Dispense per il corso di Filosofia della Fisica (parte I)

Transcript

1 Dispense per il corso di Filosofia della Fisica (parte I) Mauro Dorato, Dipartimento di Filosofia, Università di Roma3 NB Le note che seguono sono per uso strettamente didattico. Si prega quindi di non far circolare il materiale che segue e di non usarlo per citazioni. Aggiornate al 24/10/16 1

2 La fisica classica in pillole Meccanica Particelle in movimento soggette a forze (termodinamica) Elettromagnetismo Campo che si propaga nel vuoto e che trasporta energia (luce)

3 Luce ed onde elettromagnetiche

4 Diamo un pò di numeri 100 miliardi di stelle nella via Lattea 100 miliardi di galassie 100 miliardi di neuroni atomo: r = m nucleo: r = m elettrone: r = m atomo => pianeta Terra: R T = 10 7 m nucleo => campo da calcio: d = 10 2 m elettrone => pallone da calcio: r = 10-1 m

5 Dimensioni dell atomo: perché siamo fatti di vuoto

6 Il problema della stabilità dell atomo I fenomeni ondulatori: lunghezza d onda, periodo e frequenza di un onda. Onde trasversali Diffrazione e interferenza L ipotesi di Planck (1900) L effetto fotoelettrico (1905) L ipotesi di De Broglie (1924)

7 Lunghezza d onda e periodo spazio

8 Diffrazione

9 Interferenza

10 Continuo e discreto ( quanto di azione) Classicamente, l energia di un onda EM è distribuita in modo continuo Planck dovette assumente che un corpo nero (perfettamente assorbente) irraggiasse al variare della T solo per multipli interi di hν dove h costante = 32, erg = energia x tempo = azione La stabilità dell atomo richiedeva l ipotesi che la scambio tra radiazione EM e materia avvenisse in modo discreto: natura facit saltus.

11 Effetto fotoelettrico: Einstein 1905 Se illumino una superficie metallica strappo elettroni L energia della luce è distribuita con discontinuità: il fotone è un granulo d energia privo di massa! Dualismo onda particella In un foro di cm 2 una lampadina emette fotoni E= h ν

12 Bohr 1913 Solo alcune orbite elettroniche sono permesse Un elettrone salta da un orbita all altra assorbendo un fotone dotato di una certa energia (frequenza) Sia E 2 > E 1 allora E 2 - E 1 =h (v 2 v 1 ) ovvero se salta a un orbita con energia minore quella mancante viene emessa sotto forma di luce

13 De Broglie 1924: dualismo onda/corpuscolo Non solo l energia è quantizzata e granulare Ma anche la materia è ondulatoria λ simbolo onde p = mv simbolo particelle (massa = m) λ = h/mv = h/p La velocità dell elettrone (onda) deve essere tale che un numero intero di lunghezze d onda stia nell orbita

14 Momento magnetico Il momento magnetico m di un ago di una bussola è un vettore orientato lungo l ago. Se l ago è in un campo magnetico uniforme B una coppia meccanica M fa ruotare l ago fino ad allinearlo con B. Anche la coppia M (momento angolare) è un vettore perpendicolare (normale) al piano formato dall ago e dalla direzione del campo. L intensità M è proporzionale al momento magnetico: M = mbsinθ e θ è l angolo tra i vettori campo magnetico B e momento magnetico m 14

15 NB Le immagini che seguono sono tratte, dal testo di Hughes, The structure and interpretation of QM E dal il testo di Ghirardi Un occhiata alle carte di Dio 15

16 L esperimento di Stern-Gerlach 16

17 17

18 18

19 19

20 20

21 21

22 22

23 23

24 24

25 Il principio di indeterminazione 25

26 26

27 27

28 28

29 29

30 30

31 31

32 32

33 33

34 34

35 35

36 36

37 37

38 38

39 39

40 40

41 41

42 42

43 43

44 44

45 45

46 Il dibattito Bohr-Einstein Dalle relazioni di Heisenberg alla nonlocalità Il congresso Solvay 1927 Einstein solo contro Bohr, Born, Heisenberg, Pauli, ha come alleato solo Schrödinger 46

47 Bohr Bohr ha compreso un fatto non controverso che deriva dal principio di sovrapposizione 1) il comportamento degli oggetti quantistici è inseparabile dall apparato di misura, perché prima della misura oggetti in sovrapposizione non hanno proprietà definite Bohr aggiunge un punto più controverso 2 ) un analisi più dettagliata del processo di misura è esclusa in linea di principio. 47

48 Generalizzazione del principio di Heisenberg L indeterminazione è un caso particolare del fatto che gli apparati di misura non registrano ciò che c è già, ma danno informazioni sul risultato della misura, a meno il stato precedente dell oggetto non sia già stato misurato Lo stato di un sistema dà informazioni probabilistiche sul risultato di misura, ovvero determina la regolarità statistica macroscopica che si osserva quando un certo esperimento quantistico viene ripetuto più volte (Allori et.al., p

