OPZIONE SPECIFICA FISICA ED APPLICAZIONI DELLA MATEMATICA

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1 Lico Cantonal Lugano Vial C Cattano 4 CH-6900 Lugano Lugano, giugno 00 ESAME SCRITTO DI MATURITÀ 009/00 OPZIONE SPECIFICA FISICA ED APPLICAZIONI DELLA MATEMATICA Durata dll sam: Tr or (dall 0800 all 00) Sussidi ammssi: -calcolatric tascabil snza schrmo grafico, non rogrammabil snza calcolo simbolico -riassunto rsonal manoscritto di 5 fogli A4 al massimo -raccolt di formul (tsti ufficiali) Valutazion: I quattro roblmi hanno lo stsso so ai fini dlla valutazion Con l quivalnt di tr srcizi risolti corrttamnt intgralmnt si ottin il voto 6

2 / L srcizio è comosto di du arti indindnti Modllo iottico r gli stati oscillanti di un gas Scondo un iottico modllo, ogni molcola di un dtrminato gas G cambia, di minuto in minuto, casualmnt tra du stati oscillanti A o B La matric di transizion corrisondt è data da 0,8 0,3 T = 0, 0,7 a) Considra il caso in cui una molcola dl gas G si trova nllo stato A Dtrmina il corrisondnt vttor di stato u 0 intrrta il significato gomtrico fisico di T u 0 b) Rarsnta il diagramma di transizion rlativo al cambiamnto dgli stati oscillanti dll molcol di G c) Giustifica ch la matric è stocastica dtrminan gli sazi rori d) Esrimi il vttor di uno stato inizial com combinazion linar di vttori rori studia la convrgnza dl sistma a lungo andar Rarsnta nl sistma di rifrimnto Oxy l voluzion dl sistma Calcola il vttor dlla distribuzion limit (stazionaria) intrrtan il significato gomtrico fisico 0,8 ) Com occorr scglir i aramtri q nlla matric T = in modo tal ch la 0, q molcola, a lungo trmin, si trovi con gual robabilità in uno di du stati? Rarsnta il diagramma di transizion r qusto caso intrrtalo dal unto di vista fisico Oscillator armonico numri comlssi Considra la funzion f : R C ϕ cosϕ + i sinϕ = i ϕ d dϕ iϕ a) Vrifica ch ( cosϕ i sinϕ ) È data l quazion diffrnzial y ( t) y ( t) d = + (drivar formalmnt con i = costant) dϕ + 4 = 0 b) Dtrmina r quali valori di m la funzion ( ) mt ( ) diffrnzial \{ 0} A R y t = A è una soluzion dll quazion mt c) Vrifica ch la art immaginaria la art ral di y ( t) A =, così com la combinazion linar dll du, sono tutt soluzioni dll quazion diffrnzial Lico di Lugano Esam di maturità 00 OS FAM

3 / Efftto Comton L fftto Comton è un fnomno di diffusion intrrtabil com l urto (lastico) tra un foton con un lttron di un atomo ch uò ssr considrato com inizialmnt a rioso libro I fotoni ossono ssr immaginati com articll, dotat di quantità di moto di nrgia ma anch da una lunghzza d onda bn dfinita Essi urtano dgli lttroni rsnti ngli atomi brsaglio cdono loro una art di nrgia, dviandoli fuori dall atomo a vlocità rlativistich L lggi di consrvazion dll nrgia dlla quantità di moto rmttono di studiar il fnomno scorto nl 9 da Arthur Comton, rmio Nobl r la fisica nl 97 λ i y φ v λ f θ = 30 x Analogia di un urto tra articll con inoltr fot = h λ lttron Efot = h c λ L lttron, inizialmnt a rioso, doo l urto art con una vlocità v, di oco infrior alla vlocità dlla luc, in una dirzion ch comi un angolo θ com mostrato nlla figura Il foton incid contro l lttron nlla dirzion Ox, con un nrgia Efot = h c λ una quantità di moto di modulo 34 = h λ La costant di Planck val h = 6,66 0 J s mntr la vlocità dlla luc è fot c =,998 0 m s 8 a) Il foton incidnt ha una lunghzza d onda λ i = 3,0 0 m Calcola la quantità di moto final fot,f dl foton diffuso, quindi la sua lunghzza d onda λ f la misura dll angolo φ, sando ch l lttron ossid doo l urto una quantità di moto di modulo =, 49 0 N s un angolo θ = 30 h m c b) Vrifica la soluzion rcdnt, calcolando λ f, con la rlazion λ = ( cosφ ) 3, dov m = 9,09 0 kg è la massa a rioso dll lttron Trova infin la variazion rlativa λ λ c) Tramit la consrvazion dll nrgia, calcola l nrgia cintica dll lttron il modulo dlla sua vlocità v = v doo l urto Usa r qusto scoo la rlazion dll nrgia cintica (rlativistica) E m c ( γ ) v = con il fattor γ = c cin d) Calcola, tramit λ, l nrgia dll lttron qualora l angolo φ dimzzass Lico di Lugano Esam di maturità 00 OS FAM

