CAPITOLO 1 INTRODUZIONE

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1 CAPITOLO INTRODUZIONE.. Introduzione Il preente coro intende fornire informazioni di bae ui principali tipi di macchine a fluido motrici e operatrici e ugli impianti per la produzione di energia elettrica, ed i componenti che li cotituicono. Lo copo è quello di dotare lo tudente degli trumenti neceari alla celta della tipologia di macchine e all analii del loro funzionamento e del funzionamento degli impianti in cui ee i inericono. Il coro conidera come acquiite dallo tudente nozioni riguardanti le proprietà termodinamiche dei fluidi, concetti che già hanno vito nel coro di Fiica Tecnica, oltre che quanto trattato nel coro di Fluidodinamica. Il filo logico eguito nell affrontare lo tudio delle macchine è quello di partire dall eterno, coniderando dapprima la macchina come una catola nera, enza pori il problema u come effettivamente la traformazione venga realizzata. Il pao ucceivo conite nell andare a vedere come tale traformazione viene realizzata all interno della macchina. In entrambi gli approcci, coì come anche nello tudio ucceivo dei cicli di potenza, l analii verrà dapprima condotta coniderando una ituazione ideale, per poi introdurre nei vari procei i diveri tipi di perdite che rendono invece i procei reali... Claificazione delle Macchine e degli Impianti Per Macchina i intende un itema che converte energia primaria (ad e. energia idraulica, da combutibile foile) in una forma più comodamente utilizzabile (energia meccanica). In una macchina a fluido in particolare tale converione viene realizzata utilizzando un fluido, ad eempio aria, acqua o vapore. Tale fluido ubice una traformazione all interno della macchina, con un coneguente traferimento di energia tra gli organi mobili della macchina (rotore) ed il fluido teo. Il fluido a contatto con gli organi di una macchina cambia con queti delle forze. Si ottolinea come tali forze compiono lavoro olo e gli organi ono in movimento. Una prima claificazione viene fatta a econda del eno del traferimento di energia, cioè a econda che il lavoro venga compiuto dalla macchina ul fluido (macchina operatrice) con un coneguente aorbimento di potenza, o dal fluido ulla macchina (macchina motrice), con una erogazione di potenza all albero della macchina. Eempi di macchine operatrici ono i compreori (figure.,.0), i ventilatori (figura.9) e le pompe (figura. e.3). Eempi di macchine motrici ono le turbine idrauliche (figure.5.7), quelle a ga o a vapore (figure..3), e i motori a combutione interna, Dieel e a Ciclo Otto (figura.4). Una econda claificazione i baa ulla natura del fluido evolvente. Si chiamano macchine idrauliche quelle che lavorano con fluidi incomprimibili (figure.5.8); prendono invece il nome di macchine termiche quelle che uano fluidi comprimibili (figure.0.3). Per un fluido incomprimibile la ua toria meccanica è eparata da quella termica, che è peraltro ininfluente. Per un fluido comprimibile invece le due coe ono intimamente legate. Se eercito una preione u un fluido comprimibile, cambia la ua denità e i calda; con un fluido incomprimibile ciò non accade..

2 Si ha quindi energia termica che i converte in energia meccanica, e ciò i verifica olo in macchine a fluido comprimibile. Si ha poi una claificazione che riguarda gli organi che cambiano energia, cioè quelli che interagicono con il fluido: i ditingue tra macchina rotativa e alternativa a econda che l organo mobile egua un moto rotatorio (ad e. turbine, compreori, pompe) o alternato (motori a combutione interna). Eempi di pompe rotative ono quella ad ingranaggi riportata in figura., il compreore a lobi tipo Root e quello ad alette di figura.. Si ditingue poi tra macchine dinamiche e volumetriche a econda dell andamento del fluo. Nelle macchine dinamiche, il fluo attravero la macchina è continuo. Nelle macchine volumetriche il fluo è invece periodico: la macchina preleva ciclicamente una certa quantità di fluido, le fa compiere la traformazione, e quindi la carica. Eempi di macchine volumetriche ono i compreori rotativi tipo Root e ad alette (figura.). Le macchine alternative poono eere olo volumetriche, mentre quelle rotative poono eere ia volumetriche ia dinamiche. Un ultima claificazione riguarda unicamente le macchine dinamiche: a econda della direzione del fluo all interno della macchina i ditingue tra macchine aiali, in cui il fluido procede prevalentemente in direzione parallela all ae di rotazione della macchina, e macchine radiali, dove il fluido procede invece prevalentemente in direzione perpendicolare all ae di rotazione della macchina. Eempi di macchine aiali ono il ventilatore aiale di figura.9, il compreore aiale di figura.0 e le turbine a vapore riportate in figura..3. La pompa centrifuga di figura.3 è invece un eempio di macchina radiale. La Tabella. riaume tutte le claificazioni vite, mentre le Tabelle. e.3 riportano i principali tipi ripettivamente di macchine operatrici e di quelle motrici. Di quete ultime, nella realtà olo quelle ottolineate trovano applicazione. Nel coro verranno decritte tutte le turbomacchine, ia motrici ia operatrici, in quanto di comune utilizzo negli impianti di produzione di energia elettrica e in variati ettori indutriali. Scambio di energia motrici operatrici Tipo di fluido idrauliche termiche Moto degli organi che cambiano lavoro alternative rotative Regime di fluo volumetriche dinamiche Direzione del fluo aiali radiali Tabella. Claificazione delle Macchine a Fluido Fluido motore Liquido Ga Movimento organo motore Tipi di funzionamento Macchine volumetriche Macchine dinamiche (turbomacchine) Alternativo Pompe alternative - Rotativo Pompe a ingranaggi, a palette, a eccentrici ecc. Alternativo Compreori a tantuffo e a membrana - Rotativo Compreori Root, a palette, a eccentrico Pompe (aiali, mite, radiali) Compreori (aiali, miti, radiali) Tabella. Claificazione delle Macchine Operatrici.

3 Fluido motore Liquido Vapore Ga Movimento organo motore Alternativo Rotativo Alternativo Tipi di funzionamento Macchine volumetriche Macchine idrauliche a revolver, tellari ecc. Macchine idrauliche a ingranaggi, a palette, a eccentrici ecc. Macchine alternative a vapore Rotativo - Alternativo Rotativo Motori alternativi a combutione interna, a combutione eterna, ad accenione comandata, Dieel Motori rotativi a combutione interna ecc. Macchine dinamiche (turbomacchine) - Turbine idrauliche (Pelton, Franci, Kaplan e eliche) - Turbine a vapore (aiali, radiali) - Turbine a ga (aiali, radiali) Tabella.3 Claificazione delle Macchine Motrici Figura. Sezione dei rotori di un motore-pompa idraulico rotativo, con vita eploa..3

4 Figura. Sezione traverale di a) un compreore tipo Root; b) un compreore rotativo a palette. Figura.3 Sezione longitudinale di una pompa centrifuga (. caa, 4. girante, 4, albero). Figura.4 Sezioni traverale e longitudinale di un motore ad accenione comandata a carburazione, a quattro cilindri, quattro tempi per autotrazione raffreddato ad acqua (Opel, cilindrata 680 cm 3, potenza 63.3 kw a 4300 giri/min)..4

5 Figura.5 Ruota Pelton dell impianto di S. Maenza e ezione traverale dell impianto idroelettrico (Franco Toi). (caduta 590 m; portata 4.8 m 3 /; potenza 75 MW, velocità di rotazione 48 giri/min) Figura.6 Sezione traverale di una turbina Franci dell impianto di Ilha Solteira (Braile) (Conorzio Voith, Neyrpic, Sfac, Echerwi, Riva, Analdo, Toi). (caduta 48 m; portata 450 m 3 /; potenza 94 MW, velocità di rotazione 85.7 giri/min).5

6 Figura.7 Sezione traverale di una turbina Kaplan dell impianto di Jupià..6

7 Figura.8 Sezione longitudinale di una pompa di accumulazione dell impianto del Lago Delio (Agen-Franco Toi). (Prevalenza 698 m; portata.83 m 3 /; potenza 90.5 MW, velocità di rotazione 500 giri/min).7

8 Figura.9 Ventilatore aiale. Figura.0 Compreore aiale..8

9 Figura. Turbina a vapore. Figura. Turbina a vapore.9

10 Figura.3 Rotore di una turbina a vapore Figura.4 Turboga bialbero aeroderivativo GE LM 600. Per quanto riguarda gli impianti, i ditingue tra impianti a combutione interna e impianti a combutione eterna, a econda che il proceo di combutione ia una delle traformazioni ubite dal fluido di lavoro. Eempi di impianti a combutione interna ono il motore a combutione interna a iniezione comandata e Dieel (figura.4) e l impianto Turboga (figura.4), mentre gli impianti.0

11 a vapore ono impianti a combutione eterna. Ovviamente, gli impianti a combutione interna ono impianti che realizzano cicli termodinamici aperti, mentre quelli a combutione eterna realizzano cicli chiui..

12 CAPITOLO EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE.. Introduzione In queto capitolo vengono brevemente richiamati i principi di conervazione della portata (Equazione di Continuità), della quantità di moto e dell energia da utilizzare nello tudio delle turbomacchine. Quete tre relazioni cotituicono un itema di cinque equazioni calari la cui rioluzione permette di calcolare le tre componenti della velocità e le proprietà termodinamiche del fluido, oltre alle forze che il fluido, coniderato un continuo, cambia con eventuali uperfici in movimento. In tutta la trattazione che egue, i aume l aenza di reazioni chimiche o nucleari, di campi magnetici, elettrici o elettromagnetici. n C.V. n da V Figura... Conervazione della portata Il principio di conervazione della portata i baa ul principio fiico che la maa non può eere né creata né ditrutta. Ciò i traduce, per un itema aperto come quello rappreentato in figura., nel fatto che il fluo di maa attravero le uperfici del itema, più l eventuale accumulo di portata all interno del volume teo, deve eere uguale a zero: d ρ V nda + ρ dv = 0 (.) dt A v in cui ρ è la denità del fluido, V il vettore velocità del fluido, n il verore normale alla ezione A, poitivo e orientato vero l eterno (figura.), e v il volume. Al primo termine dell equazione (.) compare il prodotto calare tra l elemento infiniteimo di uperficie di normale n e il vettore velocità. Quello che conta infatti è la proiezione del vettore V lungo la normale alla uperficie, oppure la proiezione dell elemento di uperficie lungo la direzione della velocità: ciò che conta è quindi la proiezione di un vettore ull altro..

13 Si fa inoltre notare come i ditingua tra uperfici permeabili al traporto di maa e uperfici impermeabili. Attravero le uperfici impermeabili non c è fluo di maa, per cui l integrale di uperficie che compare nell equazione (.) è nullo. Un eempio di uperficie impermeabile, e quindi non attraverata dal fluo di maa, è la parete di un condotto. Nel cao in cui il moto poa eere coniderato permanente (come in gran parte delle applicazioni che tratteremo riguardo le macchine a fluido), la relazione precedente diventa: A ρ V nda = 0 (.) Con le ipotei fatte, queta equazione è indipendente da ciò che accade dentro il volume. Non è cioè più neceario conocere la ditribuzione di ρ e V all interno del volume, ma bata che iano noti i valori che tali grandezze aumono in ogni punto delle uperfici permeabili al fluo di maa, e cioè quelle di ingreo ed ucita. E poibile emplificare ulteriormente l equazione di conervazione della portata introducendo opportune ipotei riguardanti la ditribuzione paziale delle divere grandezze (V, p, ρ...) u tali uperfici. Eitono diveri gradi di approimazione; l approccio più emplice conite nel coniderare il moto monodimenionale (D). Ciò ignifica che tutte le grandezze (V, p, ρ...) ono funzione di una ola coordinata. Tale coordinata è una coordinata paziale, ma non neceariamente una coordinata carteiana (x, y, o z). Può ad eempio eere l acia curvilinea di una traiettoria. Se i indica con V m la proiezione del vettore velocità nella direzione n, normale alla ezione di paaggio, e i conidera che il fluo ia monodimenionale (D), la conervazione della portata i traduce nella relazione eguente: m& = ρv n A = ρvma = cot (.3) dove V m i dice eere la componente della velocità reponabile del traporto di maa. L epreione trovata è etremamente emplice, e fornice il riultato corretto indipendentemente da ciò che avviene dentro il volume: bata apere coa uccede ulle ezioni di ingreo e ucita e i riece ad eprimere correttamente la conervazione della maa all interno del volume..3. Conervazione della quantità di moto Si baa ul principio fiico per cui la variazione di quantità di moto di un fluido eguaglia la ommatoria delle forze agenti u di eo. E l equivalente fluidodinamica della Legge di Newton: d F = ma = ( mv ) (.4) dt Conideriamo ancora il itema aperto rappreentato in figura.. Applichiamo la conervazione della quantità di moto al volume di controllo tratteggiato in figura; anche in queto cao il fluo di quantità di moto attravero la uperficie, più l eventuale accumulo all interno del volume teo, deve eguagliare la ommatoria delle forze agenti ul volume: d ( V n) da + ρv dv V = ρ F (.5) dt A v Le forze che agicono ul volume poono eere forze di volume e forze di uperficie. Le forze di uperficie ono tutte quelle forze cambiate per effetto del contatto del itema con qualcoa che ta dall altra parte (altro fluido, un corpo olido...). Le forze di volume ono tutte quelle forze che agicono all interno del volume teo indipendentemente dal contatto uperficiale. Sono le forze di campo, cioè quelle che dipendono dal fatto che il corpo i trova in una certa regione dello pazio affetta da un certo campo di forze (anche togliendo l aria, è comunque oggetto alla forza di gravità). Eite una forza di campo dovuta al campo di forza gravitazionale, ma eitono anche forze di campo (o di volume) che dipendono dalla non inerzialità del itema di riferimento (forze di inerzia)..

14 Le forze di volume ono quindi il campo gravitazionale G, mentre le forze di uperficie ono forze legate alla preione e all azione delle forze vicoe: = G pnda + F τ da (.6) A A La Legge di conervazione della quantità di moto i utilizza tutte le volte che i vuole calcolare la forza che i cambiano un fluido e una uperficie in movimento. Anche in queto cao, e il moto è permanente, la relazione (.5) i emplifica: ρ V ( V n) da = F (.7) A P e Q e Figura..4. Conervazione dell energia Il principio di conervazione dell energia i baa ul eguente principio fiico: l energia non può eere né creata né ditrutta, ma può olo cambiare forma. Non è altro che il Principio della Termodinamica. Si utilizza quando i vogliono calcolare le proprietà termodinamiche di un fluido. Si conideri il itema aperto al fluo di maa chematizzato in figura., che interagice con uperfici fie e cambia lavoro L e, e quindi potenza P e e calore Q e, e quindi potenza termica Q & e, con l eterno. La variazione di energia del itema fluido, omma di energia interna u, energia cinetica ed energia potenziale, deve uguagliare la ommatoria delle energie cambiate con l eterno: d V ( V n) da u gz + ρ + + dv E A V u gz ρ + + dt = (.8) A v Quete energie cambiate ono, oltre alla potenza termica Q & e, aunta poitiva e entrante nel itema, l energia cambiata attravero le eventuali uperfici mobili preenti all interno del volume. Nel cao in figura le uperfici fiiche del volume fluido ono fie, per cui il fluido non cambia lavoro con ee; può olo cambiare lavoro attravero le uperfici di ingreo e ucita, ulle quali agice la preione p, e con eventuali organi in movimento, come l elica (da cui aorbe il lavoro L e e quindi la potenza P e ): A = Pe + Qe pv E & nda (.9) A Il lavoro cambiato con l eterno è coniderato per convenzione poitivo e entrante nel itema. Nel cao in cui il moto poa eere coniderato permanente, le relazioni precedenti fornicono:.3

15 ( V n) da = Pe + Q& e V p ρ u + + gz + (.0) A ρ Nell epreione appena critta tutti i termini ono delle energie, e quindi vanno eprei in [W]. Si nota inoltre come, anche in queto cao, l ipotei di moto permanente ha permeo di ottenere una relazione che coinvolge olo ed ecluivamente grandezze calcolate ulla uperficie di controllo, riultando quindi indipendente da ciò che avviene all interno del volume. Parete fia impermeabile Parete permeabile ( V, p, T, r, h, z ) P e Q e Parete mobile impermeabile Parete permeabile ( V, p, T, r, h, z ) Figura.3 Si aumano ora le eguenti ipotei: Moto monodimenionale nelle ezioni di ingreo e ucita Moto permanente L applicazione del principio di conervazione dell energia formulato dalla (.0) al volume tratteggiato in figura.3, conduce alla eguente relazione: V ( ) ( ) V p p L + = e Qe u u g z z (.) ρ ρ eendo A = A e, dalla conervazione della portata eprea dalla relazione (.3), ρ V = ρv. Per un itema chiuo come una macchina volumetrica, la relazione precedente i riduce a: Le + Qe = u u (.) Per un itema aperto al fluo di maa, come è il cao delle macchine dinamiche o turbomacchine, i introduce l entalpia h, coì definita: h = u + pv (.3) Si introduce l entalpia h perché la maa per entrare e ucire deve cambiare lavoro, lavoro che va otto il nome di lavoro di pulione, che non viene coniderato nel lavoro cambiato con l eterno, ma inglobato nell entalpia. Sotituendo la definizione di entalpia nella (.), i ricava: L e V V + Qe = ( h h) + + g( z z) (.4) Nel ricavare la relazione (.4) non è tata fatta alcuna ipotei ul tipo di traformazione. Ne riulta che ea è valida ia per traformazioni reveribili ia per traformazioni reali. Sarà direttamente.4

16 l entalpia all ucita a tenere implicitamente conto della preenza o meno di irreveribilità, che però non compaiono eplicitamente. E poibile ricavare una formulazione alternativa dell equazione dell energia, in cui il lavoro ia olo funzione di grandezze termodinamiche. Dalla Termodinamica è noto che: Td = du + pdv = dh vdp (.5) In un itema aperto reale, come quello coniderato, il calore viene generato attravero due meccanimi: può eere cambiato con l eterno in maniera reveribile, ma può anche eere generato internamente a caua degli attriti: δ Q = Td = dq e + dl w (.6) eendo L w il lavoro pero per attrito. Si ricorda che compare il imbolo δ in quanto il calore non è una variabile di tato, e quindi non dipende olo dallo tato iniziale e da quello finale di una traformazione, ma anche dal percoro eguito. Sotituendo la (.6) nella (.5) e applicandola al cao in eame i ricava: h h = vdp + Q e + L w (.7) che, otituita infine nella (.4), fornice: L e V vdp + V L = + g (.8) w ( z z ) Si nota come l epreione del lavoro appena trovata ia ora funzione del tipo di traformazione ubita dal fluido nell attraveramento della macchina. Per poter calcolare l integrale che compare nella (.8) è neceario infatti conocere la traformazione. Le due relazioni appena ricavate ono del tutto generali, nel eno che non ono tate fatte ipotei ul tipo di fluido né ul tipo di traformazione che eo ubice. Quando i applicano alle macchine (turbine, compreori, pompe), è poibile in generale tracurare la variazione di quota a cavallo della macchina (z z ). In tal cao i ricava: V V Le + Qe = ( h h ) + (.9) dp Le Lw = (.0) ρ Si ricorda che le due forme dell equazione di conervazione dell energia appena trovate (.9) e (.0) valgono qualunque traformazione avvenga tra ingreo ed ucita, purché vengano ripettate le eguenti ipotei: Moto mono-dimenionale nelle ezioni di ingreo e ucita Aenza di reazioni chimiche o nucleari, di campi magnetici, elettrici o elettromagnetici Moto permanente Variazione di quota tracurabile fra ingreo e ucita Si ricorda inoltre che, e i vuole utilizzare la relazione (.0), è neceario conocere il tipo di traformazione che il fluido ubice nell attraveramento della macchina, a meno che il fluido ia incomprimibile (ρ=cot). In tal cao, la relazione (.8) diventa: L e L w p = p ρ V + V + g ( z z ) che va otto il nome di Equazione di Bernoulli. (.).5

17 .5. Definizioni varie e tato totale Prima di applicare i principi di conervazione appena viti, introduciamo alcune definizioni di utilizzo generale. Innanzitutto, ricordiamo che, per un ga perfetto, entalpia ed energia interna ono funzione unicamente della temperatura: h = h ( T ) u = u ( T ) Ne riulta quindi che anche i calori pecifici a preione e volume cotante C p e C v ono funzione olo della temperatura: C = C T C C T ( ) ( ) p p v = Vale inoltre la relazione di Mayer: R = C p C v (.) eendo R la cotante dei ga. Un ga i dice poi caloricamente perfetto e C p e C v ono cotanti. Definiamo velocità del uono a: p a = (.3) ρ è la velocità di propagazione delle piccole perturbazioni, per cui vale l ipotei di ientropicità. Per un liquido perfetto ρ = 0, quindi a =. Per un liquido reale a è grande, ma non infinita. E noto che, per un ga perfetto che ubice un proceo ientropico, vale: γ p ρ = cot (.4) Cp Eendo γ =, i ottiene: C v p a = γ = γrt (.5) ρ Per l aria a 340 m/. Si definice numero di Mach di un fluo M il rapporto tra la velocità del fluo V e la velocità del uono: V M = (.6) a Se M < il fluo i dice ubonico, e M > i dice uperonico. Se M < il fluo è incomprimibile. Conideriamo ora di portare un fluido dotato di una certa velocità V, temperatura T, preione p, ecc. ad uno tato finale in cui V = 0, e che il proceo ia ientropico, enza cambi di lavoro (L e = 0). Queto tato finale ipotetico prende il nome di tato totale. Applichiamo la conervazione dell energia a queta traformazione, per calcolare le divere grandezze (temperatura, preione e denità) che caratterizzano queto tato: V h t = h + (.7) dove h t prende il nome di entalpia totale. Se conideriamo un ga perfetto, la relazione (.7) diventa: V Tt = T + (.8) C p con T t temperatura totale. Tale traformazione è chematizzata in figura.4 nel piano (h,). Se poi i eprime il calore pecifico a preione cotante in funzione della cotante R del ga attravero la (.) e di γ, e ricordando la definizione del numero di Mach, i ricava: v.6

18 γ T t = T + M (.9) E poi poibile calcolare preione p t e denità ρ t totali del fluido utilizzando la relazione valida per traformazioni ientropiche di un ga perfetto: T P t T t T V C p h, r P Figura.4 p t γ ρ t = cot. (.30) Mentre l utilizzo della (.30) per il calcolo di preione e denità totali implica l ipotei di ientropicità della traformazione, l epreione della temperatura (.8) e dell entalpia totali (.9) hanno richieto olo l ipotei di adiabaticità, e ono quindi più generali. Reta comunque ferma la definizione di tato totale come di quello tato ipotetico a cui giungerebbe il fluido e venie arretato ientropicamente. Le relazioni vite valgono per fluido comprimibile che oddifi le ipotei di ga perfetto. Nel cao in cui il fluido ia incomprimibile (M 0), la temperatura coincide con quella totale, mentre la preione totale i ricava applicando la forma dell equazione dell energia per fluidi incomprimibili data dalla relazione (.): V Si ottolinea che queta relazione è valida olo ed ecluivamente per fluidi incomprimibili ottopoti ad arreti ientropici. p pt = + ρ (.3) Bibliografia: Richiami di Termofluidodinamica applicata alle macchine, E. Macchi, Ed. Clup.7

19 CAPITOLO 3 INTRODUZIONE ALLE TURBOMACCHINE 3.. Introduzione In queto capitolo analizziamo nel dettaglio il funzionamento delle turbomacchine, partendo dalla decrizione delle traformazioni che in ee hanno luogo. Si paerà poi alla decrizione di come nella pratica tali traformazioni vengono realizzate, introducendo quindi il concetto di lavoro Euleriano, di tadio, di triangoli delle velocità e di grado di reazione. Queta trattazione verrà dapprima condotta coniderando un fluido comprimibile, quale aria o vapore. Si paerà infine a trattare il cao delle macchine idrauliche. 3.. Traformazioni nelle turbomacchine a fluido comprimibile Nel paragrafo. i ono ricavate le relazioni necearie al calcolo del lavoro cambiato da un itema aperto con l eterno. In particolare, i ono ricavate le relazioni (.9) e (.0) che eprimono il principio di conervazione dell energia per un itema aperto al fluo di maa, e i è vito come la prima ia indipendente dal tipo di traformazione, mentre la econda, per eere utilizzata, neceiti della conocenza del tipo di traformazione. Nel capitolo precedente è tato poi introdotto il concetto di tato totale, ed è tata fornita, tra le altre, la definizione di entalpia totale. Introducendo tale definizione nell equazione di conervazione dell energia per i itemi aperti (equazione (.9)) i ricava: V V L + Q = h h + = h h (3.) e e ( ) ( ) t t Quindi, in generale, il lavoro è dato dalla variazione di entalpia totale, più il calore eventualmente cambiato con l eterno. Inoltre, peo è poibile tracurare la variazione di velocità tra ingreo e ucita di una macchina. E empre poibile infatti penare di dimenionare i condotti di adduzione e carico in modo tale che tale ipotei riulti verificata. In queto cao, variazione di entalpia totale e di entalpia tatica coincidono, e la relazione precedente diventa: ( ) Le + Qe = h h (3.) Si ricorda che, per convenzione, i era aunto poitivo il lavoro e fatto ul itema, e il calore poitivo e entrante nel itema. Tuttavia è più comodo operare empre con lavori poitivi, e quindi verranno cambiati i egni in maniera tale da ottenere empre L e > 0. Quindi, la relazione (3.) diventa: ( h h ) Q > 0 ( h h ) + Q 0 L per macchine operatrici (Q e > 0) (3.3) e = e e = e > L per macchine motrici (Q e < 0) (3.4) Analogamente per la relazione (.0): L = vdp + L e L w = vdp e L w per macchine operatrici (L e > 0) (3.5) per macchine motrici (L e > 0) (3.6) Applichiamo quanto vito dapprima al cao di una macchina operatrice (compreore), e quindi di una macchina motrice (turbina). 3.

20 P P N P M T = cot T P P v v Figura 3.: compreione ideale a Temperatura cotante Compreore Conideriamo il cao di una macchina operatrice operante u fluido comprimibile (ga perfetto). Ci chiediamo che tipo di traformazione ubica il fluido nell attraveramento della macchina. Prima ancora però vediamo quale è la traformazione che ci permetterebbe di compiere il minimo lavoro poibile. Tale traformazione è la traformazione ioterma (figura 3.). Conideriamo un ga perfetto e una traformazione ideale (L w = 0). Le due forme dell equazione dell energia fornicono: L = (3.7) e Q e RT p L e = vdp = dp = RT ln (3.8) p p Tali lavori ono rappreentati dalle aree ottee dalle traformazioni: l area (NM) tratteggiata nel piano (p,v) e l area tratteggiata nel piano (T,) in figura 3. Tale traformazione riulta però irrealizzabile nella pratica. Le traformazioni nelle macchine dinamiche (continue) ono infatti etremamente veloci. Non c è tempo né uperfici di cambio termico ufficienti perché il fluido, nell attraveramento della macchina, rieca a cedere (o ricevere) calore. E allora poibile coniderare empre le traformazioni nelle macchine dinamiche adiabatiche, e emplificare ulteriormente l equazione dell energia: Le = ( ht ht ) ( h h ) (3.9) con l uuale ipotei di tracurare la variazione di velocità a cavallo della macchina. Da tali coniderazioni riulta quindi che la traformazione ideale con cui confrontari non è tanto quella ioterma reveribile, quanto quella adiabatica reveribile, e cioè la traformazione ientropica. Con riferimento alla figura 3., e coniderando un ga perfetto, i ricava: ( Le ) = h h = C p ( T T ) (3.0) che, nel piano (T,), è rappreentato dall area A0 B. Ricordando che, per una traformazione adiabatica ientropica di un ga perfetto vale pv γ = cot e che vale la relazione di Mayer R = C p C v, i ricava: γ γ ( ) γ L e = RT β (3.) γ eendo β = p p il rapporto di compreione. Nel piano (p,v) il lavoro cambiato ientropicamente è rappreentato dall area M N. Una forma identica la i ottiene anche a partire dalla (3.5), imponendo L w = 0. 3.

21 a) P T L P P N P M = cot 0 P v v A B h P L P b) T L CR P P P N P M L CR 0 L L w P v v A B C h L r L P P Figura 3.: compreione adiabatica ideale a) e reale b). 3.3

22 Con riferimento alle traformazioni tracciate nei piani (p,v), (T,) ed (h,) riportate in figura 3.a, i oerva come il lavoro compiuto ul fluido ia maggiore ripetto al cao iotermo. Si ricorda inoltre che le aree tratteggiate nel piano (p,v) e in quello (T,) rappreentano il lavoro cambiato, eendo la traformazione adiabatica reveribile. Nella realtà, la traformazione arà tale da far ì che il fluido i trovi all ucita del compreore ancora allo teo livello di preione p, ma con un entropia maggiore ripetto al cao ientropico, come motrato dal punto in figura 3.b. In queto cao, il lavoro cambiato con l eterno vale: L e = h h = Area( A0C ) (3.) che, nel piano (T,), conite nell area A0C. Il percoro eguito dal fluido per paare dal punto al punto può eere qualunque. E poibile approimare la traformazione reale con una traformazione politropica reveribile, in cui i uppone che il calore (che nella realtà è legato alle irreveribilità) venga cambiato reveribilmente: n n ( ) n Le y = RT β (3.3) n oppure, partendo dalla (3.3): ( L e ) y = ( h h ) ( Q e ) y (3.4) Cerchiamo di individuare nei diveri piani l area che rappreenta la differenza tra il lavoro reale e quello ideale. Il lavoro reale nel piano (p,v) conite nell area MN. Si fa notare come il volume pecifico nel punto di fine compreione reale ia maggiore ripetto al cao ideale, a caua delle perdite. Sempre nel piano (p,v) i ha quindi: ( L e ) ( e ) r L = vdp + Lw vdp = vdp vdp + Lw (3.5) Nel piano (p,v) non i vede chiaramente tutto il lavoro cambiato; l area rappreenta la differenza tra i due integrali, mentre non è ben identificabile il lavoro pero per attrito; è meglio coniderare il piano (T,): L L = L + Q L = L L + Q (3.6) [ e y e ] ( e ) y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e r e e y e y e Tale differenza è rappreentata dall area B C nel piano (T,). Si ricorda che (Q e ) y > 0 in quanto entrante nel itema. Queto calore nella realtà è legato alle perdite, eendo la traformazione adiabatica. Eo è dato dalla relazione (.6) che, per una traformazione adiabatica diventa: ( Q ) = L = y w e Td (3.7) ed è quindi rappreentato, nel piano (T,), dall area ottea dalla traformazione -. Ne egue che il lavoro pero coincide con l area BC, inferiore alla differenza tra lavoro reale e lavoro ideale ( h h ), mentre l area rappreenta quello che viene chiamato lavoro di contro-recupero. Ne riulta quindi che, per comprimere il fluido dalle condizioni alle condizioni, il lavoro peo è maggiore ripetto alla omma tra lavoro ideale e lavoro pero. La quota parte di lavoro che è neceario fornire al fluido è il lavoro di contro-recupero, dovuto al fatto che, mentre i comprime, il fluido i ricalda di più ripetto al cao ideale. Il fenomeno del contro-recupero è allora un effetto termodinamico legato alla variazione di volume pecifico durante la compreione. Se infatti i pena di approimare la compreione con una erie di compreioni infiniteime p j, coì come chematizzato in figura 3.3, il lavoro compleivamente peo può eere coì approimato: N vdp + Lw j = L = v j pj + L w (3.8) eendo v j il volume pecifico medio ul ingolo intervallo di compreione. E evidente che, col procedere della compreione, il volume pecifico aumenta ripetto al cao ideale, a caua della generazione di calore cauata dalle perdite. Ogni incremento ulteriore di preione richiede quindi 3.4

23 un lavoro maggiore ripetto allo tep precedente. L entità del contro-recupero è quindi funzione del rapporto di compreione. Quanto più il rapporto di compreione è elevato, tanto maggiore arà il lavoro di contro-recupero. Eo tuttavia non è una perdita, nel eno che non dipende dalla bontà con cui i realizza la macchina, ma è inito nella traformazione. Per valutare le pretazioni di un compreore, i definice il rendimento del compreore come il rapporto tra lavoro ideale e lavoro reale. A econda del tipo di traformazione coniderata come traformazione ideale, i ditingue tra rendimento adiabatico e rendimento politropico: L h h η c, ad = = (3.9) L h h r y cr η c, y = = > Lr Lr n γ L L + L n γ = η (3.0) c, ad Figura 3.3: Il fenomeno del contro-recupero. Figura 3.4: rendimento adiabatico e rendimento politropico di compreione. 3.5

24 in cui l eponente della politropica n è maggiore di γ. Si fa notare come, a differenza di quanto avviene per il rendimento adiabatico, la definizione di rendimento politropico valuti in maniera corretta il lavoro di contro-recupero. Il lavoro minimo del compreore è infatti calcolato tenendo conto del fenomeno del contro-recupero. Ne riulta una definizione di rendimento indipendente dal rapporto di compreione della macchina, che quindi riulta eere uno trumento più adeguato ed affidabile per la valutazione ed il confronto delle pretazioni delle macchine. Da quanto vito riulta che il rendimento adiabatico è empre minore del rendimento politropico. E poi poibile ricavare una relazione che lega i due rendimenti: γ γ β η (3.) c, ad = γ γη y β il cui andamento è riportato in figura 3.4, dove ono tracciate le curve di η ad in funzione di β, con η y a parametro. In accordo a quanto detto in precedenza, i vede come il rendimento adiabatico diminuica al crecere del rapporto di compreione, a caua del fenomeno del contro-recupero. Per β, il rendimento adiabatico tende a quello politropico. Il rendimento politropico tiene quindi conto olo delle diipazioni che avvengono all interno della macchina, depurate degli effetti termodinamici (contro-recupero). Figura 3.5:Compreione inter-refrigerata Compreione inter-refrigerata Si è vito come il minimo lavoro di compreione ia ottenibile tramite una traformazione ioterma. Si è inoltre oervato come tale traformazione non ia praticabile nella realtà, le macchine realizzando traformazioni adiabatiche. Ci i chiede allora e, tramite opportune oluzioni impiantitiche, ia comunque poibile individuare una o più traformazioni che permettano di ridurre il lavoro di compreione. La ripota è la compreione inter - refrigerata, che conite nel uddividere la compreione in una erie di compreioni elementari, intercalate da raffreddamenti dell aria, coì come motrato in figura 3.5, limitatamente al cao di una traformazione ideale. L aria, apirata dall ambiente, viene dapprima comprea fino alle condizioni ; entra quindi in uno 3.6

25 cambiatore di calore dove viene raffreddata fino alla temperatura T. Subice quindi una econda compreione fino alle condizioni 3, e coì di eguito. Si nota inoltre che in figura 3.5 ono tracurate eventuali perdite di carico negli cambiatori, per cui i procei di cambio termico riultano eere a preione cotante. E evidente che il lavoro di compreione totale arà inferiore ripetto al cao enza interrefrigerazione, a parità di rapporto di compreione totale β; la emplice divergenza delle iobare piega infatti come convenga comprimere a temperature inferiori, e quindi a volumi pecifici minori. Per ragioni di coti e di limitazioni ulla complicazione impiantitica, nella realtà i realizza una, o al maimo due inter-refrigerazioni. Ci chiediamo ora e eita un livello di preione ottimo a cui uddividere la compreione. Per fare ciò ci limitiamo al cao di una ola inter-refrigerazione, per cui in figura 3.5 ci fermiamo al punto 3. Siano β = p /p e β = p 3 /p i rapporti di compreione dei due tadi di compreione. La definizione del livello di preione ottimo p, equivale a cegliere il valore di β che minimizza il lavoro di compreione. Il lavoro di compreione ideale è dato da: γ γ γ γ I II γ ( L ) + e = L + L = R T β T' β γ (3.) apendo che β = β β, con β = p 3 /p pari al rapporto di compreione globale, e imponendo che ia nulla la derivata del lavoro ripetto a β, i ricava: ( ) T ( γ ) γ L e ' = 0 β = β β (3.3) T Si fa notare che, e lo cambiatore di calore riporta l aria in ingreo al econdo tadio di compreione alla tea temperatura che aveva in ingreo al primo (T = T ), coì come avviene in figura 3.5, allora la relazione (3.3) i riduce a: β = β (3.4) Turbina Quanto detto per il compreore, vale ovviamente anche per la turbina. Quindi la traformazione che avviene in turbina è adiabatica, per cui vale: Le = ( ht ht ) ( h h ) (3.5) Con riferimento alle traformazioni tracciate in figura 3.6, conideriamo dapprima il cao ientropico. In maniera del tutto analoga a quanto fatto per il compreore, i ottiene che: ( Le ) = h h C p ( T T ) = (3.6) Introducendo la relazione valida per le traformazioni ientropiche i ricava, avendo chiamato il rapporto di epanione β = p /p : ( L γ ) = γ γ RT e (3.7) γ β Anche in queto cao, è poibile individuare graficamente i lavori cambiati attravero le aree ottee dalle traformazioni: l area M N nel piano (p,v) e l area A0B nel piano (T,), entrambe tratteggiate in figura 3.6. Nel cao reale, il lavoro diventa: L e = h h (3.8) 3.7

26 che corriponde all area C0 B nel piano (T,). Approimando ancora la traformazione reale con una politropica reveribile di eponente n, i ottiene: P P N L R P M v T L r L R P h 0 0 P L L r L w P P A C B D Figura 3.6: epanione adiabatica. ( ) = n Le RT y n (3.9) n n β che, nel piano (p,v), è rappreentato dall area MN. Si nota come ora il volume pecifico nel punto di fine epanione reale ia maggiore ripetto al cao ideale. Oppure: ( L e ) y = h h = C p ( T T ) + ( Q e ) y (3.30) Anche in queto cao, il calore cambiato reveribilmente con l eterno in realtà è generato internamente a caua delle diipazioni. Eo quindi vale, eendo la traformazione nella realtà adiabatica: ( Q ) = L = y w e Td (3.3) ed è rappreentato dall area BD nel piano (T,). Cerchiamo anche per la turbina di individuare nei diveri piani l area che rappreenta la differenza tra il lavoro reale e quello ideale. Nel piano (p,v) i ha: ( L e ) ( e ) L r = vdp + vdp + L w = vdp vdp + Lw (3.3) Come i è detto in precedenza, il lavoro pero non è chiaramente individuabile nel piano (p,v), mentre la differenza tra gli integrali tra parentei coincide con l area. Conideriamo allora il piano (T,), apendo che, in queto piano, il lavoro reale cambiato corriponde all area C0 B: 3.8

27 [ e e y ] ( Q e ) y ( ) ( L ) = ( L ) ( L ) + ( Q ) = ( L ) ( L ) L + (3.33) e e r e e y e y eendo Q e < 0 in quanto ucente dal itema. La differenza tra i due lavori, reale e ideale, conite nell area A00 C che, in prima approimazione, può eere ritenuta uguale all area B D. Tale area può eere interpretata come la differenza tra l area BD, che appiamo corripondere al lavoro pero, e l area. Ne egue che il lavoro pero è maggiore della differenza tra lavoro, e queta differenza è l area che rappreenta quello che viene chiamato lavoro di recupero. Queto lavoro di recupero, come quello di contro-recupero nel cao della compreione, è dovuto al fatto che, mentre epande, il volume pecifico del fluido aumenta in maniera maggiore ripetto al cao ideale, e quindi fornice più lavoro. Se i pena infatti, in analogia a quanto fatto per il compreore, di uddividere l epanione in tanti tep ucceivi, ogni ulteriore epanione avviene con un fluido caratterizzato da un volume pecifico maggiore ripetto al cao ideale, che quindi compirà un lavoro maggiore. Il recupero è quindi un effetto termodinamico che aumenta al crecere del rapporto di epanione, legato alla preenza di diipazioni. Si definice il rendimento della turbina come il rapporto tra il lavoro reale e il lavoro ideale. A econda che il lavoro di recupero venga o meno coniderato, i ditingue tra rendimento adiabatico e rendimento politropico: ideale e lavoro reale ( h h ) L h h r η t, ad = = (3.34) L h h L n γ = η (3.35) r η t, y = < L + L n γ R t, ad in cui l eponente della politropica n è ora inferiore a γ. Ciò fa ì che il rendimento adiabatico ia empre maggiore del rendimento politropico. In analogia al cao del compreore è poibile ricavare una relazione che lega i due rendimenti: γ η y γ β η, = (3.36) t ad β γ γ Figura 3.7: rendimento adiabatico e rendimento politropico di epanione. 3.9

28 il cui andamento è riportato in figura 3.7, dove ono tracciate le curve di η ad in funzione di β, con η y a parametro. Si oerva come il rendimento adiabatico ora aumenti al crecere del rapporto di epanione, grazie all apporto poitivo del fenomeno del recupero. Ancora per β, il rendimento adiabatico tende a quello politropico. Anche in queto cao quindi il rendimento politropico tiene conto olo delle diipazioni che avvengono all interno della macchina, depurate degli effetti termodinamici (recupero), riultando indipendente dal rapporto di epanione Effluo nei condotti Lavoro Euleriano L approccio fin qui utilizzato è conitito nell andare a valutare il lavoro cambiato dalla macchina, operatrice o motrice, operante con fluido comprimibile, enza preoccupari del modo in cui queto cambio di lavoro viene realizzato all interno della macchina tea. Il preente paragrafo fornice una decrizione dei meccanimi attravero i quali quete traformazioni vengono effettivamente realizzate nelle macchine a fluido. Andando a vedere coa uccede dentro la macchina, l ipotei di tracurare le variazioni di velocità non è più generalmente applicabile, mentre retano valide le altre ipotei. La forma dell equazione dell energia da utilizzare in queto cao è quindi: L = h h per macchina operatrice (3.37) e ( t t) ( h h ) Le = t t per macchina motrice (3.38) dove i pedici e indicano ripettivamente l ingreo e l ucita del rotore. Ogni macchina è infatti compota da una parte fia (tatore o ditributore) ed una mobile (rotore o girante). Nelle macchine motrici, la parte fia precede quella mobile, vicevera nelle macchine operatrici. L inieme tatore rotore cotituice uno tadio. Prendiamo ad eempio una turbina. Lo tatore ha il compito di traformare l energia del fluo che riceve in ingreo da energia di preione ad energia cinetica; quindi al uo interno il fluido ubirà un accelerazione e non cambia lavoro. La parte mobile ha invece il compito di traformare l energia cinetica e di preione in energia meccanica che viene raccolta all albero della macchina. In realtà la coppia all albero è dovuta all azione delle forze tangenziali, che ono a loro volta dovute alla variazione di quantità di moto in direzione tangenziale a cavallo del rotore. Vicevera uccede in un compreore: qui il rotore traforma l energia meccanica diponibile all ae della macchina in energia cinetica del fluo. Lo tatore avrà poi il compito di traformare l energia cinetica ricevuta dal rotore in energia di preione. I meccanimi attravero i quali avvengono queti cambi di energia, e cioè attravero cui è poibile cambiare la quantità di moto, ono principalmente di due tipi: Accelerazione o decelerazione del fluo Defleione del fluo Per realizzare queti cambi, ia la parte fia che quella mobile ono cotruite in maniera tale da realizzare al proprio interno dei condotti le cui ezioni di paaggio varino in maniera tale da accelerare (o decelerare) e deflettere opportunamente il fluo. Gli elementi cotitutivi ia rotore che tatore ono le pale, le cui uperfici delimitano i condotti che il fluido percorre nell attraveramento della macchina. Vediamo allora nel dettaglio come queti condotti devono eere conformati Condotti fii Come i è accennato in precedenza, nei condotti fii non c è cambio di lavoro tra fluido e macchina (L e = 0). 3.0

29 Conideriamo un fluo permanente, ientropico, in cui tutte le variabili iano unicamente funzione della ola coordinata x, come motrato in figura 3.8 (moto quai D); ciò ignifica che, ezione per ezione, tutte le grandezze poono eere coniderate uniformi ulla ezione. Differenziando l equazione di conervazione della portata eprea dalla (.3) i ricava: dρ dv da + + = 0 (3.39) ρ V A coniderando V orientata perpendicolarmente alla ezione di paaggio. L equazione di conervazione dell energia (.8), per fluo permanente, D, ientropico (Q e = L w = 0), in aenza di cambi di lavoro, non eendoci organi in movimento (L e = 0), con variazioni di quota tracurabili (dz = 0), i riduce alla eguente relazione: V V vdp + = 0 (3.40) che differenziata fornice: dp VdV = (3.4) ρ Combinando la legge di conervazione della portata con quella di conervazione dell energia, e ricordando la definizione della velocità del uono per ga perfetti (.5) e del numero di Mach (.6), i ricava: da dv = ( M ) (3.4) A V Dall equazione appena ricavata i vede che la relazione tra variazioni di ezione e variazioni di velocità dipende dal regime di fluo, ubonico o uperonico. In particolare: M < o Se i vuole ottenere una compreione (p > p ), la relazione (3.4) dice che i deve decelerare (V < V ); la relazione (3.4) dice quindi che la ezione di paaggio deve aumentare (A > A ), realizzando quindi un diffuore o Se i vuole ottenere un epanione (p > p ), la relazione (3.4) dice che i deve accelerare (V < V ); la relazione (3.4) dice quindi che la ezione di paaggio deve diminuire (A < A ), realizzando quindi un ugello convergente. M > o Non varia il legame tra preione e velocità mentre cambia quello tra velocità e ezioni. Allora, e i vuole epandere i deve ancora accelerare, ma per accelerare i deve ora realizzare un condotto divergente e vicevera. Riferendoi all equazione (3.39), i vede inoltre che un fluido può eere coniderato incomprimibile (dρ/ρ tracurabile) quando M In tal cao, la relazione (3.4) diventa: da dv = (3.43) A V Man mano che il numero di Mach ale, le variazioni di denità coneguenti ad accelerazioni o decelerazioni del fluo diventano empre più importanti, fino a richiedere variazioni di ezione da/a empre maggiori. Si fa infine notare che, per paare da un regime all altro, l unica poibilità è utilizzare un condotto convergente - divergente, come motrato in figura 3.8c. Applichiamo la conervazione dell energia eprea dalla (3.) a uno dei condotti di figura 3.8, apendo che il proceo è adiabatico e enza cambio di lavoro: h = h (3.44) t t 3.

30 a) b) c) Figura 3.8: conformazione dei condotti. Figura 3.9:Andamento dello trato limite u uperfici di condotti divergenti. Figura 3.0:Separazione del fluo in un canale altamente divergente. Ne deriva che, qualunque ia la traformazione (reale o ientropica), l entalpia totale i conerva tra ingreo e ucita di un condotto fio. E opportuno notare che i condotti divergenti in preenza di fluo ubonico non devono preentare angoli di apertura ecceivi, al fine di evitare poibili eparazioni del fluo, che comporterebbero l inorgere di notevoli perdite. 3.

