Carlo Santagata NUOVE RELAZIONI QUANTISTICHE UN DINAMICO CUTT-OFF

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1 Carlo Santagata NUOVE RELAZIONI QUANTISTICHE UN DINAMICO CUTT-OFF 4/05/009 1

2 ABSTRACT E possibil ddurr nuov rlazioni quantistich partndo dal postulato di Planck scondo il qual, pr la radiazion dl corpo nro, è valido il noto assunto E = hν n. L rlazioni all quali prvrrmo in modo molto smplic d immdiato, com si mostrrà in sguito, sono pinamnt conformi all attual Mccanica Quantistica, ma comportano implicazioni di una crta consistnza. In qusta sd ci limitrmo a considrarn solo una ch consist nlla possibil liminazion dll singolarità ch affliggono l attual fisica torica.

3 1 UNA NUOVA FORMULA QUANTISTICA Si considri un dipolo lttromagntico costituito da un proton d un lttron. Pr qusto dipolo è possibil dimostrar la validità torica dlla nuova rlazion quantistica λ = π137 n (1.1) dov λ è la lunghzza d onda lttromagntica mssa o assorbita dal dipolo è l ampizza mdia di oscillazion dlla carica prifrica (raggio mdio dll orbita dll lttron). E possibil giungr alla dtta rlazion in vari modi. Si considri ad smpio un fiotto di nrgia lttromagntica E = hν n ch si sposta nllo spazio vuoto sta pr ssr compltamnt catturato da una suprfici assorbnt (dipolo lttromagntico ch costituisc la dtta part (corpo nro)). S qusta nrgia, com si dicva, vin intgralmnt assorbita dalla matria allora, pr il Principio di Consrvazion dll Enrgia, si avrà C hν n= h n= (1.) λ 1 cioè l incrmnto di nrgia total dl dipolo sarà, dopo l intrazion, sattamnt ugual a qulla dl fiotto lttromagntico assorbito dallo stsso. S si assum ch l nrgia dl dipolo è nulla in corrispondnza di 1 si ha più smplicmnt ch C hν n= h n= = (1.3) λ Dalla rlazion (1.3), introducndo in ssa la nota idntità π 137 = hc, (1.4) si ottin la (1.1). Un altro procdimnto ancora più smplic pr ottnr (1.1) è il sgunt. Si moltiplica il numrator d il dnominator dll nrgia total dl dipolo pr la π 137 n si ottin stssa quantità ( ) π 137 n hc E = = = n (1.5) π137 n π137 n formula ch vin a coincidr con qulla mpirica di Planck s si pon ch λ = π137 n. (1.6) 3

4 COERENZA CON L ATTUALE MECCANICA QUANTISTICA Dimostriamo com dalla (1.1) discndono in modo cornt sia l rlazioni di Bohr rlativ all atomo di idrogno ch nuov formul. L nrgia dll atomo di idrogno Moltiplicando ambo i mmbri dlla (1.1) pr la frqunza dl dipolo si ha quindi λν = π137 ν n= C (1.7) 137 ω n= 137vn= C (1.8) da cui sgu ch la vlocità mdia dlla carica orbitant è Ciò comporta ch l nrgia è data da C 1 v =. (1.9) 137 n 1 mc 1 E = (1.10) 137 n rlazion ch, tnuto conto dlla (1.4), divnta 4 π m 1 E = (1.11) h n ch coincid con la nota formula di Bohr [1]. I raggi dll orbit di Bohr Inoltr, dal confronto dlla (1.9) dlla rlazion v = (1.1) m si ottin 137 mc = n. (1.13) Qusta rlazion, smpr in forza dlla (1.4), divnta h 4π m = n (1.14) ch coincid con l altra rlazion di Bohr [1]. Dalla (1.14) dalla (1.6) si dduc ch 4

5 λlct. = π137 n = π137 R n = π( 137 R n ) 137 n= 137( πrbohr ) n= 137λd Br. n(1.15) mc quindi ch la lunghzza d onda lttromagntica mssa da una carica vibrant soddisfa pinamnt la disquazion prvista dall attual toria scondo la qual [] λ. lct. (1.16) mc Quindi si può concludr ch mntr la frqunza dll onda lttromagntica coincid sattamnt con qulla dl dipolo, tra la lunghzza d onda dlla radiazion mssa da una carica acclrata l ampizza mdia dscritta da qust ultima sussistrbb l idntità (1.15). L fftto fotolttrico Considriamo la classica rlazion E = (1.17) 1 la qual ci da la variazion dll nrgia total di un dipolo. S lo stato nrgtico inizial è fisso si ha anch E = W (1.18) Ma qusta rlazion può anch ssr scritta π 137 hc E = W = W = W = hν W. (1.19) π137 λ La dduzion dlla (1.19) da part di Einstin convins il mondo dlla fisica dlla oggttività di quanti di nrgia. La prsnt dimostrazion pon in luc la nuova idntità π 137 hc h = = = ν (1.0) π137 λ pr cui il quanto indivisibil di nrgia (o apparntmnt tal) hν vin ad ssr sattamnt ugual all nrgia total dl dipolo pari ad / cioè al lavoro, svolto con la più assoluta continuità, pr spostar la carica lttronica dalla distanza dal nuclo alla distanza infinita dallo stsso. Tra brv si dimostrrà inoltr ch hν è il lavoro ch occorr sguir pr sparar du carich partndo dalla distanza zro alla distanza infinita o, s si vuol, si può anch dir ch hν è il lavoro di annichilimnto complto di du carich. 5

