Tecnica delle Costruzioni Meccaniche Esercizi e soluzioni

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1 Tecnica delle Costruzioni Meccaniche Esercizi e soluzioni Stefano Miccoli Anno Accademico 2001/2002 (versione del 27 febbraio 2002) Indice 1 Macchine semplici 2 2 Analisi cinematica 14 3 Azioni interne 24 Copyright c 2000, 2002 by Stefano Miccoli. This material may be distributed only subject to the terms and conditions set forth in the Open Publication License, v1.0 or later (the latest version is presently available at Distribution of substantively modified versions of this document is prohibited without the explicit permission of the copyright holder. Distribution of the work or derivative of the work in any standard (paper) book form is prohibited unless prior permission is obtained from the copyright holder. 1

2 1 Macchine semplici ESERCIZIO 1.1. Le due leve sono libere di ruotare nell estremo O ed hanno applicate delle forze e G di direzione ed intensità fisse ( = G ). Determinare l angolo α per il quale si ha equilibrio. SOLUZIONE 1.1. Per risolvere questo esercizio si può semplicemente imporre che il momento delle forze applicate sia nullo rispetto al centro di rotazione della leva. 1. Sia l la lunghezza della leva. L equazione Gl cos α l sin α = 0, tenuto conto che G =, si semplifica in cos α = sin α, dalla quale si ottiene α = π 4 + nπ. 2. In modo del tutto analogo si ha da questa si ottiene sin cos = 1 2, cioè G l cos α l sin α = 0; 2 α = arctan nπ. 2

3 Nelle formule precedenti n = 0, ±1, ±2,..., cioè si hanno infinite soluzioni. Ovviamente solo due soluzioni sono distinte in quanto due valori di α che differiscono di un angolo giro (2π) danno luogo a configurazioni geometriche coincidenti: per questo motivo si può anche porre m = 0, 1. ESERCIZIO 1.2. Determinare /G, individuando sul disegno le eventuali grandezze geometriche di interesse. SOLUZIONE 1.2. C C L K M A B A B 1 2 3

4 Il principio dei lavori virtuali per entrambi i sistemi si scrive dy + G dy G = 0, dove dy e dy G sono le componenti di spostamento dei punti di applicazione delle forze nella direzione delle forze stesse. Da questa equazione si ottiene G = dy G dy. Per risolvere l esercizio basta dunque determinare il valore di dy G /dy. Chiamato dξ lo spostamento virtuale del peso lungo il piano inclinato (positivo dall alto verso il basso), in base a considerazioni sui triangoli simili, si ottiene dξ : dy = CA : CB, cioè dy = dξ CB CA. 1. Per la presenza della carrucola doppia si ha dy G = dξ 2 e dunque con ovvie sostituzioni e semplificazioni G = 1 CA 2 CB. 2. Per la leva LKM, chiamato dy L lo spostamento virtuale di L (positivo verso l alto), si ha dy L : LK = dy G : KM, da cui, tenuto conto che dξ = dy L, Si ottiene dunque dy G = dξ KM LK. G = KM CA LK CB. ESERCIZIO 1.3. h P + b G Determinare P G. 4

5 SOLUZIONE 1.3. Per prima cosa conviene osservare che la carrucola semplice ha il solo scopo di cambiare la direzione della forza G; il problema può dunque essere riproposto semplicemente come sotto. h P G Il principio dei lavori virtuali, chiamato d u lo spostamento del punto cui sono applicate le forze, si scrive b P d u + G d u = 0. Scomponendo lo spostamento d u nella direzione di P e G, h P du G du P du G si ottiene G du G P du P = 0, b P G = du G du P. In base a considerazioni di similitudine fra triangoli si ottiene facilmente du G du P = b h e dunque P G = b h. Il problema può anche essere risolto ricorrendo a considerazioni di equilibrio. Chiamata R la reazione vincolare esercitata dal piano inclinato, questa deve essere diretta, in assenza di attrito, perpendicolarmente al piano stesso. La condizione di equilibrio si esprime dunque imponendo la chiusura del poligono delle forze R + P + G: h P R G b 5

6 I due triangoli in figura (poligono delle forze e piano inclinato) sono simili e dunque si ottiene nuovamente P G = b h. ESERCIZIO 1.4. h P G a b Determinare P G. SOLUZIONE 1.4. Per risolvere questo esercizio è sufficiente eliminare la fune che tiene collegate le due masse, sostituendola con una forza pari alla sua tensione T. h T P G T a b Dall esercizio precedente di ha P T = a h, G T = b h ; dividendo membro a membro e semplificando T e h si ottiene P G = a b 6

