Variabili aleatorie. Variabile aleatoria discreta

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1 Variabili aleatorie In molte situazioni, si vuole assegnare un valore numerico ad ogni possibile risultato di un esperimento. ale assegnamento viene chiamato variabile aleatoria o casuale. ω Esempio: lancio di tre monete distinguibili S Variabile aleatoria discreta ω 2 ω 3 ω 4 X ( ω) ω 5 ω ω 7. ω 8

2 Esempio: lancio di tre monete distinguibili ω ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 ω 8 Variabile aleatoria discreta In molte situazioni, si vuole assegnare un valore numerico ad ogni possibile risultato di un esperimento. ale assegnamento viene chiamato variabile aleatoria o casuale. P ({ ω } ) = 8 ({ 2} ) ({ 3} ) 8 ({ 4} ) P ω = ({ 5} ) P ω = P ω = P ω = 8 ({ 6} ) ({ 7} ) 8 ({ 8} ) P ω = P ω = P ω = X ( ω) Qual è la probabilità di ottenere due teste? P( X = 2 ) =? Eventi e variabili aleatorie on la notazione (2) si indica l evento: ( X = 2 ) =, {, } ( 2) P X = = P,, =,,,, = 2

3 Distribuzioni di probabilità La distribuzione di probabilità di una v.a. X è una tabella recante i valori assunti dalla v.a. con le rispettive probabilità. Proprietà: ), ; X 2 3 P(X=x) /8 3/8 3/8 /8 ) =. ondizione di normalizzazione Grafico:,4,35,3,25,2,5,,5 2 3 Esempio: lancio di un dado,2,3,4,5, Variabile aleatoria uniforme discreta Distribuzione di probabilità Y P(Y=y) /6 /6 /6 /6 /6 /6 3

4 Esempio: lancio di due dadi Funzione di ripartizione Si definisce funzione di ripartizione (o cumulata) la funzione ()a valori in,tale che Esempio: lancio di 3 monete X 2 3 P(X=x) /8 3/8 3/8 /8 2 2 (2) Qualche caso particolare: In forma tabellare: X 2 3 F(x) /8 4/8 7/8 Risulta che: 2 (3) Più in generale (funzione crescente) 4

5 Esempio: Si calcoli la probabilità che lanciando 3 monete distinguibili, si verifichino non più di 2 teste. 2 2 (2) Esempio: Si calcoli la probabilità che lanciando 3 monete distinguibili, si verifichi almeno testa. 2 3 () Esempio: Si calcoli la probabilità che lanciando 3 monete distinguibili, si verifichi più di testa ma non più di 3 teste. (3) ] (3)() Più in generale si ha () Esempio: Si calcoli la probabilità che lanciando 3 monete distinguibili, si verifichi almeno testa ma non più di 3 teste. (3) ] (3)() Media di una variabile aleatoria Si definisce media di una variabile aleatoria, e si indica con E[X], la media pesata dei valori assunti dalla v.a. con i pesi pari alle probabilità: () Esempio: lancio di dado Esempio: lancio di 3 monete X 2 3 P(X=x) /8 3/8 3/8 /8 X P(X=x) /6 /6 /6 /6 /6 / (23456) X a Un caso particolare: P(X=x) Variabile aleatoria degenere 5

6 Varianza di una variabile aleatoria Si definisce varianza di una variabile aleatoria, e si indica con Var[X], la media pesata delle distanze al quadrato dei valori assunti dalla v.a. rispetto alla media, con pesi pari alle probabilità: ( ) () Esempio: lancio di 3 monete X 2 3 Esempio: lancio di dado P(X=x) /8 3/8 3/8 /8 (,5) (,5) (2,5) (3,5) X P(X=x) /6 /6 /6 /6 /6 /6 (,5) (,5) (2,5) (6,5) La deviazione standard è la radice quadrata della varianza. Un caso particolare: X a P(X=x) () Proprietà Linearità: Esempio: lancio di 3 monete X 2 3 P(X=x) /8 3/8 3/8 / X P(X=x) /8 3/8 3/8 / = 6 = 2,532 3 Varianza: 23 (36) (56) (76) (96) 34 Un caso particolare: Sia e = = 6