49 49

50 50

51 51

52 52

53 53

54 54

55 55

56 56

57 57

58 58

59 59

60 60

61 61

62 Parte I Introduzione matematica alla MQ Queste note sono state elaborate a partire dai seguenti testi: R.I.G. Hughes, The Structure and Interpretation of QM Harvard University Press, 1989, R. Shankar, Principles of QM, Plenum Press, 1988, C. Isham, Lectures on QM, Imperial Press, 1997, Lang, Algebra Lineare, Boringhieri, T. Apostol, Calcolo, vol. 2 Geometria, Boringhieri, G.C Ghirardi, I fondamenti concettuali e le implicazioni epistemologiche della meccanica quantistica, in G. Boniolo, Filosofia della Fisica, Bruno Mondadori, 1997 F.Byron, R. Fuller, Mathematics of Classical and Quantum Physics, Dover, 1992 Allori e Zanghì, Un viaggio nel mondo quantistico, in Allori, Dorato, Laudisa, Zanghì, La natura delle cose, Carocci, Roma,

63 Indice Prima Parte Seconda parte 1) Vettori e spazi vettoriali 2) Operatori lineari 3) Autovalori e autovettori 4) Numeri complessi 5) Indipendenza lineare e dimensionalità 6) Prodotti scalari e vettori normalizzati; vettori ortonormali 7) La notazione di P.A.Dirac 8) Operatori aggiunti, hermitiani e unitari 9) Generalizzazione a infinite dimensioni 10) Gli operatori coniugati X e K 10) Spazi di Hilbert 11) I postulati della MQ 63

64 1.Vettori e spazi vettoriali Operazioni con vettori in R 2 Addizione tra vettori Moltiplicazioni con scalari 64

65 Nel piano R 2 ogni vettore (punto) corrisponde a una coppia ordinata di numeri reali e viceversa y v v x v= ; y 0 0= 0 v x v v y 0 x 65

66 w = u + v u v Addizione di due vettori (vista geometricamente, è la regola del parallelogramma) 66

67 Addizione (vista analiticamente) v v= x vy u= u u x y v + u = v v x y + + u u x y 67

68 68 w v u = = = = 1 2 u = 3 1 v u v 3 4 w Ovvamente i due punti di vista convergono!

69 Moltiplicazione di un vettore con uno scalare a (è come un cambiamento di scala, dilatazione o contrazione, indotte dal numero reale a) av = avx av y w = 2 v a = 2 0 v a = -1.5 w x = 2 v x u= -1.5v 69

70 70 = y x av av av a = -1 = + = + y x y x v v v v v )v 1 ( = 0 = 0 0 y y x x v v v v Sommando un vettore e il suo inverso

71 2 base 1 base Lo stesso vettore (in nero) può avere differenti rappresentazioni o scomposizioni, in funzione di basi diverse, qui rappresentate dai due sistemi di coordinate rosse e blu, uno ruotato rispetto all altro 71

72 Spazio vettoriale lineare V Sia dato un campo F, ovvero (in modo informale), un insieme di scalari reali o complessi (immaginari) con due operazioni binarie + e. Uno spazio vettoriale su F è una strutturav = <V, +,., 0> chiusa rispetto a + e alla moltiplicazione. di un vettore con uno scalare e tale che, per ogni vettore u, v e w in V e per ogni a e b in F, valgono i seguenti assiomi: 1 (u + v) + w = u + (v + w) associatività + 2 u + v = v + u commutatività + 3 v + 0 = v esistenza el. neutro + 4 v + (- v ) = 0 esistenza inverso + 5 (a + b). v = a. v + b. v distribut. + per scalari 6 a. ( v + w) = a. v + a. w distrib. per vettori 7 a.(b v) = (ab). v associatività u = u esistenza el. neutro. 72

73 In breve, uno spazio vettoriale lineare V è uno spazio di elementi qualsiasi (numeri, funzioni, serie, vettori etc.) che si possono sommare tra loro e moltiplicare per scalari obbedendo alle regole appena viste Dal punto di vista assiomatico, un spazio vettoriale è una qualunque entità che soddisfi le leggi viste sopra. ** Per la MQ, il concetto di vettore in un particolare spazio vettoriale, detto di Hilbert, si rileverà fondamentale, perché, come vedremo, corrisponderà allo stato di un sistema quantistico. ** 73

74 Esercizi (a, b, c) + (d, e, f) = (a + d, b + e, c + f) α(a, b, c )= (αa, αb, αc) Mostrare che entità di questo tipo (triple di reali) formano uno spazio vettoriale con queste due operazioni Scrivere il vettore nullo e l inverso di (a, b, c) Abbiamo uno spazio vettoriale se richiediamo che a, b, c siano reali positivi? Mostrare che vettori del tipo (a, b, 1) non formano uno spazio vettoriale Dimostrare che: 0v = 0 (aggiungi 0v a αv); α0 = 0 (aggiungi α0 a αv) (-1) v = (-v) (aggiungi v a (-1) v) 74