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1 NDE GENEE Home Uà d msura apolo. l ampo elerco. l campo mageco. Eerga e poeza.4 Equazo d Maxwell apolo. rcu a paramer cocera. rcu lear empo-vara. Bpol lear empo-vara e relazo cosuve.4 prcp d Krchhoff.5 ollegameo d ressor.6 Paror ressv d esoe e d corree.7 alcolo d resseze equvale el caso geerale.8 ollegameo d codesaor.9 ollegameo d duor. Geeraor equvale. Geeraore equvalee d Theve e Noro. e equvale d compoe av. Deermazoe della corree re ressve medae Theve e Noro.4 Teorema d Mllma per re ressve.5 Bpol lear empo-vara.6 Bpol o lear.7 Desà d eerga.8 duaza del cavo coassale e della lea bflare apolo. Geeralà. Defzo relave alla eora de graf. Scrura delle equazo d equlbro elerco medae prcp d Krchhoff.4 l eorema d Tellege.5 l meodo delle corre d magla.6 l meodo delle eso d aglo.7 l meodo del poezale d odo apolo 4 4. soluzoe delle equazo del crcuo 4. cham sulla soluzoe classca delle equazo dfferezal lear a coeffce cosa 4. Deermazoe delle codzo zal 4.4 Deermazoe dell'orde d ua ree 4.5 e varabl d sao 4.6 rcu del orde Paga

2 4.7 Soluzoe dell'equazoe d sao per crcu del orde 4.8 rcu co < (crcu sabl) 4.9 rcu del orde 4. Soluzoe dell'equazoe d sao per crcu del orde 4. rcu d orde apolo 5 5. Geeralà sul fuzoameo a regme de crcu 5. l regme susodale 5. Meodo rgoomerco 5.4 l meodo fasorale 5.5 pplcazoe del meodo fasorale alla rsoluzoe de crcu 5.6 Bpol elemear 5.7 Defzoe d ammeeza, coduaza, susceaza 5.8 rcu muuamee accoppa 5.9 Poeza ed eerga 5. Poeza ed eerga e crcu magecamee accoppa 5. l eorema d Bouchero 5. l rfasameo apolo 6 6. a rasformaa ulaera d aplace (.d..) 6. Propreà della rasformaa d aplace 6. rasformaa d aplace TB.6. POPETÀ DE TSFOMT D PE TB. 6. TSFOMTE D PE 6.4 soluzoe delle equazo egro-dfferezal medae la.d ofroo ra meodo classco e.d. 6.6 pplcazoe della.d.. alla rsoluzoe de crcu 6.7 Perché usare la.d.. ulaera azché quella blaera 6.8 Perché usare - ella rasformaa d aplace 6.9 Deermazoe della rsposa d u crcuo leare medae la.d. 6. Fuzoe d ree 6. Fuzoe d ree come -rasformaa della rsposa mpulsva 6. Semplfcazo pol-zer 6. Sablà 6.4 l prcpo d sovrapposzoe degl effe e crcu -rasforma 6.5) Teorem relav alle re lear 6.6 l eorema d Mllma 6.7 osderazo sulla deermazoe della f.d sposa a regme e rsposa rasora 6.9 rcu del orde 6. rcu del orde 6. Pol doma 6. alcolo della rsposa forzaa medae l'egrale d covoluzoe 6. Meodo algebrco per la deermazoe della sablà apolo 7 7. Svluppo sere d Fourer 7. Sere d Fourer fa 7. Smmere 7.4 Sper d ampezza e fase 7.5 Sere d Fourer espoezale 7.6 Gradezze pche d eso e corre susodal 7.7 rcu almea co gradezze perodche

3 7.8 Poeza e crcu almea co gress perodc 7.9 Dsorsoe rodoa dal crcuo 7. Trasformaa d Fourer apolo 8 8. roduzoe 8. sposa frequeza e mappa de pol-zer 8. Frequeza d aglo e bada passae 8.4 rcu equvale d duor e codesaor real 8.5 rcu rsoa 8.6 Eerga e crcu rsoa 8.7 Dagramm d Bode 8.8 Traccameo de dagramm d Bode apolo 9 9. Geeralà 9. ollegameo delle fas de geeraor 9. ollegameo delle fas de carch 9.4 Poeza e ssem smmerc ed equlbra 9.5 fasameo e ssem smmerc ed equlbra 9.6 Ssem rfase smmerc e squlbra 9.7 Ssem asmmerc e squlbra 9.8 Poeza e ssem asmmerc e squlbra 9.9 Msura della poeza ava e ssem a re fl 9. fasameo de carch rfase el caso geerale 9. ee rfas apolo. Geeralà e defzo. ollegameo d dopp bpol. Dopp bpol co pora d usca chusa su u carco.4 Teorema del massmo rasfermeo d poeza.5 Dopp bpol come adaaor d mpedeza ppedce. Fuzoe a grado uara. Fuzoe a rampa. Fuzoe mpulsva.4 Dervazoe delle fuzo coue a ra.5 Dervazoe della fuzoe mpulsva.6 Dervazoe della fuzoe a rampa ppedce B B. alcolo della rsposa forzaa medae l'egrale d covoluzoe B. erpreazoe grafca dell'egrale d covoluzoe B. alcolo della rsposa forzaa scompoedo grad dell'gresso ppedce. sposa lbera

4 PTOO. l ampo elerco S cosder ua carca d prova q, carcaa posvamee, e s poga vare rego dello spazo; quelle rego cu sulla carca q vee esercaa ua forza s dce che esse u campo elerco. l campo elerco è defo duque come ua regoe dello spazo cu s mafesao delle forze sulla carca d prova q. Dea Q la carca che ha provocao l campo elerco, e dea d la dsaza ra Q e q, ques'ulma ale da o modfcare l campo elerco prodoo da Q, la forza che s mafesa ha le segue caraersche: drezoe: quella della cogugee le due carche: verso: d arazoe se Q è egava, d repulsoe se Q è posva (accade l coraro se q e' egava). esà: daa dalla legge d oulomb e vale: Qq F (.) 4πε d co ε cosae delerca dpedee dal mezzo el quale è presee l campo elerco (per l vuoo vale ε 8,854 - F/m). Sposado la carca d prova uo lo spazo crcosae Q s evdeza l campo elerco, le cu lee d forza (drezo age alla forza agee). Nel caso cu l campo elerco sa geerao da ua carca a smmera sferca, come mosrao fg.., le lee d forza soo radal. e superfc ormal og puo alle lee d forza soo dee superfc equpoezal; fg.. al superfc soo sferche. Q q F > B Fg. ampo elerco prodoo da ua carca Q a smmera sferca.

5 ap. cham d elerologa l lavoro compuo dalle forze del campo per sposare la carca q dal puo al puo B, ved fg.., vale: B x B Fdx x x B x Qq 4 x dx πε cu x e x B soo le dsaze ra pu e B e la carca Q. solvedo s ha: B Qq 4πε x B Qq x 4πε x x x B (.) dcado co: E 4πε Qq x (.) l'eerga poezale s ha ache: B E EB S osserv che E > E B, perao lo sposameo della carca per effeo delle forze prodoe dal campo elerco avvee da pu a eerga poezale maggore verso pu a eerga poezale more; lo sposameo ra pu apparee ad ua superfce equpoezale avvee co lavoro ullo. Nelle cosderazo fora svole rsula evdee la smlude ra campo elerco e campo gravazoale. S defsce esà del campo elerco la quaà: Q K 4 x πε ale olre la relazoe(teorema d Gauss): εk ds Q S cu Q è la carca racchusa dalla superfce chusa S. l campo elerco è u veore avee le sesse caraersche della forza F. S defsce dffereza d poezale (d.d.p.) ra due pu e B la quaà: B B E E B Q q q q x dx Q B B 4πε 4πε x x x x F q B (.4) (.5) Per quao deo precedeza, lo sposameo della carca avvee da pu a poezale pù alo ( ) verso pu a poezale pù basso ( B ). Porado l puo B all'fo s ha: Qx dx Q x (.6) 4πε 4πε x Dalla (.6) s oee la defzoe d poezale d u puo che rsula essere l lavoro fao dalle forze del campo per sposare la carca q dal puo all'fo dvso la carca sessa. l poezale è defo dalla relazoe:

