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1 (/(775',$,&$48$6,67$=,$5,$ a definizione dell elerodinamica quasi-sazionaria non può essere daa in forma riorosa, come è sao fao per l'elerosaica, la maneosaica e l'elerodinamica sazionaria, in quano coinvole un'approssimazione: essa consise nel considerare la derivaa emporale di una enerica randezza diversa da zero solo in quelle reioni di spazio in cui ale randezza può assumere valori elevai e nel considerarla nulla nelle rimaneni. Perano, le lei enerali del reime quasi-sazionario si ricavano dal quadro enerale dell'eleromaneismo facendo le seueni supposizioni (zona per zona):, =, TXQGRV UIHUVFRQR JUQGH]]H FKH SRVVRQR VVXPHUH YORU HOHYW QH UPQHQW FV Tale discriminazione è possibile "a priori" in quano è facile riconoscere, con buona approssimazione, per ciascuna randezza le reioni ove si hanno valori elevai: % per % l'inerno dei circuii maneici, ove si considererà ; ' per ' lo spazio fra le armaure dei condensaori, ove si considererà ; ρ per ρ le armaure dei condensaori, ove si considererà. Quano deo pora a considerare un enerico ircuio a osani oncenrae, come indicao in fiura.. 'equazione descriiva di queso modello è l'equazione di Ohm eneralizzaa. i P R e i % ' ρ )JXU6FKHPG&UFXWRFRVWQWFRQFHQWUWH Eleromaneismo (4) -

2 Si consideri la ee di Ohm in forma locale, scria espliciando il campo elerico: - ( ( i = (.) σ Inerando la (.) luno il circuio dal puno al puno (percorso ), si oiene: - dl d = d = ( JS) = Ri ( O O σ (.3) σs Si noi che nel circuio di fiura ha senso inrodurre una correne i, anche senza specificare la sezione S del circuio (in quano - = ecceo che fra le armaure del condensaore). Scomponendo l inerale da a in due pari ed aiunendo e soraendo alla (.3) l inerale da a inerao luno la linea P, si ha: ( P) dφc = d ( P) P) = V V ( ( do = e = Ri Poiché i primi due inerali possono essere unii a formare un'inerale di circuiazione su una linea chiusa concaenaa con il circuio maneico, per la lee di ee di Faraday - Neumann - enz, ad esso è possibile sosiuire l'opposo della derivaa del flusso di induzione concaenao alla linea. Per quano riuarda la seconda coppia di inerali, essi possono essere unii in un solo inerale di linea da a e poiché la linea di inerazione non è concaenaa al circuio maneico, l'inerale è pari alla differenza dei poenziali valuai in ed in (o melio la ensione ra i puni e ). Si ha quindi: dφ c ( V V ) e Ri d = (.5) Il ermine ( dφ c /d) è deo "f.e.m. (forza eleromorice) indoa per variazioni di flusso concaenao" con il circuio. Il ermine (V V ) è la ensione fra i morsei e ; essa deve inendersi valuaa (come inerale di campo) luno percorsi che non ineressano reioni in cui ( %/ ) è diverso da zero; cioè si evidenzia il fao che si raa di una randezza derivaa da una approssimazione: il campo elerico, in quel dominio è "quasi conservaivo". e randezze e ed R sono dee, rispeivamene, ensione impressa del eneraore e resisenza. a "ee di Ohm Generalizzaa" (.5) può essere scria espliciando i vari ermini in funzione delle correni: Innanziuo per il ondensaore: Poiché nella reione ( = del condensaore il reime è definio dal seuene sisema di equazioni che lea il campo elerico (, lo i ' = ρ sposameno dielerico ' e la densià di carica ρ, valono le reole dell'elerosaica. Si ha quindi: ' = ε ( Q Q V V = (.6) dove Q è la carica della armaura indicaa con. Poiché per la conservazione della carica elerica, si ha i = dq/d, è possibile scrivere dq = id Q = i d V V = id (.7) (.4) Eleromaneismo (4) -

