Operations research. Nasce, come disciplina, durante la seconda guerra mondiale, per esigenze di carattere militare.

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1 Operations research La ricerca operativa (nota anche come teoria delle decisioni, scienza della gestione o, operations research e indicata con le sigle RO o OR) è la branca della matematica applicata in cui problemi decisionali complessi vengono analizzati e risolti mediante modelli matematici. L'obiettivo è quello di fornire un supporto alla presa di decisioni. La ricerca operativa si occupa perciò di formalizzare un problema in un modello matematico e individuare una soluzione ottima, quando possibile. Essa ha molte applicazioni commerciali soprattutto negli ambiti economico, infrastrutturale, logistico, militare, della progettazione di servizi e di sistemi di trasporto e nelle tecnologie e riveste un ruolo importante nelle attività decisionali perché permette di operare le scelte migliori per raggiungere un determinato obiettivo rispettando vincoli che sono imposti dall'esterno, non sotto il controllo di chi deve prendere le decisioni. Nasce, come disciplina, durante la seconda guerra mondiale, per esigenze di carattere militare. Si è poi sviluppata in diverse branche 2 delle quali sono oggetto del nostro studio: I problemi di scelta/ottimizzazione e i problemi di programmazione lineare. Le fasi della ricerca operativa 1. definizione degli obiettivi da raggiungere: ad esempio massimizzare un profitto, minimizzare una perdita, minimizzare un tempo di percorrenza e così via. 2. raccolta delle informazioni necessarie su vincoli e obiettivi. 3. creazione di un modello matematico, cioè una traduzione in forma matematica del problema. 4. analisi del modello e ricerca delle soluzioni. 5. verifica accettabilità soluzioni. A) Il caso più semplice: problemi di scelta Problema 1 (discreto): Il falegname Un artigiano impiega 3 ore di lavoro per costruire un tavolo, 1 ora per costruire una sedia e 4 ore di lavoro per una madia. Dal tavolo ricava 140 euro, da una sedia 80 euro e 280 euro da una madia. Ogni tavolo deve essere corredato da 4 sedie. Le madie fabbricate settimanalmente devono essere almeno una e non piùdei tavoli. Considerato che una settimana di lavoro `e costituita da 48 ore e che l artigiano non vuole lasciare alla fine della settimana avori incompleti, cosa deve costruire settimanalmente per avere il massimo ricavo? 1. Obiettivo Programmazione settimanale per ottenere il massimo profitto. 2. Raccolta informazioni - Vincoli: 3 ore x un tavolo; 1 ore x una sedia; 4 ore per una madia.; 48 ore settimanali; 4 sedie per ogni tavolo; n madie: almeno 1 e non più dei tavoli; no lavori incompleti a fine settimana. 1

2 - Ricavi: 140 x tavolo; 80 x sedia; 280 x madia. 3. Costruzione del modello matematico - xt = n tavoli; x s = n sedie; x m = n madie. - x t, x s x m N (non negativi e interi) 3x t + x s + 4x m 48 - vincoli: { x s = 4x t 1 x m x t n tavoli ore tavoli n sedie ore sedie ore tav+sedie n madie ricavi xt h xt xs h xs h(xt+xs) xm obiettivo Analisi del modello e ricerca soluzioni - Le prime 4 righe della tabella non rispettano il vincolo sul n delle madie (troppo alto) - L'ultima riga nemmeno, perchè non verrebbe costruita nemmeno 1 madia - tra le sole 2 righe rimanenti si vede che il ricavo maggiore si ha fabbricando 5 tavoli, 20 sedie e 3 madie. I vincoli sono tutti rispettati, quindi questa è la soluzione del problema. Problema 2 (continuo - lineare) : Il rappresentante Un rappresentante si reca all'estero per lavoro e decide di utilizzare auto a noleggio per i suoi spostamenti. 3 compagnie gli prospettano i seguenti costi giornalieri per auto di prestazioni paragonabili: a) costo noleggio auto 130 più 0,8 al km. b) costo noleggio 150 più 0,6 al km. c) costo noleggio 300 per chilometraggio illimitato. A quale compagnia gli conviene rivolgersi? Ovviamente la risposta dipende da quanti chilometri percorre il rappresentante. 2