6 ap. cham d elerologa sosuedo la (.4) ella (.7) s ha: K dx (.7) Q cos a e 4πεx l poezale è qud defo a meo d ua cosae, ale cosae vee fssaa scegledo u puo d rfermeo; se s scegle come rfermeo u puo all'fo, co, la cosae è ulla. Se assumamo come rfermeo u puo K al quale s arbusce poezale ullo rsula: Q Q osa e k 4πεx 4πεx Poché cò che eressa o è l poezale ma la dffereza d poezale, la scela del rfermeo rsula fluee. Dalla (.7) s ha: d K (.8) dx S chama geeraore d esoe ua apparecchaura grado d sablre ua d.d.p. (o esoe) a suo ermal. pplcado ua d.d.p. alle esremà d u coduore (s rmada al corso d Fsca per la defzoe d coduore, semcoduore, solae) s oee uo sposameo d carche elerche, ossa ua corree elerca. a corree elerca è daa dalla relazoe: dq (.9) d Noosae che la corree sa dovua ad u flusso d elero, s assume covezoalmee come verso della corree quello che avrebbero le carche posve. Ne geeraor vee dcao co u o co u pallo l'esremà dal quale esce la corree (per geeraor per qual la d.d.p. camba sego l morseo posvo dca l'esremà dalla quale esce la corree quado è posva). Dalla (.9) s ha: essedo q(- ). K q() d d d q( ) d (.) S defsce desà d corree J la quaà: d J (.) ds Spermealmee s ha: d σk ds J ds (.) a desà d corree è qud ua gradezza veorale legaa al campo elerco dalla relazoe: K

7 4 ap. cham d elerologa J σk K ρ (.) cu σ è la coducblà e ρ la ressvà del maerale. a desà d corree è u veore soleodale, ossa: J ds (.4) a relazoe (.4) dca che le lee del campo d J soo chuse, ossa ua superfce chusa erao ae lee d forza quae e escoo. Dalle (.7) e (.), suppoedo ρ dpedee dalla corree, s ha: xb xb xb Kdx Jdx S dx xb dx B x ρ x ρ x ρ x S lla quaà: xb dx ρ x S (.5) s da l ome d resseza elerca. Teedo coo della (.5), per la d.d.p ra pu e B s rova: B (.6) a (.6) è dea legge d Ohm ed esprme l legame essee ra la d.d.p. alle esremà d u coduore e la corree che lo araversa. Per u coduore d lughezza e sezoe cosae S, la (.5) dvee: ρ (.7) S S chama codesaore ua apparecchaura cosua da due superfc codurc (armaure), separae da u solae (delerco). Se ad u codesaore s applca la d.d.p., esso s carca co carca Q. S defsce capacà del codesaore l rapporo: Q (.8) Dalla (.), suppoedo la capacà dpedee dalla esoe e dal empo, s ha: Q v d v () ( ) d (.9) ed ache:. l campo mageco () dv (.) d l campo mageco è ua zoa dello spazo cu u ago mageco è sooposo a forze che lo oreao ua deermaa drezoe. l campo mageco può essere geerao co maeral parcolar (mage permae) o co ua corree. osderamo l secodo caso; l legame ra corree e campo mageco H è espresso dalla relazoe (egge d mpere):

8 ap. cham d elerologa 5 H dx c (.) la quale esprme l fao che la crcuazoe d H lugo u percorso chuso è par alla corree racchusa da ale percorso. Per u flo releo lugo, la (.) dvee (legge d Bo-Savar): H (.) π r cu s è assuo come percorso d crcuazoe ua crcofereza cocerca co l coduore d raggo r percorso dalla corree. Per l caso cosderao le lee d forza del campo mageco soo ach'esse crcofereze cocerche co l coduore. H H a) b) Fg.. ampo mageco prodoo da u coduore releo percorso da corree erae a) uscee b) a drezoe del campo mageco è agee alle lee d forza, l verso è deermao co ua delle oe regole (mao desra, caccave ecc.). e lee d forza del campo mageco soo chuse, a dffereza d quelle del campo elerco che soo apere. S defsce duzoe mageca la quaà: B µ H (.) cu µ è la permeablà mageca; essa ha valore cosae el vuoo (4π-7H/m), per maeral damagec e paramagec, mere vara co H e maeral ferromagec. S defsce flusso d B: Φ B ds S Per quao affermao rguardo alle lee d forza d H e qud d B s ha olre: (.4) B ds (.5) Ua spra (o u qualuque alro crcuo) cocaeao co u flusso ϕ c varable el empo è sede d ua forza elero morce (f.e.m.) daa da: d c e ϕ (.6) d Nella (.6) l sego egavo sgfca che, se la spra è chusa, la corree crcolae prodoa dalla varazo d flusso ha verso ale da aullare al varazo (egge d ez), S defsce coeffcee d auoduzoe o duaza l rapporo: c ϕ (.7)

9 6 ap. cham d elerologa cu ϕ c è l flusso cocaeao co l crcuo e prodoo dalla corree che crcola el crcuo sesso. (l flusso cocaeao co u soleode d N spre è N vole quello cocaeao co ua spra). Se o dpede dalla corree e dal empo, vrù della (.7) la (.6) dvee: e d (.8) d S defsce coeffcee d muua duzoe l rapporo: c M ϕ (.9) cu ϕ c è l flusso che s cocaea co u crcuo ed è prodoo dalla corree che crcola u alro crcuo poso prossmà del prmo. Per M dpedee da corree e empo s ha: e M d (.) d a (.8) e la (.) soo dee rspevamee forza eleromorce d auo e d muua duzoe. Nel caso cu l flusso cocaeao sa dovuo all'effeo combao d auo e muua duzoe s ha: e d M d ± d d (.) cu vale l sego posvo se l flusso d muua è cocorde co quello d auo, l sego egavo se è dscorde. Dalla (.7) s ha: K dl per crcu o cocaea co flusso ϕ c d K dl e d Dalle (.) e (.) s ha: per crcu cocaea co flusso B c dl Φ µ µ S dl Se l flusso è cosae ue le sezo s ha: dl c Φ Φ µ S a (.) è dea legge d Hopkso. S chama rluaza la quaà: dl µ S (.) (.) (.4)

10 ap. cham d elerologa 7 Per u avvolgmeo d N spre percorso dalla corree s ha: c N, la legge d Hopkso dvee qud: N Φ (.5) S osserv la smlude formale ra le (.5) e (.4) e ra le (.6) e (.5) cu s hao le segue corrspodeze.. Eerga e poeza B N Φ Dalla defzoe d d.d.p. s oee la defzoe d eerga elerca come: w vdq vd (.6) Per la poeza elerca s ha: dw p v (.7) d Nella TB.. soo rporae le uà d msura delle gradezze elerche che soo sae defe el presee capolo. Nella TB.. soo rpora prcpal mulpl e soomulpl..4 e equazo d Maxwell l eorema d Gauss, la secoda delle (.), la (.5) e la (.) cosuscoo le equazo d maxwell forma egrale. Esse soo: Q K ds ρ ε ε v cdv (.8) S dϕc K dl e B ds d (.9) s B ds (.4) B dl µ ( s ) µ J ds µ ε ds s s K (.4) Nelle relazo precede ρc è la desà d carca volumerca e s è la corree d sposameo. Tale corree, per la cu defzoe s rmada a lbr d fsca, ee coo de feome che avvegoo all'ero de delerc seguo ad ua varazoe d campo elerco (ad es. durae la fase d carca e d scarca d u codesaore).