31 Come infatti motra la figura 3.9, in preenza di decelerazione del fluo, e la curvatura della parete è ecceiva, lo trato limite può eparari (al punto D in figura 3.9), creando una zona ad elevate perdite. Lo teo fenomeno è ben evidenziato dalla figura 3.0. Il fluo che attravera il condotto vedrà aree che crecono in miura inferiore a quanto impoto dalle pareti fiiche del condotto teo, a caua della preenza della zona eparata (figura 3.0). Il fluo quindi ucirà dal condotto dotato di una preione inferiore ripetto a quella per cui il condotto era tato progettato. Queta fenomenologia i preenta tutte le volte che i vuole decelerare il fluo, e vedremo che è l apetto che più limita le pretazioni dei compreori Condotti mobili Si è vito come una macchina a fluido ia compota da una parte rotante, detta rotore o girante, e da una parte fia, detta tatore. I rotori delle macchine a fluido compiono un moto rotatorio intorno all ae della macchina. Supponendo che funzioni a regime, i può ritenere che le parti mobili i muovano alla velocità U, detta velocità periferica o di tracinamento: πdn U = ω r = (3.45) 60 eendo ω la velocità angolare (rad/ec), r il raggio, n il numero di giri (giri/min) e D il diametro. L inieme dei due, rotore e tatore, forma quello che va otto il nome di tadio. In figura 3. viene chematicamente rappreentato uno tadio di compreore centrifugo, con evidenziate le tracce delle pale del rotore e dello tatore. Un oervatore fio vede le uperfici del rotore muoveri alla velocità U e il fluido che entra nella macchina dotato di una velocità aoluta V. Un oervatore poto nel itema di riferimento relativo olidale al rotore, vede le pareti della macchina (rotore) ferme e il fluido in ingreo al rotore dotato della velocità W, detta velocità relativa. Le tre velocità ono tra loro legate dalla relazione vettoriale: V = U + W (3.46) che prende il nome di triangolo delle velocità, ed è rappreentato in figura 3. in bao. pala dello tatore pala del rotore Figura 3.: Stadio di Compreore centrifugo a pale radiali con diffuore palettato. 3.3

32 All ucita del rotore, il fluido è dotato di una velocità relativa W, diretta come la tangente al bordo d ucita della pala. In particolare, nel cao di figura 3., ea è diretta econdo la direzione radiale. Per un oervatore fio, che vede il rotore ruotare alla velocità periferica, il fluido lacia il rotore dotato di una velocità V, che i ottiene componendo vettorialmente la velocità relativa con quella periferica U, coì come epreo dalla (3.46). Lo tatore vede allora in ingreo un fluo dotato di una velocità V che, all ucita, i arà ridotta al valore V 3. Si fa notare come il triangolo di velocità all ucita del rotore non giaccia nello teo piano in cui è tato tracciato quello in ingreo al rotore teo. Infatti, il fluo in ingreo al rotore i muove nel piano aiale tangenziale, mentre all ucita giace nel piano radiale tangenziale. Figura 3.:Sitemi di riferimento aoluto e relativo. Per un oervatore poto nel itema di riferimento relativo, il fluo è permanente, non c è lavoro cambiato tra fluido e macchina, perché le pareti della macchina ono ferme, mentre compare un termine di energia potenziale aociato al campo di forze centrifughe, che ono forze di volume che dipendono dalla non inerzialità del itema di riferimento. Quando i conidera un riferimento in moto relativo ripetto all oervatore inerziale (figura 3.), l accelerazione che compare nell integrale di volume a primo membro dell equazione di conervazione della quantità di moto (.5) diventa: ( ω R) + W dv dw d r d ω = + + R + ω ω dt dt dt dt dw d r dove è l accelerazione relativa, dt dt (3.47) è l accelerazione del itema di riferimento non d ω inerziale (accelerazione lineare), R dt l accelerazione centripeta e ω W è detta accelerazione di Corioli. Inoltre, r rappreenta la ditanza dall origine del itema inerziale, ω la velocità angolare ripetto al itema inerziale, mentre R è il vettore poizione ripetto all origine del itema non inerziale. Si fa notare che ω R non è altro che la velocità di tracinamento U. Nell ipotei che il itema di riferimento o è fermo o ruota con velocità angolare ω cotante nel tempo, la (3.47) diventa: ( ω R) + W è l accelerazione tangenziale, ω ( ω R) è dv dw = + ω ω (3.48) dt dt dove gli ultimi due termini rappreentano ripettivamente la forza centrifuga e la forza di Corioli. Tali forze ono vite dall oervatore non inerziale. Sono due forze di volume che prima non c erano. Ora la F = ma, critta per un oervatore non inerziale, le comprende. 3.4

33 3.5 Paando dalle forze alle energie, il termine W ω non conta per l oervatore non inerziale, eendo diretto ortogonalmente a W, e quindi non compie lavoro. La forza centrifuga invece cambia lavoro, e ad ea può eere aociato un potenziale centrifugo 0 U RdR E R p = = ω. Nell equazione di conervazione dell energia nel itema relativo per fluo monodimenionale compare quindi un nuovo termine legato al campo centrifugo: ( ) U U W W h h Q L e e + = + (3.49) Ricordando che, nel itema relativo, le pareti ono ferme e quindi non c è cambio di lavoro, e che comunque il fluo è adiabatico, l equazione di conervazione dell energia nel itema relativo aume la forma eguente: U W h U W h + = + (3.50) dove ora i pedici e i rifericono alle ezioni di ingreo e ucita dal rotore. Si definice entalpia totale relativa o rotalpia il trinomio: U W h h tr + = (3.5) Nel rotore quindi i conerva l entalpia totale relativa:,, tr tr h h = (3.5) Sotituendo la relazione (3.50) nell equazione di conervazione dell energia per il itema di riferimento fio (3.37), tenuto conto della (3.44) che potula la conervazione dell entalpia totale nello tatore, per una macchina operatrice i ricava: ) ( 3 U U W W V V V V h h h h h h L t t t t e + + = + = = = (3.53) avendo indicato con il pedice 3 la ezione di ucita dallo tatore, e quindi dallo tadio e dalla macchina. Analogamente, per una macchina motrice i ottiene: ) ( 0 U U W W V V V V h h h h h h L t t t t e + + = + = = = (3.54) dove con 0 i è queta volta indicata la ezione di ingreo allo tatore, e quindi alla macchina. Figura 3.3 w r t ax

34 Le relazioni appena ricavate ono del tutto generiche, nel eno che valgono qualunque ia la direzione del fluo all interno della macchina, aiale, mito o radiale. L ultimo termine, legato all azione della forza centrifuga, è divero da zero tutte le volte che i diametri in ingreo ed ucita dalla macchina, o dallo tadio, ono diveri tra loro (D D ). Se i conidera una macchina operatrice a fluo mito o radiale, perché il campo di forze centrifugo contribuica alla compreione, è opportuno che U > U, e quindi che D > D e cioè che la macchina ia centrifuga. Vicevera per una macchina motrice, che in tal cao i dice centripeta. Quando D = D e quindi anche U = U, l ultimo termine i annulla e i dice che la macchina (motrice o operatrice) è a fluo aiale. Si fa notare come, nelle macchine centrifughe, l ultimo termine nelle equazioni (3.53) e (3.54) diventi preponderante ripetto agli altri due. Il itema di riferimento normalmente utilizzato nelle macchine è un itema di riferimento carteiano (figura 3.3) in cui i tre ai hanno le eguenti direzioni: direzione aiale, coincidente con l ae di rotazione della macchina, radiale e tangenziale, orientato nella direzione della velocità periferica. Si individuano quindi le eguenti componenti della velocità: Aiale: V ax = Wax Radiale: V r = Wr (3.55) Tangenziale: Vt = Wt + U Quete relazioni i ottengono proiettando la relazione vettoriale (3.46) nelle tre direzioni aiale, radiale e tangenziale, ricordando che la velocità periferica U ha componente non nulla olo ed ecluivamente in direzione tangenziale. Sotituendo quete relazioni nelle equazioni (3.53) e (3.54) i ricava, ad eempio nel cao di macchina operatrice: V t V t W t Wt U U Le = + + = ( Vt + V t )( V t V t ) ( W t + W t )( Wt W t ) ( U )( ) + U U U = + = (3.56) ( U + U)( V t V t ) ( Vt + V t )( U U) = + V V = W W + U. Con emplici paaggi i ricava infine: eendo ( ) ( ) t t t t U Leu UV t UV t = macchina operatrice (3.57) Analogamente, nel cao della turbina i ottiene: Leu UV t UV t = macchina motrice (3.58) In queta epreione, che va otto il nome di Lavoro di Eulero, le componenti tangenziali della velocità hanno egno poitivo e ono dirette come la velocità periferica U. Si ricorda infine che il Lavoro di Eulero è il lavoro reale cambiato dal fluido con la macchina Forze cambiate tra fluido e macchina e Lavoro Euleriano Il Lavoro di Eulero può eere calcolato anche a partire dall equazione di conervazione della quantità di moto (.7). Si vuole calcolare il lavoro cambiato tra fluido e macchina, riultante dall azione meccanica eercitata dal fluido ulle pareti mobili della macchina. Conideriamo il cao di una macchina motrice, e che valgano le ipotei eguenti: Moto permanente Superfici aialimmetriche Azione del peo tracurabile ( G 0 ) 3.6

35 Conideriamo il volume di controllo rappreentato in figura 3.4, che rappreenta un condotto che ruota intorno a un ae di rotazione ad una velocità angolare cotante ω. La uperficie che delimita il volume di controllo è una uperficie orientata, per cui ea è individuata dal verore tangente alla uperficie t e dal verore normale alla uperficie n, poitivo e ucente dal itema. Tale uperficie può eere compota tra uperfici mobili A (la uperficie palare), e uperfici di interfaccia, le ezioni di ingreo ed ucita A e A in figura 3.4. Eo invece non contiene uperfici fie. In accordo con l equazione (.6), le forze agenti ul volume di controllo, con le ipotei fatte, conitono nelle azioni del campo di preione e degli forzi di taglio ulle ole uperfici mobili A m della macchina: F = npda + τ da (3.59) A m A m dove il vettore degli forzi vicoi τ è diretto parallelamente alla uperficie: τ = tτ (3.60) Per calcolare la potenza ceduta dal fluido alla macchina, è neceario valutare il momento eercitato dal fluido ripetto all ae di rotazione. La coppia all albero C a riulta dall azione delle componenti delle forze dirette lungo la direzione tangenziale. Ea viene calcolata moltiplicando vettorialmente ogni termine dell equazione della conervazione della quantità di moto (3.55) per il vettore r r, che rappreenta la ditanza del punto coniderato dall ae di rotazione della macchina: C a = n rpda + t rτ da (3.6) A m A m Il calcolo di forze e momenti tramite l applicazione diretta delle equazioni (3.59) e (3.6) è alquanto difficoltoo, in quanto preuppone la conocenza dell andamento di tutte le grandezze fluidodinamiche e termodinamiche lungo tutte le uperfici mobili della macchina. E però poibile calcolarli in maniera indiretta, come funzione delle grandezze termo-fluidodinamiche nelle ole ezioni di ingreo e ucita, partendo dall equazione di conervazione della quantità di moto. Conideriamo ancora il volume rappreentato in figura 3.4, e applichiamo il principio di conervazione della quantità di moto con le ipotei precedenti. La relazione (.7) fornice: ρ V ( V n) da = npda + τda (3.6) A A A Figura 3.4: Sezione aiale di un volume di controllo aialimmetrico. 3.7

36 Suddividendo gli integrali tra uperfici fie A f, mobili A m e uperfici di interfaccia A e A, tenendo conto della (3.59) e dell ipotei di uperfici aialimmetriche, i ricava la forza che cambiano le uperfici mobili della macchina con il fluido: F = V dm V dm + p nda + p nda + τ t da + τ t da (3.63) A A A A A A A A eendo dm A = ρ V nda la portata infiniteima che attravera la ezione elementare da. Si nota come la (3.63) permetta ora il calcolo della riultante delle forze cambiate tra fluido e organi mobili della macchina conocendo lo tato termo-fluidodinamico del fluido nelle ole ezioni di ingreo e ucita. Se tali ezioni ono ufficientemente lontane dalle pale, la ditribuzione di velocità u tali ezioni può eere coniderata ufficientemente uniforme da poter tracurare l azione degli forzi vicoi. In queto cao la relazione precedente diventa: F = V dm V dm + p nda + p nda (3.64) A A A A A A Se infine i conidera il fluo nelle ezioni di ingreo e ucita mono - dimenionale, l equazione integrale (3.64) che fornice la riultante delle forze cambiate tra fluido e macchina i riduce a una emplice equazione vettoriale: ( V ) pna p na F = m& V (3.65) dove il primo termine dopo l uguale rappreenta la variazione di quantità di moto del fluido tra ingreo ed ucita della palettatura, e gli altri termini ono le forze dovute al campo di preione agente ulle uperfici di ingreo ed ucita. Le relazioni (3.64) e (3.65) vengono comunemente uate per il calcolo della pinta eercitata dal fluido ulle pale, necearia in fae di progetto e verifica meccanica e trutturale. Si ricorda che la (3.64) è tata ricavata imponendo la conervazione della quantità di moto a un itema fluido che oddifi le eguenti ipotei: Moto permanente Superfici aialimmetriche Effetti dell azione del peo tracurabili Azioni vicoe ulle uperfici di ingreo A e ucita A tracurabili. La relazione (3.65) è invece valida e, alle precedenti, viene aggiunta l ipotei di fluo monodimenionale (D). In maniera del tutto analoga i calcola la coppia eercitata ripetto all ae della macchina C a. Applicando il rotore all equazione di conervazione della quantità di moto, e utilizzando le ipotei precedenti i ricava: C a = V dma r V dm A r (3.66) A A eendo la coppia eercitata dalla preione ulle uperfici A e A nulla, per l ipotei di aialimmetria. Se i aggiunge l ipotei di monodimenionalità, la relazione precedente diventa: Ca = m& ( r mv t rmv t ) (3.67) dove r m è il raggio medio della ezione. In condizioni di regime, le uperfici bagnate ruotano alla velocità cotante ω. La potenza cambiata dal fluido con la macchina, con le ipotei fatte vale: ( U V ) P = Caω = m& UV t t (3.68) ed infine, il lavoro pecifico all unità di maa cambiato tra fluido e palettatura diventa: P L = = UV t U Vt (3.69) m & 3.8

37 del tutto identica all epreione del Lavoro di Eulero fornita dalla (3.55). Si ricorda che ea permette di calcolare il lavoro reale cambiato tra fluido e palettatura. In maniera del tutto analoga i procede nel cao di macchina operatrice. Le relazioni vite ono tate ottenute imponendo alcune ipotei emplificatrici, tra cui la più retrittiva è tata quella di coniderare il fluo mono - dimenionale. A valle di una chiera infatti il fluo è ben lungi dall eere uniforme, a caua della preenza delle cie delle pale, come motra il grafico di figura 3.5 dove viene chematicamente riportato l andamento della velocità a divere ditanze dalla ezione di ucita della chiera. Come motrato in figura, il fluo tende ad uniformari procedendo vero valle. All interno della macchina l aunzione di fluo uniforme non è allora a rigori verificata, a caua del limitato pazio eitente tra rotore e tatore, e tra tadi ucceivi, nel cao di macchine multi - tadio. Tuttavia, l errore che i commette è piccolo, riultando quindi in un approccio generalmente applicabile, che dà utili informazioni ugli cambi di lavoro che avvengono all interno della macchina, fornendo nel contempo uno trumento di emplice e immediato utilizzo. Figura 3.5. Rappreentazione chematica dello viluppo dello trato limite ulle uperfici palari e delle cie in una chiera piana. 3.9

38 3.5. Analii mono - dimenionale di uno tadio Nei paragrafi precedenti i è introdotto il concetto di tadio, compoto da un organo fio, detto tatore o ditributore, e da uno mobile, detto rotore o girante. Nelle macchine idrauliche, peo la ingola macchina, pompa o turbina, è compota da un unico tadio. Vicevera, nelle turbine a vapore e a ga, coì come nei compreori, peo i hanno più tadi in erie che vanno a cotituire l architettura della macchina. Entrambi i componenti ono cotituiti da una erie di pale affiancate a formare i condotti palari, detta chiera o palettatura. Un eempio di palettature rotoriche di un compreore aiale è riportato in figura.0. La geometria delle macchine a fluido è altamente tridimenionale, coì come il fluo che in ee evolve. E tuttavia peo applicabile, in prima approimazione, un approccio mono - dimenionale, in maniera del tutto analoga a quanto è tato fatto per determinare il Lavoro Euleriano. Conideriamo quindi che iano valide le aunzioni fatte in precedenza e qui di eguito riportate: Moto permanente Superfici aialimmetriche Effetti dell azione del peo tracurabili Azioni vicoe ulle uperfici di ingreo e ucita tracurabili. Vediamo meglio come nella realtà può eere chematizzata la geometria di una generica palettatura, per poter ritenere applicabile l ipotei di moto monodimenionale. Con riferimento alla figura 3.6, upponiamo di effettuare una ezione della macchina lungo la uperficie S. Queta uperficie i etende in direzione tangenziale u tutti i 360 : AB, CD e EF ono le tracce della ua interezione con le pale. Ciò che i ottiene, nel cao di macchina a fluo mito, è la uperficie di rivoluzione di figura 3.7, che conideriamo aialimmetrica. Nel cao particolare di macchina aiale, S è una uperficie cilindrica, coì come riportato in figura 3.8. Comunque ia, ogni punto appartenente alla uperficie S dita dall ae di rotazione di r m, definito come: ra + rb rm = (3.70) detto raggio medio, dove r a è il corripondente raggio all apice della pala (il punto L in figura 3.6) e r b quello alla bae (il punto K in figura 3.6). Si fa notare come il raggio medio, nell approccio D ia quello che divide in due la portata, e quindi la ezione di paaggio. E poi poibile definire, nel cao di macchina a fluo mito (figura 3.7), una coordinata curvilinea il cui verore ia tangente in ogni punto alla uperficie S. Queta coordinata individua la direzione meridiana. Nel cao di una macchina aiale, la coordinata meridiana coincide con la direzione aiale. Nel cao di macchina aiale (figura 3.8), è poi poibile tagliare queta uperficie cilindrica, rotolarla e adagiarla u un piano. Il riultato di tale operazione è detto piano intrapalare o blade to blade, ed è riportato anch eo in figura 3.8. Sono chiaramente individuabili i canali che il fluido deve percorrere, delimitati dalle uperfici delle pale. Per emplicità, olo poche palette ono riportate nel diegno. Per ripettare la condizione di periodicità del fluo, arebbe neceario diegnarne un numero. Lo teo procedimento può eere effettuato ia per il rotore, ia per lo tatore, indipendentemente dal tipo di macchina, motrice o operatrice. E infine poibile individuare un altra uperficie, emplicemente andando a tagliare la macchina econdo un piano (r,z), eendo r il raggio e z la direzione aiale. Il piano coì individuato è detto piano meridiano. Un eempio è la uperficie di figura 3.9, che fa riferimento ad una turbina aiale multi-tadio. L approccio monodimenionale può allora eere applicato alle macchine aiali, nell ipotei che qualunque grandezza termo fluidodinamica vari unicamente lungo la coordinata aiale, e alle macchine a fluo mito, upponendo che ee varino olo lungo la coordinata curvilinea meridiana. 3.0

39 Figura 3.6. Figura 3.7. Superficie di fluo aialimmetrica. Applichiamo ora l equazione di conervazione della portata alla generica palettatura, upponendo valide le ipotei richiamate in precedenza: ρ V ma = ρv ma (3.7) avendo indicato con il pedice m la componente di velocità normale alla ezione di paaggio, detta componente meridiana della velocità. Per una macchina aiale, come quella rappreentata in figura 3.9, il eno di attraveramento della macchina coincide con la direzione aiale, per cui la componente di velocità reponabile del traporto di maa è la componente aiale. In una macchina radiale invece, la componente della velocità reponabile del traporto di maa attravero la macchina coincide con la componente radiale della velocità. Si fa notare come, grazie alle ipotei fatte, il piano intrapalare ia intereato unicamente dagli cambi di energia. Infatti, nell equazione di Eulero compare olo la componente tangenziale della velocità, oltre alla velocità periferica, mentre nell equazione di conervazione della portata compare unicamente la componente meridiana. 3.

40 Figura 3.8. Traformazione di una uperficie di fluo aialimmetrica in una chiera Figura 3.9. Turbina aiale multi tadio: piano meridiano. Vediamo ora di entrare più nel dettaglio nel merito di come devono eere realizzate le palette che definicono i condotti palari che il fluido attravera. La geometria della ingola pala viene definita dando l andamento della linea media, in inglee camber line, e la legge di variazione dello peore del profilo lungo tale linea media, coì come riportato in figura 3.0. Si fa notare come la camber line ia definita come la linea che unice i centri dei cerchi incritti nel profilo, e ad eo tangenti. 3.

41 Figura 3.0. Geometria di una pala. In figura 3.0 viene inoltre indicata la corda c di un profilo come la ditanza tra le due tangenti agli etremi del profilo, quando queto è draiato con la concavità vero il bao. Tale lato della pala i chiama ventre, o intradoo, o ancora lato in preione (preure ide), mentre il lato conveo è detto doro o etradoo o ancora lato in depreione (uction ide). Un ultimo parametro che permette di definire pienamente una pala è la ua altezza l. Una volta definito il profilo palare, il pao ucceivo conite nell individuare i parametri che ne decrivono la mea in chiera. Con riferimento alla figura 3., che i riferice ad una chiera di compreore aiale, i definice pao t la ditanza tra i bordi d ucita (trailing edge) di due pale ucceive. Sempre in figura 3. ono indicati diveri angoli: l angolo d incidenza i tra la tangente alla linea media in corripondenza del bordo d attacco (leading edge) e il vettore velocità in ingreo, l angolo β tra il vettore velocità e la direzione aiale, l angolo di calettamento λ tra la corda e la direzione aiale, l angolo β tra il vettore velocità in ucita della chiera e la direzione aiale, e l angolo di deviazione δ tra il vettore velocità e la tangente alla linea media nel bordo d ucita. In figura 3. viene uata una convenzione ulla definizione degli angoli ripetto alla direzione aiale. Nulla vieta di definire gli angoli β e β ripetto alla direzione tangenziale. L importante è fiare un origine e un eno poitivo e conervarli in tutte le ezioni. E opportuno infine dire che eitono due parametri a-dimenionali fondamentali nella definizione di una chiera palare, qualunque ea ia, di compreore o turbina, di tatore piuttoto che di rotore. Queti parametri ono il rapporto pao corda t/c (il uo invero è detto olidity, ed è indicato con σ) e quello che, con terminologia angloaone, viene chiamato apect ratio l/c. Conideriamo di avere a che fare con un fluido comprimibile, come aria o vapore urricaldato, e applichiamo quanto vito in precedenza al cao di uno tadio di compreore prima, e di turbina poi. Vedremo in ultimo il cao delle macchine idrauliche. E opportuno qui ricordare che l ipotei di tracurare gli effetti della vicoità nelle ezioni di ingreo e ucita della palettatura implica, come vito in precedenza, che tali ezioni i trovino ufficientemente lontano dalla palettatura tea, e ciò al fine di poter coniderare il fluo uniforme 3.3

42 in tali ezioni. La trattazione che egue aume infine, oltre alle ipotei precedenti, che il fluo egua perfettamente la uperficie della pala, enza che i verifichino ditacchi dello trato limite o comunque deviazioni del fluo. Ciò implica che gli angoli di incidenza e di deviazione aranno coniderati nulli. Figura 3.. Geometria di una chiera rappreentativa di un rotore di un compreore aiale Stadio di Compreore La figura 3. riporta in maniera chematica i piani meridiano e intrapalare di uno tadio di compreore aiale, in cui è poibile individuare la traccia del rotore che precede lo tatore. Si indichi con la ezione in ingreo al rotore, con la ezione di ucita dal rotore e di ingreo nello tatore e con 3 la ezione di ucita dallo tatore. La figura 3. riporta invece il cao analogo per un compreore centrifugo. Nella ezione di ingreo al rotore, e queto è il primo rotore all ingreo della macchina, la velocità aoluta V è diretta lungo la direzione aiale, qualunque ia la macchina, aiale o radiale. Se invece è uno tadio intermedio, la ua direzione arà impota dagli tadi precedenti. Un oervatore olidale con il rotore, e quindi appartenente al itema di riferimento relativo, vedrà in ingreo un fluo dotato di una velocità W. Con la convenzione utilizzata in figura 3., gli angoli del fluo ono calcolati ripetto alla direzione aiale: l angolo β (negativo) tra il vettore velocità relativa e la direzione aiale e l angolo α (poitivo) tra il vettore velocità aoluta e ancora la direzione aiale. All ucita del rotore, il fluido è dotato di una velocità relativa W che, per le ipotei fatte, è diretta come la tangente al bordo d ucita della pala. In particolare, nel cao di figura 3., ea è diretta econdo la direzione radiale. Per calcolare la velocità di tale fluido nel itema aoluto V, bata comporre la velocità relativa con quella periferica U. E poi poibile definire un angolo del fluo relativo β e un angolo del fluo aoluto α, coì come è tato fatto nella ezione di ingreo. All ucita dello tatore (diffuore nel cao di compreore centrifugo) il fluido egue perfettamente la pala. Eo arà dotato di una velocità aoluta V 3. Tale velocità arà la velocità di carico dalla macchina, e i tratta di una macchina monotadio o e lo tadio in oggetto è l ultimo; arà invece la velocità in ingreo allo tadio ucceivo nel cao di tadio intermedio (per compreori aiali). In queto cao, la pala del rotore appartenente allo tadio ucceivo dovrà eere conformata in 3.4

43 maniera tale da avere il nao (bordo d attacco) orientato econdo la direzione della velocità relativa W 3, ottenuta componendo la velocità aoluta con quella di tracinamento. I triangoli di velocità nelle divere ezioni della macchina ono riportati in figura 3. e 3.. Figura 3.: Stadio di Compreore aiale Applichiamo ora l equazione di conervazione della maa, coì come eprea dalla (3.7), tra ingreo ed ucita dello tadio, nel cao di macchina aiale: ρ V ax A = ρ3v3 ax A3 (3.7) Aumendo che la componente aiale della velocità, reponabile del traporto di maa, i mantenga cotante, perché la portata i conervi è allora neceario che le ezioni di paaggio diminuicano, coì come evidenziato in figura 3.. Nel cao di macchina centrifuga, la conervazione della portata fornice: ρ V ax A = ρ3v3r A3 (3.73) da cui, a priori, non è poibile definire un legame univoco tra variazione di denità e variazioni di ezione lungo la compreione. Guardando ora il piano intrapalare (blade to blade), anch eo riportato in figura 3. e 3., i nota come il fluido incontri ezioni via via crecenti, ia nel rotore ia nello tatore. Il rotore precede lo 3.5

44 tatore, avendo il compito di traformare l energia meccanica rea diponibile all albero della macchina in energia cinetica del fluo (V < V nel itema aoluto) ed in energia di preione. Eo quindi provvederà a decelerare il fluo (W < W nel itema relativo). Conideriamo il cao di macchina aiale. Aunto che i conervi la componente aiale della velocità (W ax = W ax ), ciò implica che l angolo di ucita deve eere minore dell angolo di ingreo (calcolati ripetto alla direzione aiale): coβ W = < β < β (3.74) coβ W Lo tatore quindi riceverà in ingreo un fluo ad alta velocità (nel itema aoluto V > V ), e ne traformerà la retante quota parte di energia cinetica in preione. Il fluo lacerà quindi lo tatore con una velocità aoluta inferiore (V 3 < V ), e deviata ripetto alla direzione aiale: coα V3 = < α 3 < α (3.75) coα 3 V Nel cao di macchina centrifuga, i triangoli di velocità in ingreo e ucita dal rotore giacciono u piani diveri: aiale tangenziale in ingreo e radiale tangenziale in ucita. A priori non è quindi poibile definire relazioni univoche ugli angoli, ma comunque la conformazione dei condotti deve eere tale per cui, nel piano intrapalare, dove avvengono gli cambi di energia, il fluo venga decelerato. Dovrà quindi comunque eere W < W nel rotore e V 3 < V nel diffuore. Perché i realizzino tali traformazioni, uppoto il regime di fluo ubonico, i condotti delimitati dalle uperfici palari devono allora eere divergenti, coì come indicato in figura 3.3 per il compreore aiale, da cui i vede come la ezione di paaggio aumenti, paando da A in ingreo a A in ucita. Queto è vero ia per lo tatore, ia per il rotore. Alla tea concluione i giunge anche coniderando una macchina centrifuga. Bati penare alla forma dell equazione dell energia data dalla (3.5), per cui, e i vuole compiere lavoro, deve eere V > V e W < W, oltre a U > U. Figura 3.3: Schiera di un Compreore. E poi poibile tracciare nel piano (h,) le traformazioni realizzate nello tadio. Ricordiamo che, per una macchina operatrice, il lavoro reale cambiato tra fluo e rotore è pari alla variazione di entalpia totale a cavallo dello tadio, eendo la traformazione adiabatica. Si ricorda inoltre che lo tatore non cambia lavoro con il fluido, non eendoci organi in movimento, per cui i conerva l entalpia totale (h t = cotante), mentre nel rotore i conerva l entalpia totale relativa (h tr = cotante). Con riferimento alla figura 3.4, che conidera uno tadio di un compreore aiale (U = U ), analizziamo dapprima le traformazioni ientropiche, cioè in cui il fluo non ubice perdite nell attraveramento dello tadio. Con queta ipotei, la traformazione egue la linea verticale -- 3, avendo ancora indicato con l ingreo al rotore, con l ingreo allo tatore e con 3 l ucita 3.6

45 dallo tadio. Supponiamo note le condizioni del fluo in ingreo allo tadio (p, T, ρ, h, V, W, h t, h tr, ) e la velocità periferica U. Le formule che eguono ono del tutto generali. Per riferiri al cao pecifico di macchina aiale bata eliminare le variazioni di velocità periferica. La traformazione - avviene nel rotore, per cui h tr, = h tr,. Se è noto il livello di preione p, allora è poibile individuare anche il livello entalpico h ed infine la velocità relativa di ucita dal rotore W, eendo: W U W U h = h + = h = h + (3.76) tr, tr, Il punto cotituice l ingreo nello tatore; potandoi nel itema di riferimento aoluto, è poibile calcolare la velocità V, nota la velocità periferica U. E quindi immediato il calcolo, e l individuazione nel diagramma (h,), dell entalpia totale h t,. Tale grandezza i conerva all interno dello tatore, per cui h t, = h t,3. Noto il livello di preione allo carico dello tadio p 3 è infine poibile calcolare la velocità di ucita dallo tatore V 3 : V V3 h t, = h + = ht,3 = h3 + (3.77) In quete condizioni, e cioè nel cao di fluo ientropico in aenza di cambio di lavoro, i conerva anche la preione totale: pt, = pt, 3 (3.78) La ditanza tra i due livelli di entalpia totale a cavallo del rotore fornice infine il lavoro ideale cambiato tra fluido e macchina: L = ht, 3 ht = ht, ht (3.79) Vediamo ora alcuni cai particolari. Nel cao in cui il fluido evolvente ia un ga perfetto, poono eere uate tutte le relazioni vite nel paragrafo 3.., relativamente al calcolo del lavoro di compreione, fermo retando il ignificato dei pedici e il fatto che dette epreioni vanno modificate per tenere conto della variazione di energia cinetica tra ingreo ed ucita della macchina. La relazione (3.0) aume ora la forma eguente: γ γ γ L = RT t βt (3.80) γ eendo β t = p t3 /p t. Si fa infine notare come la relazione precedente torni a coincidere con la (3.0) nel cao in cui lo tadio ia ripetitivo, il che avviene quando la velocità aoluta in ingreo al rotore V coincide con quella in ucita dallo tatore V 3. In queta ipotei infatti vale: γ V 3 V γ = = + = = γ L ht,3 ht h3 h h3 h RT β (3.8) γ dove ora il rapporto di compreione vale β = p 3 /p. Nella realtà il fluo ubice delle perdite nell attraveramento della macchina che fanno ì che la traformazione egua il percoro --3 evidenziato in figura 3.4. Le perdite che hanno luogo all interno della macchina ono di divera natura, ma le principali ono legate all evoluzione dello trato limite lungo le pareti della macchina, caa, mozzo e uperfici palari, oltre alle cie a valle delle chiere. Tali perdite ono proporzionali, in prima approimazione, al quadrato della velocità aoluta nello tatore, e al quadrato della velocità relativa nel rotore. Aunto che il fluo egua comunque perfettamente gli angoli impoti dalle palettature, e quindi che non i verifichino eparazioni, la preenza di perdite all interno della palettatura fa ì che il fluo eca dal rotore al punto, caratterizzato da un entropia maggiore, e quindi da una velocità minore W e da un livello entalpico h maggiore ripetto al cao ideale, eendo comunque verificata la cotanza dell entalpia totale relativa all interno del rotore, che il fluo ia ientropico o meno: W U W U htr, = h + = htr, = h + (3.8) 3.7

46 Figura 3.4: Traformazioni nel piano (h,) nello tadio di un Compreore aiale. Componendo ora il vettore velocità relativa W con la velocità periferica U è poibile calcolare la velocità aoluta V, inferiore ripetto al cao ideale, che permette di individuare il livello di entalpia totale h t, neceario al calcolo del lavoro realmente cambiato tra fluido e palettatura.. A caua delle perdite nello tatore, anche la velocità in ucita V 3 arà minore, mentre ancora i conerva l entalpia totale, anche e u un livello divero ripetto al cao ideale: V V 3 ht = h + = ht3 = h3 + (3.83) La preenza delle perdite, e quindi la caduta dell ipotei di traformazione reveribile, fa ì che la preione totale non ia più cotante: pt pt3 (3.84) Perché la preione totale i conervi infatti, a differenza di quanto avviene per l entalpia totale, non bata che non avvengano cambi di lavoro, ma è neceario che il proceo ia ientropico. Il fluo lacerà quindi lo tadio al punto 3, caratterizzato da un livello entropico maggiore, e quindi da una minore velocità V 3 e da un maggiore livello entalpico h 3, empre ripetto al cao ideale. Nel grafico di figura 3.4 è evidenziato il lavoro di compreione reale, come la differenza tra i livelli entalpici totali a cavallo del rotore: L = h h = h h (3.85) r t3 t t t 3.8

47 L epreione precedente è del tutto equivalente al lavoro di Eulero, e i riduce ad una emplice differenza di entalpie nel cao di tadio ripetitivo: V3 V Lr = ht3 ht = h3 h + = h3 h (3.86) In analogia a quanto fatto per la macchina nel uo compleo, è poibile definire dei rendimenti adiabatici dello tadio. La definizione di rendimento dello tadio cambia a econda che l energia cinetica allo carico dello tadio ia o meno da coniderare pera. Nel cao in cui lo tadio riulti eere l ultimo, oppure i tratti di macchina mono tadio, l energia cinetica allo carico è icuramente pera. In tal cao i introduce un rendimento Total to Static coì definito: h3 ht h3 ht η TS = = (3.87) h h L t t eu E evidente che tale rendimento è inferiore a anche nel cao di tadio ideale. Se invece i tratta di uno tadio intermedio, l energia cinetica in ucita da uno tadio può eere ancora fruttata negli tadi ucceivi, e quindi non è da intenderi come perdita. In queto cao di definice un rendimento Total to Total: V3 V3 h3 + ht h3 + ht η TT = = (3.88) ht ht Leu Il rendimento total to total per uno tadio ideale vale. Nel cao di tadio ripetitivo, le due relazioni precedenti diventano: h3 h η TT = (3.89) h h h 3 h 3 t η TS = (3.90) h h 3 Se poi la velocità aoluta in ingreo allo tadio V è tracurabile, per cui h t h, le due definizioni precedenti coincidono. Ricordando poi il fenomeno del controrecupero, legato alla variazione di denità del fluido durante la compreione, è evidente come, in una macchina a più tadi, il rendimento adiabatico della macchina, coì come calcolato al paragrafo 3.. ia minore del rendimento adiabatico del ingolo tadio. Queto lo i può vedere emplicemente in figura 3.3, dove è rappreentata la linea di compreione in una macchina a più tadi. Se i confronta il alto entalpico ideale a cavallo della macchina ( h ) tot con la ommatoria dei alti entalpici ientropici dei ingoli tadi ( h ) i oerva come quet ultima ia maggiore. N i=, i Stadio di Turbina La trattazione per lo tadio di turbina è del tutto peculare, ripetto a quanto appena detto ul compreore. La figura 3.5 riporta in maniera chematica i piani meridiano e intrapalare di una turbina aiale, in cui è poibile individuare la traccia dello tatore che precede il rotore. La figura 3.6 riporta inoltre un eempio di tadio di turbina centripeta. Si indichi con 0 la ezione in ingreo allo tatore, con la ezione di ucita dallo tatore e di ingreo nel rotore e con la ezione di ucita dal rotore. Nella ezione di ingreo allo tatore, e queto è il primo tatore all ingreo della macchina, la velocità aoluta V 0 è diretta lungo la direzione aiale nel cao di turbina aiale, radiale nel cao di turbina centripeta. Se invece è uno tadio intermedio, la ua direzione arà impota dagli tadi precedenti. All ucita dello tatore, il fluido è dotato di una velocità aoluta V che, per le ipotei fatte, è diretta come la tangente al bordo d ucita della pala. Un oervatore 3.9

48 olidale con il rotore, e quindi appartenente al itema di riferimento relativo, vedrà in ingreo, proveniente dallo tatore, un fluo dotato di una velocità W. Per calcolare la velocità nel itema relativo W, bata comporre la velocità aoluta con quella periferica U. Nel cao pecifico di figura 3.6, tale velocità è diretta radialmente, eendo la turbina coniderata centripeta con pale del rotore aventi ingreo radiale. E inoltre poibile individuare due angoli: l angolo α tra il vettore velocità aoluta e la direzione della velocità periferica e l angolo β tra il vettore velocità relativa e ancora la velocità periferica. Si oerva che la convenzione uata nel definire gli angoli in figura 3.5 e 3.6 è divera ripetto a quella uata per il compreore. Ora gli angoli ono definiti ripetto alla direzione tangenziale. Figura 3.5: Stadio di Turbina aiale. Analogamente, all ucita del rotore, il fluido egue perfettamente la pala. L oervatore olidale al rotore vedrà il fluo laciare il rotore dotato di una velocità relativa W diretta econdo la tangente al bordo d ucita della pala del rotore teo. Componendo tale vettore con la velocità di tracinamento, i ricava il vettore velocità aoluta V. Tale velocità arà la velocità di carico dalla macchina, e i tratta di una macchina monotadio o e lo tadio in oggetto è l ultimo; arà invece la velocità in ingreo allo tadio ucceivo nel cao di tadio intermedio (limitatamente al cao di turbina aiale). In queto cao, la pala dello tatore appartenente allo tadio ucceivo dovrà eere conformata in maniera tale da avere il nao (bordo d attacco) orientato econdo la direzione del vettore velocità aoluta V. Anche in queta ezione è poi poibile definire un angolo del fluo relativo β e un angolo del fluo aoluto α, in maniera del tutto identica a quanto fatto nella 3.30

49 ezione di ucita dallo tatore. I triangoli di velocità nelle divere ezioni della macchina ono riportati in figura 3.5 e 3.6. Figura 3.6: Stadio di Turbina centripeta a pale radiali. Applichiamo ora, come già fatto in precedenza per il compreore, l equazione di conervazione della portata tra ingreo ed ucita dello tadio, nel cao di macchina aiale: ρ 0V0ax A0 = ρv ax A (3.9) Lungo l epanione la denità del fluido ora diminuice. Perché la portata i mantenga cotante, aunto anche in queto cao che i conervi la componente aiale della velocità reponabile del traporto di maa, è allora neceario che le ezioni di paaggio aumentino, coì come evidenziato in figura 3.5. Nel cao di macchina centripeta, la conervazione della portata aume la forma eguente: ρ 0V0r A0 = ρv ax A (3.9) eendo il fluo diretto prevalentemente in direzione radiale in ingreo alla macchina, e aiale allo carico, come evidenziato in figura 3.6. Come per il compreore centrifugo, coì anche per la turbina radiale non è poibile definire un legame univoco tra variazione di denità e variazioni di ezione all interno della macchina. Conideriamo ora il piano intrapalare di una macchina aiale (figura 3.5) che, come detto in precedenza, è completamente diaccoppiato dal piano meridiano. Nelle turbine lo tatore, che precede il rotore, ha il compito di convertire parte dell energia di preione del fluo in ingreo in energia cinetica. Eo quindi provvederà ad accelerare il fluo (V > V 0 ). Aunto che i conervi la componente aiale della velocità (V 0ax = V ax ), i ricava che l angolo di ucita deve eere minore dell angolo di ingreo (calcolati ripetto alla direzione tangenziale): inα V0 = < α < α0 (3.93) inα V 0 3.3

50 Il rotore riceverà in ingreo un fluo ad alta velocità (nel itema aoluto), e ne traformerà l energia cinetica, e la retante quota parte di energia di preione, in energia meccanica diponibile all albero dell alternatore. Il fluo lacerà quindi il rotore con una velocità aoluta inferiore (V < V ), ma con una velocità relativa maggiore o uguale, a econda che abbia o meno convertito anche energia di preione (W W ), e deviata ripetto alla direzione tangenziale: inβ W = < β < β (3.94) inβ W Figura 3.7: Canale palare di Turbina: variazione delle ezioni di paaggio. Nel cao di macchina radiale valgono le tee coniderazioni riguardanti le velocità (V > V 0 nel ditributore e W > W nel rotore), mentre non è poibile derivare leggi generali ull andamento degli angoli del fluo, eendo i triangoli di velocità in ucita dallo tatore giacente nel piano radiale tangenziale, e in ucita dal rotore appartenente al piano aiale tangenziale. Qualunque ia la tipologia di macchina motrice coniderata (aiale o radiale), perché i realizzino le uddette traformazioni, uppoto il regime di fluo ubonico, i condotti delimitati dalle uperfici palari devono eere convergenti, coì come evidenziato in figura 3.7 per una macchina aiale, dove i nota la diminuzione della ezione di paaggio, che paa da A in ingreo a A in ucita. Queto è vero ia per lo tatore, ia per il rotore. Queto riultato è ovvio, e i pena alla forma dell equazione dell energia data dalla (3.54), per cui, e i vuole ottenere lavoro, deve eere V < V e W > W. E poi poibile tracciare nel piano (h,) le traformazioni realizzate nello tadio. Con riferimento alla figura 3.8 che riporta il cao di una macchina aiale (U = U ), conideriamo inizialmente le traformazioni ientropiche (la figura 3.9 riporta l analogo cao di macchina radiale). Con queta ipotei, la traformazione egue la linea verticale 0--, avendo ancora indicato con 0 l ingreo allo tatore, con l ingreo al rotore e con l ucita dallo tadio. Supponiamo note le condizioni del fluo in ingreo allo tadio (p 0, T 0, ρ 0, h 0, V 0, h t0 ). La traformazione 0- avviene nello tatore, per cui h t0 = h t. Se è noto il livello di preione p, allora è poibile individuare anche il livello entalpico h ed infine la velocità aoluta di ucita dallo tatore V, eendo: V h t0 = ht, = h + (3.95) 3.3

51 In quete condizioni, e cioè nel cao di fluo ientropico in aenza di cambio di lavoro, i conerva anche la preione totale: p = t p (3.96) 0 t, Il punto cotituice l ingreo nel rotore; potandoi nel itema di riferimento relativo, è poibile calcolare la velocità relativa W, nota la velocità periferica U. E quindi immediato il calcolo, e l individuazione nel diagramma (h,), dell entalpia totale relativa h tr,. Tale grandezza i conerva all interno del rotore, per cui h tr, = h tr,. Noto il livello di preione allo carico dello tadio p e la velocità periferica nella ezione di ucita U, è infine poibile calcolare la velocità relativa di ucita dal rotore W : W U htr, = htr, = h + (3.97) La ditanza tra i due livelli di entalpia totale a cavallo del rotore fornice infine il lavoro ideale cambiato tra fluido e macchina: L = ht0 ht, = ht, ht, (3.98) Nel cao in cui il fluido evolvente ia un ga perfetto, poono eere uate tutte le relazioni vite in precedenza, relativamente al calcolo del lavoro di epanione, fermo retando il ignificato dei pedici e il fatto che le epreioni ricavate nel paragrafo 3.. vanno modificate per tenere conto della variazione di energia cinetica tra ingreo ed ucita della macchina. La relazione (3.7) aume ora la forma eguente: γ L = RT t, (3.99) γ γ γ βt eendo β t = p t /p t. Si fa infine notare come la relazione precedente torni a coincidere con la (3.7) nel cao in cui lo tadio ia ripetitivo, il che avviene quando la velocità aoluta in ingreo allo tatore V 0 coincide con quella aoluta in ucita dal rotore V. In queta ipotei infatti vale: V 0 V γ L = ht0 ht, = h0 h + = h0 h = RT0 γ (3.00) γ γ β dove ora il rapporto di epanione vale β = p 0 /p. Nel cao di turbine a vapore le relazioni precedenti (3.99) e (3.00) non ono più valide, mentre è utile, per il calcolo dell epanione, il piano di Mollier. Reta invece comunque valida la emplificazione derivante dall ipotei di tadio ripetitivo, che fa ì che la differenza di entalpia totale a cavallo della macchina i riduca ad una emplice differenza di entalpie. Nella realtà il fluo ubice delle perdite nell attraveramento della macchina che fanno ì che la traformazione egua il percoro 0-- evidenziato ancora in figura 3.8. Anche per la turbina, le perdite ono proporzionali al quadrato della velocità aoluta nello tatore, e al quadrato della velocità relativa nel rotore. Aunto che il fluo egua comunque perfettamente gli angoli impoti dalle palettature, la preenza delle perdite fa ì che il fluo eca dallo tatore al punto, caratterizzato da un entropia maggiore, e quindi da una velocità minore V e da un livello entalpico maggiore h, eendo comunque verificata la cotanza dell entalpia totale all interno dello tatore: V ht 0 = ht = h + (3.0) Si oerva come, anche in queto cao, la preenza delle perdite, e quindi la caduta dell ipotei di traformazione reveribile, faccia ì che la preione totale non ia più cotante: p p (3.0) t0 t 3.33

52 Figura 3.8: Traformazioni nel piano (h,) in uno tadio di turbina aiale. Componendo ora il vettore velocità aoluta V con la velocità periferica U è poibile calcolare la velocità relativa W, che arà anch ea inferiore ripetto al cao ideale. A caua delle perdite nel rotore, anche la velocità in ucita W arà minore, mentre ancora i conerva l entalpia totale relativa, anche e u un altro livello ripetto al cao ideale: W U W U h = h + = h = h + (3.03) tr, tr, Componendo infine velocità relativa W e di tracinamento U i ricava la velocità aoluta di carico dal rotore V, che permette inoltre di individuare il livello di entalpia totale h t, neceario al calcolo del lavoro realmente cambiato tra fluido e palettatura. Il fluo lacerà quindi lo tadio al punto, caratterizzato da un livello entropico maggiore, e quindi da una minore velocità V e da un maggiore livello entalpico h. Nel grafico di figura 3.8 è evidenziato il lavoro di epanione reale, come la differenza tra i livelli entalpici totali a cavallo del rotore: Lr = ht0 ht = ht ht (3.04) L epreione precedente è del tutto equivalente al lavoro di Eulero, e i riduce ad una emplice differenza di entalpie nel cao di tadio ripetitivo: V0 V Lr = ht 0 ht = h0 h + = h0 h (3.05) In analogia a quanto fatto per lo tadio di compreione, è poibile definire due rendimenti adiabatici dello tadio, a econda che l energia cinetica allo carico dello tadio ia o meno da coniderare come una perdita: un rendimento Total to Total: 3.34

53 Figura 3.9: Traformazioni nel piano (h,) in uno tadio di turbina radiale. ht0 ht Leu η TT = = (3.06) V V ht 0 h ht0 h e un rendimento Total to Static: ht0 ht Leu η TS = = (3.07) h h h h t0 t0 E evidente che, mentre il rendimento Total to tatic è inferiore a anche nel cao di tadio ideale, il rendimento total to total per uno tadio ideale vale. Nel cao di tadio ripetitivo, le due relazioni precedenti diventano: h0 h η TT = (3.08) h h 0 t0 h0 h η TS = (3.09) h h Se poi la velocità aoluta in ingreo allo tadio V 0 è tracurabile, per cui h t0 h 0, le due definizioni precedenti coincidono. Ricordando poi il fenomeno del recupero, legato alla variazione di denità del fluido durante l epanione, è evidente come, in una macchina a più tadi, il rendimento adiabatico della macchina, coì come calcolato al paragrafo 3.. ia maggiore del rendimento adiabatico del ingolo tadio, in maniera del tutto peculare ripetto al cao del compreore. 3.35

54 Pompe e Turbine idrauliche I due cai precedenti i rifericono a macchine che operano u fluido comprimibile. Vediamo ora che coa uccede nel cao di fluido incomprimibile, quale ad eempio acqua. Innanzitutto i fa notare come, a differenza delle macchine termiche, che cioè elaborano fluidi comprimibili, le macchine idrauliche preentano bae energie per unità di maa. Ciò è dovuto alla neceità di limitare gli forzi agenti ulle uperfici della macchina; bati penare all enorme differenza di denità tra acqua (000 kg/m 3 ) e aria (circa. kg/m 3 ). Tutto ciò fa ì che, ripetto alle macchine termiche, nelle macchine idrauliche i abbiano bae velocità e bai regimi di rotazione, ma in preenza di grandi portate in maa. Inoltre, le macchine idrauliche ono peo macchine mono tadio. Quando il fluido è incomprimibile, i è vito che l equazione dell energia aume la forma data dalla (.), che va otto il nome di Equazione di Bernoulli: p p V V Le Lw = + + g( z z) (3.0) ρ Si definice Prevalenza gh l incremento di energia meccanica che ubice il fluido per kg di maa nell attraverare la macchina: p p V V gh + + g z z = L e L (3.) = ( ) ( ) w r ρ E allora l energia che il fluido riceve nell attraverare la macchina, eprea in [J/kg], e rappreenta il lavoro ideale. Si è inoltre trovato che, empre per fluido incomprimibile, la preione totale è definita dalla relazione (.3) che, otituita nella (3.) fornice: gh = p t p t + g ( z z ) 3.36 (3.) ρ Speo i utilizza, al poto della prevalenza gh eprea in [J/kg], la prevalenza H, detta anche alto, eprea in [m]: p ( ) p V V p V = + + = + + p V H z z z + + z (3.3) ρg g ρg g ρg g dove il termine tra parentei a detra del econdo egno di uguaglianza va otto il nome di trinomio di Bernoulli. In analogia a quanto fatto per i compreori, anche nel cao di macchine idrauliche i definice il rendimento idraulico come rapporto tra lavoro ideale e lavoro reale: Lid gh η idr = = (3.4) L gh + L r w Del tutto peculare riulta la trattazione per le turbine idrauliche, di cui i riportano olo i riultati: p ( ) p V V p V = + + = + + p V H z z z + + z (3.5) ρg g ρg g ρg g Lr gh Lw η idr = = (3.6) L gh id Quanto vito in precedenza riguardo all architettura della macchina, e in particolare alla definizione del piano intrapalare e dei triangoli delle velocità, reta del tutto identico. Ciò che invece cambia è la geometria della macchina nel piano meridiano, dove la ezione di paaggio non deve più eere variata per compenare le variazioni di denità del fluido. Per una pompa allora l epreione della conervazione della portata diventa: V m A = V3 ma3 (3.7) che in pratica potula la conervazione della portata volumetrica.

55 Ovviamente non è più poibile andare a tracciare le traformazioni nei diveri piani, mentre, trattandoi per lo più di macchine mono tadio, l energia cinetica allo carico riulta eere una perdita, per cui normalmente i utilizza un rendimento total to tatic Grado di reazione Si è detto come il lavoro venga raccolto dal olo rotore, ma i è anche detto come in realtà ciò avvenga attravero due meccanimi di traferimento di energia nel fluido: attravero variazioni di energia cinetica e variazioni di preione. Ci i chiede a queto punto quale ia il contributo relativo di queti due meccanimi all effettivo cambio di lavoro tra fluido e macchina. A tale copo i definice Grado di Reazione: V V L χ = (turbina) (3.8) L dove al numeratore vi è quella parte di lavoro che non deriva dalla variazione di velocità aoluta a cavallo del rotore, ma legata al campo di preione (i ricordino le due epreioni dell equazione di conervazione dell energia (.8) e (3.54), in cui i è tracurata la variazione di quota e i è ipotizzata una traformazione ientropica). Quet ultimo termine può eere chiamato lavoro di reazione. La definizione di grado di reazione fornita dalla (3.8) vale per macchine motrici a fluido comprimibile. Nel cao di compreori, ea diventa: V V L χ = (compreore) (3.9) L La definizione di grado di reazione non è univoca in letteratura. Conideriamo dapprima un fluido comprimibile. Per noi il grado di reazione è definito come il rapporto tra il alto entalpico ideale elaborato dal rotore ed il alto entalpico ideale elaborato dallo tadio: h, rot χ = (3.0) h, tadio La relazione appena critta non coincide con le precedenti, a meno di non coniderare o le variazioni di energia cinetica tra ingreo ed ucita dello tadio tracurabili (il che può eere aunto con buona approimazione per macchine mono tadio) o lo tadio ripetitivo (e quindi V 0 = V ). Ovviamente anche a patto di coniderare le traformazioni ideali. Infatti, ad eempio nel cao della turbina, il lavoro compiuto dallo tadio è pari alla variazione di entalpia totale a cavallo dello tadio, e quindi anche del rotore, eendo l entalpia totale cotante nello tatore. Il numeratore dell equazione (3.0) quindi diventa: V V V V V V L = ht0 ht, = ht, ht, = (3.) V V V V = h h + = h h = h, rot Per quanto riguarda invece il denominatore, introducendo l ipotei di tadio ripetitivo i ricava: V0 V = h h = h h + = h h = h (3.) L t0 t, 0 0, tadio Quando χ = 0 lo tadio i dice ad azione : tutta l accelerazione avviene nello tatore, mentre nel rotore il fluo viene olo defleo. Vedremo che queti tadi ono caratterizzati dalla preenza di alte velocità, e quindi alte perdite e rendimenti limitati. Quando invece χ > 0 lo tadio i dice a reazione : accelerazione e defleione del fluo avvengono in parte ia nello tatore ia nel rotore. 3.37

56 3.38 Gli tadi a reazione preentano minori velocità ripetto a quelli ad azione, e quindi minori perdite e maggiori rendimenti. Vedremo che, e i confrontano le due tipologie di tadi a parità di ollecitazioni, e cioè a parità di velocità periferica U, gli tadi ad azione preentano alti V t, e quindi elevati lavori. Gli tadi a reazione vicevera ono caratterizzati da minori valori di V t, e quindi permettono di elaborare alti entalpici inferiori. Se i parla invece di macchine idrauliche, il grado di reazione viene definito attravero la formula eguente: tadio rot p p = χ (3.3) Trattandoi perlopiù, come detto, di macchine mono tadio, l ipotei di tracurare la variazione di energia cinetica a cavallo dello tadio può eere ritenuta accettabile, coì come quella di tracurare la variazione di quota. Con quete ipotei, la relazione (3.) è del tutto analoga alla (3.8), infatti: ( ) ρ ρ ρ ρ rot t t t t p V V z z g V V p p V V p p V V p p V V L = + + = = = = 0 (3.4) ( ) ρ ρ ρ tadio t t p z z g V V p p p p L = + + = = (3.5) Bibliografia: Macchine a fluido incomprimibile, C. Caci, Ed. Maon Italia Editori Compreori di ga, C. Caci, Stampa Tamburini Editore Milano Macchine a fluido bifae, C. Caci, Maon Italia Editori Macchine Termiche, G. Cornetti, Ed. Il Capitello Torino

57 CAPITOLO 4 IMPIANTI IDRAULICI 4.. Introduzione In queto capitolo verranno trattate le problematiche relative agli impianti idraulici, limitatamente al cao degli impianti di ollevamento acqua. Si parlerà quindi dapprima delle pompe centrifughe, con particolare attenzione all ottenimento delle loro curve caratteritiche. Verranno quindi decritti i circuiti, come calcolarne le perdite e valutare la curva caratteritica di un impianto, per poi paare alle problematiche relative all accoppiamento macchina - impianto. Infine i darà una decrizione fenomenologica della cavitazione, fornendo i parametri neceari per la celta dell altezza di apirazione. Gli impianti idroelettrici e le turbine idrauliche verranno invece trattati nel Capitolo 6. Figura 4.: Pompe centrifughe e pompe aiali. Eitono due tipi di pompe dinamiche: centrifughe e aiali. Un eempio è riportato in figura 4.. Nella maggior parte delle applicazioni vengono tuttavia impiegate pompe centrifughe, mentre quelle aiali trovano applicazioni più limitate, laddove ci ia la contemporanea richieta di elaborare elevate portate con bai alti. Eempi di applicazione ono i circuiti di circolazione dell acqua, o come booter per le macchine centrifughe, per evitare problemi legati all inorgere della cavitazione. La trattazione che egue i riferice quindi al cao delle pompe centrifughe. 4.

58 Figura 4.: Pompa centrifuga. 4.. Pompe centrifughe Le pompe centrifughe ono macchine operatrici che, operando u fluido incomprimibile (acqua), permettono di elaborare portate ridotte, ma fornendo alti elevati. Il fluo d acqua è diretto dal centro vero la periferia (figura 4.), per fruttare il contributo al lavoro da parte della forza centrifuga, evidenziato dal terzo termine nell epreione dell equazione dell energia fornita dalla (3.5) e qui riportata: V V W W U U L e = + + (4.) In generale, ee i compongono di tre elementi: il ditributore, la girante e il diffuore. Il fluo in ingreo alla macchina è diretto aialmente. Il ditributore non è altro che una palettatura fia pota all imbocco della macchina che ha lo copo di fornire al fluo in ingreo l angolo d incidenza corretto ulle pale della girante. Speo il ditributore non è preente. In tal cao, il fluo aoluto in ingreo alla girante è aiale (V =V ax ). A valle della girante a volte è preente un ulteriore componente, il diffuore, che ha lo copo di recuperare l energia cinetica che il fluido ancora poiede e convertirla in preione. Il diffuore può eere o meno palettato. Comunque ia, eo deve realizzare una compreione del fluido, e quindi preenterà ezioni di paaggio crecenti al crecere della ditanza radiale dall ae di rotazione. I diffuori non palettati hanno il vantaggio di avere un funzionamento indipendente dalla portata, ma poono avere un ingombro elevato. Vicevera, i diffuori palettati preentano un funzionamento ottimale per un ben precio regime di portata, con perdite crecenti con l allontanari dalle condizioni di progetto. D altra parte preentano un ingombro minore. Conideriamo un cao ideale, in cui non ci iano perdite. Supponiamo che non ci ia ditributore. In figura 4.3 viene rappreentato uno chema di maima della geometria della macchina. In particolare ono riportati i fondamentali parametri geometrici: diametro medio in ingreo D : D a + D D b = (4.) 4.

