Descrivendo la situazione in un sistema di riferimento inerziale, cioe solidale con il terreno, si osserva

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1 Associazione per l'insegnamento della Fisica Progetto Olimpiadi OLIMPIADI DI FISICA Febbraio 1999 Gara di 2 Livello SOLUZIONE DEI QUESITI Quesito n.1 Descrivendo la situazione in un sistema di riferimento inerziale, cioe solidale con il terreno, si osserva che il lo si inclina in modo che la componente orizzontale della tensione del lo produca sulla pallina la stessa accelerazione del treno (gura a sinistra). Si hanno allora le relazioni T cos = mg e T sen = ma da cui risulta a = g tan : Invece nel sistema di riferimento solidale con il treno (e quindi non inerziale) l'osservatore vede agire oltre alla forza peso mg e alla tensione del lo T, una forza apparente F = ma, dettaforza d'inerzia (gura a destra). In questo riferimento la pallina e in equilibrio e la risultante di queste tre forze e nulla. Le relazioni che si possono scrivere coincidono con le precedenti. moto del treno α T T α mg R=ma ma mg Quesito n.2 Considerando la gura, dove ~v indica la velocita dell'aereo rispetto all'aria (velocita relativa), ~v t quella del vento (velocita di trascinamento) e ~v a quella dell'aereo rispetto a terra (velocita assoluta), si ha che l'aereo deve dirigersi in una direzione che forma un angolo con la direzione Nord, verso Ovest, tale che v sen = v t sen 45,dacui =6:77 : Pag. 1

2 N B NW 45 NE t θ a W A E Quesito n.3 La frequenza delle onde stazionarie in una corda con gli estremi ssi e, a parita di altri parametri, inversamente proporzionale alla lunghezza della corda indicando quindi con gli indici a e b i dati relativi alla nota piu alta e a quella piu bassa a `a = b `b : Poiche 4 ottave corrispondono ad un fattore 2 4 = 16 in frequenza, le frequenza estreme risultano b = La =16=27:5Hz e a =16 Do =4:19 khz : La lunghezza della corda piu corta (ovvero quella che produce la nota piu alta) dovrebbe quindi essere `a = b a `b =1:31 cm: In realta un pianoforte con corde cos corte non esiste: la lunghezza della corda della nota piu alta e lunga circa 50 cm. Per realizzare le corde di un pianoforte si adoperano corde a diversa densita lineare ottenute sia variando la sezione sia il materiale con cui sono costruite. Quesito n.4 Durante i primi 50 minuti avviene la fusione completa del ghiaccio mentre nei restanti 10 minuti la temperatura di tutta la massa sale di 2 C. L'energia necessaria per la fusione e quindi 5 volte quella necessaria per aumentare di 2 C la temperatura dell'acqua. Indicando con f il calore di fusione del ghiaccio, con c il calore specico dell'acqua e con m gh la massa di ghiaccio inizialmente presente e con m quella totale, si ha m gh f =5mcT da cui si ottiene m gh =1:25 kg : Quesito n.5 Indicando con R 1 e R 2 dei due archi, la resistenza equivalente e data da R? = R 1 R 2 R 1 + R 2 : Pag. 2

