lunghezza d'onda λ (m) frequenza ν (Hz)

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1 Lzion 2 marzo 2000 Fondamnti dlla mccanica quantistica 1. Radiazion lttromagntica lmnti ssnziali Estnsion dllo spttro /m lunghzza d'onda λ (m) 700 nm 400 nm Ond Lungh Ond Radio IR V UV Raggi X Raggi Gamma LW AM FM SW frqunza ν (Hz) Si parla di ond pian (sfrich) viaggianti nl vuoto a vlocità c. I vttori di campo piani sono E=E 0 sin(kz ωt), B=B 0 sin(kz ωt). Il numro d onda (numro di priodi spaziali in 2π unità di lunghzza) è k=2π/λ, così com ω=2π/t nl dominio tmporal. La lunghzza d onda, la frqunza la vlocità di propagazion c sono lgat dalla λν=c. Val dunqu la ω/k=c. La propagazion avvin prpndicolarmnt ai vttori E B. Paralllo al vrso di propagazion è il vttor di Poynting, S=(E B)/µ 0 =E 0 B 0 sin(kz ωt)k/µ 0. Il vttor di Poynting misura il flusso nrgtico dll onda piana (J/m 2 s). Val inoltr la rlazion B 0 =E 0 /c. Un rivlator di flusso radiant misura sull ara A una potnza data da S A= AE 2 0 sin 2 (kz ωt)/(cµ 0 ). L intnsità dll onda è dfinita com la potnza mdia pr unità di suprfici, <P>/A. Essndo <P>= AE 2 0 /(2cµ 0 ), l intnsità è data da I= E 2 0 /(2cµ 0 ), ossia è proporzional al quadrato dll ampizza dl campo lttrico. Pr l ond /m val il principio di sovrapposizion, pr cui fnomni com intrfrnza diffrazion sono spigabili facilmnt. In particolar, si ricorda l sprinza di Young (1801), nlla qual un onda piana (luc visibil collimata) è intrcttata da uno schrmo con du fnditur sottili provoca dll altrnanz di luc buio (figura di intrfrnza). Si vrifica ch s d è la distanza fra l fnditur D la distanza fra di ss lo schrmo final, la posizion di massimi (in squnza com numri intri n) è data da x n =nλd/d, cioè dipnd dirttamnt dalla lunghzza d onda dlla radiazion. Esprinz a favor dlla natura ondulatoria dlla radiazion sono anch qull basat sui rticoli (artificiali o naturali com cristalli) pr i quali si hanno massimi minimi intrfrnziali di luc riflssa da una squnza quispaziata di moltissim fnditur, non soltanto du, com nll sprimnto di Young. Fondamnti MQ - 1

2 2. Efftto fotolttrico: inadguatzza dlla dscrizion ondulatoria dlla luc Esprimnto di Hrtz (1887): mtalli illuminati da radiazion /m mttono una corrnt di lttroni (dtti fotolttroni). Nl vuoto un mtallo (mttitor) è illuminato d un lttrodo (collttor) è posto ad una diffrnza di potnzial variabil risptto l mttitor. Si misura una corrnt in funzion di vari tipi di illuminamnto (intnsità frqunza) d in funzion dlla E C diffrnza di potnzial applicata. La possibil dscrizion classica dl fnomno prvd ch (a) gli lttroni possidono un nrgia (cintica) proporzional all intnsità dlla radiazion luminosa i (ch vin loro cduta pr intrazion con il campo V lttrico mdio). Qusta nrgia è misurabil variando la tnsion applicata al collttor; (b) gli lttroni vngono mssi pr qualunqu frqunza ( color ) dlla luc (l intnsità dlla radiazion non dipnd dalla frqunza); (c) l fftto di mission inizia dopo un tmpo abbastanza lungo (dll ordin dl scondo) prché l intrazion con ciascun lttron dl mtallo avvin in un ara molto piccola l nrgia trasfrita è corrispondntmnt piccola. I risultati sprimntali sono invc i sgunti: (a) l nrgia massima possduta dagli lttroni (misurabil tramit un opportuno potnzial applicato al collttor di sgno ngativo) non dipnd dall intnsità dalla radiazion luminosa: quando qusta aumnta crsc la corrnt fotolttrica solamnt; (b) l fftto di fotomission avvin solamnt sopra ad una frqunza dlla radiazion (in funzion dl mtallo, d è dtta frqunza di taglio); (c) l fftto inizia prssoché