Laboratorio di Probabilità e Statistica

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1 Laboratorio di Probabilità e Statistica lezione 7 Massimo Guerriero Ettore Benedetti

2 Indice Lezione Prerequisiti dalla lezione scorsa Intervallo di confidenza per le proporzioni Verifica di ipotesi sulle proporzioni Verifica di ipotesi per due proporzioni

3 Prerequisiti dalla lezione scorsa Intervallo di confidenza per la media Come si modifica l intervallo al variare di alfa, n ed s.d. Verifica d ipotesi sulla media Test a una o due code (dx e sx) Confronto tra le medie di gruppi Verifica di ipotesi di indipendenza Capacità di astrarre le dovute considerazioni e conclusioni

4 Ripasso Binomiale La variabile casuale di Bernoulli è una variabile casuale discreta che può assumere solo due valori: 0 e 1 con probabilità p ed 1-p. E un caso particolare della variabile casuale binomiale, la quale descrive in generale il numero di successi che si possono ottenere in n prove di Bernoulli. Es. Probabilità di successo per 10 esperimenti bernulliani con p=0.3 media = np varianza = np(1-p)

5 Intervallo di confidenza per le proporzioni 1/4 Gli intervalli di confidenza per le proporzioni forniscono un campo di variazione centrato sulla media campionaria p (proporzione stimata) all interno del quale ci si aspetta di trovare il parametro incognito p. (proporzione esatta) Per la variabile casuale Binomiale, in virtù del teorema del limite centrale, si ricava che, per n elevato: Z = p n p p(1 p) n N(0,1) Quindi l intervallo di confidenza per p ha il seguente aspetto: p p n ± z 1 α 2 p(1 p) n

6 Intervallo di confidenza per le proporzioni 2/4 L intervallo di confidenza mostrato non è possibile calcolarlo in alcun caso essendo p incognito. Ci sono quindi diverse strade percorribili: Primo metodo approssimato Sostituiamo il valore p con la sua stima p n e, per la legge dei grandi numeri, si è fiduciosi che l intervallo trovato sia approssimativamente di livello 1-α. In R: prop.test(x=n p n, n=n, corr=false) Secondo metodo approssimato Utilizziamo un fattore di correzione. In R: prop.test(n p n, n)

7 Intervallo di confidenza per le proporzioni 3/4 Il metodo esatto R permette di eseguire un test esatto ricorrendo alla distribuzione binomiale, anziché alle differenti approssimazioni asintotiche. binom.test(n p n, n) Es. Dopo la chiusura dei seggi, gli elettori, chiamati ad esprimersi su un quesito referendario, attendono l esito della consultazione. Lo spoglio parziale di n schede rappresentative del totale, ha fornito il seguente risultato: 51% Sì 49% No Determiniamo l intervallo di confidenza al 95% della percentuale di «Sì» supponendo n=2500.

8 Intervallo di confidenza per le proporzioni 4/4 Siamo quindi confidenti al 95% che, alla fine dello spoglio, la percentuale dei «Sì» si troverà nell intervallo di confidenza trovato.

9 Consegna 1. Utilizzare il comando prop.test per verificare quanto discosta dal metodo esatto. 2. Sulla base dei risultati parziali dei seggi (51% Sì, 49% No), si calcoli la probabilità che il Sì vinca con n=2500, n=1000 ed n=500. Si ricorda che il Sì vince se si raggiunge la metà più 1 dei voti

10 Indice Lezione Prerequisiti dalla lezione scorsa Intervallo di confidenza per le proporzioni Verifica di ipotesi sulle proporzioni Verifica di ipotesi per due proporzioni

11 Verifica di ipotesi sulle proporzioni 1/5 Vogliamo rispondere a questa domanda: disponendo di un campione di numerosità limitata con probabilità p associata a un certo evento, si può affermare che tale campione è proporzionato, per quell evento, all intera popolazione che ha probabilità p 0 per quell evento? Per condurre il test si devono effettuare i seguenti tre passi: 1. Si fissa il "tasso accettabile di rischio" α. Es. α = 0, Si estrae il campione dalla popolazione e si determina la media campionaria 3. Si individua l'intervallo di confidenza ad 1- α mediante la variabile z Z = p p 0 p0(1 p0) n N(0,1)

12 Verifica di ipotesi sulle proporzioni 2/5 Se z è compreso nell'intervallo di confidenza trovato NON si può affermare che p sia diverso (sproporzionato) rispetto a p 0. Se invece z NON è compreso nell'intervallo di confidenza trovato allora SI PUO' affermare, con una probabilità di errare non superiore ad a, che p sia diverso (sproporzionato) rispetto a p 0. Codice Grafico Accettazione p = p 0