3 Essendo R=` la resistenza per unita di lunghezza, si puo sostituire: R 1 = a R` e R 2 =(` ; a) R` da cui R? = a(` ; a) R`2 : Quesito n.6 All'inizio dell'esperimento il numero di moli del gas vale n = PV RT =99mol mentre alla ne 0:7 PV n0 = =69mol: RT 0 Si sono quindi utilizzate 30 moli di gas. Nota: il gas puo essere trattato come un gas perfetto, nonostante l'alto valore della pressione iniziale, in quanto la temperatura e ben al di sopra del valore critico. Quesito n.7 L'energia cinetica del cilindro e K = 1 2 I! Mv2 con v =!R I = MR 2 ) K = MR 2! 2 : Se h e il dislivello del piano inclinato, per la conservazione dell'energia MR 2! 2 = Mgh )! = 1 Rp gh : Il cilindro piu basso, avendo un raggio maggiore, avra una velocita angolare nale minore:! 0 = R R 0! = = 33:3s;1 : Quesito n.8 Dalla legge di conservazione dell'energia, il lavoro L necessario per estrarre la lastrina e pari alla dierenza tra l'energia potenziale elettrostatica nale, U 0, e quella iniziale, U,immagazzinata nel condensatore. Quindi, dette rispettivamente C e C 0 le capacita del condensatore con e senza dielettrico, ed essendo Q = CV la carica presente sul condensatore, si ha L = U 0 ; U = 1 Q 2 ; 1 Q 2 2 C 0 2 C = 1 Q 2 (C ; C 0 ) : 2 CC 0 Essendo C = " r C 0 si trova inne L = 1 Q 2 (" r ; 1) = 1 2 C 2 CV2 (" r ; 1) = 40 J : Quesito n.9 Ponendoci nel sistema di riferimento inerziale in cui si vede ruotare il corpo, si puo dire che la forza risultante ~F {inognimomento del moto { costituisce la forza centripeta necessaria a compiere il moto descritto tale forza ha modulo, costante, F = m! 2 r. La forza risultante, diretta lungo il raggio della circonferenza, e la somma della forza di gravita ~F g,verticale, e della forza applicata dall'asta ~T.Dovra essere, in ogni momento: mω 2 r A mg ~F = ~F g + ~T da cui ~T = ~F ; ~F g : Nel punto A le due forze ~ F e ~ F g hanno direzione verticale e versi concordi, per cui T = F ; F g =10:4N diretta verso il basso. Pag. 3

4 Quesito n.10 P K α i r A H Q B Per individuare l'ombra, con riferimento alla gura, si ottiene facilmente che KA = PK= tan =1:19 m e i =50 : Applicando la legge di Snell, sen r =seni=n, dacuir =35:2. Quindi QB = AQ tan r =1:41 m : La lunghezza dell'ombra risulta allora: ` = HQ + QB = KA + QB = 2:60 m : PROGETTO OLIMPIADI PROGETTO OLIMPIADI c/o Liceo Scientico \G. Bruno" Via Baglioni 26, Venezia Mestre Tel/Fax: olifis@no.sctrade.it Pag. 4

5 OLIMPIADI DI FISICA Febbraio 1999 Gara di 2 Livello SOLUZIONE DEI PROBLEMI PROBLEMA n. 1 Quesito n. 1. Pressione nale della miscela La pressione della miscela, per la legge di Dalton, e sempre uguale alla somma delle pressioni parziali dei due componenti. La pressione iniziale del vapor d'acqua e p vap = p sat =1: Pa essendo saturo a 100 C la pressione dell'ossigeno e quindi p O2 = p 0 ; p vap =2: Pa. Durante la compressione a temperatura costante il volume dell'ossigeno si dimezza e quindi la pressione raddoppia, mentre la pressione del vapor d'acqua non cambia, mantenendosi saturo. Cambia necessariamente il numero di moli di vapore e questo corrisponde al fatto che il vapore condensa parzialmente. Alla ne sara dunque p 0 = p 0 O 2 + p 0 vap =2p O 2 + p vap =5: Pa : I graci richiesti sono rappresentati in gura. p [kpa] 500 Miscela 250 Ossigeno Vapore V [dm 3 ] Quesito n. 2. Gas inizialmente presenti Dalla legge dei gas perfetti pv = nrt ) n = pv RT =0:097 mol di cui 1 = 3 di vapor d'acqua (pari a 0:032 moli) e 2 = 3 di ossigeno (pari a 0:065 moli), dato che il numero di moli e direttamente proporzionale alle rispettive pressioni parziali. Massa condensata Come si e detto, per il vapor d'acqua il volume dimezza mentre la pressione di saturazione rimane la stessa, essendo la compressione isotermica di conseguenza dimezza il numero di moli di acqua allo stato di vapore. Pag. 5