11 8 ap. cham d elerologa TB.. GNDE UNT' D MSU SMBOO Forza ewo N arca coulomb apacà farad F osae delerca farad/mero F/m avoro joule J Poeza wa W Eerga poezale joule J ampo elerco vol/mero /m orree ampere Desà d corree ampere/mero /m oducblà (ohm mero) - Ω - m - essvà ohm mero Ω m esseza ohm Ω ampo mageco ampere/mero /m duzoe mageca weber/mero Wb/m Permeablà hery/mero H/m Flusso weber Wb duaza hery H oeff. d muua duzoe hery H luaza hery - H - TB.. FTTOE PEFSSO SMBOO Tera Gga Mega Klo eo deca dec ce mll mcro ao pco fema T G M K h da d c m µ p f

12 PTOO. rcu a paramer cocera o la eora de crcu s sudao crcu a paramer cocera, ossa que crcu cu paramer,, M, geerale dsrbu su ua l'esesoe del crcuo vegoo cocera u puo. Quesa approssmazoe vale solo soo deermae codzo. a propagazoe de feome elerc avvee soo forma d ode eleromageche che s propagao alla velocà della luce c 5 Km/s; l empo d raso d al feome su ua dsaza d è daa dalla relazoe: d/c (.) osderado varazo perodche d perodo T, l empo d raso deve essere cofroao co T. Solo el caso cu rsul: << T s possoo rascurare feome propagav ed l crcuo può essere rappreseao a paramer cocera. x λ a) b) Fg.. Oda eleromageca a); gradezza elerca b). T Poché T è ache l empo mpegao a percorrere ua lughezza d'oda λ s ha: T λ/c (.) la relazoe << T dvee allora: d << λ (.)

13 ap. Equazo cosuve e re ressve 'approssmazoe a paramer cocera è acceable quado le dmeso del crcuo soo molo mor della lughezza d'oda delle ode eleromageche. Poché vale ache la relazoe: λ c/f (.4) s deduce che quao maggore è la frequeza d lavoro ao mor debboo essere le dmeso del crcuo affché esso possa essere rappreseao a paramer cocera. Esempo. S cosder u crcuo che lavor alla frequeza f 5kHz, s ha: λ c/f Km Per u crcuo che lavora alla frequeza d 5Hz s ha: λ 5 /5 6 Km queso caso, poché T, s, acceado verfcaa la relazoe << T per,t, s avrebbe: d c, T c, c/f, λ 6 km. rcu lear empo-vara Per aalzzare u crcuo elerco, ed ache qualuque alro ssema, deve essere scro u ssema d equazo, geere egro-dfferezal che cosuscoo l modello maemaco del crcuo; se al equazo soo d po leare l crcuo è deo crcuo leare, se olre coeffce delle equazo o dpedoo dal empo, l crcuo è deo leare empo-varae. Per crcu che soddsfao le codzo precede le equazo che cosuscoo l modello maemaco soo del po: cu α, β, γ, soo cosa. d v( ) α ( ) β γ ( ) d d (.5) U crcuo leare soddsfa l prcpo d sovrapposzoe degl effe, l quale afferma che u crcuo zalmee a rposo( codzo zal ulle) la rsposa del crcuo a pù gress (geeraor) può essere deermaa sommado le rspose oeue cosderado geeraor age sgolarmee el crcuo. U crcuo empo-varae soddsfa la propreà d raslazoe el empo d causa ed effeo, ossa, se () è la rsposa all'gresso v(), allora (-τ) è la rsposa all'gresso raslao v(-τ).. Bpol lear empo-vara e relazo cosuve Ne crcu a paramer cocera le resseze de crcu e le zoe cu s svolgoo camp elerc e magec vegoo cofa eleme crcual, ressor, duor, codesaor, ave come paramero, resseza, duaza, capacà (el lguaggo comue s defcao spesso, mpropramee, al eleme crcual co propr paramer, s parla coè d duaza vece che d duore ec.) Og elemeo crcuale a due ermal è deo bpolo e le relazo che, per ale bpolo, legao esoe e corree vegoo dee relazo cosuve.

14 ap. Equazo cosuve e re ressve.. essore l legame ra esoe e corree è espresso dalla relazoe: cu è la resseza e G la coduaza del ressore. ale: Per l'eerga e per la poeza s ha: v (.6) G G (.7) w d (.8) p( ) Nella fg..a) è dcao l smbolo crcuale del ressore. (.9) B B B a) b) c) Fg.. Smbolo crcuale del ressore a); crcuo apero b); coro crcuo c). U crcuo apero ha resseza, u coro crcuo ha resseza... duore l legame esoe-corree è espresso dalla relazoe: v( ) d (.) d S osserv che rspeo alla (.8) è cambao l sego, cò poché co v() s dca la cadua d esoe e co e() la f.e.m. doa. Dalla (.) s ha ache: v d v d v d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v ( ) d (.) a (.) mosra che per cooscere la corree () all'sae è ecessaro cooscere l valore () all'sae zale; per queso movo s dce che l'duaza è u elemeo co memora. 'eerga erae ell'duaza ell'ervallo [, ] è: [, ] d ( ) v()()d ()d ()d ( ) ( ) d ( ) (.) w a poeza vale: d dw( ) p( ) v( ) ( ) ( ) (.) d d a (.) mosra che l'eerga erae ell'duore dpede solo da valor zal e fal della corree e o dall'adameo della corree. ò è pco de feome coservav (s pes ad esempo all'eerga poezale e ceca della fsca). 'duore

15 ap. Equazo cosuve e re ressve può mmagazzare e successvamee resure eerga (seza dsspazoe) ed è per queso deo elemeo reavo. fg.. a) è rporao l smbolo crcuale dell'duore. a) b) Fg.. Smbolo crcuale dell duore a) e del codesaore b)... duor muuamee accoppa Nelle fgg..4 a) e b) soo rappresea due crcu muuamee accoppa. al crcu pall hao l seguee sgfcao: se le corre soo erambe era o usce da morse corassega co pall fluss d auoduzoe e d muua duzoe soo cocord, caso coraro soo dscord. sula evdee che qualora fosse oo l crcuo fsco, e qud l seso d avvolgmeo, ua vola assegao l verso della corree s porebbero deermare vers de fluss d auo e d muua duzoe seza dover rcorrere a pall. Ques ulm soo vece rappresea sul crcuo elerco equvalee paredo propro da quello reale. v Μ v v Μ a) b) Fg..4 rcu muuamee accoppa co M > a) e M < b). e equazo cosuve per crcu muuamee accoppa rappresea fg..4 a) e b) soo: - caso a v ( ) d M d (.4) d d v - caso b) v ( ) d M d d d (.5) v ( ) d M d d d (.6) v ( ) d M d (.7) d d Per l'eerga, procededo come precedeza e suppoedo ull valor delle corre per, s ha: w( ) [ v ( ) ( ) v ( ) ( ) ] d ± M (.8)

16 ap. Equazo cosuve e re ressve Nella (.8) l sego posvo è relavo al caso a), quello egavo al caso b). ale ovvamee quao deo a proposo degl duor o accoppa rguardo alla coservazoe dell'eerga...4 odesaore Per la esoe e la corree del codesaore valgoo le segue relazo: v( ) ( ) d v( ) ( ) d ( ) (.9) dv (.) d 'eerga erae el codesaore ell'ervallo [, ] è: [ ] ( ) ( ) ( ), v d v ( ) v ( ) w v d v dv d d d d (.) Poché quesa eerga è d po coservavo (l codesaore mmagazza eerga fase d carca e la resusce fase d scarca) e la coosceza della esoe all'sae è subordaa alla coosceza della esoe all'sae zale, l codesaore, come l'duaza, è u elemeo reavo co memora. l smbolo crcuale del codesaore è rappreseao fg.. b)...5 Geeraor dpede..5 a) Geeraor d esoe geeraor deal d esoe mpogoo alle loro esremà ua dffereza d poezale v() dpedee dalla corree che l araversa. Nelle fg..5 a),b),c), soo rappresea rspevamee l smbolo crcuale del geeraore d esoe, l legame esoe corree (caraersca esera), ed l smbolo ulzzao ella leeraura aglosassoe. Α e Β v e Α e _ Β a) b) c) Fg..5 Smbolo crcuale del geeraore deale d esoe a), sua caraersca esera b), smbolo crcuale aglosassoe c). U geeraore d esoe avee esoe ulla è equvalee ad u coro crcuo (l coro crcuo ra due pu e B s oee collegado due pu co u coduore d resseza ulla); el seguo co l'espressoe " dsavare u geeraore d esoe" s ede l'operazoe d sosuzoe del geeraore co u coro crcuo. Quesa operazoe, puramee eorca, o cocde co quella praca d corocrcuare l geeraore, ques'ulmo caso s avrebbe fa ua corree fa.