59 ax Figura 4.3: Schema di maima della ezione meridiana di una pompa centrifuga. a) V V ax b) W β U V W β U Figura 4.4: Triangoli di velocità in ingreo (a) e ucita (b) di una pompa centrifuga. altezza di pala in ingreo alla girante l : Da D l b = (4.3) diametro eterno della girante D, altezza di pala allo carico l Applichiamo i concetti viti nel Capitolo 3 al cao in eame. Supponiamo quindi che iano verificate tutte le ipotei con cui è tata ricavata l epreione del lavoro di Eulero, e in particolare che il moto ia permanente, che ia monodimenionale e che il campo gravitazionale abbia effetti tracurabili, coì come non ci iano effetti di campi elettrici, magnetici ed elettro-magnetici, né reazioni chimiche o nucleari. Individuiamo le direzioni aiale, tangenziale e radiale, coì come riportate in figura 4.3, e limitiamo il notro calcolo alla linea media tratteggiata nel piano meridiano in figura, coniderando le ezioni di ingreo ed ucita ufficientemente lontane dalla palettatura da poter tracurare l azione degli forzi vicoi. Ricavando il lavoro di Eulero abbiamo vito come ia poibile calcolare il lavoro reale cambiato tra fluido e macchina conocendo unicamente le grandezze fluidodinamiche nelle ezioni di ingreo ed ucita. Cerchiamo allora di valutare qualitativamente come ono fatti i triangoli di velocità in ingreo ed ucita dalla girante, in modo da ottenere il lavoro realmente cambiato tra macchina e fluido che, nel cao di fluido incomprimibile e in aenza di perdite, coincide con la prevalenza fornita dalla pompa al fluido. Cercheremo quindi di evidenziare la dipendenza della prevalenza dalla portata, in modo da caratterizzarne il funzionamento. 4.3

60 Coniderando l approccio D, il fluo in ingreo alla girante riulta, in aenza di ditributore, diretto econdo l ae della macchina: V V (4.4) ax Il triangolo di velocità in ingreo giace allora nel piano aiale-tangenziale, coì come riportato in figura 4.4a. L epreione del Lavoro di Eulero diventa quindi: Leu = UV t (4.5) Eendo poi il cao in eame ideale, il Lavoro di Eulero coincide con la prevalenza gh. Conideriamo ora il fluo in ucita dalla girante (figura 4.4b): per un oervatore olidale al rotore eo è diretto econdo il vettore W che, con le uuali ipotei, riulta tangente alla uperficie della pala. Sia β l angolo che tale vettore forma con la direzione tangenziale poitiva econdo il eno di rotazione della girante. Tale vettore giace nel piano radiale - tangenziale. La ua compoizione con la velocità periferica U porta a definire la velocità aoluta del fluo in ucita dalla girante V, inclinata dell angolo α econdo la direzione tangenziale. E evidente che i due triangoli di velocità, in ingreo e ucita dalla girante, giacciono u piani diveri, e quindi non è poibile tracciarli inieme. Da emplici coniderazioni geometriche riulta: Vr = W r = W inβ V = W t t + U W co β W t = Sotituendo tali relazioni nella (4.5) i ricava: gh = U( Wt + U ) = U( W co β + U ) = U( Wr tan + U) β (4.6) Calcoliamo la portata volumetrica che attravera la macchina. Eendo il fluido incomprimibile, la portata volumetrica i conerva, e quindi la i può calcolare ad eempio nella ezione di ucita: Q = V r A = V rπdl (4.7) Eplicitando la relazione precedente in termini della componente radiale della velocità, e otituendola nell epreione della prevalenza i ricava infine: Q gh = U + U tan β (4.8) πd l gh β < 90 β = 90 U β > 90 Figura 4.5: Curva caratteritica ideale di pompe centrifughe al variare dell angolo di ucita delle pale della girante. Q 4.4

61 che riulta eere, nel cao ideale, la curva di funzionamento della macchina, in quanto fornice il legame tra portata e prevalenza, al variare dei parametri geometrici (D ) e del regime di rotazione (U e quindi n). Si nota come, per una macchina ideale, una volta fiata la geometria della macchina e il numero di giri n, la prevalenza è funzione unicamente della portata, coì come rappreentato in maniera chematica in figura 4.5. La curva di funzionamento è una retta la cui pendenza è funzione dell angolo di inclinazione delle pale della girante allo carico β. In particolare, i ottiene: e β < 90 (figura 4.6a - pale rivolte in avanti) la prevalenza aumenta con la portata e β = 90 (figura 4.6b - pale radiali) la prevalenza è cotante e pari a U e β > 90 (figura 4.6c - pale rivolte all indietro) la prevalenza diminuice con la portata. Figura 4.6:Giranti centrifughe a carico radiale (a,b), a carico all indietro (c) e a carico in avanti (d). L energia cinetica che il fluido ancora poiede allo carico della girante rappreenta una perdita. Più queta energia è grande, minore arà il rendimento della macchina. Analizzando i triangoli di velocità relativi ai tre cai in eame (pale in avanti, radiali e all indietro), rappreentati in figura 4.6, è evidente come la pompa con pale all indietro ia quella che fornice, a parità di velocità periferica, la minor velocità aoluta allo carico, e quindi abbia le pretazioni migliori. Nella realtà pompe centrifughe con pale in avanti non eitono, mentre vengono cotruite macchine con pale radiali quando l economicità della realizzazione diventa un requiito fondamentale. La relazione (4.8) è tata ottenuta nell ipotei di macchina ideale. Nella realtà, all interno della macchina i verificano due tipi di perdite: perdite concentrate e perdite ditribuite. Le perdite concentrate, che i chiamano perdite per urto, ono legate all angolo di incidenza del fluo ripetto alla pala, e ono nulle quando il fluo è diretto econdo la tangente al bordo d attacco della pala (β ). Quando la portata varia, varia la componente della velocità reponabile della portata. Nel cao di pompe centrifughe enza ditributore, ciò ignifica che varia la velocità aoluta V. Con 4.5

62 riferimento alla figura 4.7, e ad eempio la portata diminuice, anche V diminuice, mentre la velocità periferica U reta invariata. Ne egue che la velocità relativa W cambia ia in modulo, ia in direzione. Il fluido ubirà quindi una bruca deviazione all ingreo della palettatura, per adeguari all andamento delle ezioni di paaggio, con un coneguente aumento delle perdite. Dicoro del tutto analogo e la portata aumenta. Le perdite per urto quindi ono nulle in corripondenza della portata di progetto della macchina, ed aumentano progreivamente man mano che ci i allontana da tale condizione di funzionamento, come motrato in figura 4.8, dove ono indicate con y. V V ax U W β Figura 4.7:Variazione del triangolo di velocità in ingreo con la portata. Figura 4.8:Andamento delle perdite concentrate (y ) e ditribuite(y ). Le perdite ditribuite, dette perdite di profilo, ono legate all azione delle forze vicoe. Si è già detto in precedenza come quete agicano nello trato limite che i viluppa lungo le uperfici bagnate, e cioè lungo la uperficie delle palette, della caa e del mozzo, e come iano proporzionali al quadrato della velocità relativa nel rotore e aoluta nello tatore. Nel cao in eame, le perdite di profilo ono quelle nella girante, non eendo preente né un ditributore né il diffuore. Ee ono quindi proporzionali al quadrato della velocità, e quindi anche al quadrato della portata, come motrato dall andamento di y in figura 4.8. La curva caratteritica di una pompa centrifuga reale, fiato il regime di rotazione, ha quindi l andamento rappreentato in figura 4.9, riultante dalla compoizione della curva ideale (equazione (4.8)) e di quelle relative alle perdite. Nella tea figura viene riportato anche l andamento del rendimento della macchina e della potenza aorbita. Il rendimento della macchina riulta da tre contributi: η = η η η (4.9) p v idr m dove η v è detto rendimento volumetrico, e viene introdotto per tenere conto del fatto che non tutta la portata che entra nella macchina compie lavoro (i peni alla preenza di eventuali trafilamenti attravero i giochi). η idr è il rendimento idraulico della macchina, già introdotto nel Capitolo 3 (equazione 3.): 4.6

63 Figura 4.9:Curva caratteritica reale, curva di rendimento e di potenza aorbita di una pompa centrifuga a n = cot. L gh id η idr = = (4.0) L gh + L r w L ultimo termine è il rendimento meccanico η m e tiene conto delle perdite nelle tramiioni. Per quanto riguarda invece la potenza, queta viene calcolata come il prodotto tra lavoro reale e portata: ρqgh P = (4.) η p Queta è ovviamente la potenza aorbita all albero della macchina. Se i vuole invece calcolare la potenza elettrica aorbita dal motore, è neceario dividere l epreione precedente per il rendimento del motore elettrico η el. Se vicevera i è intereati a valutare quanto aorbe la pompa, al netto delle perdite nelle tramiioni e nei cucinetti, la potenza eprea tramite la (4.) dovrà eere moltiplicata per il rendimento meccanico. Il funzionamento di una pompa viene in realtà completamente decritto una volta noti gli andamenti della prevalenza e del rendimento al variare della portata, il tutto in funzione del numero di giri, coì come epreo, in forma emplificata, dall andamento della curva caratteritica (4.8). La figura

64 riporta, a titolo di eempio, le curve caratteritiche di una pompa centrifuga in corripondenza di diveri regimi di rotazione. La figura in alto motra, oltre alle curve prevalenza portata per i diveri regimi di rotazione, ovrappote anche le curve io-rendimento. La variazione del rendimento con il numero di giri vedremo, nel Capitolo 5 relativo alla teoria della Similitudine, eere legato all influenza del numero di Reynold. Figura 4.0:Campo caratteritico di impiego di una pompa centrifuga a velocità di rotazione differenti Impianti di ollevamento acqua Nel Capitolo è tata ricavata, a partire dall equazione di conervazione dell energia, l epreione del lavoro cambiato da un itema fluido con l eterno per il cao di fluido incomprimibile. Tale relazione, nota otto il nome di Equazione di Bernoulli, ha la forma eguente: p p V V gh = ( Le ) Lw = + + g( z z) (4.) r ρ dove la Prevalenza gh è l incremento di energia meccanica che ubice il fluido per kg di maa nell attraverare la macchina tra la ezione di ucita e di ingreo. Si ricorda che l equazione di Bernoulli vale con le eguenti ipotei: Aenza di reazioni chimiche o nucleari, di campi magnetici, elettrici o elettromagnetici Moto mono-dimenionale (D) nei condotti 4.8

65 Z Z Figura 4.: Impianto di ollevamento acqua. Moto permanente Fluido incomprimibile La prevalenza rappreenta quindi il lavoro ideale cambiato tra fluido e macchina. Si è anche vito come peo, in idraulica, i preferica eprimere tutti i termini della (4.) in metri di colonna d acqua: p p V V H = + + ( z z ) (4.3) ρg g dove H prende il nome di Salto, ed è epreo in [m]. Conideriamo l impianto di ollevamento acqua chematizzato in figura 4.. Eo conite di due bacini, o erbatoi, e di una condotta. Si upponga di voler valutare le caratteritiche di tale impianto, e cioè la coppia portata volumetrica Q - alto H, e di voler inoltre valutare la relazione che le lega. Ciò allo copo di timare l energia che la pompa che va intallata deve in via ideale cedere al fluido (acqua), perché queto venga pompato dal bacino di valle a quello di monte. Indicando con il pedice le grandezze (quota, velocità e preione) relative al bacino di monte e con il pedice quelle relative al bacino di valle, l applicazione dell equazione di Bernoulli tra quete due ezioni fornice: p V p V H + + z = + + z + Y (4.4) + ρg g ρg g dove, nel termine Y ono tate conglobate tutte le perdite che il fluido incontra lungo il percoro dal bacino di edimentazione a quello di monte. Supponendo che la variazione di quota tra il pelo libero dei due bacini ia tale da non indurre variazioni rilevanti nella preione atmoferica (p p p atm ), e upponendo inoltre che la velocità con cui variano i peli liberi dei due bacini ia tracurabile (V V 0), la (4.4) i emplifica: ( z z ) + Y = H Y H = (4.5) m v g + dove i è indicato con H g il alto geodetico, oia la differenza di quota tra i peli liberi dei due bacini. Le perdite che il fluido ubice nell attraveramento dell impianto (non nella macchina) anche in queto cao ono di due tipi: Perdite concentrate Y c Perdite ditribuite Y d Le perdite concentrate variano approimativamente con il quadrato della velocità, e vengono quindi epree in funzione della quota cinetica: V Y c = ξ (4.6) g 4.9

66 eendo ξ il coefficiente di reitenza localizzata. Perdite localizzate ono quelle dovute alla preenza di curve, gomiti, trozzature e bruchi allargamenti, valvole e organi di regolazione, filtri, ecc. I valori di ξ relativi ad ogni tipo di perdita localizzata ono normalmente ottenuti per via perimentale, maggiorati per ragioni cautelative. I valori più comuni ono reperibili in forma di Tabelle, come ad eempio quelle riportate nelle figure Alla ommatoria Σξ coì ricavata va poi aggiunta un unità per tener conto delle perdite di bocco. Figura 4.: Valori rappreentativi del coefficiente di reitenza localizzata ξ per varie geometrie di variazione della ezione traverale del condotto. Figura 4.3: Valori rappreentativi del coefficiente di reitenza localizzata x e del rapporto l e /D (lunghezza equivalente /diametro) per valvole, curve e collegamenti vari nelle tubazioni. 4.0

67 Figura 4.4: Coefficienti di reitenza localizzata x in funzione del diametro D della ezione intereata dal paaggio del fluido per alcuni elementi tipici di un circuito idraulico. 4.

68 Figura 4.5: Abaco di Moody 4.

69 Le perdite ditribuite Y d ono direttamente proporzionali alla quota cinetica e alla lunghezza del tubo, ed inveramente proporzionali al diametro del tubo. Per tubazioni circolari, detto λ (peo è indicato anche come C f ) il coefficiente d attrito, le perdite ditribuite riultano: V L Y d = λ (4.7) g D Il coefficiente d attrito λ è a ua volta funzione del numero di Reynold e della rugoità relativa: λ = f ( Re,ε / D) (4.8) Nel cao in cui il moto all interno del condotto ia laminare, eite una oluzione analitica del moto che porta alla eguente epreione per il coefficiente d attrito: 64 λ = (4.9) Re dove il numero di Reynold è epreo in funzione del diametro D: ρvd Re = (4.0) µ La relazione (4.9) è vera e e olo e il moto è laminare, e ciò è icuramente verificato e Re < 000. Per numeri di Reynold maggiori il regime di moto all interno delle tubazioni può diventare turbolento, a econda anche della rugoità uperficiale delle pareti interne del condotto. Per valori elevati del numero di Reynold (Re > ), il moto i dice turbolento completamente viluppato. In tali condizioni la dipendenza delle perdite dal numero di Reynold diventa tracurabile, mentre reta la dipendenza dalla cabrezza relativa. Tuttavia, un legame analitico che permetta il calcolo del coefficiente d attrito non eite, e le informazioni diponibili ono di origine perimentale. Tali informazioni ono raccolte in forma grafica nell Abaco di Moody, riportato in figura 4.5, che fornice appunto il valore del coefficiente d attrito in funzione del numero di Reynold e della cabrezza relativa. Qualunque ia il regime di fluo (laminare, tranizionale o turbolento completamente viluppato), l Abaco di Moody permette di valutare il coefficiente d attrito che, a ua volta, permette di calcolare le perdite ditribuite lungo i condotti tramite la (4.7). Sotituendo le epreioni delle perdite concentrate (4.6) e ditribuite (4.7) nella relazione (4.5) i ricava: L V H = Hg + ξ + λ (4.) D g D altra parte, dall epreione della portata è poibile eprimere la velocità dell acqua nei condotti in funzione di quet ultima: Q V = (4.) A eendo A la ezione di paaggio del tubo. Sotituendo la relazione precedente nella (4.) i ricava infine la curva di funzionamento dell impianto, cioè la legge di variazione della prevalenza con la portata: L Q H = Hg + + ξ λ D ga (4.3) Si nota come la curva di funzionamento dell impianto appena trovata ia una parabola che intereca l ae delle ordinate quando H = H g, come motrato qualitativamente in figura 4.6. Si ricorda che la (4.3) è tata ricavata per un circuito in cui i due erbatoi, o bacini di monte e di valle, i trovano entrambi alla preione atmoferica. Se uno, o entrambi, i erbatoi riultano in preione, al alto geodetico e alle perdite andrà ommata la differenza di preione eitente tra i due erbatoi: L Q p p H = Hg + ξ + λ + (4.4) D ga ρg 4.3

70 Operativamente, il dimenionamento dell impianto viene fatto per una ben precia condizione di funzionamento, cioè per un ben precio valore della portata. Nota la portata, per valutare le perdite è neceario fiare la ezione di paaggio dei tubi, e cioè il loro diametro. La celta del diametro dei tubi deriva da un compromeo tra due apetti contratanti: piccoli valori del diametro comportano alte velocità dell acqua, e quindi alte perdite e alti coti di eercizio. D altra parte, elevati valori del diametro comportano tubi più peanti, e quindi più cotoi e quindi maggiori coti di invetimento. Un buon compromeo riulta eere quello di limitare la velocità dell acqua nelle tubazioni ad un valore inferiore ai 3 m/. H H g Q Figura 4.6: Curva caratteritica dell impianto Accoppiamento macchina - impianto Fin ora i ono analizzate eparatamente le pretazioni di un impianto, cioè come varia la prevalenza richieta da un impianto al variare della portata, e la curva caratteritica della pompa. Nella pratica, una volta inerita la macchina nell impianto, il punto di funzionamento reale dell impianto riulterà dall interezione tra la curva caratteritica dell impianto e quella della macchina, coì come chematicamente rappreentato dal punto in figura 4.7. Nel punto i ha il raggiungimento dell equilibrio dinamico tra ciò che l impianto richiede, e ciò che la macchina fornice. H caratteritica circuito caratteritica pompa Q Figura 4.7:Punto di funzionamento. 4.4

71 Il punto di funzionamento dell impianto può variare nel tempo e, all interno delle tubazioni le perdite aumentano a caua di eventuali incrotazioni. Il punto di funzionamento può poi venire variato in due modi poibili: cambiando il regime di rotazione della pompa (figura 4.8b) o agendo ull apertura di una valvola di intercettazione pota ulla tubazione (4.8a). In queto econdo cao, la preenza di una valvola nel condotto cotituice una perdita localizzata, perdita che arà tanto maggiore quanto più la valvola verrà chiua. Figura 4.8:Regolazione del punto di funzionamento attravero la variazione a) del grado di apertura di una valvola o b) del regime di rotazione della pompa. a) b) Figura 4.9: a) pompe in erie e b) pompe in parallelo. E poi poibile che la ingola pompa non ia in grado da ola di fornire o tutta la portata o tutta la prevalenza richiete, o entrambe. In queti cai i ricorre alla configurazione in erie o in parallelo. Nella configurazione in erie, ogni macchina viene attraverata dall intera portata Q che percorre l impianto; la prevalenza richieta dall impianto arà invece pari alla omma delle prevalenze fornite dalle ingole macchine. Il punto di funzionamento arà quindi dato 4.5

72 dall interezione tra la curva dell impianto e quella riultante dalla mea in erie delle macchine, coì come evidenziato in figura 4.9a. Per ottenere tale curva bata ommare, a parità di portata, le prevalenze delle due macchine H A e H B. Nel cao di dipoizione delle macchine in parallelo, queta volta ogni macchina fornirà tutta la prevalenza richieta dall impianto, ma ognuna elaborerà olo una parte della portata. Anche in queto cao, il punto di funzionamento riulterà dall interezione tra la curva dell impianto e quella riultante dalla mea in parallelo delle macchine coì come chematizzato in figura 4.9b. Per ottenere tale curva bata ora ommare, a parità di prevalenza, le portate delle due macchine Q A e Q B. Va infine notato come l interezione tra curva caratteritica della macchina e dell impianto non empre cada in condizioni di accoppiamento tabile. Quando infatti la pendenza della curva dell impianto riulta minore ripetto a quella della pompa, coì come motrato dal punto B in figura 4.0, l accoppiamento non è più tabile, e inorgono fenomeni di intabilità. Se infatti, partendo dal punto B, a caua dell inorgere di un diturbo l impianto richiede una maggior prevalenza, la pompa riponderà aumentando la portata. L impianto reagirà aumentando ulteriormente la prevalenza richieta, riultandone in un amplificazione del diturbo originale e in un definitivo allontanamento dalle condizioni di funzionamento originali, fino al punto di maimo B, o addirittura i verificherà un arreto del moto. Ciò non avviene e il punto di funzionamento riulta eere il punto B in figura 4.0: e i genera un diturbo per cui l impianto richiede una maggior prevalenza, la pompa ridurrà la portata elaborata, riportando il punto di funzionamento nella poizione originale. Va infine detto come l inorgere di una intabilità nel funzionamento, detto pompaggio, in realtà dipende da macchina a macchina, e dall accoppiamento macchina impianto. Eo infatti dipende dalla preenza, nella curva di funzionamento della pompa, di un maimo, ma anche dalla capacità di morzamento delle piccole perturbazioni da parte dell impianto. Figura 4.0: Stabilità di funzionamento di una pompa Cavitazione e altezza di apirazione Si ha cavitazione quando la preione in un punto all interno dell impianto cende otto la preione di vapore. Se ciò accade, i creano delle bolle di vapore circondate dal liquido. Quando la preione riale, il vapore condena, mentre l acqua circotante occuperà il volume laciato libero dalle bolle. L effetto è quello di una imploione delle bolle. Queta imploione è etremamente rapida e genera 4.6

73 delle onde di ovra-preione. Se avviene in proimità delle uperfici palari, dà luogo ad un azione meccanica ulle uperfici tee, riultandone in una veloce eroione. 0 Figura 4.: Altezza di apirazione. La preione di vapore dipende dal tipo di fluido e dalla temperatura a cui i trova. A 00 C è dell ordine dei 00 kpa, a 80 C i è già dimezzata (50 kpa), riultando inferiore ai 0 kpa per temperature dell acqua pari a 40 C. Ea quindi diminuice fortemente con la temperatura. Ea inoltre dipende dalla preenza o meno di ga diciolti nell acqua. Applichiamo l equazione di conervazione dell energia (equazione di Bernoulli) tra le condizioni 0 (pelo libero del erbatoio) e la flangia di apirazione della macchina, indicata con in figura 4.: p0 V0 p V gz = gz gy0 (4.5) ρ ρ dove Y 0 indica le perdite (concentrate e ditribuite) di energia meccanica tra 0 e, e cioè nel condotto di apirazione. La velocità di abbaamento del pelo libero V 0 è uppota tracurabile quando l acqua viene apirata da un erbatoio grande. Con queta ipotei, l equazione (4.5) i riduce alla forma eguente: p patm V = hap Y0 (4.6) ρ g ρ g g dove i è indicata con h ap l altezza di apirazione, cioè la differenza di quota tra la flangia di apirazione della macchina e il pelo libero del bacino di valle z z 0. Perché non i verifichi cavitazione è neceario che ia p p v. In realtà il punto a minima preione non è proprio ulla flangia di ingreo della pompa, ma leggermente dentro la macchina. Anche e tra ingreo e ucita della pompa la preione aumenta, localmente ci ono delle zone all interno della macchina, vicine all ingreo, in cui la preione è minore ripetto all ingreo. Quindi in realtà la preione minima è inferiore ripetto alla preione miurata alla flangia di apirazione (p - p). Perché non i verifichi cavitazione dovrà eere allora verificata la eguente diuguaglianza: p p p v + p g (4.7) ρ ρ dove p g è la preione parziale dei ga diciolti nell acqua. In preenza di una bolla contenente una micela di ga e vapore, il vapore non vede la preione al contorno, ma la ua preione parziale (ovvero la preione che avrebbe e ci foe olo lui nella bolla). La preione al contorno è invece la omma algebrica delle preioni parziali del ga e del vapore. In pratica, in preenza di ga diciolti nell acqua, la cavitazione avviene prima. Sotituendo la (4.6) nella (4.7) i ottiene: 4.7

74 p pv + p atm g V p hap Y0 + (4.8) ρg ρg g ρg p v + p Tutti i termini a initra della diuguaglianza dipendono dall impianto. Anche g, che ρ dipende dal tipo di liquido apirato e dalle condizioni di funzionamento (temperatura dell acqua e preione parziale dei ga diciolti). L inieme di tali termini i chiama NPSH diponibile o dell impianto, dall inglee Net Poitive Suction Head che, tradotto in italiano, ignifica prevalenza netta poitiva in apirazione. Vicevera, i termini a detra del egno di diuguaglianza dipendono unicamente dal funzionamento della pompa, eendo p la caduta di preione tra la flangia di apirazione e il punto di minima preione. Il loro inieme va otto il nome di NPSH richieto o della pompa. La relazione precedente quindi aume la forma eguente: NPSH NPSH (4.9) ( ) im ( ) p Il cotruttore della pompa non può apere a priori dove andrà intallata la macchina, e quindi non può dare informazioni ulla parte a initra, ma olo ul termine a detra. Il cotruttore prova la pompa u banco, e miura la preione totale in ingreo alla pompa p t quando ta iniziando a cavitare (il che comporta un aumento del rumore, delle vibrazioni, e un crollo delle pretazioni). Ma, in condizioni di incipiente cavitazione, la preione minima riulta eattamente uguale alla preione di vapore, più quella dei ga diciolti: p p p p v + p min = = g ρ ρ ρ ρ (4.30) La preione totale miurata a banco in quete condizioni vale quindi: p t p V V p pv + p g = + = + + (4.3) ρ ρ ρ ρ p v + p Tale preione totale viene depurata del termine g, per rendere il riultato indipendente dalle ρ condizioni di prova e ottenere quindi una caratterizzazione del comportamento della pompa qualunque ia l applicazione reale. Ciò che allora miura, e fornice all acquirente, è l NPSH richieto dalla pompa. Se i conidera una ingola pompa (D fiato), e i pena di farla ruotare a divere velocità di rotazione, i avrà un valore dell NPSH variabile a econda del regime di rotazione. In particolare, la macchina andrà in cavitazione in corripondenza delle alte portate; di coneguenza la curva caratteritica della pompa ulle alte portate è limitata dall inorgere della cavitazione. Una volta definito il tipo di pompa e le condizioni di funzionamento in cui dovrà operare, la celta di dove andare effettivamente ad intallare la macchina nell impianto è allora impota dalle coniderazioni fatte in precedenza riguardo all evitare l inorgere della cavitazione. E allora poibile valutare l altezza maima di intallazione della pompa emplicemente a partire dalla (4.8): patm ( ) ( pv + pg ) hap = Y0 ( NPSH) p (4.3) max ρg La pompa andrà quindi intallata ad una ditanza dal pelo libero del bacino di valle inferiore alla maima altezza di apirazione conentita. Quando la maima altezza di apirazione riulta negativa, i dice che la pompa va intallata otto battente. Bibliografia Macchine a fluido incomprimibile, C. Caci, Ed. Maon Italia Editori Macchine Idrauliche, G. Cornetti, Ed. Il Capitello Torino 4.8

75 CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE 5.. Introduzione La Teoria della Similitudine ha principalmente due utilizzi: etendere i riultati ottenuti tetando una ingola macchina ad altre condizioni operative o a una famiglia intera di macchine che, in entrambi i cai, oddifino ben precii criteri individuare, per ogni applicazione, la geometria della macchina che permetta di ottenere il maimo rendimento. La Teoria della Similitudine aerice che macchine che oddifano la imilitudine fluidodinamica hanno uguale rendimento. Affinché due macchine iano in imilitudine devono eere oddifatte le eguenti condizioni:. Similitudine geometrica: tutte le dimenioni devono eere in cala, in particolare diametri, altezze di pala, angoli, peori.. Similitudine cinematica: tei rapporti di velocità e quindi tei triangoli di velocità. 3. Similitudine dinamica: tei rapporti tra le forze, e quindi teo numero di Reynold. 4. Steo numero di Mach (effetto della comprimibilità). Se le quattro condizioni ono contemporaneamente verificate, allora le macchine i dicono Simili e hanno uguale rendimento. Si ricorda che il numero di Reynold è definito come: ρvl VL forze d'inerzia Re = = = (5.) µ ν forze vicoe dove L è una lunghezza caratteritica, V è la velocità del fluido, µ e ν ono ripettivamente la vicoità dinamica e cinematica. Va oervato che la imilitudine geometrica deve eere verificata u ogni cala. Queto comporta alcune limitazioni. In particolare, nel paaggio da macchine grandi a macchine piccole non empre è poibile riprodurre in perfetta cala gli peori (per limiti impoti dalle lavorazioni e dalla reitenza meccanica), i giochi (per i limiti impoti dalle dilatazioni) e la rugoità uperficiale (per limiti impoti dalle lavorazioni). Coneguentemente, macchine piccole avranno un rendimento peggiore. Altri limiti derivano dal fatto che, perché iano verificate contemporaneamente la imilitudine cinematica e quella dinamica, i fluidi devono avere lo teo comportamento termodinamico e volumetrico, e l influenza del numero di Reynold Re deve eere tracurabile. Il primo effetto riulta ininfluente e il fluido di lavoro è incomprimibile, mentre il econdo apetto è verificato e il numero di Reynold è maggiore di 5 0 5, cioè per moto turbolento completamente viluppato. 5.

76 5.. Teorema P o di Buckingham Vediamo più nel dettaglio la derivazione matematica di queta teoria, e gli trumenti che ea mette a dipoizione per la rioluzione pratica di problemi di progettazione. La Teoria della Similitudine i baa ul Teorema Π. Eo dice che, celta una funzione obiettivo y, decritta da n variabili: y = f( x, x, x3,......, x n ) (5.) il fenomeno coì rappreentato può eere tudiato tramite una funzione f * eprea in termini a- dimenionali: Π y = * f ( π, π, π 3,......, π m ) (5.3) dove il numero di parametri a-dimenionali m è pari a n q, eendo q il numero di unità fondamentali (lunghezza L, tempo T, maa M e temperatura θ). Il Teorema Π permette quindi di ridurre il numero di variabili da controllare. Queto indipendentemente dalla forma matematica aunta dalle funzioni f e f *. Per conocere tali funzioni arà poi neceario ricorrere alla perimentazione. M n P Q gh ρ = cot P η Figura Pompa 5.3. Analii dimenionale: Pompa Applichiamo il Teorema Π al cao di una pompa (ρ = cotante). Con riferimento alla figura 5., conideriamo la macchina come una catola chiua e andiamo a controllare ingreo (ezione ) e ucita (ezione ). In quete ezioni miuriamo preione, velocità e denità, in modo tale da poter calcolare la portata volumetrica Q, la prevalenza gh e il rendimento η. Supponiamo inoltre di ripetere le miure a divere velocità di rotazione n della macchina. Innanzitutto, biogna individuare le funzioni obiettivo. Nel cao della pompa, abbiamo vito come il uo funzionamento ia noto e i conocono la prevalenza gh, il rendimento η e la potenza aorbita P. Biogna quindi identificare le grandezze da cui quete tre variabili dipendono: i ditingue tra: variabili geometriche: { L i }D,, dove la prima è compota da una erie di parametri geometrici che permettono di eeguire la macchina in officina, mentre il econdo è il diametro eterno della girante. variabili del fluido: ρ, µ (vicoità); definicono univocamente il fluido. variabili di controllo: n e Q; al loro variare definicono univocamente tutti i parametri della macchina. 5.

77 Figura 5.. Curve caratteritiche di una pompa. Il funzionamento della macchina è quindi decritto dalle eguenti relazioni: gh = f n, Q, ρ, µ, L, D η = f ( { } ) i ( n, Q, ρ, µ,{ Li}, D) ( n, Q, ρ, µ,{ L }, D) P = f3 i che, in forma compatta, diventano: gh η = f ( n, Q,,,{ L } D),,3 ρ µ i, (5.5) P Si hanno quindi 7 variabili (di volta in volta 6 indipendenti e obiettivo) e 3 unità fondamentali, avendo coniderato un cao incomprimibile. Da un punto di vita grafico, il legame epreo dalla relazione (5.5) non è altro che la famiglia di curve di funzionamento della pompa, già ricavate nel Capitolo 4, che ono richiamate in figura 5.. Il Teorema Π dice che è poibile ottenere tre nuove relazioni funzionali dipendenti da 4 parametri a-dimenionali. Al poto di utilizzare L, T, M celgo una terna di grandezze indipendenti più appropriata: D (ha le dimenioni di una lunghezza [L]) al poto di L n (ha le dimenioni di [T - ]) al poto di T 5.3 (5.4)

78 ρ (ha le dimenioni di [ML -3 ]) al poto di M La normalizzazione dei vari termini porta ad introdurre i eguenti parametri: da gh [J/kg = m / gh ] Ψ = n D (5.6) da Q [m 3 / = m 3 Q /] Φ = 3 nd (5.7) da P [W = kg m / 3 ] ˆ P P = ρ 3 5 n D (5.8) µ da µ [kg/(m)] = Re ρnd (5.9) { L } da { L i } [m] Lˆ i i = D (5.0) dove n va epreo, a econda della definizione precelta, in cicli/ec o in rad/. L analii dimenionale porta quindi alla eguente relazione: Ψ * η = f (,Re, Lˆ i ),,3 Φ Pˆ (5.) Per due macchine imili (cioè che oddifano le quattro condizioni richiete dalla imilitudine), oppure per la ingola macchina (per due uoi punti di funzionamento in imilitudine tra loro e che quindi preentano lo teo rendimento), la relazione (5.) diventa: Ψ * η = f ( Φ),,3 ˆ P (5.) Se i applica quanto appena vito alla ingola macchina, i vede che la famiglia di curve portata prevalenza al variare del numero di giri, e traformate in forma a-dimenionale tramite le relazioni (5.6) e (5.7), corripondono ad un unica curva in termini dei parametri φ e ψ (equazione (5.)), coì come eplicitato in figura 5.3. Tali parametri i chiamano ripettivamente coefficiente di portata e di prevalenza. Ogni punto appartenente a detta curva avrà un ben precio rendimento, che quindi cambia lungo la curva. Sarà infine poibile individuare il punto di maimo rendimento. Nella realtà le variabili obiettivo ono olo due (gh e η), eendo poibile ricavare la potenza in funzione delle altre due. Per una pompa, la potenza reale aorbita all albero della macchina vale: ρqgh P = η (5.3) H n Ψ Q φ Figura 5.3. Curva caratteritica a-dimenionale di una pompa. 5.4

79 Sotituendo la (5.3) nell epreione della Pˆ i ricava, dopo alcuni paaggi: * ˆ QgH Q gh f ( Φ) P = = = ΦΨ = Φ (5.4) * ηd n η nd n D η f ( Φ) Si ricorda che due macchine imili devono realizzare gli tei triangoli di velocità, cioè gli tei cambi energetici con il fluido. Ciò inoltre vuol dire avere uguale rendimento e quindi tei valori di Φ e Ψ. Si ottolinea inoltre che detta Teoria non dice nulla u come quete funzioni iano fatte. La loro forma potrà eere ricavata attravero la perimentazione o la imulazione numerica. p t, T t M n C ρ cot P p t, T t, m& Figura 5.4. Compreore 5.4. Analii dimenionale: Compreore Ripetiamo quanto appena fatto per la pompa nel cao di una macchina operatrice operante u un fluido comprimibile, come un compreore aiale. Conideriamo ancora la macchina come una catola nera (figura 5.4), e andiamo a miurare preione e temperatura totali in ingreo ed ucita, portata in maa, potenza aorbita e numero di giri. Supponiamo inoltre, come già fatto in precedenza, di ripetere le miure a divere velocità di rotazione n della macchina. Nel cao di macchina operante u fluido comprimibile, il lavoro cambiato tra macchina e fluido è funzione della differenza di entalpia totale a cavallo della macchina che, per un ga perfetto, è a ua volta funzione della variazione di temperatura totale e del rapporto di compreione. Le variabili dipendenti aranno allora la preione totale allo carico p t, il rendimento η e la differenza di temperatura totale a cavallo della macchina T t. Biogna quindi identificare le grandezze da cui quete tre variabili dipendono: variabili geometriche: { L i }D,. variabili del fluido: p t, T t, µ, R, γ; le ultime due nel cao di ga perfetto. variabili di controllo: n e m&. Si ricava quindi una funzione obiettivo della forma eguente: pt η = f ( n, m&, p T R { L } D),,3 t, t, µ,, γ, i, (5.5) T t Applicando l analii dimenionale alla relazione precedente, introducendo opportuni gruppi a- dimenionali, i ricava: 5.5

80 pt pt mn & µ n RTt η = f Lˆ 4,5,6,,, γ, i (5.6) T ptd pt D n t Tt Analizzando i diveri termini che compaiono tra parentei nella relazione (5.6) i oerva come il terzo gruppo a-dimenionale ia proporzionale al numero di Mach e il econdo al numero di Reynold. Il primo gruppo viene detto portata corretta, e traformato nella forma eguente: mn & mnd & m& RTt = = (5.7) p D t ptd ptd eendo, per un ga perfetto, RT t D n attravero il numero di Mach. Nell ipotei che ia verificata la imilitudine geometrica e di Reynold la (5.6) i emplifica: β m& RT t t Dn = f,, γ 4,5,6 (5.8) η ptd RTt eendo β t il rapporto tra le preioni totali a cavallo della macchina. La figura 5.5 riporta, a titolo di eempio, le curve caratteritiche di un compreore aiale, in cui ono rappreentate ia le curve portata corretta rapporto di compreione totale al variare del regime di rotazione, ia le curve collinari del rendimento. Si nota come la comprimibilità del fluido faccia ì che i abbiano curve divere, e non più una ola: tali curve tetimoniano infatti l influenza del numero di Mach. Le curve che i ono ricavate rappreentano il funzionamento di una generica macchina. Se però ee i rifericono ad una ingola macchina, e quindi ad una ben precia geometria, e ad un ben precio fluido, è poibile eliminare la dipendenza dal diametro e dal tipo di fluido. Figura 5.5. Curva caratteritica a-dimenionale di un compreore. 5.6

81 Figura 5.6. Curva caratteritica a-dimenionale di una turbina operante u fluido comprimibile. Il cao della turbina operante u fluido comprimibile è del tutto analogo, coì come i parametri a- dimenionali coinvolti nella decrizione del uo funzionamento. Per completezza, in figura 5.6 viene riportato un eempio di curve caratteritiche di una turbina Numero di giri pecifico e diametro pecifico Conideriamo ancora il cao della pompa. Si definice Numero di Giri Specifico n il eguente parametro non-dimenionale: x x y y ( Φ) Q n D n = = (5.9) y x 3x y ( Ψ) n D ( gh) Gli eponenti x ed y vengono celti in maniera tale da eliminare la dipendenza eplicita dalla geometria, cioè da D. Con alcuni paaggi i ricava: Q n = n (5.0) 3 4 (gh) In maniera del tutto analoga i definice anche il diametro pecifico D : ( gh) = D (5.) Q D 4 Nelle relazioni precedenti tutti i termini vanno eprei in unità di miura del itema internazionale. Quindi n va epreo in [cicli/ec], Q in [m 3 /ec], gh in [J/kg] e D in [m], eendo quet ultimo il diametro eterno della girante, rappreentativo dell ingombro della macchina. 5.7

82 Figura 5.7. Diagramma di Balje D w per pompe mono-tadio, con linee io-rendimento idraulico. In letteratura eitono divere formulazioni del numero di giri pecifico. Un altra poibile definizione coinvolge, al poto del numero di giri, la velocità angolare ω: Q ω = ω (5.) 3 4 (gh) Si è vito come macchine imili, coì come punti di funzionamento della ingola macchina imili, preentino gli tei valori dei coefficienti di portata e di prevalenza, oltre che lo teo rendimento. Dalle definizioni di numero di giri e diametro pecifici ne deriva che macchine imili preentano anche lo teo valore di detti parametri. Quindi, il numero di giri pecifico individua una famiglia di macchine imili. La figura 5.7 riporta, per il cao delle pompe, il Diagramma di Balje, di origine empirica, che riporta l andamento dei parametri ω D e del rendimento idraulico per differenti poibili geometrie di pompe, da quelle radiali, a quelle a fluo mito, fino alle pompe aiali. Nel diagramma di Balje è inoltre tracciata la linea che unice i punti aventi, fiato ω, il maimo rendimento. Tale linea individua quella che è la geometria (e cioè il D ) ottima per un ben precio valore del numero di giri pecifico. Il riultato di tale procedimento di etrazione della linea ottimizzata è riportato in figura 5.8. Il proceo di celta della macchina ottima per una certa applicazione paa attravero un procedimento di ottimizzazione in cui ono note da un lato le caratteritiche dell impianto in cui la macchina va intallata, e cioè portata e prevalenza, ed è neceario dall altro cegliere il regime di rotazione, e cioè n, e i parametri geometrici a-dimenionali che definicono la macchina (l/d, D /D, α, β eendo l l altezza di pala, D e D i diametri all ingreo e all ucita della macchina, α 5.8

83 e β gli angoli d ucita delle palette dello tatore e del rotore ripettivamente). Scegliere l ω lega impianto e macchina perché, aociato ad ogni valore di ω, i ha una famiglia di macchine a geometria ottimizzata, che cioè hanno un ben precio valore di D (fia i parametri geometrici in termini di rapporti a-dimenionali e gli angoli) che, per quella applicazione, fornice il maimo rendimento. Grazie alla Teoria della Similitudine, tutte le macchine (di divera geometria e potenza) che avranno lo teo ω avranno anche lo teo rendimento, che arà il maimo poibile per quell applicazione. Saranno poi anche altri tipi di coniderazioni (economiche, di ingombri ecc.) che incideranno ulla celta definitiva. Figura 5.8 Rendimento in funzione di w per geometrie ottimizzate. Operativamente parlando, il proceo di celta della macchina ottima può in pratica eere condotto in due modi ditinti. Una prima poibilità conite nell utilizzare la Teoria della Similitudine inerita in un proceo di ottimizzazione; note le caratteritiche dell impianto, ea infatti fornice un modello matematico che, attravero algoritmi di ottimizzazione, permette di ottenere la geometria ottima, cioè quella combinazione dei parametri a-dimenionali (l/d, D /D, α, β) e del numero di giri per cui il rendimento è maimo. Una econda trada i baa ull impiego di informazioni derivanti da altre macchine già cotruite e tetate, che hanno permeo di tracciare diagrammi del tipo di quello di Balje riportato in Figura 5.7. Nel paato infatti ono tati raccolti dati di origine perimentale ul funzionamento di numeroe macchine. A partire da queti dati ono tate cotruite delle curve che fornicono i valori del rendimento ottimo in funzione del numero di giri pecifico per le divere tipologie di macchine. La Figura 5.8 riporta tali curve, relativamente al cao delle pompe. In queto grafico i ditinguono tre zone: per bai valori di ω i hanno le macchine lente cioè che elaborano bae portate ma fornicono alte prevalenze (pompe centrifughe). Per valori crecenti di ω i incontrano dapprima le 5.9

84 macchine a fluo mito e quindi quelle aiali, che elaborano bai alti ma grandi portate. Dalla figura i vede inoltre come, al variare del numero di giri pecifico vari la geometria della macchina. Grafici analoghi eitono anche per le turbine idrauliche e per i compreori. Il numero di giri pecifico, coì come il diametro pecifico, poono eere uati, oltre che per la celta della geometria ottima per una ben precia applicazione, anche per determinare un legame tra punti di funzionamento diveri della ingola macchina, ma tra loro imili. E infatti poibile tracciare, ad eempio nel piano caratteritico della pompa, le curve a ω cotante, coì come motrato in figura 5.9. Dette curve ono delle parabole paanti per l origine. Tutti i punti di funzionamento di una macchina, per quanto caratterizzati da diveri regimi di rotazione, che interecano la curva a ω cotante, ono tra loro imili, e quindi preentano uguale rendimento. E allora poibile, nota la curva caratteritica ad un definito regime di rotazione n, determinare la curva caratteritica per un qualunque altro regime n. La curva di funzionamento della pompa, coì come ricavata nel Capitolo precedente, ha la forma eguente: gh = A BQ (5.3) eendo le cotanti A e B funzione della geometria della macchina e del regime di rotazione. La relazione precedente può facilmente eere ricritta in termini dei parametri a-dimenionali di portata Φ e prevalenza Ψ, utilizzando i valori noti al regime di rotazione n : gh A 4 Q = ( BD ) (5.4) 6 n D nd nd che, eplicitando i coefficienti di portata e prevalenza diventa: A 4 Ψ = ( BD ) Φ (5.5) nd E allora poibile ricavare la curva di funzionamento della macchina per il generico regime di rotazione, emplicemente ricordando che, per punti tra loro imili, i parametri a-dimenionali retano cotanti: gh gh = (5.6) n n Q Q = (5.7) n n che, otituite nella (5.4), fornicono: n gh = A BQ (5.8) n Allo teo riultato i poteva giungere coniderando, al poto dei coefficienti di portata e prevalenza, il numero di giri pecifico. H ω =cot n Figura 5.9 Curve a ω cotante nel piano H-Q di una pompa. 5.0 Q

85 5.6. Limiti di validità Si è detto come, nella realtà, la Teoria della Similitudine ia valida olo otto ben determinate ipotei, peo difficilmente realizzabili. Per le macchine idrauliche, la imilitudine cea di eere valida alle alte velocità (Φ>0.06) perché l inorgere della cavitazione fa i che la imilitudine geometrica e dinamica non iano più verificate. Vicevera, a baa velocità (Φ<0.0), l influenza del numero di Reynold può non eere tracurabile, e quindi la imilitudine dinamica non è più verificata. Per quanto invece riguarda i limiti di validità riguardanti la imilitudine geometrica e, per le macchine termiche, l influenza del numero di Mach (comprimibilità) e del numero di Reynold, è poibile etendere il campo di validità dei riultati ottenuti in precedenza a patto di introdurre dei fattori correttivi. Gli effetti di taglia vengono tenuti in coniderazione introducendo il parametro di Taglia VHC (ha le dimenioni di una lunghezza) coì definito: Q VHC = (5.9) ( gh ) 4 Per tenere conto degli effetti della comprimibilità, che i traduce da un lato in una variazione della denità del fluido e dall altro in una variazione delle perdite coneguente alla variazione del numero di Mach, i introduce un nuovo parametro dato dal rapporto tra le portate volumetriche in ucita e ingreo alla macchina. Gli effetti di Re vengono invece comunque tracurati. Ne riulta quindi una Teoria della Similitudine corretta, che tiene conto del fatto che la imilitudine geometrica non empre è verificata e che la comprimibilità del fluido può giocare un ruolo non tracurabile. Allora, perché due macchine poano eere coniderate imili, dovranno avere lo teo valore dei eguenti parametri: Q n ; ; VHC con Re > Q Si ricorda che la prevalenza gh non è altro che il lavoro ideale cambiato tra fluido e macchina. Nel cao di macchina termica, cioè operante con fluido comprimibile, in tutte le epreioni precedenti al poto della prevalenza va otituito il alto entalpico ientropico a cavallo della macchina: n VHC Q = n (5.30) 3 4 h ) ( Q = (5.3) ( h ) 4 Nel calcolo del numero di giri caratteritico tramite la (5.30) infine, la portata volumetrica Q va calcolata in ingreo alla macchina, e queta è operatrice (compreore), e in ucita e invece è una macchina motrice (turbina). Bibliografia Macchine a fluido incomprimibile, C. Caci, Ed. Maon Italia Editori Macchine Idrauliche, G. Cornetti, Ed. Il Capitello Torino 5.

86 CAPITOLO 6 IMPIANTI IDROELETTRICI 6.. Introduzione In queto capitolo analizzeremo gli impianti idroelettrici. Si determinerà la prevalenza diponibile all impianto e i dicuteranno le turbine idrauliche più diffue (Pelton, Franci e Kaplan). Le turbine idrauliche ono macchine motrici che traformano l energia potenziale geodetica (di poizione nel campo gravitazionale) in energia meccanica. Si ricorda innanzi tutto che, a differenza delle macchine termiche, le turbine idrauliche ono macchine mono-tadio, hanno elevate potenze a caua delle grandi portate maiche elaborate (ρ molto elevato), pur eendo caratterizzate da baa energia per unità di maa. Si ricordi infatti che, nel cao ideale, il lavoro cambiato tra fluido e macchina, con le opportune emplificazioni, può eere calcolato come, eendo ρ = cot: p L id = vdp = (6.) ρ Eendo la denità dell acqua molto più grande di quella dell aria (000 kg/m 3 contro. dell aria), è evidente come, a parità di differenza di preione, le turbine idrauliche iano caratterizzate da minori energie per unità di maa. Ciò i traduce nel fatto che le velocità in gioco nelle macchine idrauliche ono bae ripetto a quelle preenti nelle macchine termiche, bati penare all epreione del lavoro di Eulero: Leu = Lr = UV t UV t (6.) Ciò nonotante gli forzi meccanici ulle palettature ono elevati. La celta di una tipologia di macchina piuttoto che di un altra è legata alle caratteritiche dell impianto in cui queta deve eere intallata, e cioè portata e prevalenza diponibili. Le turbine Pelton trovano applicazione in impianti in cui ad alti alti ( m) iano accoppiate bae portate (0.5 0 m 3 /). All etremo oppoto, e cioè per grandi portate e bai alti, i trovano le turbine Kaplan o eliche (3 40 m; m 3 /), mentre in tutte le condizioni intermedie i preferice optare per le Franci (0 400 m; 50 m 3 /). Un eempio della loro geometria è riportato in figura 6.. Si nota come la turbina Pelton poa eere coniderata una macchina aiale, trovandoi il fluido ad una ditanza cotante dall ae di rotazione, anche e il fluido i muove u un piano tangenziale-aiale. Ea è inoltre una macchina ad azione, eendo la girante libera in atmofera, e quindi operante a preione cotante e ad ammiione parziale, cioè non tutte le pale lavorano contemporaneamente. La turbina Franci è invece una macchina a fluo mito centripeta, mentre l elica è una macchina a fluo aiale. La Teoria della Similitudine fornice, anche nel cao delle turbine idrauliche, uno trumento utile nella fae di elezione della geometria ottima per ogni particolare applicazione. In analogia a quanto vito nel Capitolo 5 relativamente alle pompe, anche per le turbine idrauliche ono tati tracciati dei grafici di origine empirica analoghi al Diagramma di Baljé (figura 6.). La figura 6.3 riporta come varia il rendimento al variare del numero di giri pecifico, e quindi della tipologia di macchina, per geometrie ottimizzate. Per ogni tipologia di macchina è poi poibile aociare a ciacun numero di giri pecifico una geometria ottimale della macchina. 6.