6 Detta M a la massa molecolare dell'acqua, la massa condensata e m H2O = 1 2 n vap M =0:29 g pari a poco piu di 1 = 4 cm 3.Siverica quindi che tale volume e trascurabile rispetto a quello del cilindro. Quesito n. 3. Lavoro di compressione Il lavoro di compressione, sempre in virtu della legge di Dalton, e la somma dei lavori che sarebbero necessari se nel cilindro fosse presente un solo componente alla volta. Per l'ossigeno L O2 = n O2 RT ln V 0 V = ;140 J : Per il vapore d'acqua, la cui pressione si mantiene costante, L vap = p sat V = ;50 J : E quindi, in totale L = L O2 + L vap = ;190 J : PROBLEMA n. 2 Quesito n. 1. Campo elettrico Il campo elettrico nel cilindro e diretto secondo l'asse, percio nel riferimento indicato in gura puo dipendere solo dalla coordinata x e puo essere ricavato dal potenziale con la relazione E(x) =;V=x. Il graco indica che il potenziale cresce su tutto il tratto AB, percio E(x) risulta negativo: cio signica che il campo e diretto da B verso A per ogni x. Dal graco si nota anche che il potenziale varia linearmente per 0 <x<10 cm : da 0 a 350 V 20 cm <x<90 cm : da 400 a 450 V 95 cm <x<100 cm : da 500 a 600 V: Il campo e allora uniforme in questi tre intervalli e il suo valore e rispettivamente: E 1 = ;3:5kV=m E 2 = ;71:4V=m E 3 = ;2:0kV=m: L'andamento del campo e rappresentato schematicamente in gura. Pag. 6

7 0 A 50 B x [cm] E [kv/m] Quesito n. 2. Regioni di carica La regione non puo essere priva di cariche. Si applichi infatti il teorema di Gauss considerando una supercie chiusa di forma cilindrica, tutta contenuta all'interno della regione cilindrica data e coassiale alla stessa. Si supponga che le basi di tale supercie abbiano area S e siano a distanza x a e x b da A. Il usso del campo elettrico e diverso da zero solo sulle basi della supercie scelta ed e un usso uscente dalla base rivolta verso A (quindi usso positivo), entrante nella base rivolta verso B (quindi usso negativo). Se il campo sulle due basi della supercie scelta e diverso, il usso totale attraverso la stessa e diverso da zero e quindi la supercie conterra una quantita di carica q =(E) " 0. Di conseguenza si puo dire che nei tratti dove il campo elettrico e uniforme non ci sono cariche, mentre queste sono presenti nei tratti dove ilcampovaria e cioe nelle zone denite da 10 cm <x<20 cm e 90 cm <x<95 cm. Quesito n. 3. Valore della densita di carica Il segno e la densita media di carica si ottiene applicando il teorema di Gauss. Per trovare la densita di carica e il segno nella prima zona, si calcola il usso per una supercie con una base in x a = 10 cm e l'altra in x b =20cm.Siavra: =;SE 1 + SE 2 = S(E 2 ; E 1 )= q " 0 = 0 S(x b ; x a ) " 0 : Da cui 0 = (E 2 ; E 1 ) " 0 x b ; x a : Sostituendo i valori numerici: 0 =+3:03 10 ;7 Cm ;3 : Per la seconda zona (90 cm <x<95 cm), ripetendo lo stesso calcolo si ottiene 00 = (E 3 ; E 2 )" 0 x d ; x c : Sostituendo i valori numerici, con x c =90cmex d =95cm: 00 = ;3:41 10 ;7 Cm ;3 : Pag. 7

