Note sulle Leggi di Kirchhoff

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1 IOUZIO Unerstà deg Stud d ssno ote sue Legg d Krchhoff ntono Mffucc Fbo Vone e mt d ppcbtà modeo crcute consente o studo d sstem eettromgnetc costtut d nterconnessone d un certo numero d dspost eettrc ed eettronc (crcut) ttrerso determnzone dee grndezze eettrche tensone e corrente defnte n modo unoco per cscun componente. etto numero d bpo costtuent crcuto n esme modeo consente d screre un sstem d equzon nee ncognte tenson e corrent che può essere suddso n due sottosstem equzon topoogche (ottenute de Legg d Krchhoff); equzon crtterstche (ottenute de rezon costtute de component). Le equzon topoogche stbscono dee rezon tr e corrent e dee rezon tr e tenson che rfettono escusmente e propretà d nterconnessone de crcuto. Le equzon crtterstche per contro descrono funzonmento de sngoo eemento mponendo un egme tr tensone e corrente rete queo specfco componente. punto d st mtemtco e equzon topoogche sono sempre gebrche e ner mentre ntur pù o meno compess de component de crcuto può condurre d equzon crtterstche ner o non-ner sttche o dnmche tempo-rnt o tempo-nrnt. e seguto edremo come sfruttndone e propretà struttur s possbe rformure e equzon topoogche n un form mtrce che otre ntggo d essere comptt ed eegnte consent: d mpostre moto fcmente procedure d crttere genere per rsouzone dee ret nturmente mpementb n smutor numerc; d dsporre d strument moto potent per ns qutt dee ret.. LMI I OI I GFI Grfo I grfo d un rete è nseme de nod n de t e de rezone d ncdenz d un crcuto coè de rezone che d ogn to f corrspondere copp d nod cu è connesso. In Fg. è rportto grfo corrspondente due crcut costtut d n nod ed. S not che due crcut dfferscono soo ne ntur de component che costtuscono m presentno stess topoog qund sono descrtt do stesso grfo. edente che d ogn crcuto s ssoc un soo grfo mentre o stesso grfo può rppresentre crcut ders... / Fg. ue crcut eettrc ed corrspondente grfo e seguto supporremo d consderre soo ret costtute d bpo. L estensone de rsutt ret composte d eement mutpor esu d obetto d queste note ed è rmndt d uteror pprofondment.

2 I grfo d un rete s dce orentto qundo s stto ssocto un erso d ognuno deg t. pcmente t de grfo engono orentt tenendo conto de ers scet per orentre e corrent su corrspondent bpo de rete rppresentt d grfo stesso. Un grfo s dce connesso se ogn nodo è coegto quss tro nodo ttrerso uno pù t mentre s dce pnre se può essere trccto su un pno senz che t s ntersechno. Mg Sottogrfo connesso d un rete n cu n cscun nodo ncdono due e soo due t. Per defnzone mg qund rppresent un percorso chuso costtuto d un certo numero d t. In Fg. con rfermento d un ssegnto crcuto engono edenzte tutte e possb mge che s possono defnre. mge possono essere omente nddute nche prtre d grfo de rete. I Fg. Le possb mge nddub n un crcuto S not che è possbe defnre un mg unone d due mge che bbno un to n comune que ene emnto ne operzone d unone: ne esempo d Fg. mg III s può ottenere come unone dee mge I e II. Un mg d un grfo pnre che non contene nessun to suo nterno è dett neo. I grfo pnre d Fg. contene due ne corrspondent e mge I e II. bero d un grfo Sottogrfo connesso d un rete che contene tutt nod senz chudere cun mg. to un grfo è possbe defnre pù d un bero come mostrto n Fg.. utt g ber tutt doendo coegre n nod senz chudere mge sono costtut d n t. L nseme compemento de bero rspetto grfo è detto cobero