immdiatamnt con l arrivo dlla radiazion. In pratica si assist al fallimnto complto dlla prvision classica, basata sulla natura ondulatoria dlla radiazion luminosa. Anch s nl 1900 Planck avva discusso asptti simili ch affrontiamo nl paragrafo sgunt, ora sguiamo la gnralizzazion proposta da Einstin nl 1905 a supporto di qust vidnz sprimntali: la luc è costituita da pacchtti di nrgia, dtti fotoni, con nrgia data da E=hν=hc/λ dov h è la costant dtta di Planck val J s ν è la frqunza dlla radiazion. Pr i fotoni (vdi sz. prcdnt) E=pc dunqu il loro momnto si può scrivr com p=h/λ. L fftto fotolttrico, in qusta ipotsi, avvin pr cssion (immdiata) di quanti di nrgia dipndnti solo dalla frqunza (intrazion lttron-foton). L nrgia massima acquistata da un fotolttron si può scrivr com T max =hν φ, dov φ è il potnzial d strazion dl mtallo (nrgia pr strappar l lttron) dunqu non dipnd dall intnsità dlla radiazion ma solo dalla sua frqunza. S il potnzial ritardant al collttor è abbastanza ngativo (V S ), il fotolttron si frma hν=φ. Sotto una frqunza di soglia non c è corrnt fotolttrica. Qusti risultati sono in pino accordo con l sprimnto. V S V S i fotolttrica I 3 I 2 I 1 int. luc V C ν Fondamnti MQ - 2

3 3. Radiazion trmica: la prima vidnza contro la natura ondulatoria dlla luc Si studia con mtodi dlla trmodinamica d lttromagntismo classici la radianza di un oggtto in funzion dlla sua tmpratura. Si tratta di analizzar l intnsità di radiazion /m in uno strtto intrvallo di frqunz o lunghzz d onda mssa da un corpo ad una data tmpratura. La radianza R(λ) è dfinita dalla di= R(λ)dλ, dov I è l intnsità total (nrgia/tmpo ara). Sprimntalmnt si ossrva l andamnto riportato d i fatti ch (a) l intnsità total (radianza intgrata) aumnta con la tmpratura scondo la lgg di Stfan, I=σT 4 (σ= W/m 2 K 4 è la costant di Stfan-Boltzmann) (b) all aumntar dlla tmpratura il massimo di radianza si sposta vrso piccol lunghzz d onda (alta frqunza: riscaldanto un corpo passa dal rosso al giallo, da 700 nm a 500 nm), scondo la lgg dllo spostamnto di Win, λ max T=c w = m K. Pr ottnr una radianza indipndnt dal tipo di matrial si ffttuano l misur adottando un sistma di rifrimnto dtto corpo nro: il foro aprto in una cavità dalla qual la radiazion non vin prssoché rimssa ma solo assorbita. La dscrizion classica dl fnomno è riassunta ni sgunti passi: (a) la cavità è rimpita da ond /m stazionari in quilibrio con l parti; (b) il numro di ond stazionari con lunghzz d onda comprs fra λ λ+dλ nl volum V è dato da dn=n(λ)dλ=8πv dλ/λ 4 ; (c) dalla trmodinamica classica, ogni onda apporta un contributo nrgtico kt in virtù dllo scambio all quilibrio con gli oscillatori atomici dll parti; (d) dall quazioni di Maxwll, si ricava ch la radianza è sprimibil tramit la dnsità di nrgia /m u(λ) tramit la R(λ)=cu(λ)/4; () la dnsità è data dal numro di ond pr volum pr l nrgia associata ad ogni onda, dunqu u(λ)=8πkt/λ 4 la radianza risulta pari a R(λ)=2πckT/λ 4. Qust sprssion è la lgg di Rayligh-Jans prvd ch R(λ) pr λ 0, compltamnt contro l vidnza sprimntal. Si parla di catastrof ultravioltta. La risposta è data da Planck nl 1900, ch trova il modo di ridurr l vidnt sovrastima dlla componnt ad alta frqunza: s ci sono tropp ond con bassa λ ciò è da imputarsi al fatto ch troppi atomi ad alta frqunza (nrgia) intragiscano con la radiazion. Ipotizza dunqu ch gli atomi scambino nrgia con la radiazion in modo discrto, scondo quanti di nrgia proporzionali alla frqunza dlla radiazion. La loro nrgia massima è comunqu kt, quindi qusto risolv la catastrof ultravioltta. Gli