Diario delle Lezioni

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1 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin Anno Accd. 7/8 nno :orso di ure in ng. nformic DF-M orso di nroduzione i circuii prof.g.upò Dirio delle ezioni Merile didico di riferimeno disponibile in ree nell crell del Docene ll indirizzo G. upò ezioni del orso A. Mffucci Esercizi di Eleroecnic Teso suggerio : M. de Mgisris G. Mino ircuii Springer, oobre 7 Tesi di consulzione :. DE MENNA Eleroecnic ed. Pironi, Npoli 998 S. BOBBO, E. GATT, Eleromgneismo e Oic, ed. Boringhieri, Torino, 99.O. HUA,. DESOE, E. KUH, ircuii lineri e non lineri, ed. Jcson, Milno, 99 F. BAOZZ, F. GASPAN, Fondmeni di Eleroecnic Eleromgneismo, ed. UTET, Torino, 989 S. BOBBO, Esercizi di Eleroecnic, ed. UEN, Npoli, 995 G. MANO nroduzione i circuii disponibile ll indirizzo indico, r i Tesi nell crell Merile Didico M. GUANE A. STEA Principi ed ppliczioni di Eleroecnic Voll. Ed, Progeo Pdov Terz ed. 4 ezione del 5/9/7 h PEMESSA Modello generle dell eleromgneismo l corso si colloc vlle delle formzione bse derivne di corsi di Anlisi Memic e di Fisic di cui recepisce inegrlmene i conenui. Si consigli l pprendimeno guido dei corsi di lcolo Numerico e Meodi memici svoli in prllelo. Si frà pricolre riferimeno i concei ipici dell Algebr inere, dei mpi veorili e sclri, dell Geomeri Anliic, delle Funzioni di più vribili, dell negrzione di equzioni differenzili; si consigli, per quno rigurd i corsi in prllelo, di seguire con pricolre enzione gli pprofondimeni sulle funzioni di vribile compless e sulle funzioni singolri, sull inegrzione numeric. Si frà coninuo riferimeno i principi fondmenli dell meccnic clssic, dell ermodinmic, con pricolre rigurdo i concei di poenz ed energi. Si considerernno preliminri i principi di elerologi e mgneismo, si per quno rigurd l formulzione di modelli memici che l loro vlidzione sperimenli. Si dovrà ricordre ncor che l mssim sinesi dell Eleromgneismo risiede nelle equzioni di Mxwell che, in form inegrle, si ricollegno nche Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni

2 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin leggi sperimenli ben noi per le noevoli ricdue ecnologiche ed indusrili dell second meà dell Ooceno: d E dl B n dsγ legge dell induzione eleromgneic di Frdy Neumnn γ Σ Σ Q E n dσ ε 3 n dσ o S γ legge di Guss B legge di conservzione del flusso E 4 B dl μo J ε o n dsγ legge di Ampère Mxwell γ S γ dove Ē e B sono cmpi veorili convenzionlmene indici come elerico e mgneico, γ è un curv chius, Sγ è un superficie orl d γ e Σ un superficie chius. indic che l circuizione del cmpo elerico è pri ll deriv emporle del flusso del cmpo mgneico rverso un qulsisi superficie orl d γ l suerficie può essere generic per l proprieà 3 di conservzione del flusso. indic che il flusso rverso un superficie chius vluo con l normle orien verso l eserno del cmpo elerico è pri ll cric eleric in ess conenu. 4 indic che l circuizione del cmpo mgneico è pri l flusso del cmpo veorile composo dll densià di correne di conduzione J e dll densià di correne di sposmeno 3, lego ll vrizione emporle del cmpo elerico 4. Forz di orenz Su ogni cric q do di velocià v, in presenz di cmpo eleromgneico, gisce un forz 5 F q E v B Se l cric è ferm, il cmpo mgneico non h effei, per cui possimo definire il cmpo elerico come un forz specific newon/coulomb 5 su un cric Q [] può essere puniforme ovverosi immgin concenr in un puno inerno ll superficie, oppure disribui nel volume inerno ll superficie con densià volumeric ρ [/m 3 ], oppure disribui su un superficie inern d esempio un elerodo con densià superficile σ [/m ], oppure su un line inern con densià linere λ[/m]. cric elemenre, in queso corso, è quell ssocibile d un elerone o d un proone e vle.6 e -9. il cmpo densià di correne è do dl cmpo di velocià di migrzione vedi vni delle criche moliplico per il vlore dell densià volumeric dell cric sess JqNvρv. nur di li criche è del uo generle, inendendosi comprese nche quelle vincole gli omi. 3 l densià di correne di sposmeno è significiv solo in presenz di cmpi vribili. n ogni puno dello spzio nche vuoo Dε o E prende il nome di sposmeno elerico ed è diremene correlbile ll densià di cric superficile sugli elerodi e comunque lle criche libere. Nel cso di presenz di mezzi merili, il cmpo di sposmeno DεE è collegbile lle disribuzione di criche libere d es. sugli elerodi e non lle criche vincole ppreneni l mezzo merile. 4 Anche nel cso mgneico viene inrodoo un cmpo usilirio H BμH riconducibile, in cso szionrio, lle sole correni libere. 5 Si ricord che nel Sisem nernzionle S, doo nel 97, le unià di misur fondmenli sono il mero m, il ilogrmmo g, il secondo s, l mpere A, l cndel e l mole. unià di misur Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni

3 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 3 cric ferm. n cso di moo, il cmpo mgneico produce un effeo orogonle ll velocià, per cui l pricell necessrimene devi vedi d esempio le ppliczioni nelle grndi mcchine quli il ciclorone. Nei csi ordinri di impiego indusrile dell energi eleric il ermine mozionle è piccolo rispeo quello elerico il cmpo elerico vri d, V/m 3 MV/m, B è dell ordine del esl e l velocià di migrzione è dell ordine di, mm/s. Forz eleromorice f.e.m. on le ermine perlro improprio rndosi di un qunià sclre si deve inendere sempre l circuizione del cmpo elerico lungo un line di ineresse. forz eleromorice dipende quindi dll curv scel slvo che il cmpo non si conservivo, in l cso è null; ess si misur in vol. eleric A viene defini dll inensià di correne che in pri vlore ineress due conduori prlleli indefinii e dà luogo d un forz di rzione o repulsione pri -7 N per mero. Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 3