7 ESERCIZIO 1.5. P G Determinare P, segnando sul disegno le quote significative. G SOLUZIONE 1.5. Questo esercizio è identico al precedente, semplicemente la fune tesa è sostituita da un asta compressa (e il piano inclinato è disegnato con un segno grafico differente): P C G C Individuate sul disegno le opportune quote vale ancora il metodo di soluzione dell esercizio precedente. Una tecnica alternativa, che non richiede di spezzare il sistema per mettere in evidenza la forza C, è di determinare il CIR dell asta. CIR h P G p q L equilibrio alla rotazione intorno al CIR (il che equivale al PLV per una rotazione infinitesima intorno allo stesso punto) si scrive P p G q = 0, P G = q p. Volendo ricorrere alla trigonometria, indichiamo con α P e α G l inclinazione rispetto all orizzontale di piani inclinati su cui agiscono le forze P e G rispettivamente. È facile verificare le seguenti soluzioni per i singoli esercizi: 7

8 1.3 dal poligono delle forze si ha G = P tan α P, P G = 1 tan α P = cot α P, che coincide con la soluzione data osservando che tan α P = h b ; 1.4 sfruttando il risultato precedente si può scrivere } T = P tan α P, P T = G tan α G, G = T T tan α G tan α P = tan α G tan α P, che coincide con la soluzione data osservando che tan α P = h a e tan α G = h b ; 1.5 si può notare che p = h tan α P e q = tan α G, e dunque P G = q p = tan α G tan α P, confermando che i due diversi procedimenti di risoluzione conducono allo stesso risultato. ESERCIZIO 1.6. P + G Determinare P, segnando sul disegno le quote significative. G SOLUZIONE 1.6. Per prima cosa quotiamo il disegno, osservando che la forza G è a metà della leva. 8

9 h l P + a G a Eliminando la leva (che dimezza la forza G) e la carrucola il problema si riduce al seguente l P h G 2 L esercizio a questo punto è diventato banale ed il risultato vale semplicemente P G = l 2h P G=2 = l h, cioè ESERCIZIO 1.7. Lo schema statico di una lampada da tavolo è concepito come nella figura sottostante. A è il riflettore e B e C sono due contrappesi. È possibile determinare il valore di B e C in modo che la lampada sia in equilibrio in ogni posizione? Se il riflettore ha una massa di 350g quale deve essere la massa di B e C? 9

10 3u 7u A B C 7u 3u SOLUZIONE 1.7. L equilibrio delle leve, se le forze mantengono direzione costante (in un riferimento assoluto o relativo alla leva) è indipendente dalla posizione della leva stessa. In particolare, quando le forze sono date dal peso, la condizione di equilibrio si può anche esprimere richiedendo che il baricentro della leva stessa cada nel fulcro. Questa condizione è ovviamente indipendente dall orientazione della leva. Indicando con P A;B;C e con M A;B;C peso e massa di A, B, C, si ricava facilmente per la leva formata da A e B da cui Per la seconda leva si ottiene da cui, con facili passaggi, M A : M B = P A : P B = 3u : 7u, M B = 7 3 M A. (M A + M B ) : M C = (P A + P B ) : P C = 3u : 7u, M C = 7 3 (M A + M B ) = 70 9 M A. 10

11 Sostituendo i valori numerici si ottiene approssimativamente M B = 817g, M C = 2722g. ESERCIZIO 1.8. Determinare /G a 3a G SOLUZIONE 1.8. Per prima cosa conviene eliminare dal problema le carrucole semplici che hanno solo lo scopo di cambiare la direzione della retta di azione delle forze. 4 2 a G 3 2 a 2a A questo punto si possono trasportare le forze lungo la loro retta di azione fino alla leva, e scomporre la forza in due componenti, O parallela alla leva, e V perpendicolare. 3a B 4 2 a C V O A G 3 2 a 2a 3a 11

