PRESTAZIONI E SIMULAZIONE DI SISTEMI (Simulazione II)

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1 PRESTAZIONI E SIMULAZIONE DI SISTEMI (Simulazione II) Amelia Giuseppina Nobile 1 (a.a. 2011/2012) 29 maggio Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali, Università di Salerno

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3 Capitolo 1 Reti di code 1.1 Introduzione La teoria delle reti di code riguarda la formulazione e l analisi di modelli matematici atti a descrivere un insieme di sistemi di servizio (detti risorse o nodi della rete), ognunocostituito da un centrodi attesa e da un centrodi servizio. Si suppone che esista una struttura di interconnessione tra le risorse che consenta agli utenti di usufruire dei servizi offerti della rete. Lo scopo è quello di analizzare le prestazione della rete e di individuare, se necessario, idonee politiche atte a migliorarne le sue prestazioni. Gli utentiin unarete di code sonointesiin sensogenerico: possonoesserejob in computer-system, task in un sistema di elaborazione, pacchetti in un sistema di comunicazione, utenti di un centro commerciale,... Ogni risorsa contiene un centro di attesa (buffer) e un centro di servizio (stazione) con uno o più servitori. In una rete di code l input (o gli input) di una risorsa può (possono) essere l output (o gli output) di una o più risorse. Ad esempio, in Figura 1.1 è rappresentata una rete di code per computer-system con due risorse collegate in serie in cui l output della prima risorsa costituisce l input della seconda risorsa. La prima risorsa comprende una fila di attesa e un centro di servizio per la CPU, mentre la seconda risorsa è dotata di una fila di attesa e un centro di servizio per l I/O. Risorsa 1 Risorsa 2 CPU I/O Figura 1.1: Una semplice rete di code con due risorse collegate in serie Se un utente (ad esempio, un job in un modello di computer-system) accede ad una risorsa e trova tutti i servitori del relativo centro di servizio occupati, si metterà nella fila di attesa relativa a quella risorsa. Successivamente, quan- 1

4 2 CAPITOLO 1. RETI DI CODE do uno dei servitori del centro di servizio diventa disponibile, un utente verrà selezionato dalla fila di attesa utilizzando un opportuna disciplina di servizio e potrà accedere al centro di servizio di quella risorsa. Completato il servizio in una delle risorse, l utente potrà accedere ad un altra risorsa, rientrare nella stessa risorsa o abbandonare la rete. Un tipico esempio è costituito dagli utenti di un supermercato che possono richiedere più servizi. Essi possono mettersi in fila di attesa in uno o in più banchi di vendita e richiedere un servizio e successivamente passare ad uno dei banchi di cassa per il pagamento. In questo caso ogni utente riceve in sequenza il servizio dai servitori dei diversi banchi di vendita e da uno dei servitori dei banchi di cassa e può esserci una fila di attesa prima di ogni centro di servizio. Per modellare sistemi di code dei tipi precedentemente descritti, è necessario considerare invece di un unico sistema di servizio una rete di code con risorse multiple, ognuna costituita da una fila di attesa prima di ogni centro di servizio. I primi settori applicativi in cui si è fatto uso delle reti di code sono stati principalmente i sistemi di elaborazione. Solo alla fine degli anni 70 le reti di code hanno trovato un ampia applicazione in diversi settori: computer-system, linee di produzione e di assemblaggio, operazioni di manutenzione e di riparazione, terminali di aeroporti, linee di comunicazione, centri ospedalieri,... Recentemente le metodologie delle reti di code sono utilizzate anche nell analisi delle prestazioni di sistemi produttivi in cui le risorse corrispondono ai centri di lavorazione e gli utenti sono tipicamente job o pezzi in lavorazione. 1.2 Classificazione di una rete di code Le reti di code possono essere classificate in diversi modi. Una di tali classificazioni si basa sulla possibilità della rete di accettare utenti provenienti dall esterno e distingue le reti in aperte, chiuse e miste. Una rete di code aperta è caratterizzata da una o più sorgenti (da cui provengono gli utenti che desiderano usufruire dei servizi della rete) e da una o più destinazioni (in cui confluiscono gli utenti che abbandonano la rete). In una rete aperta sono ammessi arrivi dall esterno e uscite verso l esterno, ossia la popolazione della rete può variare nel tempo. Una rete di code è quindi aperta se gli utenti entrano dall esterno del sistema, circolano attraverso le varie risorse della rete e infine escono dal sistema. In Figura 1.2 è rappresentata una rete aperta con quattro risorse disponibili. La scelta della risorsa a cui l utente accede può essere sia deterministica sia aleatoria. La scelta deterministica si ha quando, ad esempio, un pezzo deve transitare per una sequenza prefissata di risorse, ognuna con un centro di servizio preposto a una particolare operazione (taglio, lavaggio, misura,...); in questo caso con certezza, dopo aver usufruito del servizio in una certa risorsa, il pezzo dovrà accedere ad un altra prefissata risorsa. La scelta aleatoria si realizza, ad esempio, quando il successivo instradamento dipende dall esito di un operazione (tipicamente di collaudo o di verifica); qualora il pezzo risultasse difettoso deve