ed è costtuto dg ( n ) t rmnent. e Fg. cobero reto bero () è costtuto d t e mentre queo reto bero (b) è costtuto d t e. II III () I II III (b) Ossermo che per defnzone d bero e d cobero ggunt d un quss to de cobero chude un ed un so mg dett mg fondmente. I numero d mge fondment è pr numero d t de cobero: ( n ). In Fg. ene rportto nseme d mge fondment reto scet de bero () n Fg.. Fg. Inseme d mge fondment ssocto scet de bero () n Fg. d ogn scet possbe d bero e qund d cobero s ssoc un nseme derso d ( n ) mge fondment. mge sono tr d oro ndpendent ne senso che non è possbe ottenere un quss d t mge d unone dee restnt mge fondment. notre possbe mostrre che quss tr mg de grfo può essere ottenut d unone d mge fondment. S osser che è possbe dmostrre che n un grfo pnre s possono nddure ( n ) ne. nche se n genere t ne possono non essere ssoct d cun nseme d mge fondment s può mostrre che nche g ( n ) ne sono mge ndpendent e che tutte e tre mge s possono ottenere d unone d ne. dfferenze de nseme d mge fondment che dpende d scet de bero nseme deg ne d un grfo pnre è unco.. O SULL LGG I KIHHOFF P L OI Legge d Krchhoff per e corrent (LK) In un rete eettrc somm gebrc dee corrent fferent n un nodo è nu: ±. ssocto rbtrrmente un erso d rfermento nodo (uscente o entrnte) te somm s effettu conteggndo co segno () tutte e corrent cu erso è concorde queo de rfermento e co segno (-) quee cu erso è d esso dscorde. on rfermento esempo d Fg. ppczone de LK grfo orentto n esme fornsce e n equzon de sstem () nee ncognte dte de corrent d cscuno de t de grfo. S osser che t equzon sono stte ottenute ssumendo come posto erso uscente d cscun nodo. Scegere come posto erso entrnte n uno quss de nod eque sempcemente cmbre segno membro membro corrspondente equzone ne sstem () che omente non cmb equzone stess. Fg. Grfo d un rete con due possb scete d bero

3 Fg. Grfo orentto e corrspondent: () equzon per e corrent; (b) mtrce d ncdenz Le equzon ottenute ppcndo LK possono essere fcmente rppresentte n un form mtrce comptt defnendo un mtrce che contene e nformzon topoogche necessre. L costruzone de mtrce d ncdenz è moto sempce se s procede per t coè per coonne : coonn j-m è ssoct to j e conterrà tutt eement nu trnne che n corrspondenz de nod cu to è coegto. Quest utm due eement srnno pr o - second de concordnz co erso ssocto to j rspetto erso uscente d nodo. ppcndo questo modo d procedere è sempce stbre che mtrce d ncdenz de grfo orentto d Fg. è que ndct ne stess fgur (b). ostrut mtrce è nteressnte egger or per rghe. Introdotto ettore coonn dee corrent ncognte [ ] L () è sempce mostrre ppcndo e regoe de prodotto mtrce che equzone mtrce () rppresent propro sstem d equzon che s otterrebbe mponendo LK tutt nod de rete (scegendo per tutt erso uscente come posto). on rfermento esempo d Fg. s rebbe nftt: Utzzmo or e mportnt propretà struttur d queste mtrc per dmostrre un mportnte rsutto de teor dee ret. () (b) Mtrce d ncdenz to grfo orentto d un rete d n nod ed t s defnsce mtrce d ncdenz mtrce n cu eemento generco ) ( j è pr : se to j non è coegto nodo se to j è coegto nodo ed erso de to j è uscente d nodo - se to j è coegto nodo ed erso de to j è entrnte ne nodo mostrzone. Per sgnfcto ttrbuto () è edente che numero mssmo d equzon nermente ndpendent è pr numero mssmo d rghe nermente ndpendent. Poché ogn coonn d contene un eemento pr un eemento pr - e tutt g tr eement nu sommndo tutte e rghe s ottene ettore