17 4 ap. Equazo cosuve e re ressve Α Α Α v v v Β Β Β a) b) c) Fg..6 Geeraore deale d esoe chuso su ua resseza a); geeraore deale dsavao b); geeraore corocrcuao c). praca è mpossble realzzare u geeraore deale, fa esso presea sempre paramer er,,,, che redoo la esoe alle esremà dpedee dalla corree che l araversa. fg..7 è rappreseaa u geeraore d corree coua e la sua caraersca esera. Α v e _ r v _ Β a) b) Fg..7 Baera a) e sua caraersca esera b). e Per s ha v e (fuzoameo a vuoo, ossa co crcuo esero erroo), per v s ha: cc e/r (fuzoameo coro crcuo). l geeraore d esoe rappreseao fg..7 a) è u geeraore d esoe coua, ossa cosae el empo. l sego dca l morseo a poezale pù elevao. geerale la esoe del geeraore o è cosae el empo; l pallo d fg..6a) dca l morseo dal quale esce la corree quado la esoe è posva. o l'espressoe "dsavare u geeraore deale d esoe" s ede l'operazoe d sosuzoe del geeraore co u coro crcuo (s deve però maeere l'elemeo crcuale che rappresea l paramero ero)...5 b) Geeraor d corree geeraor d corree deal mpogoo ua corree, dpedee dalla esoe, Α Α v v _ j Β j Β a) b) c) Fg..8 Smbolo crcuale del geeraore deale d corree a); caraersca esera b); smbolo ulzzao ella leeraura aglosassoe c) el crcuo cu operao. fg..8 soo rappresea smbol crcual e la caraersca esera del geeraore deale d corree. U geeraore d corree co corree ulla equvale ad u crcuo apero. Nel seguo r v v r j

18 ap. Equazo cosuve e re ressve 5 co l'espressoe "dsavare u geeraore d corree" s ede sosure l geeraore co u ramo apero come llusrao fg..9. Α Β a) b) Fg..9 Geeraore d corree avao a) e dsavao b). geeraor real hao paramer er,,. fg.. a) è rappreseao l caso parcolare cu l geeraore abba solo resseza era r, fg.. b) è rporaa la sua caraersca esera. B j v Α r v r j _ Β j a) b) Fg.. Geeraore reale d corree a) e sua caraersca esera b). o resseza esera (fuzoameo coro crcuo) s ha () j(), co (fuzoameo a vuoo) (). a poeza relava ad u geeraore d esoe o d corree vale: p() v() () essa rsula posva se erogaa, egava se assorba ( ques'ulma codzoe l geeraore fuzoa da moore o da baera che s carca). Nel caso d geeraor d corree coua la poeza rsula egava se la corree era dal morseo corassegao co l (geeraor d esoe) o se (per geeraor d corree) la esoe osacola l passaggo d corree( ossa presea ua polarà corara a quella d fg.. a)). NOT: o l erme poeza erogaa dal geeraore s ede la poeza che vee rasfera agl ulzzaor. o poeza geeraa s ede vece la somma della poeza erogaa e d quella dsspaa all'ero del geeraore. due erm cocdoo per geeraor deal...5 c) Trasformazoe d geeraor d esoe geeraor d corree e vceversa S cosder l crcuo d fg.. a), cu u geeraore deale d esoe almea u geerco ulzzaore, rappreseao co u reagolo, co ua esoe v() che deerma ua corree (). Per l'ulzzaore o camba ee se l geeraore d esoe è sosuo co u geeraore d corree, come mosrao fg.. b), che forsce ua corree par a () e deerma la sessa v() a ermal dell'ulzzaore. È ovvamee vero ache l coraro.

19 6 ap. Equazo cosuve e re ressve e v _ j v _ a) b) Fg.. Geeraore d esoe a); geeraore corree equvalee b). a sosuzoe, sempre agl effe eser al geeraore, può essere effeuaa ache per geeraor real. Nella fg.. soo rpora alcu p d geeraor d esoe e gl equvale d corre. v _ e e e ' ' ' j j j Fg.. Geeraor d esoe ed equvale d corree. a) Geeraore d esoe co resseza era v e e v j a cu corrspode l geeraore d corree avee: e j (.) ceversa per l geeraore d esoe equvalee a quello d corree d corree s ha: b) Geeraore co duaza era v e d d Paredo dal geeraore d corree: c) Geeraore co capacà era v e d e j (.4) j ed e ed vd j (.5) dj (.6) d de dv j j de (.7) d d d

20 ap. Equazo cosuve e re ressve 7 Paredo dal geeraore d corree: e jd (.8)..6 Geeraor dpede ( o ploa o corolla) Mol dsposv eleroc possoo essere modella co equazo cu le eso e/o le corre dpedoo da eso e/o corre alre par del crcuo. a rappreseazoe d ques dsposv e crcu è oeua medae geeraor de dpede (o ploa o corolla), poché la loro esoe o corree dpede da quella alr ram. var p d geeraor corolla e le rspeve relazo cosuve soo: Geeraor d esoe corolla esoe; e µ v (.9) Geeraor d esoe corolla corree e r m (..) Geeraor d corree corolla esoe; j g m v (..) Geeraor d corree corolla corree. j α (..) cu µ ed α soo gradezze admesoal, r m e g m hao dmeso d resseza e coduaza. smbol crcual ulzza soo rpora fg.. e j a) b) Fg.. Geeraor dpede d esoe, a) e d corree b).4 prcp d Krchhoff.4. prcpo d Krchhoff pplcado la (.4) alla pare d crcuo (seme d aglo) delmao dalla superfce chusa S d fg..4, s ha: S 4 a) b) Fg..4 pplcazoe del prmo prcpo d Krchhoff alle superfc chuse a) e a od b).

21 8 ap. Equazo cosuve e re ressve J x ds J x ds J x ds J5 x ds 4 5 (.) S S S S Dalla (.) s rova che la somma algebrca delle corre relave alla superfce chusa S (o all'seme d aglo relavo) è ulla. o sesso rsulao s oee se l'seme d aglo coee ram coverge u puo deo odo. S ha qud: prcpo d Krchhoff: la somma algebrca delle corre ua superfce chusa, u seme d aglo, u odo è ulla. S o che sommare algebrcamee le corre sgfca arbure u sego alle corre, ale sego dpede dall'oreameo della ormale, co le covezo d fg..4 rsulao posve le corre usce dalla superfce (o dal odo) e egave quelle era..4. prcpo d Krchhoff pplcado la relazoe (.) al crcuo d fg..5 (magla), suppoedo dl oreao seso oraro, s ha: B D 4 dl G F 5 e e E Fg..5 rcuo al quale s applca l prcpo d Krchhoff. B D E F G B D E F G K x dl K x dl ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B D D E E F F G G (. 4) B B D DE EF FG G Dalla (.4) s ha: Prcpo d Krchhoff: ua magla la somma algebrca delle dffereze d poezale è ulla. Sosuedo ella (.4) le relazo cosuve relave a var eleme e eedo coo dell'oreameo del dl e vers delle corre, s ha: da cu: e d d 4 d e e (.5) d d d d 4 e d (.6) d d l secodo prcpo d Krchhoff può ache essere eucao el seguee modo: sablo l verso d percorreza della magla, la somma algebrca delle forze elero B

