Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa Univesità degli Studi di Milano Lezione n Oscillatoe RL. Equazione del otoe di B e coente di spostamento. Equazioni di Maxwell Magnetismo nella mateia. Diamagnetismo Anno Accademico 8/9

2 Induttanza come elemento di cicuito Toniamo al cicuito con il solenoide e la esistenza Utilizzando la legge di Faaday avevamo scitto l'equazione del cicuito L'equazione può essee iscitta come E E di L Ri dt di L + Ri dt In elazione al cicuito l'equazione può essee intepetata dicendo che l'induttanza è un elemento di cicuito con una data elazione V I E E i + E i i di L dt L R L + di v i v L dt v + i i dv dt Ricodiamo l'analoga intepetazione del condensatoe Si può applicae la teoia dei cicuiti Leggi di Kichhoff, maglie, nodi Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 59

3 icuito oscillante L onsideiamo il cicuito in figua Pe il momento supponiamo che la esistenza dei conduttoi sia tascuabile Supponiamo che al tempo t sulle amatue del condensatoe sia pesente una caica Q max v max e che non cicoli coente nel cicuito: i(), v() v max La tensione ai capi dei due componenti è la stessa La coente che cicola nei due componenti ha lo stesso valoe ma segno opposto i L i i Dalle elazioni V I otteniamo l'equazione del cicuito i dv dt La soluzione è immediata v di L L dt ( ω φ) i Asin t + dil Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 6 i L dt La condizione iniziale sulla coente fissa la fase φ di alcoliamo la tensione v L Lω Acos ωt dt vmax v( ) v Lω A A max v Lω max L ( ) vmax L ω di dt L ω L i Asinφ φ Q ω max imax i

4 icuito oscillante L Intepetiamo il isultato tovato v v cos ω t max i i sin ω t max Pe ω t il condensatoe ha la massima caica e non cicola coente 'è un campo elettico nel condensatoe Non c'è campo magnetico (i ) Pe ω t π/ il condensatoe è scaico Non c'è più campo elettico Il campo magnetico è massimo Pe ω t π la caica sul condensatoe è di nuovo massima Il campo E ha cambiato segno B Pe ω t 3π/ il condensatoe è scaico Il campo B ha cambiato segno E Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 6

5 icuito oscillante L Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 6

6 icuito oscillante L v v t L'oscillazione del cicuito L consiste petanto nella continua tasfomazione dell'enegia del sistema L'enegia del campo elettico U E L'enegia del campo magnetico cos ω max max v t v cos ω max U Li L v sin t M ω max L U v sin ω t M max Natualmente l'enegia totale è costante i i sin ω t v L L v sin ω t max L ( U + U v sin ω t + cos ω t M E max ) v max sin ω t max Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 63

7 icuito oscillante L L'oscillazione che abbiamo ossevato si basa sulla pesenza di caica elettica Il campo elettico nel condensatoe e di natua quasi-statica (elettostatica) È geneato dalle caiche elettiche (sogenti) Il campo magnetico è di natua quasi-statica (magnetostatica) È geneato dalla coente (sogente, caiche in movimento) E In linea di pincipio il campo elettico potebbe essee geneato pe induzione t Stiamo assumendo che le vaiazioni di B non sono impotanti ispetto a ρ Pe quello che abbiamo visto fino ad oa il campo magnetico può essee geneato solo da una coente Semba che non ci sia modo di pescindee dalla caica elettica In ealtà le modifiche all'ultima equazione di Maxwell pemetteanno un campo magnetico geneato dalle vaiazioni del campo elettico Si possono geneae campi senza sogenti (ρ o J) Sono le onde elettomagnetiche ρ ε B μ J B E Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 64