7 Mediana La mediana di una v.a. è quel valore M tale che (),5. Esempio: lancio di 3 monete X 2 3 P(X=x) /8 3/8 3/8 /8 M=, poiché,5 Esempio: lancio di dado X P(X=x) /6 /6 /6 /6 /6 /6 M=3, poiché 3,5 Esempio: lancio di 2 dadi M=7, poiché 7,58 X P(X=x) /36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 /36 Variabile aleatoria binomiale Numero di teste nel lancio di una moneta volte Numero di titoli a rischio immessi nel mercato Numero di SI in un referendum Numero di neonate in un ospedale Una variabile aleatoria binomiale restituisce il numero di successi in n prove ripetute bernoulliane. In ogni prova di Bernoulli la probabilità di successo è indicata con,. X 2 3 P(X=x) /8 3/8 3/8 /8 3 /2 numero dei lanci della moneta probabilità che esca testa (=successo) 7

8 Esempio: Un processo industriale produce pezzi difettosi con probabilità,5. Identificando l evento successo con l osservazione di un pezzo difettoso ed immaginandodi campionare 5 pezzi a caso, si determini la distribuzione di probabilità della v.a. X= numero di pezzi difettosi tra i 5 campionati. ome calcolare le probabilità? Si usano le tavole statistiche della funzione di ripartizione.,7738, , () - () () - () (2) 2 () 2 (3) 3 () X F(x),7738,9774,9988,,, () (2) (2) 8

9 2 2 () - () () - () (2) 2 () 2 (3) 3 () X F(x),7738,9774,9988,,, () (2) 2 (3) 2 2 () - () () - () (2) 2 () 2 (3) 3 () X F(x),7738,9774,9988,,, (2) (3) (3) X F(x),7738,9774,9988,,, P(X=x),9774-,7738,9988-,9774 -,9988 9

10 Esempio: Un processo industriale produce pezzi difettosi con probabilità,5.identificando l evento successo con l osservazione di un pezzo difettoso ed immaginando di campionare 5 pezzi a caso, si determini la distribuzione di probabilità della v.a. X= numero di pezzi difettosi tra i 5 campionati. a) Qual è la probabilità di trovare almeno pezzo difettoso nei 5 estratti? b) Qual è la probabilità di trovare al più un pezzo difettoso nei 5 estratti? () c) Qual è la probabilità di trovare non più di un pezzo difettoso nei 5 estratti? d) Qual è la probabilità di trovare 4 o 5 pezzi difettosi nei 5 estratti? e) alcolare media e varianza della v.a. X. 4 4 (3) = 5,5,25 () Var 5,5,95,8,8 Esempio: Si consideri un urna con palline, di cui 4 rosse e 6 nere. Sia Xla variabile aleatoria che restituisce il numero di palline rosse ottenute in 8 estrazioni dall urna con reimissione. a) Si calcoli il numero medio di palline rosse. = 8,43,2 b) Si determini la probabilità di ottenere esattamente due palline rosse. 2 2 (),354,64,29 c) Si determini la probabilità di ottenere almeno due palline rosse. 2 (2),64,8936 d) Si determini la probabilità di ottenere più di quattro palline rosse. 4 (3) 3,594

11 ,4,35,25,5,5 Distribuzione binomiale di parametri n=e p=,5,4,35,3,25,2,3,2, Distribuzione binomiale di parametri n=e p=,,4,35,3,25,2,5,, Distribuzione binomiale di parametri n=e p=,8,5,, Variabile aleatoria ipergeometrica Una variabile aleatoria ipergeometrica restituisce il numero di successi in n prove ripetute non bernoulliane. In ogni prova la probabilità di successo non è costante. k successi N-k insuccessi Si effettuano n estrazioni senza reimmissione Se sono stati giocati due numeri sulla ruota di Napoli (ad esempio 27 e 3) allora 9,2,5 Qual è la probabilità di effettuare l ambo? (2)

12 In questo caso, è possibile usare il fattore di correzione di una popolazione finita. Per 9,5,955 Il numero di prove di Bernoullicoincide con quello assegnato per la v.a. ipergeometrica, n=5. La probabilità di successo è pari alla probabilità di successo alla prima estrazione. In tal caso la probabilità di successo è p=,222 e il numero di estrazioni è 5. Nelle tavole il valore,222 non è dato. In tal caso bisogna usare il valore di ppiù prossimo al valore assegnato, ossia p=, (),9988,9774,24 Media: 2 9 5, Varianza: , Esempio: Si consideri un urna con palline, di cui 4 rosse e 6 nere. Sia Xla variabile aleatoria che restituisce il numero di palline rosse ottenute in 8 estrazioni dall urna senza reimmissione. a) Si calcoli il numero medio di palline rosse. 4 83,2 (Lo stesso della v.a. binomiale) b) Si determini la probabilità di ottenere esattamente due palline rosse. 2 2 (),33 Fattore di correzione è: 2/9=,222 c) Si determini la probabilità di ottenere almeno due palline rosse. 2 (2) d) Si determini la probabilità di ottenere più di quattro palline rosse ,29 2,8936 2