22 ap. Equazo cosuve e re ressve 9 morc (f.e.m.) essa age, prese co sego posvo se ede a far crcolare corree cocorde al verso d percorreza ( erm prac sgfca corare prma l morseo egavo), egavo caso coraro, è uguale alla somma algebrca delle cadue d esoe, prese co sego posvo se provocae da corre cocord al verso d percorreza, egavo caso coraro..4. alcolo delle dffereze d poezale( d.d.p.) S suppoga ad esempo d voler calcolare la d.d.p. ra pu B e F del crcuo rappreseao fg..5. S ha: Sosuedo: BF B D DE EF B G GF (.7) d d e d 4 d d e BF (.8) a d.d.p. ra due pu s oee sommado algebrcamee le d.d.p. su sgol eleme, prese co sego posvo se provocae da corre cocord co l verso d percorreza, co sego egavo caso coraro; le f.e.m. soo prese co sego posvo se s cora prma l morseo posvo( corassegao co l o co l pallo) ello sposameo ra prmo e secodo puo, co sego egavo caso coraro. orassegado co sego posvo le esremà a poezale pù elevao sa per eleme av che passv (s rcord che la corree va da poezale pù alo a poezale pù basso), le d.d.p. su sgol eleme vao prese co sego posvo se ello sposameo s cora prma l sego. fg..6 soo rpora quaro esemp cu è llusrao quao deo precedeza. _ e B v B e _ e B v B _ e _ e B v B e _ e B v B _ e.4.4 'operaore D Fg..6 alcolo della d.d.p. B var cas operaore D vee ulzzao per comodà d scrura per dcare le operazo d dervaa e d egrale, s poe fa: sula: D d d D d

23 ap. Equazo cosuve e re ressve.5 rcu equvale D d d D d D D d d d U qualuque bpolo può essere sosuo co u bpolo equvalee, ossa co u bpolo che almeao co la sessa esoe assorba la sessa corree, se almeao co la sessa corree produca la sessa cadua d esoe alle sue esremà. v _ B v _ B' Fg..7 Bpol equvale. 'equvaleza vale agl effe eser, all'ero de bpol soo prese eleme che assorboo corre o provocao cadue d esoe dverse. Deermamo ora bpol equvale per alcu cas parcolar..5. essor collega sere Due o pù ressor s dcoo sere quado soo araversa dalla sessa corree. fg..8 soo rappresea re ressor collega sere. B D D eq a) b) Fg..8 essor sere a) e ressore equvalee b). S osserv che ache le resseze e 8 d fg..9 soo araversae dalla sessa corree(sooleamo sessa corree fa resseze araversae da corre ugual o è deo che sao sere) B 6 7 Fg..9 seme d aglo co due ermal coee resseze e 8 sere. geerale quado s può cosrure u seme d aglo co due sol ermal, le eveual resseze prese su al ermal soo sere. pplcado l prcpo d Krchhoff al crcuo d fg..8 a), s ha: geerale: D B B D ( ) eq

24 ap. Equazo cosuve e re ressve eq (.9) Pù ressor sere soo equvale ad u ressore d resseze par alla somma delle resseze de sgol ressor..5. essor collega parallelo Due o pù ressor s dcoo parallelo quado soo soopos alla sessa d.d.p. fg.. a) soo rappresea re ressor collega parallelo. B eq v v a) b) Fg.. esseze parallelo a) e resseza equvalee b). S osserv che rsulao parallelo ache le resseze e d fg.. a e b ). B D E D B B a) b) Fg.. rcu co due resseze, e, parallelo geerale se crcuo s può dvduare ua magla cu solo due ram coegoo resseze (e gl eveual alr ram sao corocrcu), le resseze d al ram rsulao parallelo. da cu: pplcado l prcpo d Krchhoff al crcuo d fg.. a) s ha: geerale: v v eq eq (.4) (.4)

25 ap. Equazo cosuve e re ressve erm d coduaza s ha: G eq eq (.4) G (.4) Nel caso cu ue le resseze sao ugual la resseza e la coduaza equvalee valgoo: Nel caso d due resseze parallelo s ha ache: eq G eq G (.44) eq.5. ollegame a sella e a ragolo Nelle fg.. a) e b) soo mosra collegame sella e a ragolo. (.45) B B B B a) b) Fg.. ollegameo a sella a) e a ragolo b) È spesso ule, el calcolo della resseza equvalee d u bpolo, passare da u collegameo all'alro, a ale scopo s possoo usare le segue formule delle qual s omee la dmosrazoe: B B B B B B B B B B B Nel caso cu le resseze sao ue ugual rsula: B B B B B B B B B B (.46) STE TNGOO S osserv che el collegameo a sella è presee u odo pù ed ua magla meo rspeo al collegameo a ragolo.

26 ap. Equazo cosuve e re ressve.6 Paror ressv d esoe e d corree Soo de crcu paror, que crcu che rparscoo la esoe o la corree ra due resseze sere o parallelo come mosrao fg.. a) e b). v v v a) b) Fg.. Paror d esoe a) e d corree b). Per l crcuo d fg.. a) le eso v e v rsulao: v v Per l crcuo d fg.. b) s ha: da cu rsula: v v (.47) (.48) e (.47) e (.48) coseoo d calcolare eso e corre elle resseze e quado è oa la esoe o la corree oale..7 alcolo d resseze equvale el caso geerale.7. e ressve passve queso caso s guge alla resseza equvalee araverso equvale sere, parallelo e rasformazo sella ragolo. Esempo. D B E ' 7 a) b) Fg..4 Esempo. F ' D B O B 5 F 6

27 4 ap. Equazo cosuve e re ressve e resseze e 9 soo sere, sere ra loro rsulao ache 7 e 8 ; rasformado a sella l ragolo cosuo da 4, s oee l crcuo d fg..4 b), cu: B S S S co : S 4 Semplfcado ulerormee s oegoo crcu d fg..5 a),b),c), cu: ' B " O F " O " B F "' F ' ' 7 ' 7 a) b) c) Fg..5 rcu semplfca ' 7 B B 5 6 B B B B eq 7 7 Esempo.4 B D B D 4 5 a) b) Fg..6 Esempo.4 e resseze e 4 possoo essere ole perché corocrcuae; uedo pu B,,D, s oee l crcuo d fg..6 b), dal quale s ha: eq.7. e ressve comprede geeraor corolla queso caso la resseza equvalee ra due pol deve essere calcolaa suppoedo d

28 ap. Equazo cosuve e re ressve 5 applcare u geeraore fzo d esoe v * (o d corree * ), co crcuo dsavao da geeraor dpede, deermare la corree * ( o la esoe v * ) ed esegure l rapporo: eq fg..7 è llusraa la procedura per l calcolo d eq. v (.49) v* * * v* _ a) b) Fg..7 alcolo della resseza equvalee per re ressve coee geeraor corolla Esempo.5 S vogla esegure l calcolo la resseza equvalee ra pu e B del crcuo d fg..8 a). µ v µ v v 4 e v B a) b) Fg..8 Esempo.5. Essedo la sere ra e 4 è parallelo co, s può porre: ( 4 ) 4 Poché el crcuo è presee u geeraore dpedee, l calcolo della resseza equvalee deve essere effeuao applcado l geeraore d esoe v* ra pu e B s guge al crcuo d fg..8 b), dal quale rsula: v v µ v co: v Dalla secoda equazoe s ha: v ( µ ) sosuedo ella prma s oee:

29 6 ap. Equazo cosuve e re ressve da cu: v eq v ( µ ) v v ( µ ) ( µ ) ( µ ) ( µ ) Per µ la resseza equvalee è daa dal parallelo d co 4. Esempo.6 alcolare la resseza equvalee ra pu e B del crcuo d fg..9 a). B α * v α a) b) Fg..9 Esempo.6 Dal crcuo d fg..9b), s ha: ( ) da cu α α : v a resseza equvalee rsula: v eq α S osserv che: - per α l ramo coeee l geeraore d corree rsula apero per cu: eq - la resseza sere al geeraore deale d corree o flusce sulla resseza equvalee..8 ollegameo d codesaor.8. ollegameo sere Pù codesaor soo sere, ved fg.., quado hao la sessa carca( aaloga co ressor coduor d collegameo d codesaor sere soo percors, fase d carca, dalla sessa corree d coduzoe Q Q Q Q B B eq v v v v a) b)

