Asimmetrie puntuali e trasformazioni monotone

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1 Quaderni di Statistica Vol. 3, Asimmetrie untuali e trasformazioni monotone Filio Domma Diartimento di Economia e Statistica, Università della Calabria f.domma@unical.it. Summar: In this aer we show that the relative unctual asmmetries are artiall ordered if and onl if there eist a monotone relation between the involved random variables. Furthermore b an alication of our main result, we introduce the log- Dagum distribution with three arameters. Kewords: Relative Punctual Asmmetries, Monotone Transformation, Partial Ordering. Introduzione Nella valutazione della forma di una distribuzione un ruolo imortante riveste la simmetria o asimmetria della stessa. Diversi autori hanno recentemente evidenziato l inaffidabilità di alcuni indicatori classici del verso dell asimmetria in quanto non soddisferebbero alcune delle rorietà, tra le quali ricordiamo l ordinamento arziale, ritenute essenziali affinché un indice ossa essere utilizzato er la valutazione del verso dell asimmetria di una distribuzione. Gli stessi autori sono concordi nel suggerire l utilizzazione delle asimmetrie untuali relative er la costruzione degli indici suddetti. Per maggiori dettagli si rinvia alla monografia di Brentari (99). 45

2 In questa nota si roone una estensione di un teorema che collega l ordinamento arziale convesso di van Zwet (964) e le asimmetrie untuali relative. In articolare, tale teorema, riortato in Brentari (99), stabilisce che se tra due funzioni di riartizione è soddisfatto l ordinamento convesso allora le corrisondenti asimmetrie untuali relative sono ordinate. Nel resente lavoro, sfruttando un noto teorema sulle funzioni convesse in un intervallo, si dimostra che se le asimmetrie untuali relative di due variabili casuali sono ordinate allora tra dette variabili sussiste una relazione monotona. Nel secondo aragrafo si introducono la simbologia, le definizioni essenziali e alcuni risultati reliminari; nel terzo si roone il teorema suddetto; infine, nel quarto aragrafo, si riortano alcuni esemi di alicazioni del teorema e si introduce la distribuzione Log-Dagum a tre arametri.. Definizioni e risultati reliminari Prima di introdurre la simbologia, riortiamo la definizione di funzione convessa in un intervallo ed un teorema su dette funzioni che utilizzeremo nel aragrafo successivo. Definizione Una funzione g() è convessa in un intervallo I se, I e t [, ] si ha: g t ( t ) tg ( ) ( t )g (. [ ] ) Teorema Una funzione g(), definita in un intervallo I, è convessa se e solo se,, z I con <<z, si ha: g( ) g( ) g(z) z g( ) g(z) z g( ). Per la dimostrazione del Teorema si veda, ad esemio, Cecconi e Stamacchia (974), ag

3 Si indichino, ora, con ed due variabili casuali (v.c.) continue con funzioni di riartizione (f.r.), risettivamente, F () e G (). Fra gli ordinamenti arziali tra f.r. resenti in letteratura, si ricorda quello dovuto a van Zwet (964), così definito Definizione La f.r. G () è almeno asimmetrica ositiva quanto la f.r. () se G { F ()} R() è convessa su I { : < F () < }. Se ciò accade si dice che F c-recede G e si scrive F () < c G (). Come er gli studi sulla concentrazione, anche nello studio dell asimmetria di una distribuzione è ossibile far riferimento a delle misure untuali, dette er l aunto asimmetrie untuali relative, definite nel continuo nel seguente modo Definizione 3 Sia una v.c. con f.r. F () e sia (q) F (q) il quantile di ordine q, con q (, ). Indicato con M il centro di simmetria, le quantità ( ( M W( (, ) (.) ( ( sono dette asimmetrie untuali relative. Si osservi che nel rosieguo del resente lavoro il centro di simmetria M coinciderà con la mediana della distribuzione. Brentari (99, ag. 6-8) dimostra il seguente teorema che fa discendere l ordinamento tra le asimmetrie untuali relative dall ordinamento convesso Teorema Se F () < c G () allora W ( W ( (, ). Dalla definizione e dal teorema suesosti, derivano le seguenti osservazioni: F 47