13 Variabile aleatoria di Poisson La distribuzione di probabilità di una v.a. di Poisson è una approssimazione della distribuzione di probabilità di una v.a. binomiale, al crescere del numero di prove e al diminuire della probabilità di successo. La v.a. di Poisson si applica nei processi di conteggi delle realizzazioni di un evento aleatorio. Simeon-Denis Poisson Numero di errori in una pagina di un libro Numero di telefonate ad un centralino telefonico Numero di automobili in ingresso in un parcheggio Numero di ombrelli lasciati su di un autobus La media rappresenta il numero medio di eventi per unità (un ora; un giorno; la pagina di un libro ) Esempio: Per studiare il processo con cui si riduce nel tempo la densità di una sostanza radioattiva, è stato osservato un pezzo di radio durante 2.55 intervalli temporali di ampiezza 7,5 secondi e registrato un numero di particelle emesse per unità di tempo per un totale di.94 particelle. Le frequenze sono riportate in tabella. No.par ticelle Frequenza b) Freq.relat.,224,85,65,246,944,477,939,58,24,7,5 Poisson,8,74,46,95,96,56,4,6,3,3,5 Stabilire se è possibile assumere che la v.a. che conta il numero di particelle emesse può essere modellata con una v.a. di Poisson. a) alcolo del parametro. c) Grafico.,25,2,5,, , eorico Dati 3

14 ,4,35,3,25,2,5,, Distribuzione di Poissondi parametro,4,35 Distribuzione di Poissondi parametro 2,3,25,4,35,3,25,2,5,, ,2,5, Distribuzione di Poissondi parametro 4, Una distribuzione binomiale può essere approssimata da una distribuzione di Poisson, quando n è molto grande ep è molto piccolo.,3,25,2,5, Un criterio è :,()5 poiss binom Poissondi parametro,5 Binomialedi parametri n, p,5, Poissondi parametro 3,25 Binomialedi parametri n3, p,25,8,6,4,2,,8,6,4,2, Poiss binom 4

15 Esempio: Il numero di errori di battitura commessi da una esperta dattilografa segue una legge di Poissondi parametro 3 errori per pagina. a) alcolare la probabilità che in una pagina compaiano più di 3 errori. b) alcolare la probabilità che in una pagina compaiano meno di 2 errori. c) Usando le tavole, verificare che il numero medio di errori è ,647, ,5,49,224,224,68,,5,22,8,3 d) alcolare la probabilità che in due pagine compaiano almeno 4 errori. Se in una pagina vi sono 3 errori, in 2 pagine vi sono 6 errori. Per rispondere al quesito occorre usare il parametro ,5 Dal discreto al continuo.8 Uniforme discreta, n= n=2 n= n=6 n=5 n= ? Per passare dal modello discreto al modello continuo non basta solo infittire i valori del range perché le probabilità vanno a zero!! 5

16 ome evitare che le masse di probabilità vadano a zero?,88=(/)/,5,96=(/5)/,,996=(/5)/,,2=(/5)/, Il profilo della curva viene detto funzione densità di probabilità. Ossia,,2,= /5 restituisce la probabilità che la variabile aleatoria assuma uno specifico valore. Per questo tipo di variabili si ha che,2,8,6,4,2 Variabile aleatoria uniforme continua Si definisce variabile aleatoria uniforme sull intervallo, la variabile aleatoria (, ) avente funzione densità:, Grafico per, Si assuma di voler calcolare,5,25 ~ Sommare le aree di tutti i rettangoli aventi per altezza la funzione densità e per base l intervallo,5,5,25,35,45,55,65,75,85,95 tra due consecutive barre, E poi far tendere a zero, 6

17 ,5,25,2,,,25,5,2 Probabilità su un intervallo,8,6,4,2,5,5,25,35,45,55,65,75,85,95 Più in generale, si ha:,2,8,6,4 Funzione di ripartizione,2 x,5,5,25,35,45,55,65,75,85,95 Più in generale, si ha:,2,8,6,4,2,5,5,25,35,45,55,65,75,85,95 Proprietà:,2,8,6,4,2,5,5,25,35,45,55,65,75,85,95 In tal caso gli estremi di integrazione possono essere inclusi entrambi: 7