4 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 4 PATE PMA ET D BPO Tensione eleric r due puni A e B lungo un curv per γ: è l inegrle del cmpo elerico r A e B lungo l line γ e si indic con VAB γ. Se l inegrle non dipende dll pricolre curv, il cmpo è conservivo descrivibile con un funzione sclre di puno poenzile VP; in l cso l ensione VAB γ VAB coincide con l differenz di poenzile VA VB 6. iò si verific senz lro nei csi di cmpo szionrio sono nulle ue le derive emporli nelle equzioni di Mxwell. n generle, se considerimo un curv γ r A e B l ensione VAB γ differisce dll ensione VAB γ di un qunià pri ll deriv cmbi di segno del flusso del veore cmpo mgneico rverso un qulsisi superficie orl dll line chius γ γ. Se le qunià è piccol rispeo VAB γ [o VAB γ ] il cmpo si dice qusi szionrio. Forz mgneomorice f.m.m. on le ermine si deve inendere l circuizione del cmpo mgneico lungo un line chius di ineresse. Dll 4 risul che ess dipende si di fenomeni di conduzione che di sposmeno ssocii ll sudde line chius. forz mgneomorice dipende quindi in genere dll curv; ess è un qunià sclre e si misur in Tesl per mero 7. Tensione mgneic r due puni A e B lungo un curv per γ: è l inegrle del cmpo mgneico r A e B lungo l line γ e si indic con TAB γ. Ess dipende dll line nche in cso szionrio. Non si porà quindi prlre in generle di poenzile sclre mgneico, slvo limire lo sudio soodomini linermene connessi non ineressri d correni. Volmero idele: è lo srumeno che relizz il clcolo dell ensione eleric; l indiczione dello srumeno dipende in generle dll curv γ su cui esso si immgin diseso 8. 6 Più precismene è possibile considerre un funzione poenzile sclre di puno VP de poenzile elerico le che V B A V E ds V B V V V E V P *; le funzione è defini meno dell A A AB A B qunià rbirri VB; il puno B può essere convenzionlmene scelo su un riferimeno convenzionle d es. sruur porne mellic o mss o crcss mellic di un pprecchiur o di un veicolo reno,uo,ereo, nve ec -, un err di un impino di proezione erresre vedi impini di err -, ec. ed il vlore del poenzile essere ssuno convenzionlmene nullo. poenzili elerici dei vri puni dello spzio o di un oggeo qulsisi rppresenno quindi d un puno di vis ingegnerisico le ensioni misure r i puni sessi ed il riferimeno. Nei domini illimii il puno poenzile nullo si pone spesso se possibile ll infinio se sono soddisfe le condizioni di regolrià ll infinio. N.B. Nell * il cmpo elerico è viso come l opposo del grdiene di VP; il segno - è del uo rbirrio e convenzionle e corrisponde ll prssi di ordinre i poenzili decrescere lungo le linee di cmpo elerico indice ed oriene con l convenzione di Frdy. 7 f.m.m. viene frequenemene vlu prire dl veore H, l cui circuizione è sremene pri l flusso di J; in l cso, le sue dimensioni sono mpere per mero [Am]. 8 un relizzzione di volmero idele porebbe essere oenu disendendo un fibr oic r A e B lungo l curv ssegn: l crerisiche di un luce polrizz enrne in A sono modifice dll Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 4

5 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 5 Tensiomero mgneico idele: è lo srumeno che relizz il clcolo dell ensione mgneic; l indiczione dello srumeno dipende in generle dll curv γ su cui esso si immgin diseso. orrene Eleric : fenomeno di migrzione deriv, drif di criche eleriche; le moo medio che vviene velocià dell ordine di. mm/s v nemene disino dl moo di gizione ermic con vlori isnnei dell velocià nche di m/s; deo moo medio viene indico come correne eleric di conduzione in lri csi possono versi correni di convezione o correni di sposmeno; l fenomeno possimo quindi ssocire il cmpo veorile di velocià di migrzione v delle pricelle 9. onduori : merili in cui possono ver luogo significivi fenomeni di migrzione di cric; i conduori più diffusi sono melli; possono uvi mnifesrsi rilevni fenomeni di conduzioni in lri merili solidi, in liquidi ed in pricolri condizioni nche nei gs. solni : merili che non consenono significivi fenomeni di migrzione di cric; gli isolni possono essere solidi, liquidi e gssosi; l isolne idele è il vuoo ssoluo. nensià dell correne eleric: si consider un superficie ΔS generic, per l cui normle si fissi un orienmeno rbirrio n; si consider l cric ole Δq che rvers ΔS in un generico inervllo di empo Δ nell inorno di un isne generico *; il limie per Δ che ende zero del rpporo Δq /Δ, se esise, è per definizione l inensià i* dell correne eleric rverso l superficie orien consider secondo il riferimeno n. A le definizione si perviene ovvimene nche rverso il cmpo densià di correne come flusso di J rverso ΔS. Tro di circuio filiforme: conduore l cui lunghezz è molo mggiore dell dimensione medi rsversle; nel cso di ro sezione cosne, si può mmeere che il cmpo di velocià v si prllelo ll sse del conduore. presenz del cmpo elerico lungo il percorso; l luce uscene d B coniene quindi un informzione correl ll inegrle del cmpo elerico lungo il percorso. volmeri reli sono molo meno sofisici e relizzi su più semplici principi legge di Ohm,... 9 si definisce il cmpo veorile densià di correne di un fscio di criche q di densià volumeric n quindi con densià volumeric ρ doe di velocià v come Jqnvρv [A/m ]. ovvimene l cric Δq si inende le e pes secondo il riferimeno n: si vluno con un coefficiene le criche che si muovono rverso S nel verso di n, con un coefficiene le criche che si muovono nel verso opposo; ogni cric h e mniene ovvimene un proprio segno. Se vessimo considero un riferimeno n -n vremmo ovvimene clcolo un inensià dell correne eleric secondo il riferimeno n, per cui l inensià dell correne srebbe s -. Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 5