oscillatori dunqu scambiano quanti di nrgia multipli di hν, E=nhν, n=1,2,, trasportati da fotoni (ch quindi hanno ancora momnto p=h/λ). Il calcolo basato su qusta ipotsi conduc alla nuova formula di Planck pr la radianza di corpo nro: 2πc hc / λ R ( λ) =, 4 hc / λkt λ 1 in total accordo con l sprimnto. Qusta formula prmtt di confrmar la lgg di spostamnto di Win, stabilita la massima lunghzza d onda ad una data tmpratura, collgar la costant h con qulla di Stfan-Boltzmann, σ=(2π 5 k 4 )/(15c 2 h 3 ). Il risultato pr h è in ottimo accordo con misur di h ffttuat con l fftto fotolttrico da Millikan. Si ha dunqu un altra vidnza sprimntal modllizzazion torica consistnt dll inadguatzza dlla dscrizion ondulatoria dlla radiazion /m a favor di una natura corpuscolar quantizzata. R(λ) T 3 T 2 T 1 λ Fondamnti MQ - 3

4 4. Altri fnomni a favor dlla natura corpuscolar dlla radiazion lttromagntica 4.1 Efftto Compton Si considra l intrazion fra luc (fotoni) matria (lttroni dbolmnt lgati ad atomi). L sito sprimntal non è supportato da una trattazion ondulatoria, pr cui si considra una dscrizion puramnt corpuscolar, di urto fra particll (fotoni d lttroni). Si applicano l rgol consut di consrvazion (nrgia quantità di moto). La consrvazion dll nrgia vin scritta E+mc 2 =E +E, dov E, E sono l nrgi cintich dl foton prima dopo l urto (E=hν=hc/λ d E =hν =hc/λ ), mc 2 è l nrgia (a riposo) dll lttron prima dll urto d E la sua nrgia (rlativistica) dopo l urto. La consrvazion dlla quantità di moto è data da hν, p p = p cosθ + p cosφ (lungo x) 0 = p sinθ p sinφ (lungo y), dov p, p sono l quantità di moto dl foton prima dopo l urto (p=h/λ, p =h/λ ) p è il momnto dll lttron dopo l urto. La risoluzion di qust tr quazioni, tnndo prsnt ch val la E 2 =p 2 c 2 +m 2 c 4, conduc al risultato λ λ =λ C (1 cosθ), dov λ C =h/(mc)= nm è dtta lunghzza d onda Compton. In pratica, in un sprimnto di intrazion com qullo dscritto si ossrva radiazion diffusa (dviata) ad un angolo θ con lunghzza d onda ridotta scondo l sprssion sopra riportata. Il valor dlla lunghzza Compton prmtt ancora una stima dlla costant di Planck, di nuovo in accordo con l misur fotolttrich di corpo nro. 4.2 Radiazion di frnamnto produzion di raggi X hν, p φ θ Si invst un matrial con un fascio di lttroni nrgtici: l intrazion con il mzzo provoca un frnamnto d una consgunt mission di radiazion lttromagntica (brmsstrahlung, raggi X) ancora una volta govrnata dall lggi di quantizzazion dlla radiazion stssa. E una situazion opposta all fftto fotolttrico: si hanno urti di lttroni su atomi ch librano fotoni con nrgia (massima) data da hν=t (nrgia cintica dgli lttroni) dunqu hν=v, dov V è il potnzial acclrant dgli lttroni. V hν A X 4.3 Produzion/annichilazion di coppi Si tratta di convrsion pura nrgia/massa nl procsso + + foton scondo la razion hν 2mc2=1.02 MV. L particll crat/distrutt sono coppi matria/antimatria. Fondamnti MQ - 4

5 5. Punti di arrivo di partnza pr una nuova fisica Scondo la nuova vision iniziata da Planck formalizzata da Einstin la radiazion lttromagntica, ngli sprimnti sopra dscritti ha l sgunti proprità: (a) va intsa com quanti, pacchtti d nrgia dtti fotoni; (b) i fotoni viaggiano con vlocità c; (c) sono privi di massa a riposo; (d) trasportano nrgia hν=hc/λ momnto p=hν/c=h/λ ; () vngono crati/distrutti in procssi di intrazion radiazion/matria; (f) si comportano com particll in collisioni con lttroni o altr particll matriali. L diffrnz risptto la trattazion ondulatoria sono assolutamnt drastich. Rsta comunqu il fatto ch in altr classi di sprimnti