5 1.2. CLASSIFICAZIONE DI UNA RETE DI CODE 3 Risorsa 1 Risorsa 2 Risorsa 3 Risorsa 4 Figura 1.2: Una rete di code aperta con quattro risorse. essere rispedito ad una precedente risorsa per una rilavorazione. In questo caso occorre fornire delle stime accurate delle probabilità di instradamento. Nelle reti di code aperte non vi è teoricamente limite al numero di utenti presenti in un determinato istante nella rete. Gli utenti arrivano dall esterno e vanno ad affollare le file di attesa (i buffer) delle varie risorse, che si suppone in grado anche di ospitare un numero comunque elevato di utenti. Spesso nella realtà questa situazione non si verifica. Un elevato traffico infatti implica costi elevati legati sia al capitale immobilizzato, sia allo spazio fisico occupato dagli utenti (job, pezzi in lavorazione,...), sia alle strutture di movimentazione e sia ai problemi di collaudo e di supervisione. Spesso per tenere sotto controllo il numero di utenti e i loro tempi di attesa nelle varie risorse si considerano reti di code chiuse. Una rete di code chiusa è caratterizzata da una popolazione (numero di utenti che circolano nella rete) fissata e finita. In una rete chiusa non vi sono né ingressi né uscite dalla rete e, quindi, gli utenti non possono entrare e non possono abbandonare la rete. Pertanto, in una rete di code chiusa un fissato e finito numero di utenti circolano indefinitamente tra le varie risorse della rete. In Figura 1.3 è rappresentata una rete chiusa con tre risorse disponibili. Nelle reti chiuse è fondamentale analizzare come variano le prestazioni della varie risorse della rete all aumentare del numero di utenti che in essa circolano. Occorre sottolineare che in una rete chiusa anche se gli utenti continuano a circolare indefinitamente da una risorsa ad un altra senza mai entrare o uscire dalla rete, nella realtà spesso avvengono sia ingressi sia uscite, nel senso che non appena un utente esce dal sistema è istantaneamente sostituito da un nuovo utente che entra nella rete. Unarete di code mistaèinveceapertapercertiutentiechiusaperaltriutenti. In una rete di code mista quindi esistono degli utenti che entrano dall esterno ed eventualmente lasciano il sistema e altri utenti che restano indefinitamente

6 4 CAPITOLO 1. RETI DI CODE Risorsa 1 Risorsa 2 Risorsa 3 Figura 1.3: Una rete di code chiusa con tre risorse. nel sistema. Nel caso di reti aperte e di reti miste gli utenti che arrivano dall esterno entrano nel sistema in una risorsa qualsiasi dove si accodano e ricevono il servizio, al termine del quale escono dalla risorsa e si dirigono verso un altra risorsa oppure rientrano nella stessa risorsa oppure escono dalla rete. Nelle reti chiuse, invece, gli utenti restano indefinitamente nel sistema, essi sono sempre in fila di attesa o in servizio in una delle risorse disponibili. Nel caso di reti di code aperte e di reti miste occorre specificare le caratteristiche delle sorgenti di input, ossia il numero di potenziali utenti di ogni sorgente (finito o infinito). Una rete di code chiusa invece non è dotata di nessuna sorgente. Per ogni rete di code occorre specificare il numero di risorse disponibili; precisare la dimensione (finita, infinita o nulla) del centro di attesa di ogni risorsa; individuare il processo degli arrivi ad ogni risorsa, ossia stabilire la distribuzione dei tempi di interarrivo degli utenti ad ogni risorsa (dalle altre risorsa oppure dalle eventuali sorgenti). Per ogni centro di servizio di ogni risorsa occorre stabilire il numero di servitori, la disciplina di servizio, la distribuzione dei tempi di servizio per ogni servitore, individuare il processo di output da ogni risorsa verso le altre risorse o eventualmente verso l esterno della rete. Se larete di code èchiusaoccorreancheprecisareil numerodi utenti presenti nella rete. Se la rete di code è mista occorre anche stabilire il sottoinsieme