3 Si tratta di un problema di minimo, su una variabile continua: il n di km percorsi dal rappresentante. 1. Obiettivo Stabilire l'offerta più conveniente. 2. Raccolta informazioni A) costo noleggio auto 130 più 0,8 al km. B) costo noleggio 150 più 0,6 al km. C) costo noleggio 300 per chilometraggio illimitato. 3. Costruzione del modello matematico Indichiamo con x il numero di chilometri che il rappresentante deve percorrere. Non essendo presenti vincoli tecnici e potendo x essere anche non intero, l unico vincolo presente `e il vincolo di segno: x 0. Il problema risulta quindi continuo. Il modello matematico del problema può essere costruito come segue. Le funzioni obiettivo (y) per le 3 compagnie sono rappresentate dalle 3 equazioni: a) y=0.8x+130; b) y=0.6x+150 e c) y=300 che hanno la seguente rappresentazione grafica Il quadrante colorato rappresenta l'area di accettabilità delle soluzioni: x 0 e y 0. La retta rossa rappresenta i costi della compagnia A; la retta blu quelli della compagnia B; e la retta verde i costi della compagnia C. 4. e 5. Analisi del modello e ricerca soluzioni accettabili Osservazione importante. Con la forma geometrica del modello matematico, cambia il metodo di ricerca delle soluzioni: dal calcolo alla pura osservazione. Infatti guardando il grafico si vede che per un chilometraggio inferiore a 100 km conviene la compagnia A. Tra 100 e 250 km conviene la B. Oltre i 250 km conviene la C. I valori di 100 e 250 si trovano come soluzione dei sistemi 3

4 x =100 è punto d'indifferenza tra le compagnie A e B; come x= 250 è punto d'indifferenza tra le compagnie B e C. In generale i punti in cui si intersecano le funzioni obiettivo si dicono punti di indifferenza in quanto, per quel valore di x, è indifferente scegliere fra l una e l altra alternativa. Problema 3 (continuo non lineare): l'azienda vinicola Un azienda vinicola spende 0,50 euro per ogni litro di vino prodotto. Al giorno sostiene dei costi fissi di 40 euro. Ogni litro viene venduto a 4,5 euro e la ditta sostiene spese di vendita, per ogni litro, pari a 1/50 dei litri venduti. Stabilire il n di litri da produrre giornalmente per il massimo guadagno 1. Obiettivo Stabilire il n di litri da produrre giornalmente per il massimo guadagno 2. Raccolta informazioni Costi: 0,50 /l ; 40 costo fisso produzione giornaliera; 1/50 litri venduti /litro (spese di vendita) Ricavi: 4,5 /l Costruzione del modello matematico x = litri di vino vincolo x >0 y = guadagno funzione obiettivo: y = x2 + 4,5x 0,5x 40x ovvero y= x2 + 4x 40 Questa volta il modello matematico è rappresentato da una parabola. I suoi zeri saranno i punti corrispondenti a guadagno 0, mentre il suo vertice sarà il punto di massimo guadagno. Cerchiamo dunque i valori numerici di tali punti: x 1,2 = 100 ±40 ovvero x 1 =10,56 e x 2 = 189,44 sono i due zeri. Mentre il max è il punto A(100,160) 4

5 e Analisi del modello e ricerca soluzioni accettabili Una vendita inferiore a 10,56 litri o superiore a 189,44 litri produce una perdita. I punti di 10,56 litri e 189,44 litri corrispondono a guadagno 0. Il massimo guadagno si ha per una vendita di 100 litri ed ammonta a 160 Dunque alla ditta non conviene produrre più di 100 litri al giorno; mentre dovrebbe curare propaganda e vendita in modo da non scendere sotto i 10,56 litri. Problema 4 (continuo non lineare): la modella Una modella per acquisire notorietà vuole comparire nello spettacolo di prima serata della RAI. Si rivolge a due agenzie che le fanno due diverse proposte: A. 600 euro più 100 euro per ogni minuto in cui viene inquadrata B. 700 euro più, per ogni minuto di inquadratura, tanti euro pari a 10 volte i minuti totali. A parziale compenso le fornirà un vestito marcato il cui sponsor le darà 100 euro al minuto di inquadratura. Quale agenzia è più conveniente? 1. Obiettivo Stabilire l'agenzia più conveniente 2. Raccolta informazioni - Offerta A: /min - Offerta B: (10*min.tot.)/min-100 /min 3. Costruzione del modello matematico x = minuti inquadrature y = di costo x e y n Reali non negativi ovvero, dividendo tutto per 10 N.B. Con questa scelta i valori di y ottenuti andranno moltiplicati per 10 4 e 5. Analisi del modello e ricerca soluzioni accettabili Risolviamo il sistema per trovare i punti di intersezione 5