6 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 6 nensià dell correne eleric nei circuii filiformi: si consider un sezione re ΔS di un conduore filiforme, per l cui normle si fissi un orienmeno rbirrio n; si consider l cric ole Δq che rvers ΔS in un generico inervllo di empo Δ nell inorno di un isne generico * Se il cso non è szionrio, occorrerà considerre, per ogni sezione, il vlore isnneo dell inensià dell correne i* ΔS lim Δ Δq/Δ ΔS. Se il cso è szionrio, non vi è vrizione medi dell cric in moo in ogni volume; in ogni puno è cosne l velocià v di migrzione non considerndo il moo di gizione ermic e il moo vrio nell inervllo r due inerzioni 3. Si può quindi rienere che si null, in medi, l risulne delle forze che giscono sull cric q in movimeno, nel nosro cso l forz qe nel senso del moo ed un forz d rio equivlene v dire in senso opposo ll prim. l vlore dell inensià di correne è lo sesso in ogni sezione del conduore, po di ssumere riferimeni congrui. n cso di grndezze lenmene vribili li d considerre rscurbili l differenz r le inensià di correne vlu in sezioni diverse, si prlerà di condizioni qusi szionrie. 4 Misur dell inensià dell correne eleric nei circuii filiformi: l mperomero idele l clcolo dell inensià dell correne eleric può essere penso effeuo d uno srumeno idele mperomero idele doo di due morsei, inserii idelmene nell sezione S ed ordini in modo che segu nel verso di n. Effeo Joule: l inerzione r le criche in moo con le lre pricelle compor rnne nel cso dei superconduori un cessione di energi. l ro di conduore si riscld; l qunià di energi cedu e rsform in clore nell inervllo di empo Δ dipende dll cric rspor e dll nur e geomeri del ro. Se Δq è l cric che h rverso ogni sezione S del ro A B il lvoro compiuo dlle forze del cmpo è Δ Δq E lab [ Δq VAB se il cmpo è conservivo]. ovvimene l cric Δq si inende le e pes secondo il riferimeno n: si vluno con un coefficiene le criche che si muovono rverso S nel verso di n, con un coefficiene le criche che si muovono nel verso opposo; ogni cric h e mniene ovvimene un proprio segno. 3 per il rme le empo è dell ordine di -4 s 4 l vluzione quniiv dell qusi-szionrieà presuppone l impiego di nlisi perurbiv che per rgioni di empo non vengono sviluppe in queso corso per un pprofondimeno vedsi il eso consiglio del prof. De Menn. Un uile riferimeno ingegnerisico è do dl confrono r l minim lunghezz d ond ssocibile ll vrizione del cmpo eleromgneico e l mssim esensione dell oggeo cosiuene l pprecchiur od il sisem elerico d esminre. Ad esempio ll frequenz f5 Hz, ipic delle limenzioni eleriche indusrili europee, corrisponde un lunghezz d ond λc/f 6 m: l inero sisem elerico ilino di disribuzione dell energi eleric si rov quindi in condizioni qusi-szionrie e si porà prlre di bipoli. Vicevers, ll frequenz di rsmissione ipic dei elefoni cellulri fghz corrisponde un lunghezz d ond di 5 cm; in l cso poremo prlre di ensioni e correni solo nello spzio di pochi cenimeri. Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 6

7 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 7 Poenz dissip: l poenz mess in gioco dlle forze del cmpo e rsform in queso cso in clore si oiene dl rpporo r lvoro svolo e il empo di osservzione: P Δ /Δ Δq VAB /Δ VA VB. Bipolo : modello di componene elerico o di regione di spzio ineress d correne eleric ccessibile d due puni A B primo e secondo morseo o erminle e per cui poss essere fisso un riferimeno per l vluzione dellʹinensià di correne [ AB oppure BA] e un riferimeno per l ensione V [VAB oppure VBA]. onvenzioni: per un bipolo qulsisi A B è possibile bbinre in quro modi i riferimeni e V; definimo convenzione dellʹuilizzore lʹbbinmeno VAB AB o lʹbbinmeno VBA BA e convenzione del generore lʹbbinmeno VAB BA o lʹbbinmeno VBA AB. rerisic di un bipolo: legme Vf oppure gv, fissi gli bbinmeni di cui sopr. Tle legme può essere nche non nliico. ezione del 7/9/7 3h Equivlenz di bipoli Un bipolo A B è equivlene d un lro bipolo A B se, fisse due convenzioni omologhe V e V d esempio si considerno i riferimeni VAB AB per il primo bipolo e VA B A B per il secondo bipolo, i due bipoli hnno crerisiche uguli. egge di Ohm : per un ro A B di conduore mellico filiforme operne emperur cosne si verific sperimenlmene con buon pprossimzione l relzione VAB AB con numero posiivo l limie nullo e cosne in un mpio inervllo di vlori di AB. l ro A B viene clssifico come resisore; in ermini commercili per resisore si inende un componene per le ppliczioni circuili ed indusrili sufe, forni, scldbgni,... onsiderndo sempre il prmero, l legge di Ohm si scrive nche nei segueni modi: VAB BA VBA AB VBA BA esisore idele: Bipolo idele A B di crerisic V oppure G V se viene do l convenzione dellʹuilizzore o di crerisic V o GV se viene do l convenzione del generore sul bipolo A B. e cosni Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 7

8 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 8 posiive e G vengono chime resisenz e condunz del bipolo e si misurno in ohm [Ω] e siemens [S] rispeivmene. Per l ensione è null, qulunque si : simo nel cso del bipolo corocircuio idele. Per G inensià di correne null per ogni V definimo il bipolo pero idele. Generore idele di ensione Eʹ un bipolo idele crerizzo d un ensione i morsei A B indipendene dll correne, qulunque convenzione si s do. crerisic è quindi un re prllel llʹsse delle. l simbolo comunemene dopero è un pllino con un conrssegno *,,, ec. su un morseo rsi quindi di bipolo ordino con indiczione numeric E [ vlore dell ensione vlu r il morseo conrssegno primo morseo e lʹlro secondo morseo]. l vlore E può essere posiivo, negivo o nullo; l proposio si pone in evidenz che un generore di ensione null è equivlene d un bipolo corocicuio l crerisic è l sess. Generore idele di correne Trsi di bipolo fondmenle, dule del generore di ensione idele, con crerisic * cosne qulunque si l ensione i morsei. l generore di correne è un bipolo normle non linere e non simmerico. Si rppresen in genere con un cerchieo con brr rsvers e morsei ʺordiniʺ. Un bipolo pero è equivlene d un generore di correne null. Serie e prllelo di bipoli Due o più bipoli si dicono in serie dire o semplicemene in serie se è possibile sbilire per essi riferimeni congrueni per l inensià di correne e riporbili lʹuno llʹlro per coninuià; in l cso i vlori dell inensià di correne sono uguli; se sono riporbili per coninuià riferimeni opposi, i vlori sono opposi e l serie si dirà conrppos. Se due o più bipoli in serie sono conigui, porà essere vlu l ensione V* i cpi dell serie e si porà considerre un bipolo equivlene di crerisic V*. Se considerimo un bipolo AB ed un bipolo A B connessi in serie dll coincidenz A B, ssuni per i due bipoli riferimeni congrueni per l inensià di correne, d esempio li che AB A B, il bipolo A B equivlene ll serie AB A B l serie si indic nche con il simbolo AB A B vrà l crerisic [AB A B ],V[VABV A B ] Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 8