7 1.3. STRUTTURA DI INTERCONNESSIONE 5 di utenti per i quali la rete è chiusa, ossia quali sono gli utenti che restano indefinitamente nella rete. Per alcune reti di code l insieme di utenti è suddiviso in opportune classi (sottoinsiemi) contenenti utenti caratterizzati da caratteristiche simili, ossia occorre classificare gli utenti in classi di priorità. 1.3 Struttura di interconnessione Il comportamento degli utenti nella rete è caratterizzato dalla possibilità di transire tra le risorse. La struttura di interconnessione tra le risorse permette di rappresentare le possibili transizioni degli utenti tra le risorse. Per definire una struttura di interconnessione di tipo probabilistico tra R risorse di una rete, occorre: numerare le risorse della rete da 1 a R; definire la matrice delle probabilità di diramazione avente cardinalità R (R+1): 1... j... R Stop 1 p p 1j... p 1R p D = i p i1... p ij... p ir p i0 (1.1) R p R1... p Rj... p RR p R0 dove p ij (i,j = 1,2,...,R) denota la probabilità che l utente si diriga istantaneamente alla risorsa j dopo aver completato il servizio alla risorsa i-esima e dove p i0 (i = 1,2,...,R) denota la probabilità che un utente esca istantaneamente dalla rete non appena ha completato il servizio nella risorsa i-esima. Poiché risulta p ij 0, (i,j = 1,2...,R), p i0 0 (i = 1,2,...,R) R p ij +p i0 = 1 (i = 1,2,...,R), j=1 (1.2) lamatriced èstocastica, ossialasommadelle probabilitàsu ognirigaèunitaria. Unitamente alla matrice di diramazione D si può anche considerare la matrice P di cardinalità R R che contiene le prime R colonne della matrice D, cioè tutte le colonne eccetto l ultima. La matrice P è chiamata matrice delle probabilità di switching o di instradamento. A differenza della matrice D, se la rete è aperta o mista la matrice P non è stocastica. Se invece la rete è chiusa si ha che p i0 = 0 per ogni i = 1,2,...,R e quindi la matrice P è stocastica.

8 6 CAPITOLO 1. RETI DI CODE Una rete di code può quindi essere rappresentata come un grafo orientato ed etichettato dove i nodi sono le risorse della rete, gli archi le possibili transizioni tra le risorse della rete e le etichette degli archi definiscono le probabilità di diramazione. 1.4 Sistemi di servizio Vogliamo ora richiamare alcuni risultati della teoria delle file di attesa utilizzati per analizzare le singole risorse di reti di code. La teoria delle file di attesa, detta anche teoria delle code, riguarda la costruzione e l analisi di modelli matematici atti a descrivere sistemi reali nei quali il generico utente richiede un particolare servizio e deve attendere in qualche tipo di coda (o fila di attesa) se il centro di servizio non è immediatamente disponibile. La teoria delle file di attesa è essenzialmente di natura probabilistica e fornisce una descrizione del numero di utenti presenti nel sistema e nella fila di attesa, del tempo di permanenza di un utente nella fila di attesa, del tempo di attesa di un utente nel sistema, del periodo di occupazione e del periodo di ozio di un servitore,... Un generico sistema di servizio può essere schematizzato come illustrato nella Figura 1.4 nella quale sono rappresentati: SISTEMA DI SERVIZIO Sorgente Centro di attesa Centro di servizio Destinazione Figura 1.4: Rappresentazione di un sistema di servizio. la sorgente, ossia l insieme delle richieste di servizio che via via si possono presentare al sistema di servizio; il centro di attesa, ossia l insieme delle richieste di servizio che, non potendo essere immediatamente soddisfatte, restano in attesa di poter essere prese in considerazione; il centro di servizio, ossia l insieme dei punti nei quali è soddisfatta la richiesta; la destinazione, ossia l insieme delle richieste di servizio che, essendo state soddisfatte, lasciano i punti di servizio.