13 Verifica di ipotesi sulle proporzioni 3/5 disponendo di un campione di numerosità limitata con probabilità p associata a un certo evento, si può affermare che tale campione è proporzionato, per quell evento, all intera popolazione che ha probabilità p 0 per quell evento? Accettazione p = p 0 è sproporzionato inferiormente rispetto all intera popolazione? Accettazione p > p 0 è sproporzionato superiormente rispetto all intera popolazione? Accettazione p < p 0

14 Verifica di ipotesi sulle proporzioni 4/5 Es. Da un indagine condotta sulla composizione del management delle aziende italiane è risultato che il 35% delle aziende italiane è gestito da donne. Inoltre, in un campione di n = 100 aziende localizzate nel sud Italia, è risultato che 15 sono gestite da donne. Verificare, al livello α = 0.01, se il campione può ritenersi rappresentativo della realtà aziendale italiana. Soluzione: Come possiamo notare leggendo il testo, p = 0.15 mentre p 0 = 0.35 e dobbiamo rigettare l ipotesi nulla se z > z ovvero se z > qnorm(0.995) z > Calcoliamo quindi z: Z = (1 0.35) 100 = Rigettiamo H 0, il campione non è rappresentativo dell intera popolazione

15 Verifica di ipotesi sulle proporzioni 5/5 P-Value z= z= Accettazione 0.15 = 0.35 (di molto inferiore a 0.005)

16 Verifica di ipotesi per due proporzioni 1/4 Se abbiamo un campione di ampiezza n 1 su cui abbiamo rilevato una proporzione di successi p 1 ed un campione di ampiezza n 2 con la rispettiva proporzione p 2 possiamo chiederci se l eventuale differenza riscontrata tra p 1 e p 2 sia dovuta al caso oppure no. Per poter rispondere si costruisce la statistica test Z come segue: Z = p 1 p 2 p 1 p 1 n1 + 1 n2 dove p = n 1 p 1 +n 2 p 2 n 1 +n 2 ovvero p è la media ponderata tra le proporzioni p 1 e p 2

17 Verifica di ipotesi per due proporzioni 2/4 Es. Un azienda automobilistica, prima di immettere sul mercato un nuovo modello di un auto già in commercio, realizza un sondaggio di opinioni. In particolare, l indagine rivela che su un campione di n 1 = 100 donne il 36% preferisce il nuovo modello di auto rispetto a quello già in commercio mentre, su un campione di n 2 = 100 uomini solo il 25% preferisce il nuovo modello. Verificare, al livello α = 0.01, l ipotesi che non ci sia differenza nelle preferenze in base al sesso dei potenziali acquirenti. Soluzione: Come possiamo notare leggendo il testo, p 1 = 0.36 mentre p 2 = 0.25 e dobbiamo rigettare l ipotesi nulla se z > z ovvero se z > qnorm(0.995) z > p = = Z = = 1.69 Accettiamo H 0, esiste quindi indipendenza dal sesso rispetto alle preferenze dei potenziali acquirenti

18 Verifica di ipotesi per due proporzioni 3/4 P-Value Accettazione = 0 z= 1.69 z= superiore a 0.01

19 Verifica di ipotesi per due proporzioni 3/4 In R si può ottenere velocemente un risultato simile, utilizzando una t di student, con il comando: prop.test(c( p 1, p 2 ), c(n 1, n 2 ), conf.level=0.99)

20 Consegna 1. Implementare delle funzioni che, accettando opportuni parametri in ingresso, risolvano le formule viste in questa lezione. 2. Da uno studio statistico è risultato che l 80% degli studenti delle scuole superiori italiane ha buoni risultati nelle materie scientifiche. Una scuola di 1500 studenti di Verona, ha provato a ripetere il test nazionale in privato e ha visto che solo il 75% degli studenti ha ottenuto buoni risultati. Verificare, al livello α = 0.05, se gli studenti di Verona possono ritenersi sproporzionatamente inferiori nelle materie scientifiche rispetto alla realtà nazionale.

21 Consegna 3. Alcuni anni fa venne condotto uno studio epidemiologico per studiare gli effetti positivi dell uso di aspirina sulla prevenzione degli attacchi cardiaci. Di seguito si riportano i risultati: Verificare se la proporzione di persone colpite da infarto che hanno assunto Aspirina, è statisticamente inferiore rispetto alle persone colpite da infarto che hanno assunto un farmaco placebo senza principi attivi.