CAMMINI MINIMI SUI POLIEDRI

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1 CAMMINI MINIMI SUI POLIEDRI Consideriamo un cubo e due suoi vertici opposti, A e B come in figura, come si può andare da un vertice all altro facendo il cammino minimo, e muovendosi solo lungo gli spigoli? si scopre che il cammino minimo è pari a tre volte la lunghezza del lato e che di questi cammini ce ne sono in tutto sei. Che cosa succede se si considera il cubo pieno? Qual è il cammino più corto sulla superficie del cubo per andare dal vertice A al vertice B? Questi che si vedono tratteggiati in figura, pur essendo intuitivamente dei buoni candidati, non sono i cammini minimi: Proviamo ad aprire il cubo e svilupparlo sul piano, qui segniamo i segmenti da A a B:

2 Si trovano due percorsi, rimontando il cubo in tre dimensioni otteniamo la risposta corretta: Si può così continuare l attività considerando i vari sviluppi dei poliedri (passando cioè dallo spazio al piano) e divertendosi con i cam TOPOLOGIA E CARATTERISTICA DI EULERO Triangolazione di figure Ogni branca della geometria studia gli oggetti concentrandosi su specifici aspetti (o strutture ), ad esempio la geometria euclidea ha per oggetti figure geometriche, che vengono considerate equivalenti ovvero indistinguibili se esiste una isometria che porta una figura in una altra: due quadrati di pari lato sono lo stesso quadrato, perché dopo un movimento coincidono, ovvero la geometria euclidea è interessata al

3 quadrato in sé, non a dove si trova nello spazio. In effetti, l equivalenza per isometrie è tecnicamente una relazione di equivalenza sull insieme di tutti i sottoinsiemi del paino, per la geometria euclidea piana, dello spazio, per la geometria euclidea tridimensionale, e in generale per i sottoinsiemi di E n, spazio euclideo n-dimensionale. Se siamo interessati a studiare altri aspetti degli oggetti geometrici, dobbiamo cambiare ambito geometrico. Ad esempio, la topologia è quella branca della geometria, nata nella seconda metà dell'ottocento, che si occupa degli insiemi a meno di trasformazioni bicontinue, cioè continue con trasformazione inversa continua. Dunque, sono considera topologicamente equivalenti due insiemi che si possono deformare l'uno nell'altro come se fossero fatti di gomma, allungando o accorciando le distanze, ma comunque senza mai effettuare strappi o incollamenti. In particolare, consideriamo una qualsiasi curva chiusa nel piano, non intrecciata, ad esempio il bordo di un poligono, se lo immaginiamo costituito da una corda, questa può assumere il bordo di un triangolo, come di un quadrato, di un esagono.. di un cerchio. Dal punto di vista topologico questi oggetti sono tutti uguali, gli spigoli non contano. Se però intrecciamo il nostro laccio, e disegniamo un 8, il punto di incrocio dell 8 non può essere scollato e quindi l 8 non è topologicamente equivalente a uno 0. Come distinguere un oggetto da un altro? In geometria euclidea classifichiamo le figure piane poligonali per numero dei lati, e tra quelle di pari lato, per lunghezza di lati e per ampiezza di angoli, tutte caratteristiche che non possono essere alterate da un movimento rigido, ovvero una isometria, ovvero tutte caratteristiche che rimangono inalterati all interno della classe di equivalenza della relazione che abbiamo scelto nell ambito della geometria euclidea: quella delle isometrie. Ciò che rimane inalterato all interno di una classe di equivalenza è definito invariante, rispetto alla geometria prescelta. La chiave per la comprensione è proprio questa: il primo strumento di indagine geometrica è individuare gli invarianti e classificare gli oggetti in funzione degli invarianti. Se in geometria euclidea distinguiamo il bordo dei triangoli da quello dei quadrati, in topologia questi sono equivalenti, ed entrambi equivalgono a un cerchio, ovvero a uno 0, ma un 8 dobbiamo distinguerlo dallo 0: in effetti 0 e 8 hanno un diverso invariante topologico, che è detto gruppo fondamentale,, il quale memorizza tutti i modi possibili ed essenzialmente diversi di compiere un percorso chiuso a partire da un punto dell oggetto. Per esempio, se p è un punto sull anello 0, ho un solo modo per compiere un percorso chiuso che parte e termina in p sopra lo 0: girare su tutto lo 0, se p è un punto sull 8, in particolare il punto di incrocio dell 8, posso girare sul cappio inferiore e tornare su p, oppure girare sul cappio superiore e ritornare ancora in p: questo due percorsi sono diversi, e vengono memorizzati nel gruppo fondamentale 0) o 8). Un importante invariante topologico, che risulta facile da visualizzare nel caso delle superfici, è la caratteristica di Eulero-Poincaré, χ. introdotta da Eulero per le superfici, poi generalizzata a varietà di dimensione qualsiasi da Poincaré. Una triangolazione di una superficie è il ricoprimento completo e senza sovrapposizione della stessa con triangoli, in generale, per un oggetto di dimensione n una triangolazione è il ricoprimento senza sovrapposizioni dell oggetto con triangoli n- dimensionali (ad esempio, tetraedri per dimensione 3, triangoli in dimensione 2,

