Modellazione e Identificazione Dinamica della Cupola della Basilica di S. Gaudenzio in Novara

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1 Modellzone e Identfczone Dnmc dell Cupol dell Bslc d S. Gudenzo n Novr Ing. Slvno Erlcher Sommro Nell prm prte dell rtcolo s present un modello gl element fnt dell Cupol dell Bslc d S. Gudenzo. S mostrno le prncpl forme modl del modello ottenute mednte l nls modle. Nell second prte s presentno le elborzon de dt reltv d un cmpgn d msurzon ccelerometrche esegute nelle condzon d ecctzone d tpo mbentle. L pplczone d opportune tecnche d nls del segnle h permesso l dentfczone spermentle delle prncpl frequenze e forme modl dell struttur. Il confronto con rsultt reltv l modello numerco consente lcune consderzon n merto ll clbrzone del modello stesso. Introduzone L vlutzone dell scurezz d strutture storco-monumentl è un problem d notevole complesstà che rchede l rcorso lle pù moderne tecnche d clcolo. Orm d molt nn nelle pù svrte pplczon ngegnerstche s rcorre ll modellzone gl element fnt, che è stt pplct estensvmente tutt tp d strutture. Nel cso degl edfc d nteresse storco, uno de problem pù compless dell modellzone è quello dell scelt e successv clbrzone de legm costtutv d ssegnre mterl, ed n prtcolre ll murtur. L pprocco trdzonle questo tpo d problem è quello dell scelt d legm costtutv elstco lner, o n qulche cso d legg costtutve non lner dtte però ll modellzone d mterl come l clcestruzzo e non dtte ll murtur. Un ltro tpo d pprocco l problem dell modellzone è quello bsto sulle tecnche del model updtng. Esso prevede l correzone del modello gl element fnt n modo tle che le crtterstche dnmche globl del modello stesso e dell struttur rele concdno. Le propretà globl consderte sono le frequenze propre e le forme modl corrspondent. Tle nls presuppone percò l esecuzone dell dentfczone spermentle delle crtterstche dnmche dell struttur. Cò rchede

2 l ubczone n poszon opportune d ccelerometr e l successv nls de dt. Questo tpo d procedur prevede, nell su pplczone pù trdzonle, l msurzone non solo delle vbrzon dell struttur (output), m nche dell cus ecctnte (nput). L ecctzone è soltmente ndott mednte eccttore elettromeccnco. Nel cso d strutture murre, soprttutto quelle l cu stbltà non è stt verfct, s rtene pù opportuno rcorrere ll regstrzone dell sol rspost. L cus ecctnte è d tpo mbentle, s trtt coè del vento, del trffco vecolre o, pù rrmente, d un ssm. Nel cso degl edfc relgos l ecctzone può essere dovut nche l moto delle cmpne. Nel seguto s presentno rsultt dell elborzone de dt d un cmpgn d regstrzon dnmche ottenute n condzone d vbrzone mbentle. S sono pplcte due tecnche d nls del segnle, l prm ndct con l nome d Bsc Frequency Domn tecnque (BFD) [1], l second Frequency Domn Decomposton tecnque (FDD) [2]. L fse successv dell nls, non ffrontt n quest sede, conssterà nell utlzzo de dt dell dentfczone dnmc per l clbrzone del modello gl element fnt (Model updtng). Il modello gl element fnt: nls modle Il modello gl element fnt dell Cupol è rppresentto n fg. 1. S può notre che l sezone d bse è quell quot 26.5 m., ed è qund post ppen l d sopr de cosddett rcon. Le condzon d vncolo ssunte per l sezone d bse sono quelle d ncstro. Il modello è costtuto d element, per un totle d nod. Il cstello centrle d colonne e volte n murtur che s trov nell prte superore dell cupol è l cosddetto cvtpp, mentre l nvolucro pù esterno che lo contene è ndcto con l nome d Grn tzz. L equzone lnere dell dnmc strutturle h l form M & x ( t) + C x& ( t) + K x( t) = P( t) (1) dove M è l mtrce d mss, C è l mtrce d smorzmento e K è l mtrce d rgdezz