12 È facile scrivere le seguenti relazioni, V : G = 3a : 2a, : V = AB : BC. Tenuto conto che AB = 5 2a (i numeri 3, 4, 5 formano una terna pitagorica!) si ottiene V G = 3 2, moltiplicando membro a membro si ottiene infine G = 15 8 = V = 5 4 ; ESERCIZIO 1.9. Determinare il valore del rapporto /G, nell ipotesi che tutti i vincoli siano lisci (no attrito) e bilateri (no ribaltamento). G SOLUZIONE 1.9. Per risolvere questo esercizio si potrebbe scomporre il sistema nelle sue parti e, mettendo in evidenza le forze scambiate, scrivere le equazioni cardinali della statica. R G R In realtà molto più semplicemente si può osservare che dato uno spostamento virtuale du al cuneo, entrambi i punti di applicazioni delle forze si spostano della stessa quantità du. Dato che le forze sono controverse, il PLV si scrive e dunque banalmente du G du = 0, = G. 12

13 ESERCIZIO Determinare per quali valori di Q, fissato P, la sedia in figura si ribalta. Q P ESERCIZIO Determinare /G nell ipotesi che tutti i vincoli siano lisci (no attrito). + G ESERCIZIO Determinare il valore del rapporto /G, nell ipotesi che tutti i vincoli siano lisci (no attrito) e bilateri (no ribaltamento). G 13

14 2 Analisi cinematica ESERCIZIO Determinare la cinematica del quadrilatero articolato in figura. TRACCIA Determinare il CIR delle tre aste (CIR i, i = ). Osservare quanti gradi di libertà possiede la struttura. issata la rotazione della prima asta, θ 1, (positiva se anti-oraria), determinare le conseguenti rotazioni θ i, i = 2, 3, delle altre due aste. ESERCIZIO issate arbitrariamente le rotazioni θ 1 e θ 3 determinare CIR 2 e θ Spiegare perché in questo caso, contrariamente all esercizio 2.1, è possibile fissare due GDL indipendenti. 14

15 ESERCIZIO ) 2) 3) 4) Individuare le aste labili. ESERCIZIO Eseguire l analisi cinematica. TRACCIA È sempre utile cercare di scomporre una struttura complessa in più strutture semplici. In questo caso è facile riconoscere un arco a tre cerniere impostato su un asta cerniera e carrello: Se la struttura 1 è isostatica, allora tutti i sui punti sono fissi. Dunque è come se l arco a tre cerniere fosse impostato a terra; è sufficiente a questo punto eseguire l analisi cinematica del solo arco a tre cerniere. 15

16 3 2 1 In altre parole, per verificare se una struttura è isostatica è possibile cercare di decomporla in una sequenza di strutture isostatiche. ESERCIZIO 2.5. Eseguire l analisi cinematica. ESERCIZIO 2.6. Eseguire l analisi cinematica. 16

17 ESERCIZIO 2.7. Eseguire l analisi cinematica. ESERCIZIO Eseguire l analisi cinematica del portale in figura. TRACCIA Individuare il CIR 13. Si può supporre l asta 3 fissa, e svincolare l asta 1 da terra Il CIR 1 per questa struttura modificata coincide evidentemente con il CIR 13 della struttura originaria. A questo punti l analisi del portale è ricondotta all analisi di una arco a tre cerniere. 17

18 ESERCIZIO ) 2) 3) 1. Individuare i portali labili. 2. Per i portali labili determinare l atto di moto. TRACCIA Un portale labile si comporta come un quadrilatero articolato. ESERCIZIO Eseguire l analisi cinematica delle seguenti strutture. SOLUZIONE GDL 15 GDV 15 ISOSTATICA 18

19 2 3 GDL 18 GDV 18 LABILE GDL 15 GDV 15 ISOSTATICA 4 GDL 12 GDV 12 LABILE 5 GDL 9 GDV 9 ISOSTATICA Seguono sintetiche motivazioni. 1. Si tratta di un asta cerniera carrello su cui sono impostati due archi a tre cerniere isostatici (cerniere non allineate.) 2. Si tratta di una struttura internamente iperstatica vincolata a terra in modo insufficiente. 3. La struttura è formata da due anelli chiusi isostatici vincolati a terra in modo isostatico (cerniera e carrello, con asse che non passa per la cerniera.) 4. Si tratta di un portale labile (le cerniere sono disposte su un sistema di rette parallele e dunque convergente all infinito.) 19

20 5. Si tratta di un anello chiuso isostatico vincolato a terra in modo isostatico (cerniera e carrello, con asse che non passa per la cerniera.) ESERCIZIO Disegnare una struttura ipostatica, una isostatica, una labile, una iperstatica. Ciascuna struttura deve essere composta da almeno tre aste. SOLUZIONE Evidentemente la soluzione non è unica, come semplice esempio si possono vedere le strutture seguenti. ipostatica isostatica labile iperstatica 20

