Modelli per la distribuzione del reddito

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Adriano Nardi
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1 Modelli per la distribuzione del reddito Obiettivo trovare (semplici) funzioni matematiche che generino distribuzioni di frequenza che si adattino bene alle distribuzioni di reddito osservate e che abbiano un fondamento logico Motivazioni Studiare le caratteristiche, le proprietà della distribuzione del reddito nella popolazione sulla base di dati osservati Confrontare le stime della distribuzione del reddito relative a periodi di tempo(in genere anni) diversi, al fine di studiare gli eventuali cambiamenti intervenuti nel tempo Individuare eventuali sottopopolazioni omogenee

2 Elementi di base del problema Si consideri una popolazione, sulla quale si osserva un carattere descritto tramite una funzione di densità f, che supponiamo incognita. Sia poi F la famiglia di possibili funzioni di densità a cui f appartiene. In altre parole, anche se l esatta forma della f è incognita, si conosce a priori che è un membro della famiglia F. Approccio parametrico: si assume di conoscere anche la forma della funzione di densità f, a meno di un numero finito di parametri incogniti. Approccio non parametrico: non si impone a priori la forma della funzione f ma si cerca di trarre dai dati empirici indicazioni sulle caratteristiche di struttura della distribuzione dei redditi, quali la forma, la presenza di più mode, il numero di tali mode, etc..

3 Modello di Pareto (1896) Modelli parametrici Obiettivo: dimostrare che la diseguaglianza della distribuzione dei redditi è un fenomeno naturale Nasce dalla osservazione empirica che nelle distribuzioni di reddito in genere l elasticità della funzione G(x)=1-F(x) (frequenze retrocumulate: frazione degli individui che hanno un reddito superiore a x, N(x), sul totale degli individui, N) rispetto a x risulta all incirca costante(e ovviamente negativa). La funzione G(x) può allora essere espressa dall iperbole: ossia G(x)=Kx -α logg(x) = logk- αlogx

4 DatocheNnondipendedax,siha: Per K>0 e α>1, il numero di individui con un redditosuperioreaxèalloraparia: N( x) = K α x Ipotizzando che non vi siano redditi nulli e quindi sia possibile definire una soglia h<x min, il numero complessivo degli individui nella popolazione è K N = h α

5 Il numero dei percettori con un reddito compresotraxe x,n(x+ x),saràparia: n(x+ x)= N(x)-N(x+ x)=-[n(x+ x)-n(x)] Per un incremento infinitesimo di reddito dx, si ottiene: da cui:

6 La funzione di ripartizione F(x) indica la frequenza relativa dei percettori con un reddito inferiore a x, ossia mentrelafunzionedidensitàf(x)èparia:

7 La funzione di densità di Pareto presenta le seguenti caratteristiche: f(x) è decrescente per x>h (al crescere del livello di reddito diminuisce il numero dei redditieri che percepiscono tale livello di reddito). Ne deriva che la distribuzione dei redditi è zeromodale (quindi valida empiricamente solo per i redditi alti); f(x) decresce più velocemente al crescere di α. α è un indice descrittivo della diseguaglianza della distribuzione

8 Dal punto di vista empirico, il modello di distribuzione di Pareto appare particolarmente adatto per descrivere i livelli elevati di reddito, ossia la coda destra della sua distribuzione. In realtà, negli studi sulla diseguaglianza, appare più rilevante l analisi della coda sinistra. Secondo Pareto, al crescere del livello del reddito diminuiva il grado di diseguaglianza, conclusione rovesciata dalle analisi empiriche di Gini, l ideatore di quello che ancora oggi è il più diffuso indice di diseguaglianza a livello internazionale, il Rapporto di concentrazione.

11 La distribuzione lognormaleè unimodale, asimmetrica a destra, con media e varianza definite da: = = + =

12 Il modello log-normale si collega alla «legge dell effetto proporzionale». L ipotesi dibaseècheilredditoxsimodificaper l effetto di moltissime cause indipendenti, ognuna delle quali produce un effetto molto piccolo rispetto all effetto totale, e la variazione dx è proporzionale al livello x. Sotto questa ipotesi dx/x=dlog(x) si può considerare come un errore casuale e quindi si distribuisce normalmente.

13 La ricerca di nuovi modelli analitici dovrebbe rispondere ai seguenti requisiti: 1. esistenza di fondamenti teorici (assunzioni di natura logico-empirica); 2. convergenza verso la distribuzione di Pareto (per i livelli medio-alti di reddito); 3. significato economico dei parametri; 4. buon adattamento per l intero dominio di esistenza dei valori di reddito; 5. buon adattamento rispetto a distribuzioni sia unimodali sia zeromodali; 6. buon adattamento rispetto a distribuzioni che presentano un livello minimo positivo e non predeterminato di reddito(es. reddito di cittadinanza); 7. rispetto del principio di parsimonia

14 Il modello Singh-Maddala Il modello di Singh-Maddala, si basa sull ipotesi che l elasticità della funzione G(x) (frequenze retro cumulate) rispetto a x, cresca all aumentare dei livelli di reddito, per poi stabilizzarsi. Infatti l elasticità rappresenta la difficoltà di raggiungere livelli più elevati di reddito: è sensato assumere che sia diversa a seconda del livello del reddito. Il modello ha la seguente forma: F( x) = 1 G( x) = 1 (1 + ax ) I parametri (a,b,c) possono essere stimati con la regressione non lineare, minimizzando la somma dei quadrati degli scarti tra i valori osservati G(x) e i corrispondenti valori stimati. b c 14

15 Albero delle distribuzioni Fonte: Dastrup et al.(2007), Journal of Economic Inequality 15

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