8 PROBLEMA n. 3 Quesito n. 1. Proporzionalita tempo-lunghezza Se h e l'altezza da cui parte il corpo, l'angolo di inclinazione ed ` la lunghezza del piano, si ha che sen = h=`. Tenendo conto che l'accelerazione del corpo che percorre il piano inclinato e a = g sen, si ha ` = 1 2 at2 = 1 2 g sen t2 = 1 2 g(h=`)t2 da cui t = p 2=gh ` : Quesito n. 2. Scivolamento di un corpo Indichiamo ora con s la lunghezza del piano piu corto e consideriamo il corpo che scende a partire dal punto A. Se t 0 = p 2=ghs e iltempoche impiega a giungere al fondo, sara 2t 0 il tempo che impieghera a risalire no al punto B. La velocita, essendo il moto uniformemente accelerato, variera linearmente da zero a un massimo v max = p 2gh nel primo intervallo di tempo t 0 edinuovo linearmente, da v max no a zero nel secondo intervallo di tempo, 2t 0. Sostituendo i valori numerici abbiamo t 0 =0:824 s v max =2:43 m s ;1. Se il corpo scende dal punto B valgono le stesse considerazioni, tranne che i tempi di percorrenza dei due piani sono scambiati: scende in un tempo 2t 0 e risale in un tempo t 0.Lavelocita massima e il tempo totale sono identici nei due casi. Il graco richiesto e quello rappresentato in gura, ove la linea continua si riferisce al caso in cui il corpo parte da A, mentre la linea tratteggiata al caso in cui parta da B. max M Q N A P R O B M Q S t 0 2t 0 3t 0 t Quesito n. 3. Urto tra i due corpi Si puo rispondere utilizzando il graco: a) Dopo un tempo t 0 il corpo partito da A arriva al fondo del piano: la distanza percorsa, s =1m, e rappresentata nel graco dall'area del triangolo OMM 0. Nello stesso tempo il corpo partito da B ha percorso una distanza data dall'area del triangolo OPM 0. Con semplici considerazioni geometriche si osserva che quest'area e meta della precedente, percio il corpo partito da B e sceso di soli 50 cm. b) Nel momento dell'urto i due corpi sono evidentemente nella stessa posizione allo stesso istante e, essendo partiti dalla stessa altezza, avranno la stessa velocita (in modulo ovviamente), come si osserva Pag. 8

9 considerando la conservazione dell'energia. Nel graco si vede che c'e un solo punto in cui i moduli delle velocita sono uguali, e precisamente il punto Q. Questo deve allora corrispondere all'istante dell'urto. Per la simmetria del graco risulta t urto = 3 = 2 t 0. Sara t urto =1:24 s : Sempre con semplici considerazioni geometriche si ottiene che la velocita nel momento dell'urto e v urto = 3 = 4 v max =1:82 m s ;1. c) E immediato anche calcolare la distanza percorsa dal corpo partito da B no all'urto (area del triangolo OQQ 0 ): risulta x B urto = t v max = 9 8 s =1:125 m : e quindi l'urto avviene sul piano lungo 2 m, a 112:5 cm dalla sommita. Quesito n. 4. Moto con urto elastico I due corpi hanno la stessa massa e si urtano elasticamente la conservazione dell'energia e della quantita di moto impone che i corpi si scambino le velocita. In questo caso le due velocita hanno lo stesso modulo e versi opposti, percio dopo l'urto i due corpi invertiranno il moto e torneranno indietro con la stessa velocita (in modulo) che avevano prima dell'urto. Il corpo partito da A vi ritornera dopo un tempo uguale a quello impiegato per giungere all'urto (3t 0 =2) e cos fara il corpo partito da B. I due corpi avranno in ogni posizione nel viaggio di ritorno la stessa velocita che avevano all'andata. Il graco richiesto sara allora quello in gura. Nel graco la linea continua rappresenta la velocita del corpo partito da A, quella tratteggiata la velocita del corpo partito da B. max A O B t 2t t t PROGETTO OLIMPIADI PROGETTO OLIMPIADI c/o Liceo Scientico \G. Bruno" Via Baglioni 26, Venezia Mestre Tel/Fax: olifis@no.sctrade.it Pag. 9