3 dell struttur; P(t) è l vettore delle forze nodl esterne (ecctzone); x (t) è l vettore degl spostment nodl, mentre punt ndcno l operzone d dervzone rspetto l tempo. L Eq. (1) è un sstem ccoppto d equzon dfferenzl lner. Nell potes d sstem lbero ( P (t) =0) e non smorzto ( C = 0 ) un generc soluzone dell Eq. 1 può essere scrtt come segue: x( t) = φ y( t) = φ sen( ωt + ϕ) (2) Sosttuendo l Eq. 2 nell Eq. 1 s ottene l problem gl utovlor 2 ( K ω M ) φ = 0 (3) che mmette soluzon costtute d coppe (ω, φ ), n cu ω è l generc frequenz nturle e φ è l vettore dell corrspondente form modle. Nel cso d sstem smorzto con smorzmento clssco, le forme modl restno nvrte rspetto quelle ppen determnte [3]. L soluzone dell Eq. (1) nel cso d oscllzon lbere del sstem strutturle ( P (t) =0), ssume llor l form x n () t = y () t = φ sen( ω t + ϕ ) = 1 n φ (4) = 1 Costruendo un modello gl element fnt dell Cupol e ssumendo per esso l potes d lnertà, è possble determnrne le mtrc d mss M e d rgdezz K e qund vlutrne le corrspondent frequenze nturl e forme modl. Rsult ltresì evdente che mod d vbrre (forme modl e frequenze) sono crtterstc d un cert struttur e l loro ndvduzone costtusce un psso mportnte nell comprensone del comportmento strutturle.

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5 Il processo d msur spermentle de mod rchede spesso un nls strutturle prelmnre che può essere utlmente esegut trmte un modello bsto sugl element fnt. L nls modle pplct l modello permette l ndvduzone qulttv delle forme modl e qund fclt l scelt dell ubczone pù opportun degl strument d msurzone delle vbrzon (tpcmente gl ccelerometr). In Fg. 2 s mostrno le prme tre forme modl del modello numerco gl element fnt. L prm form modle è crtterzzt d un semplce curvtur e corrsponde d un frequenz nturle pr, mentre nell second form modle flessonle s not un dopp curvtur. Un ltro tpo d modo d vbrre è quello crtterzzto d un form modle torsonle, n cu, come s può vedere nell fg. 2c, l struttur tende ruotre ttorno l propro sse vertcle. A quest rotzone è ssocto nche un ccorcmento, m è evdente che l scl delle deformzon è molto mplfct rspetto ll stuzone rele. Le Fgg. 2b e 2e ndcno n mggor dettglo come s deformno l cvtpp e l Grn tzz. L qurt form modle (fg. 3 3b) è ncor d tpo flessonle ed è crtterzzt d un dopp curvtur. S può vedere nche n questo cso un ngrndmento d cò che vvene nell zon ntern del cvtpp e s not un cert ndpendenz tr gl spostment del cvtpp e gl spostment subt dll volt estern. L fg. 3c mostr un ltro modo d vbrzone d tpo torsonle: le rotzon ttorno ll'sse vertcle hnno n questo cso segno vrble lungo l sse vertcle dell struttur. Infne, l'ultm delle forme modl presentte (fg. 3d 3e ), è l qurt form modle flessonle. S osserv che è sempre pù evdente n comportmento puttosto nomlo del cvtpp rspetto ll prte estern.

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7 Identfczone modle Le forme e le frequenze modl possono essere ndvdute nche per v spermentle, utlzzndo le cosddette tecnche d dentfczone strutturle. Tl tecnche rchedono l poszonmento d strument d msurzone delle vbrzon strutturl (ccelerometr) e l successv elborzone de dt cqust. L ubczone degl ccelerometr è ndct n fg. 7: s può osservre che sono dspost su quttro lvell, n poszone l pù possble vcn prment estern. S hnno percò sedc strument che rlevno contempornemente le vbrzon dell Cupol. L drezone d msurzone del moto è sempre tngente rspetto qudrt che ndvduno schemtcmente le sezon orzzontl. In tl modo s sono potut regstrre non soltnto gl spostment flessonl, coè d esempo quell n drezone nord-sud o est-ovest, m s possono coglere nche eventul movment torsonl. È nftt evdente che d un moto torsonle dell'nter struttur corrspondono de mot rottor (ttorno l propro centro) d cscun delle sezon strutturl con gl ccelerometr. L tecnc d elborzone de dt utlzzt è quell pù semplce, ed è not con l nome d Bsc Frequency Domn tecnque. Dte due regstrzon ccelerometrche && x () t e & t, s ndcno con & (f e && f le reltve trsformte d Fourer, mentre l utospettro d && x () t G x b () è defnto dll relzone: 2 X & * X&& & ) ( ) X () t X b = (5) L defnzone dell utospettro d nlog, mentre l cross-spettro è dto d G b 2 X & * X&& =. b && x b è del tutto