87 Figura 6. Turbine idrauliche. 6.

88 Figura 6. Diagramma di Baljé per le turbine idrauliche. Figura 6.3 Rendimento in funzione di w per geometrie ottimizzate. Z T Z Figura 6.4 Schema di un impianto idroelettrico. 6.3

89 6.. Salto motore e K p L energia mea a dipoizione dall impianto idraulico, e fruttabile dalla turbina, viene calcolata effettuando un bilancio di energia tra le ezioni individuate dai peli liberi dei bacini di monte e valle. Conideriamo l impianto idroelettrico chematizzato in figura 6.4 e applichiamo l equazione di Bernoulli tra il pelo libero del bacino di accumulo, indicato con, e il pelo libero del bacino di raccolta, indicato con : p p V V + + z z (6.3) H m ( ) Y = ρg g dove H m è detto alto motore. Il alto motore non è altro che l energia netta diponibile alla turbina. Eo è quindi, dal punto di vita della macchina, il lavoro idealmente diponibile. All interno della macchina il fluido ubirà delle perdite, e quindi la turbina erogherà all albero una potenza minore. Con le uuali ipotei, già aunte nel cao degli impianti di ollevamento acqua, per cui l effetto della variazione di quota ulla preione atmoferica i uppone tracurabile (p = p = p atm ), coì come la velocità di variazione del pelo libero dei due bacini (V = V ), l equazione di Bernoulli diventa: H m ( z z ) Y = (6.4) Introducendo il alto geodetico diventa: H = H Y (6.5) m g Si vede chiaramente che il alto motore è il alto geodetico depurato dalle perdite lungo la condotta. Eo rappreenta l energia a dipoizione della macchina. Il rapporto tra alto motore e alto geodetico prende il nome di rendimento della condotta: Hm η condotta = (6.6) Hg Infatti, e non ci foero perdite, nei condotti coì come nella macchina, la potenza idealmente diponibile arebbe eattamente quella corripondente al alto geodetico: P = ρ (6.7) id QgH g La preenza delle perdite nella condotta fa ì che la potenza effettivamente diponibile per eere fruttata dalla turbina ia: Pd = ρqgh m (6.8) La potenza che la turbina erogherà realmente all albero dell alternatore arà ovviamente inferiore: Pu = ηt ρqghm (6.9) eendo η t il rendimento della turbina. Queto rendimento tiene conto, in maniera del tutto analoga al cao delle pompe, di tre ditinti contributi: η t = ηidrηvηm (6.0) il rendimento idraulico η idr, tiene conto delle perdite fluidodinamiche che il fluido ubice nell attraveramento della macchina il rendimento volumetrico η v tiene conto delle eventuali perdite di portata nei trafilamenti il rendimento meccanico η m tiene conto delle perdite nelle tramiioni e nei cucinetti. Va notato come, in realtà, la ezione di ucita della macchina può trovari ad una quota divera ripetto al pelo libero del bacino di raccolta. Nel cao della Pelton il alto motore andrà calcolato tra il bacino di accumulo e la quota a cui i trova l ugello che alimenta la ruota. Nel cao delle turbine Franci e Kaplan, il alto motore corriponderà al dilivello tra i peli liberi dell acqua nella camera di alimento alla turbina e nel canale di carico allo bocco del diffuore. 6.4

90 Un parametro fondamentale nello tudio delle turbine, ed in particolare di quelle idrauliche, è il coefficiente di velocità periferica K p, definito come il rapporto tra la velocità periferica e un ipotetica velocità corripondente al alto motore: U U K p = = (6.) gh V m id A econda del valore aunto da queto parametro, i dice che una macchina è più o meno veloce. Analizziamo ora le tre principali tipologie di turbine idrauliche, cominciando dalla Pelton. Per ogni tipo di macchina ne arà fornita una decrizione dei diveri elementi che la compongono; i forniranno gli trumenti per calcolarne le pretazioni, e i definirà la condizione di maimo rendimento e il legame tra numero di giri pecifico e parametri geometrici della macchina Turbina Pelton Le turbine Pelton ono macchine ad azione a fluo tangenziale che lavorano con bae portate ma alti alti. Ee poono fornire potenze maime dell ordine dei 50 MW, con ruote aventi diametri dell ordine dei 6 m. La turbina Pelton (figura 6.5) i compone di uno o più ugelli (detti anche boccagli), poti allo carico della condotta forzata, e una ruota. In figura 6.5 è rappreentata una ezione (piano radialetangenziale) di una macchina ad ae verticale dotata di 6 ugelli. La condotta forzata traforma l energia geodetica in preione che gli ugelli traformano in energia cinetica dei getti d acqua che invetono la ruota. Con riferimento alla figura 6.6, all interno di ogni ugello è preente un elemento detto pina mobile, che permette la regolazione della portata. Eo è infatti agomato in maniera tale che, correndo all interno dell ugello, lungo il uo ae, permette di variare la ezione di bocco. Come vedremo, la velocità di ucita dell acqua dagli ugelli è impota dal alto motore, e quindi poco dipendente dalla portata (il alto motore varia leggermente con la portata, in quanto variano le perdite). L unico modo quindi di variare la portata è variando la ezione di ucita dal boccaglio, eendo: Q = VA (6.) Oltre alla pina mobile, ogni ugello è dotato di un elemento detto coltello o tegolo deviatore. Quet elemento ha lo copo di evitare le manovre bruche di chiuura rapida. Infatti, nel cao ia neceario interrompere itantaneamente l erogazione di potenza, il fluo d acqua viene prima deviato dal tegolo in modo che non colpica la ruota: la ruota coì non erogherà più potenza, mentre le valvole di intercettazione del fluo potranno venire chiue lentamente evitando l inorgere del colpo d ariete nella condotta. Quando i verifica una bruca manovra di chiuura dell ugello poono generari nella condotta delle onde di ovrapreione che a loro volta generano forti ollecitazioni ulla condotta tea che poono diventare ditruttive. L acqua in ucita dagli ugelli va a colpire le pale del rotore. Quete hanno una forma tipica a doppio cucchiaio (figura 6.8). L acqua colpice la pala nella zona centrale econdo la direzione tangenziale (V = V t ), e quindi i uddivide tra i due cucchiai. Con riferimento al diegno in figura 6.8, in cui è riportata la ezione aiale tangenziale della pala, l acqua lambice quindi la uperficie palare. Il fluo quindi evolve mantenendoi mediamente u un piano poto ad una ditanza cotante ripetto all ae di rotazione (in queto eno può eere coniderata una macchina aiale, eendo U = U = U ). Il fluo lacia quindi la pala del rotore con una velocità relativa W diretta tangente al bordo d ucita della pala, che forma un angolo β con la direzione tangenziale. Il fluo d acqua colpice una pala alla volta; ne riulterebbe quindi un andamento del fluo dicontinuo, eendo le pale in numero finito. Per rendere più graduale il funzionamento della macchina, facilitando il paaggio dell acqua da una pala alla ucceiva, la pala del rotore preenta un incavo nella parte centrale. Il rotore quindi non lavora immero, ma olo alcune pale 6.5

91 interagicono con il fluo d acqua; il reto del rotore gira in aria a preione atmoferica. Si tratta quindi di una turbina ad azione, trovandoi il rotore in un ambiente a preione cotante, pari a quella atmoferica. Queto ignifica che l accelerazione del fluo avviene tutta e olo nell organo fio, mentre nel rotore il fluo viene unicamente deviato (W = W ). Tutto ciò ovviamente nel cao di macchina ideale. Figura 6.5 Turbina Pelton (Cotruzione Neyrpic) ad ae verticale a 6 getti intallata a Bridge- River (Canada) (P = 6 MW, H = 34 m, Q = 300 t/min). Figura 6.6 Particolare dell ugello di una turbina Pelton. 6.6

92 Figura 6.7 Calcolo della velocità di ucita dal boccaglio. β Figura 6.8 La pala della ruota Pelton e i triangoli delle velocità Triangoli di velocità, lavoro e rendimento Vogliamo calcolare il lavoro cambiato e il rendimento della macchina, evidenziando i parametri da cui queti dipendono. Per fare ciò è neceario innanzi tutto definire i triangoli di velocità in ingreo ed ucita dal rotore, che permettono il calcolo del lavoro realmente cambiato tra fluido e macchina, attravero l equazione di Eulero. Per emplicità upponiamo che la macchina ia compota da un unico ugello che alimenta la ruota. Applicando l equazione di Bernoulli tra il pelo libero del bacino di accumulo e la ezione di ucita dell ugello (indicata con in figura 6.7) i ricava la velocità dell acqua in ucita dall ugello: p0 p V + z0 = + z + + Y (6.3) ρg ρg g ma l ugello carica in atmofera, quindi p 0 = p = p atm. La relazione precedente fornice quindi: V = gh m (6.4) 6.7

93 che è eattamente la velocità ipotetica che era tata introdotta nella definizione del coefficiente K p di velocità periferica. Queta velocità, dal punto di vita della macchina, è una velocità ideale, poiché, pur dipendendo dalle perdite nella condotta, ea non tiene conto delle eventuali perdite ubite dal fluido negli ugelli, ugelli che ono invece parte integrante della macchina. Ea è quindi la velocità con la quale il fluido idealmente andrebbe a colpire le pale del rotore, e per queto verrà indicata come V,id. Si nota come queta velocità ia poco influenzata dalla portata. Per variare la portata è infatti neceario cambiare le ezioni di paaggio, come anticipato nel paragrafo precedente, eendo la velocità impota dal alto motore. Nella realtà il fluido ubice delle perdite nell attraverare l ugello. Non olo; quando il fluido lacia l ugello, prima di colpire la pala del rotore attravera un tratto in aria. Il getto ubirà quindi dapprima un retringimento fino ad una ezione di minimo, detta ezione contratta, in cui i filetti fluidi ono rettilinei e paralleli. A queto punto, l azione degli forzi ulla frontiera tra getto ad alta velocità e aria eterna ferma fa ì che il getto cominci ad allargari, riultandone una diminuzione media della velocità del getto. Per tenere conto di tutte quete perdite, nell ugello e in aria, che i interpongono tra l ingreo all ugello e l ingreo nel rotore, i introduce un coefficiente riduttivo della velocità aoluta nell ugello ϕ definito come il rapporto tra la velocità reale con cui l acqua colpice le pale del rotore e la velocità ideale, cioè che i avrebbe in aenza di perdite: V ϕ = (6.5) V, id Queto coefficiente di perdita ha un valore intorno allo La velocità aoluta reale con cui l acqua colpice le pale del rotore è data quindi da: V = ϕ V, id = ϕ gh m (6.6) Conideriamo ora i triangoli di velocità in ingreo e ucita dal rotore, facendo riferimento a quanto tracciato in figura 6.8. Il triangolo in ingreo al rotore è un triangolo degenerato in una linea. La velocità aoluta in ingreo al rotore è infatti diretta tangenzialmente, coì come la velocità periferica. La velocità relativa arà quindi emplicemente la differenza tra velocità aoluta (ideale o reale) e velocità periferica: W, id = V, id U (cao ideale) (6.7) W = V U (cao reale) (6.8) e arà anch ea diretta econdo la direzione tangenziale. Per ricavare la velocità relativa all ucita del rotore applichiamo l equazione di conervazione dell energia nel itema relativo tra ingreo e ucita del rotore. Nel cao ideale (cioè in aenza di perdite nel rotore) fornice: p W U p W, U + = + id (6.9) ρ ρ La velocità periferica i mantiene cotante tra ingreo e ucita del rotore, coì come la preione. La relazione precedente quindi diventa: W, id = W (6.0) Il rotore infatti deflette olo il fluo, enza accelerarlo, in accordo con il fatto che la macchina è ad azione. Si fa notare come, nel cao di macchina ideale, e cioè quando non i hanno perdite né nell ugello né nel rotore, nelle relazioni (6.9) e (6.0) al poto di W va otituita W,id. Nella realtà il fluido ubice delle perdite nell attraveramento del rotore. Ne riulterà quindi una velocità W inferiore ripetto a quella in ingreo. In analogia a quanto fatto per l ugello, anche per il rotore i introduce un coefficiente riduttivo della velocità relativa nel rotore ψ, definito come il rapporto tra la velocità relativa in ucita reale e quella ideale, quet ultima pari alla velocità in ingreo, per la (6.0): 6.8

94 W W ψ = = (6.) W, id W Valori tipici di queto coefficiente ono dell ordine di Il fluo lacerà quindi il rotore dotato di una velocità relativa avente un modulo pari a: W = ψ W (6.) Tale velocità arà diretta econdo la tangente alla uperficie palare nel bordo d ucita. Ea formerà quindi l angolo β con la direzione tangenziale, coì come riportato in figura 6.8. Per un oervatore fio, il fluido lacerà il rotore dotato di una velocità aoluta V diretta econdo l angolo α, le cui componenti aiale e tangenziale poono eere facilmente ricavate da emplici relazioni trigonometriche: V t = U W coβ = U ψ Wco β (6.3) Vax = W ax = ψ W inβ (6.4) Noti i triangoli di velocità, è poibile ricavare il lavoro cambiato tra fluido e macchina. L epreione del lavoro di Eulero, tenuto conto delle (6.8), (6.3) e (6.4) diventa: L r ( V ) = U( V U + ψw coβ ) = U[ V U + ψ ( V U) β ] = U V (6.5) t t co che, raccogliendo opportunamente i vari termini, fornice: ( V )( +ψ β ) L r = U U co (6.6) Introduciamo ora il coefficiente riduttivo della velocità aoluta nell ugello (equazione (6.6)) e ricordiamo la definizione del coefficiente di velocità periferica K p (equazione (6.)). L equazione precedente diventa, dopo emplici paaggi: V, id L r = U ( ϕ V, id U )( + ψ co β ) = [ Kp ( ϕ Kp )( + ψ co β )] (6.7) Il lavoro dipende quindi dal alto motore, attravero la velocità ideale in ingreo alla macchina, dalle perdite nell ugello e nel rotore, dal coefficiente di velocità periferica e dall angolo di inclinazione delle pale del rotore in ucita: L r = f ( H m, ϕ, ψ, K p, β ) (6.8) E infine poibile calcolare il rendimento idraulico della turbina Pelton, ricordando che è definito come il rapporto tra lavoro reale e lavoro ideale: Lr Lr η idr = = = Kp p + β L gh id m ( ϕ K )( ψ co ) (6.9) Il rendimento idraulico in condizioni di ottimo è piuttoto elevato, dell ordine del 90%. Il rendimento della macchina è funzione del K p, delle perdite nell ugello e nel rotore e dell angolo di inclinazione delle pale del rotore allo carico β : η = f K, ϕ, ψ, β (6.30) idr ( ) p Condizione di ottimo rendimento Ci i chiede a queto punto quale ia, e eite, la combinazione dei uddetti parametri che permetta di ottenere il maimo rendimento. Per quanto riguarda l angolo di carico dal rotore, la condizione di ottimo i avrebbe quando β = 0. In quete condizioni riulterebbe però nulla la componente aiale della velocità, e quindi il rotore non maltirebbe portata. Valori tipici dell angolo β ono dell ordine dei 0. I coefficienti di perdita nell ugello e nella ruota ono molto proimi ad, 6.9

95 indicando come le perdite fluidodinamiche interne iano limitate. La condizione di maimo rendimento è allora funzione del coefficiente di velocità periferica. In pratica i determina il valore del K p che maimizza il rendimento andando a calcolare la derivata del rendimento ripetto al K p e ponendo il riultato uguale a 0: η idr = ϕ Kp K p = 0 (6.3) Kp da cui i ricava la condizione di ottimo rendimento: ϕ K p, ottimo = (6.3) Per una Pelton caratterizzata da un coefficiente di perdita del 95% nell ugello, il K p ottimo vale circa In quete condizioni (figura 6.9), il maimo rendimento vale: ϕ η, = + co ( ψ β ) idr max (6.33) ed è circa pari al 9%. Si fa notare come la condizione di maimo rendimento derivi dalla minimizzazione di tutte le perdite che hanno luogo nella macchina, e quindi nell ugello, nel rotore e allo carico. Nel cao particolare di macchina ideale, in cui cioè le perdite nell ugello e nel rotore ono nulle, l unica perdita che reta è quella relativa all energia cinetica allo carico. Quindi, olo ed ecluivamente nel cao di macchina ideale, la condizione di ottimo rendimento corriponde al minimo dell energia cinetica pera allo carico, il che a ua volta coniterebbe nell avere la velocità aoluta allo carico diretta aialmente (V = V ax ). In queta condizione il K p,ottimo riulta pari a 0.5, a cui corriponde un rendimento unitario. La figura 6.9 riporta l andamento del rendimento al variare del K p nel cao di macchina reale e ideale. Entrambi motrano una curva a maimo. Si oerva come il K p poa in pratica variare olo in coneguenza di una variazione del regime di rotazione della macchina, eendo la velocità aoluta V,id in ingreo al rotore impota dal alto motore, cotante al variare della portata. D altra parte però il regime di rotazione è fiato dall alternatore. Quindi, una volta definito il K p, queto reterà cotante. Ciò ignifica che queto parametro può eere variato olo in fae di dimenionamento della macchina, ma reta cotante in fae di eercizio dell impianto. Le uniche condizioni operative per cui il numero di giri può variare ono all avviamento e quando viene a mancare il carico dell alternatore. Figura 6.9 Andamento del rendimento idraulico e della coppia al variare del K p. 6.0

96 Velocità di fuga, coppia allo punto e curve caratteritiche Dalla curva del rendimento i nota come eo i annulli quando K p = ϕ. In quete condizioni i dice che la girante ha raggiunto il punto di fuga. Quando il carico ull alternatore viene a mancare, la velocità di rotazione non è più impota dall alternatore, e il rotore accelera fino a portari nella condizione di potenza erogata nulla. In queta condizione la velocità di rotazione del rotore raggiunge la velocità di fuga, pari alla velocità dell acqua in ingreo al rotore V. Infatti, quando K p = ϕ i ottiene: Ufuga V = U fuga = V (6.34) V V, id, id Ma in condizioni di ottimo rendimento i aveva: Uottimo V V = Uottimo = (6.35) V, id V, id ed eendo V cotante, i ottiene che la velocità di fuga è pari al doppio della velocità di rotazione del rotore in condizioni di ottimo rendimento: nfuga = n ottimo (6.36) Si fa notare che, nelle condizioni di fuga, la velocità relativa del fluo in ingreo al rotore è tata annullata (W = 0), riultandone quindi annullato anche il lavoro cambiato tra fluido e rotore, con entrambi che i muovono alla tea velocità. E inoltre poibile timare il maimo alto motore fruttabile da una ruota Pelton. L eitenza di tale limite è impoto dal raggiungimento delle maime ollecitazioni ammiibili, ollecitazioni legate all azione della forza centrifuga ulle pale del rotore. Eite allora un limite maimo ulla velocità periferica U, che non deve uperare i 00 m/. Aunto un valore ragionevole del coefficiente di velocità periferica pari a 0.45, i ricava che il maimo alto motore riulta pari a circa 500 m, eendo: V, id Umax ( H m ) = max = g (6.37) g Kp max La potenza erogata all ae dalla turbina Pelton è nota, noti il alto motore, la portata maltita e il rendimento idraulico della macchina, al netto di quello volumetrico: Pρ QgH m ηidr (6.38) Nota la potenza, è poibile calcolare la coppia all albero: P L D C = r Q ω = ρ U (6.39) eendo ω = U D, e D il diametro della ruota. Sotituendo l epreione del lavoro reale (6.7) ricavata in precedenza, i ottiene, dopo alcune emplificazioni: ( ϕ K )( ψ β ) D C = ρ Q V, id p + co (6.40) Si vede che la coppia diminuice linearmente con il K p, ed è maima allo punto (cioè per U = 0), coì come motrato in figura 6.0. Ovviamente la coppia i annulla quando K p = ϕ, e cioè nelle condizioni di fuga. La coppia allo punto i ricava calcolando la derivata della potenza ripetto al regime di rotazione per ω = 0: 6.

97 C max P = ω D P = U ω= 0 U = 0 (6.4) Ricordando che la potenza è il prodotto della coppia (equazione 6.40) per la velocità angolare, i ricava: P = ρ QU ( ϕv, id U )( + ψ co β ) (6.4) da cui i ottiene: D C max = ρ Q V, idϕ( + ψ co β ) (6.43) E infine poibile tracciare le curve caratteritiche per la turbina Pelton, cioè gli andamenti della potenza e del rendimento in funzione della portata. Tali curve ono riportate in figura 6.. Si nota come la potenza vari praticamente linearmente con la portata, mentre il rendimento riulti preoché cotante per gran parte del campo di utilizzo. Eo ovviamente è nullo per portate nulle. Figura 6.0 Curve caratteritiche di una turbina Pelton Dimenionamento della macchina Ci i chiede a queto punto come cegliere le dimenioni della macchina e il regime di rotazione. Se infatti i uppone di dover cegliere una macchina per una ben precia applicazione, cioè noti la portata e il alto motore diponibili, il dimenionamento della macchina andrà fatto ovviamente upponendo che queta operi in condizioni di maimo rendimento. In queto modo, timato ragionevolmente un valore del coefficiente di perdita negli ugelli, è poibile valutare il coefficiente K p e quindi la velocità periferica U. Velocità periferica, velocità di rotazione e diametro della ruota ono tra loro legati dalla emplice relazione: D πdn U = ω = (6.44) 60 La celta di queti parametri dovrà tenere conto di diveri apetti: dimenioni contenute per limitare gli ingombri e quindi i coti della macchina; velocità di rotazione non troppo elevate per evitare l uo di riduttori; il legame tra dimenioni della pala e diametro dell ugello: e la pala è troppo grande, il getto è inefficace, e lo teo avviene e il getto è proporzionato ripetto alla pala. Per effettuare la celta ottima, arebbe neceario valutare le perdite al variare delle dimenioni della macchina. Ecco però che la Teoria della Similitudine permette di tudiare una macchina ed 6.

98 etendere i riultati a tutte quelle in imilitudine con ea, e quindi appartenenti alla tea famiglia. Ciò riduce notevolmente il numero di geometrie da tetare. Abbiamo vito come una famiglia di macchine imili poa eere identificata dal valore che aume il numero di giri pecifico. Cerchiamo allora di eplicitare un legame tra queto numero di giri pecifico e i parametri geometrici e di funzionamento della Pelton. Ricordiamo la definizione di numero di giri pecifico: Q n = n (6.45) ( gh ) 3 4 m Sia i il numero di ugelli tra cui è ripartita equamente la portata. Detto d il diametro dell ugello, uppote nulle le perdite nel percoro del getto in atmofera, la portata può eere critta come: πd πd Q = V i = ϕv, id i (6.46) 4 4 Sotituendo la relazione precedente nell epreione del numero di giri pecifico, tenuto conto della (6.6), i ricava, dopo alcuni paaggi: d n = co t K p i (6.47) D Si oerva come la geometria della macchina ia in realtà individuata da un unico parametro, il rapporto tra il diametro dell ugello e della ruota d/d, oltre che dal numero di ugelli tra cui è ripartita la portata Turbine Franci Come i è detto in precedenza, le turbine Franci ono macchine a reazione a fluo mito centripeto nella girante, che lavorano con portate e alti medi. Ee poono fornire potenze maime dell ordine dei 700 MW, con rotori aventi diametri maimi dell ordine dei 7 m. Con riferimento alla figura 6., ee i compongono di quattro elementi: la voluta o caa pirale, il ditributore, la girante e il diffuore. La voluta ha lo copo di ditribuire il fluo in ingreo alla palettatura tatorica in maniera uniforme u tutta la circonferenza. Il ditributore ha ingreo e ucita nel piano radiale - tangenziale: eo conite in una chiera di pale a calettamento variabile (figura 6.); l angolo di calettamento può eere infatti variato in modo tale da mantenere il corretto angolo di incidenza del fluo ulle pale del rotore, qualunque ia la portata. La girante è a fluo mito centripeto; il fluo entra in direzione prevalentemente radiale e viene caricato in direzione aiale. Il diffuore preente allo carico della girante ha lo copo di recuperare parte dell energia cinetica del fluo in ucita dal rotore e di fruttare il alto retante a valle della girante, fino al erbatoio di valle. A differenza della turbina Pelton, la turbina Franci è completamente immera nell acqua. Eendo una macchina a fluo mito, il lavoro reale cambiato dal fluido con la macchina è dato dalla forma generale del lavoro di Eulero: Lr = UV t UV t (6.48) dove le componenti della velocità in ingreo e ucita dal rotore ono indicate in figura 6.3. Il lavoro ideale è ancora pari al alto motore, riultando un rendimento idraulico dato da: L r L η eu idr = = (6.49) L gh id m che varia, a econda del tipo di macchina, nell intervallo Il rendimento della macchina è funzione delle perdite che il fluido incontra nell attraveramento dei vari componenti: voluta, ditributore, girante e diffuore. Per tenere conto di quete perdite, è poibile definire, anche in queto cao, per ogni componente della macchina, dei coefficienti riduttivi della velocità: nel ditributore, nella girante, oltre che nella voluta e nel diffuore. 6.3

99 Figura 6. Schema di una turbina Franci. Figura 6. Ditributore Fink. La condizione di maimo rendimento per una macchina ideale corriponde alla condizione per cui i annulla la componente tangenziale della velocità aoluta all ucita della girante (V t = 0), 6.4

100 avendo aunto nulle tutte le perdite tranne quella di energia cinetica allo carico. Va però ottolineato come, nel progetto delle Franci, l imporre componente tangenziale nulla alla velocità aoluta allo carico del rotore ia una pratica uuale, in quanto ciò facilita il progetto del diffuore, migliorandone nel contempo il rendimento. Aumiamo quindi tale ipotei, per cui il rendimento diventa: ( η t idr ) = U V max gh (6.50) m Ricordando che V id è la velocità che corriponde al alto motore, il lavoro può eere anche calcolato come: Vid L = η idr ghm = ηidr (6.5) Dal triangolo delle velocità in ingreo al rotore (figura 6.3) i ricava: V inβ = (6.5) U in( β α ) che permette di eprimere il maimo rendimento in funzione del K p : Ingreo tg Ucita tg V U α W r β ax V U W Figura 6.3 Triangoli di velocità. Figura 6.4 Parametri geometrici per una turbina Franci. 6.5

101 ( η ) idr U V coα = = K max p Vid tanα tan β 6.6 (6.53) Si vede quindi che il rendimento maimo è funzione del K p e dell angolo di apertura del ditributore. Vediamo ora come legare queti parametri al grado di reazione. In condizioni di maimo rendimento il lavoro diventa: in ( β α ) L = UV coα = V coα (6.54) inβ che, tenuto conto della (6.5), fornice: V ηidr inβ = (6.55) V id coα in( β α) Ricordando infine la definizione del grado di reazione per una macchina idraulica (equazione 3.8), tenuto conto della relazione precedente, i ricava: K u inβ χ = + (6.56) coα in ( β ) α ηidr eendo il coefficiente K u il rapporto tra la velocità aoluta all ucita del rotore e V id : V Ku = (6.57) Vid Si vede che, per una turbina Franci, il grado di reazione varia al variare dell angolo di calettamento delle pale del ditributore, oltre che della geometria della macchina. Il dimenionamento della turbina Franci, ripetto alla Pelton, coinvolge un numero di parametri geometrici e di funzionamento deciamente maggiore. Utilizzando ancora la Teoria della Similitudine a upporto della fae di celta e/o progetto della macchina, è poibile individuare una relazione funzionale che evidenzia i diveri parametri che poono influenzare il numero di giri pecifico: D l n = f α, β,,, K p, Ku (6.58) D D eendo l l altezza di pala in ingreo al rotore, D e D i diametri medi ripettivamente in ingreo ed ucita dal rotore (figura 6.4). E poibile in realtà ricavare variate relazioni, a econda ad eempio di dove viene calcolata la portata. Se queta viene calcolata all ucita del rotore: πd Q = V ax (6.59) 4 i ottiene la eguente relazione, avendo opportunamente accorpato tutte le cotanti e i termini dipendenti dall angolo di ucita delle pale del rotore nella cotante moltiplicativa: D n = cot K p Ku (6.60) D Se la portata foe invece tata calcolata in ingreo al rotore: Q = V π r D l (6.6) la relazione (6.60) diventerebbe: n l = cot Kp KVr (6.6) D

102 dove il parametro K Vr non è altro che il rapporto tra la componente radiale della velocità in ingreo al rotore e la velocità ideale. La figura 6.5 motra come cambia la geometria della macchina al crecere del numero di giri pecifico; in particolare, per bai numeri di giri il rotore ha uno viluppo per lo più radiale, che evolve vero una configurazione aiale al crecere del numero di giri pecifico, fino ad aumere la configurazione della turbina Kaplan. Inoltre, ad ogni geometria di macchina, a cui corriponde un ben precio valore di n, corriponde un altrettanto precio valore del grado di reazione, eendo anch eo funzione di analoghi parametri a-dimenionali che retano cotanti per macchine imili. Va però notato come, mentre la celta della macchina viene fatta per ben precie condizioni di eercizio, il uo reale funzionamento poa avvenire in condizioni variabili di portata e prevalenza. Per la turbina Franci, in regime di funzionamento, il numero di giri pecifico e il grado di reazione variano al variare del punto di funzionamento, il che ignifica non olo al variare della portata, ma anche al variare dell angolo di apertura delle pale del ditributore. Se infatti viene variato l angolo di apertura del ditributore, cambia la geometria della macchina, e quindi cambiano i triangoli delle velocità e il rendimento della macchina. La Tabella 6. riaume i valori tipici dei uddetti parametri per le divere tipologie di turbina, da quelle lente a quelle ultraveloci. Figura 6.5 Profili di ruote a variare del numero di giri pecifico. Tipologia n a c h idr Lenta Normale Veloce ultraveloce > Tabella

103 Figura 6.6 Triangoli di velocità al variare della portata Regolazione della turbina Franci e curve caratteritiche Conideriamo una turbina Franci operante ad un certo numero di giri fiato dall alternatore n e otto un certo alto motore H m, anch eo cotante. La regolazione della macchina viene fatta agendo ulla portata che la attravera. La portata viene variata cambiando l inclinazione delle pale del ditributore, cambiando coneguentemente le ezioni di paaggio. La figura 6.6 motra come variano i triangoli di velocità in ingreo e ucita dal rotore al variare della portata. Supponiamo ad eempio che la portata venga ridotta; e il ditributore retae fio, cambierebbe l angolo d incidenza del fluo ulle pale del rotore, riultandone un aumento delle perdite e una diminuzione del rendimento. La figura 6.7a motra l andamento del rendimento e della prevalenza in funzione della portata relativo ad una ben precia poizione, cotante, delle pale del ditributore, da cui i nota come il campo di variabilità della portata riulterebbe alquanto limitato in quete condizioni di eercizio. Per ottenere un campo di funzionamento più ampio, e quindi avere valori del rendimento elevati per maggiori variazioni della portata, il ditributore viene ruotato in modo tale da riportare il vettore velocità relativa W allineato al bordo d attacco del rotore. Coì facendo, la componente radiale della velocità V r, reponabile del traporto di maa in queta ezione della macchina, viene nel contempo ridotta, mentre la velocità aoluta V in ucita dal ditributore aumenta, in eguito alla riduzione della ezione di paaggio. Quindi, W non arà eattamente diretta econdo la tangente alla linea media nel bordo d attacco della pala del rotore, ma arà dotata di un certo angolo di incidenza, come motrato in figura 6.6. All ucita del rotore il fluo relativo egue comunque l angolo impoto dalla pala, e quindi W arà inclinato di un angolo β che reta invariato. Vicevera, perché i conervi la portata deve diminuire la componente aiale della velocità V ax, eendo rimata inalterata, in queta ezione, l area di paaggio. Coneguentemente aumenta la componente tangenziale della velocità aoluta allo carico V t. Tutto ciò fa ì che nella realtà aumentino le perdite, e quindi il rendimento diminuica. Ciò piega la forma chiua delle curve iorendimento tracciate in figura 6.7b ovrappote alle curve caratteritiche della macchina, al variare dell angolo di apertura del ditributore α d. La figura 6.7c motra infine l andamento del rendimento al variare della portata, riultante dalla regolazione tramite la variazione dell angolo di apertura del ditributore. E inoltre tracciato come varia l angolo con la portata. Entrambe le curve i rifericono ad un ben precio valore, cotante, del alto, e poono eere facilmente ricavate dalla mappa ovratante, effettuandone una ezione 6.8

104 lungo H*. Si nota come ora la curva del rendimento preenti valori elevati u una gamma più ampia di portate. a) H h a d = cot B A Q b) H a d a d h B a d3 H* A Q c) a d h H = cot a d a d a d3 Figura 6.7 Curve caratteritiche di una Franci: a) a d = cot; b) mappa completa; c) H = cot. 6.9 Q

105 Si fa infine notare come il rendimento i annulli per un valore della portata divero da zero. Il valore di portata per cui i annulla il rendimento è la portata di marcia a vuoto, e cioè la portata minima che conente un funzionamento a numero di giri cotante enza erogare potenza. Tale portata è divera da zero in quanto è neceario vincere le perdite. Figura 6.8 Turbina Kaplan Turbine Kaplan Le turbine Kaplan ono turbine aiali a reazione, il cui campo di utilizzo è limitato alle applicazioni in cui iano diponibili bai alti con elevate portate, come nel cao degli impianti ad acqua fluente. Poono eere coniderate la naturale evoluzione delle turbine Franci, quando il grado di reazione raggiunge il uo maimo. Con riferimento alla figura 6.8, ee i compongono di un ditributore a pale fie, e di una girante caratterizzata da un numero limitato di pale che poono ruotare tutte inieme in maniera tale da permettere alla turbina di funzionare in condizioni di ottimo rendimento al variare della portata. E empre inoltre preente un diffuore a valle. Il comportamento della macchina è quindi del tutto analogo a quello della Franci, dove però ingreo ed ucita dal rotore avvengono alla tea ditanza dall ae di rotazione della macchina, e quindi U = U = cotante. Anche in queto cao la condizione di progetto viene coniderata quella per cui il fluo viene caricato aialmente (V t = 0). A differenza però della Franci, la regolazione della portata è fatta agendo ull angolo di calettamento delle pale del rotore. Con riferimento alla figura 6.9, e viene ad eempio ridotta la portata, cambia la componente aiale della velocità in ingreo al rotore V ax, enza però che vari l angolo d inclinazione del fluo aoluto α, impoto da ciò che precede il rotore. La pala del rotore ruota in maniera tale da allineari all angolo di incidenza relativo β. Ma allora la componente tangenziale della velocità aoluta in ingreo V t 6.0

106 diminuice. Nell ipotei che il alto motore non vari, comparirà una componente tangenziale della velocità aoluta allo carico V t negativa, e cioè diretta in eno oppoto alla velocità periferica. Le curve caratteritiche ono del tutto analoghe a quelle delle Franci, a patto di coniderare come parametro l angolo di calettamento delle pale del rotore al poto di quello del ditributore. Figura 6.9 Triangoli di velocità al variare della portata (Kaplan) Altezza di apirazione e Cavitazione Nella decrizione generale della turbina Franci i è accennato al fatto che, a valle del rotore, è preente un condotto divergente, detto diffuore. Il diffuore è inoltre preente anche nelle turbine Kaplan. Tale condotto ha lo copo di traformare parte dell energia cinetica del fluo in ucita dalla girante in preione, abbaando quindi la preione allo carico del rotore. Se infatti il rotore caricae direttamente in atmofera, la preione a valle della girante arebbe pari alla preione atmoferica. La preenza di un diffuore, di altezza L, fa ì che la preione allo carico del rotore diminuica. La preenza del diffuore è importante per le macchine a reazione veloci, e quindi anche per la Kaplan, dove la velocità aoluta all ucita del rotore può diventare ignificativa. Figura 6.0 Diffuore. 6.

107 Con riferimento alla figura 6.0, applichiamo l equazione di Bernoulli tra la ezione di ucita del rotore, indicata con, e la ezione di ucita dal diffuore, indicata con 3: p V p3 V3 + + z = + + z3 + Y3 (6.63) ρg g ρg g Applichiamo ora Bernoulli tra la ezione di carico del diffuore 3 e il pelo libero del bacino di valle, indicato con 3 : p3 V3 p3' V3' + + z3 = + + z3' + Y33' (6.64) ρg g ρg g Coniderando come origine per il calcolo delle quote la ezione corripondente al pelo libero del bacino di valle (z 3 = 0), apendo che qui regna la preione atmoferica (p 3 = p atm ) e che la ua velocità è tracurabile (V 3 = 0), e apendo inoltre che l unica perdita tra i punti 3 e 3 conite nell energia cinetica del fluo ( Y = V g ), l equazione precedente diventa: 33 ' 3 p3 p = atm z3 (6.65) ρ g ρ g da cui i vede come la preione all ucita del diffuore ia inferiore alla preione atmoferica. Ma rialendo il diffuore la preione diminuice, e quindi la ezione di ucita dalla girante, in corripondenza della flangia a cui è collegato il diffuore, riulta quella a minima preione. Dalla (6.63) i ricava, tenuto conto della (6.65): p patm V V3 = hap + Y3 (6.66) ρ g ρ g g Perché non i verifichi cavitazione, anche per le turbine, coì come per le pompe, arà neceario imporre che la preione nel punto di minimo ia maggiore della preione di evaporazione dell acqua, più l eventuale preione parziale dei ga diciolti. Come per le pompe però, anche per la Franci (lo teo vale per la Kaplan) queta condizione nella realtà non i verifica all ucita del rotore, ma leggermente al uo interno, e in proimità del mozzo, cioè alla bae della pala. Sarà allora neceario che ia verificata la eguente diuguaglianza: p p pv + p g (6.67) ρg ρg Sotituendo la (6.66) i ricava che l altezza di apirazione, coì come indicata in figura 6.0, deve oddifare il eguente vincolo: patm ( pv + pg ) p V V3 hap + Y3 (6.68) ρg g Bibliografia: Macchine a fluido incomprimibile, C. Caci, Ed. Maon Italia Editori Macchine Idrauliche, G. Cornetti, Ed. Il Capitello Torino 6.

108 CAPITOLO 7 COMPRESSORI 7.. Introduzione Argomento del preente capitolo ono le macchine operatrici funzionanti u fluidi comprimibili, e cioè i compreori. Verranno analizzati nel dettaglio il funzionamento ed i criteri di dimenionamento dei compreori centrifughi, limitando la trattazione ai oli apetti di funzionamento per i compreori aiali. Si darà infine una breve decrizione del ciclo di funzionamento dei compreori volumetrici alternativi. La celta di una tipologia di macchina piuttoto che di un altra dipende otanzialmente dalle caratteritiche dell impianto in cui la macchina deve eere inerita; dipende quindi ancora una volta dalla coppia portata lavoro richieta dall impianto. Anche per i compreori, coì come per tutte le macchine tudiate fin ora, ono tate raccolte informazioni ui principali parametri di funzionamento e ulla loro geometria. Tali informazioni ono tate raccolte otto forma di diagrammi, in cui ono riportate le curve iorendimento al variare dei parametri pecifici ω e D. La figura 7. riporta il Diagramma di Baljé per i compreori, da cui i nota come, per bai valori di ω la celta cada ui compreori volumetrici rotativi, mentre per valori crecenti di ω iano preferibili i compreori dinamici, prima quelli centrifughi, poi quelli a fluo mito ed infine quelli aiali. La figura 7. motra la curva del rendimento al variare dell ω, per geometrie ottimizzate. Si nota come i compreori dinamici preentino rendimenti migliori ripetto a quelli volumetrici. Ricordiamo che, per un compreore, la velocità angolare pecifica e il diametro pecifico ono coì definiti: Q ω = ω (7.) 3 4 h ) ( 4 ( h) D = D (7.) Q dove, nel cao di compreori centrifughi, il diametro D va calcolato all ucita del rotore. Come i è vito nel Capitolo 3 relativo all introduzione allo tudio delle turbomacchine, il lavoro ideale di compreione (relativo cioè ad una traformazione adiabatica reveribile, e quindi ientropica), nel cao di ga perfetto, è funzione della temperatura del fluido in ingreo al compreore, del rapporto di compreione β e del tipo di fluido: γ γ γ L = RT β (7.3) γ Si ricorda che il rapporto di compreione è definito come il rapporto tra la preione all ucita del compreore e quella in ingreo. Un epreione identica può eere ricavata anche per i compreori volumetrici. E quindi poibile definire un ben precio legame tra lavoro ideale e rapporto di compreione. Si vede quindi che i compreori volumetrici trovano applicazione quando ono richiete elevate differenze di preione, da fornire però a portate limitate. All etremo oppoto i trovano i compreori aiali, che vengono uati per fornire alti di preione limitati a grandi portate. All interno delle turbomacchine, nella maggior parte delle applicazioni indutriali la celta cade ulle macchine centrifughe, in quanto accoppiano a rendimenti migliori un funzionamento più regolare anche ai carichi parziali, in virtù del loro minore numero di tadi. Vedremo invece che il 7.

109 comportamento fuori progetto dei compreori aiali è etremamente critico, in quanto influenzato dall inorgere di eparazioni del fluo dalle uperfici palari, con coneguente tallo di intere parti della macchina, che non olo ne compromettono il corretto funzionamento, ma ono caua di rumore, vibrazioni e poono quindi indurre ollecitazioni a fatica ulle pale, con coneguenti rotture. L applicazione principale dei compreori aiali è nei gruppi turboga, ia aeronautici, ia terretri, in quanto elaborano alte portate con bai ingombri e pei. I compreori centrifughi invece, oltre che in moltiime applicazioni indutriali, vengono utilizzati nei gruppi ovra - alimentatori dei motori a combutione interna, e nei gruppi turboga intallati ugli elicotteri, cioè in tutte quelle applicazioni in cui iano preenti portate limitate. Sempre nel Capitolo 3 i è vito come il lavoro reale cambiato tra macchina e fluido riulti epreo, nel cao di approccio mono - dimenionale, dall equazione di Eulero qui riportata: = L = U V U V (7.4) Leu r t t Figura 7. Diagramma di Baljé per i compreori. Figura 7. Rendimento in funzione di w per geometrie ottimizzate. 7.

110 7.. I compreori centrifughi La figura 7.3 riporta uno chema di maima di un compreore centrifugo, in cui i poono individuare i uoi componenti principali: il rotore (impeller), il diffuore e la voluta o caa a pirale. Il fluo aoluto in ingreo al rotore è di olito diretto econdo l ae di rotazione della macchina (V = V ax ). In figura 7.3 il diffuore è in realtà divio in tre parti: una prima parte non palettata, una econda palettata ed una terza coincidente con la voluta. Si oerva come, nei compreori centrifughi, l aumento di preione del fluido ia dovuto principalmente all azione del campo centrifugo, e olo in parte alla decelerazione del fluo nei canali palari. Cominciamo con il definire i triangoli di velocità a cavallo del rotore, per poter calcolare il lavoro cambiato dallo tadio ed il uo rendimento. Figura 7.3 Sezioni di un compreore centrifugo Triangoli di velocità, lavoro e grado di reazione Volendo applicare l analii mono-dimenionale al compreore centrifugo, limitiamo le notre coniderazioni a ciò che avviene a monte e a valle della palettatura, ad una ditanza ufficiente da ea. Si fa notare come buona parte della trattazione che egue è del tutto analoga a quanto fatto nel cao delle pompe centrifughe. Con riferimento alla figura 7.3, la ezione di ingreo è individuata dal diametro medio D m,, coì definito: D a + D b D = (7.5) m Il triangolo di velocità in ingreo alla macchina giace nel piano aiale tangenziale. Aunto che il rotore ruoti a velocità angolare cotante ω, la velocità relativa W di cui è dotato il fluo nel itema di riferimento olidale al rotore vale: W = V U (7.6) Proiettando il triangolo delle velocità nelle due direzioni, aiale e tangenziale, i ricava: W = V (7.7) ax ax = V 7.3

111 V β U W Figura 7.4 Triangolo di velocità in ingreo al rotore. Figura 7.5 Triangolo di velocità all ucita del rotore. W t = U (7.8) Il triangolo di velocità in ingreo è riportato in figura 7.4. La pala del rotore dovrà eere quindi inclinata di un angolo β ripetto alla direzione aiale. Si fa notare come, nella realtà, l angolo di ingreo della pala del rotore non i mantenga cotante lungo l altezza di pala. Infatti, la velocità periferica aumenta all aumentare della ditanza radiale dall ae di rotazione, mentre la velocità aoluta V reta cotante. Ne deriva che la velocità relativa in ingreo al rotore varia in modulo e direzione lungo l altezza di pala, ed è maima all apice. Il triangolo di velocità all ucita giace nel piano radiale tangenziale. Conideriamo inizialmente la macchina ideale. In quete condizioni il fluido ubice una traformazione ientropica nel rotore. Nei capitoli precedenti i è empre ipotizzato che il fluo egua perfettamente la direzione impota dalle uperfici palari. Nelle macchine centrifughe, ia pompe che compreori, e in minor miura anche nelle macchine aiali, tale condizione all ucita del rotore potrebbe a rigori verificari olo nel cao in cui il rotore foe compoto da un numero infinito di pale, di peore infiniteimo. Nella realtà il rotore è compoto da un numero finito di pale; ciò comporta che, anche nel cao di macchina ideale, e cioè anche in aenza di perdite, il fluo relativo in ucita dal rotore non egue la direzione impota dalla pala, ma ne riulta deviato, anche mantenendo l ipotei di macchina ideale. Conideriamo inizialmente il cao di rotore con infinite pale, infinitamente ottili. Con riferimento alla figura 7.5, un oervatore olidale con il rotore vede il fluo laciare il rotore dotato di una velocità W,, diretta econdo la tangente alla uperficie palare nel bordo d ucita, che forma un angolo β, negativo, con la direzione radiale. Per un oervatore fio invece, il fluo lacia il rotore, ed entra quindi nel diffuore, dotato di una velocità V,, le cui componenti radiale e tangenziale i ottengono proiettando il triangolo di velocità: V r = W r (7.9) 7.4

112 V t, = U Wt, (7.0) Nel cao di rotore con un numero di pale finito, pari a z, il fluo relativo ubice una defleione divera nell attraveramento del rotore, empre accompagnata da una riduzione della forza agente ulle pale, ripetto al cao con infinite pale. I filetti fluidi infatti, all interno del rotore, piegano in eno oppoto al eno di rotazione. Ne egue che l angolo del fluo è minore dell angolo cotruttivo delle pale, e quindi i hanno valori diveri delle velocità, ed in particolare una minore componente tangenziale della velocità aoluta V t, come motrato in figura 7.5. Per quantificare queta differenza, i definice un fattore di corrimento, dall inglee lip factor, σ: V t σ = (7.) V t, Ovviamente queto parametro riulta minore di, ed è fornito da correlazioni teoriche. Eo inoltre fornice la tima della variazione dell angolo relativo del fluo ripetto all angolo geometrico della pala. Si fa invece notare come la componente radiale della velocità non cambi, eendo impota dalla portata e dalle dimenioni della corona di carico del rotore. Ciò è ovviamente vero a parità di portata, quindi quando i conidera un ben precio punto di funzionamento. Se i ragiona invece al variare del punto di funzionamento, la portata cambia al variare del carico, e quindi anche al variare dello lip factor. Il diffuore vedrà in ingreo un fluo dotato di una velocità V inclinata, ripetto alla direzione radiale, di un angolo α. Il diffuore ha lo copo di convertire l energia cinetica che il fluido ancora poiede all ucita del rotore in energia di preione; il fluido lacerà quindi il diffuore dotato di una velocità V 3, tipicamente inferiore alla velocità V. Ricaviamo l epreione del lavoro cambiato tra macchina e fluido. Il procedimento è del tutto analogo a quanto è già tato fatto nel cao della pompa centrifuga. Il riultato a cui i giunge, nell ipotei di coniderare la macchina ideale e il rotore compoto da un numero infinito di pale, è il eguente: m& L, = U U tan β, ρπd l (7.) E poi poibile ottenere le curve di funzionamento del compreore in forma a-dimenionale, introducendo i coefficienti di portata φ e di carico ψ coì definiti: Q φ = U πd l (7.3) h, ψ = t U (7.4) In quete definizioni, i è celta come ezione di riferimento la ezione di carico del rotore. Sotituendo quete epreioni nella (7.) i ricava: ψ (7.5), = φ tan β, Anche nel cao dei compreori è poibile individuare tre divere configurazioni delle pale del rotore, a econda del valore aunto dall angolo di ucita delle pale del rotore: in avanti, radiali e all indietro. Nella realtà i uano pale radiali o piegate all indietro, ma con angoli di inclinazione deciamente inferiori ripetto al cao delle pompe, per evitare condizioni di funzionamento che comporterebbero ecceive ollecitazioni. La configurazione con pale in avanti viene uata olo per i ventilatori, dove l effetto richieto è quello di aumentare la velocità dell aria che lo attravera, piuttoto che la preione. Si ricorda inoltre che la velocità aoluta del fluo all ucita del rotore riulta maggiore nel cao di pale radiali, e via via diminuice con il diminuire dell angolo d ucita della pala, che, con la convenzione adottata in figura 7.5, i ricorda eere negativo. E allora ovvia 7.5

113 coneguenza che le macchine a pale radiali neceitino della preenza di un diffuore a valle, per recuperare l energia cinetica che andrebbe altrimenti pera. Quando i toglie l ipotei relativa al numero di pale, il lavoro ideale riulta pari a: L σ (7.6), z = L, Se infine i toglie l ipotei di macchina ideale, è neceario anche per i compreori coniderare l effetto dei due tipi di perdite già introdotti per le pompe, e cioè le perdite per incidenza all imbocco del rotore e del diffuore palettato, e le perdite ditribuite o di profilo, legate all azione dell attrito ulle uperfici bagnate, fie e mobili. La figura 7.6 riporta gli andamenti del coefficiente di carico in funzione del coefficiente di portata nei diveri cai analizzati: () cao ideale con infinite pale, () cao ideale con z pale, (3) cao reale. Si nota infine come il lavoro ideale nel cao di rotore con z pale in realtà non vari linearmente con la portata, eendo lo lip factor funzione, eo teo, della portata. y 3 Figura 7.6 Curve caratteritiche di compreori centrifughi. f E opportuno ottolineare come lo lip factor, per quanto definito per una macchina ideale, fornica una previione corretta dell angolo d ucita del fluo relativo dal rotore. L azione delle perdite i traduce invece in una riduzione del modulo della velocità. Si ricorda che il rendimento del compreore è empre il rapporto tra lavoro ideale e lavoro reale, e che ono poibili due definizioni, a econda che venga o meno coniderata pera l energia cinetica allo carico: un rendimento total to total e un rendimento total to tatic, entrambi definiti nel Capitolo 3. E poi poibile calcolare il grado di reazione, definito nel cao ideale. Supponendo che i conervi la componente meridiana della velocità, e cioè che la componente aiale della velocità in ingreo ia uguale alla componente radiale della velocità in ucita dallo tadio, condizione peraltro normalmente adottata in fae di progettazione, e aumendo inoltre che la variazione di energia cinetica a cavallo dello tadio ia tracurabile, i ricava: χ = h h V V = U V t V t = U V, rot ψ, tadio t = (7.7) Ricordando che il coefficiente di carico varia linearmente con la portata e a econda dell angolo di inclinazione delle pale, econdo le (7.5) e (7.6), i vede che il grado di reazione crece al 7.6

114 diminuire dell angolo di inclinazione, da pale in avanti a radiali a pale all indietro. Sapendo poi che il campo di utilizzo dei compreori centrifughi è ritretto a valori dei coefficienti di portata e carico ripettivamente dell ordine di e , i vede immediatamente come il grado di reazione ia indicativamente variabile tra 0.5 e Il Diffuore Si è detto come lo copo del diffuore ia quello di ridurre la velocità del fluo in ucita dal rotore, traformando coì l energia cinetica in preione. Sarà allora neceario realizzare, a valle del rotore uno o più condotti divergenti. Il diffuore può quindi eere o meno palettato. Dalla conervazione della portata, upponendo di compenare le variazioni di denità con una riduzione dell altezza del canale, i ricava: V r r = cot. (7.8) Inoltre, nel diffuore non eite lavoro cambiato con l eterno, trattandoi di un elemento fio. Ne deriva quindi, dall equazione di conervazione del momento della quantità di moto lungo l ae di rotazione: V t r = cot. (7.9) avendo tracurato l azione delle forze vicoe, e uppoto le uperfici aialimmetriche. Ciò implica che la relazione precedente è vera al centro del canale, lontano dalle pareti, e quindi fuori dallo trato limite. Dalle relazioni precedenti i vede come effettivamente lungo il diffuore il fluido venga rallentato, eendo il diffuore a viluppo radiale. Procedendo infatti lungo il diffuore, il raggio aumenta, e quindi diminuicono ia la componente radiale ia la componente tangenziale della velocità. Reta invece cotante l angolo di inclinazione del vettore velocità: V = tan t α = cot (7.0) V r Ne egue che, nel cao di diffuore non palettato, il fluo procede allontanandoi dal rotore mantenendo l angolo che aveva all ucita della girante e decrivendo quella che i chiama una pirale logaritmica, che altro non è che una traiettoria caratterizzata, in ogni uo punto, da un valore dell angolo α cotante. Speo però l altezza del canale reta cotante, per cui e la denità aumenta, il fluo eguirà una traiettoria più tangenziale, e quindi α aumenta lungo il diffuore. Ne deriva allora che, per ridurre ignificativamente la velocità, ono neceari viluppi radiali elevati, che comportano ingombri elevati, grandi uperfici bagnate e quindi alte perdite. Per contro, hanno un comportamento robuto ripetto alle variazioni di portata. Il diffuore palettato forza invece il fluo a eguire una traiettoria più radiale, realizzando quindi la tea riduzione di velocità u un tragitto più breve. Eo ha allora il vantaggio di richiedere ingombri minori e di preentare minori uperfici bagnate, e quindi minori perdite. Il uo comportamento è però più critico in condizioni di funzionamento fuori progetto, in quanto oggetto a poibili eparazioni del fluo che ne riducono il rendimento molto velocemente al variare della portata Dimenionamento della macchina Il dimenionamento della macchina paa attravero la definizione della geometria delle ezioni di ingreo e ucita del rotore, degli angoli di ingreo e ucita del fluo nel rotore e nell eventuale diffuore, palettato o meno. A tale copo, i parametri fondamentali per procedere al dimenionamento ono la portata maltita e il rapporto di compreione β, che permette di calcolare il lavoro ideale cambiato dalla macchina con il fluido (ad eempio attravero l equazione (3.)). 7.7

115 Attravero la Teoria della Similitudine è poibile cegliere, utilizzando ad eempio i Diagrammi di Baljé, la coppia numero di giri diametro pecifici che permettono di ottenere il maimo rendimento. In ogni proceo di dimenionamento la trada da eguire non è univoca, coì come i parametri da definire non ono univocamente determinati. E invece empre neceario effettuare delle celte progettuali, e dotari poi di trumenti adeguati per la valutazione dell accettabilità o meno delle celte fatte. In queto cao particolare, la trada più eguita, una volta optato per una macchina di tipo centrifugo, conite nel fiare un valore iniziale del numero di giri e di cegliere una geometria ottimizzata. Ciò quindi fia anche il rendimento della macchina che i vuole ottenere. Si arriva quindi a definire una coppia di valori ω D, a cui ono aociati il regime di rotazione, il rendimento della macchina, ed il diametro eterno della girante D. Il pao ucceivo conite nel dimenionamento delle ezioni di paaggio, in ingreo al rotore prima, ed in ucita poi. La conervazione della portata dice che la portata in maa deve rimanere cotante, ovunque venga calcolata. In particolare, critta nella ezione di ingreo, ea fornice: m& = ρv πdm l (7.) eendo l l altezza di pala: D a D l b = (7.) e ρ la denità del ga, aunto perfetto, calcolata nelle condizioni di ingreo, note: p ρ = (7.3) RT E allora neceario timare i diametri all apice e alla bae della pala. Il diametro alla bae della pala coincide con il diametro del mozzo che, a ua volta, a meno della tolleranza per il montaggio, coincide con il diametro dell albero. Per calcolare il diametro dell albero i effettua una verifica di reitenza, andando a coniderare le condizioni di funzionamento più critiche. Le condizioni di funzionamento in cui i hanno le ollecitazioni maggiori ono all avviamento, dove la coppia è circa il doppio di quella in condizioni nominali di progetto. E poi buona norma maggiorare ulteriormente la potenza, e quindi la coppia all albero, ad eempio del 0%, per tenere conto di eventuali urti o ovra ollecitazioni: P C =. (7.4) ω La ollecitazione maima è quella a torione, per cui è neceario imporre che la tenione tangenziale maima ia inferiore ripetto a quella ammiibile dal materiale di cui è cotituito l albero: C τ max = τ amm (7.5) W t eendo W t il momento d inerzia polare dell albero: 3 a Wt = πd (7.6) 6 Noto allora il diametro dell albero, lo i maggiora del 0% per ricavare il diametro del mozzo, che coincide con il diametro alla bae della pala. La celta del diametro all apice della pala viene fatta imponendo che iano minime le perdite nel rotore, e che la velocità in ingreo al rotore ia ubonica. Sapendo che, nel rotore, le perdite ono proporzionali al quadrato della velocità relativa, e apendo inoltre che la velocità relativa è maima in ingreo al rotore all apice della pala, i ceglierà il diametro all apice della pala tale da minimizzare il quadrato della velocità relativa, calcolata in queta ezione: W a = 0 (7.7) D a 7.8

116 Si ricorda infatti che, in ingreo al rotore, la velocità aoluta V non cambia lungo l altezza di pala, mentre varia la velocità periferica U, e di coneguenza la W. Si tratta allora di ottenere un epreione di W in funzione del diametro all apice. Queto legame i trova facilmente ricordando che il triangolo delle velocità in ingreo al rotore è un triangolo rettangolo, per cui vale: W = U + V (7.8) Queta relazione è vera a qualunque altezza di pala venga calcolata. Ea può eere valutata in particolare all apice della pala, dove la velocità periferica vale: D a U a = ω (7.9) La velocità aoluta in ingreo è empre la tea, ovunque venga calcolata, ed è legata alla portata tramite la (7.): m& 4m& V = = (7.30) ρπd ml ρπ ( D a D b ) Ecco che, otituendo la (7.9) e la (7.30) nell epreione della velocità relativa (7.8), e procedendo al calcolo della condizione di minimo utilizzando la (7.7), i arriva a definire il valore del diametro all apice della pala, e quindi dell altezza di pala. A queto punto, dimenionata la ezione di ingreo, nota la portata e il regime di rotazione, è poibile calcolare il triangolo di velocità in ingreo al rotore ovunque, ed in particolare in mezzeria. T 3 P 3 3 P P Figura 7.7 Traformazione nel compreore. Il pao ucceivo conite nel dimenionamento della corona di carico. All ucita del rotore è noto il diametro, e quindi la velocità periferica U, mentre reta da calcolare l altezza di pala l. Calcoliamo la portata nella ezione di ucita dal rotore: m& = ρv rπdl (7.3) In queta relazione le incognite ono tre: l altezza di pala, la componente radiale della velocità e la denità ρ, anch ea calcolata all ucita del rotore: p ρ = (7.3) RT Tale denità, eendo il fluido comprimibile, arà in generale divera da ρ, e anche dal valore corripondente allo carico della macchina, e il rotore è eguito da un diffuore, come motrato in figura 7.7, dove è tracciata, nel piano (h,), la traformazione che il fluido ubice 7.9

117 nell attraveramento della macchina. Il valore della denità all ucita del rotore dipende quindi dalle perdite che il fluido ubice nell attraveramento del rotore teo. Per calcolarlo è neceario calcolare preione e temperatura reale nella ezione. Nel cao ideale, la variazione di entalpia totale a cavallo del rotore coincide con il lavoro ideale: L = ht, ht (7.33) ed è un dato iniziale del problema. La conocenza del rendimento della macchina permette di calcolare il lavoro reale, e quindi l entalpia totale all ucita del rotore: L ht = ht + (7.34) ηad Ricordando che, per un ga perfetto, l entalpia è proporzionale alla temperatura, è poibile calcolare la temperatura all ucita dal rotore nel cao reale: Lr V T = Tt + (7.35) C p a patto di conocere la velocità aoluta all ucita del rotore. Per calcolare queta velocità, innanzitutto è immediato calcolarne la componente tangenziale. Bata infatti ricordare che il lavoro reale è pari al lavoro di Eulero, quindi: Lr L V t = = U U η (7.36) ad Per calcolare la componente radiale della velocità, un poibile approccio conite nello cegliere una velocità radiale allo carico uguale alla velocità aiale in ingreo (V r = V ). Un altra celta progettuale può invece eere quella di fiare l angolo d inclinazione delle pale all ucita. Coniderando un rotore a pale rivolte all indietro, l angolo d ucita delle pale del rotore β aume tipicamente valori al maimo pari a ripetto alla direzione radiale. Scelto quindi un valore dell angolo β dettato dall eperienza, è poibile ricavare la componente radiale della velocità: W t U V t Vr = W r = = (7.37) tan β tanβ e quindi conocere la velocità V, che permette il calcolo della temperatura reale T e l entalpia h. Per calcolare la temperatura T, un poibile approccio conite nel fiare il rendimento del rotore, definito come il rapporto tra il alto entalpico a cavallo del rotore in condizioni ideali, e quello in condizioni reali. Con riferimento alla traformazione tracciata in figura 7.7, eo vale: h h η rot = (7.38) h h E allora facile calcolare l entalpia h e la temperatura T : h h h h T = T + = T + η rot (7.39) Cp Cp Ma allora è immediato il calcolo della preione all ucita del rotore: γ γ T p = p (7.40) T che permette il calcolo della denità, e quindi dell altezza di pala allo carico del rotore, nota la velocità aoluta all ucita V. E infine poibile calcolare il triangolo delle velocità allo carico, e in particolare l angolo del fluo aoluto α. Se il diffuore preente a valle è palettato, α arà l angolo d inclinazione delle pale in ingreo; e invece non è palettato, queto è l angolo che la traiettoria decritta dal fluido mantiene cotante fino all ucita. Inoltre, per avere un idea della ripartizione del alto entalpico tra rotore e diffuore, è poibile calcolare il grado di reazione: 7.0

118 h h h h h, rot χ = = = (7.4) h, tadio h3 h V3 ht, h dove la velocità allo carico ideale V 3 dal diffuore può eere facilmente calcolata a partire dall entalpia totale e dalle condizioni tatiche all ucita della macchina, note in quanto dati di progetto. Nel dimenionamento del diffuore è neceario poi pecificare e eo è palettato o meno, e nel cao lo ia, cegliere l angolo di ucita dal diffuore. Fiato tale angolo, è poibile calcolare la velocità all ucita del diffuore emplicemente dalla conervazione dell entalpia totale e della portata. Queta infatti vale (punto 3 di figura 7.7): m& = ρ (7.4) 3V π 3r D3l 3 in cui, per calcolare il diametro eterno del diffuore o i conidera l altezza del canale cotante (l 3 = l ), oppure i uppone di compenare le variazioni di denità con le variazioni di altezza (ρ 3 l 3 = ρ l ) I compreori aiali A differenza dei compreori centrifughi, i compreori aiali ono macchine multi - tadio, in cui ogni tadio realizza una limitata compreione del fluido, in quanto non è più utilizzata l azione delle forze centrifughe. Ogni tadio quindi fornice un rapporto di compreione limitato, il cui ordine di grandezza è intorno a..4. Nelle macchine aiali il fluo attravera la macchina movendoi u una traiettoria media che mantiene una ditanza cotante dall ae di rotazione. Ne deriva quindi che la velocità periferica riulta cotante ovunque venga calcolata (U = U ). Procediamo in maniera analoga a quanto fatto nel cao precedente, individuando dapprima i triangoli di velocità e definendo quindi lavoro, portata, rendimento e grado di reazione. Figura 7.8 Traformazione e triangoli di velocità in un compreore aiale Triangoli di velocità, lavoro e grado di reazione Si uppone di coniderare il primo tadio di un compreore operante in condizioni ideali. Con queta aunzione, il fluo in ingreo alla macchina, e quindi in ingreo al rotore, è diretto lungo l ae della macchina (V = V ax ), analogamente a quanto vito per i compreori centrifughi. Conideriamo inoltre lo tadio ripetitivo, per cui la velocità aoluta all ucita dello tatore è uguale a quella in ingreo al rotore (V = V 3 ). Un altra ipotei largamente utilizzata, anche in fae di progetto della macchina, è quella di coniderare cotante la componente aiale della velocità. 7.