3 Il seno nella (.7) si iusifica con le convenzioni di seno adoae ed indicae in fiura. Poi per le f.e.m. indoe: Nell ipoesi che vi sia anche un circuio accoppiao (vedi fiura.), il flusso di induzione concaenao è esprimibile ricordando la definizione dei coefficieni di auo e muua induzione: Φc = i Mi d Φc di di = M (.8) d d d Nella (.8) il ermine ( di/d) è deo "f.e.m. di auoinduzione" ed il ermine ( M di /d) è deo "f.e.m. di muua induzione". Sosiuendo ora le equazioni (.7) e (.8) nella (.5), si oiene la forma definiiva della ee di Ohm eneralizzaa: di di e M i d = Ri d d (.9) a (.9) si eneralizza ai circuii complessi per oni enerica malia (cioè por oni percorso chiuso che collehi almeno due erminali). Riassumendo, le ipoesi necessarie per la validià dell'elerodinamica quasi-sazionaria (spesso impliciamene assune) sono:. Il percorso chiuso (o FUFXWR) è definio da un conduore filiforme (a resisivià nulla);. e dimensioni del circuio sono sufficienemene piccole (rispeo alla lunhezza d'onda) da poere essere rascurae; 3. a correne di sposameno è confinaa ra le armaure dei condensaori; 4. Il flusso maneico è confinao nei circuii maneici inerni ali induori; 5. a conducibilià elerica finia è confinaa nei resisori; 6. I campi impressi sono confinai nelle reioni dello spazio in cui aiscono i eneraori elerici. a prima ipoesi definisce semplicemene cosa si inende per "circuio". a seconda implica che oni circuio cessa di seuire le lei della eoria dei circuii, se la frequenza I dei fenomeni eleromaneici sudiai divena sufficienemene elevaa (infai la lunhezza d onda è aa da c/i, dove c è la velocià della luce (circa 3 8 m/s)). e quaro ipoesi successive, invece, resrinono la ipoloia deli elemeni circuiali ai soli componeni ideali (condensaori, induori resisori, eneraori). Quindi, se si deve considerare un condensaore che è anche resisivo (come può capiare nei condensaori "reali") o un induore con capacià parassia, non è possibile applicare le equazioni dei circuii, se prima non si sosiuiscono ali elemeni con caraerisiche mise con opporuni circuii equivaleni (dal puno di visa delle ensioni e delle correni ai morsei) che conenono solano e- lemeni ideali. a scela del circuio equivalene viene effeuaa sulla base della conoscenza del comporameno del campo eleromaneico all'inerno del disposiivo.,/ %,/$&,((5*(7,&',85$&,5&8,7$/( Si consideri un enerico ramo di circuio (vedi fiura.), caraerizzao da un resisore di resisenza R, un induore di induanza, un condensaore di capacià ed un eneraore di ensione e (). Il ramo è sooposo ad una ensione ai morsei v() noa. a lee di Ohm per il valore isananeo della correne i() nel ramo considerao ha la forma: e di = d () v() Ri() () i()τ τ d () Eleromaneismo (4) - 3

4 Poso i () τ dτ = Q i d = dq dove Q è la carica presene all'isane sull'armaura del condensaore in cui la correne è enrane. È possibile oenere dalla () il bilancio enereico relaivo al ramo in oeo. ale scopo è sufficiene moliplicare la () per i()d per oenere: i() e i d = vi d Ri d i di v() Q e () R )JXU Gli ulimi due ermini sono differenziali esai che rappresenano un incremeno di eneria conservaiva. È perano conveniene scrivere: Q e i d = d i Ri d vi d Inerando, infine, enrambi i membri della () dal empo iniziale all'isane, si oiene: ei d = i id Ri d vi d τ Ponendo: E e = i d E = m i dq Eem = Ee Em = e i d E = Ri d E = vi d d a (3) si presa alla seuene inerpreazione: il lavoro fornio dal eneraore è pari alla somma della variazione di eneria eleromaneica E em conenua neli elemeni con memoria, dell'eneria dissipaa E d (per effeo Joule nel resisore) e dell'eneria E S uscene (si noi che ensione e correne di ramo non hanno versi di riferimeno associai). S = E em E d E S (4) a variazione di eneria eleromaneica E em è somma della variazione di eneria elerosaica E e e della variazione di eneria maneica E m.si noi che la (4) non è alro che una applicazione paricolare del Teorema di Poynin. Esise quindi un eneria di ipo conservaivo associaa alla correne che araversa un induanza e alla carica sulle armaure di un condensaore (si ricordi che Q =di/d). E m = i E e = Q = v = Qv (5) dove i = correne che araversa un induanza; v = ensione ra le armaure di un condensaore. () (3) Eleromaneismo (4) - 4