9 1.4. SISTEMI DI SERVIZIO 7 La sorgente contiene i potenziali utenti del sistema di servizio e può essere finita o infinita. Spesso se la sorgente è finita e contiene molti potenziali utenti, si assume che sia infinita per semplificare i calcoli matematici. Gli utenti provenienti da una sorgente (o popolazione) si inseriscono in un sistema di coda per ricevere un determinato servizio. Il termine utente è inteso in senso generico: può essere un messaggio che deve essere trasmesso, una richiesta di servizio I/O, un programma che richiede servizi di CPU in un sistema multiprogrammato,... L accesso ad un sistema di servizio può essere realizzato attraverso un centro di attesa che può avere la possibilità di contenere un numero limitato o illimitato di individui. Se il sistema possiede un centro di attesa a capacità limitata, il numero degli individui in attesa non può superare un certo limite caratteristico del sistema di servizio e pertanto una richiesta di servizio che si presenta quando il centro di attesa è saturo è respinta. Esistono sistemi, noti come loss systems, che hanno un centro di attesa a capacità nulla; in essi se un utente arriva quando tutti i servitori (serventi) sono occupati, la sua richiesta di servizio è respinta. Se, invece, il sistema possiede un centro di attesa a capacità illimitata nessuna richiesta di servizio è perduta per quanto lunga possa essere la durata dell attesa (a meno che gli individui in attesa decidano di allontanarsi spontaneamente dal sistema). Superato il centro di attesa gli utenti accedono al centro di servizio che può consistere di uno o più servitori con caratteristiche identiche che lavorano in parallelo e che non possono rimanere inattivi in presenza di utenti nella fila di attesa. Il servitore è un entità in grado di eseguire il servizio richiesto dall utente. Ovviamente un sistema con più servitori può fornire simultaneamente servizio a più utenti. Se tutti i servitori nel centro di servizio sono occupati l utente, quando si inserisce nel sistema, deve mettersi in fila di attesa finché non si liberi uno dei servitori. Con il termine capacità del sistema si intende il numero massimo di utenti (inclusi quelli già in servizio) che possono essere contenuti nel sistema. Il complesso di regole secondo le quali gli individui in attesa passano dal centro di attesa al centro di servizio è detto disciplina di servizio. La disciplina di servizio più comune è la disciplina FIFO (first-in, first out) secondo la quale il primo arrivato è il primo ad essere servito. Esiste anche la disciplina di servizio LIFO (last-in, first out) secondo la quale l ultimo arrivato è il primo ad essere servito. Un altra importante disciplina è la SIRO (service in random order) con la quale ogni utente nel centro di attesa ha la stessa probabilità di essere selezionato per il servizio. La disciplina PRI (priority service) invece prevede che alcuni utenti abbiano un trattamento privilegiato; gli utenti sono in tal caso suddivisi in classi di priorità e il sistema di coda attua una politica preferenziale nei riguardi di alcune classi di utenti.

10 8 CAPITOLO 1. RETI DI CODE Notazioni della teoria delle file di attesa Per descrivere i sistemi di servizio si utilizza spesso una speciale notazione, dovuta a Kendall, ossia A/B/s/K/m/Z (1.3) dove A- descrive la distribuzione dei tempi di interarrivo, ossia la distribuzione della lunghezza dell intervallo di tempo che intercorre tra un arrivo e l arrivo successivo; B - la distribuzione dei tempi di servizio per ognuno dei servitori, ossia la distribuzione della lunghezza dell intervallo di tempo necessario per fornire il servizio ad un utente; s - il numero di servitori, K - la capacità del sistema (ossia il massimo numero di utenti che possono essere presenti nel sistema inclusi quelli in servizio), m - il numero di potenziali utenti nella sorgente, Z - la disciplina di servizio. Spesso si adopera la notazione abbreviata A/B/s, (1.4) intendendo che non ci sono limitazioni alla lunghezza della coda, la sorgente è infinita e la disciplina di servizio è quella FIFO. Alcuni simboli tradizionalmente usati per A e B nei sistemi di servizio e anche nelle reti di code sono: D - tempi di interarrivo (di servizio) indipendenti e identicamente distribuiti (iid) con funzione di distribuzione deterministica, M - tempi di interarrivo (di servizio) iid con funzione di distribuzione esponenziale. GI (o G) - tempi di interarrivo (di servizio) iid con funzione di distribuzione generale. Il meccanismo di arrivo (di servizio) di tipo D è caratterizzato da una cadenza temporale costante degli arrivi (dei servizi). Se indichiamo con T una variabile aleatoria degenere che descrive la lunghezza di un generico intervallo di interarrivo deterministico di durata 1/λ, la sua funzione di distribuzione è: A(t) = P(T < t) = { 0, t 1/λ 1, t > 1/λ. (1.5) Nel meccanismo di arrivo deterministico il valore medio è E(T) = 1/λ e la varianza è Var(T) = 0.