119 Aumeremo pertanto che V = V ax = V 3ax. L altezza di pala varierà quindi per compenare l aumento della denità in quanto, dalla conervazione della portata riulta: m& = ρ V πdml = ρv axπdml = ρ3v3axπdml 3 (7.43) dove il diametro medio D m è cotante ovunque lo i calcoli. La figura 7.8 riporta uno chema dei triangoli di velocità a cavallo del rotore, triangoli che giacciono ora nello teo piano, aiale - tangenziale. Il vettore velocità relativa in ingreo al rotore riulterà allineato con l angolo di inclinazione della pala β, e avrà le eguenti componenti: W ax = (7.44) V W t = U (7.45) Figura 7.9 Tipologie di tadi di compreore aiale al variare del grado di reazione. 7.

120 All ucita del rotore il fluo egue la direzione impota dalla uperficie palare. Eo arà quindi dotato di una velocità relativa W, inclinata dell angolo β ripetto alla direzione aiale. La velocità periferica reta immutata, e quindi un oervatore fio vedrà il fluido in ucita dal rotore, ed in ingreo allo tatore, dotato di una velocità V avente le eguenti componenti: V = W = W (7.46) ax ax ax = V Vt U W t = (7.47) Lo tatore convertirà una parte di energia cinetica in preione; eo quindi rallenterà il fluido fino a portarlo ad avere, al uo carico, una velocità inferiore e, per l ipotei di tadio ripetitivo, identica a quella in ingreo allo tadio: V = 3 V = 3ax V (7.48) Nel cao di compreore aiale, con le ipotei fatte, il lavoro di Eulero diventa: Leu = U( V t V t ) = U Vt = U W t (7.49) Infatti, eendo la componente aiale della velocità ovunque cotante, coì come la velocità periferica, le variazioni di velocità tangenziale aoluta e relativa coincidono, come motrato in figura 7.8. Nel cao reale, è poibile definire dei coefficienti riduttivi delle velocità nel rotore e nello tatore, per tenere conto delle perdite che il fluido ubice nei diveri organi della macchina. E poibile dimotrare che il rendimento dello tadio, fiati queti coefficienti di perdita, è funzione del coefficiente a-dimenionale di portata e del grado di reazione: ( φ χ ) η = f, (7.50) La figura 7.9 riporta le divere tipologie di tadio di compreore aiale al variare del grado di reazione, fiati i coefficienti a-dimenionali di portata e lavoro. Si nota come, al variare del grado di reazione, cambi la forma dei triangoli delle velocità, cambi l inclinazione delle pale e cambi anche la ripartizione del lavoro tra rotore e tatore. Ci i chiede allora e eita un valore del grado di reazione che permette di ottenere il maimo rendimento. Procedendo nel modo uuale, e cioè derivando l epreione del rendimento ripetto al grado di reazione e eguagliando il riultato a zero, i ricava che il valore ottimo del grado di reazione è pari a 0.5, qualunque ia il coefficiente di portata. A queto riultato i poteva giungere anche intuitivamente. Bati infatti penare che la celta χ = 0.5 implica di ripartire equamente il alto entalpico u rotore e tatore, che quindi dovranno impartire al fluo la tea compreione, realizzando quindi gli tei rapporti di variazione delle ezioni di paaggio. E allora poibile utilizzare canali palari divergenti con buone pretazioni in entrambe le palettature, che quindi lavoreranno entrambe con buoni rendimenti. Se vicevera i carica di più uno dei due, ce ne arà empre uno (rotore nel cao di grado di reazione elevato, tatore nel cao oppoto) affetto da elevate perdite Comportamento fuori progetto Come già accennato in precedenza, il comportamento fuori progetto dei compreori aiali è critico, per il opraggiungere di fenomeni legati alla eparazione dello trato limite dalle uperfici palari. Se ad eempio diminuice la portata in ingreo al compreore, cambia la velocità aoluta in ingreo al rotore V, mentre la velocità periferica reta cotante. Di coneguenza varia l angolo di incidenza del fluo ul rotore, che aumenta, ed aumentano anche le perdite. Ad un certo punto lo trato limite i epara ul lato in depreione, portando all inorgere dello tallo. Un fenomeno analogo può verificari anche ai bai regimi di rotazione e per valori elevati della portata. In queto cao lo trato limite i eparerà ull altro lato della pala (lato in preione), come coneguenza di un incidenza negativa del fluo ul rotore. In quete condizioni, il fluo in ingreo al rotore non vede più le variazioni di ezione che erano impote dalle uperfici palari, ma le ezioni aumentano meno, e quindi il fluido ubice una 7.3

121 compreione parziale, o addirittura neuna compreione. Al limite, il fluo riulta completamente eparato, e il compreore non è più in grado di funzionare. Ecco che quindi l inorgere dello tallo, poitivo o negativo, impone dei limiti alle condizioni di funzionamento del compreore. Figura 7.0 Schema di un compreore volumetrico alternativo. P P 3 3 P 4 V 3 (a) V V (b) Figura 7. Ciclo decritto da un compreore alternativo: a) ideale e b) reale Compreori alternativi I compreori alternativi conitono di un cilindro al cui interno corre uno tantuffo (figura 7.0). Il volume pazzato dal pitone cotituice la cilindrata, che non è altro che la differenza tra il volume occupato dal fluido al punto morto inferiore e quello corripondente al punto morto uperiore. Nel cilindro ono praticate opportune aperture, per l ingreo e l ucita del fluido, che viene regolata grazie all apertura e chiuura di valvole. Ei elaborano piccole portate, fornendo elevati incrementi di preione. Il ciclo che decrivono, tracciato in figura 7. nel piano (p,v), eendo V il volume, conite idealmente di due traformazioni ientropiche collegate da due iobare. Il punto corriponde al punto morto inferiore, mentre il punto morto uperiore coincide con il punto 3. La cilindrata è allora la differenza tra i volumi corripondenti a quete due poizioni: Cilindrata = V V 3 (7.5) Si nota come il volume non può annullari, ma eite un volume morto, o pazio morto, dovuto al fatto che lo tantuffo non può andare a battere contro la teta del cilindro. Quando il pitone i trova al punto morto inferiore le valvole vengono chiue. Il volume è occupato dalla carica freca. A queto punto lo tantuffo ale e il fluido contenuto nel cilindro viene compreo. Nelle pompe volumetriche la compreione è itantanea, perché in preenza di fluido incomprimibile, appena lo tantuffo comincia a rialire, la preione aumenta immediatamente e 7.4

122 comanda ubito l apertura della valvola di ucita. Nel cao di fluido comprimibile invece, la preione nel cilindro aumenta gradualmente, man mano che lo tantuffo corre nel cilindro, dal punto morto inferiore a quello uperiore. Nell ipotei di coniderare il proceo ideale, in aenza di cambio termico con l eterno, la traformazione che ubice il fluido è una compreione ientropica (- in figura 7.a). Quando la preione nel cilindro raggiunge il valore deiderato, ea comanda l apertura della valvola di carico. A queto punto la preione all interno del cilindro reta cotante, perché è in comunicazione con la zona del circuito ad alta preione, mentre lo tantuffo proegue la ua cora fino al punto morto uperiore, pingendo fuori il fluido. La traformazione -3 è allora una traformazione a preione cotante, ma a maa variabile. Giunti al punto 3, lo tantuffo inverte il moto, e quindi la preione nel cilindro tende a cendere, comandando la chiuura della valvola di carico. Man mano che lo tantuffo retrocede, il fluido che è rimato all interno del cilindro epande, econdo una traformazione adiabatica ientropica (3-4 in figura 7.a), e ancora i aume il proceo ideale enza cambi di calore con l eterno. Ad un certo punto lungo l epanione, la preione cende al di otto del valore che comanda l apertura della valvola di apirazione. Lo tantuffo continua a retrocedere e la nuova carica entra nel cilindro, ritabilendo le condizioni iniziali. Si fa notare che, e cambiano le condizioni all apirazione, perché ad eempio varia la temperatura o la preione, il volume V non cambia, mentre cambierà il volume pecifico, e quindi la portata in maa apirata. Il lavoro cambiato tra macchina e fluido in condizioni ideali in un ciclo è pari all area racchiua dalle traformazioni: L, ciclo = pdv Vdp (7.5) = Il lavoro viene cambiato in tutte e quattro le traformazioni: da a i tratta di lavoro di compreione, da a 3 lavoro di pulione, in quanto i fa ucire una certa quantità di fluido, da 3 a 4 epande, per cui è il fluido a cedere lavoro allo tantuffo, e infine da 4 a i ha ancora il fluido che, entrando, pinge lo tantuffo. Detto β il rapporto di compreione e uppoto il fluido un ga perfetto, il lavoro vale: L = C T T + p V V C T T p V (7.53) ( ) ( ) ( ) ( ), ciclo v 3 3 v 3 4 V4 apendo che, grazie all ientropicità delle traformazioni - e 3-4, T 3 T4 = T T, e V V = V i ricava, con emplici paaggi: 3 4 V γ γ ( ) γ =, p V V4 β (7.54) γ L ciclo Se poi i calcola il lavoro cambiato per unità di maa, e quindi non più quello cambiato ul ciclo, i torna alla forma generale riportata nel primo paragrafo (equazione (7.3), eendo la quantità di ga introdotta nel cilindro ogni ciclo pari a ρ ( V V4 ). Nel cao reale, per far ì che il fluido eca dal cilindro ed entri nel condotto di mandata, all interno del cilindro i dovrà raggiungere una preione leggermente maggiore ripetto a p 3. Analogamente, per agevolare l ingreo della nuova carica, la preione cende otto p, in fae di apirazione. Queti due effetti tendono entrambi ad aumentare l area racchiua dalle traformazioni, come motrato in figura 7.b, e quindi arà neceario fornire più lavoro. Bibliografia: Compreori di ga, C. Caci, Stampa Tamburini Editore Milano Macchine Termiche, G. Cornetti, Ed. Il Capitello Torino 7.5

123 CAPITOLO 8 IMPIANTI A VAPORE 8.. Introduzione Per la produzione di potenza elettrica i uano impianti baati prevalentemente ul Ciclo Rankine, rappreentato chematicamente in figura 8.. Tale ciclo frutta il cambiamento di fae dell acqua o di altri fluidi, e trova applicazione nei eguenti impianti: Centrali Termoelettriche (combutibili foili) Centrali Nucleari Centrali Geotermiche Centrali Solari T i 6 Figura 8.. Ciclo Rankine. 8.. Proprietà del vapore d acqua Ci limitiamo alla trattazione di cicli in cui il fluido evolvente ia acqua. Il comportamento dell acqua è completamente decritto e i ha a dipoizione il uo diagramma di tato, otto forma grafica come Piano di Mollier, o attravero le Tabelle del vapore, aturo e urricaldato. In figura 8. è rappreentato il Diagramma di Mollier nei piani (h,) e (T,). In entrambi i piani è poibile identificare una zona in cui l acqua è nella fae liquida, una zona in cui è in fae gaoa (vapore ecco) ed una intermedia di paaggio di tato, in cui fae liquida e gaoa coeitono (vapore umido). Si chiama curva limite inferiore la curva che epara la zona di liquido dalla zona di paaggio di tato, e curva limite uperiore quella che epara la zona di paaggio di tato da quella del vapore ecco. Quete due curve racchiudono quella che va otto il nome di campana, che non è altro che la zona di paaggio di tato, in cui le linee a preione cotante coincidono con quelle a temperatura cotante. Tali linee aumono la denominazione di iotermobariche. Il vertice della campana è il punto critico (p cr =. bar, T cr = C). Al di opra di queto punto il 8.

124 paaggio di tato liquido vapore avviene enza fai intermedie. In figura 8. ono inoltre indicate le iobare, le iocore, le iotitolo e coì via. Nel diagramma di tato eitono zone limitate in cui l acqua può eere coniderata un liquido perfettamente incomprimibile, e il vapore un ga perfetto. Con riferimento alla figura 8.3, è poibile identificare divere zone. A initra della campana, il liquido può eere coniderato incomprimibile purché i trovi a temperature moderate (zona 5 in figura 8.3). Man mano che la temperatura ale, la denità comincia a variare e il liquido diventa ad alta comprimibilità (zona 6). All interno della campana, per bai valori della temperatura, e quindi anche della preione, il vapore preente nella micela bifae può eere trattato come un ga perfetto (zona ). Se però la temperatura ale, cominciano a verificari effetti di ga reale, per cui la frazione di vapore preente nella micela bifae non può più eere aimilata a ga perfetto (zona 3). Anche nella zona del vapore urricaldato, al di otto dell iobara critica, i ditinguono due zone, una a baa preione, in cui l ipotei di ga perfetto è applicabile (zona ), ed una a più alta preione (zone 4), dove, per la preenza di vapore ad alta denità, i verificano effetti di ga reale. Al di opra del punto critico, e per preioni uperiori alla preione critica (zona 7), il fluido non può eere coniderato un ga perfetto, in quanto i ha la preenza di un fluido che è a metà trada tra un liquido e un ga. Il vapore può nuovamente eere coniderato un ga perfetto ad alta preione e temperatura (zona 8). Quando però la temperatura raggiunge i K, la compara di fenomeni di diociazione molecolare fa ì che il fluido preenti elevati effetti di ga reale. Figura 8.. Diagrammi (h,) e (T,) per l acqua. Si ricorda che la relazione pv γ = cot, valida per traformazioni ientropiche, può eere critta anche per il vapore, ma ora γ non è più il rapporto tra i calori pecifici a preione e volume cotante, ma varia da punto a punto, come motrato a detra in figura 8.3. Eo, nella zona, aume valori tra.3 e.33. γ riulterà eere quindi funzione della temperatura e dell entropia, econdo la definizione eguente: v p γ = (8.) p v L effetto di ga reale caua una riduzione del volume pecifico, ripetto all ipotei di ga perfetto. Ricordando che il lavoro, nel cao ideale, è dato da: L = vdp (8.) 8.

125 Figura 8.3. Divere tipologie di fluido nel piano (T,). Ne egue che il lavoro di epanione di un ga reale riulterà inferiore, coì come la temperatura di fine traformazione, e ciò a caua dell azione delle forze intermolecolari. Quando i ha a che fare con un ga reale, l equazione cotitutiva che può eere utilizzata in otituzione alla claica equazione dei ga perfetti, è ad eempio l equazione di Van der Waal: a p + ( v b) = RT v (8.3) dove a e b ono coefficienti correttivi Ciclo Ideale Ciclo a vapore aturo Conideriamo il ciclo tracciato, nei piani (T,) e (p,v) in figura 8.4. Nella tea figura è diegnato lo chema d impianto che realizza tale ciclo. 8.3

126 Il ciclo decritto dal fluido comprende 5 traformazioni: una compreione in fae liquida (-), un ricaldamento a preione cotante (-3), un paaggio di tato o evaporazione (3-4), un epanione in zona bifae (4-5) e un nuovo paaggio di tato o condenazione (5-) per riportare il fluido alle condizioni iniziali. Si tratta quindi di un ciclo chiuo, in cui il fluido evolvente è empre lo teo, qualunque ia la traformazione coniderata. Il ciclo tracciato in figura 8.4 fa riferimento ad un cao ideale. Si uppone cioè di coniderare le macchine ideali, aenza di perdite di calore vero l eterno e di perdite di carico nei condotti di collegamento dei diveri elementi dell impianto coì come negli cambiatori di calore preenti. Figura 8.4. Ciclo ideale a vapore aturo. La traformazione - avviene in una tazione di pompaggio attravero una pompa, e richiede un aorbimento di potenza dall eterno pari a: P p p p = mvlp, id = mv (8.4) ρ eendo m v la portata di fluido evolvente nel ciclo. Le traformazioni -3 e 3-4 avvengono in un generatore di vapore o caldaia. Sono traformazioni a preione cotante, in cui i ha l introduzione di calore nel ciclo. Nel generatore di vapore l acqua viene inizialmente ricaldata in un elemento detto Economizzatore. Raggiunta la temperatura di 8.4

127 aturazione corripondente alla preione di evaporazione (pari alla preione in ucita dalle pompe), l acqua inizia ad evaporare. Il proceo di evaporazione avviene lungo un iotermobarica, ed è realizzata nell evaporatore. Il calore neceario perché avvengano quete traformazioni è fornito, ad eempio negli impianti termoelettrici, dalla combutione di un combutibile foile, carbone piuttoto che olio combutibile. Queto calore rappreenta il calore entrante nel ciclo Q : Q 4 Td = h4 h = (8.5) La traformazione 4-5 avviene in una turbina. La turbina arà collegata ad un alternatore. La potenza utile erogata dalla turbina, al lordo quindi di eventuali perdite nelle tramiioni, arà pari a: ( h ) P = m L (8.6) t v t, = mv 4 h5 La traformazione 5- avviene infine in un condenatore. Queto elemento non è altro che uno cambiatore di calore a uperfici, in cui il fluido bifae viene fatto condenare. Il calore di condenazione Q ucente dal ciclo viene ceduto ad un fluido econdario di raffreddamento. Eo vale: Q 5 Td = h5 h = (8.7) Per un ciclo chiuo, i definice rendimento del ciclo il rapporto tra effetto utile e quanto i pende per ottenerlo. Nel cao del ciclo a vapore, l effetto utile è la potenza netta ucente dal itema, e quindi la differenza tra quella prodotta dalla turbina e quella aorbita dalla pompa. Per produrre queta potenza netta, è neceario fornire al ciclo una potenza termica Q &. Il rendimento riulta quindi: P Pt P u p η = = Q& & (8.8) Q La portata di acqua in circolo nell impianto è ovunque la tea, quindi al poto delle potenze i poono utilizzare i lavori e i calori pecifici all unità di maa: Lt Lp η = (8.9) Q Si deve notare che il lavoro aorbito dalle pompe è tracurabile ripetto a quello fornito dalla turbina. Ciò è dovuto al fatto che il volume pecifico dell acqua in fae liquida è molto piccolo, e quindi il lavoro aorbito dalla pompa della turbina L t = 5 4 L p = vdp riulta molto ridotto e confrontato con quello vdp, dove il fluido evolvente è vapore ad alta temperatura, e quindi dotato di un volume pecifico deciamente maggiore. Eendo le macchine attraverate dalla tea portata in maa, è evidente che la pompa aorbirà una potenza nettamente inferiore ripetto a quella erogata dalla turbina. Se ad eempio i pena di far ubire al liquido un incremento di preione pari a 80 bar nella pompa, il lavoro aorbito arà pari a 8 kj/kg. L ordine di grandezza del lavoro fornito dalla turbina è nettamente maggiore, aggirandoi intorno agli 800 kj/kg. Coniderando tracurabile il lavoro aorbito dalle pompe, il rendimento del ciclo diventa: L t η (8.0) Q 8.5

128 Sorgente Calda Q T max 3 4 L u = Area T min» Q 5 Sorgente Fredda Figura 8.5. Ciclo ideale a vapore aturo. E quindi evidente la ragione per cui il ciclo a vapore non venga normalmente rappreentato nel piano (p,v), in quanto in queto piano le traformazioni nella pompa e nella turbina riultano analoghe, coì come motrato in figura 8.4, fornendo quindi una rappreentazione fuorviante dell importanza relativa delle traformazioni. Dal bilancio energetico applicato al ciclo, eguagliando la omma delle energie entranti a quella delle energie ucenti, i ricava: Lt Lp = Q Q (8.) che, otituita nell epreione del rendimento, fornice: Q η = (8.) Q Queta formulazione del rendimento del ciclo indica olamente qual è la percentuale di effetto utile e quant è l entità del calore rigettato nell ambiente, ma non permette di identificare dove le perdite effettivamente avvengono. Per cercare di individuare le orgenti di perdita, i preferice utilizzare una forma alternativa dell epreione del rendimento, in cui compaiano eplicitamente le irreveribilità: i Tmin η = ηcarnot (8.3) Q Queta epreione, che fornice eattamente lo teo valore della (8.8), fa uo del rendimento di un ciclo di Carnot di riferimento, oia del ciclo di Carnot che evolverebbe tra le tee temperature minima e maima del ciclo, come motrato in figura 8.5: T η = min (8.4) T Carnot max In queta analii i aume cioè che la orgente calda ia collocata ad una temperatura corripondente alla T max del ciclo che, in queto cao, coincide con la temperatura di evaporazione. La orgente fredda i trova invece alla T min del ciclo, coincidente con la temperatura di condenazione. Il ciclo a vapore aturo è pertanto quello che più i avvicina al ciclo di Carnot. Eo tuttavia non ne raggiunge il rendimento in quanto, pur avendo uppoto ogni traformazione ideale, preenta una fae di introduzione di calore a temperatura variabile (-3), in cui il calore viene cambiato (tra orgente e fluido) con differenze finite di temperatura, che quindi comporta la preenza di irreveribilità. 8.6

129 Un ulteriore parametro fondamentale per decrivere le pretazioni di un ciclo a vapore è il lavoro utile. Nel cao ideale, l area racchiua dalle traformazioni rappreenta il lavoro utile: 4 Td L u = Q Q = Td (8.5) 5 E quindi evidente che, per aumentare il lavoro fornito dalla turbina arà neceario aumentare il più poibile l area racchiua dal ciclo. Queto può eere ottenuto diminuendo la temperatura di condenazione e aumentando quella di evaporazione. I cicli a vapore aturo vengono uati olamente nelle centrali nucleari e in impianti geotermici, dove la orgente termica i trova a baa temperatura. Ei poono raggiungere rendimenti, nel cao ideale, dell ordine del 30-35%. Per uperare queti inconvenienti e ottenere cicli termodinamici caratterizzati da rendimenti maggiori i introduce il ciclo a vapore urricaldato Ciclo a vapore urricaldato Con riferimento alla figura 8.6, il ciclo a vapore urricaldato i differenzia da quello a vapore aturo per la preenza, nel generatore di vapore, di una terza zona, detta urricaldatore. Il vapore in ucita dall evaporatore entra in un ulteriore cambiatore di calore in cui i ricalda fino alla temperatura T SH (dall inglee uper heat). Il fluido che entra in turbina è quindi un vapore urricaldato, che ha tutte le caratteritiche di un ga perfetto. L introduzione del urricaldamento ha diveri effetti benefici. Innanzitutto aumenta il lavoro utile L u, avendo aumentato l area racchiua dal ciclo, nel cao ideale. Inoltre vedremo che aumenta anche il rendimento del ciclo, avendo aumentato la temperatura media di introduzione del calore. T i Figura 8.6. Ciclo ideale a vapore urricaldato. L aumento di rendimento coneguente all introduzione del urricaldamento può eere facilmente piegato e i immagina di uddividere il ciclo in tre cicli elementari, coì come chematizzato in figura 8.7. Ricordando che il rendimento di un ciclo è tanto maggiore quanto più è grande la differenza tra le temperature medie di introduzione e ceione del calore, è evidente che il rendimento del ciclo I è icuramente inferiore ripetto a quello del ciclo II il quale è, a ua volta, inferiore ripetto a quello del ciclo III: η < η < η (8.6) I II III 8.7

130 Il rendimento compleivo del ciclo urricaldato può eere facilmente calcolato come la media peata ui calori entranti dei rendimenti dei ingoli cicli. Bata infatti ricordare che la relazione (8.) può eere critta per ogni ciclo, coì come per il ciclo compleivo, per cui i ricava: I II ( Q Q ) + ( Q Q ) + ( Q Q ) III I II III Q Q ηiq + ηiiq + ηiiiq η = = = (8.7) I II III I II III Q Q + Q + Q Q + Q + Q Ma allora, e il rendimento del terzo ciclo, quello introdotto con il urricaldamento, è maggiore del rendimento del ciclo aturo di partenza, il rendimento finale del ciclo a vapore urricaldato arà una via di mezzo tra i due, e quindi icuramente maggiore del rendimento del ciclo aturo di partenza. T I II III 6 i Figura 8.7. Suddiviione del Ciclo ideale in tre cicli elementari Ciclo Rankine reale Prima di analizzare nel dettaglio i parametri che influenzano il rendimento dell impianto, conideriamo il cao di ciclo reale rappreentato in figura 8.8, cioè quel ciclo in cui, ripetto al cao ideale, i introducono le irreveribilità in fae di compreione del liquido e di epanione in turbina. Si continuano invece ad aumere nulle le perdite di calore vero l eterno, coì come le perdite di carico nelle tubazioni e negli cambiatori. Analizziamo le divere traformazioni che cotituicono il ciclo. Si fa preente che, in tutte le macchine e componenti di impianto che analizzeremo, aumeremo empre che ia tracurabile la variazione di quota coì come di energia cinetica tra ingreo e ucita. Con quete aunzioni, le due forme dell equazione dell energia per itemi aperti al fluo di maa a notra dipoizione ono le eguenti: out L L = vdp (8.8) e w in Le + Qe = hout hin (8.9) Ogni elemento cotitutivo dell impianto verrà analizzato inizialmente come e foe una catola nera. Si vedrà quindi coa uccede tra ingreo e ucita, tenendo conto delle perdite nelle macchine attravero la definizione di opportuni rendimenti. Si ricorda inoltre che le traformazioni nelle macchine a fluido, pompe e turbine, ono comunque adiabatiche. 8.8

131 Pompa: la traformazione - avviene in una o più pompe. Se i coniderano le macchine ideali, il punto di fine compreione i trova alla tea entropia del punto. Il lavoro ideale aorbito dalla macchina, eendo il fluido incomprimibile, vale: L = v p = h (8.0) p, id h Figura 8.8. Ciclo Rankine reale. Se vicevera la macchina è reale, il punto di fine compreione i troverà allo teo livello di preione del cao ideale, ma ad un entropia maggiore. Detto η p il rendimento della pompa, definito come il rapporto tra lavoro ideale e lavoro reale, il lavoro reale arà: L p L = η p, id p = h h (8.) E inoltre poibile valutare anche la temperatura del fluido all ucita della macchina. Trattandoi empre di liquido, la variazione di entalpia dovuta alle irreveribilità è eprimibile in termini di variazione di temperatura: h h = c( T T ) (8.) eendo c il calore pecifico dell acqua, pari a 4.86 kj/kgk. Si fa notare come l ipotei di tracurare il lavoro aorbito dalle pompe i traduca nell aumere che la variazione di entalpia a cavallo della macchina ia tracurabile, coì come la variazione di temperatura. Ovviamente lo teo non può eere detto per la preione. Caldaia: la traformazione avviene nel generatore di vapore e coinvolge un ricaldamento in fae liquida fino al raggiungimento delle condizioni di aturazione, a cui egue un paaggio di fae a preione e temperatura cotanti, ed infine un ulteriore ricaldamento del vapore ancora a preione cotante fino alla temperatura di urricaldamento. Il calore pecifico all unità di maa introdotto nel ciclo vale quindi: Q h5 h = (8.3) Turbina: e la macchina è ideale, il punto di fine epanione i trova alla temperatura e preione minime del ciclo, e con un entropia uguale a quella del punto d inizio epanione (punto 6 in figura 8.). Il lavoro ideale fornito dalla turbina vale quindi: = h h (8.4) Lt,

132 Se invece i conidera la macchina reale, il fluido in ucita dalla turbina avrà la tea preione e temperatura del cao ideale, ma un entropia maggiore, e quindi un titolo del vapore maggiore. Introducendo un rendimento adiabatico della turbina η t, anch eo definito come il rapporto tra lavoro reale e lavoro ideale: h5 h6 η t = (8.5) h h 5 6 è poibile calcolare il lavoro realmente erogato dalla turbina: L t =η L (8.6) t t, = h5 h6 Il fluido, lungo l epanione, paa da vapore urricaldato a fluido bifae. Non è quindi utilizzabile alcuna relazione emplice per il calcolo delle divere grandezze termodinamiche all ucita della macchina, ma arà neceario utilizzare il piano di Mollier o le tabelle del vapore. Condenatore: il fluido bifae ucente dalla turbina viene fatto condenare a preione e temperatura cotanti. Il calore ottratto al fluido vale: Q h6 h = (8.7) E infine poibile eprimere il rendimento del ciclo in funzione dei alti entalpici che il fluido ubice nelle divere traformazioni: ( h h ) ( h h ) 5 6 η = (8.8) h 5 h Si ricorda come, quanto detto fino ad ora, i riferica o al cao di ciclo ideale o a quello in cui vengono coniderate le perdite nelle traformazioni che hanno luogo nelle pompe e nella turbina. Tutte le altre ipotei, e cioè le aunzioni di aenza di perdite di calore vero l eterno, di perdite di carico nel condenatore e nel generatore di vapore nulle, coì come nei condotti di collegamento tra i diveri componenti, ono tate mantenute per entrambi i cicli. Quete ipotei fanno ì che nella realtà le traformazioni che il fluido ubice nel compiere il ciclo di lavoro iano divere, e che il rendimento dell impianto reale ia inferiore, coì come la potenza erogata dalla turbina. Le pretazioni di un impianto a vapore vengono peo fornite in termini di Conumo pecifico (Heat Rate), che altro non è e non l invero del rendimento. Il conumo pecifico, pur eendo concettualmente un parametro a-dimenionale, viene olitamente calcolato in kcal/kwh, ed eprime quindi quanta energia termica viene utilizzata per produrre un kwattora: 860 Q HeatRate = = 860 (8.9) η L t eendo 860 kcal = kwh. Un altro parametro utile nella definizione della taglia dell impianto è il conumo di vapore: Conumodi vapore = qv = (8.30) Lu ed è normalmente epreo in kg/kcal. Eo quindi indica quanti chilogrammi di vapore vengono prodotti dall unità di energia Analii parametrica Se i conidera il generico impianto a vapore con urricaldamento, è evidente come le pretazioni dell impianto, lavoro erogato dalla turbina e rendimento del ciclo, iano funzione della preione di evaporazione, della temperatura di urricaldamento e della temperatura di condenazione, oltre ovviamente del rendimento della turbina: 8.0

133 ( p, T, T η ) η = f, (8.3) ev SH cond t Ci chiediamo a queto punto in che maniera queti parametri influenzino il rendimento del ciclo. Per fare ciò, analizziamo l influenza di ciacuno ingolarmente, cominciando dalla preione di evaporazione. Come motrato in figura 8.9, al crecere della preione di evaporazione (mantenendola comunque inferiore al valore critico), fiati gli altri parametri, il rendimento ubito aumenta molto, ma queto aumento i riduce di entità al crecere della preione. Ciò è dovuto al fatto che, più aumenta la preione di evaporazione, maggiore riulta la quota di calore introdotto a baa temperatura, e ciò va in parte a bilanciare l aumento del rendimento dei tre cicli in cui è poibile comporre il ciclo urricaldato, aumento legato al fatto che, in tutti e tre i cicli, aumenta la temperatura media di introduzione del calore. Inoltre, al crecere della preione di evaporazione la linea di epanione in turbina i pota empre più a initra, comportando una parte empre più etea di epanione in zona bifae, con quindi un peggioramento del rendimento della turbina. Si fa infatti notare come la preenza, nell epanione, di gocce di liquido circondate dal vapore, porti ad una diminuzione del rendimento della macchina, eercitando le gocce un azione frenante ul vapore che le circonda. Inoltre, l impatto delle gocce ulle uperfici palari della turbina può portare a fenomeni di eroione delle palettature con coneguente deterioramento del funzionamento della macchina. Negli impianti di piccola taglia i poono tollerare titoli del vapore allo carico della turbina non inferiori a 0.85, valore che ale a 0.9 per gli impianti di groa taglia. L influenza della preione di evaporazione ul rendimento di divere tipologie di cicli a vapore è ben evidenziata in figura 8.0: oltre al ciclo di Carnot, vengono coniderati un ciclo a vapore aturo con preione al condenatore pari a 0.05 kg/mm, un ciclo Rankine emplice con uguale preione al condenatore e temperatura di urricaldamento pari a 500 C, e un ciclo a vapore in cui nel condenatore regna la preione atmoferica. Dalle curve riportate in figura 8.0 i vede come il paaggio dal ciclo a vapore aturo a quello urricaldato comporti tutto ommato un guadagno piuttoto limitato (il guadagno maggiore dell introduzione del urricaldamento riguarda l epanione in turbina), mentre riulti ignificativa la caduta di rendimento coneguente all intaurari della preione atmoferica allo carico della turbina. Ovviamente, qualunque ia il ciclo coniderato, eo è ben lontano dal raggiungere il rendimento del ciclo di Carnot equivalente (con T max = 500 C). Aumentare la preione di evaporazione quindi conviene fino ad un certo punto, a meno che queto aumento non ia accompagnato da altri accorgimenti, come ad eempio un incremento della temperatura di urricaldamento. Le figure 8. e 8. illutrano l influenza combinata di queti due parametri. Figura 8.9. Influenza della preione di evaporazione ul ciclo Rankine. 8.

134 La figura 8. in particolare motra come la preione di evaporazione corripondente al maimo rendimento aumenti al crecere della temperatura di urricaldamento. Inoltre, aumentare detta temperatura comporta un guadagno di rendimento, la cui entità tuttavia i riduce progreivamente, coì come avviene per la preione. Figura 8.0. Effetto della preione di evaporazione ul rendimento del ciclo aturo, urricaldato e a carico atmoferico. Figura 8.. Effetto della preione di evaporazione ul rendimento del ciclo urricaldato. 8.

135 Figura 8.. Effetto della temperatura di urricaldamento ul rendimento del ciclo. La figura 8. motra infine come la temperatura di urricaldamento ia poco influente per gli impianti a vapore ub-critici. Per aumentare il rendimento del 0% la temperatura dovrebbe infatti raddoppiare, paando da 500 C a 000 C. Si fa però notare come eita un vincolo ulla temperatura di urricaldamento, vincolo dettato da ragioni di convenienza economica. Tale limite i aeta ui C, ed è impoto da coniderazioni riguardanti i materiali utilizzati per la cotruzione del generatore di vapore. Va infatti ottolineato come il generatore di vapore cotituica il componente più ingombrante, inieme al condenatore, di tutto l impianto a vapore, e quello che i trova ad operare, in regime continuo, con temperature elevate. La celta della tipologia di materiali con cui realizzare il generatore di vapore vincola quindi la maima temperatura del ciclo. Se infatti i volee andare oltre i 600 C arebbe neceario paare a leghe a bae di nichel o cobalto, deciamente molto più cotoe. Aumentare la temperatura di urricaldamento oltre queto limite comporterebbe un aumento del rendimento dell impianto che economicamente non paga il maggior invetimento iniziale. L ultimo parametro che influenza il rendimento del ciclo è la temperatura di condenazione. Con riferimento alla figura 8.3, in cui è riportato un ciclo ideale, un abbaamento della temperatura di condenazione da T k a T k comporta un aumento del lavoro utile, pari all aumento dell area racchiua dal ciclo ('66 ). Il valore della temperatura di condenazione è però impoto dalla temperatura dell acqua di raffreddamento T R, dall aumento di temperatura che l acqua di raffreddamento ubice nell attraveramento del condenatore T R, funzione della portata d acqua di raffreddamento, e della minima differenza di temperatura tra i due flui T min, a ua volta impota dalle uperfici di cambio termico preenti, tra loro legate dal eguente bilancio termico: Q& & = QH O = m HO c T R = US T ml 8.3 (8.3)

136 Figura 8.3. Effetto della temperatura di condenazione. dove T ml è la differenza di temperatura media logaritmica. Per poter abbaare la temperatura di condenazione è allora neceario, fiata la temperatura dell acqua di raffreddamento, o aumentarne la portata, riducendo quindi T R, o aumentare le uperfici di cambio termico, riducendo T min, o entrambe le coe. Se i hanno a dipoizione grandi quantitativi d acqua, è poibile ottenere temperature di condenazione dell ordine dei 0 C. Se infatti i uppone di avere acqua a 6 C, che ubica nel condenatore un incremento di 8 C, e che le uperfici di cambio termico iano tali da garantire una minima differenza di temperatura di 7 C, la temperatura di condenazione riulta pari a C. E neceario valutare e lo forzo richieto per ottenere tale abbaamento di temperatura ia economicamente vantaggioo. E poibile dimotrare che l abbaamento della temperatura di condenazione comporta un aumento del rendimento del ciclo. Abbiamo già detto che aumenta il lavoro utile, aumento che può eere approimativamente coì quantificato: rk X L = Tk = ( Tk Tk ) (8.33) Tk eendo r k il calore di condenazione alla temperatura T k e X il titolo del vapore a fine epanione. Anche il calore entrante nel ciclo aumenta: Q = c T k (8.34) Ne egue che la variazione di rendimento del ciclo coneguente ad un abbaamento di temperatura di condenazione vale: rk X η = (8.35) ctk Se i uppone ad eempio di avere una temperatura iniziale di condenazione di 3 C, con un titolo del vapore pari a 0.9, i ottiene un aumento di rendimento di.7%. Ne egue quindi che il rendimento termodinamico del ciclo aumenta, mentre diminuice il titolo del vapore allo carico della turbina. Biogna però valutare quali poono eere gli vantaggi, che portano a definire un ottima temperatura di condenazione. Innanzi tutto, i rende neceario aumentare le uperfici di cambio termico, con coneguente aumento del coto del condenatore. Aumenta inoltre la potenza aorbita dalle pompe di circolazione, ia lato impianto, ia lato acqua di raffreddamento, aumentando il alto di preione che quete devono fornire. Un altro apetto importante riguarda le dimenioni della corona di carico della turbina, apetto che può peo eere quello dominante. Supponiamo di avere un condenatore progettato per lavorare a circa 33 C, a cui corripondono 8.4

137 0.05 bar. Se i vuole cendere a C (a cui competono 0.05 bar), il volume pecifico varia, come ordine di grandezza, da 8.9 a 54.3 m 3 /kg, e quindi aumenta di circa l 80-90%. L aumento richieto di ezione di paaggio è quindi notevole, e potrebbe richiedere il paaggio ad una configurazione della turbina a più flui. Vedremo infatti che la maima portata maltibile da un ingolo corpo di turbina è limitato dal raggiungimento della maima ezione di paaggio conentita dalla reitenza meccanica delle pale del rotore alla forza centrifuga. Quando queto limite viene raggiunto, il fluo di vapore viene ripartito u più corpi di turbina, dipoti in una claica configurazione in parallelo Cicli con ri-urricaldamenti e cicli ipercritici Dall analii precedente riulta chiaro come il modo più efficace di aumentare il rendimento del ciclo a vapore conita nell aumentare la preione di evaporazione. Si è però ottolineato come tale aumento comporti anche una diminuzione del titolo di vapore all ucita della turbina, con un coneguente decadimento del rendimento della macchina. Negli impianti di grande potenza, all aumento di preione di evaporazione viene accoppiata una configurazione d impianto che prevede un doppio urricaldamento del vapore o, in cai particolari, addirittura un triplo urricaldamento, in maniera da garantire un valore adeguato del titolo del vapore allo carico della turbina. Con riferimento alla figura 8.4, il vapore urricaldato in ucita dal generatore di vapore (punto 5) viene inviato in un primo corpo di turbina, di alta preione, dove epande parzialmente fino al livello di preione indicato con 6. A queto punto, il vapore di media preione viene rimandato al generatore di vapore, dove ubice un econdo urricaldamento, in generale fino ad una temperatura proima, e non uguale, a quella del primo urricaldamento (punto 7). Queto vapore viene quindi rinviato in turbina, queta volta di media e baa preione, dove epande fino alle condizioni impote dal condenatore (punto 8). E evidente che il rendimento del ciclo migliora, avendo aggiunto un ulteriore ciclo (8 678) caratterizzato da un rendimento maggiore ripetto a quello originario, in quanto il calore viene introdotto ad una temperatura mediamente uperiore. Figura 8.4. Ciclo con ri-urricaldamento. 8.5

138 Figura 8.5. Preione ottima di riurricaldamento. Figura 8.6. Ciclo a vapore ipercritico. Eite un ottimo livello di preione a cui effettuare il ri-urricaldamento. Queto ottimo livello è indicato in figura 8.5, dove viene diagrammato l aumento di rendimento coneguente all introduzione di un urricaldamento ripetuto, in funzione del rapporto tra la preione di riurricaldamento e quella in ingreo in turbina. Sono inoltre tracciati gli andamenti della temperatura di ri-urricaldamento e del titolo del vapore all ucita della turbina. Fino ad ora i ono analizzati olo impianti in cui la preione di evaporazione foe inferiore al valore critico. L ulteriore aumento della preione al di opra della preione critica porta a quelli che vanno otto il nome di impianti iper-critici. La figura 8.6 ne riporta un eempio. In queti impianti, in cui il paaggio di tato da liquido a vapore urricaldato avviene in maniera diretta, 8.6

139 enza la preenza di una fae intermedia, i può arrivare fino ad un maimo di 3 urricaldamenti. Va comunque notato che, anche in preenza di urricaldamenti ripetuti, l epanione in turbina deve terminare all interno della campana, e quindi in zona di vapore umido. Queto per garantire un buon funzionamento del condenatore. Un conto è infatti ottrarre calore ad un vapore bifae condenante, un altro conto farlo con un vapore urricaldato, che quindi preenta un minor coefficiente di cambio termico Rigenerazione Conideriamo un ciclo a vapore aturo come quello riportato in figura 8.5. Si è vito come la fae di pre-ricaldo dell acqua di alimento (economizzatore), eendo quella che preuppone uno cambio termico tra condenato a baa temperatura e la orgente, uppota idealmente alla temperatura maima del ciclo T 3, ia quella che preenta le maggiori irreveribiità. Sarebbe allora poibile aumentare il rendimento del ciclo e i potee potare il punto di ingreo dell acqua in caldaia a un livello termico maggiore. Queto è poibile grazie alla rigenerazione. L idea della rigenerazione prende punto dai cicli termodinamici propoti da Erikon e Stirling (figura 8.7). Conideriamo inizialmente il cao ideale. Tali cicli conitono di due traformazioni ioterme collegate da due traformazioni della tea famiglia: due iocore per il ciclo Stirling e due iobare per quello di Erikon. La rigenerazione avviene nelle traformazioni - e 3-4, tra cui avviene uno cambio termico interno e reveribile. Il calore entrante Q viene infatti ceduto reveribilmente al fluido nella traformazione - non a pee di una orgente eterna, ma internamente al ciclo teo: è infatti il fluido di lavoro teo che, in fae di epanione 3-4, cede reveribilmente al fluido che viene compreo una quantità di calore Q eattamente pari a quella richieta Q. Queto calore è quindi cambiato internamente al ciclo, e non con l eterno, e quindi non compare nell epreione del rendimento. Ne riulta quindi che il rendimento di un imile ciclo è uguale a quello del ciclo di Carnot evolvente tra le tee temperature minima e maima: Q RT ln( p p4 ) T η = = = (8.36) Q RT3 ln( p p3 ) T 3 T Q 3 Q Q 4 Q Figura 8.7. Ciclo di Erikon. Se i applica quanto vito al ciclo a vapore, l ideale arebbe realizzare una epanione come quella riportata in figura 8.8, in cui cioè il vapore cambia calore con l acqua di alimento in maniera reveribile durante l epanione. La fattibilità pratica di un tale ciclo è tuttavia impraticabile. Eo infatti preuppone la poibilità di cambiare calore durante l epanione, come chematizzato in figura 8.8. Tuttavia, le uperfici palari all interno della turbina lambite dal vapore non ono 8.7

140 ufficientemente etee perché lo cambio termico con il liquido riulti poibile. Ma anche nel cao in cui quete foero ufficienti, le portate in gioco e i tempi di attraveramento della macchina da parte del vapore ono tali da rendere il proceo di cambio termico inefficiente. Inoltre, il vapore negli ultimi tadi della turbine preenterebbe un titolo ecceivamente bao, con coneguenti problemi per il corretto funzionamento ed efficienza della turbina tea. Figura 8.8. Rigenerazione ideale. Per ovviare a queti problemi, i fanno prelievi (pillamenti) ucceivi di vapore dalla turbina e queto vapore viene uato per pre-ricaldare l acqua di alimento, tra l ucita dal condenatore e l ingreo nel generatore di vapore, in opportuni cambiatori di calore, coì come motrato in figura 8.9 e 8.0. Con queto itema i ua tutto il calore contenuto in una porzione limitata di vapore invece di uare parte del calore contenuto in tutto il vapore evolvente in turbina. Vediamo dapprima come i modifica l epreione del rendimento del ciclo in preenza di rigenerazione. Conideriamo ad eempio il cao di figura 8.9. In preenza di rigenerazione ideale, l epreione del rendimento diventa: ( h8 h) m ( h9 h) m3 ( h0 h) m ( h ) PT P P m η = = (8.37) m Q v P T v m Q h v v 8 6 eendo m v la portata compleivamente prodotta nel generatore di vapore. A queto punto è neceario entrare nel merito di come queto rigeneratore funziona ed, eventualmente, introdurre delle emplificazioni. Eitono due tipi di rigeneratori: a micela e a uperficie. Nel cao dei rigeneratori a micela (figura 8.9), il vapore pillato dalla turbina entra nello cambiatore, dove i micela con l acqua di alimento proveniente o dal condenatore, o dallo cambiatore precedente. Lo cambiatore lavora quindi a preione cotante, e tutti i flui di maa che entrano, o econo, i trovano alla tea preione. Il vapore pillato cede il proprio calore latente di condenazione per portare l acqua di alimento in condizioni ature. Il fluido che ne ece può, in prima approimazione, eere coniderato come un liquido aturo alla preione che regna nello cambiatore a micela. Il principio di conervazione dell energia applicato ad eempio al primo cambiatore di figura 8.9 porta alla eguente relazione: ( mv m m 3 ) h + m 3 h 0 = ( mv m ) h 3 (8.38) da cui i ricava la quantità di vapore che è neceario pillare per portare l acqua di alimento dal punto al punto 3: 8.8

141 Figura 8.9. Ciclo Rankine rigenerativo cambiatori a micela. Figura 8.0. Ciclo Rankine rigenerativo cambiatori a uperficie. m ( m m ) h h 3 3 = v (8.39) h h 0 Si vede quindi che i due fluidi econo dallo cambiatore alla tea temperatura. I rigeneratori a micela hanno quindi rendimenti elevati, perché T min =0 C, ma richiedono più pompe, con coneguente pericolo di cavitazione. Si ricorda infatti che ogni pompa lavora con un fluido aturo in ingreo, che quindi può cavitare e la preione cende. Nella realtà, in ogni impianto eite un unico rigeneratore a micela che ha anche la funzione di degaare il liquido. Per queta ragione prende il nome di degaatore, di cui un eempio è riportato in figura 8.. Il vapore pillato dalla turbina viene fatto gorgogliare nell acqua di alimento, la quale alimenta dall alto il degaatore. L acqua viene fatta cadere dall alto in cacata u una ucceione di piatti, in maniera tale da aumentare la uperficie di contatto tra i due fluidi. L acqua all interno del degaatore, che ha anche una funzione di accumulo, viene mantenuta alla temperatura di aturazione, dove la olubilità dei ga (O e CO ) è praticamente nulla, facilitandone quindi la eparazione. Ogni cambiatore è dotato di fiatatoi per eliminare i ga. Conideriamo ora gli cambiatori a uperficie (figura 8.0). Qui i due fluidi ono eparati: il vapore pillato dalla turbina ad un certo livello di preione percorre lo cambiatore in controcorrente 8.9

142 ripetto all acqua di alimento, che i trova ad una preione divera, ed in generale maggiore. Il vapore condena e cede il proprio calore di condenazione all acqua. In figura 8. ono riportate le ditribuzioni di temperatura lungo uno cambiatore a uperfici. Nella prima figura ulla initra è riportato il cao, tipico dello pillamento di baa preione, in cui il vapore è pillato dalla turbina nella zona dentro alla campana, e quindi è aturo. L acqua di alimento ece dallo cambiatore ad una temperatura che è minore ripetto a quella di condenazione del vapore di un T impoto dalle uperfici di cambio termico. Figura 8.. Il Degaatore. Figura 8.. Diagrammi temperatura potenza termica cambiata nei rigeneratori a uperficie. Vogliamo ora valutare e eite una linea guida nella celta del numero di rigeneratori e nel come ripartire il carico termico tra i diveri rigeneratori. Per far ciò, conideriamo il cao emplice di un ciclo a vapore aturo, cioè enza urricaldamento, in cui venga inerito un rigeneratore a uperfici in cui il condenato viene reintrodotto, previo pompaggio, a valle dello cambiatore teo, coì come chematizzato in figura

143 Supponiamo che iano nulle le perdite di calore vero l eterno, che il vapore eca dallo cambiatore in condizioni di liquido aturo alla preione di pillamento, e che l acqua di alimento eca dallo cambiatore alla tea temperatura a cui ece il vapore condenato. Supponiamo inoltre che ia tracurabile il lavoro aorbito dalle pompe. Vogliamo vedere coa uccede al ciclo in coneguenza dell introduzione del rigeneratore, quindi concentriamo la notra attenzione ulla fae di prericaldo dell acqua di alimento, di cui calcoliamo la produzione entropica. Queta deriva da due contributi: uno relativo alla traformazione nel rigeneratore ( ) e uno relativo alla traformazione nella parte retante dell economizzatore ( ). Ognuno di queti due termini riulta poi a ua volta dalla omma di due contributi: la variazione di entropia dell acqua ( R ) e la variazione di entropia della orgente. Per quanto riguarda la orgente, aimiliamo il vapore condenante nel rigeneratore ad una orgente a temperatura cotante pari alla temperatura T R, mentre nell economizzatore upponiamo che lo cambio termico avvenga con una orgente alla temperatura T, anch ea cotante. In queto modo i ricava: h R h ( ) + h h R = + = R ( R ) = T R T = h R h TR h + h T R (8.40) T 3 4 i 5 i T T R R i T 5 i 5 i R Figura 8.3. Ciclo a vapore aturo rigenerativo ottima temperatura di rigenerazione. Eprimendo, per l acqua, le variazioni di entalpia in funzione delle variazioni di temperatura, i ricava infine: T T R = c f ( T ) + = R T R T (8.4) Si tratta quindi di valutare l eitenza di un minimo di tale funzione ripetto alla temperatura di rigenerazione: ( ) = 0 (8.4) T R 8.

144 Svolgendo i calcoli i ricava: T R = (8.43) TT Per quanto ottenuta per un cao ideale e emplificato, la relazione (8.43) riulta di applicabilità generale, fornendo quindi un utile trumento in fae di definizione dei livelli ottimi di pillamento. Nella realtà tali prelievi di vapore andranno fatti tra i diveri tadi della turbina, la cui architettura quindi imporrà l eatto punto di prelievo. Infine, i punti di prelievo reali vengono fatti a livelli di preione maggiori ripetto a quelli che regnano effettivamente nei rigeneratori, ciò per compenare le perdite di carico nei condotti, ma anche per ragioni di regolazione. La preenza di una valvola di regolazione permette infatti il controllo del corretto valore di preione. Vediamo ora di individuare il numero di pillamenti ottimale dal punto di vita del rendimento dell impianto. La figura 8.4 riporta l andamento dell incremento di rendimento percentuale η/η in funzione del numero di pillamenti z.. Da tale grafico i nota innanzi tutto come il rendimento continui ad aumentare al crecere del numero di pillamenti, ma come l incremento i riduca empre più diventando in pratica tracurabile già per z = 0, per cui la complicazione impiantitica diventa ingiutificata. Figura 8.4. Ottimo numero di pillamenti Layout generale dell impianto Gli impianti di grande taglia utilizzano tutti gli accorgimenti viti in precedenza, che conentono di raggiungere rendimenti reali dell ordine del 40%. Un eempio di layout di un impianto è riportato in figura 8.5, che fa riferimento alla centrale di Piacenza da 30 MW. Le traformazioni realizzate ono riportate in figura 8.6. Si nota come l impianto riulti alquanto compleo. Eo prevede, dopo una prima epanione nella turbina di alta preione (0-), un riurricaldamento del vapore e quindi un epanione in diveri corpi di turbina, con doppiamento dei flui in baa preione. Lungo l epanione in turbina ono preenti 8 pillamenti, di cui 7 alimentano dei rigeneratori a uperficie, e uno alimenta il degaatore (5). Queta ucceione di pillamenti permette all acqua di alimento, proveniente dal condenatore, di entrare nel generatore di vapore al punto A. Analizzando più nel dettaglio la linea di pre-ricaldo dell acqua di alimento, i nota come, all ucita del condenatore, iano preenti delle pompe di etrazione dell acqua dal condenatore, e delle pompe 8.