8 icuito oscillante RL Intoduciamo adesso una esistenza nel cicuito Le elazioni V I pe i te componenti sono i dv v dt L Natualmente V V L + V R Sostituiamo la pima equazione nelle alte due d v L L dt dv dt ombinando le elazioni V V + V L R di L dt dv dv + + L R V dt dt dv dv v R dv L R dt dt R dt Abbiamo ottenuto l'equazione del cicuito Un'equazione diffeenziale del secondo odine a coefficienti costanti vr Ri dv dv V L R dt i L R dt dv R dv + + V dt L dt L Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 65

9 icuito oscillante RL Si può dimostae che una soluzione dell'equazione è della foma alcoliamo le deivate dv dv dt dv dt R dv + + V L dt L αt ( ) cos( ω ) V t Ae t Intoduciamo nell'equazione Il fattoe Ae αt è comune a tutti i temini t R Ae α ( α ω ) cos ωt + αωsin ωt ( αcos ωt + ωsin ωt ) + cos ωt L L L'equazione può essee soddisfatta solo se i coefficienti di sinωt e cosωt sono sepaatamente nulli ( cos sin ) α α ω ω ω t Ae t t ( ) αt Ae α ω cos ωt + αωsin ωt dt Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 66

10 icuito oscillante RL t R Ae α ( α ω ) cos ωt + αωsin ωt ( αcosωt + ωsin ωt ) + cos ωt L L Otteniamo petanto R αω ω L R α ω α + L L R α L R R ω + 4L L L ω Assumiamo che la soluzione sia oscillante, vale a die ω eale Abbiamo petanto la condizione R > L 4L Osseviamo infine che nel caso R avevamo definito ω Petanto la pesenza della esistenza modifica la fequenza dell'oscillazione R ω ω 4L Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 67 L R 4L L

11 icuito oscillante RL Nel caso geneale bisogna consideae anche un'alta soluzione αt ( ) sin( ω ) V t Be t Le due soluzioni possono essee unificate intoducendo una fase αt ( ) cos( ω + φ) V t Ae t i L R Le costanti A e φ si deteminano a tamite le condizioni iniziali Non è paticolamente inteessante Qualitativamente la tensione oscilla con una ampiezza che diminuisce nel tempo Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 68

12 Manca qualcosa Nello studio del cicuito L abbiamo visto un esempio di fenomeno in cui le gandezze elettomagnetiche vaiano nel tempo In paticolae vaiavano nel tempo la caica sulle amatue e la coente nel cicuito Dobbiamo petanto consideae vaiabili nel tempo sia la densità di caica ρ che la densità di coente J Abbiamo visto che deve essee soddisfatta la consevazione locale della caica: equazione di continuità ρ J(, t ) t (, t ) Petanto nello studio di fenomeni elettomagnetici vaiabili nel tempo dobbiamo assumee che in geneale ( t ) J, Abbiamo fomulato la legge di Ampèe in foma diffeenziale fissando il otoe del campo magnetico B μ J Ma la divegenza di un otoe è sempe nulla L'equazione pecedente è petanto inconsistente quando i fenomeni elettomagnetici non sono statici o stazionai Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 69

13 Manca qualcosa Lo stesso tipo di contaddizione può essee visto in un alto modo Ad esempio duante la scaica (o caica) di un condensatoe Duante l'evoluzione del fenomeno una coente scoe nel filo La coente genea un campo magnetico alcoliamo la cicuitazione del campo magnetico e applichiamo il Teoema di Stokes B dl B da La supeficie più ovvia è quella indicata in figua Il filo attavesa la supeficie Nel filo è pesente una densità di coente S B μ J B dl μ J da B d l μ S Questa è la legge di Ampèe Tuttavia abbiamo dimostato che possiamo scegliee qualunque supeficie che abbia lo stesso contono I Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 7