nuo che sgnfc che numero d rghe ndpendent è scurmente mnore d n. Questo pro che scurmente e n equzon non possono essere ndpendent. Fg. Indpendenz d n- equzon nod. Per dmostrre che è possbe screre n- equzon nermente ndpendent consdermo un rete ne que nod sno stt numert d d n (ed fg.). Ossermo che se grfo è connesso (potes sempre soddsftt nee nostre ppczon) ggunt d ogn nuoo nodo mpone un equzone n cu compre meno un nuo ncognt rspetto quee scrtte n precedenz condzone suffcente grntrne ndpendenz. Questo dscorso può essere terto fno d un numero d nod pr d n-. mnmo or un quss dee n rghe d mtrce d esempo rg -m corrspondente -mo nodo. Otterremo n questo modo cosddett mtrce d ncdenz rdott. In seguto d esempo è rportt mtrce d ncdenz rdott ottenut cncendo rg d mtrce d ncdenz de esempo d Fg.. ssumendo possmo qund ffermre che e LK consentono d screre n equzon nermente ndpendent fornte d espressone mtrce () che eque screre tutte e equzon nod trnne nodo corrspondente rg estrtt per ottenere mtrce rdott che compre ne (). In t cso s dce che mtrce non è rngo peno. S osser che ne seguto ometteremo ne notzone pedce che sere qu soo rcordre che mtrce è un dee n possb mtrc rdotte precsmente que ottenut cncendo rg -m. : : : F nodo nodo nodo F Propretà d ndpendenz dee equzon d Krchhoff per e corrent t un rete d n nod ppczone de LK fornsce n equzon nermente ndpendent per e corrent ottenute emnndo equzone corrspondente d uno quss de nod de rete.

4 . O SULL LGG I KIHHOFF P L SIOI Legge d Krchhoff per e tenson (LK) In un rete eettrc somm gebrc dee tenson fferent d un mg è nu: ±. ssocto rbtrrmente un erso d crcozone de mg te somm s effettu conteggndo co segno () tutte e tenson cu erso è concorde queo de rfermento e co segno (-) quee cu erso è d esso dscorde. on rfermento esempo d Fg.7 ppczone de LK grfo orentto n esme fornsce e equzon de sstem n fgur cscun per ogn possbe mg (ndcte ne sstem con t che e costtuscono) nee ncognte dte de tenson d cscuno de t de grfo. equzon sono stte ottenute ssumendo per cscun mg come posto erso d percorrenz ntorro e supponendo che su tutt bpo de rete s stt ftt stess conenzone. I ntggo de scet d un unc conenzone su ers per ogn bpoo de rete s trduce ne ftto che erso dee corrent rportto ne grfo orentto nduce utomtcmente nche queo dee tenson. Omente te scet non è strettmente necessr così come non è necessro scegere per tutte e mge o stesso senso d crcozone. Fg. 7 Grfo orentto e corrspondent equzon per e tenson edente che non tutte e equzon de sstem d Fg.7 sono nermente ndpendent: d esempo eq. può essere ottenut sommndo membro membro e eq. e. ò sgnfc che numero d equzon per e tenson nermente ndpendent che s possono ottenere d LK è mnore o ugue numero d tutte e possb mge de rete. mostrzone. Quest propretà può essere fcmente mostrt prtre de propretà enuncte ne pr.. Sceto nftt un quss nseme d mge fondment è edente che e equzon per e tenson che s ottengono d cscun mg fondmente sono nermente ndpendent n qunto presentno mg I (t- ) Propretà d ndpendenz dee equzon d Krchhoff per e tenson mg II (t - - ) mg III (t - - ) mg IV (t- - ) mg V (t ) mg VI (t- - - ) t un rete d n nod ed t ppczone de LK fornsce ( n ) equzon nermente ndpendent per e corrent. un ncognt n escus ( tensone ret to de cobero ssocto mg fondmente). on rfermento d esempo grfo d Fg.7 sceto come nseme d mge fondment nseme d Fg. e equzon rete te scet sono e seguent: mg I (t- ) mg IV (t- - ) mg VI (t- - - ) L