145 booter, che alimentano il degaatore. Queto quindi divide l impianto in due: la zona di baa preione e quella di alta preione. E infatti preente una terza tazione di pompaggio, che porta l acqua di alimento in ucita dal degaatore alla preione di evaporazione. Figura 8.5. Layout impianto a vapore ENEL da 30 MW di Piacenza. 8.3

146 Figura 8.6. Ciclo termodinamico realizzato nella centrale di Piacenza. Per quanto riguarda il vapore pillato, e i analizzano gli cambiatori di alta preione, i nota come il vapore pillato, fatto condenare al livello di preione dello pillamento, venga quindi introdotto, previa laminazione ientalpica, nello cambiatore che lo precede, fruttando coì una quota di calore che altrimenti andrebbe pera. Coì facendo, rialendo i diveri cambiatori a uperficie, la omma delle portate pillate in alta preione viene introdotta nel degaatore. Al degaatore arriva inoltre l acqua di alimento proveniente, attravero gli cambiatori di baa preione, dal condenatore. Quet acqua di alimento è la omma della portata di vapore proveniente dalla turbina e di tutte quelle pillate a baa preione. Anche i cacami di vapore degli pillamenti di baa preione vengono infatti laminati da uno cambiatore al precedente, fino al condenatore. Si fa notare come il numero di pompe preenti nell impianto ia empre raddoppiato ripetto alle normali eigenze di funzionamento. Queto per garantire la continuità del ervizio, anche in cao di rottura, e oprattutto per ragioni di icurezza, in quanto il boiler (il corpo cilindrico) deve empre eere alimentato. Va infatti ottolineato come gli impianti a vapore contribuicano alla copertura del carico di bae, e quindi debbano funzionare per un elevato numero di ore all anno (8000 ore/anno), limitando al maimo le fermate per manutenzione dell impianto. L utilizzo di tali impianti per carichi di bae è dettata dal fatto che ono impianti che mal opportano i tranitori di accenione e pegnimento. Bati penare alle elevate uperfici e portate in gioco nel generatore di vapore. Perché queto i porti a regime, partendo da fermo, ci vogliono tranitori che durano ore, e non giorni, che quindi impedicono una rapida ripota dell impianto alle variazioni del carico, coa che invece vedremo eere perfettamente in grado di fare un impianto Turboga. 8.4

147 Figura 8.7. Eempio di impianto termoelettrico. Un impianto a vapore, nella realtà è ancora più compleo di quanto abbiamo vito fin qui, in quanto prevede la preenza, oltre che degli elementi che permettono la realizzazione del ciclo termodinamico, anche di una erie di elementi neceari ad eempio alla movimentazione e trattamento del combutibile, al trattamento dell acqua di reintegro (per compenare perdite di vapore nei circuiti) coì come di quella di raffreddamento del condenatore, oltre che di itemi per 8.5

148 il raffreddamento dell alternatore. Un eempio di impianto a vapore, con auiliari annei, è riportato in figura 8.7. Da queta figura i nota come l elemento più ingombrante riulti icuramente eere il generatore di vapore. Nell impianto in figura ono rappreentati tutti i poibili itemi di approvvigionamento del combutibile. I generatori di vapore degli impianti termoelettrici poono infatti eere alimentati da diveri tipi di combutibile (metano, olio combutibile, polverino di carbone), che richiedono diveri trattamenti. Tutti queti elementi che compongono l impianto conumano a loro volta energia. Ciò che quindi può eere in definitiva immeo ulla rete elettrica arà la potenza utile fornita dalla turbina, al netto dei conumi interni dell impianto, coì come rappreentato in figura 8.8. Gli impianti ENEL dilocati ul territorio nazionale ono principalmente di due taglie: da 30 MW e da 600 MW. Quete taglie vengono poi uate in maniera modulare per impianti di taglia uperiore. Il rendimento dell impianto è tanto maggiore quanto più è grande la ua taglia. Eo può raggiungere il 4-44 % lordo con T max = C e preione maggiore di quella critica. Figura 8.8. Conumi degli auiliari Il condenatore Vediamo a queto punto nel dettaglio come è fatto un condenatore, e gli eventuali componenti ad eo auiliari. Innanzitutto il condenatore aolve a più funzioni. Oltre a quella ovvia di condenare il vapore umido proveniente dalla turbina, eo deve creare il vuoto alla preione deiderata a valle della turbina, per migliorare il rendimento del ciclo. Un ultima funzione è quella di de-aerare il condenato, per eliminare eventuali ga diciolti, come l oigeno, che, ad alta temperatura, diventa corroivo. Si ricorda che il condenatore opera in condizioni di preione inferiori a quella atmoferica. Poibili infiltrazioni di aria dall eterno tendono ad innalzare la preione del condenatore, riducendo il alto entalpico diponibile ulla turbina. I ga vanno quindi eliminati con continuità, per garantire il grado di vuoto richieto e aicurare che non via ia oigeno diciolto. L eliminazione dei ga avviene per mezzo di eiettori alimentati a vapore, durante il normale eercizio dell impianto. Un eiettore altro non è e non un tubo di Venturi in cui viene accelerato il vapore. La ezione di gola del tubo di Venturi è collegata alla zona dove i raccolgono i ga. Nella 8.6

149 ezione di gola i realizza una depreione tale da eere in grado di apirare i ga preenti nel condenatore, convogliandoli all eterno. Il condenatore non è altro che uno cambiatore di calore a uperfici, la cui geometria è quella claica hell&tube, con le tubazioni a baionetta, coì come motrato in figura 8.9. Sono previti due percori eparati in parallelo per l acqua di raffreddamento, in modo che, e e ne rompe uno, l altro può continuare a funzionare. Queta configurazione è inoltre utile nelle fermate per manutenzione, garantendo la continuità del ervizio. Con riferimento alla figura 8.9, il vapore umido proveniente dalla turbina percorre il condenatore all eterno dei tubi, al cui interno circola invece l acqua di raffreddamento. Il vapore quindi condena ulla uperficie eterna dei tubi, e il condenato viene raccolto in bao, in quello che viene chiamato pozzo caldo. L acqua nel pozzo caldo i trova in condizioni ature a una temperatura che dipende dalla temperatura e dalla portata dell acqua di raffreddamento, oltre che dalle uperfici di cambio termico eitenti nel condenatore. Una pompa di etrazione dell acqua permette di mettere in circolo l acqua contenuta nel pozzo caldo, inviandola in caldaia o negli eventuali elementi interpoti. Nel progetto di un condenatore biogna pereguire i eguenti obiettivi: minimizzare le perdite di carico, eliminare l aria e maimizzare l efficienza di cambio termico. Per il reto, eo è un claico cambiatore a uperfici, per cui i adottano i metodi claici per il loro dimenionamento. Si ricorda che la potenza termica da aportare può eere legata alla portata d acqua di raffreddamento dalla relazione eguente: Q mh Oc T H O = (8.44) in cui T HO è la variazione di temperatura che l acqua di raffreddamento ubice nell attraverare il condenatore. D altra parte, la potenza termica cambiata può eere anche eprea in funzione del coefficiente globale di cambio termico U, della uperficie di cambio termico S e di una differenza di temperatura media logaritmica: Figura 8.9. Condenatore. 8.7

150 T T v T u T i Figura Andamento delle temperature lungo il condenatore. S Q = US T ml (8.45) Con riferimento alla figura 8.30, che riporta gli andamenti delle temperature lungo lo cambiatore, la differenza di temperatura media logaritmica riulta coì definita: T ml T = ln u T ( Tv Ti ) ( T T ) v i u 8.8 (8.46) Il coefficiente globale di cambio termico riulta invece dalla mea in erie delle reitenze termiche relative alla convezione eterna, alla conduzione attravero la parete della tubazione (tracurabile), alla convezione interna, più poibili contributi legati allo porcamento: = (8.47) U h λ h h i e porcament o eendo lo peore della uperficie e λ la conduttività del materiale. L acqua di raffreddamento può eere direttamente prelevata dall ambiente (lago, fiume), e reintrodotta nell ambiente ad una temperatura maggiore, coì come motrato in figura 8.3a, ovviamente nel ripetto dei limiti impoti dalla normativa vigente in materia di inquinamento e immiioni in atmofera. Un altra poibilità è quella di utilizzare un circuito emi-chiuo (figura 8.3b), in cui il raffreddamento dell acqua avviene in torri di raffreddamento evaporative (Wet). In queto cao l acqua di raffreddamento viene mandata in una torre di raffreddamento, mentre il prelievo dall ambiente è limitato al olo reintegro delle perdite. Un ulteriore poibilità, applicabile però agli impianti di potenza limitata, è quello di uare un condenatore direttamente raffreddato ad aria (figura 8.3c), e quindi enza la preenza di acqua di raffreddamento. Eitono poi divere tipologie di torri di raffreddamento, oltre a quelle evaporative di figura 8.3b. La figura 8.3d motra un eempio di torre Dry, in cui l acqua di raffreddamento viene inviata in uno cambiatore, dove viene raffreddata per convezione forzata dall aria ambiente. Eitono poi condenatori, detti a contatto diretto, dove non eite una eparazione tra vapore condenante e acqua di raffreddamento. Come motrato in figura 8.3e, il vapore proveniente dalla turbina viene condenato micelandolo con acqua fredda, opportunamente pruzzata per aumentare la uperficie di contatto. Il condenato viene poi raffreddato ad aria in una torre. Un ultima tipologia, riportata in figura 8.3f, conite nell utilizzare un fluido divero dall acqua, come l ammoniaca, come fluido refrigerante. In queto cao, il circuito di raffreddamento è un circuito chiuo, e le condizioni iniziali vengono ripritinate mandando il fluido in una torre di tipo ecco. Nelle torri di raffreddamento evaporative, come quelle rappreentate in figura 8.3, l acqua viene pruzzata in controcorrente ripetto all aria. L acqua viene inoltre fatta percolare u uperfici metalliche, in modo da aumentare il più poibile le uperfici di contatto tra acqua e aria.

151 a) b) c) d) e) f) Figura 8.3. Sitemi di raffreddamento dell acqua di raffreddamento del condenatore. L aria, prelevata dall ambiente viene convogliata nella torre da opportuni ventilatori, e ece quindi dalla torre atura d acqua. Una frazione d acqua quindi evapora, ottraendo calore all acqua che la circonda, e viene tracinata via con l aria. L acqua che i è raffreddata viene raccolta ul fondo della torre, e rimandata in circolo da opportune pompe. Quet acqua i trova ad una temperatura pari alla temperatura di bulbo umido dell aria. La temperatura di ingreo nel condenatore, in cao di 8.9

152 utilizzo di torri evaporative è quindi funzione delle condizioni atmoferiche, eendo dipendente dalla temperatura dell aria e dalla ua umidità relativa. Figura 8.3. Torri evaporative. La tipologia e le pretazioni del itema di raffreddamento dell acqua quindi impongono non olo la temperatura di ingreo nel condenatore, ma anche il maimo T che l acqua di raffreddamento è in grado di ubire, eendo queto teo T ciò che la torre deve eere in grado di ottrarre. Nei condenatori ad aria, lo cambio termico avviene direttamente tra l aria ambiente, movimentata attravero opportuni ventilatori, e l acqua di raffreddamento, che invece circola in faci tubieri alettati. Vengono utilizzate alettature per aumentare la capacità di cambio termico. Anche nel cao in cui l acqua di raffreddamento venga prelevata direttamente dall ambiente, la ua temperatura non è cotante, ma ottopota ad un regime tagionale. E allora evidente che, qualunque ia il tipo di condenatore adottato, e di itema di raffreddamento, le ue pretazioni peggioreranno nei mei etivi, per aumentare invece nel periodo invernale Il generatore di vapore Il generatore di vapore è cotituito (figura 8.33), nella ua configurazione bae, da un economizzatore (ECO), in cui l acqua di alimento viene pre-ricaldata fino alle condizioni di aturazione, un evaporatore (EVA), in cui avviene il paaggio di tato liquido vapore a temperatura cotante, e il urricaldatore (SH), in cui il vapore viene ulteriormente ricaldato fino alle condizione richiete in ingreo in turbina. E poi poibile che ia preente un econdo banco di urricaldamento, detto riurricaldatore. Il calore neceario a produrre il vapore è fornito dalla combutione di un combutibile, che può eere di divero tipo (carbone, olio combutibile o ga metano). I prodotti della combutione percorrono il generatore all eterno dei faci tubieri, in cui invece circola l acqua. Nei generatori di piccola taglia i percori poono eere invertiti; e ciò avviene, la caldaia viene definita a tubi di fumo. Queta oluzione impiantitica non viene adottata negli impianti di groa taglia, per ragioni di icurezza. Al crecere della preione di eercizio infatti, riulta icuramente praticamente 8.30

153 impoibile mantenere tutto il generatore in preione, coa che invece riulta fattibile e l acqua in preione è confinata nelle tubazioni. Analizziamo inizialmente il generatore come una catola nera. Eo deve fornire all acqua di alimento il calore Q. In prima approimazione, eo può eere rappreentato come uno cambiatore a uperfici (figura 8.34), in cui ono preenti tre ingrei (l acqua di alimento, il combutibile e l aria comburente), e due ucite (il vapore urricaldato e i prodotti della combutione). Applicando la conervazione dell energia al itema rappreentato in figura 8.34, i ricava: c ( PCI + h c ) + m a h a = Q + ( m a m c ) h f m & + (8.48) Figura Il Generatore di Vapore. 8.3

154 Nell equazione precedente m c è la portata di combutibile, PCI è il uo potere calorifico inferiore, m a è la portata d aria comburente, h a è la ua entalpia, calcolata nelle condizioni di ingreo, mentre h f è l entalpia dei fumi calcolata nelle condizioni in cui queti vengono caricati al camino. Il termine h c viene introdotto quando il combutibile entra in camera di combutione in condizioni divere da quelle tandard ( atm, 5 C). Si ricorda infatti che il PCI è definito per una reazione che inizia in condizioni tandard, e per cui i prodotti vengono riportati in condizioni tandard. Eo è differente dal potere calorifico uperiore (PCS), in cui i preuppone di condenare l acqua contenuta nei fumi. La differenza tra queti due poteri calorifici conite quindi nel divero valore dell entalpia dell acqua contenuta nei fumi: in un cao allo tato liquido (PCS), e nell altro nello tato vapore (PCI). Il termine h c può, in molte applicazioni, eere tracurato, in quanto di ordini di grandezza inferiore al potere calorifico inferiore. Le pretazioni del generatore di vapore vengono valutate definendone il rendimento. Il rendimento di un generatore di vapore è ancora il rapporto tra effetto utile e quanto pago per ottenerlo: Q& η c = (8.49) m PCI c Introducendo queta epreione nell equazione dell energia (8.48), imponendo il bilancio tra i flui in ingreo e quelli in ucita è poibile derivare un legame tra rendimento del generatore di vapore e temperatura dei fumi al camino: PCI( ηc ) + αha h f = Cp, f ( Tf Tref ) = (8.50) α + eendo α il rapporto aria - combutibile: m m a α = (8.5) c fumi vapore h f Q combutibile m a + m c aria acqua h a m a m c PCI + h c Figura Schematizzazione del generatore di vapore. Il rendimento del generatore di vapore dipende quindi dal rapporto aria combutibile α e dalla temperatura dei fumi al camino. L ottimo rendimento i ottiene per una combutione techiometrica (α = α t ), cioè una combutione in cui il comburente è introdotto in quantità eattamente pari a quella richieta per oidare il combutibile. Ad eempio, nel cao emplice di combutione da metano, la reazione di oidazione richiede la preenza, per ogni mole di metano, di moli di oigeno, dando luogo a una mole di bioido di carbonio e due moli d acqua, econdo la reazione eguente: 8.3

155 CH4 + O CO + HO (8.5) Aumendo che l aria ia compota per il % di oigeno e per il 79% di azoto (frazioni molari), biogna fornire alla mole di combutibile (+79/) = 9.5 moli d aria. Ricordando che il peo molecolare dell aria è pari a 8.9 g/mole e che quello del metano vale 6 g/mole, la portata d aria necearia e ufficiente perché avvenga la combutione completa di kg di metano vale circa 75.4/6 = 7. kg aria / kg metano. Nella realtà, la combutione viene effettuata con un piccolo ecceo d aria ( % di oigeno), per evitare la preenza di incombuti nei fumi, quali CO o idrocarburi peanti, nel cao di utilizzo di carbone o oli combutibili. La loro preenza cotituice infatti una perdita, con coneguente abbaamento del rendimento. Una volta fiato il tipo di combutibile impiegato, e l ecceo d aria opportuno, il rendimento del generatore è tanto maggiore quanto più è baa la temperatura dei fumi al camino. Va però oervato come nella realtà eita un limite inferiore per queta temperatura, limite che dipende dal tipo di combutibile utilizzato. Se infatti i tratta di combutibili peanti, come polverino di carbone o oli combutibili, queti contengono un quantitativo di zolfo non tracurabile. Per proteggere le uperfici metalliche, è allora opportuno che la temperatura dei fumi non cenda al diotto della temperatura di rugiada dell acido olforico, temperatura che i aeta intorno ai 40 C. Se invece il combutibile è privo di zolfo, come ad eempio il ga metano, è poibile ridurre la temperatura fino a circa 0 C. Tale valore in realtà erve ad evitare che, per la preenza di condene nei fumi, queti riultino viibili ad occhio nudo, formando quello che viene chiamato pennacchio. Vediamo adeo come è realizzato in pratica il generatore di vapore, cominciando dal percoro dei fumi. In camera di combutione viene introdotta, inieme al combutibile, una quantità di aria che, come abbiamo vito, è leggermente uperiore a quella techiometrica. La temperatura in camera di combutione, e non ci foero perdite, arebbe uperiore ai 000 C. Man mano che i fumi attraverano i banchi di cambio del generatore di vapore, cedono calore al vapore o all acqua, a econda della zona, e quindi riducono la propria temperatura. I fumi, prima di venire caricati in atmofera, attraverano uno cambiatore rigenerativo, in cui cedono parte del calore reiduo all aria comburente in ingreo alla camera di combutione. L elemento in cui ciò avviene i chiama Prericaldatore d aria rigenerativo tipo Ljungtrom (figura 8.35). Si tratta di un tamburo rotante, riempito di lamierini metallici. La parte del tamburo a contatto con i fumi i calda, quindi ruota venendoi coì a trovare a contatto con l aria freca che gli ottrae calore ricaldandoi a ua volta. E evidente, dall equazione di conervazione dell energia, che ciò comporta, a parità di calore ceduto al vapore, una diminuzione della portata di combutibile bruciata, con un coneguente aumento del rendimento del generatore, che a ua volta i traduce in un riparmio ui coti di eercizio dell impianto. La circolazione dei fumi all interno del generatore viene garantita dalla preenza di uno o più ventilatori. Nell eempio riportato in figura 8.33, il tiraggio è bilanciato, in quanto ono preenti un ventilatore premente poto all apirazione dell aria, e un ventilatore apirante, poto immediatamente a monte del camino. La celta della collocazione dei ventilatori è impota da coniderazioni riguardanti la icurezza in cao di rottura delle pareti del generatore di vapore. Se infatti i producee, per qualche ragione, una rottura nelle pareti che confinano il percoro dei fumi, oprattutto nella camera di combutione, queti tenderebbero ad ucire dal generatore, e la preione al uo interno foe maggiore della preione atmoferica. E allora neceario far ì che il generatore di vapore operi in leggera depreione, in modo che, in cao di rottura, ia l aria freca ad entrare e non i fumi caldi ad ucire. Analizziamo adeo il percoro eguito dall acqua nel generatore di vapore. Se l unico criterio di progettazione foe la minimizzazione delle irreveribilità legate allo cambio termico, il percoro dell acqua arebbe organizzato in controcorrente con i fumi, con il urricaldatore nella camera di combutione, eguito dall evaporatore ed infine dall economizzatore. Una iffatta dipoizione dei 8.33

156 faci tubieri, tipica di una caldaia a recupero, non viene però mai realizzata, in quanto le tubazioni del urricaldatore non opporterebbero le alte temperature preenti in camera di combutione. Il urricaldatore è infatti uno cambiatore ga ga, in cui quindi i coefficienti di cambio termico ono limitati e dello teo ordine di grandezza u entrambi i lati. A ciò i aggiunge un elevato carico radiativi, in quanto in vita della fiamma. D altra parte, la temperatura ulla uperficie eterna dei tubi non può uperare un limite maimo impoto dal tipo di materiale utilizzato nella cotruzione del generatore ( C). Tutto ciò fa ì che, nel percoro dei fumi, il urricaldatore venga popoto all evaporatore, al cui interno corre invece un fluido bifae, dotato di un coefficiente di cambio termico convettivo deciamente maggiore, con il riultato di limitare la temperatura della uperficie eterna dei tubi entro i limiti maimi impoti. Figura Prericaldatore d aria rigenerativo tipo Ljungtrom. Nei generatori di vapore, la camera di combutione può eere realizzata in materiale refrattario (negli inceneritori), all interno del quale corrono i tubi dell evaporatore, o più peo, con pareti membranate, cioè con i tubi che faciano internamente la camera di combutione, direttamente in vita della fiamma. Con riferimento al diagramma temperatura potenza termica cambiata di figura 8.36, l acqua di alimento entra quindi nell economizzatore, poto in coda nel percoro dei 8.34

157 fumi. L evaporatore facia la camera di combutione, dove il meccanimo di cambio termico dominante è l irraggiamento, mentre i banchi del urricaldatore, e degli eventuali ri-urricaldatori, i trovano in poizione intermedia nel percoro dei fumi. Ei poono trovari ia in zona di irraggiamento, ia in zona convettiva, ma olitamente non vedono direttamente la fiamma, per le ragioni dette in precedenza. L evaporatore di un tipico generatore di vapore è cotituito da un corpo cilindrico uperiore (team drum in figura 8.37), un condotto di caduta, in cui cende l acqua, poto all eterno della camera di combutione, e un corpo cilindrico inferiore che alimenta le tubazioni di rialita che faciano la camera di combutione. L acqua calda in preione, proveniente dall economizzatore, entra nel corpo cilindrico uperiore. Da queto cende nel corpo cilindrico inferiore attravero il condotto di caduta. Dal corpo cilindrico inferiore l acqua riale al corpo cilindrico uperiore attravero le tubazioni di rialita, nelle quali avviene la ua evaporazione. Il vapore che ale entra nel corpo cilindrico uperiore, viene eparato dalla frazione non evaporata, e quindi inviato al urricaldatore. La circolazione dell acqua all interno dell evaporatore può eere naturale (figura 8.37a) o aitita (figura 8.37b). Nel primo cao il alto di preione per vincere le perdite è dato dalla differenza di denità che i ha tra l acqua che cende, e il fluido bifae che riale h p = g ρ l h ρdz (8.5) 0 mentre nel econdo cao è direttamente fornito dalla pompa di circolazione. Queta econda oluzione permette realizzazioni più compatte, non richiedendo la dipoizione obbligatoria in verticale dei tubi di rialita, coì come di quello di caduta. Ea però richiede la preenza di una pompa di circolazione, ed è quindi più cotoa. Figura Tipico andamento delle temperature in un generatore di vapore di grande potenza (. evaporatore;. urricaldatore irradiato; 3. urricaldatore finale; 4. ri urricaldatore a convezione; 6. economizzatore;7. prericaldatore d aria; 8. perdite al camino; 9. perdite vero l ambiente eterno). 8.35

158 (a) (b) Figura Evaporatore a circolazione naturale (a) e forzata (b). Si fa notare come, qualunque ia la tipologia di evaporatore, ci ia una portata d acqua empre ricircolante. Queta modalità di funzionamento è completamente divera da ciò che avviene nei generatori di vapore per impianti ipercritici, in cui il paaggio liquido ga avviene in un unico paaggio. Negli impianti ipercritici tutto ciò che entra evapora. Si introduce infine un ultimo parametro che mette inieme le caratteritiche del ciclo con quelle del generatore di vapore. Si definice conumo di combutibile il eguente parametro: HeatRate Conumodi Combutibile = (8.53) η c PCI Il conumo di combutibile riulta quindi epreo in kg/kwh, e dice quanti chilogrammi di combutibile è neceario bruciare per produrre kwh. Bibliografia: Macchine a fluido bifae, C. Caci, Ed. Maon Italia Editori Macchine Termiche, G. Cornetti, Ed. Il Capitello Torino 8.36

159 CAPITOLO 9 TURBINE A VAPORE 9.. Introduzione La turbina a vapore è la macchina che, nel ciclo Rankine a vapore d acqua, conente di convertire l energia del vapore ad alta preione e temperatura in lavoro utile all albero. Queta traformazione viene realizzata attravero l epanione del vapore in una erie di tadi. Ciacuno tadio è compoto da condotti fii realizzati nello tatore e condotti mobili nel rotore, che hanno il compito di epandere il fluo, cauando una forte accelerazione. Attravero la variazione di quantità di moto del fluido tra l ingreo e l ucita dei condotti mobili, i genera una forza tangenziale che dà luogo alla coppia motrice all albero. Le turbine a vapore ono in generale macchine motrici a fluo aiale. Ciò ignifica che il fluo tra ingreo ed ucita della macchina i viluppa parallelamente all ae di rotazione. Un eempio è riportato in figura 9.. Figura 9.. Rotore di una turbina a vapore. Si ricorda che il lavoro cambiato tra fluido e macchina può eere calcolato attravero le due forme dell equazione dell energia, qui richiamate: L = h h (9.) L e t t V V e = vdp + L w (9.) 9.

160 Si è vito inoltre come il lavoro reale ia maggiore della differenza tra lavoro ideale e lavoro pero, a caua del fenomeno del recupero, fenomeno che è tanto maggiore quanto più il rapporto di epanione è grande. Applicando l analii monodimenionale del fluo in uno tadio, i è ricavato un legame tra il lavoro reale cambiato tra macchina e fluido e i triangoli delle velocità in ingreo ed ucita dal rotore, legame eplicitato dall equazione del lavoro di Eulero: L = eu U( V t V t ) (9.3) Si ricorda infine che, per claificare gli tadi, i è introdotto il concetto di grado di reazione, definito come il rapporto tra il alto entalpico ientropico elaborato nel rotore e quello maltito nell intero tadio: h, rot χ = (9.4) h, tadio Le pretazioni dello tadio poono poi eere valutate utilizzando due poibili definizioni di rendimento: il rendimento total to total e il rendimento total to tatic, la cui unica differenza conite nel coniderare o meno pera l energia cinetica all ucita dello tadio. E poibile crivere un unica formulazione del rendimento, introducendo il coefficiente φ E di recupero di energia cinetica: Leu η = (9.5) V h h φ t E Se φ E riulta pari a 0, la (9.5) fornice il rendimento total to tatic. Se vicevera φ E =, ea fornice il rendimento total to total. 9.. Architettura delle turbine a vapore Eite una grande varietà di turbine a vapore, che i differenziano oprattutto per la taglia, che può variare da kw ad alcune centinaia di MW ( ). Si ricorda che la potenza utile, cioè diponibile all albero, vale: P = m& h = η tm& h (9.6) L entità della potenza utile ottenibile da una turbina dipende ia dal alto entalpico maltibile, ia dal valore della portata. Il alto entalpico a dipoizione della macchina può variare coniderevolmente a econda della taglia e della tipologia dell impianto in cui la turbina è inerita. Negli impianti termoelettrici convenzionali, dove la preione di evaporazione può diventare upercritica e la temperatura di urricaldamento fiora i 600 C, i alti entalpici ono dell ordine dei kj/kg. In altre applicazioni il vapore viene prodotto a preione e temperatura moderate, come è il cao degli impianti cogenerativi (preione dell ordine delle decine di bar), detinati alla produzione di potenza elettrica e vapore per ui interni di un indutria. Valori intermedi e a più livelli i hanno negli impianti in ciclo combinato ( bar) in cui, al poto della caldaia a combutione i utilizza una caldaia a recupero che frutta il calore contenuto nei ga di carico di un impianto Turboga (Capitolo 0). Eitono poi turbine dette a contropreione che epandono fino a un livello di preione di 3-5 bar impoto dal ucceivo utilizzo del vapore, come negli impianti cogenerativi. Più comunemente l epanione proegue nel corpo di baa preione fino a valori molto bai, corripondenti alla preione che i intaura nel condenatore ( bar), a cui corriponde una temperatura di 0 30 C. Le turbine a vapore di grande potenza elaborano quindi elevati alti entalpici, che portano ad utilizzare macchine con un elevato numero di tadi, che può arrivare fino a 30 40; ciò implica ovviamente un grande viluppo aiale della macchina. 9.

161 Nelle ezioni di baa preione eite un limite alla portata volumetrica elaborabile da una turbina, in quanto per ragioni di reitenza meccanica delle palettature, viene limitata la ezione di paaggio. Ricordiamo che la portata volumetrica è il prodotto tra la componente di velocità reponabile del traporto di maa, in queto cao la componente aiale V ax, e la ezione di paaggio, a ua volta eprimibile in funzione del diametro medio e dell altezza di pala: m& Q = V ax πd m l ρ = ξ (9.7) avendo introdotto il coefficiente ξ, detto coefficiente riduttivo della portata, per tenere conto dell effettiva ezione di paaggio, ridotta ripetto alla corona circolare a caua dell otruzione dovuta all ingombro delle pale. Parlando dei cicli a vapore i è detto come, lungo l epanione, il volume pecifico del vapore cambi enormemente. Eo può variare, come ordine di grandezza, da 0.0 m 3 /kg in alta preione, fino a 50 m 3 /kg in baa preione. Queto naturalmente i riflette ulla conformazione delle ezioni di paaggio, avendo piccoliime portate volumetriche in alta preione, ed enormi in baa preione. Uno dei criteri progettuali uualmente adottati nello tudio delle turbine a vapore, è quello di mantenere cotante la componente aiale della velocità lungo la macchina, e upporre di compenare le variazioni di denità del fluido realizzando opportune variazioni di ezione. Se in più i uppone che il diametro medio della macchina reti cotante, l altezza di pala deve variare in modo coniderevole lungo l epanione. Ciò fa ì che gli tadi di alta preione e quelli di baa preione preentino caratteritiche ben divere, i primi perché in preenza di altezze di pala limitate, i econdi per il problema oppoto. Nella realtà, nelle ezioni di alta / media preione il diametro medio è generalmente cotante, mentre nella baa preione, dove le portate volumetriche aumentano moltiimo, il diametro va aumentando per conentire ezioni di paaggio empre più elevate. Figura 9.. Schema di una turbina a vapore. Per quanto riguarda la portata maima maltibile da una turbina, è evidente come queta ia impota dall ultimo tadio della macchina, cioè quello ad avere la minima denità, e quindi la 9.3

162 maima altezza di pala. Fiate le condizioni di carico della macchina, la ezione di paaggio all ucita dell ultimo tadio, e quindi della macchina, dovrà eere celta compatibilmente con i vincoli cotruttivi dettati dalla reitenza meccanica ammiibile. Ciò i traduce nello cegliere, fiato il regime di rotazione, il diametro medio e l altezza di pala, nel ripetto dei uddetti vincoli. I limiti di reitenza meccanica impongono un limite maimo alla velocità periferica (600 m/ all apice), all altezza di pala e al rapporto tra altezza di pala e diametro medio ((l/d m ) max = 0.5). Conideriamo una turbina di grande potenza. L accoppiamento turbina alternatore è, in queto cao, diretto, con la turbina che ruota a 3000 giri/min. Queta celta è impota dalla neceità di evitare, vite le potenze in gioco, la preenza di riduttori. Una oluzione che permette di aumentare le ezioni di paaggio, e quindi portata e potenza erogata, conite nel realizzare la turbina u due alberi: uno di alta/media preione che ruota a 3000 rpm, ed uno di baa preione, che ruota a 500 rpm. In queto modo, nella zona di baa preione arà poibile realizzare pale più alte, grazie alle minori velocità periferiche, e quindi aumentare la ezione di paaggio, con un coneguente aumento della portata maltibile e della potenza erogata. Nel cao di turbine di piccola taglia, dove le potenze in gioco ono tali da rendere accettabile la preenza di riduttori di velocità tra turbina e alternatore, il regime di rotazione della macchina può eere celto eguendo criteri di ottimizzazione delle pretazioni, e quindi riulterà icuramente maggiore. Si fa infine notare che, in molti cai, il diametro medio non reta cotante, ma aumenta anch eo lungo l epanione, come motrato in figura 9.. L aumento della ezione di paaggio è in queto cao dovuto al contemporaneo aumento del diametro medio e dell altezza di pala, quet ultimo più limitato ripetto al cao precedente. E tuttavia accettabile ritenere valida l ipotei di coniderare cotante il diametro medio nell analii del ingolo tadio, upponendo di realizzare la variazione di diametro medio tra tadio e tadio. Figura 9.3. Parzializzazione Stadi di alta preione e parzializzazione Negli tadi di alta preione le portate volumetriche ono empre molto piccole (anche nelle macchine di grande taglia), in quanto il volume pecifico è molto piccolo. Di coneguenza, le altezze di pala l riultano ecceivamente piccole. Eite un limite inferiore ull altezza di pala, o meglio, ul rapporto tra altezza di pala e diametro medio (l/d m ) min, intorno a Tale limite inferiore è dovuto al fatto che, e l altezza di pala è troppo piccola, i giochi radiali, neceariamente preenti tra l apice della pala e la caa, diventano percentualmente rilevanti. Se ciò i verifica, il fluido tenderà a paare dove trova minor reitenza, e cioè prevalentemente attravero i giochi, e non tra le pale, enza quindi compiere lavoro. Ciò comporta perdite elevate e una riduzione inaccettabile del rendimento. 9.4

163 La preenza di altezze di pala limitate i verifica ia negli impianti di piccola ia in quelli di groa taglia. Un modo per uperare queto problema conite nell utilizzo della Parzializzazione. Con riferimento alla figura 9.3, la parzializzazione conite nell inviare il vapore olo u una porzione limitata di corona circolare. In quete condizioni, detto ε grado di parzializzazione, e cioè la frazione di corona circolare u cui viene immeo il vapore, la portata può eere coì calcolata: l m& = ξρv axπd m ε (9.8) D m Si vede quindi che, a parità di portata, viene ridotta la ezione di paaggio in eno circonferenziale, permettendo quindi di innalzare l altezza di pala al di opra dei vincoli. La parzializzazione è peo utilizzata, anche perché permette la regolazione dell impianto. Se infatti varia la potenza richieta, l impianto a vapore i adegua cambiando la portata di vapore prodotta (le condizioni di preione e temperatura del vapore rimangono cotanti). Ma allora, per ridurre il carico, i riduce la portata prodotta. In teoria, non eendo variate le condizioni di produzione del vapore, né il regime di rotazione della macchina, ne riulta che l altezza di pala non arebbe più adeguata. Per limitare lo cotamento dalle condizioni di progetto, i uddivide la corona circolare di immiione alla turbina in più ettori, ognuno alimentato eparatamente. E coì poibile inviare il vapore u un numero via via crecente di ettori, al crecere della portata richieta, e quindi della potenza. In queto modo i otterrebbe però una regolazione a gradini. Per rendere più regolare la variazione del carico, u ogni linea di alimentazione del vapore al ingolo ettore viene interpota una valvola. La regolazione della portata è allora effettuata tramite parzializzazione con interpote laminazioni attravero le valvole. La preenza di altezze di pala limitate e della parzializzazione negli tadi di alta preione vedremo che vincolerà il tipo di tadi da utilizzare in queta zona della macchina. La tipologia di tadi da uare dovrà infatti eere tale da garantire che il vapore in ucita dallo tatore vada davvero a invetire il ingolo ettore del rotore, enza diperderi u tutta la circonferenza, vanificandone l efficacia. Dall altro lato dovrà eere in grado di elaborare un alto entalpico elevato, in modo da aumentare velocemente, al limite in un unico tadio, il volume pecifico del vapore, permettendo quindi altezze di pala ufficientemente alte negli tadi ucceivi da non richiedere più parzializzazione. Ciò ha inoltre l indubbio vantaggio di ridurre velocemente la temperatura e la preione del vapore, con le ovvie coneguenze benefiche ulla reitenza dei materiali cotituenti gli tadi ucceivi Stadi di baa preione Conideriamo ancora l equazione di conervazione della portata (9.8). Negli tadi di baa preione il volume pecifico è molto elevato, e quindi la denità è molto baa, ripetto alle condizioni in ingreo. Inoltre, piccole variazioni di preione danno luogo a grandi variazioni di volume pecifico. E quindi neceario aumentare notevolmente la ezione di paaggio da uno tadio all altro, e quindi l altezza di pala può diventare molto alta. Anche per gli tadi di baa preione eite un limite, queta volta ulla maima altezza di pala ammiibile, e ul maimo rapporto tra altezza di pala e diametro medio (l/d m < ). Entrambi queti limiti ono però impoti dal raggiungimento delle maime ollecitazioni meccaniche opportabili dai materiali cotituenti la turbina, eendo la forza centrifuga la maima ollecitazione agente. La maima portata maltibile è infatti determinata, come i è detto in precedenza, dalla maima ezione di paaggio ammiibile. Un poibile modo per aumentare la portata maltibile è quello di aumentare la componente aiale della velocità negli ultimi tadi, il che implica l aumento delle perdite per energia cinetica allo carico. Un modo più efficace per aumentare la portata oltre i limiti impoti dalle maime ollecitazioni è quello di uddividere la portata, una volta raggiunti detti 9.5

164 limiti, u più corpi di turbina, ottenendo una configurazione in parallelo, come rappreentato in figura 9.4. Figura 9.4. Suddiviione del vapore u più corpi di turbina di baa preione in parallelo. Nell eempio di figura 9.4, il vapore proveniente dalla turbina di alta preione viene uddivio in due flui; ogni fluo alimenta due corpi di turbina di baa preione, calettati in contrappoizione ull albero per ragioni di equilibratura delle forze. Ne riulta quindi un totale di quattro corpi di baa preione, con i relativi quattro carichi (negli impianti nucleari i può arrivare fino a 6-8 flui, con ogni fluo che fornice fino a MW). La preenza di altezze di pala elevate nella zona di baa preione fa ì che in queta zona della macchina l approccio monodimenionale non ia più applicabile, nel eno che non è più penabile che ciò che avviene in corripondenza del diametro medio della macchina ia rappreentativo del comportamento dello tadio. Bati infatti penare che, proprio a caua dell elevata altezza di pala, la velocità periferica varia notevolmente in direzione radiale tra mozzo e caa. Ciò porta, come vedremo, ad avere triangoli delle velocità diveri a econda che queti vengano valutati in differenti ezioni radiali della palettatura, ad eempio alla bae, in mezzeria o all apice. Nel cao degli tadi di baa preione arà allora neceario tenere in coniderazione la natura tridimenionale della geometria e del fluo ia per la progettazione ia per la verifica delle pretazioni degli tadi. Da quanto vito è chiaro che tadi di baa preione e tadi di alta preione hanno caratteritiche ben divere. Nei paragrafi che eguono verranno trattate le divere tipologie di tadi, partendo da quelli ad azione, cioè caratterizzati da un grado di reazione pari a 0. Verranno quindi analizzati degli tadi particolari ad azione, e cioè quelli a alti multipli di velocità (Stadio Curti) e di preione (Stadio Rateau), per poi paare agli tadi a reazione, cioè per cui il grado di reazione è maggiore di zero. In ogni cao verrà dapprima affrontato il cao ideale, cioè in aenza di perdite, per poi paare a quello reale. L approccio utilizzato è quello monodimenionale, per cui la conocenza dei triangoli di velocità a cavallo del rotore in corripondenza del diametro medio conente di valutare le pretazioni dello tadio, in termini di lavoro maltito e di rendimento. Per quanto riguarda quet ultimo parametro, verrà utilizzato un rendimento total to tatic che conidera l energia cinetica allo carico una perdita. Infine, trattandoi di macchine aiali, avendo a che fare con il ingolo tadio, il diametro medio della macchina verrà uppoto cotante (D m = D m ), riultando quindi cotante anche la velocità periferica (U = U = U). Si ricorda infine che con 0 viene indicata la ezione di ingreo allo tatore, con quella di ucita dallo tatore e di ingreo al rotore, mentre con la ezione di ucita 9.6

165 dal rotore. Per quanto poi riguarda la convenzione ul egno degli angoli, queti verranno calcolati ripetto alla direzione tangenziale, con origine coincidente con la direzione della velocità periferica Stadi ad azione Si tratta di tadi in cui il alto entalpico, in condizioni ideali, è unicamente elaborato nello tatore, eendo il grado di reazione nullo: χ = 0 = (9.9) h, rot = 0 h h Conideriamo inizialmente il cao ideale, e vediamo di ricavare i triangoli delle velocità. Con riferimento alla traformazione riportata in figura 9.5, i vede che l epanione avviene unicamente nello tatore, mentre nel rotore la preione reta cotante. Il alto entalpico nello tatore quindi eguaglia il alto entalpico totale maltito dallo tadio: (9.0) h, tadio = h, t = h0 h Ma nello tatore i conerva l entalpia totale: V0 V h t0 = h0 + = ht, = h + (9.) h P t0 0t P 0 0 P = Figura 9.5. Traformazione ientropica in uno tadio ad azione. V U α W V U W β V,t W,t W,t Figura 9.6. Triangoli delle velocità in uno tadio ad azione ideale con rotore a pale immetriche. 9.7

166 E quindi poibile legare la velocità aoluta con cui il vapore lacia lo tatore in condizioni ientropiche V con il alto entalpico elaborato dallo tadio: V h, tadio + V0 = (9.) Nel cao in cui la velocità in ingreo allo tatore V 0 ia tracurabile ripetto alla velocità in ucita, la relazione precedente i emplifica: V h, tadio = (9.3) Se poi i uppone di conocere la velocità periferica U, è poibile calcolare il triangolo di velocità in ingreo al rotore, a patto di conocere l angolo di ucita delle pale dello tatore α. Con riferimento alla figura 9.6 i ottiene infatti: W, t = W co β = V, t U = V coα U (9.4) W, ax = V, ax (9.5) L angolo di ucita dallo tatore α è molto piccolo, dell ordine dei 5-0. L accelerazione del fluo all interno dello tatore può eere molto alta, e dipende dal alto entalpico che i vuole elaborare, come eplicitato dall equazione (9.). Nel cao di maltimento di grandi alti entalpici, la velocità di carico del fluo dallo tatore tende ad aumentare coniderevolmente, diventando anche uperonica. V U α W V V,t W U β W,t W,t Figura 9.7. Triangoli delle velocità in uno tadio ad azione ideale con rotore a pale aimmetriche. Per tracciare il triangolo di velocità all ucita del rotore bata ricordare che, nel rotore, i conerva l entalpia totale relativa: W U W U htr, = h + = htr, = h + (9.6) Ma trattandoi di uno tadio ad azione (h = h per la (9.9)) aiale (U = cot), la relazione precedente porta alla eguente uguaglianza: W = W (9.7) che dice che le velocità relative in ingreo e ucita dal rotore hanno uguale modulo. Ovviamente non avranno uguale direzione, perché altrimenti non ci arebbe variazione di quantità di moto e quindi lavoro cambiato. L eguaglianza dei moduli delle velocità relative può eere ottenuta con due tipi di palettature rotoriche: immetriche (figura 9.6) e aimmetriche (figura 9.7). Nel primo cao, l angolo di ucita del fluo relativo dal rotore β riulta: β = 80 β (9.8) 9.8

167 e il triangolo di velocità in ucita i ottiene emplicemente ribaltando, ripetto alla direzione aiale, il vettore W, ommandogli vettorialmente U per calcolare V, coì come riportato chematicamente in figura 9.6: V, t = V coα = W, t + U = W coβ + U = U W co β (9.9) V, ax = W, ax (9.0) Nel cao di palettatura aimmetrica, la componente aiale della velocità non i conerva a cavallo del rotore, ma diminuice, coì come motrato in figura 9.7. Il triangolo di velocità all ucita del rotore viene ricavato ruotando il vettore W intorno al vertice del triangolo fino ad ottenere l angolo di ucita delle pale β. La velocità aoluta di ucita dal rotore i ottiene ancora componendo vettorialmente velocità relativa e periferica. Il fatto che la componente aiale della velocità diminuica a cavallo del rotore fa ì che la ezione di paaggio deve aumentare. L altezza di pala quindi aumenta nello tatore per compenare le variazioni di denità, il ché avviene anche nel cao di rotore a pale immetriche, ma nel cao di pale aimmetriche aumenta anche nel rotore, per compenare la diminuzione di velocità aiale. Si fa infine notare come, in entrambi i cai, il fluido ubica, nell attraveramento del rotore, elevate defleioni, eendo l angolo di defleione β coì definito: β = β β (9.) Vedremo che, maggiori ono le defleioni che il fluido ubice, maggiori ono le perdite. Quindi queto lacia preagire che gli tadi ad azione preenteranno, nella realtà, perdite piuttoto elevate. La palettatura aimmetrica, grazie alla riduzione della componente aiale della V, conente di ridurre l energia cinetica di carico e quindi la perdita relativa. Per paare a definire i triangoli di velocità nel cao reale, i introduce un coefficiente riduttivo della velocità nello tatore j coì definito: V ϕ = (9.) V Eo è emplicemente il rapporto tra la velocità aoluta in ucita dallo tatore in condizioni reali e quella in condizioni ideali. Il coefficiente ϕ tiene conto delle perdite che il fluido ubice nell attraveramento dello tatore. La traformazione che il fluido ubice nello tatore è tracciata in figura 9.8. A parità di rapporto di epanione, il fluido ece dallo tatore al punto, caratterizzato da un entropia maggiore ripetto al punto d ingreo. La differenza di entalpia connea alle diipazioni nello tatore vale: h P t0 0t P 0 V / 0 = V / P = P h w,rot h w,t Figura 9.8. Traformazione reale in uno tadio ad azione. 9.9

168 V ax V α W V W β V ax U U W t W t Figura 9.9. Triangoli delle velocità in uno tadio ad azione reale con rotore a pale immetriche (è inoltre tratteggiato il triangolo nel cao ideale). gola δ δ Figura 9.0. Deviazione del fluo a valle dello tatore. ( ϕ ) V V V h w, t = h h = = (9.3) Supponendo, come abbiamo finora fatto, che il fluido egua perfettamente l angolo impoto dalle uperfici palari, l angolo α non cambia ripetto al cao ideale. Il triangolo di velocità in ingreo al rotore (figura 9.9) i modifica per la riduzione della velocità aoluta V ; coneguentemente, la velocità relativa diminuice (W < W ), e l angolo del fluo relativo in ingreo al rotore aumenta (β > β ). Anche la componente aiale della velocità i riduce ripetto al cao ideale. Come i è detto, la velocità aoluta all ucita dello tatore può eere uperonica: per numeri di Mach dell ordine di.4 i utilizzano condotti convergenti. Nella palettatura convergente il fluo accelera fino alla ezione di gola (ezione minima di figura 9.0), dove raggiunge le condizioni oniche (numero di Mach = e preione critica). L aumento di ezione neceario per l ulteriore epanione ed accelerazione (fino a Mach =.4) è ottenuto grazie alla rotazione del fluo vero la direzione aiale di un angolo δ (detto angolo di deviazione per la pot-epanione a valle della gola). Per numeri di Mach maggiori di.4 i paa a configurazioni palari che realizzano condotti convergenti - divergenti. Anche nel cao in cui la velocità aoluta V ia uperonica, la velocità relativa W rimane in generale ubonica (M W < ), onde evitare che i generino onde d urto nei canali palari rotorici, che comporterebbero l aumento delle perdite e un calo del rendimento. Analogamente nel rotore, per tenere conto delle perdite legate alla defleione del fluo, i introduce un coefficiente riduttivo della velocità nel rotore y, coì definito: 9.0

169 W W ψ = = (9.4) W W anch eo rapporto tra velocità relativa all ucita del rotore reale e ideale. La preione a cavallo del rotore non cambia, reta cotante, e quindi il punto di fine epanione reale i troverà ullo teo livello di preione del punto, ma ad entropia maggiore, come motrato in figura 9.8. La differenza di entalpia nell attraveramento del olo rotore vale: W W W, rot = h h = = ( ψ ) hw (9.5) Il fluo relativo in ucita dal rotore arà allora dotato di una velocità W < W, inclinata di un angolo β ripetto alla direzione tangenziale, angolo impoto dalla uperficie palare. Si noti che, nel cao reale, la componente aiale della velocità non è più cotante, nemmeno nel cao di palettatura immetrica, ma diminuice. Tuttavia, tale diminuzione è limitata, e quindi l altezza di pala, nei rotori a pale immetriche, reta in pratica cotante Pretazioni degli tadi ad azione Si conideri uno tadio ad azione ideale, a pale immetriche. Non eendo preenti diipazioni vicoe, l unica perdita è l energia cinetica allo carico dello tadio. Il lavoro cambiato tra fluido e macchina è pari al lavoro di Eulero, fornito dalla (9.3). Coniderando il triangolo delle velocità di figura 9.6, i vede come: V, t = V coα = W coβ + U = U W co β (9.6) Inoltre, empre dai triangoli delle velocità, i ha: W co β = V coα U (9.7) Sotituendo nell equazione (9.3) i ricava: Leu = U( V coα V coα ) = U( V coα + V coα U U ) (9.8) da cui infine i ottiene: L eu ( U ) = U V coα (9.9) Il rendimento total to tatic non è altro che il rapporto tra il lavoro di Eulero, pari alla variazione di entalpia totale a cavallo dello tadio, e il lavoro ideale, calcolato al netto dell energia cinetica allo carico: L ( ) eu 4U V coα U U U η = = = 4 coα (9.30) V V V V Ricordando la definizione di coefficiente di velocità periferica K p introdotta per le turbine idrauliche (equazione (6.)) e qui ricritta per le turbine a vapore, aunta tracurabile l energia cinetica in ingreo allo tadio: K p U U = = (9.3) h V, tadio l epreione del rendimento diventa: ( co ) η (9.3) = 4K p α K p Come i oerva dalla figura 9., il rendimento ha un andamento parabolico in funzione del K p. In analogia a quanto fatto per le turbine idrauliche, la condizione di ottimo rendimento viene definita 9.

170 effettuando la derivata dell epreione del rendimento (9.3) ripetto a K p, fiato l angolo α cotante: η K p = 0 Sviluppando i conti i ricava che il K p ottimo vale: (9.33) coα K p, ottimo = (9.34) condizione in cui il rendimento è maimo e vale: η = (9.35) max co α La condizione di ottimo rendimento è quella che minimizza l energia cinetica pera allo carico. Tale condizione è realizzata quando la velocità aoluta V all ucita del rotore è aiale. La figura 9. riporta il triangolo delle velocità in condizioni di ottimo rendimento, empre per il cao ideale. E poi poibile calcolare anche il maimo lavoro ottenibile: Figura 9.. Andamento del rendimento di uno tadio ad azione ideale a pale immetriche. V U α W V U W β W,t W,t Figura 9.. Triangoli delle velocità in uno tadio ad azione ideale con rotore a pale immetriche, operante in condizioni di maimo rendimento. 9.