10 OLIMPIADI DI FISICA Febbraio 1999 Gara di 2 Livello GRIGLIE DI VALUTAZIONE ) Materiale riservato alla Commissione ( PROBLEMA 1 GRIGLIA DI VALUTAZIONE : Totale Punti 20 1 Graco delle pressioni parziali e calcolo della pressione nale ::::::::::::::::: 7 1.a Graco dell'andamento della pressione parziale del vapor saturo ::::::::::::::::::: 2 1.b Graco dell'andamento della pressione parziale dell'ossigeno ::::::::::::::::::::::: 1 1.c Pressioni nali dell'ossigeno e del vapor acqueo :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 3 1.d Pressione nale della miscela :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1 2 Quantita di gas inizialmente presenti e massa d'acqua condensata :::::::::::: 6 2.a Quantita di gas inizialmente presenti :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 3 2.b Relazione tra volume e numero di moli di vapor saturo :::::::::::::::::::::::::::: 2 2.c Massa d'acqua condensata :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1 3 Calcolo del lavoro :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 5 3.a Lavoro di compressione dell'ossigeno :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2 3.b Lavoro di compressione del vapor acqueo :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2 3.c Lavoro totale ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1 Chiarezza descrittiva e correttezza formale dell'esposizione attenzione all'impiego delle corrette unita di misura attenzione al grado di precisione assegnato ai risultati numerici ::::::::::::::::: 2 Pag. 1

11 ) Materiale riservato alla Commissione ( PROBLEMA 2 GRIGLIA DI VALUTAZIONE : Totale Punti 20 1 Campo elettrico ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 7 1.a Riconoscimento che il campo e legato alla pendenza del graco :::::::::::::::::::: 2 1.b Determinazione del verso del campo :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2 1.c Riconoscimento che in tre zone il campo e uniforme ::::::::::::::::::::::::::::::: 1 1.d Graco corretto :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2 2 Zone di carica ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 3 2.a Enunciazione che e necessario il teorema di Gauss ::::::::::::::::::::::::::::::::: 1 2.b Applicazione corretta del teorema per ottenere la risposta ::::::::::::::::::::::::: 2 3 Densita di carica ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 8 3.a Calcolo del campo nelle zone dov'e uniforme :::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2 3.b Valore numerico corretto :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1 3.c Scelta corretta delle superci di Gauss :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2 3.d Calcolo delle densita medie di carica, con segno ::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2 3.e Valore numerico corretto :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1 Chiarezza descrittiva e correttezza formale dell'esposizione attenzione all'impiego delle corrette unita di misura attenzione al grado di precisione assegnato ai risultati numerici ::::::::::::::::: 2 Pag. 2

12 ) Materiale riservato alla Commissione ( PROBLEMA 3 GRIGLIA DI VALUTAZIONE : Totale Punti 20 1 Proporzionalita tempo-lunghezza ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 3 1.a Relazione corretta e giusticata ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 3 2 Moti del corpo ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 5 2.a Riconoscimento che le velocita variano linearmente :::::::::::::::::::::::::::::::: 1 2.b Riconoscimento che i tempi di percorrenza sono uno doppio dell'altro :::::::::::::: 2 2.c Riconoscimento che la v max e uguale per i due corpi ::::::::::::::::::::::::::::::: 1 2.d Graco nale corretto :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1 3 Urto tra i due corpi :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 6 3.a Procedimento corretto :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1 3.b Valore numerico corretto :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1 3.c Procedimento corretto :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1 3.d Valori numerici corretti ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1 3.e Procedimento corretto :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1 3.f Valore numerico corretto :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1 4 Moto con urto elastico ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 4 4.a Riconoscimento che nell'urto si invertono le velocita ::::::::::::::::::::::::::::::: 1 4.b Riconoscimento che dopo l'urto la velocita riprende i valori precedenti ::::::::::::: 1 4.c Graco nale corretto ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2 Chiarezza descrittiva e correttezza formale dell'esposizione attenzione all'impiego delle corrette unita di misura attenzione al grado di precisione assegnato ai risultati numerici ::::::::::::::::: 2 PROGETTO OLIMPIADI PROGETTO OLIMPIADI c/o Liceo Scientico \G. Bruno" Via Baglioni 26, Venezia Mestre Tel/Fax: olifis@no.sctrade.it Pag. 3