prm d esempo s ottene ssocndo bero () d Fg. to de cobero e qund è unc che contene ncognt. Poché po ogn tr mg de rete può essere ottenut d unone d mge fondment è edente che ret equzone e tenson può essere ottenut come combnzone dee equzon dee mge fondment cu unone fornsce mg n esme. ome per e equzon per e corrent nche quee per e tenson possono essere espresse n form mtrce ntroducendo un opportun mtrce. Mtrce d mg to grfo orentto d un rete d n nod ed t ente m mge s defnsce mtrce d mg mtrce m cu eemento generco ( j) è pr : se to j non è pprtene mg se to j pprtene mg ed suo erso è concorde erso d crcozone de mg - se to j pprtene mg ed suo erso è dscorde erso d crcozone de mg nche costruzone de mtrce d mg può procedere per t coè per coonne sebbene però non sno pù e propretà struttur de mtrce d ncdenz. d esempo mtrce d mg de esempo d Fg.7 è seguente: t Introdotto ettore coonn dee tenson ncognte [ L ] mg I mg II mg III mg IV mg V mg VI () è sempce mostrre ppcndo e regoe de prodotto mtrce che equzone mtrce S osser che te condzone è suffcente m non necessr grntre nere ndpendenz dee equzon. 7 8

5 9 () rppresent propro sstem d equzon che s otterrebbe mponendo LK tutte e mge de rete. on rfermento esempo d Fg.7 s rebbe nftt: enendo conto de propretà d ndpendenz dee LK è edente che è ute ntrodurre mtrce d mge fondmente ottenut con stess procedur descrtt sopr m prtre d un nseme d mge fondment. L seguente equzone mtrce () fornsce esttmente ) ( n equzon nermente ndpendent nee ncognte tenson.. O SUI MOI GLI I LISI LL I ome gà rcordto n precedenz dto un crcuto d bpo ed n nod modeo crcute consente d screre un sstem d equzon nee ncognte tenson e corrent che può essere suddso n due sottosstem: equzon topoogche (ottenute de Legg d Krchhoff); equzon crtterstche (ottenute de rezon costtute de component). Per qunto detto fnor prmo sottosstem è costtuto d equzon gebrche ner che possono sempre essere poste ne form mtrce : (LK) equzon (LK) equzon ) -(n- n- (7) I secondo sottosstem è fornto de rezon crtterstche che dentfcno egme tensonecorrente per cscuno de bpo de rete. In genere t crtterstche possono essere moto compesse second de ntur de bpo e notre non è n genere sscurt comptbtà d t equzon con quee topoogche. onsdermo cso sempce d un rete costtut d so resstor ner e genertor ndpendent: generc equzone crtterstc rà un dee seguent espresson: corrente genertore d tensone genertore d resstore (conenz. norme) - m m r r (8) Ossermo che queste equzon sono tutte nermente ndpendent e comptb. Qund nseme d tutte e equzon crtterstche potrà essere espresso ne form genere: u M () ne que M ed sono opportune mtrc ed u è un ettore d termn not. S consder d esempo crcuto d Fg.8 costtuto d resstor ner un genertore d corrente e un genertore d tensone. Fg.8 quzon crtterstche per un crcuto ssegnto I sstem dee equzon crtterstche rete te crcuto può essere posto ne form () endo defnto e seguent mtrc: M u. () I sstem compesso d 8 equzon nee 8 ncognte tenson e corrent s può or porre ne form mtrce u M () Introdotto ettore dee ncognte [ ] L L x () sstem () può n utm ns essere rcondotto d un unco sstem nere x b W () doe mtrce bocch W ed ettore de termn not b sono defnt come segue: u b M W. equzon crtterstche