4 3/ Rgrssion linar La scarica di un condnsator, di caacità C, in un circuito ha fornito l sgunti misur r la tnsion U ai cai dl condnsator in funzion dl tmo t [s],0 4,0 6,0 8,0 0,0 U [V] 68, 45,0 9,7 9,8 3, U [V] t [s] a) Ricava, arossimativamnt, dal grafico la lgg sonnzial ( ) 0 t U t = U b) Pr facilitar il calcolo, modifica nlla tablla la variabil indindnt dl tmo scondo la t 6 trasformazion linar x = Eslicita il vttor x c) Mdiant rgrssion, dtrmina la lgg sonnzial ( ) 0 t U t = U ch mglio arossima i dati srimntali, ossia trova i valori di U 0 di α = d) Dtrmina la tnsion inizial ( ) 0 U ( t ) r t = s U 0 = U ai cai dl condnsator d straola la tnsion ) Data la matric P = Vrifica ch i vttori vttori rori di P x = 0 u = sono La domanda sgunt è facoltativa (bonus) Nlla valutazion global si trrà conto soltanto dll vntual risosta corrtta f) Dtrmina, utilizzando il mtodo di liminazion di Gauss, il nuclo kr ( P ) di P Motiva rché P rarsnta una roizion ortogonal sul sottosazio vttorial tso dai vttori x u Dtrmina i numri rali β γ dlla combinazion linar data da P U = U = β x + γ u srimntal torico Lico di Lugano 3 Esam di maturità 00 OS FAM

5 4/ Favonio Il favonio è un vnto caldo ch scnd ssso nll nostr valli a sud quando sul vrsant nord dll ali l corrnti umid, salndo raffrddandosi, roducono dll coios iogg Nl modllo di atmosfra adiabatica non solo la rssion ma anch la tmratura diminuisc con la quota Quando l aria raffrddandosi raggiung il livllo di condnsazion, il vaor in ccsso forma l nuvol cad in forma di ioggia La condnsazion dl vaor libra una grand quantità di calor ch riscalda l aria Pr risolvr il roblma in modo smlic trascuriamo l variazioni dl calor scifico dlla dnsità dll aria dovut alla rsnza dl vaor acquo L aria, tanto o oca umida, salndo si sand adiabaticamnt scondo la lgg V γ = costant con γ = c c =, 4 Suoniamo ch l altiiano a nord sia situato a una altzza di rifrimnto h 0 = 0 m, ch la tmratura dll aria umida sia T 0 = 0 C = 93 K ch la rssion sia 0 = 96, kpa a) Vrifica la lgg V ( γ ) γ T = costant r una trasformazion adiabatica, artndo dalla consuta rlazion V γ = costant dall quazion di stato V = n R T Poi, sando ch il vaor comincia a condnsarsi quando l aria raggiung la rssion = 83,8 kpa, calcola la tmratura corrisondnt T b) La tmratura diminuisc linarmnt con la quota h scondo la lgg T ( h) T0 α h ( γ ) γ Calcola la funzion invrsa ( ) =, dov α = Maria g R con M aria = 9 0 kg mol h T la quota h corrisondnt al livllo di condnsazion c) Si suon, r smlificar, ch il vaor condnsi tutto alla stssa quota h Sando ch si Lico di Lugano 4 Esam di maturità 00 OS FAM 3 condnsano 3,33 grammi di vaor r chilogrammo di aria, con Qcond = mva Lcond '500 kj kg L cond =, calcola la nuova tmratura,cond condnsazion riscalda l aria scondo la consuta lgg scifico r unità di massa dll aria è '005 J ( kg C) T,cond T 0 3 T = T + T Il calor rodotto dalla Q = m c T, dov il calor c = In sguito si suon ch l aria, riscaldata dalla condnsazion, si sanda adiabaticamnt fino alla cima h dov la rssion è = 67,0 kpa Calcola quindi la tmratura T in vtta d) L aria ridiscnd lungo il vrsant sud snza subir altr trasformazioni oltr la comrssion adiabatica Calcola la tmratura T 3 dll aria alla mdsima quota inizial h 0 dov la rssion 3 = 0 d ( h) ) Utilizzando la condizion di quilibrio dll atmosfra = ρ ( h) g conoscndo la dh γ ( γ ) M funzion rssion ( ) 0 aria g γ h = h, calcola la dnsità dll aria R T0 γ ρ la dnsità ρ ( h) in funzion dlla quota Calcola infin la dnsità inizial dll aria ( ) minima sulla vtta, '950 m iù in alto dl fondovall, ossia ρ ( h = '950 m) h 0