30 ap. Equazo cosuve e re ressve 7 Fg.. odesaor sere a) e codesaore d capacà equvalee b). Dalla fg.. a) s ha: Q v v v v Q co: geerale s ha: eq eq eq (.5).8. ollegameo parallelo alogamee al caso de ressor parallelo, pù codesaor s dcoo parallelo quado soo sogge alla sessa dffereza d poezale. Tale po d collegameo è mosrao fg..a). Q Q Q B B Q eq v v a) b) Fg.. odesaor parallelo a) e codesaore equvalee b. Per deermare la capacà equvalee, rcordado che la carca complessva deposaa è la somma d quella d u codesaor, s ha: co: geerale: ( ) Q Q Q Q ( ) eq eq.8. ollegame a sella e a ragolo eq (.5) fgura. soo rappresea codesaor collega a sella e a ragolo. alogamee a quao vso per ressor ache queso caso s può passare da u

31 8 ap. Equazo cosuve e re ressve collegameo all'alro. e formule soo: B B B B a) b) Fg.. odesaor collega a sella a) e a ragolo b). B B B B B B B B B B B B B B B B B (.5) B B B B B B.9 ollegameo d duor.9. ollegameo sere d duor Pù duor rsulao collega sere quado soo percors dalla sessa corree. fg.. a) soo mosra re duor collega sere. B B eq v v v v a) a) Fg.. ollegameo sere d duor a) e duore equvalee b). S ha: Per duor collega sere s ha: ( ) v v v v D D eq eq (.5).9. ollegameo d duor parallelo Pù duor rsulao parallelo se sogge alla sessa dffereza d poezale come

32 ap. Equazo cosuve e re ressve 9 llusrao fg..4 a). geerale s ha: B B eq v v a) b) Fg..4 ollegameo parallelo d duor a) e duore equvalee b). D v D v eq.9. duor sere muuamee accoppa eq (.54) fg..5 soo rappresea due duor d duaza e collega sere e muuamee accoppa co coeffcee d muua duzoe M. M v _ co: Dalla fg..5 s ha: Fg..5 duor muuamee accoppa ( ) v M D D veredo uo de due pall s ha: geerale s ha: eq M eq M eq eq ± M (.55) cu l sego posvo vale se le corre soo erambe era o usce dal morseo corassegao co l pallo, l sego egavo caso coraro..9.4 duor parallelo muuamee accoppa fg..5 a) e b) soo mosra due duor parallelo muuamee accoppa, e u

33 ap. Equazo cosuve e re ressve crcuo equvalee al precedee cu gl duor soo dsaccoppa. -M B M M eq B Dalla fg..5a) s ha: -M v v a) b) Fg..5 duor parallelo muuamee accoppa. ( ) ( ) ( ) ( ) v D M D D M D M D M D v D M D D M D M D M D e relazo precede dmosrao che crcu d fg..5 a) e b) soo equvale, qud: eq ( M )( M ) ± M (.56) M Nella (.56) vale l prmo sego per corre erambe era o usce dal morseo corassegao dal pallo, come fg..5 a), caso coraro vale l secodo.. Geeraor equvale.. Geeraor equvale d esoe..a) collegameo sere pplcado l prcpo d Krchhoff ra pu e B d fg..6a) s ha: eeq e e e e4 e e e e 4 B eeq B Fg..6 Geeraor d esoe deal collega sere a) e geeraore equvalee b). geerale s ha: a (.57) è ua somma algebrca... b) collegameo parallelo e eq e (.57) l parallelo ra geeraor deal d esoe è possble solo el caso cu u geeraor abbao la sessa f.e.m; se così o fosse s avrebbe ua corree d crcolazoe

34 ap. Equazo cosuve e re ressve fa el crcuo cosuo da geeraor. B B B e e e e e a) b) c) Fg..7 Geeraor deal d esoe parallelo c) geeraore equvalee b)crcuo equvaleec). Pù geeraor deal d sessa f.e.m. parallelo, equvalgoo, agl effe eser, ad u uco geeraore d sessa f.e.m.. È evdee che è vero ache l coraro, ossa u geeraore d esoe deale può essere sosuo, agl effe eser, co pù geeraor d sessa f.e.m. parallelo. vrù della precedee cosderazoe l crcuo d fg..7a) è equvalee a quello d fg..7 b). Poché el prmo crcuo l rao B o è percorso da corree può essere apero come fg..7c). sula qud: e e S osserv che la corree o è fluezaa da e mere o dpede da. ò accade perché ra pu B e è mposa la esoe e che o dpede dalla corree... c) Geeraor real d esoe sere Se s cosdera l caso cu geeraor abbao ua resseza era, come mosrao fg..8a) s oee: e e e e eq r r r r eq (.58) r r r r eq B e e e eeq a) b) Fg..8 Geeraor real sere a) e geeraore equvalee b). B Nel caso geerale e eq è daa dalla (.57) mere la resseza equvalee s oee sommado ue le resseze... d) Geeraor real d esoe parallelo Dalla fg..9a) s ha: e vb e vb e vb r r r

35 ap. Equazo cosuve e re ressve sosuedo le corre s ha: da cu: e qud: e poedo: e e r v v r B e v r B e v r B e e v B r r r r r B e e e r r r r r r e e e r r r eeq r r r s oee l crcuo equvalee d fg..9b). r r r req r r r B B r e r e r e r eq e eq a) b) Fg..9 Geeraor real d esoe parallelo a) e geeraore equvalee b). S osserv che erm a umeraore d e eq rappreseao le corre d coro crcuo de geeraor, ossa quelle corre che s oerrebbero collegado le esremà del geeraore come dcao fg..4. e r cc cc e r g e Fg..4 Geeraore d esoe chuso coro crcuo. veredo l pallo del geeraore camba l sego del erme corrspodee a umeraore poché camba l verso della corree d coro crcuo. geerale, dcado co l umero d ram coee geeraor, s ha:

36 ap. Equazo cosuve e re ressve e r eq eq e r r cu s è dcao co g la coduaza... Geeraor deal d corree.. a) collegameo sere e g g g r (.59) B B j j j j a) b) Fg..4 Geeraor deal d corree sere. Per dualà co geeraor deal d esoe rsula evdee che possoo essere collega sere solo geeraor d corree deal d sessa corree; se così o fosse alle esremà d og geeraore s sablrebbe ua d.d.p. fa (c s porà redere coo d quesa affermazoe quado sarao raa geeraor real sere). Pù geeraor sere ave le caraersche specfcae possoo essere sosu co u solo geeraore d corree d sessa corree(solo agl effe eser). sula auralmee vero ache l coraro, ossa u geeraore deale può essere sosuo co pù geeraor deal d sessa corree sere. vrù d ques'ulma cosderazoe crcu d fgg..4 a) e b) soo equvale, l ramo raeggao o è fa percorso da corree. quese codzo( ramo sere al geeraore deale) l crcuo lavora a corree mposa e la d.d.p. su og resseza è dpedee dalle alre. j j j a) b) Fg..4 Fuzoameo a corree mposa. NOT: due crcu soo de dual quado elle equazo cosuve possoo essere scambae ra loro eso e corree... b) ollegameo parallelo j j j j eq B B a) b) Fg..4 Geeraor deal d corree parallelo a) e geeraore equvalee b).

37 4 ap. Equazo cosuve e re ressve pplcado l prcpo d Krchhoff al odo o al odo B d fg..4a s ha: geerale: jeq j j j j eq j (.6) a corree del geeraore equvalee rsula la somma algebrca delle corre de sgol geeraor parallelo... c) collegameo sere Trasformado geeraor d corree d fg..4 a) geeraor d esoe e successvamee, dopo aver rovao l geeraore equvalee, rporado a geeraore d corree s oee la fg..4 b) cu: geerale s ha: j eq j eq j j cu la somma a umeraore d j eq è algebrca. eq j eq (.6) eq j j j eq B a) b) B Fg..4 Geeraor real d corree sere a) e geeraore equvalee b)... d) ollegameo parallelo j j j eq eq B B a) b) Fg..44 Geeraor real d corree parallelo a) e geeraore equvalee b). pplcado l prcpo d Krchhoff e oado che le resseze soo parallelo s ha: jeq j (.6)