6 I modeo mtemtco d un crcuto formto d resstor ner e genertor ndpendent (crcuto ressto nere) è costtuto d un sstem d equzon gebrche ner de tpo () nee ncognte (). Qundo genertor sono spent s h b e qund x : un crcuto ressto pro d genertor mmette soo souzone bne. e cso genere rsouzone de sstem () può rsutre moto oneros d punto d st computzone soprttutto qundo s s nteresst d nzzre ret d nteresse ppcto che spesso presentno un grn numero d component. L smuzone numerc d un sfftt rete rchede tecnche effcent d rsouzone de sstem () che sfruttno d esempo sprstà de mtrce W coè ftto che grn prte de suo eement è nuo. Inotre formuzone () present nconenente de costruzone d entrmb e mtrc topoogche e. enuto conto che costo computzone de costruzone de mtrce è moto nferore d queo de costruzone de mtrce (che s bs su costruzone non bne d un set d mge fondment) c s chede se s possbe rformure modeo etndo costruzone de mtrce. Per ore secondo probem s può ntrodurre un sstem d nuoe ncognte dette potenz nod ssocte cscuno deg n nod de rete n modo che s possbe esprmere tensone d cscun bpoo de crcuto come dfferenz tr potenze de nodo ndcto come posto d erso sceto per tensone ed potenze de nodo ndcto come negto. In Fg.9 sono rportte e espresson dee tenson n funzone de potenz d nodo con rfermento d un grfo orentto e ssumendo che su ogn to de grfo s stt dottt conenzone norme (qund tensone è dscorde rspetto erso de corrente). e e e Fg. 9 I potenz nod: () equzon per e tenson; (b) mtrce d ncdenz de grfo Le tenson espresse come dfferenz d potenz nod soddsfno utomtcmente e LK ( ettore pro erfcro per un quss de mg de crcuto n Fg.9). Inotre costrut mtrce d ncdenz (ed Fg.9 b) ed ntrodotto ettore-coonn de potenz nod è possbe erfcre che e e e e e e e e e e e e e () [ e e L e ] e () n e. () Poché notre e tenson sono defnte tutte come dfferenz dee ncognte potenz è edente che uno de potenz può essere fssto d rbtro: s può d esempo mporre che uno quss de potenz s nuo rducendo numero dee ncognte n ( nodo corrspondente ene detto nodo d rfermento per potenz). Se consdermo or mtrce d ncdenz rdott e seguto supporremo che sno erfcte e condzon per cu souzone de sstem esst e s unc. ò ccde qundo e equzon de sstem sono ndpendent e comptb tr d oro. Lo studo d sstem mpost è rmndto d uteror pprofondment. (b) ottenut d emnndo propro rg corrspondente nodo d rfermento rrà ncor rezone () con rfermento ed ettore dee n ncognte e. L conoscenz de mtrce d ncdenz consente qund non soo d screre e LK m nche d esprmere rezone () che mpone utomtcmente e LK: (7) e per cu n utm ns tutte e nformzon dee equzon topoogche sono contenute ne mtrce d ncdenz rdott. ggungendo or nche e equzon crtterstche s ottengono e cosddette equzon d tbeu: d esempo per un crcuto ressto nere descrtto de () ns d tbeu con formuzone (7) consste ne rsoere seguente sstem: e y b I (8) M u M ne que ettore dee ncognte è defnto come [ e e L e L L ] y (9) n mentre termne noto b è defnto come ne (). spetto sstem () sstem (8) present ntggo d non rchedere ccoo premnre de mtrce m h o sntggo de umento de numero d ncognte. Per ffrontre nche punto reto effcenz computzone modeo (8) può essere ncor rformuto n modo d ottenere n equzon nee n ncognte e. e pprocco è noto come metodo de potenz nod e s ppc n modo nture ret costtute d resstor ner e genertor ndpendent d corrente. S consder d esempo rete d Fg. contenente tre nod de qu uno ( nodo ) è stto fssto potenze nuo. G α G β G Fg. Metodo de potenz nod: () grfo de crcuto psso; (b) mtrce d ncdenz rdott de grfo Ossermo premnrmente che essendo note e corrent ne t de genertor LK s può screre n modo ternto come () doe è mtrce d ncdenz rdott de rete res pss coè de rete ottenut d rete d prtenz spegnendo genertor d corrente (ed Fg.) mentre -mo termne de ettore è somm d tutte e corrent de genertor ndpendent fferent nodo consderte poste se oro erso è entrnte ne nodo stesso. e cso d Fg. s rebbe d esempo: e e e