171 L max = U (9.36) Il maimo lavoro che il fluido può cambiare con la macchina è unicamente funzione della velocità periferica. Si ricorda che la velocità periferica è limitata dalle maime ollecitazioni indotte dalle forze centrifughe opportabili dai materiali cotituenti le pale, quindi il maimo lavoro è limitato dalle maime ollecitazioni ammiibili. Dall eame della figura 9. i oerva come, in accordo a quanto vito, η ia nullo per K p = 0 e per K p = coα, e preenti un maimo in corripondenza di coα /. E quindi evidente che il valore aunto dall angolo aoluto di ucita del fluo dallo tatore α influenza le pretazioni dello tadio. In particolare, una riduzione di α comporta un aumento del rendimento e una riduzione della componente aiale della velocità, con coneguenze benefiche ull altezza di pala. D altra parte però, eo comporta un aumento del K p ottimo, il che implica, a parità di velocità periferica, e quindi di ollecitazioni, una riduzione della velocità aoluta all ucita dello tatore V, e quindi del alto entalpico maltito. Un compromeo tra queti apetti porta ad avere valori limitati di α, che i aetano in generale intorno ai 5. Nel cao di palettatura aimmetrica, la condizione di ottimo rendimento corriponde ancora ad avere componente tangenziale della velocità aoluta all ucita del rotore nulla (V,t = 0), condizione a cui fa riferimento il triangolo delle velocità riportato in figura 9.3. E evidente come l angolo del fluo relativo in ucita dal rotore ia maggiore ripetto al cao di pale immetriche, eendo ora β > 80 - β. Si ricorda inoltre che la componente aiale della velocità diminuice a cavallo del rotore. Definendo K il rapporto tra quete velocità aiali: V, ax K = (9.37) V, ax e procedendo in maniera analoga a quanto fatto per il rotore a pale immetriche, i ricava che la condizione di ottimo rendimento corriponde al eguente valore del K p : K p, ottimo [ + ( K ) tg α ] coα = (9.38) mentre il maimo rendimento vale: η max K en α = (9.39) V U α W V U W β W,t W,t Figura 9.3. Triangoli delle velocità in uno tadio ad azione ideale con rotore a pale aimmetriche, operante in condizioni di maimo rendimento. 9.3

172 η Aimm. Simm. K p Figura 9.4. Confronto tra gli andamenti del rendimento per uno tadio ad azione ideale a pale immetriche e aimmetriche. La figura 9.4 confronta gli andamenti del rendimento nei due cai analizzati di rotore immetrico e aimmetrico, da cui è evidente come il rendimento ia maggiore per il cao aimmetrico, grazie alla minore energia cinetica pera allo carico dovuta alla minore componente aiale della velocità. La minore componente aiale della velocità inoltre permette altezze di pala maggiori all ucita del rotore, mentre la condizione di ottimo rendimento i pota vero valori maggiori di K p, riducendo il alto entalpico maltito, a parità di velocità periferica U. Paando al cao reale, e coniderando il rotore a pale immetriche, con riferimento al triangolo delle velocità tracciato in figura 9.9, il lavoro di Eulero vale, tenuto conto dei coefficienti riduttivi della velocità nello tatore ϕ e nel rotore ψ: Leu = U( V coα V coα ) = U( ϕv coα W co β U) = (9.40) = U( ϕv W U ) U( V ( V U) U ) coα + ψ coβ = ϕ coα + ψ coα Introducendo infine nuovamente il coefficiente ϕ i ottiene: L eu ( + )( ϕ V α U ) = U ψ co (9.4) Il rendimento diventa, eendo il denominatore uguale al cao ideale: L η (9.4) ( + ψ )( ϕ coα K ) eu = = K p V p Anche nel cao reale il legame tra rendimento e K p è di tipo parabolico, come motrato in figura 9.5. Procedendo in maniera identica a quanto fatto nel cao ideale, i ricava la condizione di ottimo rendimento, a cui corriponde un K p ottimo e un valore maimo del rendimento e del lavoro pari ripettivamente a: coα K p, ottimo = ϕ (9.43) co α η max = ϕ ( + ψ ) (9.44) 9.4

173 η Ideale Reale K p Figura 9.5. Confronto tra gli andamenti del rendimento per uno tadio ad azione ideale e reale a pale immetriche. V U α W W V U W t β W t Figura 9.6. Triangoli delle velocità in uno tadio ad azione reale con rotore a pale immetriche, operante in condizioni di maimo rendimento. L eu max ( + ψ ), = U (9.45) Dalla figura 9.5 i nota come, ovviamente, il rendimento ia minore nel cao reale; inoltre, nelle condizioni di ottimo rendimento, la componente tangenziale della velocità aoluta all ucita del rotore non è nulla (V t 0), come motrato dal triangolo delle velocità riportato in figura 9.6. Nel cao reale, l energia cinetica allo carico non è più l unica perdita coniderata, ma diventano ignificative anche quelle nello tatore, di cui i tiene conto attravero il coefficiente ϕ, e quelle nel rotore, rappreentate dal coefficiente ψ. I coefficienti di perdita nelle palettature tatoriche e rotoriche dipendono da molti fattori fluidodinamici e dalla geometria della palettatura. Con un approccio emplificato i vede che il parametro determinante è la defleione del fluo nel canale palare. Nello tatore la defleione α è in generale dell ordine dei 60-70, e quindi i ha un coefficiente ϕ che preenta valori piuttoto elevati, dell ordine di Le perdite nel rotore ono tipicamente di maggiore entità, ubendo il fluo una defleione β maggiore. Eitono correlazioni emplificate di origine empirica che conentono di valutarlo. Una correlazione peo utilizzata è quella di Soderberg:.8 β 4.97 ψ = 0.99 (9.46) β 9.5

174 in cui β va epreo in gradi. Valori tipici del coefficiente ψ ono dell ordine di Infine, il maimo alto entalpico maltibile in uno tadio riulta limitato; infatti, ricordando che in U coα condizioni di ottimo rendimento K p, ottimo = =, i ricava: V U,max = = co α V h (9.47) Si nota quindi come il alto entalpico di uno tadio ad azione ia fiato praticamente dal valore della velocità periferica U, in quanto α può variare molto poco. Il valore della velocità periferica U olitamente è aunto pari alla maima velocità periferica ammiibile per gli forzi centrifughi. Se i volee aumentare il alto entalpico maltibile dallo tadio, l unica poibilità arebbe quella di realizzare un rapporto U/V << (U/V ) ottimo, e cioè quella di allontanari dalla oluzione di maimo rendimento. Il alto entalpico maltibile può poi eere aumentato anche paando ad una configurazione multitadio. Eitono due tipologie di turbine ad azione multi- tadio: la turbina ad azione a alti multipli di velocità, detta Curti, e quella a alti multipli di preione, detta Rateau Stadio Curti La Ruota Curti, detta anche a alti di velocità, è uno tadio ad azione con due tatori e due rotori (figura 9.8), in cui il alto entalpico è elaborato unicamente nello tatore. L elevata energia cinetica V che i ha allo carico del primo tatore viene traformata in lavoro nei due rotori. Tra queti due rotori è interpota una palettatura tatorica, detta raddrizzatore, in cui i ha olo variazione di quantità di moto tra ingreo ed ucita, enza ulteriore epanione del fluido. La preione quindi reta cotante u tutti i rotori e i raddrizzatori interpoti, come motrato dalla traformazione rappreentata in figura 9.7. La figura 9.8 riporta la geometria del piano meridiano e di quello intrapalare per uno tadio Curti con due rotori e un raddrizzatore. h 0t P t0 P 0 0 V / V / 3 4 P = P = P 3 = P 4 ==3=4 Figura 9.7. Traformazione ideale e reale in uno tadio Curti. 9.6

175 Figura 9.8. Piani meridiano e intrapalare di uno tadio Curti. I triangoli delle velocità, per i cai ideale e reale, ono rappreentati in figura 9.9, limitatamente al cao di palettature immetriche. La velocità aoluta nel cao ideale in ucita dallo tatore è ancora fornita dalla relazione (9.3), mentre la velocità V nel cao reale viene calcolata utilizzando il coefficiente riduttivo della velocità nello tatore ϕ. Gli tei riultati ottenuti per lo tadio emplice ad azione poono poi eere applicati anche allo tadio Curti. L angolo aoluto in ucita dello tatore è minore ripetto al cao precedente, attetandoi intorno ai - 5. E quindi poibile calcolare le varie velocità, aolute e relative, applicando le equazioni (9.8) e (9.5) nelle divere ezioni, anche per il raddrizzatore, eendo anch eo a pale immetriche. Valgono quindi le eguenti emplici relazioni: W = ψ W ; V3 = ψ V ; W4 = ψ W3 (9.48) Nel cao ideale di figura 9.9a, e cioè in cui ci ono due rotori, ogni rotore contribuice allo cambio di lavoro, per cui il lavoro di Eulero vale: Leu = U( V coα V coα ) + U( V3 coα3 V4 coα 4 ) (9.49) Per ogni rotore è poibile giungere, con opportune coniderazioni ui triangoli delle velocità, a una forma del lavoro di Eulero analoga all equazione (9.30), per cui la relazione precedente diventa: Leu = U ( V coα U ) + U ( V3 coα 3 U) (9.50) Ma, dal triangolo delle velocità i ha che: V3 coα 3 = V coα U (9.5) per cui il lavoro di Eulero diventa: ( co U ) Leu = 4U V α (9.5) La formula precedente, ottenuta per un numero z = di rotori, può eere facilmente etea al generico tadio Curti compoto da z rotori: L eu ( zu ) = zu V coα (9.53) Il rendimento dello tadio diventa quindi, empre nel cao ideale: Leu U U η = = 4z z = zk ( ) p zk p V V coα V 4 coα (9.54) 9.7

176 a) b) Figura 9.9. Triangoli delle velocità in uno tadio Curti a) ideale e b) reale. η TS co α z = z = 4 z = coα 8 coα 4 coα K p Figura 9.0. Andamenti del rendimento per uno tadio ideale al variare del numero z di rotori. 9.8

177 da cui i ricava la condizione di ottimo rendimento: K p, ottimo coα = (9.55) z condizione in cui il rendimento vale ancora: η = (9.56) max co α La figura 9.0 motra le curve del rendimento in funzione del K p per diveri numeri di rotori z. Si vede che, partendo da z =, a cui corriponde lo tadio ingolo ad azione vito nei paragrafi precedenti, al crecere del numero di rotori diminuice il K p ottimo, mentre non varia il valore del maimo rendimento. Ciò ignifica che, a parità di velocità periferica (cioè di ollecitazioni per gli forzi centrifughi), aumenta la velocità aoluta all ucita dello tatore V, e quindi anche il alto entalpico maltito dallo tadio. Ad eempio, e i confronta lo tadio Curti con due rotori (z = ) con lo tadio emplice ad azione (z = ), i vede che il alto entalpico maltibile è 4 volte maggiore. Vicevera, e i ragiona a parità di alto entalpico maltito, il paaggio dallo tadio emplice ad azione al Curti con due rotori permette di dimezzare la velocità periferica. Una trattazione analoga può eere fatta anche nel cao reale, ottenendo le curve del rendimento per i diveri numeri di rotori z motrate in figura 9.. E evidente come, al crecere del numero di rotori, aumentino le perdite, a caua delle elevate defleioni del fluo nei rotori e nei raddrizzatori, e delle elevate velocità. Nello tadio Curti, a caua degli elevati h maltiti, la velocità aoluta all ucita dello tatore è praticamente empre uperonica. La velocità relativa W vicevera deve rimanere ubonica, perché altrimenti i avrebbero groe penalizzazioni, a caua della preenza di onde d urto. Figura 9.. Andamenti del rendimento per uno tadio reale al variare del numero z di rotori. 9.9

178 Si noti inoltre che, nel cao di due rotori, il primo rotore fornice ¾ del lavoro di Eulero, mentre il econdo rotore contribuice olo per il retante ¼. Gli tadi Curti in generale ono cotituiti da due oli rotori, in quanto il contributo dei rotori ucceivi riulterebbe etremamente limitato, a fronte di un aumento delle perdite notevole Turbina Rateau La turbina Rateau è emplicemente cotituita da una erie di tadi emplici ad azione. Il alto entalpico viene ripartito equamente u tutti gli tadi, con l energia cinetica all ucita di uno tadio recuperata nello tadio ucceivo (V 0 = V ). Il recupero dell energia cinetica allo carico del generico tadio intermedio fa ì che, anche nel cao ideale, non ia neceario porre α = 90 per maimizzarne il rendimento. L angolo di ingreo negli tadi ucceivi non arà più quindi neceariamente aiale. Per gli tadi intermedi è allora meglio utilizzare un rendimento total to total, coì come definito dall equazione (3.06) qui riportata: Leu Leu η TT = = (9.57) V V V h h t0 dove, per convenzione, come velocità di carico nel computo del denominatore i conidera la velocità reale. Ripetto allo tadio Curti, lo tadio Rateau preenta il vantaggio di avere minori perdite, e quindi maggior rendimento. Vicevera, il alto entalpico che il ingolo tadio riece a maltire è inferiore, e quindi è neceario avere un maggior numero di tadi per maltire lo teo alto entalpico. Inoltre, la preenza di alti di preione tra uno tadio e il ucceivo aumenta il pericolo di fughe di vapore, che quindi non compie lavoro. Per limitare quete fughe, che diminuicono il rendimento compleivo della macchina, è neceario realizzare opportune tenute. A concluione di queto paragrafo va detto che gli tadi ad azione, ed in particolare lo tadio Curti, vengono utilizzati come tadi di alta preione nelle turbine a vapore, perché permettono di elaborare elevati alti entalpici e di aumentare coniderevolmente la portata volumetrica negli tadi eguenti. Inoltre, i pretano bene ad eere parzializzati, perché la preione reta cotante a cavallo delle palettature rotoriche. Vedremo che, ripetto agli tadi a reazione, gli tadi ad azione preentano rendimenti peggiori. Queto apetto è però di econdaria importanza, in quanto eendo appunto tadi di alta preione, le perdite che queti preentano ono meno dannoe, in quanto il fenomeno del recupero nell epanione in parte le compena Stadi a reazione Negli tadi a reazione il alto entalpico viene ripartito tra tatore e rotore, come motra la traformazione riportata in figura 9.. La preione varia anche nel rotore, per cui la portata volumetrica ubice un ignificativo aumento. La componente aiale della velocità viene aunta in generale cotante, quindi l altezza di pala tra ingreo ed ucita deve aumentare. Si conideri inizialmente il cao ideale. La figura 9.3 motra il triangolo delle velocità di un generico tadio a reazione. La conervazione dell entalpia totale nello tatore fornice: V V0 = h h = h = χ h (9.58) 0, t ( ), tadio da cui i ricava il legame tra velocità aoluta del fluo in ucita dallo tatore e alto entalpico ideali: V ( ) h = χ V (9.59), tadio

179 Figura 9.. Traformazione ideale e reale in uno tadio a reazione. V α W V W β U U Figura 9.3. Triangoli delle velocità in uno tadio a reazione ideale (c generico). V W α W V U U Figura 9.4. Triangoli delle velocità in uno tadio a reazione ideale con c = 0.5. Anche per gli tadi a reazione è poibile determinare il triangolo delle velocità in ingreo al rotore, noto il regime di rotazione e l angolo aoluto α (compreo tra i 5 e i 5 ). In maniera del tutto analoga a quanto fatto per lo tadio ad azionai determinano W e β. La conervazione dell entalpia totale relativa nel rotore permette di eprimere il alto entalpico nel rotore in termini di variazione di energia cinetica relativa a cavallo del rotore: W W U U h, rot = + (9.60) 9.

180 Ma trattandoi di macchina aiale, la velocità periferica non varia tra ingreo ed ucita del rotore, per cui la relazione precedente i emplifica: W W h, rot = (9.6) Sotituendo quet ultima relazione inieme alla (9.58) nell epreione del grado di reazione i ricava, nell ipotei che la velocità all ingreo dello tadio ia tracurabile: W W χ = (9.6) W W + V Noto il grado di reazione, è allora poibile calcolare la velocità relativa all ucita del rotore. Per poter tracciare il triangolo delle velocità all ucita del rotore, aunta cotante la componente aiale della velocità, è neceario fiare l angolo di ucita relativo del fluo β. Tale angolo può variare tra i 5 e i 30, a econda del grado di reazione. Un cao particolare di tadio a reazione è quello in cui il grado di reazione χ è pari a 0.5. In queto cao il alto entalpico viene egualmente ripartito tra tatore e rotore, riultandone triangoli delle velocità immetrici, coì come motrato in figura 9.4. Nel cao in cui i poa coniderare valida l ipotei di tadio ripetitivo (V 0 = V ), ciò comporta avere pale identiche nello tatore e nel rotore, oluzione economicamente vantaggioa, in quanto richiede un unica geometria di pale per realizzare l intero tadio. Infatti, dalla conervazione dell entalpia totale nello tatore, totale relativa nel rotore e dalla definizione di grado di reazione, i ricava: W = V (9.63) V = W (9.64) Per paare infine al cao reale, bata ancora ricorrere ai coefficienti riduttivi della velocità nello tatore ϕ, definito tramite la (9.3) e nel rotore ψ, coì definito: W ψ = (9.65) W In maniera del tutto analoga è poi poibile calcolare il alto entalpico pero nello tatore attravero la (9.3), mentre nel rotore vale: ( ψ ) W W W h w, rot = h h = = (9.66) Con riferimento alla traformazione di figura 9., i fa notare che la differenza h - h è minore di h h, per effetto del recupero Pretazioni degli tadi a reazione Coniderando le pretazioni di uno tadio a reazione ideale, vediamo di individuare la condizione di ottimo rendimento. Come noto, queta condizione corriponde ad avere componente tangenziale nulla della velocità aoluta allo carico del rotore (V t = 0), coì come motrato in figura 9.5. In queta condizione il lavoro di Eulero vale: L coα eu = UV (9.67) Il lavoro idealmente diponibile vale invece, nell ipotei che ia tracurabile la velocità in ingreo allo tadio (V 0 0): V W W L = h, t + h, rot = + (9.68) 9.

181 V α W V W β U U Figura 9.5. Triangoli delle velocità in uno tadio a reazione ideale operante in condizioni di ottimo rendimento. D altra parte, da emplici relazioni trigonometriche i ricava: W W = V + U ( V + U UV coα) = V en α V + UV coα = (9.69) = UV coα V co α Ricordando l epreione del grado di reazione (9.6), è poibile eprimere la variazione di energia cinetica relativa nel rotore in termini di χ: χ W W = V (9.70) χ Sotituendo quet ultima relazione nella (9.69) i ricava, dopo alcuni emplici paaggi, la relazione che lega il K p ottimo al grado di reazione dello tadio: χ coα K p, ottimo = + (9.7) coα χ Si noti che il K p ottimo aumenta notevolmente con il grado di reazione. In quete condizioni il rendimento riulta maimo e vale: coα coα η = UV UV ( ) max = = K p, χ coα (9.7) V + W W V ottimo χ che, tenuto conto dell epreione (9.7) fornice: η max ( χ ) co α = χ + (9.73) In figura 9.6 è riportato l andamento del rendimento in funzione del K p, per diveri valori del grado di reazione, da cui i nota come il maimo rendimento aumenti al crecere di χ. Si definice il coefficiente di carico K i che eprime la capacità di uno tadio di maltire il alto entalpico, adimenionalizzato ripetto alla velocità periferica.: K i h, tadio = (9.74) U eo fornice l entità del alto entalpico fruttato nello tadio nel ripetto delle maime ollecitazioni. Il coefficiente di carico può eere epreo in funzione del grado di reazione: K i V = χ U (9.75) Valori tipici dei parametri appena calcolati (K p, K i, η max ) per diveri valori del grado di reazione ono riportati in Tabella 9.. Fiata la velocità periferica (U = cot), i vede che, e χ il alto 9.3

182 entalpico maltito dallo tadio diminuice e tende a 0. Ecco perché i realizzano in pratica tadi a reazione al maimo con grado di reazione pari a η TS co α χ > 0.5 χ = 0 χ = 0.5 coα K p Figura 9.6. Andamenti del rendimento per uno tadio ideale al variare del grado di reazione. Tabella

183 Figura 9.7. Triangoli di velocità e geometrie palari al variare del grado di reazione. La figura 9.7 riporta il confronto tra triangoli delle velocità corripondenti a diveri valori del grado di reazione (0, 0., 0.5 e 0.7), fiata la velocità periferica. Sono inoltre rappreentate le geometrie delle pale dello tatore e del rotore, oltre alle traformazioni. Tutti i triangoli i rifericono ad un cao per cui lo carico dal rotore è ovunque identico, e tale da coniderare lo tadio ripetitivo. E evidente come, al crecere di χ diminuica l angolo di deviazione del fluo nel rotore β, coì come diminuica la velocità aoluta all ucita dello tatore V, entrambe grandezze da cui dipendono le perdite. In realtà, la velocità relativa in ingreo al rotore diminuice in modulo fino a diventare aiale, per poi aumentare nuovamente per valori maggiori del grado di reazione. E inoltre evidente come diminuica il alto entalpico maltito. E infine opportuno ottolineare come, e i tratta di uno tadio intermedio, l energia cinetica allo carico poa eere ancora fruttata negli tadi ucceivi. Ad eempio, nel cao di grado di reazione pari a 0.5, i triangoli delle velocità poono aumere una delle forme riportate in figura 9.8. L analii fin qui condotta i baa ull aunzione che la componente aiale della velocità i mantenga ovunque cotante. E però poibile variare V ax per ottenere alcuni vantaggi. Ad eempio, negli tadi di baa preione delle turbine a vapore, dove il volume pecifico varia molto, e molto velocemente, i poono conformare i condotti in maniera tale da aumentare la componente aiale allo carico del rotore V ax, coì come riportato in figura 9.9a. Ciò i ottiene modificando le ezioni di paaggio meridiane, e conente di avere minori altezze di pala allo carico del rotore (e quindi minori ollecitazioni). Un altra coneguenza è quella di avere un maggior angolo di ucita dalle pale β (e quindi maggiori defleioni e maggiori perdite). Un altra poibilità (nel cao non ia critica l altezza di pala) conite nel ridurre la componente aiale allo carico del rotore nell ultimo tadio della macchina (figura 9.9b), allo copo di ridurre le perdite. Paiamo ora al cao reale. Senza entrare nel dettaglio delle relazioni matematiche che eprimono i diveri parametri di funzionamento dello tadio, le figure 9.30 e 9.3 riportano ripettivamente gli andamenti del rendimento, ia total to total (φ E = ) ia total to tatic (φ E = 0), e del coefficiente di 9.5

184 carico al variare del grado di reazione. Sono inoltre riportati gli andamenti nel cao ideale (ϕ = ψ = ). Le curve con φ E = 0 coniderano pera l energia cinetica di carico V dallo tadio, mentre le curve con φ E = coniderano tale energia recuperata nello tadio eguente; i rifericono quindi allo tadio ripetitivo. La differenza tra le due curve determina l entità di tale energia cinetica. V W α W V U U V V = W W U U V W U V U W Figura 9.8. Triangoli di velocità per grado di reazione 0.5. a) b) U V α W V W U U V α W V U W Figura 9.9. Triangoli di velocità con V ax non cotante. Quete curve i rifericono ad un cao pecifico, in cui la componente aiale della velocità è cotante, α = 5, ϕ = 0.95 e ψ = f( β). Per quanto riguarda l ipotei di componente aiale della velocità ovunque cotante, ea può eere ritenuta ancora applicabile anche nel cao reale. L effetto delle perdite arà quello di variare, oltre al modulo della velocità, anche la direzione, riultandone un angolo di incidenza e di deviazione del fluo ripetto all angolo impoto dalle uperfici palari non nullo. Le curve dei rendimenti preentano un maimo in corripondenza di un grado di reazione pari a 0.7 in quanto, aumentando χ, diminuice la defleione. Oltre un certo valore del grado di reazione 9.6

185 però, aumenta W W, con un coneguente aumento delle perdite nel rotore. Si ricorda infatti che le perdite ono proporzionali al quadrato della velocità, oltre che all entità dell angolo di defleione β. E inoltre evidente come le perdite fluidodinamiche all interno delle palettature, tatorica e rotorica, iano preponderanti. In figura 9.3 ono riportate due curve di K i, una relativa ad uno tadio iniziale o intermedio (φ E = ), e l altra allo tadio ingolo o all ultimo tadio (φ E = 0)., da cui i nota come il alto entalpico diminuica al crecere del grado di reazione. Gli andamenti fin qui analizzati i rifericono ad un precio valore dell angolo α. Si noti che, e eo aumentae (ad eempio nel cao di χ = 0.5), il rendimento diminuirebbe, perché aumenterebbe la componente aiale della velocità. In concluione, nel cao reale, per definire appieno il funzionamento del generico tadio a reazione è neceario fiare i eguenti parametri: angolo aoluto all ucita dello tatore α, rapporto tra le componenti aiali della velocità in ucita e in ingreo al rotore V ax /V ax, grado di reazione χ e condizione di tadio ottimizzato, corripondente alla condizione di maimo rendimento. Figura Rendimenti Total to Total e Total to tatic al variare del grado di reazione. Figura 9.3. Coefficiente di carico K i al variare del grado di reazione Dimenionamento della turbina Nel dimenionamento generale della turbina, i parametri principali che devono eere determinati ono il regime di rotazione della macchina ω, il uo diametro medio D m e l altezza di pala l. Nell organizzazione degli tadi di una turbina a vapore, il primo tadio, detto tadio di regolazione, è empre cotituito da uno tadio ad azione emplice o a alti di velocità, tipo Curti, il più delle volte parzializzato, a caua delle piccole portate volumetriche. Queta celta conente di elaborare elevati alti entalpici nel primo tadio, anche e con rendimenti limitati. Lo tadio di regolazione è 9.7

186 eguito da una erie di tadi (corpo di alta preione) ad azione emplice o a bao grado di reazione (χ = ) che contribuicono ad abbattere la preione e la temperatura del vapore. Procedendo lungo l epanione (corpi di media e baa preione), gli tadi diventano a reazione, permettendo di realizzare rendimenti maggiori. Ovviamente il alto entalpico elaborato da ogni tadio è minore ed aumenta il numero di tadi. Inoltre, ricordando che nella baa preione i hanno elevate variazioni di volume pecifico, negli tadi di baa preione i hanno grandi variazioni delle ezioni di paaggio, e quindi dell altezza di pala. Paando al problema di dimenionamento di un ingolo tadio di una turbina, ono noti la portata da elaborare m& e il alto entalpico a dipoizione h,tadio. Dall applicazione dell equazione dell energia è poibile cegliere i triangoli di velocità, e quindi il grado di reazione χ, la maima velocità di rotazione U max e il coefficiente di carico K i : h, K tadio i = (9.76) U eendo la velocità periferica coì definita: D m U = ω (9.77) Si può notare come, pur avendo definito i triangoli di velocità legati allo maltimento del alto entalpico, non i ono ancora definiti il regime di rotazione, il diametro e il rapporto l/d, che riultano trettamente correlati. Ricordando che l equazione di continuità può eere critta nella forma eguente: l m& = ρvaxπd m (9.78) Dm i vede che e i ceglie un numero di giri elevato, i avrà un diametro piccolo e un rapporto l/d grande; vicevera, un numero di giri bao darà luogo ad un l/d piccolo. Eitono quindi infinite oluzioni all interno dei limiti ul rapporto l/d, a parità di U, relativamente alla celta del numero di giri. Tra tutte quete poibili oluzioni olo una corriponde al maimo rendimento, cioè alla celta ottimale. Il numero di giri ottimo può eere determinato grazie a criteri di dimenionamento derivanti o dall eperienza progettuale o da riultati derivanti dall uo di correlazioni empiriche integrate con metodologie numeriche di ottimizzazione. Nelle turbina di grande taglia, come già detto, il numero di giri in realtà non è libero di variare, ma riulta vincolato alla frequenza di rete, e quindi è pari a 3000/3600 giri/min. Sarà quindi olo lo tadio centrale ad eere ottimizzato, mentre gli altri tadi, ia di baa ia di alta preione, non riulteranno ottimizzati, ma andranno comunque dimenionati nel ripetto dei vincoli ul rapporto l/d. Nelle turbine di piccoliima taglia il numero di giri è invece maggiore, non eendoci più limitazioni all uo dei riduttori, e può eere celto in bae a criteri di ottimizzazione. Le turbine di piccola taglia ono tipicamente macchine ad azione o Curti mono-tadio, in cui il rendimento è acrificato per ottenere un contenimento dei coti Sforzi agenti ulle pale Fermo retando che le ollecitazioni maime agenti ulle pale devono eere inferiori alle maime ollecitazioni ammiibili dai materiali che le cotituicono, ulla pala del rotore agicono tre forze: una forza centrifuga, una forza aiale e una forza tangenziale. La forza centrifuga, reponabile degli forzi radiali, è quella che maggiormente ollecita le pale. Conideriamo la paletta cilindrica di altezza l, a ezione traverale cotante S, rappreentata chematicamente in figura 9.3. Ea ruota intorno all ae di rotazione alla velocità angolare cotante ω. Siano r b e r a i raggi ripettivamente 9.8

187 alla bae e all apice della pala. La forza elementare df c agente ull elemento di pala di peore infiniteimo dr, ditante dall ae di rotazione di r, vale: df c = dmω r = ρsω rdr (9.79) ed è diretta vero l eterno, eendo ρ la denità del materiale cotituente la pala. Il maimo forzo agice alla bae, dove la pala è calettata all albero, mentre tale forza centrifuga i annulla all apice della pala. La forza centrifuga agente alla bae della pala i calcola quindi integrando l equazione (9.79) lungo l altezza di pala: F c r a ra rb U U = ρ Sω rdr = ρsω = ρs (9.80) rb E poi poibile eprimere tale forza centrifuga, agente alla bae della pala, in funzione dell altezza di pala l, del diametro medio D m e della velocità periferica calcolata in corripondenza del diametro medio U m : ( r r )( r + r ) F l a b a b c = ρ Sω = ρsum (9.8) Dm eendo r a r b = l, (r a + r b ) = D m e U m = ω D m. La ollecitazione dovuta alla forza centrifuga deve riultare inferiore alla maima ollecitazione ammiibile dal materiale cotituente la pala: σ c = F c S l = ρu m σ amm (9.8) D m Si noti che σ c dipende da U, e non dal numero di giri. Tale relazione è rappreentata graficamente in figura 9.33, da cui i vede come, per un certo valore della ollecitazione centrifuga, e i vuole aumentare il rapporto l/d m è neceario ridurre la velocità periferica. Si ricorda che alla velocità periferica è legato il maimo lavoro ottenibile da uno tadio, mentre al rapporto l/d m è legata la maima portata maltibile. Ciò che fia la maima ollecitazione ammiibile è il materiale cotituente le pale delle turbine. Quete ono realizzate tipicamente in leghe ad alta reitenza o uperleghe, che ono caratterizzate da limitate denità e alti σ amm. Nelle turbine di alta preione, volendo utilizzare materiali convenzionali in preenza di temperature del vapore che poono raggiungere i 550 C, la maima velocità periferica conentita è dell ordine dei m/. Negli tadi di baa preione, dove la temperatura del vapore è ormai proima a quella atmoferica, la maima velocità periferica i ha all apice della pala, dove non può uperare i m/. d r r a r d F c l r b S = cot. ω Figura 9.3. Calcolo della ollecitazione centrifuga agente u una pala a ezione cotante. 9.9

188 Figura Sollecitazione centrifuga in pale a ezione cotante. ω ax t F t F ax Figura Pala ratremata. Figura

189 Una oluzione uualmente adottata per ridurre la forza centrifuga è quella di realizzare le pale ratremate vero l alto, e cioè a ezione traverale variabile, coì come rappreentato in figura In queta maniera i riduce il materiale ai raggi elevati, riultandone una riduzione ulla ollecitazione agente alla bae della pala. La forza agente in direzione aiale viene calcolata a partire dall equazione della quantità di moto. Con riferimento al piano intrapalare chematizzato in figura 9.35, applicando la conervazione della quantità di moto in direzione aiale i ricava: Fax = p A pa + mv & ax m& V ax (9.83) avendo indicato con il pedice le grandezze calcolate nella ezione di ingreo alla chiera, con quelle relative alla ezione di ucita, ed eendo A la ezione di paaggio del fluido, conitente in una corona circolare. Supponendo che i conervi la componente aiale della velocità, la forza aiale cambiata dal fluido con la pala i riduce al olo contributo del campo di preione. Se inoltre i aume che la ezione di paaggio del fluido non cambi tra ingreo ed ucita della chiera, i ricava: F ax ( p ) = D ( p ) = p π l (9.84) A pa A p m p L ipotei di ritenere A cotante può eere ritenuta accettabile, e i pena di realizzare la variazione di ezione del canale meridiano nello pazio eitente tra gli tadi, mantenendo le pale ad altezza cotante. La forza aiale i ripartice equamente ulle z pale che cotituicono la chiera, per cui la forza che agice ulla ingola pala vale: F Fax, pala (9.85) z ax = La forza tangenziale i calcola analogamente a partire dall equazione della quantità di moto proiettata in direzione tangenziale: & ( V ) = AV ( V V ) = ρπd V ( V V ) Ft = m V t t ax t t ml ax t t ρ (9.86) Anche in queto cao, tale forza i ripartice equamente u tutte le pale che compongono la chiera, per cui ulla ingola pala agice la eguente forza: Ft Ft, pala = (9.87) z La riultante tra forza aiale e tangenziale dà luogo ad una ollecitazione di fleione che arà anch ea maima alla bae delle pale, ed uguale al rapporto tra il momento flettente prodotto da tali forze e il modulo di reitenza calcolato nella direzione in cui il momento agice. Si precia che la ollecitazione centrifuga riulta di gran lunga preponderante ripetto a quella di origine fleionale, per cui una verifica di maima può eere condotta coniderando la ola σ c. Quanto detto fin qui è vero nell ipotei di fluo tazionario. Nella realtà il fluo all interno delle macchine a fluido, e quindi anche delle turbine a vapore, è non tazionario, per cui le pale ono ottopote a ollecitazioni periodiche. Per una verifica trutturale accurata è neceario valutare le frequenze proprie delle pale, in maniera da evitare l inorgere di vibrazioni e fenomeni di rionanza che, oltre ad eere reponabili del rumore, poono alla lunga portare a rotture. 9.3

190 apice V W,apice mezzeria U apice V W,m bae V U m W,bae U bae Figura Triangolo delle velocità in ingreo al rotore, in divere ezioni lungo l altezza di pala Teoria dell equilibrio radiale Si è vito come, negli tadi di baa preione, il rapporto l/d m poa diventare grande, portando ad avere pale di altezza elevata. Ciò fa i che gli effetti tridimenionali non poano più eere tracurati. Si è quindi in preenza di grandi variazioni della velocità periferica lungo l altezza di pala (U = ωr), che portano ad avere velocità e preione variabili anch ee lungo l. Conideriamo ad eempio la pala rotorica motrata in figura Supponiamo che i tratti di una pala cilindrica, cioè che preenta un profilo a ezione cotante e identica lungo tutta l altezza di pala (come nel cao di figura 9.3), in cui gli angoli di ingreo e ucita, anch ei cotanti lungo la direzione radiale, ono tati ottenuti attravero un approccio D applicato al diametro medio della macchina. Se i aume che la velocità aoluta V in ingreo al rotore ia cotante lungo l altezza di pala, la grande variazione di velocità periferica tra mozzo e caa fa ì che la velocità relativa W in ingreo al rotore riulti anch ea variabile lungo l, come motrato in figura Di coneguenza, il fluo arà allineato con la tangente al bordo d attacco del rotore olo nella ezione media, mentre movendoi ia vero l apice ia vero la bae della pala arà preente un angolo di incidenza (cotamento tra l angolo della palettatura e l angolo del fluo) divero da zero. Di coneguenza, olo la ezione media lavorerà nelle condizioni di progetto, mentre tutte le altre avranno pretazioni inferiori. La progettazione tridimenionale nelle macchine a fluido in preenza di elevate altezze di pala viene effettuata ricorrendo alla Teoria dell Equilibrio radiale. Si tratta di un approccio emplificato, in quanto, come vedremo, i baa u ipotei emplificative. Ciò nonotante, ea è di largo impiego, in quanto permette di etendere l applicabilità dell approccio D anche a cai 3D, enza dover andare a riolvere direttamente il campo di moto tridimenionale. Infatti, grazie alla teoria dell equilibrio radiale, arà ancora poibile utilizzare l approccio D ulle ingole ezioni, qualunque ee iano (bae, mezzeria, apice o intermedie), dando gli trumenti per paare da una ezione all altra lungo l altezza di pala. La geometria verrà quindi ottenuta emplicemente impilando le geometrie derivanti dall approccio D. La teoria dell equilibrio radiale, nella forma più emplice, i fonda ulle eguenti ipotei: Moto permanente; fluo aialimmetrico; aenza di effetti della curvatura, o effetti tracurabili; ciò ignifica che le traiettorie meridiane ono aunte rettilinee, coì come motrato in figura 9.37; vicoità nulla; 9.3

191 componente aiale della velocità cotante tra ingreo e ucita dello tadio, cioè in direzione aiale; denità cotante lungo il raggio; Conideriamo inoltre un itema di coordinate cilindriche, in cui r individua la direzione radiale, z la direzione aiale e θ la direzione angolare circonferenziale, coì come motrato in figura Conideriamo un elemento fluido dm. Supponendo che dm abbia peore dz unitario, coì come motrato in figura 9.38, eo può eere epreo nel eguente modo: dm = ρrdrdθ (9.88) Affinché tale elemento non abbia componenti di velocità in direzione radiale, deve eere in equilibrio, e quindi la forza centrifuga deve eere controbilanciata da un gradiente di preione in direzione radiale. Applicando il teorema della quantità di moto all elemento dm, u cui agicono quindi la preione p ulla uperficie inferiore di etenione rdθ, la preione p + (dp/dr)dr ulla uperficie uperiore (r + dr)dθ, oltre alla forza centrifuga, coì come chematizzato in figura 9.38, la ommatoria delle forze agenti ul volume fluido fornice: r S R θ z ω Figura Piano meridiano: traiettorie rettilinee. Figura Elemento fluido dm. 9.33

192 Vt dp prdθ + dm = p + dr ( r + dr ) dθ (9.89) r dr Sotituendo l epreione di dm, upponendo dr infiniteimo e tracurando i termini di ordine uperiore, i ottiene: p r Vt = ρ r (9.90) Queta relazione può anche eere ricavata in maniera più rigoroa a partire dall equazione della quantità di moto critta in coordinate cilindriche, ponendo l attenzione alla ola equazione calare relativa alla direzione radiale, aunta tracurabile l azione del campo gravitazionale: Vr Vax Vt Vt p V r + Vax + Vt = + Fr (9.9) r z θ r ρ r Nella relazione precedente, F r ono le forze cambiate tra fluido e pale. Se però upponiamo di coniderare un volume di controllo che contenga olo fluido (il che è coerente con l ipotei di coniderare nulla la vicoità), tale forza è nulla. Inoltre, l ipotei di aialimmetria porta a dire che qualunque derivata ripetto a θ è nulla. L equazione (9.9) i riduce quindi eattamente alla relazione (9.90) e i impone, oltre alle ipotei precedenti, che la componente aiale della velocità ia cotante lungo z, e cioè lungo la direzione aiale, e che la componente radiale della velocità ia nulla, cioè che le traiettorie iano rettilinee. Eendo il termine a detra dell uguale nell equazione dell equilibrio radiale (9.90) icuramente poitivo, la preione deve aumentare procedendo dalla bae all apice della pala, infatti: apice Vt pa pb = ρ dr > 0 pa > pb (9.9) r bae Per legare l equazione dell equilibrio radiale con le grandezze termodinamiche, evidenziando quindi gli cambi energetici tra fluido e macchina, è ufficiente differenziare ripetto al raggio la relazione claica della termodinamica che lega le variazioni di entropia a quelle di entalpia e di preione: dq = Td = dh vdp (9.93) upponendo che la denità non vari in direzione radiale i ottiene: p h = T (9.94) ρ r r r Sotituendo tale relazione nell equazione dell equilibrio radiale i ricava: V t h = T (9.95) r r r Dalla definizione di entalpia totale i ricava inoltre: ht V h Vax Vt = h = + Vax + Vt r r + (9.96) r r r avendo impoto che la componente radiale della velocità ia nulla. Sotituendo quet ultima relazione nella precedente i ottiene: h t r T r Vt = r + V ax V ax r Vt + Vt r (9.97) Queta equazione va otto il nome di equazione NISRE (Non Ientropic Simple Radial Equilibrium). Imponendo infine l ipotei di ientropicità, derivante dall aver aunto il fluo non vicoo, la relazione precedente diventa: 9.34

193 h t r Vt = r + V ax V ax r Vt + Vt r (9.98) equazione dell equilibrio radiale ientropico (ISRE). La relazione precedente può quindi eere utilizzata per decrivere l andamento delle divere grandezze fluidodinamiche lungo la direzione radiale, e cioè lungo l altezza di pala, a patto che iano ripettate le ipotei che ne hanno permeo la derivazione. E quindi evidente come l equazione precedente poa eere applicata olo ed ecluivamente u un dominio che non contiene le pale, e quindi a monte e a valle delle chiere. L equazione (9.98) è un equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine, che deve eere applicata ezione per ezione, e cioè in ingreo allo tatore, tra tatore e rotore e all ucita del rotore, dove le ipotei precedenti ono verificate. In ognuna di quete ezioni è neceario effettuare una celta progettuale, per poter definire l andamento delle divere grandezze lungo l altezza di pala. Eitono divere poibilità, tra cui quella maggiormente utilizzata conite nell imporre che fluido e pala cambino lavoro in maniera indipendente dal raggio, e cioè L = cot con r. Con queta ipotei i ottiene quello che va otto il nome di progetto a vortice libero; infatti, dalla definizione di lavoro di Eulero i ottiene: ( V ) = r ( V V ) = cot r L ω (9.99) eu = U V t t t t Ma allora deve eere: rv = cot (9.00) t condizione che, appunto, corriponde ad un vortice libero. Fiicamente ciò corriponde alla conervazione del momento della quantità di moto ripetto all ae di rotazione. Queta celta progettuale deve eere applicata in ogni ezione: ingreo tatore, ingreo ed ucita rotore. L ipotei di progetto a vortice libero comporta quindi che l entalpia totale i conervi lungo il raggio, il che porta a emplificare ulteriormente l equazione ISRE: Vt Vax Vt + Vax + Vt = 0 (9.0) r r r Differenziando la relazione (9.00) del vortice libero i ricava: ( rvt ) Vt = Vt + r = 0 (9.0) r r che, otituita nella relazione (9.0) fornice: Vax Vax = 0 (9.03) r che dice emplicemente che anche la componente aiale della velocità non varia lungo l altezza di pala: V = cot con r (9.04) ax che, unita all ipotei iniziale di conervazione della componente aiale della velocità in direzione aiale, porta a dire che tale componente della velocità è ovunque la tea, in ingreo al rotore come in ucita, alla bae della pala come all apice. L ipotei di progettazione a vortice libero, derivante dall aver impoto che il lavoro cambiato tra fluido e pala i mantenga lo teo a qualunque raggio, ha come coneguenza la conervazione del prodotto tra raggio e componente tangenziale della velocità e della componente aiale della velocità lungo l altezza di pala. Tali condizioni permettono, noti i triangoli di velocità ad eempio in mezzeria, calcolati attravero l uuale approccio D, di calcolarli anche nelle divere ezioni radiali della macchina. 9.35

194 Figura Triangoli delle velocità lungo l altezza di pala. In particolare, nella ezione tra tatore e rotore vale: V t r = C = cot (9.05) Vax = cot Analogamente, nella ezione di ucita dal rotore vale: V t r = C = cot (9.06) Vax = cot In figura 9.39 ono riportati i triangoli delle velocità in tre divere ezioni dello tadio, e cioè alla bae (r = r b ), in mezzeria ( r = r m ) e all apice della pala (r = r a ). Tali triangoli i rifericono ad un cao ideale, in cui la velocità aoluta allo carico dello tatore V è cotante lungo l altezza di pala, eendo le pale tatoriche normalmente cilindriche. E quindi evidente come, movendoi dalla bae all apice della pala, la velocità relativa in ingreo al rotore W diminuica, mentre l angolo relativo β aumenti. La pala del rotore dovrà allora eere realizzata in maniera tale da avere un angolo variabile con il raggio. In queto cao i dice che la pala è vergolata in ingreo. Se i uppone di voler progettare lo tadio perché funzioni in condizioni di ottimo rendimento, eendo lo tadio ideale, queto porta ad avere la velocità aoluta allo carico del rotore aiale (V = V ax ). Eendo poi il lavoro cambiato cotante lungo l altezza di pala, queta condizione i verificherà ovunque, e quindi alla bae, in mezzeria e all apice. Queta condizione è vantaggioa in quanto permette di avere un angolo aoluto del fluo in ingreo allo tatore ucceivo, nel cao di tadio intermedio, cotante lungo l altezza di pala, che a ua volta conente di uare pale tatoriche non vergolate. 9.36

195 Figura Pala rotorica di una turbina a vapore Tohiba (l = 950 mm, n = 3600 rpm). 9.37

196 Figura 9.4. Variazione del grado di reazione lungo l altezza di pala. Dai triangoli delle velocità di figura 9.39 i vede inoltre che la velocità relativa all ucita del rotore aumenta con i raggi crecenti, e lo teo uccede per l angolo β. La pala rotorica arà allora vergolata anche all ucita. La figura 9.40 motra infine una pala di rotore di baa preione dell altezza di 950 mm, inieme ai profili palari corripondenti a divere ezioni della macchina. Si noti che quello qui riportato è un cao etremo, in cui l altezza di pala è particolarmente elevata. E allora evidente che tutte le volte che i hanno variazioni rilevanti della velocità periferica, e cioè elevate altezze di pala, non è più poibile utilizzare l approccio monodimenionale ulla linea media, ma è neceario tenere conto della tridimenionalità del fluo, ad eempio attravero la teoria dell equilibrio radiale e la progettazione a vortice libero. Ciò è vero non olo negli tadi di baa preione delle turbine a vapore, ma anche in quelli delle turbine a ga, negli tadi di baa preione dei compreori aiali e nelle turbine idrauliche aiali, tipo Kaplan, anche e in tutti queti cai le altezze di pala ono icuramente minori. Inoltre, non è più poibile identificare lo tadio attravero il grado di reazione, in quanto anch eo varia lungo l altezza di pala, ed in particolare aumenta con il raggio. Supponendo per emplicità di coniderare uno tadio ripetitivo, per cui cioè la velocità aoluta in ingreo allo tatore coincide con quella in ucita dal rotore (V 0 = V ), la variazione di entalpia totale a cavallo dello tadio, che equivale al lavoro di Eulero, coincide con la variazione di entalpia tatica. Aunto che i conervi ovunque la componente aiale della velocità, il grado di reazione diventa: h, t V V V V V V t t t + t χ = = = = (9.07) L r ( V V ) r ( V V ) eu ω t t ω t t ωr Introducendo la condizione di vortice libero (9.05) e (9.06) i ottiene: χ C + C = (9.08) ωr relazione riportata in figura 9.4, dove, al poto del raggio, il grado di reazione è diagrammato in funzione della percentuale dell altezza di pala. 9.38

197 In fae di progettazione è buona norma fiare un grado di reazione pari a 0 o leggermente poitivo alla bae, e procedere quindi utilizzando il progetto a vortice libero alla definizione dei triangoli di velocità e del grado di reazione nelle ezioni a raggio maggiore. Se infatti i impone il grado di reazione ad eempio in mezzeria, ci arebbe il richio di ritrovari un grado di reazione negativo alla bae, con coneguente ricompreione del fluido. Se allora i fia χ = 0 alla bae, cioè per r = r b, la relazione che decrive la variazione del grado di reazione con il raggio diventa: rb χ ( r ) = (9.09) r ed il grado di reazione riulterà ovunque poitivo Perdite nelle turbine a vapore Nei paragrafi precedenti i è vito come, nel cao ideale, l unica perdita che ha luogo negli tadi di turbina ad azione, coì come in quelli a reazione, è l energia cinetica allo carico. Paando al cao reale, i è vito come a queta perdita i aggiungano altri tipi di perdita. Nel cao di approccio monodimenionale al ingolo tadio, quete perdite ono legate all evoluzione dello trato limite ulle uperfici palari; l entità della diipazione è funzione del quadrato della velocità e dell angolo di defleione che il fluido ubice nell attraveramento delle chiere tatorica e rotorica, oltre che dell angolo di incidenza del fluo ul profilo, angolo che, nell analii condotta nei paragrafi precedenti è empre tato uppoto nullo. Nella realtà il fluo all interno di una macchina multitadio come una turbina a vapore, è molto più compleo, e le perdite che il fluido ubice nel uo attraveramento ono la coneguenza di variati fenomeni, tra cui la non idealità del fluido, la preenza della vicoità, la tridimenionalità del fluo e la ua intazionarietà, tutti apetti che vanno a modificare le pretazioni della macchina. La valutazione rigoroa delle perdite richiederebbe quindi una trattazione 3D aai complea e oneroa da un punto di vita computazionale. E tuttavia poibile utilizzare correlazioni perimentali che conentono di ottenere dei coefficienti di perdita di energia ζ che permettono di correggere i riultati dell analii D, ottenendo quindi informazioni che meglio approimano la realtà. Le poibili perdite che hanno luogo all interno di una turbina a vapore, e che quindi ne influenzano il rendimento compleivo, poono eere coì elencate:. Perdite fluidodinamiche D: ee ono legate allo viluppo dello trato limite ulle uperfici palari. Per effetto di tali perdite i verifica un decadimento di energia meccanica in energia termica, con un coneguente aumento di entropia. Ee ono influenzate da diveri parametri, quali il numero di Reynold, il numero di Mach, l intenità di turbolenza del fluo, la rugoità uperficiale, il rapporto tra lo peore del bordo d ucita delle pale e la corda, il rapporto pao corda, l angolo di incidenza e l angolo di defleione: te t ζ D = f Re, M, Tu,,, i, β (9.0) c c. Perdite fluidodinamiche 3D: ad ee contribuicono i flui econdari e i giochi radiali. I flui econdari, cioè la preenza di una componente di velocità in direzione radiale non nulla, è una coneguenza dell interazione tra lo trato limite che evolve ulle pareti laterali dei canali, e cioè caa e mozzo, e le pale. Eite quindi un energia cinetica detta econdaria, aociata a queta componente radiale della velocità, energia che non partecipa allo cambio di lavoro con la macchina (i ricorda che gli cambi di lavoro avvengono nel piano intrapalare), e che quindi riulta pera. Queta perdita econdaria è tanto maggiore quanto 9.39

198 più è piccolo il rapporto l/c tra altezza di pala e corda. Il econdo apetto riguarda invece l influenza della preenza dei giochi radiali ulla truttura del campo di moto. Innanzitutto, la portata di fluido che paa nei giochi non lavora correttamente, in quanto non cambia correttamente lavoro con le palettature rotoriche. Inoltre, i giochi radiali influenzano l andamento degli angoli del fluo in proimità dell apice delle pale, e quindi modificano l angolo di incidenza. Le perdite aranno tanto maggiori quanto più la pala è piccola. 3. Perdite per intazionarietà: tali perdite ono legate alla natura non tazionaria del fluo all interno della turbina, dovuta al moto relativo tra rotore e tatore. Il rotore infatti i troverà in ingreo un fluo che, nel itema aoluto, non è uniforme in eno circonferenziale, per la preenza delle cie rilaciate dalle pale dello tatore. Nel moto relativo quindi, il rotore vedrà paari davanti periodicamente le cie dello tatore, riultandone un fluo periodico in ingreo. Ovviamente, in una configurazione multitadio tutto riulta molto più compleo, per il traporto a valle delle cie delle chiere precedenti. 4. Perdite per trafilamenti: i ditingue tra fughe eterne e fughe interne. Nel primo cao, eitendo una differenza di preione tra l interno della macchina e l ambiente eterno, e la preione all eterno è minore ci aranno fughe di vapore vero l eterno attravero le inevitabili imperfezioni che comunque eitono nelle tenute all albero. Le fughe interne avvengono invece tra chiera e chiera, a caua della preenza dei giochi radiali. Porzioni di vapore tendono a by-paare le chiere attravero i giochi, anche quando iano preenti tenute all apice o ull albero. 5. Perdite per ventilazione: tali perdite i hanno in preenza di parzializzazione, e ono legate al fatto che ci ono porzioni del rotore che non ono invetite dalla corrente fluida, ma ruotano immere nel vapore che riempie l ambiente. 6. Perdite per attrito ui dichi: le parti rotanti non a diretto contatto con il fluido comportano reitenze paive che non vengono tenute in coniderazione nel bilancio dello tadio. Nelle intercapedini tra i dichi in rotazione relativa i creano dei moti paivi del vapore, che diipano potenza a pee di quanto il vapore ha ceduto al rotore. Quete perdite i hanno nelle turbine a dichi, cioè in cui le pale dei rotori ono montate all etremità di dichi calettati ull albero, configurazione tipica per le turbine a reazione (figura 9.). Le macchine ad azione utilizzano la configurazione a tamburo, con le pale rotoriche calettate tutte u un unico tamburo. 7. Perdite per vapore umido: ono preenti in baa preione, dove il titolo del vapore è minore di. In quete condizioni il vapore comincia a condenare, formando delle goccioline di liquido all interno della corrente gaoa. Tali goccioline preentano una denità nettamente maggiore ripetto a quella del vapore che le circonda, e quindi un inerzia maggiore. Ee quindi eercitano un azione frenante ul fluido che le circonda, oltre all azione eroiva ulle uperfici metalliche. Tutte quete perdite contribuicono al valore finale del rendimento della turbina, che quindi riulterà nella realtà inferiore ripetto al rendimento del ingolo tadio ricavato attravero l approccio monodimenionale. Gli tadi delle turbine a vapore di groa taglia poono raggiungere rendimenti dell ordine del 90%, valore che i riduce riducendo la taglia della macchina. Si ricorda infine che gli tadi di alta preione preentano rendimenti inferiori ripetto a quelli di baa preione. Bibliografia: Macchine a fluido bifae, C. Caci, Ed. Maon Italia Editori Macchine Termiche, G. Cornetti, Ed. Il Capitello Torino 9.40

199 CAPITOLO 0 TURBINE A GAS 0.. Introduzione Le turbine a ga nella loro forma moderna furono concepite e brevettate intorno al 890. E tuttavia olo alla fine degli anni 30 che e ne hanno le prime realizzazioni pratiche. Infatti, i rendimenti troppo bai dei componenti, turbina e compreore, utilizzati nei primi prototipi coì come le limitate temperature maime del ciclo impote dai materiali allora diponibili, rendevano non conveniente, e non addirittura inutile, un loro utilizzo. Il primo impianto per la produzione di energia elettrica baato u un ciclo a ga fu realizzato nel 939 in Svizzera dalla Brown-Boveri. Fu però lo viluppo di motori per aerei militari a dare la pinta deciiva al miglioramento di quete macchine. Il primo motore aeronautico baato ulla tecnologia delle turbine a ga lo i deve a Whittle, che lo realizzò nel 939 in Inghilterra. La figura 0. ne riporta un emplice chema di funzionamento. Un compreore, in queto cao centrifugo mono-tadio, apira aria dall ambiente attravero un condotto opportunamente agomato, la comprime e quindi la invia in camera di combutione. Qui, grazie all iniezione di combutibile attravero opportuni ugelli, avviene la combutione. I prodotti della combutione, ad alta preione e temperatura, epandono in una turbina (in queto eempio aiale bi-tadio), per poi eere caricati in atmofera attravero un ugello. I principali componenti della turbina a ga ono quindi: il compreore, la camera di combutione e la turbina. Nel cao di applicazione aeronautica, ai precedenti i aggiungono i condotti di apirazione, a monte del compreore, e l ugello allo carico della turbina, elementi che, come arà chiarito nel eguito, contribuicono alla generazione della pinta necearia al otentamento ed avanzamento del velivolo. Figura 0.. Schema della turbina a ga di Whittle. Parallelamente agli tudi Inglei, anche la Germania tava viluppando la medeima tecnologia: fu la prima nazione a produrre e ad utilizzare un caccia militare funzionante grazie ad un motore a reazione. Il motore utilizzato, il Jumo004, fu viluppato e migliorato durante tutta la econda guerra mondiale; malgrado ciò eo non fu mai in grado di uperare le h di funzionamento. Il rapporto di compreione era circa pari a 3, mentre il rendimento politropico del compreore non uperava il 0.