6 Oltr alla (1.0) si può anch scrivr l idntità 1 1 C 1 = h = hν. (1.1) λ Il limit dl fondo spttral S dll carich lttrich vngono acclrat da un potnzial V vngono scagliat su di una suprfici si vrifica ch vin mssa una radiazion lttromagntica (brmstralung) la cui frqunza soddisfa la nota rlazion V= hν. (1.) o o Anch qusta rlazion si ottin in modo immdiato dall idntità (1.0). Infatti si ha π 137 hc V o = = = = = hν o. (1.3) π137 λ o o o o L onda di d Brogli La rlazion (1.1) può ssr puntualizzata nl sgunt modo ( ) λ = π137 n= 137 π n= 137 λ n (1.4) Bohr Bohr d Brogli quindi è possibil sintticamnt scrivr ch λ = 137 λ n (1.5) d con la qual si stabilisc un smplic lgam di proporzionalità tra l onda di d Brogli qulla lttromagntica, il ch, tra l altro, vorrbb dir ch sarbb immdiato scrivr l quazion di Schrödingr anch pr l onda lttromagntica o, s si vuol, pr il foton. Qusta rlazion suggrisc, tra l altro d in particolar, ch l sprinza ch vrifica la rlazion di d Brogli (diffrazion dgli lttroni) è accompagnata da un onda lttromagntica la cui lunghzza d onda soddisfa la (1.5). E noto ch pr il Corpo Nro si ha [1] La lgg di Stfan-Boltzmann W 4 = σ T (1.6) cioè ch l nrgia intgral irradiata in tutt l dirzioni dal Corpo Nro ad una data tmpratura pr minuto scondo pr unità di suprfici è proporzional alla quarta potnza dlla tmpratura. 6

7 E possibil ddurr qusta lgg con considrazioni trmodinamich classich ( cioè snza l ausilio dlla toria di Planck) ma ciò non consnt di dtrminar, com è noto, anch il valor dlla costant σ. Vdiamo com sia possibil giungr alla (1.6) attravrso la rlazion (1.0), riuscndo a dtrminar anch il valor numrico di σ. Considriamo un dipolo lttromagntico dlla part dl C. N. la cui nrgia è data 1 E =, (1.7) allora la potnza volumica (rifrita alla lunghzza d onda) sarà data da P vol ν 1 C = = =. (1.8) T λ λ λ S il dipolo è in quilibrio trmodinamico dovrà inoltr risultar da cui si ricava ch hc kt = = λ (1.9) hc λ =. (1.30) 3kT La potnza volumica intgral sarà quindi pari a P = 1 C 1 λ hc λ = λ, (1.31) int 4 4 formula ch, tnuto conto dlla (1.30), divnta ( ) 7 10 ( ) ( ) hc 1 3 k Pint = = T = T = T (1.3) hc hc k T quindi si ha 5 σ = [ sistma c. g. s.] (1.33) contro il valor sprimntal di σ 5 = [ sistma c. g. s.]. (1.34) La (1.3), in trmini di flusso Φ d irraggiamnto, può ssr scritta [3] dov σ 4 Φ = Θ (1.35) 7

8 la tmpratura è sprssa in V ( 1V K ) ( ) 4 5 σ = [ J / cm s V ] (1.36). Lgg di Win Smpr pr il corpo nro si dimostra ch [1] PV max 5 = BT. (1.37) Analogamnt al caso prcdnt si risc a dtrminar toricamnt la (1.37) ma non a stabilir il valor dlla costant B. In qusto caso si ha P V = 1 C 1 1 hc 3 5 λλ = λ (1.38), pr la (1.30), si ottin P V 1 hc 3 λ k h C = = T (1.39) quindi B 3 k h C = = (1.40) 4 3 contro il valor sprimntal di ( ) B = rg / cm sc k. (1.41)

9 3Il nuovo dinamico cutt-off. Una possibil soluzion dlla singolarità coulombiana Com si anticipava all inizio, una dll implicazioni più immdiat dlla (1.0) consist nlla possibil liminazion dll singolarità ch affliggono l attual fisica torica. Qulla congnita, com è noto, consist nlla infinità ch dnuncia la lgg Coulomb (Nwton) pr 0 cioè Qq lim 0 = (1.4) Poc anzi abbiamo stabilito l idntità hν =. (1.43) Si prnda in sam l nrgia lttromagntica di Planck hν E =. (1.44) hν xp 1 kt Pr la (1.43), qusta rlazion può ssr scritta nlla forma hν E = = hν xp 1 / xp 1 kt mc (1.45) la qual suggrisc di calcolar la forza coulombiana ch avvrt l lttron in un crto contsto trmodinamico carattrizzato dalla grandzza mc quando dtta particlla sta ad una crta distanza mdia dalla carica cntral. Si ha quindi la sgunt corrzion dlla lgg di Coulomb / xp E 1 1 mc F = =. (1.46) / mc xp 1 / xp 1 mc mc Posto R = (1.47) mc si ottin anch 9