4 Osservazione Ogni trasformazione convessa (crescente) della v.c. originaria rovoca un aumento dell asimmetria ositiva. Infatti, considerando la v.c. ~ F () ed una sua trasformazione h()~ G (), con h( ) funzione convessa (crescente), si ha: F () Pr Pr h () Pr h() G h() { } { } { } [ ] - - { F ()} G { G [ h() ]} h() c ( ) G e oiché h( ) è convessa (crescente) F() < G() W ( W (,. Osservazione Ogni trasformazione concava (crescente) della v.c. originaria rovoca una riduzione dell asimmetria ositiva. Infatti, si ha: () Pr{ } Pr{ h() } Pr h () F h () G { } [ ] - F { G ()} F { F [ h ()]} h () e oiché quest ultima è convessa (crescente) G () F () W ( W ( (, ). < c Osservazione 3 Ogni trasformazione convessa (decrescente) della v.c. originaria rovoca un aumento dell asimmetria ositiva. Infatti, osto che h( ) sia una funzione convessa (decrescente) si ha: F () Pr Pr h () Pr h() G h() { } { } { } [ ] - G { F ()} G { G [ h() ]} si evidenzia che quest ultima quantità è il quantile di che è una funzione convessa (decrescente) su I { : < F() < } essendo h() F () G () W ( W (,. < c ( ) Osservazione 4 Ogni trasformazione concava (decrescente) della v.c. originaria rovoca una riduzione dell asimmetria ositiva. Infatti, se h( ) è una funzione concava (decrescente) si uò scrivere () Pr Pr h() Pr h () F h () G { } { } { } [ ] 48

5 da cui F { G ()} F { F [ h ()]} è il quantile di che è una I : < G () essendo funzione convessa (decrescente) su { } < h () G () < c F (),. ( ) W ( W ( 3. Un teorema sulle trasformazioni monotone e le asimmetrie untuali relative In questo aragrafo, utilizzando il Teorema sulle funzioni convesse (concave) in un intervallo, si dimostra che le asimmetrie untuali relative sono ordinate se e soltanto se tra le due v.c. in esame vi è una relazione monotona. Prima di enunciare e dimostrare il teorema in questione è utile dimostrare il seguente Lemma sulla diseguaglianza tra le asimmetrie untuali relative. Lemma Siano M e M, risettivamente, la mediana della v.c. e quella della v.c.. La seguente disuguaglianza tra le asimmetrie untuali relative di ed W ( W ( (, ) (3.) si uò scrivere come segue M ( ( M (, ) (3.) M M Dimostrazione Dalla (3.) si ha ( ( { ( M } { M ( } { ( ) M } { M ( } { ( M } { M ( } { ( M } { M ( } essendo i denominatori di quest ultima ositivi, si ottiene 49

6 [{ ( M } { M ( }] ( ) [ ] { M } { M ( } [{ ( ) M } { M ( }] [{ ( ) M } { M ( }] moltilicando ed effettuando le oortune semlificazioni si erviene a M M M M { ( ) } ( { } { ( ) } { ( } da cui si ottiene la (3.). Inoltre, osto h(), la (3.) uò essere riscritta come segue: h [ ] [ M ] h ( M ( h [ ] h[ M ] ( ) M ( (, ). (3.3) Alla luce di quanto detto finora, si roone il seguente Teorema 3 Siano ed due v.c. con f.r., risettivamente, date da F () e F (). La trasformazione h() è convessa se e solo se W ( W ( (, ). Dimostrazione Innanzitutto, è immediato verificare che M t ( t) (3.4) ( ( ) con t ( M ( ) ( e t [, ], (, ). Posto che sia vera la seguente W ( W ( (, ), dobbiamo dimostrare che h() è una funzione convessa. Dalla (3.3) si uò scrivere M ( h( M ) h[ ( ] { h[ ( ] h( M )} M ( 5

7 h h M ( M ( ( M ) h[ ] h[ ] ( M ( ( M ( ( ( M ) h[ ] h[ ] ( M e ricordando la (3.4), si ha: h ( ( ( ( ( M M ( ( h ( ( M ( ( M ( ( ( M ( h ( ( ( [ ] [ ] ( ( ( ( cioè h( ) soddisfa la Definizione di funzione convessa. Dobbiamo ora verificare che se h() è una trasformazione convessa allora W ( W ( (, ). Questa affermazione è dimostrata imlicitamente dal Teorema, ma molto iù semlicemente uò essere dimostrata in altro modo. Infatti, dato che er iotesi h( ) è una funzione convessa, dal Teorema si ha: h ( M ) h[ ] h[ ] h[ ] h[ ] h[ M ] M ( ( ( ( ( ( ( ( M (3.5) quest ultima dimostra che la (3.) è soddisfatta e, quindi, anche che la diseguaglianza ( W ( (, ) è vera. W Analogamente a quanto sora esosto, ossiamo dimostrare l equivalente del Teorema 3 nel caso di trasformazioni concave. A tal fine basta ricordare che se g( ) è concava allora g( ) è una funzione convessa. Tenendo conto delle oortune modifiche, è immediato dimostrare il seguente Corollario che lega le trasformazioni concave e l ordinamento tra le asimmetrie untuali relative. 5