11 1.4. SISTEMI DI SERVIZIO 9 Analogamente, se indichiamo con S una variabile aleatoria degenere che descrive la lunghezza di un generico intervallo di servizio deterministico di durata 1/µ, la sua funzione di distribuzione è B(t) = P(S < t) = { 0, t 1/µ 1, t > 1/µ. (1.6) Nel meccanismo di servizio deterministico il valore medio è E(S) = 1/µ e la varianza Var(S) = 0. Meccanismi di servizio di tipo D si presentano in catene di montaggio in cui il tempo di produzione di un certo pezzo può ritenersi costante. Invece, meccanismi degli arrivi deterministici si presentano in sistemi di servizio in cascata che prevedono due o più posti di lavoro nei quali l uscita di un posto di lavoro costituisce l ingresso per il successivo. Se il tempo di servizio del precedente posto di lavoro è costante, allora la distribuzione degli intervalli di interarrivo per il successivo posto di lavoro è quella deterministica. Nel meccanismo di arrivo (di servizio) di tipo M, la lettera M significa Markov ed indica che i tempi di interarrivo (di servizio) sono distribuiti esponenzialmente. Se denotiamo con T una variabile aleatoria esponenzialmente distribuita con valore medio 1/λ, descrivente la lunghezza di un generico tempo di interarrivo esponenziale, la sua funzione di distribuzione è: A(t) = P(T < t) = { 0, t 0 1 e λt, t > 0, (1.7) e quindi la sua densità di probabilità è: a(t) = da(t) dt = { λe λt, t > 0 0, altrimenti. (1.8) NelmeccanismodiarrivoesponenzialeilvaloremedioèE(T) = 1/λelavarianza è Var(T) = 1/λ 2. Analogamente, se denotiamo con S una variabile aleatoria esponenzialmente distribuita con valore medio 1/µ, descrivente la lunghezza di un generico tempo di servizio esponenziale, la sua funzione di distribuzione è: B(t) = P(S < t) = { 0, t 0 1 e µt, t > 0, (1.9) e quindi la sua densità di probabilità è: b(t) = da(t) dt = { µe µt, t > 0 0, altrimenti. (1.10) Nel meccanismo di servizio esponenziale il valore medio è E(S) = 1/µ e la varianza è Var(T) = 1/µ 2. Il parametro λ è l inverso del tempo medio di interarrivo, ossia del tempo medio che intercorre tra l arrivo nel sistema di due utenti successivi, e può

12 10 CAPITOLO 1. RETI DI CODE essere interpretato come la frequenza media di arrivo degli utenti per unità di tempo. Analogamente il parametro µ è l inverso del tempo medio di servizio, ossia del tempo che occorre ad un servitore per servire un utente, e può essere interpretato come la frequenza media di partenza degli utenti da un servitore per unità di tempo. Alcune quantità che si desidera analizzare nella teoria delle file di attesa sono: stato del sistema Se si denota con {N(t), t 0} il processo stocastico che descrive il numero N(t) di utenti presenti nel sistema al tempo t occorre, se possibile, determinare p n (t) = P{N(t) = n} (n = 0,1,...) (1.11) ossia la probabilità che siano presenti n utenti nel sistema al tempo t e alcune caratteristiche quali il valore medio E[N(t)] e la varianza Var[N(t)] del numero di utenti N(t) presenti nel sistema ad ogni fissato istante di tempo t. Occorre inoltre stabilire se il sistema raggiunge una situazione di equilibrio statistico e in tal caso occorre calcolare la distribuzione di equilibrio q n = P(N = n) = lim t + p n(t) (n = 0,1,...) (1.12) e alcune caratteristiche quali il valore medio E(N) e la varianza Var(N) del numero di utenti N presenti nel sistema nella situazione di equilibrio statistico. tempo di permanenza nella fila di attesa di un utente Il tempo di permanenza nella fila di attesa di un utente è una variabile aleatoria che descrive il tempo che un utente deve attendere in fila di attesa prima di essere servito. tempo di attesa di un utente nel sistema Iltempo diattesadiun utente è una variabile aleatoria che descrive il tempo che un utente spende nel sistema, ossia il tempo che un utente deve attendere in coda più il suo tempo di servizio. Le notazioni fondamentali utilizzate nella teoria delle file di attesa sono le seguenti: N(t) - variabile aleatoria che descrive il numero di utenti presenti nel sistema (inclusi quelli in servizio) al tempo t; p n (t) - probabilità che al tempo t siano presenti nel sistema n utenti (inclusi quelli in servizio); N - Variabile aleatoria che descrive il numero di utenti presenti nel sistema (inclusi quelli in servizio) nella situazione di equilibrio statistico;