la radiazion lttromagntica prsnta unicamnt carattristich ondulatori, com nll sprinza dlla doppia fnditura di Young. A tal proposito, è ssnzial sottolinar ch in qusto sprimnto la vision corpuscolar di fatto prvd ch il foton passi o in una o nll altra fnditura, mntr la vision ondulatoria richid ch la radiazion, pr condurr ad intrfrnza, passi attravrso ntramb l fnditur. E possibil stabilir ch qusta dualità onda-particlla non è scindibil a sconda dll sprimnto ffttuato, ma è una carattristica intrinsca dlla radiazion: ssa non è né onda né particlla, ma di qust du natur prsnta l carattristich a sconda dl tipo di indagin su di ssa ffttuata sparatamnt d incompatibilmnt. Il trmin più adatto pr dscrivr qusta situazion (ch sfugg all possibilità prcttiv dl snso comun) è complmntarità dll natur ondulatoria corpuscolar. E anch possibil pnsar ai procssi di mission rilvazion dlla radiazion in trmini unicamnt corpuscolari (intrazion foton/particlla) d al procsso di propagazion d vntualmnt intrfrnza dall fnditur in trmini unicamnt ondulatori. La conclusion è ch l ossrvazion dll figur di intrfrnza corrispondono alla corrispondnza fra intnsità dll onda lttromagntica (proporzional al modulo quadrato dll ampizza di campo lttrico dll onda) con la probabilità di ossrvar fotoni sullo schrmo. Qusta connssion è alla bas dl funzionamnto quantistico di tutti i fnomni fisici, non solo qulli riguardanti la radiazion lttromagntica lga in modo splicito gli asptti ondulatori (intnsità dll onda) corpuscolari (contggio mdio di fotoni). La gnralizzazion di qusto schma richid una sri di ipotsi alla bas di una una scinza fisica dtta mccanica quantistica o ondulatoria. 6. Proprità ondulatori dlla matria L. D Brogli nl 1924 ipotizza ch il dualismo onda/particlla stabilito pr la radiazion lttromagntica va stso ad ogni forma di matria. Si associa ad ogni particlla con momnto p un onda di lunghzza λ=h/p, λ è dtta lunghzza d onda di D Brogli. Il salto concttual è norm: si tratta di accttar ch la matria, in dtrminat circostanz, prsnta l carattristich tipich dll ond, ovvro può dar luogo ad fftti intrfrnziali, si dlocalizza nllo spazio nl tmpo, vi sono diffrazioni, riflssioni parziali, così via. Sarà anch ssnzial prpararsi ad affrontar argomntazioni di natura tipicamnt statistica, s si vorranno conciliar in modo consistnt i du strmi dl dualismo di qusta toria. La lughzza d onda di D Brogli non è sprimntalmnt accssibil pr sistmi macroscopici a causa dlla piccolzza di h: una particlla di polvr (m=10 9 g) ch viaggia a 1 cm/s conduc a λ= m. Un lttron di nrgia 1 V ha λ=1.2 nm, cioè sprimntalmnt accssibil. Fondamnti MQ - 5

6 Domanda cntral: cos è l onda di D Brogli? Qual è il suo significato fisico? Una prima riposta può ssr: l onda di D Brogli è qulla ch si manifsta ogni volta ch ffttuiamo su una particlla un sprimnto ch n possa rilvar la sua natura ondulatoria. Visti i valori sopra citati, l sprimnto in qustion dovrà riguardar oggtti submicroscopici: nll sprinza di Young ci si aspttano massimi di intrfrnza spaziati com λd/d: siccom D/d è dll ordin di al più , non sarà possibil ossrvar intrfrnza di D Brogli pr un automobil o pr qualcosa comunqu mno ondulatorio di un atomo. Prima vidnza sprimntal dll ipotsi ondulatoria dlla matria: misur di intrfrnza di lttroni su cristalli (usati com rticoli naturali) ad opra di Davisson Grmr (1926) Thompson Jr. (1927). Si ottin un valor di h in ccllnt accordo con i dati rlativi all ipotsi corpuscolar dlla radiazion /m (fotolttricità, corpo nro ). L ipotsi di D Brogli va stsa comunqu a tutt l particll (non sono gli lttroni). L difficoltà pr la ralizzazion sprimntal di misur di intrfrnza da fnditura doppia sono stat suprat solo di rcnt. Ora si ossrvano intrfrnz di nutroni, atomi, cc. lo studio dlla diffrazion di particll di varia natura è ora tcnica assstata di indagin dlla matria atomica subatomica. Val un principio di complmntarità anch nl dualismo onda/corpuscolo di D Brogli: non è possibil ossrvar simultanamnt ntramb l natur dlla particlla, ma ntramb contribuiscono a dfinir la sostanza dl sistma. In un sprimnto di Young pr lttroni, nl momnto ch si crca di stabilir in qual dll du fnditur passino gli lttroni, si distrugg la figura intrfrnzial (stabilir la fnditura di passaggio quival a rivolgr l attnzion all asptto corpuscolar dll lttron). L intrfrnza si ossrva solo in condizioni di assnza di intrss pr qust ultimo asptto (ch dunqu non può ssr spcificato oltr una crta misura o prcision, com vdrmo fra poco parlando di principio di indtrminazion). 7. Rlazioni di indtrminazion classich di Hinsbrg In un onda piana la lunghzza d onda (o il numro d onda, k) sono prfttamnt dfiniti, l onda è totalmnt dlocalizzata nllo spazio. Non smbra dunqu 2 adatta a dscrivr una particlla nl snso di D Brogli. 1.5 A prscindr da qusto asptto, è praltro chiaro ch 1 sovrapponndo du ond pian di divrsa lunghzza d onda 0.5 si assist ad un fnomno più o mno marcato di 0 battimnto : l onda risultant tnd priodicamnt a -0.5 localizzarsi in corrispondnza dll intrfrnz -1 costruttiv. Aggiungndo altr lunghzz d onda la -1.5 sovrapposizion tnd smpr più a concntrarsi, fino ad assumr l asptto di un pacchtto localizzato in una zona di ampizza x. La posizion vin dtrminata 10 smpr mglio a sps dlla lunghzza d onda, in modo ch 8 x k 1: s l onda è poco sparpagliata, è difficil 6 4 ottnr una stima prcisa dlla sua lunghzza d onda 2 vicvrsa. Lo stsso discorso è fattibil nl dominio dl 0 tmpo: pr un onda viaggiant, la dtrminazion prcisa -2 dlla frqunza tmporal richid un tmpo lungo di -4-6 riptizioni ciclich ovvro, s l onda dura poco tmpo, la -8 sua frqunza sarà mal dtrminata. Dunqu t ω 1. Fondamnti MQ

7 E ora possibil stndr qust rgol di indtrminazion all onda di D Brogli con fondamntali consgunz nlla comprnsion fisica dl modllo ondulatorio dlla matria. Si scriv p = h/λ = (2πh)/( 2πλ) = ħk; dalla k x 1 si ottin p x ħ. Analogamnt, si scriv E=hν=(2πhν)/(2π)=ħω; dalla ω t 1 si ottin E t ħ. Qust du rlazioni costituiscono la forma (rispttivamnt spazio-momnto d nrgia-tmpo) dl principio di indtrminazion di Hisnbrg. In pratica sso stabilisc l impossibilità di dtrminar simultanamnt con prcision assoluta posizion vlocità (nrgia tmpo) di una particlla. L implicazioni sono profond: è facil accttar comprndr l indtrminazion spazial di un onda dl mar (vist l argomntazioni classich sull ond pian sopra dscritt), ma pr una particlla matrial qusto è molto più complicato comunqu al di fuori dlla portata dl snso comun. Di fatto è la natura stssa ch impon un limit all accuratzza con la qual possiamo ffttuar misur. Considrando ad smpio un lttron con vlocità lungo x pari a m/sc, nota con prcision dll 1%, la prcision nlla posizion lungo x è stimata a partir da: p x = Kg m/s, p x = Kg m/s, x ħ/ p x = m (circa 10 diamtri atomici). Pr comprndr più a fondo la procdura associata all applicazion dll indtrminazion di Hisnbrg richiamiamo l ida fondamntal ch a partir da un onda piana (totalmnt dlocalizzata spazialmnt) è possibil costruir un pacchtto localizzato su un stnsion x ch di fatto stabilisc un indtrminazion nll assgnazion dl momnto, ossia dlla lunghzza d onda