21 ESERCIZIO Eseguire l analisi cinematica delle seguenti strutture. Motivare brevemente la risposta. SOLUZIONE GDL 12 GDV 12 ISOSTATICA GDL 24 GDV 25 IPERSTATICA GDL 18 GDV 18 LABILE 4 GDL 24 GDV 24 ISOSTATICA 5 GDL 9 GDV 8 IPOSTATICA 1. Si tratta di un portale isostatico in quanto le rette che congiungono le cerniere delle 21

22 traverse si intersecano in un punto (improprio o all infinito) che non appartiene alla retta che congiunge le cerniere al piede. 2. I vincoli a terra sono isostatici non labili (cerniera e carrello con asse che non passa per la cerniera) e dato che GDV > GDL, la struttura risulta iperstatica. 3. La struttura è labile in quanto formata da due anelli chiusi isostatici che formano un arco con tre cerniere allineate. 4. La struttura può essere decomposta in due anelli chiusi isostatici vincolati con una cerniere a terra e collegati tra loro da due bielle. Le bielle sono equivalenti ad una cerniera posta nell intersezione delle rette congiungenti le cerniere; dato che questo punto (improprio) non si trova sulla congiungente le cerniere a terra, la struttura è isostatica. 1 1 Si tratta in sostanza di una struttura riconducibile ad un portale. 22

23 5. La struttura è ipostatica in quanto GDL > GDV e non sono presenti labilità interne. Infatti si può riconoscere una struttura labile (una manovella) ed un asta cerniera carrello interna non labile. + 23

24 3 Azioni interne ESERCIZIO 3.1. Determinare le reazioni vincolari in A. 1N A SOLUZIONE 3.1. Si può osservare che sono richieste le reazioni vincolari sulla cerniera a terra dell unica asta caricata. Per questo motivo conviene semplificare la struttura cercando di sostituire le altre tre aste con un equivalente vincolo a terra. Il procedimento ricalca l analisi cinematica del portale. Le due traverse (ciascuna equivalente ad un carrello interno) vengono ridotte ad una cerniera; il portale diventa un arco a tre cerniere che viene ulteriormente ridotto ad un asta cerniera carrello. 1N A 1N A 1N A Si applica una qualsiasi delle tecniche usualmente riservate al calcolo delle reazioni vincolari in un asta vincolata isostaticamente. Per esempio con il PLV si possono considerare queste due situazioni CIR x 1N A y V A z y CIR 1N A H A 24

25 Si ottiene così V A = y x 1N H A = z z + y 1N La determinazione di x, y, z, è un semplice esercizio di geometria. In modo alternativo le reazioni vincolari possono essere calcolate svincolando completamente da terra la struttura. 1N H B H A V B V A Così facendo però si evidenziano quattro reazioni incognite, mentre possono essere scritte solo le tre equazioni cardinali della statica. Essendo la struttura isostatica si può pensare di svincolarla completamente. V 1 H B H 1 V B V 2 H 2 H 2 V 2 H 1 V 4 H 4 V 3 H 3 H 4 H 3 V 4 V 3 H A V A 1N V 1 In questo modo si evidenziano 12 incognite ma, avendo quattro aste completamente svincolate, possono anche essere scritte 12 equazioni di equilibrio (tre per ogni asta.) La soluzione di un sistema di 12 equazioni in 12 incognite non è ovviamente agevole, conviene dunque semplificare la situazione. Si può osservare che le traverse non presentano azioni esterne, dunque trasmettono un azione, eguale e contraria ai due estremi, diretta come l asta stessa. H B N M N M H A 1N C V B V A 25

26 Il problema si è ridotto ad un sistema di sei equazioni in sei incognite. È possibile infine semplificare ulteriormente il problema scrivendo le tre equazioni cardinali della statica per l intera struttura (nelle incognite H A, V A, H B, V B ) e l annullarsi del momento per il piedritto di destra rispetto al punto C. In quest ultima equazione non compaiono le azioni interne M e N, che hanno momento nullo rispetto a C, e dunque si è ottenuta una quarta equazione, nelle componenti incognite della reazione in A. TRACCIA Calcolare le reazioni vincolari prima di tracciare il diagramma delle azioni interne. ESERCIZIO 3.2. P Tracciare il diagramma delle azioni interne. ESERCIZIO 3.3. Tracciare il diagramma delle azioni interne 26