7 α. β Possmo ncor esprmere e crtterstche de rete pss utzzndo e conduttnze ed ssumendo conenzone norme: G... () oppure n form mtrce: G G b doe Gb G. () G questo punto utzzndo () e () e second dee (7) è sempce ottenere sstem doe mtrce G è defnt come G e () G G b e gode d mportnt propretà struttur: - generco eemento su dgone G è pr sommtor d tutte e conduttnze fferent nodo ; - generco eemento fuor dgone G j è pr sommtor (cmbt d segno) d tutte e conduttnze coegte tr nod e j. I metodo de potenz nod qund consente d rformure probem n un sstem d equzon n n ncognte con un procedur che può essere res utomtc n modo moto sempce moto per cu questo pprocco è bse de smutor numerc commerc per ns d crcut d nteresse ppcto (d esempo SPI). Ossermo che n presenz d un genertore d tensone che s tro n sere d un resstore s può premnrmente trsformre genertore ree d tensone n un genertore dee d corrente e qund ppcre metodo: questo eque d nzzre rete pss esttmente come prm e d ntrodurre genertore d corrente / ne defnzone de termne noto n corrspondenz de nod qu è conness sere -. e cso n cu non s un resstore n sere occorre rformure modeo per tener conto de ftto che te crcostnz ntroduce un nuo ncognt (corrente de genertore d tensone) m bbss d n numero de potenz ncognt (soo potenze d uno de due nod cu genertore è coegto può essere ssunto come ncognto). Infne ossermo che rsutt d questo prgrfo s bsno su possbtà d esprmere modeo crcute sottoform d un sstem d equzon ner gebrche. Quest possbtà non s mt soo crcut resst ner m nche crcut dnmc ner n regme permnente snusode: per t crcut defnendo un trsformzone fsore è possbe ottenere un modeo gebrco nere che conoge fsor d corrente e tensone e e mpedenze. d esempo sstem () può essere generzzto come Y () ssendo e ettor costtut d fsor corrspondent d e e ed essendo Y un mtrce d mmettenze defnt secondo e regoe d cu sopr.. L OSVZIO LL POZ LIH L potes d dtà de modeo crcute consente d rcre un rsutto moto mportnte che rgurd bnco dee potenze eettrche n un rete. Prncpo d conserzone dee potenze eettrche In un quss rete eettrc che soddsf e Legg d Krchhoff somm dee potenze eettrche ssorbte d bpo è nu. dottndo per ogn bpoo conenzone norme s h qund: mostrzone. Questo prncpo può essere fcmente mostrto prtre de propretà de mtrce. S h nftt: cu rcordndo come s cco trspost de prodotto tr due mtrc s h: ( e) e L ppczone de LK ( ) consente questo punto d dmostrre rsutto. S osser che LK è stt mpctmente mpost esprmendo e tenson n funzone de potenz. I prncpo d conserzone dee potenze eettrche e ne so potes d dtà dee LK qund prescndere d ntur deg eement de rete. e prncpo h o stesso ore ssomtco dee LK: un quss dee LK può essere rct mponendo dtà de tr LK e d te prncpo d conserzone. Ossermo che pres un rete n cu su bpo s stt scet conenzone norme e su M conenzone de genertore prncpo d conserzone dee potenze s può nche esprmere come segue: p M j j p. Infne ossermo che prese due ret dstnte che bbno o stesso grfo ed ndcte con ( ) e ( ) e rete grndezze eettrche è possbe mostrre con pss nogh che e un prncpo d conserzone dee potenze rtu (detto nche Prncpo d eegen): ~ p. p. S pr n questo cso d metodo de potenz nod modfcto.