibrio, tende ad allontanarvisi ancora di più; Un corpo è in equilibrio indifferente quando, spostato di poco dalla sua posizione di equilibrio, rimane stabilmente nella nuova posizione.

33 33 EQUILIBRIO E STABILITÀ

34 EQUILIBRIO E STABILITÀ Esempio 1: Per un corpo con baricentro G vincolato in un punto A si ha: 34 se il baricentro G è sotto il punto A se il baricentro G è sopra il punto A se il baricentro G coincide con il punto A Esempio 2: Un corpo appoggiato su un piano è in equilibrio se la retta verticale passante per il suo baricentro interseca la base di appoggio del corpo. Se invece la verticale cade fuori della base il corpo si ribalta.

35 EQUILIBRIO E STABILITÀ 35 Gli uomini sono molto meno stabili dei mammiferi quadrupedi sia perché hanno una base maggiore di appoggio avendo quattro zampe, sia perché il baricentro è più basso.

36 LE MACCHINE SEMPLICI Una Macchina Semplice è uno strumento che consente di equilibrare una forza, detta Forza Resistente F R, con un altra forza, detta Forza Motrice F M (detta anche Potenza). 36 Si definisce GUADAGNO di una macchina semplice il rapporto tra la forza resistente e la forza motrice: G 1 G F F R M MACCHINA VANTAGGIOSA G G 1 1 MACCHINA SVANTAGGIOSA MACCHINA INDIFFERENTE

37 LE MACCHINE SEMPLICI Esistono sei tipi di macchine semplici tradizionalmente riconosciute: 37 1) la leva; 2) l'asse della ruota; 3) la puleggia; 4) il piano inclinato; 5) la vite; 6) il cuneo.

38 LE LEVE 38 Una LEVA è una macchina semplice che è costituita da un'asta rigida che ruota attorno ad un punto fisso, detto fulcro. Il principio della leva fu scoperto da Archimede, il matematico greco, che disse Datemi una leva e un buon punto d'appoggio e vi solleverò il mondo!

39 39 Affinché una leva sia in equilibrio è necessario che i momenti delle forze motrice e resistente siano uguali: F R B Da ciò si ricava che: R B B B F M M M M B B B B R R R M G Leva Leva F F R M B B M Leva Svantaggiosa R Vantaggiosa Indifferente

40 LEVA DI I GENERE 40 In una Leva di I genere il fulcro si trova tra la Forza Motrice F M e la Forza Resistente F R. Le leve di I genere possono essere Vantaggiose, Svantaggiose e Indifferenti, a seconda della lunghezza dei bracci

41 LEVA DI II GENERE 41 In una Leva di II genere la Forza Resistente F R si trova tra la Forza Motrice F M e il fulcro. Le leve di II genere sono SEMPRE VANTAGGIOSE, perché il braccio della forza motrice è sempre più lungo del braccio della forza resistente.

42 LEVA DI III GENERE 42 In una Leva di III genere la Forza Motrice F M si trova tra la Forza Resistente F R e il fulcro. Le leve di III genere sono SEMPRE SVANTAGGIOSE, perché il braccio della forza resistente è sempre più lungo del braccio della forza motrice.

43 RIASSUMENDO 43

44 44 ESEMPI DI LEVE Leva Fulcro Forza resistente Forza applicata Tipo Forbici Cerniera Oggetto da tagliare Impugnatura I Tenaglia Cerniera Chiodo Impugnatura I Carrucola fissa Asse centrale Oggetto da sollevare Forza fisica I Vanga Mano o coscia Lama con zolla Altra mano I Remo di barca Acqua Scalmo Mani II Pagaia doppia(remo da La sommatoria delle Acqua Il sedere sulla chiglia kayak) mani Mantice Ugello Sacca d'aria Impugnatura II Carriola Asse della ruota Peso da trasportare Manici II Schiaccianoci Perno Noce Mano II Braccio umano Gomito Oggetto sorretto dalla mano Bicipite III Prendi ghiaccio Perno Cubetto di ghiaccio Mano III Pinzetta Perno Oggetto da prendere (ad esempio: pelo, francobollo) Dita III Pinza per i carboni ardenti Perno Oggetto da prendere (carbone) Dita III

45 45 RIFERIMENTI 0) Elementi di Biomedica. Edises, E. Scannicchio E. Giroletti 1) Massimiliano Morena. Accuratezza, precisione, tipi di errori e cifre significative dei dati analitici». IIS Gobetti - Marchesini Casale sezione Tecnica Chimica e Materiali Analisi chimica, elaborazione dati e Laboratorio. 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) enricocastello.info//le%20leve.ppt 9)