13 1.4. SISTEMI DI SERVIZIO 11 q n - probabilitàchesianopresentinelsistemanutenti(inclusiquelliinservizio) nella situazione di equilibrio statistico; N q - variabile aleatoria che descrive il numero di utenti presenti nella fila di attesa nella situazione di equilibrio statistico; N s - variabile aleatoria che descrive il numero di utenti in servizio nella situazione di equilibrio statistico; T - variabile aleatoria che descrive il generico tempo di interarrivo nell ipotesi in cui tali tempi siano iid; S - variabile aleatoria che descrive il generico tempo necessario ad un servitore per servire un utente nell ipotesi in cui tali tempi siano iid; W - variabile aleatoria che descrive il tempo di attesa di un utente nel sistema incluso il suo tempo di servizio; Q - variabile aleatoria che descrive il tempo che un utente spende nella fila di attesa prima di essere servito. Nella situazione di equilibrio statistico il numero di utenti nel sistema è uguale alla somma del numero di utenti presenti nella fila di attesa e del numero di utenti in servizio, ossia: N = N q +N s (1.13) e inoltre il tempo di attesa di un utente nel sistema è uguale alla somma del suo tempo di permanenza nella fila di attesa Q e del suo tempo di servizio S, ossia: W = Q+S. (1.14) Intensità di traffico per sistemi di servizio Se si denota con λ - frequenza media di arrivo per unità di tempo, µ - frequenza media di partenza da un generico servitore per unità di tempo, una misura prestazionale fondamentale in un sistema di servizio è rappresentata dall intensità di traffico a così definita: a = λ µ. (1.15) Tale coefficiente rappresenta l intensità del lavoro che svolge il sistema di servizio nella situazione di equilibrio statistico. Il rapporto tra la frequenza media degli arrivi e la frequenza totale delle partenze che il sistema di servizio può realizzare lavorando a pieno regime, ossia

14 12 CAPITOLO 1. RETI DI CODE il rapporto tra l intensità di traffico e il numero di servitori presenti nel centro di servizio = λ sµ (1.16) prende il nome di fattore di utilizzazione del sistema. Tale coefficiente rappresenta l intensità del lavoro per servitore nella situazione di equilibrio statistico. Quando più si avvicina all unità tanto più il sistema tende ad avere tutti i posti di lavoro occupati con il rischio di entrare in congestione permanente. Quando 1, ossia quando nell unità di tempo la frequenza media degli arrivi è maggiore della frequenza media delle partenze, il sistema non raggiunge una situazione di equilibrio statistico e la lunghezza della fila di attesa tende ad aumentare indefinitamente. Quindi, in un sistema di servizio a capacità infinita può essere interpretata come una misura di congestione del sistema Leggi di Little per sistemi di servizio Nella teoria delle file di attesa esistono delle relazioni che valgono sotto condizioni abbastanza generali. Tra queste relazioni rivestono un ruolo fondamentale le leggi di Little. Esse si applicano ad un qualsiasi sistema di servizio in equilibrio statistico. Se si denota con λ la frequenza media di arrivo nel sistema per unità di tempo, con E(N) il numero medio di utenti nel sistema e con E(W) il tempo medio di attesa di un utente nel sistema, la prima legge di Little afferma che E(N) = λ E(W), (1.17) ossia il numero medio di utenti nel sistema è uguale al prodotto della frequenza media di arrivo nel sistema per unità di tempo e del tempo medio di attesa di un utente nel sistema. La seconda legge di Little si applica alla fila di attesa e afferma che E(N q ) = λ E(Q), (1.18) ossia il numero medio di utenti nella fila di attesa è uguale al prodotto della frequenza media di arrivo nel sistema per unità di tempo e del tempo medio di permanenza di un utente nella fila di attesa. La legge di Little può essere utilizzata anche per il centro di servizio. Infatti, la terza legge di Little afferma che E(N s ) = λ E(S), (1.19) ossia il numero medio di utenti in servizio è uguale al prodotto della frequenza media di arrivo e del tempo medio di servizio. L importanza delle tre leggi di Little per i sistemi di servizio risiede nella circostanza che esse non dipendono dalla distribuzione dei tempi di interarrivo e dei tempi di servizio, dal numero di servitori nel sistema e dalla disciplina di servizio.

15 1.5. OBIETTIVO DEI SUCCESSIVI CAPITOLI Obiettivo dei successivi capitoli Inizieremo lo studio delle reti di code introducendo il processo di Poisson, le catene di Markov continue nel tempo, i processi di nascita morte e alcuni modelli di sistemi di servizio utili nella trattazione delle reti di code. Successivamente individueremo i principali parametri prestazionali di una rete di code e introdurremo le reti di code markoviane. Analizzeremo poi le più semplici reti di code, ossia le reti tandem e le reti acicliche. Considereremo successivamente le reti aperte di Jackson, le reti chiuse di Gordon-Newell e le reti più generali BCMP in cui gli utenti sono organizzati in classi. Esamineremo inoltre alcuni algoritmi di simulazione per le reti di code.