4 segmenti, compresi dei loro estremi, in dimensione 1), detti simplessi. Si dimostra che un oggetto compatto (chiuso e limitato, come una figura piana poligonale, o superficie esterna di un solido, in dimensione due, ovvero un solido poliedrale, in dimensione 3..) può sempre essere triangolarizzato, cioè ricoperto da una quantità finita di simplessi. Il modo per effettuare questi ricoprimenti non è unico, ma Eulero ha dimostrato che data una superficie S e una sua triangolarizzazione, il numero naturale χ(s)= v-s+f ove v sono i vertici dei triangoli della tassellazione, s gli spigoli, f i triangoli stessi (le facce), contati senza ripetizione, non solo non dipende dalla triangolarizzazione effettuata, ma non varia all interno della classe di equivalenza topologica di S, ovvero χ(s)= v-s+f è un invariante topologico, come il numero dei lati è un invariante per isometrie dei poligoni in geometria euclidea. La quantità χ(s) viene detta Caratteristica di Eulero, e si può calcolare anche con ricoprimenti fatti da poligoni. Più in generale, per una varietà di dimensione n, χ(s) è definita come la somma alternata v 0 -v 1 +v 2 - v n ove v i è il numero delle componenti di dimensione i della triangolarizzazione (v 0 punti, v 1 segmenti, v 2 facce ) e risulta essere un invariante topologico anche in questa definizione generale. La formula di Eulero per i poliedri Nel caso dei poliedri il calcolo della caratteristica di Eulero è semplice. Vale la seguente proposizione. Per qualsiasi poliedro vale la relazione χ(s) = v-s+f=2 dove v è il numero dei vertici f quello delle facce e s quello degli spigoli. Costriamo il poliedro partendo da una sua faccia e aggiungendo una alla volta le altre, fino a completarlo. Partiamo da una faccia, cioè un poligono, diciamo con p 1 lati, e quindi si hanno p 1 spigoli e p 1 vertici, cosicché: v-s+f = p p 1 = 1.

5 Fig. 1 (Qui p 1 = 4). Aggiungiamo un altra faccia, di p 2 lati, con uno spigolo e 2 vertici a comune con quella precedente, quindi aggiungiamo (p 2-1) vertici, - (p 2-2) spigoli e 1 faccia, in tutto aggiungiamo nella formula: v-s+f = 1 + { (p 2-2) - (p 2-1) + 1} = 1. Fig. 2 Continuando, a ogni passo aggiungiamo una nuova faccia di p spigoli, di cui alcuni (diciamo q) saranno a comune con le facce precedenti, e quindi anche q + 1 vertici saranno a comune con le facce precedenti, cosicché aggiungiamo solo (p - q) spigoli, e (p q - 1) vertici; di nuovo aggiungiamo (p q+ 1) - (p - q) + 1 = 0, alla quantità v- s+f=1, che rimane sempre pari a 1.