10 R xp 1 R F = R xp 1 R xp 1. (1.48) Nlla figura n. 1 sono rapprsntat la (1.48), in nro, la formula di Coulomb, in blu, la rtta passant pr la distanza data dalla (1.47), in rosso. Com si vd, stant la (1.48), in un dtrminato contsto trmodinamico carattrizzato dal valor di R, si ha un massimo dlla forza ad una distanza di circa R / poi la stssa, al di sotto di tal distanza, si abbatt rapidamnt man mano ch l du carich si avvicinano smpr di più, mntr la formula classica di Coulomb tnd vrtiginosamnt all infinito, dnunciando la vcchia prdurant divrgnza (ch la fisica si è trascinata ditro fino ad oggi). Si potrbb pnsar ch l carich portat da du corpi riscono ad ssr ancorat agli stssi fino ad un crto punto. Quando la distanza tra l du mass divnta molto piccola intrvrrbbro fftti di mara ch tndrbbro a strappar l carich dai corpi stssi, rndndoli nutri (massa nuda). L union dll carich, una volta compltamnt strappat dall mass, darbb origin ad un onda lttromagntica. Ciò comportrbb ch a distanza zro non sistrbb più alcuna forza tra l du mass considrat. La (1.45) è rapprsntata in Fig.. Fig. 1 10

11 Fig. S si calcola il lavoro di sparazion o di annichilimnto dll du carich, contrariamnt al valor infinito ch fornisc la formula di Coulomb ( di Nwton), si trova = L= = mc = kt / xp 1 mc = 0 (1.49) oppur = L= = = hν = mc = kt R R xp 1 = 0 (1.50) Va splicitamnt tnuto prsnt ch la costant C dlla (1.49) non è ncssariamnt pari alla vlocità dlla luc. Ciò comportrbb ch la trasformazion dlla massa in nrgia avvrrbb scondo la rlazion E = mc (1.51) quindi ci sarbbro trasformazioni di massa in nrgia anch pr valori più bassi di qulli prvisti dalla formula rlativistica. Qusto tipo di trasformazioni intrssrbb allora anch i comuni fnomni trmodinamici. Pr lo stsso motivo il valor di 11

12 R = (1.5) mc può anch ssr più grand di qullo dl raggio classico dll lttron. Qusto prché il valor di C è dtrminato dalla posizion kt C =. (1.53) m Si ossrva smplicmnt ch dtto cutt-off, più gnral di qullo postulato da Abdus Salam [4,5,6,7], driva dalla formula di Planck la cui origin, tutta sprimntal, è indiscutibil. Ciò implica ch s è vra la congttura di Abdus Salam [4] scondo la qual la gravità (afftta anch ssa da analogh singolarità) possa vitar bloccar la singolarità coulombiana, non è da scludr ch il cutt-off dinamico ch driva dalla (1.45) possa avr una sua componnt anch gravitazional. Va inoltr ossrvato ch si può scrivr anch mv hν = = (1.54) quindi si ha anch hν E = = mv hν v xp 1 xp 1 kt C (1.55) formula ch sviluppata in sri assum la forma 6 10 mv v 1 1 v 1 1 v v 6 C 360 C 1510 C E = = mc mv + mv mv + mv.. + (1.56) xp 1 C in cui si riconosc un nrgia di riposo E0 = mc (1.57) l nrgia cintica classica E 1 = mv. (1.58) 1

13 4La massa dl foton Ipotizziamo ch sist una particlla di scambio tra proton d lttron sia m la sua massa. Con l uso dlla rlazion di indtrminazion dlla quivalnza tra massa d nrgia si ha h ΔE Δ T = (1.59) π Δ E = mc. (1.60) Tnuto conto ch R 1 Bohr Δ T = = = 137 (1.61) C C C m C dalla (1.59) si ha 1 h ΔE Δ T = mc =. (1.6) mc C π 137 Ricordando la (1.4) si prvin alla rlazion m m =. (1.63)

14 Bibliografia [1] G. Castlfranchi Fisica Modrna Atomica Nuclar pag. 593 HOEPLI [] W. Hitlr Th Quantum Thory of Radiation, Oxford Prss pag. (7) [3] H. Knopfl Alt dnsità di nrgia in laboratorio Annuario EST 1973 [4] C.J. Isham, Abdus Salam Gravitazion d lttrodinamica quantistica Annuario EST 1973; [5] C.J., Salam A., Strathd J., Infinity supprssion in gravity-modifid quantum lctrodinamics, in Physical Rviw, D3, 1805 (1971); [6] C.J., Salam A., Strathd J., f-dominanc of gravity, in Physical Rviw, D3, 867 (1971); [7] C.J., Salam A., Strathd J., Momntum spac bhaviour of intgrals in nonpolynomial lagrangian thoris, in Physical Rviw, 396 (1970); 14