14 Manca qualcosa Possiamo scegliee ad esempio la supeficie S B dl B da S Tuttavia nessuna densità di coente inteseca la supeficie S Due isultati divesi che mostano che l'equazione del otoe è incompleta Dobbiamo petanto concludee che qualcos'alto contibuisce al otoe di B B J +? Deve esistee un temine aggiuntivo il cui flusso attaveso S non sia nullo Occoe aggiungee un temine la cui divegenza cancelli la deivata di ρ Esaminiamo l'equazione di continuità Ricodiamo che la legge di Gauss vale anche nel caso dinamico J (, t ) ρ(,) t E (,) t ε Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 7 μ ρ J(, t ) t ε E ( t ), t S μ J d a S (, t ) ρ(,) t ε E(,) t ε E t (,t )

15 Manca qualcosa Petanto otteniamo E J(, t ) ε t (, t ) (, t ) E (, t ) + ε J t La combinazione di campi che abbiamo scitto ha divegenza nulla Può essee uguagliata al otoe di un campo vettoiale senza geneae inconsistenze Soddisfa automaticamente l'equazione di continuità Modifichiamo petanto l'equazione del otoe di B B μ J +? B μ J+ Notiamo che il campo magnetico può esistee anche se J Può essee geneato dalla vaiazione del campo elettico L'analogo della legge di Faaday pe il campo elettico μ ε E t (,t ) Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 7

16 Equazioni di Maxwell Sciviamo le equazioni di Maxwell nella loo foma finale ρ E ε B E t Vanno completate con F q ( E + v B) B Ricodiamo che il teoema di Helmholtz assicua che la conoscenza della divegenza e del otoe definiscono completamente il campo (diapositiva 8 79 ) Pe fissate condizioni al contono, ad esempio all'infinito Nelle condizioni statiche le sogenti sono La caica elettica pe il campo elettico La coente pe il campo magnetico Quando i campi vaiano nel tempo Un campo magnetico vaiabile genea un campo elettico Un campo elettico vaiabile genea un campo magnetico L'ultimo contibuto è stato intodotto da Maxwell su basi teoiche Vediamo come funziona l'ultimo temine con due esempi B μ J + ρ t μ ε E t Dalla quata equazione discende che J equazione di continuità Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 73

17 Il temine di Maxwell all'opea Supponiamo di avee una sfea di caica Q che genea un flusso di coente adiale Pe l'equazione di continuità in foma integale S J da t V ρdv ( ) j π La coente deve geneae un campo magnetico Se utilizziamo il cammino Γ in figua dovemmo avee 4 ( ) B d l μ j R S Γ ( ) dq dt ( ) j( e )ˆ J Tuttavia la sfea è simmetica e B non può avee una paticolae diezione: deve essee nullo Il flusso di J peò è diveso da zeo La contaddizione viene isolta dal temine aggiuntivo di Maxwell Infatti la sfea di caica genea un campo elettico E 4πε Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 74 ( ) Q

18 Il temine di Maxwell all'opea Dal momento che la caica vaia il campo saà vaiabile nel tempo E t Esaminiamo l'equazione di Maxwell J alcoliamo J e E/ t ( ) 4π 4πε B μ J + ( ) dq dt ( ) Inseendo nell'equazione di Maxwell toviamo B μ J + με ˆe E t Q t μ ε E t E t Petanto il campo magnetico è nullo nonostante l'esistenza di una coente ome ichiesto dalla simmetia Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 75 4πε ( ) Q t ( ) j ˆe 4 π ( ) με dq ( ) dt 4πε ( ) dq μ dq ˆe + ˆe 4π dt dt

19 Il temine di Maxwell all'opea Il secondo esempio è quello del condensatoe Lo abbiamo utilizzato pe convinceci che mancava qualcosa Andando vicino al filo il campo magnetico è B dl μ J da μi B Γ S Tuttavia se si sceglie la supeficie S, anch'essa concatenata con Γ si tova ovviamente i Natualmente l'esistenza di una coente implica che la caica sulle amatue del condensatoe cambi Se la caica sulle amatue vaia nel tempo vaia anche il campo elettico fa le amatue alcoliamo il flusso di E attaveso S Esaminiamo l'equazione di Maxwell μ i π Q dq E d a E i da ε S t ε dt ε S B μ J + μ ε E t Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 76 dq dt i Γ Il nuovo temine contibuisce esattamente come il filo i i B S S