27 ESERCIZIO 3.4. Determinare il diagrama delle azioni interne. A x = 1 N B x = 2 N B y = 3 N C y = 9 N D x = 4 N D y = 6 N E x = 1 N l = 18 m SOLUZIONE N [N] T [N] M [Nm]

28 ESERCIZIO 3.5. Determinare il diagrama delle azioni interne. G y = 2 N y = 12 N l = 18 m SOLUZIONE 3.5. T [N] M [Nm]

29 ESERCIZIO 3.6. Tracciare il diagramma delle azioni interne. SOLUZIONE

30 ESERCIZIO 3.7. Tracciare il diagramma delle azioni interne. SOLUZIONE

31 ESERCIZIO 3.8. Tracciare il diagramma delle azioni interne. SOLUZIONE

32 ESERCIZIO 3.9. Tracciare per le seguenti strutture il diagramma del momento flettente. SOLUZIONE

33 ESERCIZIO Tracciare il diagramma delle azioni interne. SOLUZIONE

34 ESERCIZIO Tracciare il diagramma delle azioni interne. 34

35 SOLUZIONE

36 ESERCIZIO Tracciare il diagramma delle azioni interne. 36

37 ESERCIZIO Tracciare il diagramma delle azioni interne. p SOLUZIONE

38 ESERCIZIO Tracciare il diagramma delle azioni interne. SOLUZIONE p 38

39 ESERCIZIO Tracciare il diagramma delle azioni interne. p p TRACCIA Spezzare la struttura nella cerniera centrale per determinare le azioni scambiate tra le due aste e solo poi calcolare le reazioni vincolari. SOLUZIONE Calcolo delle reazioni vincolari. Conviene spezzare la struttura nella cerniera centrale e mettere in evidenza la forza scambiata tra le due parti della struttura. 2 Data la particolare geometria conviene decomporre questa forza secondo le due direzioni ortogonali Q ed R, indicate in figura. Conviene inoltre, al solo fine del calcolo delle reazioni vincolari, sostituire le forze distribuite con la loro risultante. l R Q R pl pl l l 2 Il momento ovviamente è nullo trattandosi di una cerniera. 39

40 Data questa decomposizione è facile verificare che per la struttura di sinistra R non da momento rispetto alla cerniera a terra, mentre per la struttura di destra la stessa situazione si verifica per Q. È dunque naturale calcolare queste forze annullando i momenti rispetto alle cerniere a terra: da cui si ottiene 2l R = pl 2 2, 2l Q = pl 2 2, R = Q = 2 4 pl. Il calcolo delle reazioni vincolari a terra è banale; come si verifica facilmente si ottiene la seguente situazione, a partire dalla quale si possono tracciare direttamente le azioni interne. l pl 2 pl 2 pl 2 p pl 2 p l l 40

41 Diagramma delle azioni interne ESERCIZIO Tracciare il diagramma delle azioni p interne. q TRACCIA Analizzare separatamente i carichi p e q e applicare la sovrapposizione degli effetti. 41

42 SOLUZIONE Analisi cinematica È facile riconoscere due archi a tre cerniere isostatici, l uno impostato sull altro: p A q B Agendo i carichi p e q su due strutture distinte conviene risolvere la struttura per sovrapposizione di effetti. p + q Carico p Con solo il carico p agente l arco a tre cerniere B risulta scarico. La biella posta in diagonale è caricata solo da azione normale; fatta questa osservazione il calcolo delle reazioni vincolari è banale. p 3 2 l 1 2 l 2pl 4pl 2pl 2pl 2 5pl 2 5pl l 42

43 Il diagramma di taglio e momento flettente nell asta verticale è identico a quello dell esercizio 3.13, pur di assegnare i corretti valori alle variabili a e b; il diagramma delle azioni normali non presenta, come al solito, particolari difficoltà. Carico q È facile verificare che in assenza di carico p l arco A è scarico, a parte una azione normale nell asta verticale. Date le seguenti reazioni vincolari, determinare le azioni interne non presenta particolari difficoltà. l l 1 2 ql 1 2 ql 1 2 ql 1 2 ql 1 2 ql l q 1 2 ql 43

44 ESERCIZIO Tracciare il diagramma delle azioni interne. p p SOLUZIONE