8 L utospettro dell regstrzone dell ccelerometro n 1 dsposto sull Cupol è mostrto n Fg.. L nterpretzone del comportmento dnmco d un struttur prtre d dgrmm come quell mostrt n Fg. s bs su tre ssunzon: () le frequenze nturl del sstem sono ben seprte tr loro; () lo smorzmento del sstem è bsso; () l ecctzone h le propretà d un rumore bnco (whte nose). Qundo tl condzon sono verfcte le frequenze nturl d un struttur possono essere determnte d pcch dell utospettro d un regstrzone ccelerometrc [2]. In Fg. 5 s notno quttro pcch molto evdent, che possono essere ssoct d ltrettnte frequenze nturl dell Cupol. S ndvdu dunque l prmo modo flessonle n corrspondenz d un frequenz d 0.8 Hz (l perodo d vbrzone è percò d 1.25 second). Le stesse osservzon possono essere ftte per gl ltr pcch, crtterzzt d frequenze sempre crescent e pr 1.68, 2.65 e 4,72 Hz. Queste msurzon s rferscono d un ccelerometro posto n sommtà ll torre e qund pcch dell utospettro ndvduno solmente mot d tpo flessonle. In sommtà gl strument sono nftt post d un dstnz molto pccol dll'sse vertcle dell Cupol, ed è senz ltro verosmle che n que punt l energ ssoct mot torsonl s pressoché null. L'elborzone de dt cqust con gl ccelerometr permette d trccre n modo schemtco le forme modl. Dervndo rspetto l tempo prm due termn dell Eq. (4) e pplcndo successvmente l trsformt d Fourer,, s h nftt X& n = φ Y&& = 1 Consderndo le due generche component del vettore X & n ( ) Y ( ) X&& φ e f = && f X&&, b = φ by &&, = 1 n vrtù delle potes precedent, n corrspondenz dell frequenz nturle f s può scrvere: X && φ Y& ; X && φ Y&, b ;, b n = 1 (6) d cu è fcle ottenere l relzone φ φ, b, X&& b X&& ( f ) Y&& X&& b ( f ) = Y&& X&& (7)

9 L Eq. (7) esprme lo stretto legme tr le trsformte d Fourer de segnl ccelerometrc rlevt spermentlmente e le forme modl negl stess punt. S possono noltre determnre relzon nloghe reltve gl utospettr ed cross-spettr: φ φ, b, G G bb ( f ) G = G b ( f ) In un prm fse s è scelto d rppresentre le forme modl dell Cupol n modo schemtco, mednte semplc grfc bdmensonl (Fg. 5b). L deformt corrspondente 0.8 Hz h semplce curvtur, mentre per frequenze superor s not che l complesstà dell deformzone ument. L elevto numero d ccelerometr e l complesstà ntrnsec dell struttur hnno subto messo n evdenz l necesstà d utlzzre tecnche d elborzone de dt ccelerometrc pù complesse, n grdo d coglere dstntmente nche le forme modl rferte frequenze molto vcne (coè n contrsto con l potes () enunct n precedenz). S è percò pplct l tecnc dell Frequency Domn Decomposton (FDD) [3]. Il softwre utlzzto, messo punto presso l Unverstà d Trento, permette d costrure n modo utomtco le forme modl corrspondent d un ssegnt frequenz, e d mostrrne un nmzone trdmensonle. S ndvdu l prm form modle flessonle n corrspondenz d un frequenz d 0,8 Hz. (Fgg. 6-6b). Per un frequenz d 1.61 Hz s h l secondo modo flessonle (Fgg. 6c-6d). Per un frequenz molto vcn, 1.68 Hz crc, s h un form modle molto smle quell precedente, che però è contenut n un pno vertcle ortogonle quello precedente. Le Fgg. 6e-6f mostrno chrmente l'ortogonltà de due mot. Nel secondo è noltre evdente un notevole effetto torcente che non è stto possble seprre rspetto ll'effetto flessonle prncple.