16 14 CAPITOLO 1. RETI DI CODE

17 Capitolo 2 Catene di Markov continue 2.1 Introduzione Ci proponiamo ora di introdurre alcuni processi stocastici continui nel tempo e discreti nello spazio degli stati, ossia il processo di Poisson e le catene di Markov continue nel tempo. Desideriamo focalizzare l attenzione su alcuni risultati utili nell analisi di modelli di reti di code, ossia la composizione di processi di Poisson, la decomposizione di un processo di Poisson, l equilibrio statistico e il principio di bilanciamento dei flussi in catene di Markov continue. A tal fine denotiamo con {N(t), t 0} un processo stocastico continuo nel tempo e discreto nello spazio degli stati. Per ogni fissato t 0, N(t) è una variabile aleatoria discreta che assume un numero finito o al più numerabile di valori. Le realizzazioni di tale processo sono funzioni a gradino, ossia funzioni costanti a tratti con salti diretti verso il basso o verso l alto ogni volta che si verifica un cambiamento di stato. 2.2 Processo di Poisson Il più semplice processo stocastico continuo nel tempo e discreto nello spazio degli stati è il processo di Poisson. Tale processo è utile a descrivere alcuni fenomeni quali l arrivo di chiamate ad un centralino telefonico, l attività spontanea di certi neuroni, l emissione di particelle da una sorgente radioattiva,... Supponiamo di indicare con N(t) (t 0) il numero di arrivi (ad esempio, il numero di chiamate che arrivano al centralino telefonico) nell intervallo di tempo (0,t] e con N(t,t+ t) il numero di arrivi nell intervallo (t,t+ t]. Definizione 2.1 Un processo stocastico è detto di Poisson di parametro, con > 0, se (i) N(0) = 0, (ii) il processo ha incrementi indipendenti e stazionari, 15

18 16 CAPITOLO 2. CATENE DI MARKOV CONTINUE (iii) P { N(t,t+ t) = 1 } = t+o( t), (iv) P { N(t,t+ t) > 1 } = o( t), dove o( t) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a t e denota il parametro di arrivo con dimensione fisiche [tempo] 1. La condizione (i) significa assumere che fino al tempo t = 0 non si sono verificati eventi. La condizione (ii) assicura che gli eventi che si verificano in intervalli di tempo disgiunti, ossia che non si sovrappongono, sono stocasticamente indipendenti (il processo ha incrementi indipendenti) e inoltre la distribuzione del numero di eventi che si verificano in ogni intervallo di tempo dipende soltanto dalla lunghezza dell intervallo di tempo (il processo ha incrementi stazionari). Le condizioni (iii) e (iv) invece assicurano che P { N(t,t+ t) = 0 } = 1 t+o( t). (2.1) Inoltre, la condizione (iv) mostra che in un piccolo intervallo di tempo (t,t+ t) gli eventi si verificano al più singolarmente. Per un processo stocastico di Poisson {N(t), t 0} di parametro > 0 si dimostra che la probabilità p n (t) che sia n il numero di arrivi fino al tempo t, ossia nell intervallo di tempo (0, t], è data da: p n (t) = P { N(t) = n } = ( t)n n! e t (n = 0,1,...). (2.2) Per ogni fissato t la (2.2) si identifica con una funzione di probabilità di Poisson di parametro t. La media e la varianza del numero di arrivi nell intervallo (0, t) sono quindi rispettivamente: E[N(t)] = t, Var[N(t)] = t. (2.3) Un importante proprietà del processo stocastico di Poisson di parametro > 0 è che i tempi di interarrivo, ossia le lunghezze degli intervalli tra due arrivi successivi, sono indipendenti e identicamente distribuiti con densità esponenziale di valore medio 1/. SesisupponechegliarrivisiverifichinoaitempiT 1, T 1 +T 2, T 1 +T 2 +T 3,, dove T i denota la lunghezza dell intervallo aleatorio di tempo tra l arrivo (i 1) esimo e l arrivo i esimo, si ha: { e f Ti (t) = t, t > 0 (2.4) 0, altrimenti. Il valore medio e la varianza dei tempi di interarrivo sono: E(T i ) = 1, Var(T i) = 1 2 (i = 1,2,...). (2.5) Inoltre, in un processo stocastico di Poisson di parametro > 0, la variabile aleatoria T = T 1 +T T r, che descrive la lunghezza l intervallo di tempo che intercorre fino all arrivo r esimo, è caratterizzata da densità di probabilità r e t t r 1, t > 0 f T (t) = (r 1)! (2.6) 0, altrimenti,