9 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 9 Due o più bipoli si dicono in prllelo direo o semplicemene in prllelo se è possibile sbilire per essi riferimeni congrueni per l ensione V; in l cso i vlori dell ensione sono uguli; se i riferimeni sono opposi, i vlori dell ensione sono opposi e il prllelo si dirà conrpposo. Se due o più bipoli in prllelo sono conigui, porà essere vlu l inensià di correne * i morsei di ingresso del prllelo e si porà considerre un bipolo equivlene di crerisic V *. Se considerimo un bipolo A B ed un bipolo A B connessi in prllelo dll coincidenz A A e B B, ssuni per i due bipoli riferimeni congrueni per l ensione, d esempio li che VA B VA B, il bipolo A B equivlene l prllelo A B A B il prllelo si indic nche con il simbolo AB//A B vrà l crerisic [A B A B ],V[VA B VA B ]. Priore di ensione Se considerimo due resisori A B e A B di resisenz ed in serie BʹAʺ, il bipolo equivlene i morsei A B h resisenz pri resisenz equivlene ll serie. De V l ensione r A e B, l ensione V r A e B è pri [V /], l ensione V r A e B è pri [V /]. n generle, l ensione V si riprisce r resisori in serie secondo l relzione de del priore di ensione [VfVV] essendo V l ensione sul resisore mo; fv vien deo fore di prizione e vle ±/ dove è l somm delle resisenze; il segno dipende dll scel del riferimeno V rispeo V. lssificzione dei bipoli: bipoli piloi in ensione : nell crerisic gv d ogni vlore dell ensione corrisponde un solo vlore dellʹinensià di correne; bipoli piloi in correne : nell crerisic Vf d ogni vlore dellʹinensià di correne corrisponde un solo vlore dell ensione; bipoli piloi in ensione ed in correne: crerisic inveribile. bipoli simmerici: crerisic simmeric gv g V ovvero f f ; bipoli ineri: l crerisic pss per lʹorigine: g ovvero f; bipoli lineri : se d esempio Vʹfʹ e Vʺfʺ, si oiene VVʹVʺfʹfʺ; Bipoli normli Vengono definii normli i bipoli crerisic reiline nel pino V. Esempi di bipoli ideli: bipolo resisore idele : crerisic linere, inere, simmeric, inveribile. bipolo coro circuio idele: per ogni vlore di, qulunque si l convenzione do, l ensione è null crerisic coincidene con lʹsse delle ; le Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 9

10 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin crerisic linere, inere, simmeric, non inveribile bipolo piloo in correne; bipolo pero o circuio pero idele: per ogni vlore di V, qulunque si l convenzione do, lʹinensià di correne è null crerisic coincidene con lʹsse delle V; le crerisic linere, inere, simmeric, non inveribile bipolo piloo in Tensione. l generore rele di correne è cosiuio dl prllelo di un generore idele di correne di vlore pri ll correne di coro circuio cc, e del resisore di resisenz g VAbo/cc resisenz inern del generore. E chiro quindi che ogni generore rele di ensione può essere rppreseno con un generore rele di correne e vicevers. due schemi sono equivleni i morsei A B. Un generore rele di correne può essere corocircuio così come un generore rele di ensione può essere pero. Priore di correne Se considerimo due resisori A B e A B di condunz G / e G / in prllelo A A A,B B B, il bipolo equivlene i morsei A B h condunz equivlene pri GG G resisenz equivlene pri /[ ]. De l inensià dell correne in ingresso l prllelo A B, l inensià dell correne r A e B è pri G /G /, l inensià r A e B è pri G /G /. n generle, l inensià di correne si riprisce r resisori in prllelo secondo l relzione de del priore di correne [f] essendo l correne nel resisore mo; f vien deo fore di prizione e vle ±G/G,, dove G è l somm delle condunze; il segno dipende dll scel del riferimeno rispeo. Poenz ssorbi ed erog di bipoli l prodoo ensione correne è omogeneo con un poenz. Se l convenzione do sul bipolo crerisic qulsisi è quell dell uilizzore, le prodoo viene chimo poenz ssorbi 5. Se l convenzione do è quell del generore, le prodoo prende il nome di poenz erog 6. 5 l poenz ssorbi d un resisore è numericmene ugule ll poenz dissip in clore dllo sesso 6 se nell ree vi è un solo generore, l poenz erog dl generore coincide con l poenz mess in gioco gener dllo sesso. Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni

11 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin Bipoli pssivi ed ivi Un bipolo si dice pssivo se, per ui i puni dell crerisic, l poenz ssorbi non è mi negiv [l poenz erog non è mi posiiv]. Un bipolo si dice ivo se, per lmeno un puno dell crerisic, l poenz ssorbi è negiv [l poenz erog è posiiv] Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni

12 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin ezione del //7 h Generore rele di ensione Nel ro generore di un circuio semplice si hnno inerzioni r le criche in migrzione e le lre pricelle; si vrà quindi comunque un dissipzione nlog quno vviene nei resisori. Se non cʹè migrzione e l f.e.m. è divers d zero, vuol dire che il ro uilizzore è non conduore equivlene d un pero; in queso cso l ensione VAB coincide numericmene con l f.e.m. Abbimo quindi che un generore rele di ensione può essere crerizzo dll ensione vuoo, corrispondene ll f.e.m. e dll dissipzione, che in prim pprossimzione può essere schemizz rverso un resisenz g resisenz inern del generore. n relà le schemizzzione h un vlidià bbsnz limi. Nel nosro corso, il generore rele di ensione è un bipolo cosiuio dll ʺserieʺ di un generore idele di ensione e di un resisenz g. Un puno noevole dell crerisic di un generore rele di ensione vlubile nche sperimenlmene su un generore commercile si oiene collegndo il bipolo generore di ensione rele d un bipolo coro circuio nell relà, d un conduore di resisenz molo più piccol di g. Si oiene quindi il vlore dell inensià di correne di coro circuio. Eʹ evidene che non si può ʺ collegreʺ un bipolo generore idele di ensione d un bipolo coro circuio idele, rovndosi in conrddizione le definizioni dei due bipoli. Generore rele di correne Nel nosro corso, il generore rele di c è un bipolorreneo cosiuio dl ʺprlleloʺ di un generore idele di correne e di un resisenz g. Un puno noevole dell crerisic di un generore rele di correne si oiene collegndo il bipolo generore d un bipolo coro circuio nell relà, d un conduore di resisenz molo più piccol di g. Si oiene quindi il vlore dell inensià di correne di coro circuio, che risulerà pri, in vlore ssoluo, ll inensià di correne del generore. ensione vuoo si oiene semplicemene come prodoo dell inensià dell correne del generore e dell resisenz g. Eʹ evidene che non si può ʺ collegreʺ un bipolo generore idele di correne non nullo d un bipolo pero idele, rovndosi in conrddizione le definizioni dei due bipoli. Puno di lvoro Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni

13 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 3 onsiderimo un collegmeno elemenre r due bipoli A B e A B fcendo d esempio coincidere A con A e B con B. onsiderimo riferimeni congrui considerimo d esempio le grndezze VAB,BA nel primo bipolo e VA B VAB, A B BA nel secondo bipolo. Possono così essere confrone le crerisiche dei due bipoli per verificre l possibilià di uno o più puni in comune. Quesi vengono dei puni di lvoro ed indicno i vlori di ensioni e correni compibili con il collegmeno. Se i puni di lvori sono più d uno, occorrernno uleriori indgini per conoscere l effeivo funzionmeno del collegmeno d esempio porebbe essere uile conoscere l sori del collegmeno oppure verificre l sbilià del puno di lvoro in relzione piccole vrizioni o perurbzioni inorno i vlori di ensione e correni. Possono presenrsi csi esremi o pologici : le due crerisiche porebbero non vere puni in comune d esempio il collegmeno r due generori ideli di ensione di vlore diverso; in queso cso il collegmeno r i bipoli è impossibile e non corrisponde nessun siuzione fisicmene relizzbile; b le due crerisiche porebbero vere infinii puni in comune si pensi l collegmeno r due generori ideli di ensione di pri vlore; in queso cso il collegmeno è indeermino v bene qulsisi inensià di correne. Nei csi pologici non h quindi senso procedere l collegmeno sro di bipoli. D nore che i bipoli reli sono sempre collegbili e quindi l uso di bipoli ideli per l simulzione di circuii reli v sempre consider come un pprossimzione, molo spesso efficiene, m pplicbile sempre con le dovue enzioni. Principio di sosiuzione Se il puno di lvoro P dell connessione r un bipolo B ed un bipolo B è unico, esso può essere idenifico nche sosiuendo i bipoli suddei due bipoli B* e B* le cui crerisiche comprendno il puno P e quesi rppreseni ncor l unico puno di lvoro. Ad esempio, in un connessione generore idele di ensionee resisore idele che h come puno di lvoro il puno P di coordine E, E/, si può sosiuire l resisore un generore di correne idele *E/; il puno di lvoro P* dell nuov connessione h le sesse coordine del puno P. e sosiuzioni sono sempre mmesse se il puno di lvoro è unico prim e dopo l sosiuzione. Aenzione quindi i csi pologici. Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 3

14 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 4 Bipoli in regime vribile qusi szionrio. Se le grndezze sono vribili nel empo, m possimo sempre prlre di un unic deerminzione per l inensià dell correne e dell ensione, prleremo di bipoli in regime vribile qusi szionrio. Definimo resisore idele in li condizioni il bipolo per cui vlg l relzione vi qulunque sino i vlori di ensione e correne e qulunque si. l resisore idele viene per queso moivo definio bipolo dinmico. Bipoli dinmici Se l crerisic del bipolo presen un legme direo o rverso un funzionle con l vribile empo, il bipolo viene clssifico come dinmico. Un bipolo dinmico, d esempio, può presenre un legme r un grndezz e l deriv dell lr. Nel condensore idele l inensià dell correne è proporzionle con l convenzione dell uilizzore, rmie il coefficiene cpcià ll deriv dell ensione. Nell induore ide l ensione è proporzionle con l convenzione dell uilizzore, rmie il coefficiene indunz ll deriv dell correne. ensione sul condensore e l inensià dell correne nell induore sono funzioni di so, lege ll energi immgzzin. Per ricvre il vlore in un isne generico, occorre conoscere il vlore d un isne di riferimeno e l inegrle dell inensià dell correne nel condensore e dell ensione sull induore r l isne di riferimeno e l isne. Tli grndezze di so risulno quindi coninue nei csi ordinri e possono essere considere funzionimemori. bipoli suddei sono lineri nelle relzioni differenzili, sono lineri nelle relzioni inegrli solo se scrichi nell isne inizile di riferimeno. Definiremo infi condensore idele in condizioni qusi szionrie il bipolo per cui vlg, con l convenzione dell uilizzore, l relzione idq/dv/ dove l i è correl ll vrizione dell cric q sulle rmure del condensore; il condensore è quindi un bipolo dinmico, in quno bbimo un relzione differenzile r ensione e correne. l coefficiene può essere in prim pprossimzione considero pri l rpporo r cric e ensione in condizioni szionrie cpcià del condensore. inensià di correne in un condensore è in relzione differenzile con l ensione. Tle relzione è linere, m non è sufficiene fornirci le informzioni per rislire l vlore dell ensione; infi, considerndo l convenzione dell uilizzore, si h in un generico isne dvc ic vc ic vc o * Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 4

15 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 5 dove o è un qulsisi isne di riferimeno. Si vede quindi che posso conoscere l ensione in un cero isne solo se conosco il vlore dell sess in un isne precedene e l ndmeno dell inensià dell correne nell inervllo r gli isni o e. ezione del 4//7 3h Si definisce induore idele in condizioni qusi szionrie il bipolo per cui vlg, con l convenzione dell uilizzore, l relzione vdφ/di/ dove l v è correl ll vrizione del flusso mgneico Φ conceno con il bipolo in esme 7 ; l induore è quindi un bipolo dinmico, in quno bbimo un relzione differenzile r ensione e correne. l coefficiene può essere in prim pprossimzione considero pri l rpporo r flusso ed inensià di correne e ensione indunz del induore. ensione i cpi di un induore è quindi in relzione differenzile con l inensià dell correne. Tle relzione è linere, m non è sufficiene fornirci le informzioni per rislire l vlore dell inensià di correne; infi, considerndo l convenzione dell uilizzore, si h in un generico isne di v i v i o ** dove o è un qulsisi isne di riferimeno. Si vede quindi che posso conoscere l inensià dell correne in un cero isne solo se conosco il vlore dell sess in un isne precedene e l ndmeno dell ensione nell inervllo r gli isni o e. ei eleriche onnessione significiv di bipoli elerici. Topologi delle rei o: cosiuio d un bipolo o, volendo, dl bipolo equivlene ll serie o l prllelo di più bipoli Nodo: puno di connessione di più di due bipoli si prl di nodo degenere se si consider l connessione di due bipoli Mgli: defini dll connessione di bipoli lungo un percorso chiuso Grfo non orieno: mpp dell connessione dei bipoli; il grfo si dirà ridoo se non vi sono connessioni in serie o in prllelo o si sono consideri i bipoli 7 le induore può essere relizzo considerndo un vvolgimeno con un numero elevo N di spire ed ssumendo che l disnz fisic r i morsei del bipolo si rscurbile rispeo ll lumghezz dell vvolgimeno formndo cioè un percorso qusi chiuso. Per un esme più pprondio delle pprossimzioni inrodoe ed in genere per l vluzione delle condizioni di qusi-szionrieà vedsi il eso del prof. De Menn indico per consulzione. Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 5