5 3$66$**,'$//$7(5,$'(,&$3,$48(//$'(,&,5&8,7, Si inende in queso pararafo iusificare il passaio dalla eoria dei campi a quella dei circuii a cosani concenrae. enché la raazione sia riorosa, nel senso che specifica chiaramene i simboli ed il loro sinificao, si vuole soolineare che le ipoesi di validià oenibili sono solano necessarie. Queso sinifica che la eoria dei circuii a cosani concenrae ha una sua auonomia eorica che le permee di venire uilizzaa anche in ambii che violano le condizioni pose. Quesa consaazione permee di enunciare una WHRUVVRPWFGHFUFXWin cui le lei di Kirchhoff e le caraerisiche dei componeni sono posulai. In queso ambio è possibile definire anche componeni che non hanno alcun corrispeivo fisico (iraori, resisori aivi, ), ma che permeono di simulare fenomeni che alrimeni non porebbero essere modellai con la eoria dei circuii. In praica, il circuio elerico a cosani concenrae è un modello per un sisema elerico reale (ad esempio: un moore elerico, un apparecchio per il raameno di un senale audio, una PU di un compuer); affinché un sisema elerico reale sia modellabile come un circuio elerico a cosani concenrae devono essere soddisfae le seueni condizioni: &',=,,',9$/,',7 '(/'(//³&,5&8,7(/(775,&$&67$7,&&(75$7(. deve essere possibile individuare, nella reione di spazio occupaa dal sisema fisico reale, delle zone di spazio, dee componeni, in cui alcune randezze eleromaneiche (e le loro derivae emporali) possono assumere valori elevai; per ciascun componene, deve essere possibile individuare dei erminali araverso i quali avviene lo scambio di carica elerica ra un componene e l'alro; E all'eserno dei componeni, deve essere possibile individuare delle connessioni condurici ra i erminali dei componeni.. nella reione di spazio eserna ai componeni (in cui si rovano anche i erminali e le evenuali connessioni condurici ra di essi), si deve poere:. rascurare la correne di sposameno, rispeo a quella di conduzione ( ( '/ ) =); E. rascurare la componene non conservaiva del campo elerico rispeo a quella conservaiva ( $/ << ϕ ( %/ ) =). 'approssimazione alla base del modello di "circuio elerico a cosani concenrae" consise dunque fondamenalmene nel considerare le derivae emporali di alcune randezze diverse da zero solano in alcune reioni e nel considerarle nulle nelle rimaneni. Quesa scela, per ciascuna randezza e per ciascuna reione, definisce (come si è viso) il UHJPHHOHWWURGQPFRTXVVW]RQ UR. Oni componene così individuao (induore, condensaore, ec.) può rienersi responsabile, quasi per inero, di una proprieà che, a riore, appariene al sisema nel suo complesso (induanza, capacià, ec.). a eoria dei circuii a cosani concenrae viene uilizzaa anche per disposiivi che violano le condizioni pose sopra, come ad esempio le linee di rasmissione. Guide d'onda, cavià risonani, ed in enerale problemi che coinvolono la propaazione di onde eleromaneiche ad ala frequenza, possono, in ceri casi, essere raai con le eoria dei circuii. Eleromaneismo (4) - 5

6 Una prima immediaa verifica per deerminare se un sisema fisico reale possa essere modellao come un circuio elerico a cosani concenrae, ricordando che c indica la velocià della luce (3 8 m/s nel vuoo), si può effeuare ramie la relazione: MX << ct min "e dimensioni della reione di ineresse sono sufficienemene piccole da poere essere rascurae" F >> I MX MX MX << T min c "a velocià di propaazione del fenomeno eleromaneico è infinia" "È nullo il empo di propaazione del fenomeno eleromaneico da un puno all'alro della reione di ineresse" dove MX è la dimensione massima del sisema conduivo che si inende sudiare e le randezze I MX e T min (T min =/ I MX ) sono, rispeivamene, la frequenza massima ed il periodo emporale minimo che si inendono considerare. 'applicazione della (.), rappresena solo una prima verifica immediaa della applicabilià della eoria dei circuii nella descrizione di un sisema reale; oni sinolo problema, necessia in realà di uno sudio specifico. Si considerino ora i seueni re esempi: Esempio.. Si consideri il circuio cosiuene un piccolo compuer su un chip luno mm; la duraa minima di un senale di ineresse sia. ns ( ns = 9 s). a condizione (.) è verificaa, infai: MX /c = 3.3 s << s = T min. Quindi il circuio può essere rienuo a cosani concenrae. Esempio.. Si consideri un circuio audio: la più elevaa frequenza di ineresse sia, ad esempio, 5 khz. a condizione (.) è verificaa se MX << c/ I MX = km. osì, persino se il circuio a- vesse un esensione di qualche ceninaio di meri, le sue dimensioni sarebbero comunque piccolissime rispeo alla minima lunhezza d onda di ineresse. Quindi il circuio può essere rienuo a cosani concenrae. Esempio.3. Si consideri un circuio per Telecomunicazioni: la più elevaa frequenza di ineresse sia, ad esempio, GHz. a condizione (.) è verificaa se MX << c/ I MX =.3 m. ssumendo che il simbolo di "molo minore" implichi, come è usuale, una riduzione di almeno due o re ordini di randezza, la dimensione massima del circuio che è possibile sudiare con il modello a cosani concenrae è di circa 3.3 mm. osì, persino se il circuio avesse un esensione di qualche millimero, le sue dimensioni sarebbero ancora roppo randi rispeo alla minima lunhezza d onda di ineresse. Quindi il sisema non può essere schemaizzao come un circuio a cosani concenrae. (.) Eleromaneismo (4) - 6