20 Popietà magnetiche della mateia La mateia può esibie popietà magnetiche molto diffeenti Iniziamo con una classificazione dei mateiali sulla base delle loo popietà Supponiamo di avee un solenoide in gado di podue campi magnetici molto intensi Diciamo dell'odine del Tesla Un solenoide del tipo appesentato in figua potebbe avee le seguenti caatteistiche: ampo massimo. Al cento, di cica 3 Tesla ilindo inteno h 4 cm cm on un simile magnete si possono effettuae misue sulla foza magnetica che agisce su vai mateiali in pesenza di un campo magnetico esteno B Si scope che si esecita una foza quando il campo magnetico non è unifome La foza dipende dal gadiente del campo magnetico Il gadiente è più elevato all'ingesso del magnete Si ha un gadiente di cica 7 T/m Il campo è di cica.8 T Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 77

21 Popietà magnetiche della mateia on l'appaato pecedente si possono studiae vai mateiali F F Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 78

22 Popietà magnetiche della mateia È evidente che una teoia degli effetti magnetici della mateia deve essee piuttosto complessa Pe una classe di mateiali le foze sono deboli Le foze sono popozionali al quadato del campo Pe i mateiali diamagnetici Vengono "espinti" dal magnete Pei mateiali paamagnetici Vengono "attatti" dal magnete Nella tabella pecedente le foze sono ifeite a una massa di Kg Foze di. - N conto una foza peso di 9.8 N L'ossigeno liquido è una tipologia diffeente (bassa tempeatua) Pe una classe di mateiali le foze sono molto intense Le foze sono lineai con l'intensità del campo Mateiali feomagnetici Sono "attatti" dal magnete Un Kg di feo isente di una foza magnetica di 4 N Pai ad una foza peso di 4 Kg Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 79

23 Popietà magnetiche della mateia Mateiali diamagnetici Si scope che tutte le sostanze sono soggette a questo tipo di foza epulsiva Dipende dal quadato della coente del solenoide È l'unico effetto pe le sostanze oganiche e pe molti composti inoganici Paticamente indipendente dalla tempeatua Mateiali paamagnetici Pe molte sostanze questa foza attattiva isulta comunque debole Dipende dal quadato della coente del solenoide Ad esempio pe metalli come sodio, alluminio Pe alcuni composti è un po' più intensa NiSO 4, ul La foza aumenta se la tempeatua diminuisce Mateiali feomagnetici La foza è attattiva ed è molto intensa Dipende lineamente dalla coente del solenoide Fa i pincipali mateiali feomagnetici sono il feo, il nichel e il cobalto Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 8

24 Popietà magnetiche della mateia Vale la pena fae una consideazione sugli aspetti di natua enegetica Le enegie in gioco pe i fenomeni diamagnetici e paamagnetici sono piuttosto piccole Questo è veo anche a livello micoscopico onsideiamo ad esempio i dati dell'ossigeno liquido ipotati in tabella Facciamo ifeimento al metodo di misua descitto Supponiamo di volee allontanae il campione ( Kg di sostanza) pe potalo fuoi dall'effetto del campo magnetico Diciamo allontanalo di cm Pe opposi alla foza di 75 N il lavoo necessaio è cica 7.5 Joules ( J) In Kg di O ci sono cica 5 molecole L'odine di gandezza dell'enegia pe molecola è 4 Joules Pe confonto, pe vapoizzae Kg di O liquido occoono. 5 Joules ica Joules pe molecola Si vede petanto che i fenomeni diamagnetici o paamagnetici mettono in gioco enegie molto più piccole di una tansizione di fase Non influenzano eazioni chimiche o pocessi biochimici Un esame NMR non ha nessun effetto collateale (occoe peò pestae attenzione a impianti/potesi feomagnetiche) Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 8