18 La funzione di ripartizione ha forma:,,2,8,6,4,2 Grafico di per -,5 -,4 -,3 -,2 -,,5,5,25,35,45,55,65,75,85,95,,,,2,3,4,5,2,8,6,4,2 Grafico di per,, Esempio:,, Esempio: Sia un tempo di attesa alla fermata di un autobus. La corsa passa ogni 3 minuti a partire dalle 7. del mattino. Se un passeggero arriva alla fermata in un momento casuale con distribuzione uniforme tra le 8. e le 8.3, si calcoli con quale probabilità dovrà aspettare il prossimo autobus a) per meno di 5 minuti,,3 b) per almeno 2 minuti. a) 5 5 5,35 3,3,25 ) ,2 3,5,, c) Se ha già atteso 5 minuti, qual è la probabilità che debba attendere almeno altri 5 minuti? (5) d) Se ha già atteso 5 minuti, qual è la probabilità che debba attendere tra i e i 5 minuti? =5 () = (5)

19 Variabile aleatoria gaussiana La curva gaussiana sul marco tedesco arl Friedrich Gauss Inno di lode dedicato alla curva dallo statistico W.J. Youden Variabile aleatoria gaussiana La curva gaussiana sul marco tedesco arl Friedrich Gauss La curva gaussiana è caratterizzata da due parametri: la media (linea rossa) la varianza (linea blu) (,) (9,4) osa c è di diverso in queste due curve? 9

20 (,) (9,4) Modificare la media equivale a traslare la curva sull asse delle ascisse Modificare la varianza equivale ad appuntire o schiacciare la curva Grafico delle funzioni di ripartizione. La variabile aleatoria gaussiana standard ha media e varianza. Ogni variabile aleatoria gaussiana si ottiene per trasformazione lineare da una variabile aleatoria gaussiana standard. ~, ~, () (59) Le due aree rosse sono equivalenti Infatti se L equivalenza delle due aree è visibile nel grafico sottostante: 2

21 Relazione tra area sotto la curva gaussiana e funzione di ripartizione. (2)~,35 (2) Relazione tra area sotto la curva gaussiana e funzione di ripartizione. (4,5)~,9 (4,5), 2

22 Per calcolare i valori dell area è possibile usare le tavole statistiche della v.a. : (2,68),37 (3,9),47,9292,8,8599 Il calcolo della funzione di ripartizione di ogni variabile aleatoria gaussiana va ricondotto alla variabile aleatoria gaussiana standard. 22

23 Esempio:Sia una variabile aleatoria gaussiana di media 5 e deviazione standard 3. alcolare 4 Si tratta di calcolare l area in blu. Per poter usare le tavole, è necessario trasformare la v.a. nella variabile aleatoria standard ( ).Analoga trasformazione subirà la costante 4 (mediante l operazione di standardizzazione) , ,33 Esempio:Sia una variabile aleatoria gaussiana di media 5 e deviazione standard 3. alcolare 63. E necessario trasformare la v.a. nella v.a. standard. Si tratta di calcolare l area in blu ,43 =,3336,43 (,43) Osserviamo che 23

24 Esempio:è una variabile aleatoria gaussiana con media 7 e deviazione standard 3,3. alcolare (6974) Si tratta di calcolare l area in blu. Per poter usare le tavole, è necessario trasformare la v.a. nella variabile aleatoria standard assieme ai valori 69e , ,3,3 ( ) 747,2 3,3 Il problema inverso Si dice p-esimo percentile della variabile aleatoria quel valore tale che Esempio:Sia una variabile aleatoria gaussiana con media 7 e deviazione standard 3,3. Determinare il 4-esimo percentile.,,,4 Si cerca sulla tavola della gaussiana quel valore? tale che l area a sinistra è uguale a,4?,25 ~,4 -,25 7,25 3,3 7,253,3 = 69,7 24

25 Esempio:Sia una variabile aleatoria gaussiana con media 7 e deviazione standard 3,3. Determinare l 82-esimo percentile.,,,82 Si cerca sulla tavola della gaussiana quel valore tale che l area a sinistra è uguale a,82,92,92 ~,82 7,92 7,923,3 = 39,64 3,3 La legge dei 3 sigma 68% 22 95% 33 99,7% 25