16 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 6 equivleni; un grfo si dirà compleo se è previs l connessione r ui i nodi un grfo porà essere sempre compleo considerndo bipoli peri in luogo delle connessioni mncni. Un grfo ridoo e compleo poggine su n nodi h un numero di li pri [n n /] Albero: sruur fondmenle dell ree, che colleg ui gli n nodi dell ree, senz dr luogo mglie; l lbero h quindi n rmi. olbero: pre dell ree complemenre ll lbero; il colbero h quindi n li. Grfo orieno: su ogni lo è fisso un riferimeno r s dl nodo r l nodo s; si sceglie su ui i li l sess convenzione d esempio Vrs,rs; opporuno per gli lgorimi di clcolo. Sisem fondmenle onsider un ree di li su ognuno dei quli vi si un bipolo per ognuno dei quli è fiss l crerisic V, risolvere l ree signific rovre i vlori delle incognie ensioni e inensià di correne. Occorre quindi definire un sisem fondmenle risolvene; è necessrio che queso sisem si cosiuio d relzioni indipendeni. Un pccheo di relzioni indipendeni è do dlle sesse relzioni crerisiche. e lre relzioni srnno college d elemeni opologici dell ree nodi e mglie; srnno quindi chime equzioni opologiche. Equzioni i nodi indipendeni principio di Kirchhoff Ai singoli nodi si può esprimere un bilncio di cric: in condizioni szionrie non vi può essere ccumulo di cric in ogni volume che comprende il nodo. Fcendo riferimeno d un fisso inervllo di osservzione, poremo esprimere quindi un bilncio di inensià di correne: l somm ponder delle inensià di correni che ineressno il nodo deve essere null, dove per ponderre le inensià bserà moliplicre per un coefficiene [ oppure ] l inensià se il riferimeno è uscene dl nodo e per un coefficiene [] se il riferimeno è enrne, per se quel riferimeno non ineress il nodo. Se si consider l lbero, è immedio consre che le prime n equzioni i nodi che si scrivono sono indipendeni, menre l ulim è combinzione delle lre. Equzione lle mglie indipendeni principio di Kirchhoff Per le singole mglie si può esprimere l irrozionlià del cmpo elerico in condizioni szionrie. Poremo esprimere quindi un bilncio di ensioni considerndo l nnullrsi dell circuizione del cmpo elerico lungo un mgli percors in senso orrio [niorrio]: l somm ponder delle ensioni incognie che ineressno l mgli deve essere null, dove per Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 6

17 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 7 ponderre le ensioni bserà moliplicre per un coefficiene l ensione V se il riferimeno ssuno per l ensione è congruene con l circuizione che si s eseguendo e per un coefficiene nel cso conrrio. Se si considerno le mglie oenue ppoggindo ll lbero i singolo li del colbero, si oengono [ n ] equzioni lle mglie indipendeni; si può cosre che ogni lr equzione oenu considerndo lre mglie è combinzione delle equzioni suddee. Sisem fondmenle compleo: soluzione Un vol scrie le equzioni crerisiche e le equzioni opologiche, ci si chiede se il sisem fondmenle mmee soluzioni. Aeso che le equzioni opologiche sono semplicissime equzioni lineri, poremo ffermre che, se le crerisiche sono normli, il sisem mmee un ed un sol soluzione. Se vi sono bipoli non lineri, occorrerà esminre cso per cso le non linerià. n moli csi il sisem mmee un ed un sol soluzione e d ess porà pervenirsi nliicmene con diversi meodi, d esempio per sosiuzione, in lre csi occorrerà procedere per vi numeric esempio: meodo di Newon phson o con lri meodi ierivi. n lri csi possono presenrsi soluzioni dipendeni dll rieori nel pino V. Principio di sosiuzione vedi sopr l principio di sosiuzione è vlido se l ree mmee un sol soluzione sicurmene quindi nel cso di bipoli normli. e sosiuzioni sono sempre mmesse se il puno di lvoro è unico prim e dopo l sosiuzione. Aenzione quindi i csi pologici. Teorem di scomposizione Sovrpposizione degli effei onsiderimo un ree sosiui d bipoli normli ossi crerisic reiline nel pino V. n l cso il sisem fondmenle è un modello lgebrico linere. Se il sisem è linere, può essere considerre un qulsisi scomposizione del veore colonn dei ermini noi e scomporre l soluzione X in ne soluzioni Xi. Un uile scomposizione consise nel considerre uno ll vol i ermini noi relivi i singoli generori, in quno è molo più semplice risolvere un ree linere limen d un solo generore. Ques ulimo procedimeno prende comunemene il nome di sovrpposizione degli effei. Esercizione sull scriur del sisem fondmenle Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 7

18 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 8 ezione dell 9//7 h Generore equivlene di ensione Teorem di Thévénin onsiderimo un ree cosiui d bipoli normli ivi e pssivi, ccessibile i morsei A B bipolo ivo A B, ovverosi collegbile rverso A B d un lro bipolo 8. Al fine di vlure genericmene il funzionmeno qulunque si il bipolo connesso, ossi l crerisic dell ree sudde i morsei A B ossi vlure il legme ensione correne V, nel cso che l ree si cosiui d bipoli normli, può essere considero un bipolo elemenre cosiuio d un generore rele di ensione ossi dll serie di un generore idele di ensione Vo e di un resisenz eq bipolo equivlene di Thevenin dove Vo è l ensione V vuoo cioè immginndo di collegre A B d un bipolo pero ed eq è l resisenz equivlene dell ree vis i morsei A B qundo nell sess ree sono si speni ui i generori. Tle proprieà può essere dimosr pplicndo il principio di sosiuzione nel cso l soluzione esis e si unic e l sovrpposizione degli effei. l puno di lvoro effeivo è sbilio dl confrono dell crerisic del bipolo equivlene di Thevenin con l creris del bipolo eserno che può essere un bipolo elemenre [nche non linere 9 ] o un lro bipolo equivlene [ovvimene linere]. Generore equivlene di correne Teorem di Noron onsiderimo di nuovo un ree cosiui d bipoli ivi e pssivi lmeno uno ivo ccessibile i morsei A B bipolo ivo A B. Supponimo si di ineresse l cooscenz di un sol grndezz incogni o comunque di un numero molo limio. n l cso non srà necessrio clcolre ue le incognie, m possimo fr ricorso bipoli equivleni. Al fine di vlure l crerisic dell ree sudde i morsei A B ossi vlure il legme ensione correne V, nel cso che l ree si cosiui d bipoli normli, sppimo che l soluzione esise ed è unic. Possimo quindi pplicre il principio di sosiuzione; il bipolo di cui ineress conoscere l grndezz di ineresse ensione o inensià dell correne può essere sosiuio con un generore di ensione di vlore pri ll ensione di lo V. Applicndo l sovrpposizione degli effei ll ree così modific, vremo un conribuo dei generori ll inerno dell ree qundo il generore di ensione inervenuo 8 Tle bipolo porà essere ivo o pssivo ed nche non linere, slvo le considerzioni che fremo più vni. 9 Se dl confrono delle due crerisiche si evidenzino un moleplicià di soluzioni, occorrernno uleriori vluzioni lege d esempio ll sori subi dl bipolo, ll sbilià dell soluzione, ecc.. Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 8