6 Le soluzioni sono (3-10; ( )*10) e cioè circa (0,5; 650) e ( 3+ 10; ( )*10) e cioè circa (19,5; 2550) Conclusioni: fino a mezzo minuto di inquadrature conviene l'agenzia A (blu) da mezzo minuto a 19 minuti e mezzo di inquadrature, conviene la B (rossa) oltre conviene di nuovo la A. ESERCIZI 6

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8 B) Programmazione lineare Finora abbiamo risolto problemi in una sola variabile, essendo la seconda variabile il valore della funzione obiettivo, di primo o secondo grado Quando le cose si fanno più complicate e le variabili da utilizzare per costruire il modello matematico del problema sono 2, legate però nei vincoli e nella funzione obiettivo da relazioni di 1 grado si entra nel secondo livello della ricerca operativa, definito programmazione lineare in 2 variabili. Premessa matematica 1 : disequazioni lineari in due variabili. Mentre le soluzioni di una disequazione o di un sistema di disequazioni lineari in una variabile sono i valori di un intervallo, se le variabili diventano 2, le soluzioni sono aree piane visualizzabili (obbligatoriamente) su un piano cartesiano. Esempi x-2y>0 ha per soluzioni i punti P(x,y) che soddisfano la disequazione y<x/2. I punti della retta y=x/2 soddisfano l'equazione; dunque le soluzioni vanno ricercate tra tutti gli altri punti dei due semipiani, al di sopra o al di sotto della retta. Per capire quale dei due semipiani è soluzione, basta scegliere un punto comodo su un asse e vedere se le sue coordinate soddisfano la disequazione oppure no; stesso responso si avrebbe per tutti gli altri punti dello stesso semipiano cui appartiene il punto scelto per la verifica. Area rossa: a) 2y-3x-4<0 ovvero y<3/2x+2 Area blu: b) 2x+y-1>0 ovvero y>-2x+1 8

9 Soluzione del sistema è l'intersezione delle due aree (descrivibile solo graficamente) Premessa matematica 2: Le coordinate cartesiane dei punti in R 3 In analogia a quanto si fa nel piano, anche nello spazio è possibile associare coordinate ad un punto. La presenza della 3 dimensione però richiede di introdurre una terza variabile: z, quota. Così un punto P di coordinate (x, y, z) è un punto che occupa la posizione in figura 9

10 e un equazione lineare in 3 variabili è un piano. Quello grigio è il piano che contiene gli assi x e y (eq. z=0) Mentre quello rosso è il piano di equazione x + y + z = 0 x + y + z = 0 La retta rossa è l intersezione dei due piani { ovvero la bisettrice di 2 e 4 quadrante, retta di z = 0 equazione x +y =0 ovvero y = -x. Vediamo su alcuni esempi le fasi di studio di problemi di programmazione lineare. Problema 5: Hamburger Una industria alimentare che produce hamburger vuole minimizzare il costo delle materie prime, garantendo una buona qualità del prodotto. Ogni hamburger deve pesare almeno 100 grammi e l impasto è costituito da carne macinata di manzo e di maiale, in quantità espresse in grammi. Il macinato di manzo contiene l 80% di polpa e il 20% di grasso, e costa all industria 60 al Kg; il macinato di maiale contiene il 68% di polpa e il 32% di grasso e costa all industria 35 al Kg. Quanta carne di ciascun tipo dovrà impiegare l industria in ogni hamburger se vuole minimizzare il costo della carne utilizzata ed evitare che il contenuto grasso dell hamburger superi i 25 grammi? 1. Obiettivo: Minimizzare il costo carne senza danneggiare la qualità. 2. Raccolta informazioni - Peso hamburger non inferiore a 100 g. - Grassi hamburger non superiori a 25 g - Hamburger contiene carne di manzo e maiale - Il costo al kg della carne di manzo è 60 e quello della carne di maiale è 35 10

11 3. Costruzione del modello matematico x = g. carne di manzo; y = g. carne di maiale. x + y vincoli: { x + y 25 funzione obiettivo z= 60 x y + 35 (da minimzzare) x 0; y 0 A questo punto è necessario enunciare il teorema fondamentale della programmazione lineare Se l'insieme delle soluzioni ammissibili di un problema di programmazione lineare è un poligono convesso, allora la soluzione ottimale, ossia il punto di massimo o di minimo della funzione obiettivo, esiste sempre e si trova in uno dei vertici del poligono stesso. Non diamo una dimostrazione di questo teorema, ma una giustificazione intuitiva sì. L area intersezione dei vincoli, cioè l area di risolubilità del problema è un poligono sul piano xy di un sistema cartesiano in 3D. La funzione obiettivo rappresenta un piano inclinato sul piano xy. Se si proiettano lati e vertici del poligono dei vincoli sul piano obiettivo, le quote estreme (max o min che siano) si troveranno in corrispondenza dei vertici. 4. Analisi del modello e ricerca soluzioni A(175/3, 125/3) =(58,33; 41,66) z =4,958 B(100, 0) z = 6,000 C(125, 0) z = 7,500 Perciò l industria alimentare dovrà produrre hamburger con 58,33 g. di carne di manzo e 41,66 carne di maiale, con un costo unitario di 4,95. 11