8 Corollario Siano ed due v.c. con f.r., risettivamente, date da F () e F (). La trasformazione h() è concava se e solo se ( W ( (, ). W 4. Alcuni esemi Di seguito riortiamo alcuni esemi di alicazioni dei teoremi visti nel aragrafo recedente. In articolare, nel rimo esemio si studia il legame tra la v.c. esonenziale (negativa) e la v.c. di Pareto. Nel secondo si analizza la trasformazione logaritmica della v.c. di Dagum. In entrambi gli esemi, si fornisce una interretazione dei arametri in termini di asimmetria. A) Esonenziale - Pareto. Sia una v.c. esonenziale negativa con f.r. F ( ; ) e er ( q) > e >, e quantile di ordine q dato da ( q ) er q (,). E immediato verificare che la curva delle asimmetrie untuali relative associata a F (;) è data da: W ( [ 4( ] (, ) ( ) (4.) La trasformazione convessa e riartizione ha la seguente funzione di F ( ) P { } P { ()} F [ ()] r r cioè la riartizione di una v.c. di Pareto con e >. Il quantile di ordine q è q) ( q) asimmetrie untuali relative sono ( con q (,). Le curve di 5

9 ( ) W (; (, ) e >. (4.) ( Per il Teorema 3 visto recedentemente, si ha W (; ) W ( er ogni (, ) e >. Infatti, si dimostra [Brentari (99), ag.9, Aendice A] che lim W (; ) W ( (4.3) Inoltre, si ha lim W (; ) lim ( lim ( lim ( ( ( ) lim lim lim lim (4.4) ( ) ( ) ( ). Dalla (4.3) e (4.4) si evince, innanzitutto, che è almeno asimmetrica ositiva quanto er ogni valore di. Inoltre, tale arametro uò essere visto come indicatore inverso di asimmetria. Nella Figura sono riortate, er diversi valori di, le asimmetrie untuali relative di una Pareto. Si evidenzia che la curva iù vicina all asse delle ascisse è relativa ad una v.c. esonenziale negativa come descritto dalla (4.3). essendo (, ) B) Dagum LogDagum. Una v.c. continua e ositiva aartiene al modello di Dagum (977, 98), con arametro di scala ari ad (λ), se resenta la 53

10 seguente funzione di riartizione ( ;, ) ( ) F con > e >. E immediato verificare che il quantile di ordine q è q (q) er (,) untuali relative, er (, ) q e le corrisondenti asimmetrie, sono: â [ ] ( W (;, ) (4.5) ( La trasformazione () ha la seguente funzione di riartizione: F (;, ) P r { } P { e } F ( e ;, ) [ e ] e quantile di ordine q, q (,), dato da (q) q quest ultimo otteniamo le asimmetrie untuali relative: r ä. Da ( (; ) (4.6) ( W er (, ). Si evidenzia che la (4.6), a differenza della (4.5), diende solo dal arametro. Per il Corollario visto nel recedente aragrafo, si ha W (; ) W (;, ) (, ) e â >, >. Infatti, osto costante, alicando la regola di Hosital si ottiene: lim W (;, ) ä 54

11 55 ( ( ( ( lim ) W (; ( ( (4.7) Iotizzando costante, inoltre, si ha: ), (; W lim (4.8) Infatti, evidenziando che < ( e < ( er ( ),, ossiamo scrivere ( ) [ ] ( ) [ ] lim ( lim ( lim ( lim ( lim

12 lim ( ä ( lim Le relazioni (4.7) e (4.8) evidenziano che la v.c. log-dagum è al iù asimmetrica quanto la v.c. di Dagum; inoltre, dalle stesse relazioni si evince che il arametro di una v.c. di Dagum è un indicatore inverso di asimmetria. A questo unto risulta interessante studiare tali v.c. al variare del arametro. Nel caso della v.c. di Dagum, doo qualche maniolazione algebrica, si uò scrivere lim W ( ;, ) lim lim ( ( ( ( lim lim ( ( ( ( ( () ( ( (4.9) 56