38 ap. Equazo cosuve e re ressve 5 cu la somma della corree è algebrca.. Deermazoe del geeraore equvalee medae eorem d Theve e d Noro. a) Teorema d Theve a dmosrazoe del eorema sarà fora el capolo relavo alla rsoluzoe de crcu medae la rasformaa d aplace. Tale eorema afferma: U bpolo leare ressvo è equvalee(agl effe eser) ad u alro cosuo da u geeraore d esoe e eq sere ad ua resseza eq. a f.e.m. e eq è par alla d.d.p. vsa a ermal del bpolo, la resseza eq è quella vsa ra gl sess ermal co geeraor dpede dsava. Medae l eorema d Theve possoo essere rcavae le (.58),(.59),(.6). Esempo.7 S vogla deermare l'equvalee d Theve del bpolo d fg..45a) a f.e.m. del geeraore equvalee è la d.d.p. ra pu e B, essa vale: cu: e v e j v v eq B j µ sosuedo: ( µ ) e e eq j v - v - e eq j e µ v µ v eq B B a) b) c) Fg..45 Esempo.7 B Per deermare eq s debboo dsavare geeraor dpede come dcao fg..45b); poché rsula v ache l geeraore corollao è dsavao( è u caso parcolare!) perao s ha: eq l bpolo equvalee d Theve è rporao fg..45 c).. b)teorema d Noro U bpolo leare ressvo è equvalee, agl effe eser, ad u bpolo cosuo da u geeraore d corree avee parallelo ua resseza eq. a corree è quella che scorre ra ermal del bpolo corocrcua, la resseza equvalee eq è calcolaa come Theve.

39 6 ap. Equazo cosuve e re ressve Esempo.8 S vogla deermare l bpolo equvalee d Noro del crcuo d fg..4 a). Nelle fgg..46 a) e b) soo rpora crcu per l calcolo d e d eq. j j B B a) b) Fg..46 Esempo.8 Dalle relazo: j j s ha: ( j ) ( j ) da cu: j j a corree rsula uguale alla j eq d fg..4 b). Dal crcuo d fg..46 b), s ha: eq l bpolo equvalee d Noro è rporao fg..4 b). Esempo.9 S deerm l bpolo equvalee d Noro del bpolo rappreseao fg..47 a) j D j α j D j α B a) b) B Fg..47 Esempo.9 a resseza posa ra pu e B rsula corocrcuaa e perao può essere soppressa; la corree del geeraore j passa araverso l corocrcuo; le due resseze parallelo soo percorse dalla sessa corree che rappresea ache la pare d corree, dovua a j, araverso l coro crcuo. S ha qud: j pplcado l prcpo d Krchhoff al odo D s ha: j j α da cu: α e qud: j j α

40 ap. Equazo cosuve e re ressve 7 Per la resseza equvalee, dsavado geeraor d corree e applcado l geeraore d esoe v * come fg..47 c), s ha: v* α ( ) α ; v * ( _ α) B Fg..47 c) Esempo.9 ; v ( α) ( α ) v cu: ( α) Sosuedo s ha: α α v ( α) ( α) v a resseza equvalee è: v α eq α. e equvale d compoe av S rporao le re equvale d alcu compoe av al solo scopo d llusrare come per la preseza d al compoe s abbao crcu comprede geeraor ploa.. a) Trassore bpolare a guzoe Nelle fgg..47 a) e b) soo rpora smbol crcual per rassor d po pp e p, ella fg..47 c) è vece rporao l crcuo equvalee, a paramer brd, per l rassor coesso a emeore comue, per pccol segal a bassa frequeza. c c b b h e c b b h re v c h fe b h oe v c e e e a) b) c) Fg..47 Smbolo crcuale per rassor d po pp a) e p b), crcuo equvalee a paramer brd per pccol segal bassa frequeza.. b) mplfcaor operazoal 'amplfcaore operazoale è u dsposvo che possede almeo cque ermal come llusrao fg..48 a); al ermal soo de: gresso veree, gresso o _ e

41 8 ap. Equazo cosuve e re ressve veree, usca, ermal d polarzzazoe (ermal E ed E). a polarzzazoe s oee come mosrao fg..48 b) cu valor pc soo: E 5 E -5. gresso veree _ E usca E _ gresso o veree _ E E _ a) b) Fg..48 Smbolo dell'.o. a) e crcuo d polarzzazoe dell'.o. b) l smbolo crcuale dell'.o. e l suo crcuo equvalee soo rpora, rspevamee fg..48 c) e d). omuemee l'.o. è dcao egl schem co re ermal azché co quaro come dcao fg..48 c) essedo omesso l ermale d collegameo a massa; è preferble dcare ache queso ermale per evare l'errore -. v > _ o v d < v o > v _ vd v d o v o _ c) d) Fg..48 Smbolo crcuale dell'.o. c) e crcuo equvalee dell'.o. d) a esoe v d v - v - è dea esoe d gresso dfferezale. fg..48 e) rporaa la caraersca d usca v f (v d ). v o ( ), > v d ( m ) Fg..48 e) araersca v o f (v o ) Dalla caraersca d fg..48 e) s rleva che: - v d e v o hao orde d gradezza molo dverso, la prma è, la secoda m; - u pccolo oro dell'orge la caraersca è pressoché leare, v o v d, co guadago d esoe ad aello apero.alor pc per l'.o. soo: - resseza d gresso > KΩ;

42 ap. Equazo cosuve e re ressve 9 - resseza d usca o < Ω; - guadago d esoe > 5. Dalla fg..48 e) s osserva olre che u pccolo segale d gresso sarebbe suffcee a porare l'.o. saurazoe, per oeere l fuzoameo el rao leare s deve rcorrere alla reazoe egava, s deve coè rporare gresso veree l'usca. Per l'.o. deale s assumoo segue valor: o quese codzo rsula: v v v d 'ulma relazoe è cosegueza del fao che assumedo fo l guadago la caraersca d fg..48 e) rsula perfeamee vercale el rao leare. a codzoe v d equvale a corocrcuare l'gresso, poché però ache le corre soo ulle, samo preseza d u coro crcuo specale deo coro crcuo vruale. l modello crcuale ed l crcuo equvalee per l'.o. deale soo rpora fg..49. > > _ vd vd v o > > a) b) Fg..49 Smbolo crcuale dell'.o. deale a) crcuo equvalee dell'.o. deale b) D parcolare eresse è l crcuo d fg..49 deo buffer o seguore d esoe cu rsula: v o v. v d v o _ v _ v o _ v _ v d v d v o _ a) b) Fg..5 seguore d esoe a) e crcuo equvalee b). Deermazoe della corree re ressve medae eorem d Theve e Noro S cosder l crcuo d fg..45 a), se ra pu e B è posa ua resseza, essa è percorsa da ua corree uguale a quella che percorrerebbe la sessa posa ra pu e B del crcuo equvalee d fg..45 c). Quesa cosderazoe c cosee d calcolare la corree medae l eorema d Theve: a corree u ramo d resseza può essere calcolaa medae l eorema d Theve applcado la seguee procedura: - s sacch l ramo d resseza dal crcuo; - s deerm, ra pu d dsacco, l bpolo equvalee d Theve; - s collegh la resseza alle esremà d ale bpolo.

43 4 ap. Equazo cosuve e re ressve a corree rsula: Medae l eorema d Noro s ha: E eq eq (.6) a d.d.p. alle esremà d u ramo d resseza può essere calcolae procededo el seguee modo: - s sacch l ramo d resseza dal crcuo; - s deerm, ra pu d dsacco, l bpolo equvalee d Noro; - s collegh la resseza alle esremà d ale bpolo. a d.d.p. rsula:.4 Teorema d Mllma per re ressve eq (.64) eq S cosder l crcuo d fg..9 a), ossa u crcuo cu u ram soo parallelo, per l prcpo d Krchhoff s può scrvere: da cu: E B E E B B B B E E E EG G E G G G E G G Quesa relazoe esprme l eorema d Mllma, l quale, cosderado che erm a umeraore soo le corre oeue corocrcuado ram parallelo e che quell a deomaore soo le coduaze degl ram sess afferma che: u crcuo co solo due od, ossa co u ram parallelo, la d.d.p. ra al od s oee come rapporo ra la somma delle corre d coro crcuo de sgol ram e la somma delle coduaze de ram sess. Quao assero precedeza vale ovvamee ache per crcu coee geeraor d corree; al caso la corree d coro crcuo cocde co la corree sessa del geeraore. e corre e ram del crcuo d fg..9 possoo essere deermae per mezzo d relazo del po: E Nel caso geerale d u crcuo cosuo da r ram parallelo, d cu m coee geeraor d esoe e geeraor d corree, s ha: B