6 Fig. 3 (Qui q = 2). All ultimo passo l ultima faccia che aggiungiamo ha tutti gli spigoli e i vertici in comune con le facce precedenti, quindi a questo passo aggiungiamo alla quantità V- S+F solo 1 (una faccia) e quindi alla fine avremo v-s+f = 2. Fig. 4 Notiamo che essendo un poliedro topologicamente equivalente ad una sfera, anche per la sfera χ(s) = 2, e lo stesso accade per tutte le superficie che si possono deformare a una sfera (senza tagliarle). Ci sono superficie per cui χ(s) non è uguale a 2; ad esempio per il toro: Infatti per questa superficie χ(s) = 0, cioè comunque si scelga una sua triangolazione, essa avrà V-S+F = 0. Questo vuol dire che non il toro non è equivalente topologicamente ad una sfera, ovvero che non può essere deformato

7 plasticamente ad una sfera: che cosa hanno di diverso? Il toro ha un buco la sfera no! In generale le superfici compatte differiscono topologicamente tra loro proprio per il numero di buchi, che è anche esso un invariante topologico, detto genere di una superficie: un buco non si può eliminare, o creare, se non rompendo la superficie. toro con due buchi toro con tre buchi Quindi la sfera ha genere g=0, la ciambella genere g=1, le figure sopra genere g=2 e g=3 rispettivamente. Si trova che le triangolarizzazione e i buchi non sono indipendenti tra loro, per le superfici vale infatti la relazione χ(s) =2 2g ove g è il genere. Perché è importante la caratteristica di Eulero? Il calcolo di v-s+f viene presentato spesso come un semplice giochino nei testi di matematica di base, senza che non venga menzionato il motivo per il quale i matematici lavorino su tali apparentemente bizzarri giochini. La triangolarizzazione è un metodo di indagine in topologia alla base di calcoli che hanno lo scopo di

8 indagare e la struttura topologica degli oggetti. Una delle prime applicazioni che si incontrano è proprio la caratteristica di Eulero. Si noti che la caratteristica di Eulero implica dei vincoli all esistenza, e dunque alla costruzione di poliedri: non è possibile costruire un poliedro con delle bacchette che ne costituiscano gli spigoli che non rispettino la formula, non è possibile, ad esempio, costruire un poliedro con tre spigoli, tre vertici e tre facce. Oltre ad aiutarci a distinguere oggetti diversi tra loro dal punto di vista topologico, la caratteristica di Eulero ci dà anche una altra importante informazione, che solo apparentemente è di carattere metrico. In effetti un importante teorema, detto teorema di Gauss-Bonnet, lega χ(s) con la curvatura di una superficie. L idea intuitiva di curvatura di un oggetto può essere matematizzata e definita in maniera rigorosa in geometria, e anche misurata, punto per punto, ovvero globalmente su una figura geometrica. Ad esempio, la curvatura della retta o del piano ha misura 0, quella di una circonferenza di raggio r, o di una sfera di raggio r vale 1/r, in ogni suo punto. In una curva chiusa, ovvero su una superficie chiusa si può anche fare la somma di tutte i valori della curvatura, al variare del punto sulla curva, ovvero sulla superficie, tale valore prende il nome di curvatura totale. Poiché parliamo di misurare una curvatura, sarebbe intuitivo pensare che essa non sia un invariante topologico, giacche in topologia non siamo in grado di effettuare misure: due sfere - di gomma- sono topologicamente equivalenti, indipendentemente dalla loro misura, ovvero dal loro raggio. Ma il teorema di Gauss- Bonnet ci dice che la curvatura totale è in realtà un invariante topologico, essendo essa pari a χ(s), cosa piuttosto sorprendente ad un primo sguardo intuitivo. Questo spiega, ad esempio, perché se gonfiamo un palloncino, pigiamo in un punto col dito, in quel punto la curvatura aumenta mentre da qualche altra parte il palloncino si gonfia, aumentando in raggio e dunque diminuendo la sua curvatura (è un esempio ideale, siamo interessati solo alla forma del palloncino, non ci interessano valutazioni di carattere fisico circa la pressione all interno dello stesso!). Osserviamo anche che per una sfera, il teorema di Gauss Bonnet ci dice che la curvatura totale è 4, cioè il rapporto tra la superficie 4 r 2 e il suo raggio al quadrato; mentre per un toro, che ha χ(s) nulla, la curvatura totale è nulla: non essendo piatto, significa che esso ha zone di curvatura positiva e zone di curvatura negativa, che si compensano.