25 Popietà magnetiche della mateia Abbiamo già sottolineato che non si sono mai tovate caiche magnetiche Abbiamo finoa studiato il magnetismo nel vuoto Anche studiando il magnetismo nella mateia non si è mai tovata evidenza di monopoli magnetici I monopoli sono stati cecati in molti modi e il isultato di queste iceche è che se esistono sono molto ai Assumiamo petanto che non esistano caiche magnetiche Le equazioni del campo B sono petanto Nel caso statico B μ ε E t (,t ) B μ J+ B μ Petanto l'oigine delle popietà magnetiche della mateia è da icecae nell'esistenza di coenti a livello micoscopico oenti atomiche dovute al moto obitale degli elettoni lassicamente l'elettone obita intono al nucleo e si può appesentae come una spia pecosa da coente Un dipolo magnetico Momento magnetico intinseco degli elettoni (legato allo spin) Un effetto puamente quantistico L'elettone ha un momento angolae intinseco Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 8 J

26 oenti atomiche Vogliamo adesso utilizzae questo semplice modello atomico pe cecae di compendee le foze diamagnetiche Una tattazione igoosa ichiedeebbe la meccanica quantistica Assumiamo, anche se questo non è completamente m coetto, che l'elettone ( q e ) si muova in un'obita cicolae di aggio intono al nucleo La fequenza di ivoluzione è f v π Petanto la quantità di caica al secondo che attavesa un punto dell'obita è v i Nel fissae il veso della coente abbiamo tenuto conto del fatto che la caica dell'elettone è negativa Inolte abbiamo tascuato il fatto che la caica sia puntifome e l'abbiamo consideata unifomemente distibuita sulla ciconfeenza La coente atomica descitta costituisce un dipolo magnetico Il momento magnetico m è pependicolae al piano dell'obita ef m iπ e π ev π π e v Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 83 i e v

27 oenti atomiche Detta m e la massa dell'elettone il suo momento angolae obitale è L mv e Attenzione a non confondee la massa (m e ) con il momento magnetico m Anche il momento angolae obitale L è pependicolae al piano dell'obita onfontando le due espessioni si ottiene m e m e Questa elazione vale anche quando l'obita non è cicolae Vale anche in meccanica quantistica quando non è più possibile palae di obite Notiamo che se la caica fosse positiva il momento magnetico e il momento angolae saebbeo paalleli La caica dell'elettone è negativa e L e m sono anti-paalleli Alcuni autoi chiamano la quantità e/m e appoto giomagnetico dell'elettone La nomenclatua è confusa L i m m e v e v Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 84

28 Momenti angolai e momenti magnetici Anche al momento angolae intinseco dell'elettone è associato un momento magnetico Tuttavia la costante di popozionalità è diffeente e g me Si tatta di un effetto puamente quantistico non spiegabile classicamente In paticolae il fattoe g Una cosa molto impotante che va detta a poposito dei momenti angolai atomici è che non possono assumee tutti i valoi con continuità I valoi possibili sono disceti (quantizzati) La poiezione lungo un asse del momento angolae obitale è un multiplo della costante di Planck Lz Il momento angolae intinseco può assumee solo due valoi m m m l, l +,, l, l Di conseguenza anche i momenti magnetici atomici possono assumee solo valoi disceti (quantizzati) S L l( l + ) S ± z g Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 85

29 Momenti angolai e momenti magnetici Quando paliamo dell'atomo dobbiamo tenee conto che è un sistema composto da elettoni e nucleoni Tuttavia i nucleoni sono molto più pesanti degli elettoni m m m p n e Petanto è di solito una buona appossimazione consideae l'elettone sotto l'effetto di un campo coulombiano geneato da una caica fissa in un punto dello spazio Equivale a consideae infinita la massa del nucleone Pe quanto iguada lo spin dei nucleoni e il momento magnetico associato Il momento magnetico del potone è (g ) m e μ g p m Notiamo che il appoto giomagnetico del potone è cica volte più piccolo di quello dell'elettone Inolte μ p.793 Deiva dal fatto che il potone è una paticella composta di quak Pe il neutone μ n.93 Nonostante il neutone sia neuto! Nello studio del magnetismo nella mateia i momenti magnetici nucleai sono tascuati Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 86 p S