19 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 9 ò speno ossi il rmo in esme è equivlene d un corocircuiro ed un conribuo lego l generore V qundo i generori dell ree sono speni immedimene collegbile ll resisenz equivlene vis dl generore V ossi dell ree res pssiv, vis di morsei A B. ree di morsei A B può quindi essere consider equivlene d un bipolo elemenre cosiuio d un generore rele di correne ossi dl prllelo di un generore idele di correne cc e di un resisenz eq bipolo equivlene di Noron dove cc è l inensià dell correne di corocircuio nel ro A B ed eq è l resisenz equivlene dell ree vis i morsei A B qundo nell sess ree sono si speni ui i generori. l puno di lvoro effeivo è sbilio dl confrono dell crerisic del bipolo equivlene di Noron con l creris del bipolo eserno che può essere un bipolo elemenre [nche non linere] o un lro bipolo equivlene [ovvimene linere]. ezione del //7 h Auoes nr. vedi crell Merile didico onservzione dell poenz nelle rei eleriche onsidero che in regime szionrio l ensione su un lo poso r i li r ed s può essere espress come differenz di poenzile Vrs Vr Vs e che vle l legge di Kirchhoff i nodi r ed s, si può fcilmene dimosrre che è null l somm eses ui i li delle poenze vlue con l sess convenzione. Quindi è null l somm delle poenze ssorbie d ui li ed è null l somm delle poenze genere d ui i li. Se non si è doo per ui i bipoli l sess convenzione, l somm delle poenze ssorbie eses ui i li per cui si è f l convenzione dellʹuilizzore è pri ll somm delle poenze eroge eses ui i li per cui si è f l convenzione del generore. Poenze viruli Teorem di Tellegen Se si considerno due rei con ugul grfo in sosnz con lo sesso numero di nodi e con le sesse convenzioni sui li omologhi r s,rʹ sʹ, possimo ugulmene dimosrre che l somm delle poenze viruli Vrsrʹsʹ eses ui le possibili connessioni è null eorem di Tellegen. Teorem di reciprocià ome ppliczione del eorem di Tellegen considerimo d un lo un ree resisiv limen d un generore di ensione E per semplicià, idele siuo nel lo e l inensià di correne b in un rmo b per semplicià: un corocircuio e dll lro l ree modific rispeo ll precedene solo nell Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 9

20 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin posizione del generore Eb, che rovsi nel lo b omologo di b ed in cui si prende in considerzione l inensià di correne nel lo omologo di. convenzione r E e si congru con l convenzione r Eb e d es. dell uilizzore. Applicndo il eorem di Tellegen lle due rei vremo: li li V V E V V E b b b dove l sommori con pice è eses ui i li delle rei meno i li e b e b ; per quesi li, cosiuii dgli sessi resisori; srà V V e quindi E E b b n pricolre se i due generori erogno lo sesso vlore dell ensione, le due inensià di correne sono uguli. Posso quindi clcolre l correne in un rmo di un ree limen d un solo generore sposndo il generore proprio in quel rmo e clcolndo l inensià di correne nel rmo dove si rovv originrimene il generore. Si può riscrivere il eorem rimuovendo le ipoesi semplificive nzidee ed nche considerndo l limenzione con un generore di correne. Appliczione del eorem di Telleghen Qule ppliczione del eorem di Tellegen, ed in pricolre dell reciprocià, si può considerre un figur pone di Wehsone in cui non si risconrno configurzioni serie o prllelo di resisori V E Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni

21 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni Per il clcolo dell correne 5, bs considerre il secondo schem in cui il generore è so posiziono proprio nel rmo 5. Se ponimo E 5E vremo quindi che il vlore cerco è l inensià dell correne. Essendo nel secondo schem in prllelo con e 3 in prllelo d 4, vremo, pplicndo l regol del priore di correne, E E E eqe inensià di correne 5 è null se 34. Anche l ensione V5 è null. Ques condizione pone bilncio può essere uilizz per l misur di resisenz, vendo disposizione due resisori di resisenz no, un reoso resisenz vribile, olre l resisore di resisenz incogni. condizione di pone bilncio ssicur che nche l vrire di E non vi è sollecizione eleric sul bipolo 5 nche se rsi di bipolo generico, ivo o pssivo. Quindi in li condizioni non vi è inerferenz r il lo o digonle di limenzione ed il lo o digonle di rivelzione conenene 5 o qulsisi lr pprecchiur rppresenbile con un bipolo E 5 5

22 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin ezione del 6//7 3h Non mplificzione delle ensioni onsider un ree di bipoli di cui uno solo ivo, si può dimosrre che l ensione i cpi del bipolo ivo h, in vlore ssoluo, il vlore più elevo. nfi, considero un generico nodo r inerno ll ree non collego con il generore, l somm delle correni usceni dl nodo rs è null; quindi lcuni ermini sono posiivi ed lri negivi. Poiché i li r s incideni sul nodo r conengono bipoli pssivi Vrs rs, vremo ermini posiivi e negivi nche r le ensioni Vrs. i srà quindi lmeno un nodo s poenzile mggiore di r e un nodo s poenzile minore. Poremmo quindi cosruire un scle di poenzili che vrà un mssimo ed un minimo che corrispondernno i morsei del generore: per queso lo non poremo ripeere il rgionmeno suesposo essendo necessrimene nche per il eorem di conservzione delle poenze vedi più vni Vrs rs. Non mplificzione delle correni onsider un ree di bipoli di cui uno solo ivo, si può dimosrre che lʹinensià di correne erog dl bipolo ivo ssume, in vlore ssoluo, il vlore più grnde rispeo lle inensià di correne negli lri li. nfi se considerimo un generico collegmeno r s r due grdini conigui dell scle dei poenzili, poremo seprre un insieme di nodi poenzile mggiore di r ed un insieme di nodi poenzile minore di s. collegmeni r* s* r i due insiemi sono ineressi, per cosruzione, d inensià di correne r*s* non negive per ui i li fuorchè per quello necessrimene presene corrispondene l generore, per cui srà r*s*<. Quindi vremo un solo vlore negivo, che srà necessrimene in modulo mggiore degli lri. l rgionmeno può esendersi qulsisi lo dell ree. Meodo dei Poenzili Nodli Scriur per ispezione del sisem i poenzili nodli ondunze proprie e muue Se in un ree eleric si ssumono come incognie usilirie i poenzili degli n nodi dell ree considero un nodo di riferimeno, vremo n nuove incognie, l ensione del lo poso r il nodo r ed il nodo s srà VrsVr Vs e l inensià di correne, se il bipoli sono normli, srà sel ipo rsvr VsErs/rs, dove Ers è il vlore dell ensione del generore con il primo morseo rivolo d r ed rs è l resisenz del lo. e n equzioni indipendeni per conoscere i Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni

23 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 3 poenzili nodli si pornno dedurre dl bilncio delle correni l nodo, scrio in funzione dell differenz fr i poenzili nodli. Se l ree h due soli nodi A B ed li di cui coneneni generori reli di ensione o soli resisori, immginndo che un resisore poss essere schemizzo come un generore di ensione rele con ensione vuoo null e coneneni generori di correne ideli, bserà scrivere, poso VB V AB V A ± E ± " " rs J formul di Millmnn dove il segno viene inserio nel cso di generore E con il primo morseo rivolo verso B e generore di correne rivolo verso A. Nel cso di bipoli normli, l mrice del coefficieni A nell equzione A V B dove V è il veore delle incognie poenzili nodli, di dimensioni n è cosiui di ermini di condunz propri sull digonle principle Grr, pri ll somm delle condunze dei li incideni nel nodo r, resi pssivi. ermini fuori digonle r s vengono chimi condunze muue e rppresen l condunz del lo considero, cmbi di segno. n l modo il sisem fondmenle può essere imposo per ispezione. Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 3

24 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 4 ezione del 8//7 3h Auoes n. e correni di mgli n un ree eleric le mglie indipendeni fondmenli si oengono considerndo uno ll vol i li del co lbero d unire ll lbero. A quesi percorsi chiusi ssocimo un riferimeno J preso per coninuià dl riferimeno per l inensià di correne fisso nel lo del colbero e prolungo ll iner mgli. e inensià di correne nei rmi dell lbero si oengono come semplici combinzioni delle correni di mgli J. percorsi J enrno ed escono d ogni nodo per cui i bilnci di correne i nodi, scrii in ermini di J, si risolvono in idenià: d J b d J J b J b J J J J J 3 c d e e f J f J b f J b J f J J f b Jb e f c 3 Jf Se considerimo un ree linere cosiui d bipoli normli, poremo scrivere, per un lo r s conenene un generore rele o idele di ensione V E ± J E 3. rs rs rs rs rs rs ermini dell sommori sono moliplici per un coefficiene se il riferimeno dell correne di mgli è discorde d quello di rs. Nel cso rsi di un lo del colbero, l sommori si riduce d un solo ermine. l meodo delle correni di mgli consider come incognie fondmenli le correni di mgli, in numero di N, poendosi ricvre in modo molo semplice le ensioni e le correni nell ree. onsidere le 3. e 3., le equzioni risolveni srnno le equzioni lle mglie, scrie in ermini di correni di mgli. Se si scelgono correni di mgli come sopr indico, esse drnno diremene i vlori delle correni nei rmi del colbero. Anche in queso cso le equzioni possono essere scrie per ispezione. mrice dei coefficieni srà cosiui sull digonle principle ii dll resisenz di mgli oenu sommndo le resisenze che si inconrno nei Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 4

25 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 5 li dell mgli, i ermini fuori digonle ijji rppresenno l somm dei vlori delle resisenze dei li comuni lle mglie i e j, i ermini noi sono collegi lle ensioni vuoo di mgli, il uo in modo perfemene dule l meodo dei poenzili nodli. presenz di un generore di correne idele in un lo rende non immedimene pricbile il meodo per ispezione. l lo che lo coniene però può essere scelo come lo del colbero e dr luogo d un correne di mgli di vlore noo, per cui si riduce l ordine del sisem. l meodo delle correni di mgli si rirov pricolrmene uile qundo il numero delle mglie è bsso rispeo l numero dei li e/o qundo vi sino moli generori di correne. Ad esempio l figur poligonle soo indic con numero di li perimerli del poligono qulsisi, limen d generori di correne, dà luogo d un sol equzione nell correne di mgli J*, ricvndosi poi rpidmene ue le grndezze nlogo del eorem di Millmnn: ± J rs rs ± Ers J rs dove il segno v dopero nel cso di discordnz r il riferimeno di J e il verso r s r J s J Si può conrollrein dulià ll precedene espressione di Millmnn che l numerore compiono le ensioni vuoo cioè per J per ogni lo e l somm delle resisenze di ui i li dell mgli ineress. Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 5

26 A. A. 7/8 nroduzione i circuii pgin 6 ezione del 3//7 h rerisiche degli N poli Un ree ccessibile d N morsei poli,..,n prende genericmene il nome di N polo; un ree ccessibile d N coppie pore di morsei ordini,,...,n N prende il nome di N bipolo; un ree ccessibile d N m ple di morsei... m,..., N N N... N m prende il nome N m polo. Nel cso di un sol coppi di morsei ordini si rirov il noo bipolo. crerizzzione degli N bipoli può essere effeu prire dll scel dell convenzione sulle singole pore d esempio può essere scel per ue le pore l convenzione dell uilizzore. e singole pore possono poi essere limene con generori di ensione o di correne. crerizzzione dell N polo viene in genere effeu fissndo per l inensià dell correne eleric un riferimeno congruene su ue le pore d esempio un riferimeno enrne; poichè l ree rppresen un sruur limi, le inensià di correne, supposo un funzionmeno szionrio, sono r loro dipendeni. Per il principio di conservzione dell cric srà infi N Nell scel dell crerizzzione dell N polo su bse correne o su bse ensione si dovrà ener cono si dell che dell conservzione del cmpo elerico szionrio. Sono previse per i generori due configurzioni fondmenli: nell configurzione concen i morsei dei generori sono collegi in sequenz r i poli _,_3, 3_4,N _N,N_, nell configurzione sell un morseo del generore è collego l polo e l lro d un morseo eserno O cenro sell in comune con gli lri generori. limenzione in correne non porà prevedere quindi N generori selli di correne di vlore rbirrio,,,n: l N mo è dipendene dgli lri N. Possono vicevers essere previsi N generori rbirri di correne conceni J,J3,,JN. limenzione in ensione non porà prevedere N generori conceni di ensione V,V3,,VN di vlore rbirrio, essendo null l somm dei loro vlori. Possono vicevers essere previsi N generori di ensione selli E,E,,EN di vlore rbirrio, collegi d un cenro sell eserno comune. i limieremo in ques sede ll crerizzzioni di N poli lineri pssivi limeni d generori di ensione selli. crerizzzione di N poli Dirioinf7_8_h5 Dirio delle ezioni 6