tramit la rlazion di D Brogli: l indtrminazion richid la costruzion di un pacchtto d ond con disprsion in lunghzza d onda. Partndo da du ond viaggianti con numri d onda k 1, k 2 pulsazioni ω 1, ω 2, la loro sovrapposizion può ssr scritta com inviluppo dl tipo y 1 +y 2 =cos[(x k t ω)/2]cos[(k 1 +k 2 ) x/2 (ω 1 +ω 2 ) t/2]. Si ossrva ch l inviluppo avanza con vlocità di gruppo v g = ω/ k, ch nl limit dlla sovrapposizion continua di infinit ond divnta v g =dω/dk (ogni componnt d onda piana ha invc vlocità di fas data da ω/k). Nl caso dl pacchtto d ond associato alla rapprsntazion di D Brogli, ricaviamo ch dω dω de dp 1 de de v g = = =! =. dk de dp dk! dp dp Pr una particlla non rlativistica con solo nrgia cintica, E=T=p 2 /(2m) dunqu v g =v, ch dunqu spiga il significato fisico primario dlla rapprsntazion a pacchtto dlla particlla. Qual l influnza dll indtrminazion di Hinsbrg sull procdur di misura? S si prpara un sistma fisico in un crto modo, potrmo misurar grandzz rilvanti ntro la loro indtrminazion. Riptndo la misura si ottrranno valori diffrnti, anch s lo stato inizial dl sistma è lo stsso. Si vidnziano dunqu forti connssioni con la toria dlla probabilità statistica: è impossibil prvdr il singolo vnto, ma con tant misur (o con tanti sistmi guali) si giung ad una distribuzion di probabilità. La mccanica quantistica fornisc l apparato matmatico pr calcolar tali distribuzioni. C è una diffrnza critica fra statistica mccanica quantistica: nlla prima l indtrminismo è causato dalla incomplta conoscnza dl sistma all inizio, nlla sconda l indtrminismo è intrinsco alla natura, insuprabil. L ampizza dll onda di D Brogli è collgata alla probabilità di trovar la particlla: così com la probabilità di trovar il foton di Planck è proporzional al modulo quadro dll ampizza dl campo lttrico dll onda, la probabilità quantistica è proporzional al modulo quadro dll ampizza d onda di D Brogli. Fondamnti MQ - 7

8 8. ESERCIZI (a) Calcolar l nrgia d il momnto di un foton rosso, con lunghzza d onda λ=650 nm calcolar la lunghzza d onda di un foton con nrgia pari a 2.0 V (b) Sapndo ch il potnzial d strazion dl tungstno è φ=4.52 V, dtrminar la frqunza di taglio fotolttrica pr qusto mtallo, la massima nrgia cintica di fotolttroni quando la radiazion ha lughzza d onda di 200 nm d il potnzial frnant in qusto caso. (c) Utilizzando la lgg di Win, calcolar la lunghzza d onda alla qual un oggtto a tmpratura ambint (T=20 C) mtt la massima radiazion trmica stabilir fino a qual tmpratura va riscaldato l oggtto prché si prsnti di color rosso (λ=650 nm). (d) Ricavar splicitamnt la rlazion di Compton pr la diffusion lastica di fotoni da lttroni dbolmnt lgati. () Raggi X di lunghzza d onda 0.24 nm sono diffusi scondo la rlazion di Compton il fascio diffuso è ossrvato ad un angolo di 60 risptto la dirzion di incidnza. Calcolar la lunghzza d onda di raggi X diffusi, l nrgia di fotoni X diffusi, l nrgia dgli lttroni diffusi la loro dirzion risptto qulla d incidnza. (f) Stimar l lunghzz d onda di D Brogli pr (a) un automobil dal pso di 1000 kg ch viaggia a 100 km/h (b) un proton con nrgia di 150 MV. (g) Una palla da biliardo di massa m=100 g è frma su un piano ntro la lunghzza di 1 m. Pr il principio di indtrminazion possiamo ammttr ch in raltà la biglia abbia una piccola vlocità. Calcolarn il valor commntar il risultato. Lttur consigliat Trnt anni ch sconvolsro la fisica G. Gamow Zanichlli Corso di Fisica Gnral 5. Fisica Atomica D. V. Sivuchin Edizioni MIR La fisica di Fynman Vol. III Fynman, Lighton, Sands Fondamnti MQ - 8