12 Problema 6: il calzaturificio Un piccolo calzaturificio artigiano produce su commissione due tipi di scarpe da jogging. Con il personale e le attrezzature disponibili la sua produzione non può superare giornalmente le 65 paia, di cui almeno 25 e non più di 50 del tipo A e non più di 35 del tipo B. Su ogni paio di scarpe il guadagno è di 110 per il tipo A e 160 per il tipo B. Come va programmata la lavorazione giornaliera per ottenere il massimo guadagno? 1. Obiettivo: programmazione lavorazione giornaliera per max guadagno 2. Raccolta informazioni 2 tipi di scarpe da jogging in produzione: A e B Vincolo a): produzione giornaliera A + B non superiore a 65 paia Vincolo b): n A/giorno: compreso tra 25 e 50; Vincolo c): n B/giorno: non superiore a 35. Guadagno A/paio: 110 ; guadagno B/paio: 160 Costruzione del modello matematico x = n scarpe tipo A; y n scarpe tipo B (x N; y vincoli 0 < x+y x y 35 Funzione obiettivo z = 110x + 160y La striscia rossa rappresenta il vincolo a); quella verde il vincolo b) e quella blu il vincolo c). 12

13 z y L'area gialla rappresenta il poligono delle soluzioni, definito dai vincoli. x Per proseguire nella risoluzione del nostro problema occorre dunque individuare le coordinate dei vertici del poligono di soluzione e valutare la funzione obiettivo in ognuno di essi. E D C Vertice x y z A B C D E A B 4. Analisi del modello e ricerca delle soluzioni Vertice x y z A B C D E Da questi calcoli è dunque evidente che il punto di soluzione è D(30,35) e che, perciò, la produzione giornaliera dovrà essere di 30 scarpe del tipo A e 35 del tipo B. 13

14 Problema 7: Impresa edile Un impresario deve costruire 86 abitazioni in un villaggio turistico. Le abitazioni devono essere di due tipologie: villette di lusso (categoria A) e appartamenti economici (categoria B). La costruzione richiede l intervento di due imprese, una per fondamenta e muri e l altra per gli interni. La ditta che si occupa di fondamenta e muri impiega 4 giornate lavorative per consegnare una villetta, 6 giornate per un appartamento e complessivamente può lavorare per non più di 480 giorni. La ditta che si occupa degli interni impiega 10 giornate lavorative per consegnare una villetta, 6 giornate per un appartamento e complessivamente può mettere a disposizione un massimo di 720 giorni. Il guadagno previsto è di per le villette di lusso e per gli appartamenti popolari. Quante villette e quanti appartamenti conviene costruire all impresario per realizzare il massimo guadagno? 1. Obiettivo Programmare la costruzione di villette e appartamenti popolari x avere max giadagno. 2. Raccolta informazioni - n villette + Appartamenti = 86 - Impresa Muri: 4gg x villetta, 6gg x appa; max 480 gg. - Impresa Interni: 10gg x villetta, 6 gg x appa; max 720 gg. - Guadagni: x villetta, x appa. 3. Costruzione modello matematico n villette = x n appartamenti = y x+y=86 4x+6y 480 vincoli 10x+6y x y = z funzione obiettivo da massimizzare 14

15 Troviamo le coordinate dei punti A, B, C, D Vertice x y z A B C D Analisi del modello e ricerca della soluzione Vertice x y z A B C D All impresa conviene costruire 51 villette di lusso e 35 appartamenti popolari, per i quali incasserà un guadagno di Esercizi Problema 1: biciclette Un commerciante vuole comprare non più di 50 biciclette da rivendere; decide di acquistare 2 modelli: mountain bike e da corsa. Le mountain bike gli costano 420 ciascuna mentre quelle da corsa 630. Dispone di un budget di Rivendendo le bici conta di poter realizzare un guadagno netto di 160 per ogni mountain bike e 210 per ogni bici da corsa. Quante biciclette di ciascun tipo gli conviene comprare per ottenere il massimo guadagno? Problema 2 15

16 Problema 3 16