30 Momenti angolai e momenti magnetici La meccanica quantistica pemetteà di fomulae un modello dell'atomo che descive in modo molto peciso le popietà degli atomi In paticolae il momento angolae totale dell'atomo E quindi anche il momento magnetico Risulta che gli atomi e le molecole tendono ad avee un momento angolae nullo I momenti angolai obitali si cancellano I momenti angolai intinseci si cancellano (pincipio di Pauli) In ealtà questo avviene nelle molecole o quando il numeo degli elettoni è pai In patica la maggio pate delle sostanze hanno un momento angolae nullo Pe queste sostanze l'unico fenomeno magnetico è il diamagnetismo echeemo di capie il diamagnetismo studiando gli effetti di un campo magnetico esteno su un elettone in un'obita classica L v Si ha momento angolae nullo con due obite pecose in veso opposto L v Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 87

31 Modello qualitativo del diamagnetismo Supponiamo di avee una paticella di massa M e caica q che compie un moto cicolae unifome in un'obita di aggio La foza centipeta è fonita da una fune F q La tensione della fune è F, la velocità v v M Inizialmente B F v M Supponiamo adesso di stabilie nella egione un campo magnetico B dietto come in figua B F Natualmente dobbiamo passae da B a B Avemo una campo magnetico vaiabile nel tempo v Avemo anche un campo elettico indotto La vaiazione del flusso sull'obita detemina la cicuitazione del campo elettico indotto Tascuiamo il segno che fisseemo alla fine con la legge di Lenz dφ db E db E dt E π d πe dt dt l E π π E db dt Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 88 E

32 Modello qualitativo del diamagnetismo Il campo elettico indotto accelea l'elettone E db dt dv M qe dt M dv q db dt dt L'equazione si intega facilmente B v F E Mdv qdb v dv q db M v+δv B B F Δ v q M B v +Δv La velocità è aumentata Se la velocità aumenta deve aumentae anche la foza centipeta ( v +Δv) v v Δv M + M + O( Δv ) F F M Nei casi di inteesse Δv v Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 89

33 Modello qualitativo del diamagnetismo Olte alla tensione della fune abbiamo anche la foza di Loentz: F F + F m F qv B m F q m ( v +Δv ) B MΔv F m ( v +Δv ) Tascuiamo ancoa una volta i temini in Δv onfontiamo con il isultato della diapositiva pecedente F m Mv Δ v q B M Vediamo l'inteessante cicostanza che il campo magnetico fonisce anche la necessaia foza centipeta aggiuntiva Necessaia pe mantenee il aggio dell'obita costante La tensione della fune non è cambiata Non dipende dal tipo di foza che lega la paticella Funziona allo stesso modo con la legge di oulomb Δv v v Δv F M + M qb MΔv Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 9

34 Modello qualitativo del diamagnetismo Veniamo al segno della foza elettomotice B In linea di pincipio Δv potebbe essee negativa indicando una deceleazione della caica Utilizziamo la legge di Lenz La vaiazione velocità deve geneae una vaiazione di flusso che si oppone al flusso di B Se q > la vaiazione di velocità deve essee positiva: Δv > In temini di momento di dipolo magnetico Inizialmente il momento di dipolo è m Dopo l'acceleazione il momento è aumentato m m +Δm Dalle diapositive pecedenti q v q Δ m Δv F Δm m q v +Δv v Δv Δ v q M B Δ m q 4M B Δ m q 4M B Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 9