13 ottenuta alicando alle forme indeterminate la regola di Hosital. Mentre, quando tende a zero, si ha lim W ( ) ;, lim ( lim ( lim ( lim ( ( lim (4.) ottenuto alicando la regola di Hosital alla forma indeterminata resente nell ultimo limite. La (4.) evidenzia che er che tende a zero il modello di Dagum raggiunge il massimo valore teorico di asimmetria ositiva. Inoltre, er il modello in analisi, dalle relazioni (4.9) e (4.) si uò concludere che il arametro uò essere visto come indicatore inverso di asimmetria. Per quanto riguarda la v.c. log-dagum si osservi, innanzitutto, che F ;, la funzione di densità risulta essere da ( ) f ( ;, ) e ( e ) 57

14 da cui è semlice verificare che la moda ( ) M ( ) M è data da Per la determinazione dei momenti si uò far ricorso alla funzione generatrice dei momenti la quale, data la relazione (), coincide con il momento di ordine t della Dagum, cioè t t t [ ] E[ ] B( â ) t m (t) E e, er >t, da quest ultima il rimo cumulante è dove con (.) K() E Ψ t [ ] [ m ( t) ] [ Ψ( ) ( ) ] ψ si è indicata la funzione digamma [si veda, ad esemio, Gradshten Rzhik (98), ag. 943]. Ricordando, infine, che la mediana è data da t M è immediato constatare che er si ha: ( ) M M E. Analizziamo, ora, il comortamento delle asimmetrie untuali relative W (;), descritte dalla (4.6), in corrisondenza dei valori limite del arametro. Al tendere di tale arametro ad infinito, si ha 58

15 lim W ( ( ( ; ) lim lim [ () ] ( (( ( (4.) infatti, alicando er due volte consecutive la regola di Hosital alla seguente forma indeterminata, si ottiene N( ) lim lim ( D( ) [ ()] ( ( (4.) dove D N ( ) () () () ( ) ( ( [ ( ] ( ( ( ( [ ( ] ( (. Il limite descritto dalla (4.) in connessione con il seguente ( ( lim lim ( ( ( ( forniscono il risultato (4.). 59

16 Al fine di analizzare il comortamento er tendente a zero, si riscrivano le asimmetrie untuali relative, W (;), nel seguente modo [ ] ( ( W ( ; ) ( Inoltre, tenendo conto che ( ) lim lim lim si ha: () () () () lim ( [ ( ] [ ( ] lim ( ( lim ( da questi ultimi tre limiti si uò verificare che 6

17 lim W ( ; ) () ( [ ] [ 4( ] (4.3) E imortante evidenziare che la (4.3) è una quantità negativa e semre maggiore di in quanto 4 ( < e > ; inoltre, oiché [ ) ] ( ( (, ) ( >, la (4.) risulta essere ositiva. Da queste ultime osservazioni si uò concludere che il arametro uò essere considerato un indicatore diretto di asimmetria er il modello log-dagum. Al fine di evidenziare l interretazione del arametro in termini di asimmetria, vengono riortate nelle Figure e 3, risettivamente, le funzioni di densità e le asimmetrie untuali relative di una v.c. log- Dagum er diversi valori del arametro in esame. In articolare, si osservi che er.5 si ha una densità chiaramente asimmetrica negativa con asimmetrie untuali relative tutte minori di zero, er 5 le W (;) sono tutte ositive e, quindi, si è in resenza di una densità asimmetrica ositiva e, infine, er tutte le asimmetrie untuali sono nulle di conseguenza la densità è simmetrica. 5. Conclusioni In questa breve nota si è analizzata la relazione esistente tra l ordinamento convesso e le asimmetrie untuali relative. Si è dimostrato, in articolare, che se le curve delle asimmetrie untuali relative a due variabili casuali sono ordinate allora tra dette variabili esiste una relazione monotona. Tramite un esemio, infine, si è introdotta ed analizzata la trasformazione logaritmica della v.c. di Dagum, denominata er l aunto, v.c. Log-Dagum. 6

18 Riferimenti Bibliografici Brentari E. (99) Asimmetria e Misure di Asimmetria, Giaichelli Editore, Torino. Cecconi J.P., Stamacchia G. (974) Analisi Matematica, Primo Volume, Liguore Editore, Naoli. Dagum C. (977) A new model of ersonal income distribution: secification and estimation, Economie Aliquée,, 3, Dagum C. (98) The generation and distribution of income, the Lorenz curve and the Gini ratio, Economie Aliquée, III,, Gradshten I.S., Rzhik I.M. (98) Table of Integrals, Series, and Products, Academic Press, New ork. Zwet van W.R. (964) Conve Trasformations of Random Variables, Mathematical Centre Tracts, 7, Amsterdam. Figura. Pareto: A.P.R. al variare del arametro. 6

19 Figura. Funzione di densità Log-Dagum. (3). Figura 3. Log-Dagum: A.P.R. al variare di. 63