26 Fissata un area sotto la curva densità gaussiana, gli estremi dell intervallo centrato sulla media e tale che si dicono quantili. 2 Quantili 2 In particolare / 2 / 2 / Esempio: Sia,5. Allora,95 2,25 2,975 E necessario cercare sulle tavole quei valori tali che,,25 e,,975,,96,,96 NB: sono simmetrici rispetto all asse delle y. Quantili Esempio: Sia,. Allora,99 2,995 2,5 E necessario cercare sulle tavole quei valori tali che,,5,,995, 2,57, 2,57 NB: sono simmetrici rispetto all asse delle y. Esempio: Sia,. Allora,9 2,95 2,5 E necessario cercare sulle tavole quei valori tali che,,5 e,,95,,64,,64 NB: sono simmetrici rispetto all asse delle y. 26

27 Q-Q Plot Il grafico si riferisce alle altezze di studenti di una scuola. Ad esso è stato sovrapposto una densità gaussiana. E possibile dire che la variabile aleatoria «altezza di uno studente di quella scuola» è gaussiana? on quale media? on quale varianza? Un primo modo per verificare se il campione casuale proviene da una popolazione gaussiana è il q-q plot. Se i dati si distribuiscono lungo una retta, allora è possibile ritenere valido il modello teorico. ome si costruisce? Q-Q Plot I dati vanno ordinati () () () Per ciascuno di essi va calcolata la funzione di ripartizione empirica (),5 Si determina il percentile di una variabile aleatoria standard corrispondente a,.,. I punti di coordinate (), vanno disegnati su un grafico. Esempi di Q-Q plot non lineari 27

28 Esempio: Disegnare un Q-Q plot per i seguenti dati. Dati 2,9,8 2,6,3 8,89,23,9,54 8,9 2,6 Dati ordinati 8,9 8,89,8,23,3,54,9 2,9 2,6 2,6 F(x),5,5,25,35,45,55,65,75,85,95 Percentili -,64 -,3 -,67 -,39 -,3,3,39,67,4,65 Q-Q plot 2,,5,,5, -,58, 9,,, 2, 3, -, -,5-2, Q-Q Plot Istogrammi di campioni casuali costruiti con n=4(blu), n=(verde), n=4(giallo) Q-Q plots 28

29 Approssimazione di una binomiale con una gaussiana La macchina di Galton Approssimazione di una binomiale con una gaussiana L approssimazione di una v.a. binomiale con una v.a. gaussiana è possibile non solo quando la prima distribuzione è simmetrica. Ma ogni qual volta la media della v.a. binomiale è maggioredi 5. L approssimazione migliora al crescere del parametro ne al diminuire del parametro p. n=, p=, (,;,,9) n=5, p=, (5,; 5,,9) 29

30 Esempio: Sia Xil numero di teste su 8 lanci di una moneta. Sia pla probabilità di successo. alcolare (3842)per,5. Non vi sono a disposizione tavole per questo calcolo. Media gaussiana = media binomiale = 8,54 Va usata l approssimazione gaussiana. Varianzagaussiana= varianza binomiale = 8,5, , , ,4,4,4,4,4,4,927,793 Fattore di correzione per continuità L approssimazione gaussiana alla distribuzione binomiale può non essere soddisfacente quando si va a stimare la probabilità di intervalli piccoli, anche per valori di n elevati. Esempio: Sia ~(4;,2) Si vuole calcolare 697. Il valore esatto è,73. Usando l approssimazione gaussiana con media 4,2e varianza 4,2, ,37,2 =,46 Il grafico della densità gaussiana e della distribuzione binomiale (sovrapposte) è: L area blu è più piccola. 3

31 Fattore di correzione per continuità L approssimazione gaussiana alla distribuzione binomiale può non essere soddisfacente quando si va a stimare la probabilità di intervalli piccoli, anche per valori di n elevati. Esempio: Sia ~(4;,2) Si vuole calcolare 697. Il valore esatto è,73. Usando l approssimazione gaussiana con media 4,2e varianza 4,2,8 L intervallo viene allargato sottraendo,5 all estremo sinistro e aumentando di,5 l estremo destro. 69,57,5 68,58 7,58,44,6 8 8 =,697 Il grafico della densità gaussiana e della distribuzione binomiale (sovrapposte) è: L area blu è più piccola. 3