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11 Pssndo ll frequenz modle superore, s not l presenz d un dopp curvtur, tpc dell terz form modle flessonle (Fgg. 7-7b). In corrspondenz d 3.8 Hz s h un moto d tpo purmente torsonle (Fg. 7c), molto evdente n un vst dll lto dell struttur (Fg. 7d). S not chrmente che s trtt d un second form modle torsonle, vsto che l rotzone de pn con gl ccelerometr vvene n due drezon opposte. Un moto d tpo torsonle può verfcrs per un struttur che è perfettmente smmetrc ttorno l propro sse centrle, solo se su d ess è stt ndott un sollectzone d tpo torsonle. Qund s potrebbe supporre che dll bse s rrvt un sollectzone torsonle: quest elborzone s rfersce un cmpgn d msurzone esegut mentre suonvno le cmpne del cmpnle dcente e qund le vbrzon del cmpnle trsmesse ll Cupol ttrverso le mur dell Bslc potrebbero vere provocto l'ecctzone d questo modo torsonle. Un'ltr spegzone, che sembr pù relstc, è l non perfett smmetr dell struttur stess. Le scle per l ccesso vr lvell dell Cupol costtuscono ndubbmente un dsturbo dell smmetr ssle dell struttur. Accettndo quest ssunzone, llor nche l semplce zone del vento (prescndendo d fenomen legt l dstcco d vortc dlle pret esterne dell Cupol) può fr sorgere questo tpo d deformt. L'ultm frequenz dentfct è pr 4.73 Hz; s not nelle Fgg. 7e-7f che s trtt d un form modle flessonle, crtterzzt dll tendenz del secondo lvello d ccelerometr muovers n modo molto ccentuto rspetto gl ltr. L cus d questo è ncor d ndgre, nche se sembr rgonevole ssocre l moto d questo lvello d ccelerometr quello del cvtpp centrle, vsto che gl strument sono stt dspost n corrspondenz degl rch d collegmento del cvtpp lle murture esterne. Per gl ltr strument l moto regstrto è nvece quello dell prte estern dell struttur.

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13 Concluson Nell prm prte dell rtcolo s è presentt l nls modle condott su un modello gl element fnt dell Cupol dell Bslc d S. Gudenzo, mentre nell second prte s sono llustrt rsultt dell dentfczone strutturle dell Cupol stess. S sono ndvdute le frequenze e le forme modl prncpl. In prtcolre è emers l presenz d forme modl torsonl, che ndcno l non perfett smmetr ssle dell struttur. L dentfczone modle v complett trmte l vlutzone de cosddett smorzment modl. S ntende noltre pplcre l modello gl element fnt le tecnche bste sul model-updtng, n modo tle che le crtterstche modl dell struttur rele e del modello sno n ccordo tr loro. Bblogrf [1] Chopr, A.K. (1995) Dynmcs of Structures: Teory nd Applctons to Erthquke Engneerng, Prentce Hll, New Jersey. [2] Ventur, C., Brncker, R. (2000) Modl Identfcton of Output-Only Systems, Course Notes of the two-dy short course, Unversdd Poltecnc de Mdrd. [3] Brncker, R., Zhng, L., Andersen, P. (2000) Modl Identfcton of Output-Only Systems usng Frequency Domn Decomposton, Proc. of the Europen COST F3 Conf. On System Identfcton & Structurl Helth Montorng, Mdrd. Rngrzment L utore desder rngrzre l Prof. Ing. Oreste Burs e l Ing. Stefno Morv per l loro prezos collborzone nell stesur dell rtcolo.