35 Modello qualitativo del diamagnetismo Vediamo petanto che l'elettone acquista un momento di dipolo magnetico aggiuntivo L'aumento Δm è anti-paallelo al campo applicato B Il momento di dipolo aggiuntivo è nel veso opposto a quello di B anche quando l'elettone uota in senso inveso Succede pe la legge di Lenz Pe la legge di Lenz la vaiazione di velocità deve geneae una vaiazione di flusso opposta a quella causata da B B Δv e Δm come nel caso pecedente oncludiamo che pe entambi i vesi della velocità dell'elettone c'è un momento di dipolo aggiuntivo Anche pe un atomo con due elettoni con due obite pecose in senso opposto Un atomo che inizialmente ha momento angolae e momento magnetico nulli Acquista un momento di dipolo magnetico pai a Δm Δ m Δ m Δm Δm Analogo all'atomo sfeico che si defoma e acquista un dipolo elettico m m q v q B 4M v Δv +Δv q B 4M Δv Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 9

36 Modello qualitativo del diamagnetismo Abbandoniamo l'ipotesi che l'obita sia pependicolae al campo magnetico La poiezione del campo magnetico sull'asse pependicolae al piano dell'obita è Bcosθ z z Nella somma dei momenti magnetici aggiuntivi imane solo la componente z di Δm La gandezza cosθ è la poiezione del aggio dell'obita sul piano x y Mediando su tanti atomi D'alto canto q Δ m B 4M Δ m Δmcos θ x + y + z z Utilizzando questo isultato cos θ q B 4M cos cos θ x + y x + y Δm x y z 3x cos θ x cos θ 3 Δ m q 6M Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 93 θ θ B B x θ B 3

37 Modello qualitativo del diamagnetismo Infine consideiamo un atomo in cui ci sono Z elettoni (q e, M m e ) Il momento magnetico che l'atomo acquista è R Z Δ m Δ k m Possiamo adesso calcolae il momento magnetico che acquista un volume V di mateia che contiene n atomi pe unità di volume Il numeo di atomi è N Il momento magnetico è m NΔm k ρ nv N V Av A Z ek 6 m k e B M N A Av M ezr N Av A 6m B Z k m B ezr e 6m k e e 6 Ricodiamo che la foza su un momento magnetico m è ( diapositiva 5) Notiamo che il veso della foza dipende dal segno di m B B Z k Z k ρ n N A Av M è la massa del volume V in g e Z er m MNAv A 6m 78 ( ) F m B e B Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 94

38 Modello qualitativo del diamagnetismo alcoliamo la foza pe le sostanze citate nella diapositiva ( ) F m B m er MNAv 6m Osseviamo che e La foza è popozionale alla massa Il gadiente del campo è negativo, la foza è dietta lungo il veso positivo dell'asse z È una foza epulsiva alcoliamo il modulo F z F z Ripoduce molto bene l'odine di gandezza delle foze Pe valoi più accuati occoe il valoe esatto di R e B er F MN B z Av 6m B z.4 N m B er MNAv 6m B z 8 T/m B.8 T R e M Kg e 9.6 B N 6. 3 me.53 m Av B < z 3 9. Kg Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 95

39 Teoia di Langevin del diamagnetismo La teoia del diamagnetismo descitta è adottata in molti testi È adottata da Pucell ma non da Mazzoldi Mazzoldi pesenta la teoia classica di Langevin basata sulla pecessione del momento angolae L Il momento della foza sull'elettone obitante ne fa pecessae il momento angolae ω L e B m La otazione aggiuntiva genea una coente Δi L Δ i ef e ω L π L'atomo acquista un momento magnetico aggiuntivo Δm ω e π π L Δ m Δiπ e m e B Osseviamo che in entambi i casi si tatta di teoie qualitative che mostano una seie di inconsistenze di natua temodinamica Una teoia igoosa ichiede la meccanica quantistica Δ m e B 4m Elettomagnetismo Pof. Fancesco Ragusa 96