ESERCIZI SUI TEST D IPOTESI

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1 ESERCIZI SUI TEST D IPOTESI 1. Uno studio vuole stabilire l influenza dell alimentazione vegetariana delle madri rispetto al sesso dei nascituri. Su 600 donne si sono verificati i dati nella seguente tabella di contingenza: Alimentazione\ Sesso Femmine Maschi Vegetariana Onnivora a. Effettuare un test per stabilire se la diversa alimentazione delle madri influisce sul sesso dei figli. b. Sapreste dire fra quali due valori è compreso il p value? 2. (Tema d esame giugno 2003) Una software house fornisce un generatore di numeri casuali con distribuzione N (0, 1) e indipendenti. Generiamo 100 numeri con questo generatore e otteniamo: 13 numeri 1, 31 in ( 1, 0], 40 in (0, 1], e 16 > 1. Effettuare un test di livello 0.05 per stabilire se è plausibile che il generatore faccia ciò che dichiara la software house. 3. (Tema d esame giugno 2003) Ad un ballottaggio si scontrano il candidato A e il candidato B. In un sondaggio elettorale si intervistano 1000 persone e si ottiene che di queste 453 dichiarano di voler votare per il candidato A, 547 per il candidato B. a. Determinare le forchette, attendibili al 99%, per le proporzioni di elettori dei due candidati (si tratta di due intervalli di confidenza). b. Utilizzando i dati iniziali (453 per A, 547 per B), impostare ed eseguire un test di livello 0.01 avente come ipotesi nulla B perde le elezioni. c. Stimare il p value del test. 4. (Tema d esame ottobre 2003) La B.A.R.T. (nome inventato!) è una malattia cronica per cui attualmente non si conoscono cure. Tuttavia essa presenta remissioni spontanee: su un campione di pazienti si sono osservate 60 remissioni. 1

2 Per sperimentare l efficacia di una nuova cura, vi si sottopone un campione di 900 pazienti. Dopo sei mesi si sono verificate 8 remissioni. Si può dire che la cura sia efficace? Impostare un test e stimarne il p value. 5. Si suppone che la glicemia dei pazienti prediabetici (cioè con glicemia vicina ai livelli massimi dell intervallo di normalità) segua una legge normale con media 130. Si sperimenta su 100 di questi pazienti una cura con un nuovo farmaco che dovrebbe abbassare la glicemia. Si ottiene una glicemia media x 100 = Il farmaco è efficace? a. impostare un test al livello α = 0.05 per evidenziare l efficacia del farmaco supponendo che la varianza sia 49; b. eseguire il test appena individuato; c. ripetere il test nel caso in cui la varianza sia incognita e la varianza campionaria sia s = 45; d. quanto vale il p-value del test? 6. Una stazione metereologica afferma che le proprie previsioni (fornite giorno per giorno) sono corrette nell 80% dei casi. In un anno (=365 giorni) le previsioni si sono rivelate sbagliate in 89 giorni. I metereologi affermano che si è trattato di sfortuna mentre un associazione di agricoltori ritiene che i metereologi siano meno capaci di quanto affermano e chiede loro i danni per i raccolti perduti. A chi darebbe ragione un giudice? (Scegliere un modello statistico ed un ipotesi nulla opportuni; impostare un test al livello α = 0.01 che consenta al giudice di emettere un verdetto; ed eseguire il test appena individuato). 7. Marco e Giovanni giocano ogni mattina a testa e croce per decidere chi pagherà il caffè. Se esce testa paga Marco, se esce croce paga Giovanni. La moneta è fornita da Giovanni. Marco tuttavia sa che Giovanni è in possesso di diverse monete truccate e, visto che in 60 giorni ha dovuto pagare il caffè per 38 volte, accusa Giovanni di usare una moneta con propensione a dare testa. A chi darebbe ragione un giudice? a. Scegliere un modello statistico ed un ipotesi nulla opportuni; impostare un test al livello α = ed eseguire il test appena individuato. 2

3 b. Fino a che livello il giudice emetterebbe lo stesso verdetto? 8. L azienda di materiale elettronico Cortocircuito produce circuiti stampati. Viene avanzata l ipotesi che la v.a. X che descrive il numero di difetti presentati dai circuiti segua una distribuzione di Poisson. Per verificare tale ipotesi si estrae un campione di 60 circuiti e, per ciascuno di essi, si osserva il numero di difetti che presenta. Il risultato è riassunto nella seguente tabella: Numero difetti Frequenza osservata In base a questi dati, si può ritenere al 5% che X segua una legge di Poisson? Com è definito il p-value del test? Cosa possiamo dire circa il suo valore? 9. Arturo Cecato, è un giocatore di freccette accanito, ma piuttosto incapace e pericoloso. In una serata tipica (10 partite) il numero di persone colpite dai suoi tiri fuori bersaglio è notevole. La seguente tabella riassume le sue imprese relative a 75 serate Persone colpite Frequenza assoluta È plausibile assumere che il numero di persone colpite segua una legge di Poisson di parametro 6? In caso negativo, possiamo concludere che la legge non sia una Poisson? 10. Il signor Ercole Maciste, titolare della omonima ditta di martinetti idraulici, vuole analizzare la durata del modello Ercolissimo in commercio da ben 5 anni. Si analizza un campione di 100 martinetti di cui si è appena rotto l ultimo ottenendo la seguente tabella che riporta i tempi intercorsi dalla consegna al guasto (calcolati in settimane). 3

4 Tempo intercorso X Frequenza assoluta 0 X < X < X < X < X < X < X È possibile affermare che il tempo di vita dell apparecchio in questione segua una legge esponenziale? Qual è il tempo di vita medio? 11. Nella sessione di esami gli studenti hanno ottenuto punteggi finali che sono stati raccolti in quattro categorie D, C, B e A rispettivamente con frequenza 40%, 30%, 20% e 10%. In un campione di 2500 studenti che hanno sostenuto sostenuto lo stesso esame nella sessione si sono osservate le seguenti frequenze: Punteggio Frequenza osservata D 1170 C 585 B 405 A 340 Al livello di significatività dell 1% si può concludere che questo gruppo sia omogeneo all insieme degli studenti dell anno precedente? 12. Si suppone che la v.a. X che misura il tempo medio di vita (in mesi) delle lampadine della ditta Bulbo Incandescente segua una legge esponenziale. Su un campione di 100 lampadine si sono osservate le seguenti durate Frequenza osservata X < X < X < X < X

5 Si stimi il parametro λ della legge e si appronti un test adatto a valutare l adattamento della legge trovata. 13. Ad un campione di 150 persone sono stati chiesti il colore e l animale preferiti. La seguente tabella mostra i risultati: Rosso Blu Verde giallo Totale Gatto Cane Cavallo Totale Ci chiediamo se il colore preferito si possa ritenere indipendente dall animale preferito ad un livello di significatività del 12%. 14. Da uno studio condotto su un campione di 1423 individui di 32 anni, di cui 849 primogeniti, si è appurato che ben 115 sono in possesso di una laurea e 543 si sono fermati al diploma di scuola superiore. Dei rimanenti, 84 possiedono una laurea, mentre il numero di coloro che si sono fermati al diploma di scuola superiore è 403. Da questi dati si può desumere l indipendenza tra primogenitura e grado di istruzione? 5