44 ap. Equazo cosuve e re ressve 4 m r E J E G J B (.65) m m G.5. Bpolo lear empo-vara Soo empo vara que bpol per cu paramer varao co l empo. e equazo cosuve soo acora lear, Ma paramer,, M, soo fuzoe del empo..5. essor Per ques bpol la caraersca v, è rappreseaa da ua rea cu la pedeza vara el empo. U esempo è mosrao fg..5. Fg..5 araersca v, per u ressore leare empo-varae a legge d Ohm dvee: v () ()() () G()() (.66) cu () e G() soo valor assu dalla resseza e dalla coduaza al empo. Per effeo della varazoe d o d G la esoe e la corree possoo avere adameo el empo dvers. Esempo. Se la resseza vara el empo co legge: () M se ω, la esoe rsula: M () M se ω cos ω ω ω [ ( ) cos( ω ) ] v ω.5. duore () se e la corree è: dcado co () l valore dell'duaza, varable co ua qualuque legge el empo, s ha: s ha olre: [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) d d d v ( ) ( ) ( ) (.67) d d d ( ) v( ) d (.68)

45 4 ap. Equazo cosuve e re ressve.5.odesaore modo del uo smle al caso dell'duore, dcado co () la capacà varable el empo, rsula: d ( ) [ ( ) v( ) ] dv ( ) ( ) d ( ) ( ) v (.69) d d d.6 Bpol o lear v ( ) ( ) d (.7) ( ) queso caso paramer soo fuzoe della corree o della esoe, perao le equazo d equlbro rsulao dfferezal o lear..6. essor Fg..5 è rporaa ua geerca caraersca v, per u ressore o leare, che mosra la dpedeza della resseza dalla corree Fg..5 araersca d u ressore o leare Per u deermao puo d lavoro dvduao da e v s defsce ua resseza saca, dpedee dalla corree, l cu valore è: v S gα (.7) S defsce resseza dfferezale la quaà: dv rd (.7) d che rappresea la dervaa della esoe rspeo alla corree calcolaa corrspodeza del puo d lavoro. U elemeo crcuale a resseza o leare è l dodo, l smbolo ulzzao e crcu e la caraersca esoe-corree soo rpora fg..5 a) b) Fg..5 Smbolo crcuale del dodo a) e sua caraersca esoe-corree b)

46 ap. Equazo cosuve e re ressve 4 mole applcazo vee cosderao l dodo deale, esso presea resseza ulla quado la esoe applcaa è posva, fa caso coraro. l dodo deale equvale qud ad u coro crcuo (esoe ulla) ella drezoe cosea alla corree, ad u crcuo apero (corree ulla) ella drezoe veaa. Esempo. Nel crcuo d fg..54 a) è rappreseao u crcuo, compredee u dodo deale, almeao co u geeraore la cu d,d,p, vale. a) b) Fg..54 Esempo. a corree crcolae araverso l dodo, e qud el crcuo, rsula ulla quado v() è egava (l dodo o coduce ed equvale ad u crcuo apero); quese codzoe ua la esoe s localzza alle esremà del dodo sesso. Durae la semoda posva della esoe (l dodo equvale ad u coro crcuo) la corree crcolae è par a v()/ e la esoe alle esremà del dodo è ulla..6. a) Deermazoe del puo d lavoro l puo d lavoro vee deermado applcado al crcuo u geeraore d esoe coua come llusrao fg..55. Tale puo, ua vola assegaa la caraersca esoe-corree, può essere deermao per va grafca. Dal crcuo s ha: E (.7) porado sul pao v, ale relazoe s oee ua rea (raeggaa), dea rea d carco, che cora gl ass e pu (E, ) e (, E/). a) b) Fg..55 rcuo o leare a) e caraersca esoe-corree della resseza o leare b) l puo d coro ra la rea d carco e la caraersca esoe corree (fora dal cosruore del compoee) deerma l puo d lavoro le cu coordae rappreseao la esoe alle esremà del compoee e la corree che lo percorre. E' possble oeere la soluzoe per va aalca rcorredo all'approssmazoe leare a ra o

47 44 ap. Equazo cosuve e re ressve all'approssmazoe polomale. Nel prmo caso la caraersca è sosua co ua spezzaa (learà a ra), el secodo è approssmaa co relazo del po:.6. b) als per pccol segal k v a k k a k v (.7) S cosder l crcuo d fg..56 che dffersce da quello d fg..55 per l'roduzoe v se ω co M << E. d u geeraore d esoe d valore ( ) g M a) b) Fg..56 rcuo o leare cu u segale d pccola ampezza è sovrapposo ad uo cosae Dal crcuo s ha: cu ( ) f [ ( ) ] puo d lavoro dvduao da [, ] ( ) ( ) v( ) E vg (.74) v. Per le poes sulle eso l fuzoameo avvee ell'oro del e qud s può scrvere: v v~ ~ (.75) Sosuedo ell'equazoe d equlbro s ha: v ~ e poché: rsula: ( ) ( ) v ~ E g E (.76) ~ v g v~ (.77) o svluppo sere d Taylor della esoe ell'oro del puo d lavoro è: v dv ( ) v( ~ ) ~ r ~ d d (.78) e qud: ~ v~ rd (.79) a corree può duque essere deermaa dalla relazoe: v ( r ) ~ (.8) g S può qud cocludere che ua vola deermao l puo d lavoro, le oscllazo d pccola ampezza s deermao applcado l solo geeraore che forsce vg e sosuedo la resseza o leare co quella dfferezale. Queso modo d procedere d

48 ap. Equazo cosuve e re ressve 45 cosse el learzzare la curva esoe-corree ell'oro del puo d lavoro(ossa el sosure la curva co la sua agee). ò può essere fao solo per oscllazo d pccola ampezza, per oscllazo d grade ampezza s deve ecessaramee rcorrere alla soluzoe grafca, dalla quale s oegoo le usce che hao adame el empo dvers da quell d gresso. U esempo d soluzoe grafca è rporao Fg..57 v.6. duor Fg..57 Esempo d soluzoe grafca U duore o leare è u elemeo crcuale cu l paramero duaza è fuzoe della corree, ossa: f ( ) (.8) d cosegueza s ha: d[ ( ) ] d d d d d v ( ) ( ) d d d d d d (.8) vd (.8) Possoo essere esese a queso caso le cosderazo relave al puo d lavoro e alla learzzazoe oro ad esso svluppae per ressor o lear. Dao l crcuo d fg..58a) cu è presee u duore o leare, la cu caraersca è rporaa fg..58b), l puo d lavoro s rova ersecado la vercale per J co la caraersca flusso-corree. ( ) a) b) Fg..58 rcuo co duore o leare a) caraersca flusso-corree dell'duore.

49 46 ap. Equazo cosuve e re ressve l puo d equlbro è qud caraerzzao da e Φ, la esoe alle esremà dell'duore è ulla. seredo el crcuo d fg..58a) u geeraore d corree che forsca: j() J M se ω co J M <<J e defedo l'duaza dfferezale co la relazoe: a esoe vale:.6. odesaor v d ( ) dϕ (.84) d ~ d v~ d (.85) d Per u codesaore o leare, empo-varae, la capacà è fuzoe della esoe, perao s può scrvere: [ ( v) v] ( v) f (.86) d dv d dv d dv ( v) v ( v) v d d dv d (.87) dv d v d (.88) v ( ) Per l crcuo d fg..59a), almeao corree coua, cu è presee u codesaore o leare l puo d lavoro, deermao come dcao fg..59 b), è caraerzzao dalle coordae (,Q ). a corree rsula ulla. a) b) Fg..59 rcuo co codesaore o leare a) caraersca carca-esoe del codesaore. pplcado al crcuo d fg..59a) ache u geeraore d esoe che forsca: v g () M se ω co M <<E e defedo capacà dfferezale la quaà: d dq (.89) dv v rsula: ( ) ~ dv ~ d (.9) d