200 valore di 0.8. Lo viluppo di queti motori ubì una bruca impennata olo nel dopoguerra, grazie a ingenti tanziamenti militari, pecialmente in Inghilterra e negli Stati Uniti. E opportuno ottolineare come lo viluppo del turboga, coì come l ottenimento di pretazioni oddifacenti, ia tato fortemente influenzato dalla capacità, da un lato di realizzare compreori con elevati rapporti di compreione e rendimenti ufficientemente alti, e dall altro di cotruire turbine in grado di opportare temperature elevate. A differenza infatti degli impianti a vapore, negli impianti turboga la preenza di un ga ia in fae di compreione che di epanione fa ì che i relativi lavori iano dello teo ordine di grandezza, rendendo l effetto utile, e cioè la loro differenza, fortemente influenzato dalle pretazioni delle macchine e dalle condizioni di funzionamento dell intero itema. Ciò non avviene negli impianti a vapore, dove la divera natura del fluido preente nelle fai di epanione (vapore urricaldato) e di pompaggio (acqua allo tato liquido) fa ì che il lavoro richieto per la compreione del liquido ia tracurabile ripetto a quello fornito dalla turbina, riultandone un icuro effetto utile, anche in preenza di macchine a limitato rendimento e di temperature maime del ciclo ampiamente opportabili dagli acciai comuni. La figura 0. motra l evoluzione tecnologica dei turboga a partire dal dopoguerra. In entrambi i grafici viene motrato l andamento nel coro degli anni della temperatura in ingreo in turbina, che rappreenta la maima temperatura raggiunta nel ciclo. Tale temperatura è un indice del livello tecnologico raggiunto e, come arà chiarito nel eguito, dell aumento delle pretazioni dell intero motore. Figura 0.. Evoluzione dei gruppi Turboga per applicazioni aeronautiche e terretri. Innanzi tutto i individuano due famiglie principali di motori: i turboga per applicazioni aeronautiche e quelli heavy-duty, queti ultimi epreamente progettati per la generazione di potenza elettrica. Come i nota, quete due famiglie di macchine i differenziano per i livelli di temperatura, con le heavy-duty caratterizzate da temperature in ingreo in turbina inferiori. E intereante notare inoltre come poa eere individuato un trend nell aumento della temperatura in ingreo in turbina, maggiore per le macchine aeronautiche (.5 C all anno) che per le heavy-duty (5 C all anno). Tutto ciò può eere facilmente piegato e i pena ai forti invetimenti nella 0.

201 ricerca in campo aeronautico nel ettore militare, i cui frutti i rientono olo a poteriori in campo terretre. Inoltre, a differenza dei motori per aerei, i motori heavy-duty devono funzionare per un elevato numero di ore nell arco dell anno (tipicamente intorno alle 8000 ore/anno). Ciò fa ì che ei riultino più robuti, operando in condizioni di funzionamento meno pinte. Figura 0.3. Ciclo Joule-Bryton chiuo ideale diagramma (T-). 0.. Ciclo Joule-Bryton ideale Il ciclo termodinamico u cui i baano le turbine a ga è il ciclo Joule-Brayton, rappreentato graficamente ul piano (T,) in figura 0.3. In figura 0.3 è inoltre fornito uno chema del lay-out dell impianto. Si nota come l impianto turboga, in queto cao ideale, ia cotituito da due macchine, compreore e turbina, e da due cambiatori di calore. Compreore e turbina ono calettati u un unico albero, conneo all alternatore per la generazione di potenza elettrica. Il ciclo termodinamico è quindi compoto, nel cao ideale, da due traformazioni iobare unite da due traformazioni ientropiche. Le ipotei u cui i fonda ono le eguenti: ciclo chiuo, e quindi la portata di fluido che attravera i diveri componenti è empre la tea; fluido di lavoro ga perfetto a C p cotante; macchine ideali, e quindi traformazioni nelle macchine, turbina e compreore, adiabatiche reveribili; aenza di perdite di carico nei condotti di collegamento e negli cambiatori di calore; aenza di perdite di calore vero l eterno. Con quete ipotei, il fluido di lavoro, tipicamente aria, viene apirato dal compreore (η C,ad = ) nelle condizioni, e compreo ientropicamente fino alla preione p. Alla fine della compreione (punto in figura 0.3) ha luogo l introduzione di calore a preione cotante in uno cambiatore di calore, che porta il fluido dalla temperatura T alla temperatura T 3. Dal punto 3 il fluido inizia un epanione ioentropica in turbina (η T,ad = ) che lo riporta, nel punto 4, alla preione p. Infine i ha un raffreddamento iobaro con ceione di calore ad una orgente a baa temperatura in un econdo cambiatore di calore, che riporta il fluido nelle condizioni iniziali al punto. 0.3

202 Si fa notare come il ciclo termodinamico poa venire in maniera preoché equivalente rappreentato anche ul piano entalpico (h,), eendo per un ga perfetto dh= C p dt, ed in più C p cotante. Il ciclo chiuo ideale nella realtà non viene realizzato praticamente mai, in quanto richiede cambiatori di calore con uperfici molto etee (trattandoi di cambiatori ga/ga). Ricordando che lo viluppo di tale motore i è verificato per applicazioni aeronautiche, dove il rapporto potenza/peo è di vitale importanza, i capice immediatamente come queta oluzione non ia tata mai realizzata, ma unicamente utilizzata come modellazione teorica. Nella realtà, la oluzione adottata è quella di realizzare un ciclo aperto, in cui al poto dello cambiatore ad alta temperatura è preente una camera di combutione, e la traformazione 4- è realizzata dall atmofera, coì come rappreentato in figura 0.4. Il compreore apira aria dall ambiente (punto ), la comprime e quindi entra in camera di combutione (punto ), dove viene iniettato del combutibile. Grazie alla combutione, in ingreo in turbina (punto 3) i preenta un ga, compoto dai prodotti della combutione, che ha una portata maggiore dell aria apirata dal compreore ed una compoizione divera. Allo carico della turbina i fumi vengono emplicemente rilaciati in atmofera (punto 4). L approccio di ciclo chiuo è tuttavia accettabile in prima approimazione e i aume che la portata di combutibile ia piccola ripetto alla portata d aria, coì che i poa con buona approimazione ritenere la portata ovunque cotante. Un ulteriore ipotei è quella di introdurre una traformazione fittizia 4- che permetta di chiudere il ciclo. E infatti opportuno ricordare che, a rigori, è poibile definire un rendimento olo ed ecluivamente nel cao di ciclo chiuo. Figura 0.4. Ciclo Joule-Bryton aperto ideale Pretazioni del ciclo chiuo ideale Le pretazioni vengono fornite in termini di rendimento e di lavoro del ciclo. Come i può facilmente vedere dal grafico in figura 0.4, la differenza (poitiva) tra il lavoro fornito dalla turbina (L t ) e quello richieto dal compreore (L c ) è data dal fatto che le due iobare ono divergenti. Infatti, ricordando l epreione del lavoro ideale: L = v dp (0.) 0.4

203 0.5 a pari differenza di preione (dp), comprimere a baa temperatura richiede meno lavoro di quello che i ricava dall epanione ad alta temperatura per la differenza dei volumi pecifici. Si ricordi inoltre che il calore entrante nel ciclo Q vale: = = 3 3 dt C Td Q p (0.) mentre quello ucente Q è dato da: = = 4 4 dt C Td Q p (0.3) La differenza tra i due lavori, di epanione e di compreione, cotituice il lavoro utile L u che, nel diagramma (T,), può eere rappreentato come l area racchiua dal ciclo. Il rendimento del ciclo ideale può quindi eere critto come: Q Q Q Q Q Q L L Q L C T U = = = = η (0.4) Tenuto conto delle relazioni (0.) e (0.3), e nell ipotei di C p cotante i ha : ) ( ) ( ) ( ) ( T T T T T T C T T C p p = = η (0.5) Ricordando che le due traformazioni di compreione ed epanione ono adiabatiche reveribili, e quindi ientropiche, per cui vale: T T p p p p T T = = = γ γ γ γ (0.6) i ottiene: 3 4 T T T T = (0.7) riultato prevedibile, trattandoi di un ciclo immetrico. Sotituendo quindi quanto appena trovato nell epreione (0.5) i ricava: = = = γ γ η 3 4 p p T T T T T T T T id (0.8) Denominando infine β = p /p rapporto di compreione, l epreione del rendimento riulterà: γ γ β η = id (0.9) Il rendimento del ciclo ideale dipende quindi unicamente dal rapporto di compreione (ß) e dal tipo di ga (?). La figura 0.5 motra l andamento del rendimento del ciclo a ga ideale in funzione del rapporto di compreione, al variare del tipo di ga, ed in particolare per ga mono e biatomici e a molecola complea. Come i può vedere, il rendimento aumenta all aumentare di ß, tendendo all unità per β, mentre arà maggiore per ga monoatomici (? =.6) piuttoto che biatomici (? =.4) o triatomici (? =.33). Un altra grandezza fondamentale che caratterizza il ciclo è il lavoro utile o pecifico, dato dalla differenza tra i lavori cambiati dalla turbina e dal compreore: c t u L L L = (0.0) Tenuto conto dell epreione del rendimento teté ricavata, i ottiene:

204 Lu, = η idq = C ( T3 T ) p (0.) γ γ β Ricrivendo la relazione precedente eplicitando la dipendenza dal rapporto di compreione e dal rapporto tra la temperatura maima e minima del ciclo, i arriva alla formulazione eguente: Figura 0.5. Andamento del rendimento del ciclo a ga ideale in funzione del rapporto di compreione per diveri tipi di ga. Figura 0.6. Andamento del Lavoro pecifico del ciclo a ga ideale in funzione del rapporto di compreione per divere temperature maime del ciclo. 0.6

205 γ γ RT T3 γ = u, β (0.) γ γ γ T β L La figura 0.6 riporta l andamento del lavoro pecifico nel cao dell aria (? =.4) in funzione del rapporto di compreione, fiata la temperatura in ingreo al compreore T, e per valori dicreti della temperatura in ingreo in turbina T 3. Ovviamente il lavoro utile è nullo per β = ; al crecere di β eo aumenta fino a raggiungere un maimo, per poi diminuire nuovamente fino ad annullari γ ( γ ) per valori di β pari a ( T 3 T ), condizione in cui il rendimento del ciclo è maimo e pari a quello di Carnot. Tale andamento i ripete identico al variare della maima temperatura del ciclo, con il lavoro pecifico che crece in maniera monotona all aumentare di T 3. Si nota inoltre come, al crecere di T 3 il maimo lavoro pecifico aumenti, coì come il valore di β a cui i verifica. La condizione di maimo lavoro utile può eere facilmente ricavata calcolando la derivata del lavoro utile ripetto al rapporto di compreione, e ponendo uguale a zero il riultato: L u = 0 (0.3) β Svolgendo i calcoli i ottiene che la condizione di maimo lavoro utile corriponde a: β γ T ( ) 3 γ = L (0.4) MAX T E facile dimotrare che, in quete condizioni, le temperature del ciclo T e T 4 riultano uguali: γ γ T3 T T3 β = = = T = T4 = T T3 (0.5) T T T4 Figura 0.7. Influenza del rapporto di compreione, fiate T max e T min cotanti. Il comportamento fin qui evidenziato può eere chiarito penando alla forma che il ciclo aume al variare del rapporto di compreione, fiata la T 3. Con riferimento alla figura 0.7, ricordando che, nel cao ideale, l area del ciclo è equivalente al lavoro utile, i può vedere come, all aumentare di ß, il ciclo inizialmente aumenti la propria area; queta raggiunge un maimo e quindi, ad un ulteriore aumento del rapporto di compreione, tende nuovamente a riduri. 0.7

206 Come i è detto, idealmente il lavoro utile è nullo per β = e β = ( T T ) 3 γ ( γ ). Si può infatti facilmente oervare come, al primo cao corriponda dβ 0, mentre al econdo corriponda d 0. In entrambe le ituazioni il ciclo degenera ad una ituazione limite per la quale non vi è produzione di lavoro utile. La divera dipendenza del lavoro pecifico e del rendimento del ciclo da ß, rende impoibile maimizzare entrambi in fae di progetto. Ciò è reo evidente dal grafico di figura 0.8, in cui vengono diagrammati inieme gli andamenti del rendimento e del lavoro utile del ciclo in funzione del rapporto di compreione, fiate le temperature minima e maima. Come i può vedere il rapporto di compreione che maimizza il lavoro pecifico non è il medeimo che maimizza il rendimento. Queti infatti continua a crecere con ß ed è limitato olamente dalla temperatura maima T 3. La zona tratteggiata non riulta praticabile in quanto i upererebbe il maimo valore della temperatura T 3, valore impoto dai limiti tecnologici per la reitenza meccanica e termica dei materiali utilizzati. Inoltre, per valori maggiori del rapporto di compreione i violerebbero i principi della termodinamica, in quanto i avrebbe un ciclo con rendimento maggiore di quello di Carnot. Rendimento e lavoro pecifico in funzione di Beta (Tmax=300 C)?, Lu/(CpT ) T3 β = T ϕ Tmax 0 00 T ϕ β = T ß Lavoro pecifico Rendimento Figura 0.8. Lavoro pecifico e rendimento al variare di b L analii fin qui condotta è valida a rigori olo nel cao di ciclo chiuo ideale, in cui cioè le macchine ono ideali e la portata riulta cotante e di compoizione invariata in ogni componente. E poibile etendere con buona approimazione i riultati appena ottenuti anche al cao di ciclo aperto ideale, a patto di ritenere tracurabile la portata di combutibile iniettata in camera di combutione ripetto a quella di aria apirata dal compreore. Va però notato come il paaggio da ciclo chiuo a ciclo aperto, e la otituzione dello cambiatore di calore ad alta temperatura con la camera di combutione faccia ì che cambi la compoizione del fluido evolvente nei diveri componenti (aria nel compreore, prodotti della combutione in turbina), e quindi varino anche i calori pecifici e il γ. Se i ripete l analii precedente nel cao di ciclo aperto ideale, in cui però i tiene conto della variazione di portata e compoizione nei diveri componenti, il rendimento del ciclo diminuice (eendo γ minore in fae di epanione ripetto alla compreione), mentre il 0.8

207 lavoro utile aumenta (eendo C p maggiore per i prodotti della combutione che per l aria, ed eendo la portata in turbina maggiore ripetto a quella evolvente nel compreore). Figura 0.9 Ciclo a ga reale Ciclo a ga reale Il ciclo reale tiene conto del comportamento reale dei diveri componenti cotituenti il ciclo a ga, e cioè delle perdite che i verificano all interno delle turbomacchine, nella camera di combutione e nei condotti di collegamento. Con riferimento alla figura 0.9, è poibile identificare le eguenti perdite: In Apirazione: ono perdite di carico generate dai condotti di apirazione e dai filtri preenti all ingreo dei compreori. Queti hanno lo copo di mantenere il più pulita poibile l aria apirata dal turboga. Si tiene conto di quete perdite coniderando la preione di inizio compreione più baa ripetto a quella atmoferica, e la traformazione che l aria ubice nell attraveramento dei filtri una laminazione ioentalpica. In fae di compreione: ono dovute agli attriti tra il fluido di lavoro e la macchina. Cauano un aumento di temperatura e, coneguentemente, di entropia allo carico del compreore. Vengono tenute in coniderazione tramite un rendimento di compreione (η y,c politropico o η ad,c adiabatico). In camera di combutione: empre a caua di attriti i hanno perdite di carico che riducono leggermente la preione ripetto al proceo iobaro. Altre perdite preenti riguardano le diperioni termiche: per quanto la combutione ia rapida, il proceo non arà completamente adiabatico. Si deve quindi tener conto di alcune perdite di calore vero l eterno. Sono introdotte quindi, nel tratto 3 una caduta di preione π = p 3 /p ed un rendimento di combutione η b. In fae di epanione: perdite per attrito i verificano anche nella turbina. Anche in queto cao e ne tiene conto introducendo il rendimento di epanione (η y,t politropico o η ad,t adiabatico). Perdite per raffreddamento: la turbina i trova a lavorare a temperature etremamente elevate, ben maggiori ripetto a quelle che i materiali di cui è cotituita ono in grado di 0.9

208 opportare. Per queta ragione parte dell aria all ucita del compreore bypaa la camera di combutione e viene direttamente inviata a raffreddare gli tadi iniziali della turbina. Tale aria non partecipa completamente all epanione, riultando quindi in parte pera. Allo carico: analogamente all apirazione anche allo carico ci aranno perdite di carico. La preione di carico arà quindi leggermente uperiore ripetto a quella atmoferica. Perdite meccaniche ed elettriche: i tratta delle perdite negli organi di tramiione e nell alternatore, di cui i tiene conto attravero l utilizzo di un rendimento meccanico η m ed elettrico η el. Tutte le perdite di carico che avvengono in fae di apirazione, in camera di combutione ed allo carico hanno come effetto quello di penalizzare il rendimento del ciclo. Le perdite di apirazione nel tratto 0, dovute ai filtri fanno ì che la preione di inizio compreione ia inferiore a quella atmoferica. In genere l ordine di grandezza delle? p 0 è intorno ai mmho. Quelle che i verificano in camera di combutione ono olitamente valutate in termini percentuali ripetto alla preione di ingreo: ono da apettari p 3 /p pari a circa Infine le perdite allo carico poono eere rilevanti e è preente una caldaia a recupero, cioè una caldaia in cui il calore contenuto nei fumi in ucita dal turboga viene utilizzato per produrre vapore. Se infatti queta viene utilizzata allo copo di recuperare il calore dei fumi ci i devono apettare?p 45 che raggiungono facilmente i mmho; contrariamente nel ciclo emplice quete difficilmente uperano i 00 mmho. Le più importanti nel penalizzare il rendimento compleivo del ciclo ono però icuramente quelle fluidodinamiche all interno di compreore e turbina. Nel diagramma riportato in figura 0.9 è poibile vedere come il ciclo ideale i modifichi qualora compreore e turbina iano coniderati macchine reali e, coneguentemente, dotate di un rendimento inferiore all unità. I punti e 4 riultano potati vero detra in eguito all aumento di temperatura (e di entropia) che i verifica a caua degli attriti tra fluido e macchina. Per definire le pretazioni del ciclo a ga reale, avendo portate divere e di differente compoizione, nei diveri elementi dell impianto, non è più poibile ragionare in termini di lavoro utile ma è neceario riferiri alla potenza. In queto cao i definice Potenza utile la differenza tra la potenza generata dalla turbina e quella aorbita dal compreore. Effettuando un bilancio all albero del turboga, in prima approimazione i può dire: P u T C ( ma + mc ) LT malc = P P = (0.6) eendo m a la portata d aria apirata dal compreore e m c quella di combutibile iniettata in camera di combutione. Il rendimento del ciclo a ga riulterà il rapporto tra l effetto utile, e quindi la potenza prodotta all albero del turboga, e quanto i paga per ottenerlo, e quindi la potenza introdotta nel ciclo attravero il combutibile: Pu η = (0.7) m PCI c eendo PCI il potere calorifico inferiore del combutibile utilizzato. Si definice infine Lavoro pecifico il rapporto tra potenza utile e portata d aria apirata dal compreore: Pu ma + mc Lp = = LT LC (0.8) m m a a Introducendo quindi il rapporto aria/combutibile α coì definito: ma α = (0.9) m c 0.0

209 i ricava infine: L p = + LT LC (0.0) α 0.4. Pretazioni del ciclo a ga reale L analii delle pretazioni del ciclo a ga reale può eere condotta in maniera del tutto analoga a quanto fatto nel cao ideale. Un approccio largamente utilizzato per ottenere informazioni emplici ma di validità generale, è quello di coniderare un ciclo a ga per cui iano verificate le eguenti ipotei: fluido di lavoro: ga perfetto a C p cotante variazione di portata a cavallo della camera di combutione tracurabile (accettabile eendo m c << m a ) compoizione del fluido di lavoro ovunque identica aenza di perdite di carico nei condotti e in camera di combutione aenza di perdite di calore vero l eterno. Si tratta di un ciclo in cui, ripetto a quello ideale aperto, i ono introdotte le irreveribilità nelle macchine, turbina e compreore. In queto cao è poibile dimotrare che ia il rendimento ia il lavoro pecifico, e quindi la potenza utile, ono funzione del rapporto di compreione, delle temperature maima e minima del ciclo e dei rendimenti del compreore e della turbina: T3 η, Lp = f ( β,, ηc, ηt ) (0.) T In particolare, l andamento del lavoro utile in funzione del rapporto di compreione preenta un maimo, come motrato in figura 0.0, riultando nullo per due diveri valori di ß: Rendimento e Lavoro Specifico (Reali) in funzione di ß (Tmax=300 C) ? Lu [kj/kg] Eta Ciclo - EtaPol=0.75 Eta Ciclo - EtaPol=0.85 Eta Ciclo - EtaPol=0.95 Lu Ciclo - EtaPol=0.75 Lu Ciclo - EtaPol=0.85 Lu Ciclo - EtaPol= ß Figura 0.0 Andamenti del rendimento e del lavoro pecifico al variare di b, per diveri valori dei rendimenti delle macchine, fiate T e T 3. 0.

210 β = γ L = 0 γ u T (0.) 3 β = η η c t T Differenziando ripetto a ß ed uguagliando a zero è poibile anche in queto cao determinare il rapporto di compreione corripondente alla condizione di maimo lavoro pecifico: γ T γ 3 βl MAX = ηcη t (0.3) T In termini aoluti il lavoro prodotto da un ciclo reale è empre minore del lavoro ideale e preenta un maimo in corripondenza di un divero valore del rapporto di compreione (a parità di T 3 ). Per rendimenti adiabatici di compreore e turbina particolarmente bai e per piccoli valori di T 3, il lavoro utile può non eere mai poitivo, qualiai ia il rapporto di compreione. Il rendimento del ciclo reale, anch eo riportato in figura 0.0, preenta un comportamento preoché analogo, motrando un andamento a maimo in funzione del ß. Il valore di ß per il quale il rendimento del ciclo reale è maimo non coincide con quello per il quale lo è il rendimento del ciclo ideale (limitato in realtà oltanto dalla T 3 ), e nemmeno con quello che maimizza il lavoro pecifico. Nei paragrafi che eguono verrà analizzato in dettaglio l effetto che ognuno dei parametri individuati in precedenza, vale a dire rapporto di compreione temperatura maima del ciclo rendimenti delle macchine ha ulle pretazioni del ciclo a ga. Effetto dell'aumento di ß 3' 3 Lt' ' T 4 Lc Lc' 4' S Figura 0. Effetto dell aumento del rapporto di compreione, fiati i rendimenti delle macchine, T e T 3. 0.

211 0.4.. Influenza del rapporto di compreione Con riferimento a quanto illutrato in figura 0., un aumento del rapporto di compreione, a parità di tutti gli altri parametri di funzionamento del ciclo, comporta una riduzione del calore introdotto nel ciclo. Se infatti inizialmente il calore introdotto nel ciclo doveva eere tale da innalzare la temperatura dal punto al punto 3, l aumento del rapporto di compreione ha portato ad un aumento della temperatura dell aria in ingreo alla camera di combutione. Per ottenere la tea temperatura dei fumi in ingreo alla turbina arà ora neceario introdurre una minore quantità di combutibile. Per quanto riguarda il lavoro utile, l aumento di β comporta un aumento ia del lavoro di compreione che di quello di epanione. E però evidente che per alti rapporti di compreione, la linea di epanione tenderà ad avvicinari empre più a quella di compreione, portando ad una progreiva riduzione del lavoro utile. Focalizzando l attenzione ul rendimento del ciclo, e ragionando ancora a parità di minima e maima temperatura del ciclo e di rendimenti delle macchine, i nota come, per bai rapporti di compreione, i ha ì un alto lavoro utile, ma anche un elevato calore entrante nel ciclo, il che implica bai rendimenti. Al crecere del rapporto di compreione, il calore entrante nel ciclo i riduce, mentre aumenta la temperatura media di introduzione del calore. Da olo queto comporterebbe un aumento del rendimento. In contemporanea però i riduce il lavoro utile, il che comporta eattamente l oppoto, e cioè una riduzione del rendimento. Ad un certo punto, il guadagno che i ha in fae di introduzione del calore andrà a compenare la riduzione di lavoro utile, riultandone il maimo rendimento. Per valori maggiori di β il rendimento comincerà a diminuire, in coneguenza della progreiva riduzione del lavoro utile, riduzione che non arà più compenata dalla riduzione del calore entrante. Tale comportamento piega gli andamenti del lavoro utile e del rendimento del ciclo riportati in figura 0.0. Effetto dell'aumento di T3 TMAX 3 T 4 dq TMIN S Figura 0. Effetto dell aumento di T 3, fiate T, b e i rendimenti delle macchine. 0.3

212 0.4.. Influenza della Temperatura maima La figura 0. motra come i modifica il ciclo a ga in coneguenza di un aumento della temperatura in ingreo in turbina, a parità di tutti gli altri parametri di funzionamento del ciclo. All aumentare di T 3 aumenta il calore da introdurre nel ciclo. Nello teo tempo aumenta anche il lavoro utile fornito dalla macchina, aumentando il lavoro fornito dalla turbina e retando invece inalterato quello aorbito dal compreore. L aumento di lavoro utile è proporzionale all aumento di T 3, coì come riportato in figura 0.3, dove ono motrati gli andamenti del lavoro pecifico e del rendimento del ciclo in funzione della temperatura in ingreo in turbina, fiato il rapporto di compreione e per valori dicreti del rendimento delle macchine. Dal punto di vita del rendimento, anch eo aumenta al crecere di T 3, ma l entità di tale aumento via via i riduce, come motrato dalle curve riportate in figura 0.3. Se infatti da un lato crece il lavoro utile, crece di pari pao anche la quantità di calore da introdurre nel ciclo, compenando almeno in parte l effetto benefico precedente Influenza dei rendimenti delle macchine Un miglioramento dei rendimenti di compreore e turbina ha empre e comunque effetti poitivi, ia ul lavoro utile che ul rendimento del ciclo, coì come evidenziato dalle figure 0.0 e 0.3. Analizzando la figura 0.3 i nota come, per poter ottenere un effetto utile ignificativo, e cioè un lavoro pecifico poitivo, ia tato neceario realizzare macchine con rendimenti adeguati e raggiungere temperature maime del ciclo ufficientemente alte. Si oerva infatti come, al crecere della maima temperatura del ciclo, l influenza del rendimento delle macchine riduca la ua importanza. Ciò piega le enormi difficoltà che inizialmente la tecnologia delle turbine a ga ha incontrato per poteri affermare. Per poter funzionare con rendimenti accettabili i è dovuto attendere lo viluppo di compreori e turbine con elevati rendimenti, nonché di materiali e tecniche di raffreddamento adeguate a far opportare elevate temperature neii primi tadi della turbina. Riaumendo i può affermare come la trategia vincente per incrementare le pretazioni di un ciclo a ga reale ia data dall aumento combinato di ß e T 3, purché queto avvenga in maniera inergica e non ia limitato ad un parametro oltanto. Rendimento e Lavoro Specifico (Reali) in funzione di Tmax (ß=0) ? Lu [kj/kg] Eta Ciclo - EtaPol=0.75 Eta Ciclo - EtaPol=0.85 Eta Ciclo - EtaPol=0.95 Lu Ciclo - EtaPol=0.75 Lu Ciclo - EtaPol=0.85 Lu Ciclo - EtaPol= Tmax Figura 0.3 Andamenti del rendimento e del lavoro pecifico al variare di T 3, per diveri valori dei rendimenti delle macchine, fiate T e b. 0.4

213 0.5. Camera di combutione Si è detto come nelle turbine a ga lo cambio termico con la orgente ad alta temperatura ia in realtà rappreentato da una reazione di combutione tra l aria comprea ed il combutibile. Queto può eere ia gaoo (ga naturale) che liquido (keroene) e viene iniettato in preione nella camera di combutione. Per tener conto della realtà del proceo nella camera di combutione, oltre alle perdite di carico, devono eere tenute in coniderazione anche piccole perdite di maa e di calore (per radiazione) vero l eterno, che poono eere dell ordine dell %. Ipotizzando che il combutibile ia ga metano (CH 4 ), la reazione di combutione arà: CH4 + O CO + H O (0.4) Parlando della combutione nei generatori di vapore (Capitolo 8), i è vito come, in preenza di una combutione techiometrica, il rapporto aria combutibile vale 7.. Si è inoltre vito che, e la combutione avvenie in condizioni techiometriche, la temperatura di fiamma, e quindi dei ga combuti, riulterebbe pari a circa 00 C. I materiali di cui ono fatti gli tadi della turbina non arebbero in grado di opportare temperature coì elevate. Al maimo, utilizzando leghe e tecnologie peciali poono opportare temperature dell ordine dei 900 C. Per poter raggiungere T 3 più elevate, i primi tadi della turbina vengono raffreddati utilizzando aria pillata dal compreore. In queto modo i poono raggiungere temperature in ingreo in turbina dell ordine dei 400 C, che comunque ono ben al di otto del valore che i avrebbe in eguito ad una combutione techiometrica. Allo copo di contenere la temperatura dei ga combuti entro i limiti tecnologici, tutte le turbine a ga bruciano combutibile con un elevato ecceo d aria, con a che poono eere tranquillamente dell ordine di Va preciato che una micela tende ad infiammari olo e il uo a è compreo nell intervallo: 0.8 < α α t <. Poiché, come i è detto, i valori tipici nelle turbine a ga in genere uperano queto valore, la camera di combutione viene organizzata in maniera da dividere il fluo d aria, coì come motrato in figura 0.4. Si identificano divere zone: Una zona primaria in cui viene fatta confluire olo una frazione della portata d aria, dove avviene la combutione con eccei d aria non uperiori al limite di infiammabilità Una zona econdaria che, lambendo la zona primaria, viene utilizzata per far fluire la parte retante di aria (utilizzata anche per raffreddare le pareti della camera di combutione) Una zona di diluizione che ha lo copo di uniformare la temperatura dei prodotti della combutione, riducendola al valore impoto dai limiti tecnologici. Figura 0.4 Schema della camera di combutione. 0.5

214 Figura 0.5 Andamento del Cp dell aria e dei fumi al variare della Temperatura, per diveri rapporti aria/combutibile. Con una geometria di queto tipo è poibile, da un lato far avvenire la combutione, dall altro controllare le temperature mantenendole ufficientemente bae da non danneggiare i materiali di cui è compoto il combutore. Imponendo un bilancio energetico al combutore, è poibile legare direttamente l incremento di temperatura al rapporto aria-combutibile a, al C p medio dei ga combuti ed al potere calorifico inferiore del combutibile: mc hc + mcη bpci + mah = ( ma + mc) h3 (0.5) dove η b è il rendimento del combutore, inferiore ad nel cao i verifichino perdite di calore vero l eterno. Tracurando h c, il bilancio energetico diventa: η ( h (0.6) b PCI + αh = α + ) 3 Per determinare il corretto valore delle entalpie h e h 3 arebbe a rigori neceario calcolare i eguenti integrali: T ( T ) h = C dt (0.7) Trif T3 p ( T, ) h = C α dt (0.8) 3 Trif p Il C p, come altre grandezze termodinamiche, è infatti funzione della compoizione chimica e della temperatura della micela. Le relazioni precedenti poono eere approimate andando a calcolare un C p medio tra la temperatura di riferimento T rif (olitamente aunta pari a 5 C) e la temperatura alla quale i trovano l aria o i ga combuti. In tal cao le relazioni (0.7) e (0.8) diventano: h h = c T T ) (0.9) ( p 0 rif 3 = cp ( T 03, 3 T α rif ) 0.6 (0.30)

215 Eitono ia tabelle che correlazioni che permettono di determinarne il valore medio per le temperature e le compoizioni di interee. Sul grafico riportato in figura 0.5 ono tracciate divere curve, per l aria e per i prodotti della combutione da metano, decrecenti all aumentare dell a. Ovviamente, per il calcolo del C p medio dovrà eere elezionata la curva corripondente al tipo di fluido coniderato, e cioè aria per le condizioni in ingreo alla camera di combutione, e la curva corripondente al rapporto aria/combutibile per i prodotti della combutione. Un ulteriore apetto che caua perdite di carico nell attraveramento della camera di combutione, è la preenza di feure ed elementi di diturbo, detti turbolenziatori, nella camera di combutione. Tali elementi ervono a promuovere il micelamento tra i diveri flui (primario, econdario e di diluzione), allo copo di ottenere, in ingreo in turbina, un fluo caratterizzato da una ditribuzione di temperatura il più uniforme poibile. La preenza di zone con picchi di temperatura arebbero infatti etremamente pericoloe per l integrità della turbina tea. Per evitare tali condizioni, un modo comunemente utilizzato è appunto quello di aumentare la turbolenza, che contribuice ad ottenere un elevato micelamento tra i diveri flui. Figura 0.6 Turboga per applicazioni aeronautiche Il ciclo a ga per applicazioni aeronautiche Nel cao di applicazione aeronautica, agli elementi già viti in precedenza, e cioè compreore, camera di combutione e turbina, e ne aggiungono altri due: un condotto poto a monte del compreore, che ha lo copo di rallentare l aria in ingreo al compreore, e l ugello poto a valle della turbina, che ha invece lo copo di accelerare i prodotti della combutione per caricare in atmofera un getto ad alta velocità. Con riferimento alla figura 0.6, nel cao di utilizzo aeronautico, l effetto utile non è la generazione di potenza meccanica all albero, ma la creazione di una pinta, data dalla variazione di 0.7

216 quantità di moto tra ciò che entra nel motore (aria), e ciò che ece (fumi). In tale cao, la turbina erogherà la potenza necearia e ufficiente a tracinare il compreore, funzionando in quella che i chiama condizione di auto-otentamento: P = P ( m + m ) L = m L (0.3) t c a c t a c In quete condizioni, l epanione in turbina i fermerà al livello di preione impoto dalla condizione di autootentamento, mentre l epanione retante, dal punto 5 al punto 7 in figura 0.6 avviene nell ugello, dove il fluido proveniente dalla turbina ubice un accelerazione prima di eere caricato in atmofera. Come i è detto la pinta è data dalla variazione di quantità di moto tra ingreo ed ucita della macchina. Detta V 0 la velocità di avanzamento del velivolo, pari alla velocità con cui l aria entra nel condotto di apirazione poto a monte del compreore, la pinta vale: ( ma + mc ) Vex mav0 S = (0.3) eendo la velocità all ucita dell ugello V ex derivante dalla conervazione dell entalpia totale nell ugello: = h h (0.33) V ex ( ) Claificazione ed eempi di Turbine a Ga per applicazioni terretri Le turbine a ga ono claificate principalmente in bae all utilizzo per cui ono tate progettate. Si poono ditinguere quindi due grandi famiglie: Heavy-Duty Aeroderivative Le turbine Heavy-Duty ono turbine progettate ecluivamente per uo indutriale: generazione di potenza elettrica o meccanica per l azionamento di macchine operatrici (pompe o compreori). Sono caratterizzate da: Livello tecnologico meno pinto dovuto ad una celta progettuale di emplicità cotruttiva Grandi dimenioni ia in termini di peo che di volumetria occupata Coti relativamente bai di eercizio Grande robutezza ed affidabilità Temperatura maima leggermente inferiore allo tato dell arte Rapporto di compreione minore Quete caratteritiche fanno ì che iano macchine molto adatte per il funzionamento continuo tipico delle applicazioni per la produzione di potenza elettrica e per l azionamento di macchine operatrici (pompe e compreori); il loro caro contenuto tecnologico però le penalizza parzialmente dal punto di vita dei rendimenti. Una turbina Heavy-Duty di groa taglia ha tipicamente T 3 dell ordine dei 350 C, un ß pari a 5-0, per una potenza maima che può arrivare anche a 80 MW. Quando utilizzate per la produzione di energia elettrica ono generalmente macchine collegate ad un generatore elettrico, monoalbero e funzionanti ad un numero di giri fio. Se invece ono utilizzate per generare energia meccanica (ad e. grandi tazioni di pompaggio), poono eere ia mono che multialbero ed in grado di funzionare ad un numero di giri della turbina variabile a econda del carico. Le turbine aeroderivative ono invece macchine di concezione aeronautica che ono tate adattate all utilizzo indutriale o navale. Tipicamente ono: 0.8

217 Tecnologicamente molto evolute Di piccole dimenioni e di pei contenuti al maimo Cotoe dato il notevole contenuto tecnologico Neceitano di maggiore manutenzione ripetto alle Heavy-Duty (a parità di ore di funzionamento) Temperature maime di funzionamento e rapporti di compreione elevati, in linea con lo tato dell arte nel campo delle turbine a ga L utilizzo originale di quete turbine nel campo della propulione aeronautica ha fatto ì che la loro progettazione ia andata nella direzione di renderle il più compatte e leggere poibile. Valori tipici dei principali parametri di funzionamento delle macchine aeroderivative più moderne ono: T 3 di circa 400 C, un ß compreo tra 5-30 ed una potenza maima compleiva che difficilmente upera i 50 MW. Tale limite ulla potenza maima non è dettato da motivi di carattere tecnico, ma dalle eigenze propulive degli aerei che richiedono motori di queta taglia. Nelle turbine aeroderivative l obbligo di avere alti rapporti potenza peo ha pinto vero la maimizzazione contemporanea del lavoro pecifico e del rendimento. E infatti opportuno ottolineare come alla neceità di avere motori leggeri, e quindi caratterizzati da elevati lavori pecifici, nel cao delle applicazioni aeronautiche, va accoppiata l eigenza di avere alti rendimenti, e quindi bai conumi di combutibile. Nel cao ad eempio degli aerei da traporto, ciò i traduce in una quantità minore di carburante da caricare a bordo del velivolo, che quindi potrà traportare un maggior numero di paeggeri o di carico pagante. La differenza principale quindi tra macchine heavy-duty e aeroderivative ta nel fatto che quete ultime, maimizzando ia il lavoro pecifico ia il rendimento, ono caratterizzate da maime temperature del ciclo e rapporti di compreione maggiori, mentre la temperatura di ucita dei fumi dalla turbina riulta inferiore. Ciò fa ì che, in applicazioni in ciclo combinato, dove i fumi caldi vengono utilizzati in una caldaia a recupero per produrre vapore, iano preferibili le macchine heavy-duty, eendo caratterizzate da temperature di ucita dei fumi maggiori. La Tabella 0. riaume le pretazioni delle due tipologie di turbine a ga per applicazioni terretri. La figura 0.7 riporta un eempio di macchina aeroderivativa, la LM6000 della General Electric. Si tratta di una turbina a ga bi-albero della potenza nominale di 43 MW, caratterizzata da un rapporto di compreione pari a 9., ottenuto con un compreore a 8 tadi, di cui 6 di baa preione e di alta preione. Trattandoi di macchina bi-albero, il compreore di alta preione è calettato ullo teo albero della turbina di alta preione, compota da due oli tadi. I retanti 5 tadi della turbina di baa preione ono invece calettati ullo teo albero del compreore di baa preione. Il rendimento di queta macchina i aggira intorno al 4.%. La figura 0.8 riporta infine un eempio di macchina heavy-duty, la W50G della Siemen. Si tratta di una turbina a ga della potenza nominale di 53 MW, caratterizzata da un rapporto di compreione pari a 9 e da un rendimento del 39%. Heavy-Duty Aeroderivative T MAX [ C] ß T EX [ C] ? P el [MW] Tabella 0. Pretazioni Heavy-Duty / Aeroderivative 0.9

218 Figura 0.7 Eempio di turbina a ga aeroderivativa: GE LM6000. Figura 0.8 Eempio di turbina a ga heavy-duty: SIEMENS W50G Rigenerazione, Inter-refrigerazione e ri-combutione Nel preente paragrafo vengono analizzate le oluzioni percorribili per migliorare le pretazioni del ciclo terminodinamico. Il punto dove è conveniente intervenire è quello degli cambi di calore e di lavoro ai quali corriponde un rilevante degrado dell energia (dovuto alle perdite per irreveribilità). Ripetto al ciclo a ga emplice, le poibili varianti ono: 0.0

219 Rigenerazione: tramite il traferimento di calore all interno del ciclo teo (ottenuto facendo cambiare calore tra i fumi caldi in ucita dalla turbina e l aria più fredda in ucita dal compreore) Interrefrigerazione: effettuando la compreione in due fai, con interpoto un raffreddamento dell aria Ri-combutione: effettuata dopo un primo tratto di epanione, per riportare la temperatura dei ga ai valori maimi prima di entrare nella econda fae di epanione Rigenerazione Nella rigenerazione parte del calore neceario a caldare l aria viene fornito tramite lo cambio in controcorrente con i fumi caldi provenienti dalla turbina. Come motrato nello chema di figura 0.9, l aria all ucita del compreore entra in uno cambiatore in controcorrente dove riceve calore dai fumi caldi provenienti dallo carico della turbina. L aria ubice quindi un aumento di temperatura, idealmente a preione cotante (figura 0.0), ed entra quindi in camera di combutione più calda. Ne egue che, a parità di maima temperatura del ciclo, la quantità di combutibile da introdurre arà icuramente inferiore, a tutto vantaggio del rendimento del ciclo, eendo inalterata la potenza erogata dall impianto. Figura 0.9 Lay-out di una turbina a ga rigenerativa Ciclo Rigenerativo (Ideale) Q 3 T 5 4 Q QRIG 6 Figura 0.0 Ciclo a ga ideale rigenerativo 0.

220 La rigenerazione è allora poibile finché la temperatura di ucita dei ga combuti T 4 riulta uperiore a quella dell aria in ucita dal compreore T. Tanto maggiore è la differenza tra T 4 e T, tanto maggiore arà il calore Q RIG che è poibile recuperare effettuando il prericaldo dell aria. Per far avvenire la rigenerazione è allora neceario introdurre uno cambiatore di calore aria-fumi poizionato tra l ucita del compreore e l entrata in camera di combutione. I ga combuti all ucita della turbina entrano in uno cambiatore in controcorrente ripetto all aria. Queto tipo di cambiatore è neceariamente di grandi dimenioni: infatti i coefficienti di cambio termico gaga etremamente bai (dell ordine di grandezza degli -0 W/m²K) richiedono uperfici di cambio molto ampie. Maggiori ono le uperfici di cambio maggiori ono anche le perdite di carico che i generano, ia dal lato aria che dal lato fumi. Tali perdite di carico incidono negativamente ulla potenza erogata dalla turbina, e quindi riducono l aumento del rendimento. Analizziamo il ciclo a ga ideale rigenerativo riportato in figura 0.0, in relazione al ciclo emplice ideale. Il calore Q introdotto nel ciclo i riduce, coì come il calore rilaciato nell ambiente Q. Il lavoro utile invece reta immutato, in quanto i lavori di turbina e compreore ono uguali nei due cai. Il calore Q RIG (cambiato tra fumi ed aria) in pratica riduce il calore Q introdotto dalla combutione, comportando un riparmio nel conumo di combutibile ed un aumento del rendimento del ciclo. Conideriamo un cao ideale, cioè in cui, oltre alle aunzioni claiche di macchine ideali, i aume che il proceo di cambio termico nello cambiatore rigenerativo ia ideale; in pratica i aume che non i verifichino perdite di calore vero l eterno e che la ceione di calore avvenga otto?t infiniteimi. Quet ultima aunzione equivale a coniderare lo cambiatore dotato di uperfici di cambio termico infinite. Si aume inoltre che gli cambi termici avvengano a preione cotante, e quindi non i verifichino perdite di carico nell attraveramento degli cambiatori. Il rendimento del ciclo a ga ideale rigenerativo può eere facilmente ricavato nel modo eguente: Q c p ( T6 T) T T T β ηrig = = = = (0.34) γ Q cp ( T3 T5 ) T3 T4 T3 γ β da cui infine i ricava: γ T γ ηrig = β (0.35) T 3 La figura 0. riporta l andamento del rendimento del ciclo a ga ideale emplice e rigenerativo in funzione del rapporto di compreione. Si vede come, per ß, η RIG η Carnot. Quando viene raggiunta quella che era la condizione di maimo lavoro utile (relazioni (0.4) e (0.5)), il rendimento diventa uguale a quello del ciclo emplice (η RIG = η id ). Tale condizione i verifica quando: γ ( γ ) T3 β = (0.36) T che corripondeva alla condizione T 4 = T. Si vede come al crecere del rapporto di compreione il calore recuperabile tramite rigenerazione decrece, riducendo quindi il uo effetto benefico ul rendimento compleivo del ciclo. Queto è fore il limite principale di queta oluzione: ea infatti riulta vantaggioa olo per bai rapporti di compreione. Per i ß tipici delle turbine a ga più evolute la rigenerazione da un contributo irrilevante o, addirittura, non è realizzabile a caua della baa temperatura con cui vengono caricati i fumi (e. turbine aeroderivative). In figura 0. è riportato il confronto, empre nel cao ideale, tra due cicli rigenerativi aventi divera temperatura maima del ciclo. Si nota come l aumento della T 3 comporti un incremento del 0. γ γ

221 rendimento nel uo compleo. Inoltre, potando il punto di maimo lavoro utile a rapporti di compreione maggiori, fa ì che aumenti l intervallo di rapporti di compreione per cui la rigenerazione riulta vantaggioa. Figura 0. Rendimento del ciclo a ga ideale rigenerativo Ciclo Rigenerativo (Reale) 3 T 5 5' 4 QRIG 6' 6 Figura 0. Ciclo a ga reale rigenerativo Paando al cao reale (figura 0.), oltre alle perdite già analizzate nel cao del ciclo emplice, è neceario introdurre le perdite di carico che i fluidi, aria e fumi, incontrano nell attraverare lo cambiatore, e oprattutto quelle legate allo cambio termico. Va infatti ottolineato come, nella realtà, il calore non venga cambiato otto differenze di temperatura infiniteime, portando quindi ad una riduzione del calore effettivamente recuperato. 0.3

222 Figura 0.3 Rendimento del ciclo a ga rigenerativo reale. L entità della rigenerazione reale dipende quindi dalle uperfici preenti nello cambiatore ariafumi. Infatti dato Q = US T ml, dove U è il coefficiente globale di cambio termico, S la uperficie di cambio termico e T ml la differenza di temperatura media logaritmica, e T ml 0 allora S ; a uperfici finite corripondono?t di cambio finiti. Nello cambiatore reale la temperatura di ucita dell aria (T 5 ) riulta più baa della temperatura di entrata dei fumi (T 4 ), mentre la temperatura di ucita dei fumi (T 6 ) riulterà più alta di quella di entrata dell aria (T ). Queto fa i che anche il calore recuperabile con la rigenerazione ia inferiore a quello ideale. La penalizzazione i fa entire ul rendimento del ciclo. In particolare è poibile definire un efficacia di cambio termico: ( QRIG ) ( Q ) p, f ( T ) 5 T T5 T ( T4 T6' ) T4 T m C reale a p, a ε = = (0.37) m C RIG ideale f che altro non è e non il rapporto tra l incremento di temperatura realmente ubito dall aria nell attraveramento dello cambiatore, e il maimo incremento che arebbe idealmente poibile e non ci foero perdite di calore vero l eterno e lo cambiatore avee uperfici di cambio termico infinite. La figura 0.3 riporta infine gli andamenti di? RIG a per diveri valori della temperatura maima del ciclo. Come è poibile vedere i rendimenti i riducono coniderevolmente ripetto al cao ideale e in maniera empre maggiore con il riduri della maima temperatura del ciclo. Un effetto analogo lo ha l efficienza dello cambiatore. Queto caro effetto ull efficienza compleiva del ciclo, aggiunto al coto e all ingombro degli cambiatori aria-fumi, fa ì che la oluzione rigenerativa non venga impiegata in neuna macchina di taglia medio - grande. La rigenerazione rimane intereante olamente per quelle macchine, di piccola e piccoliima taglia, per le quali i rendimenti ono etremamente bai. Infatti per piccoli rapporti di compreione e con temperature maime di funzionamento limitate il miglioramento ottenibile con un recupero del calore dei fumi può migliorare l efficienza del ciclo in maniera 0.4

223 ignificativa. Non è un cao che tutte le turbine di piccoliima taglia (dette microturbine), che iniziano ad eere tudiate e commercializzate olo di recente, facciano uo della rigenerazione; in generale però i tratta di macchine che non uperano mai i kw di potenza. Figura 0.4 Ciclo a ga ideale inter-refrigerato Inter-refrigerazione L interrefrigerazione (intercooling) ha l obiettivo di ridurre la potenza aorbita dal compreore, ferma retando quella erogata dalla turbina. Come motrato dal lay-out di impianto riportato in figura 0.4, l aria, dopo una prima compreione, viene inviata in uno cambiatore dove ubice un raffreddamento, idealmente a preione cotante, per poi eere mandata in un econdo gruppo di compreione. Si ricorda che, al diminuire della temperatura il volume pecifico dell aria diminuice, coì come il lavoro aorbito dal compreore, eendo eprimibile come = vdp. Tale riduzione è ben evidenziata in figura 0.4, dove i può vedere come, grazie alla divergenza delle iobare, ( h' h) < ( h* h ). Tale riduzione del lavoro di compreione non è però gratuita; ea infatti è ottenuta grazie all aumento del calore entrante nel ciclo Q. La temperatura dell aria in ingreo al combutore è infatti più baa ed è quindi neceario introdurre nel ciclo, a parità di maima temperatura, una maggiore quantità di combutibile. Il ciclo interrefrigerato può eere anche vito come l unione di due cicli a ga: quello emplice (*34) (ciclo B in figura 0.4), ed un ciclo aggiuntivo (ciclo A in figura 0.4) caratterizzato da un minor rapporto di compreione ( *). Il primo ciclo evolve tra p e p 3, il econdo tra p e p 3. Il loro rendimento di coneguenza vale, trattandoi di cicli ideali: η η B A p = p p = p 3 3 γ γ γ γ = β = β γ γ B γ γ A L c (0.38) (0.39) 0.5

224 Ciclo Interrefrigerato 3 T * B 4 A Figura 0.5 Ciclo a ga reale inter-refrigerato. A B C Figura 0.6 Ciclo a ga reale inter-refrigerato - particolare. Eendo β A < β B, ne riulta che η A < η B. Il rendimento compleivo del ciclo è dato dalla media peata ul calore entrante dei due rendimenti: ηbq, B + ηaq, A η = (0.40) Q + Q, B, A E allora evidente che il riultato arà empre inferiore ripetto al cao ideale non interrefrigerato. Malgrado embri che l interrefrigerazione non convenga per il cao ideale, per il cao reale la quetione può eere divera. Se i oerva il ciclo reale interrefrigerato rappreentato ul diagramma (T, ) di figura 0.5, i vede come il ciclo aggiuntivo A può eere ritenuto equivalente al ciclo ideale C, riportato nel particolare di figura 0.6, che evolve a partire da un iobara inferiore (9478), ed è quindi caratterizzato da un ß maggiore. Il rendimento di tale ciclo aggiuntivo, che dipende olo ed ecluivamente dal rapporto di compreione trattandoi di un ciclo ideale, arà allora maggiore ripetto al cao ideale iniziale. Se il rendimento del ciclo di partenza B è limitato, può eere che il rendimento del ciclo C lo uperi, anche e il ciclo C è caratterizzato da un rapporto 0.6

225 di compreione minore. In queta evenienza il rendimento finale compleivo del ciclo interrefrigerato riulterà maggiore del rendimento del ciclo di partenza. L interrefrigerazione trova largo utilizzo nel campo della propulione navale: l acqua marina infatti è un efficace orgente di calore a baa temperatura ed in grado di cambiare calore in maniera molto efficace. L aria che evolve nel compreore può eere raffreddata in cambiatori acqua-ga che, grazie ai coefficienti di cambio termico ufficientemente alti, ono molto efficienti e relativamente compatti. Figura 0.7 Ciclo a ga ideale con ri-combutione Ricombutione Scopo della ricombutione è quello di incrementare il lavoro fornito dalla turbina, aumentando il lavoro ideale. La figura 0.7 riporta lo chema impiantitico coì come il ciclo ideale diagrammato nel piano (T,). Dopo un primo tratto di epanione in turbina ( tadio), i ga combuti vengono ottopoti ad una ricombutione, grazie alla quale vengono portati alla temperatura T 3, tipicamente imile alla temperatura T 3. Succeivamente i fumi vengono fatti epandere in una econda turbina, che lavora tra il livello di preione intermedio a cui è tata arretata la prima epanione, e la preione atmoferica. La ricombutione è poibile grazie al fatto che le turbine a ga funzionano con elevati eccei d aria; i fumi allo carico della turbina preentano ancora un alto contenuto di oigeno che può eere utilizzato come comburente. E poibile effettuare un analii termodinamica preoché uguale a quella fatta per l interrefrigerazione: nel ciclo ideale il lavoro utile aumenterà perché aumenta l area racchiua dal ciclo, mentre il rendimento del ciclo tenderà a diminuire. Nel cao reale la ituazione è analoga per quanto riguarda il lavoro prodotto (tende ad aumentare); più difficile è invece valutare a priori l effetto ul rendimento. La ricombutione nelle turbine a ga trova applicazione nei cicli combinati, cioè in cui il calore contenuto nei fumi in ucita dal turboga viene utilizzato per produrre vapore in una caldaia, in quanto la temperatura T 4 di ucita dei fumi riulta più elevata, conentendo di effettuare un ciclo a vapore di migliori caratteritiche e rendimento. Inoltre l etrema emplicità del pot-combutore fa ì che il coto aggiuntivo di intallazione ia molto contenuto. Analogo alla ricombutione è il concetto di pot-combutione, tipico dei propulori aeronautici, dove trova impiego nei caccia militari. La pot-combutione conite nel porre la econda camera di combutione a valle della turbina, realizzando un aumento della temperatura dei fumi prima che queti entrino nell ugello di carico. Tale oluzione, aumentando l entalpia dei fumi in ingreo all ugello, e quindi la velocità del getto allo carico in atmofera, permette di incrementare la pinta 0.7

226 del motore di un ordine di grandezza. Ciò conente al velivolo di raggiungere pretazioni enibilmente uperiori per diveri minuti che riultano molto utili durante un combattimento Ciclo di Erikon Le varianti del ciclo emplice vite nei paragrafi precedenti (rigenerazione, inter-refrigerazione e ricombutione) poono eere mee inieme per cotituire un ciclo a ga che approima il ciclo di Erikon (figura 0.8). Si ricorda che il ciclo di Erikon è un ciclo compoto da due traformazioni ioterme collegate da due iobare. Nel Capitolo 8 (paragrafo 8.7) i è vito come il rendimento del ciclo di Erikon ia pari al rendimento di un ciclo di Carnot che evolve tra le tee temperature minime e maime. E allora evidente il vantaggio che deriverebbe dalla poibilità di realizzare un tale ciclo. Nel ciclo ideale rappreentato in figura 0.8 i vede come il ciclo di Erikon poa eere approimato realizzando una eria di compreioni interrefrigerate, che approimano una compreione a temperatura cotante in cui il fluido di lavoro cede il calore Q all eterno. Segue quindi uno cambiatore di calore rigenerativo, in cui il fluido, ancora aria, i calda a preione cotante ricevendo il calore Q RIG ceduto dai fumi caldi al termine dell epanione. Quet ultima avviene in una erie di turbine intercalate da camere di combutione, che approimano un epanione ioterma, in cui viene introdotto il calore Q dall eterno. I fumi in ucita dall ultimo corpo di turbina entrano infine nello cambiatore rigenerativo in controcorrente ripetto all aria, a cui cedono il calore Q RIG prima di eere caricati in atmofera. Per emplicità, nello chema di figura 0.8 ono rappreentate olo due interrefrigerazioni e due camere di combutione. Figura 0.8 Ciclo Ericon ideale. Bibliografia: Turbine a ga, F. Montevecchi, CittàStudi Edizioni Macchine Termiche, G. Cornetti, Ed. Il Capitello Torino 0.8