19 2.2. PROCESSO DI POISSON 17 detta densità di probabilità di Erlang di ordine r e di parametro. Si ha quindi E(T) = r/ e Var(T) = r/ 2. Il processo stocastico di Poisson è di fondamentale importanza nella costruzione di vari modelli probabilistici atti a descrivere fenomeni in cui lo stato del sistema è caratterizzato da un numero intero di individui e in cui i cambiamenti di stato rappresentano l addizione o la sottrazione di individui dal sistema in vari modi: nascite, morti, immigrazioni, emigrazioni, arrivi e uscite di utenti da risorse di una rete di code,... Alcuni processi stocastici che utilizzeremo nell analisi delle reti di code nascono come composizione di processi di Poisson e come decomposizione di un processo di Poisson Composizione di processi di Poisson Consideriamo r processi di Poisson indipendenti di parametri 1, 2,..., r, come illustrato in Figura 2.1. Vogliamo mostrare che il processo risultante dalla composizione di tali processi è ancora un processo di Poisson. r processi indipendenti di Poisson 1 2 r 3 Processo di Poisson di parametro r = i i=1 Figura 2.1: Composizione di r processi di Poisson. Teorema 2.1 Se gli utenti arrivano secondo r processi di Poisson indipendenti di parametri 1, 2,..., r, allora il processo risultante dalla composizione è di Poisson di parametro = r. Dimostrazione Denotiamo con N i (t,t+ t) il numero di arrivi in (t,t+ t] per il processo i esimo e con N(t,t+ t) il numero di arrivi di ogni tipo che si verificano in (t,t+ t]. Per ogni processo di Poisson N i (t) (i = 1,2...,r) si ha: così che risulta: P { N(t,t+ t) = 0 } = P { N i (t,t+ t) = 0 } = 1 i t+o( t), P { N i (t,t+ t) = 1 } = i t+o( t), P { N i (t,t+ t) > 1 } = o( t), r P { N i (t,t+ t) = 0 } = i=1 = 1 t+o( t), r [ ] 1 i t +o( t) i=1

20 18 CAPITOLO 2. CATENE DI MARKOV CONTINUE P { N(t,t+ t) = 1 } = = r P { N i (t,t+ t) = 1 } r P { N j (t,t+ t) = 0 } i=1 r i t i=1 P { N(t,t+ t) > 1 } = o( t). j=1 j i r [1 j t]+o( t) = t+o( t), j=1 j i Essendo soddisfatte le ipotesi del processo di Poisson, segue che la composizione di r processi di Poisson indipendenti è ancora un processo di Poisson di parametro = r. Il Teorema 2.1 mostra quindi che i tempi di interarrivo del processo risultante dalla composizione di processi di Poisson sono indipendenti tra loro ed esponenzialmente distribuiti con valore medio 1/. Ad esempio, in Figura 2.2 sono indicati gli istanti di arrivo aleatori di due processi di Poisson N 1 (t) e N 2 (t) di rispettivi parametri 1 e 2 e del processo di Poisson N(t) di parametro = risultante dalla composizione dei due processi di Poisson. I tempi di interarrivo del processo N(t) sono indipendenti tra loro ed esponenzialmente distribuiti con valore medio ( 1 + 2) 1. N 1 (t) N 2 (t) N(t) 0 t Figura 2.2: Istanti di arrivo dei processi di Poisson N 1(t) e N 2(t) e del processo N(t) risultante dalla loro composizione. Esempio 2.1 Consideriamo un sistema costituito da r centralini telefonici indipendenti, come illustrato in Figura 2.3. r processi indipendenti di Poisson α α α 3 Processo di Poisson con parametro = rα Figura 2.3: Composizione di r processi di Poisson ognuno di parametro α. Supponiamo che il numero di chiamate che arrivano ad ognuno dei centralini sia descritto da un processo di Poisson di parametro α. Denotiamo con N i (t)

21 2.2. PROCESSO DI POISSON 19 (i = 1,2,...,r) il numero di chiamate che arrivano al centralino telefonico i esimo (i = 1,2,...,r) e con N(t) il numero di chiamate di ogni tipo che arrivano complessivamente nell intervallo (0,t) al sistema costituito dagli r centralini telefonici. Dal Teorema 2.1 segue che il processo risultante è ancora di Poisson di parametro = r α e i tempi di interarrivo sono indipendenti tra loro ed esponenzialmente distribuiti con valore medio 1/ = 1/(r α) Decomposizione di un processo di Poisson Consideriamo un processo di Poisson di parametro che si dirama casualmente in r differenti processi stocastici, come illustrato in Figura 2.4. Vogliamo dimostrare che i processi risultanti dalla decomposizione sono indipendenti e di Poisson. Processo di Poisson con parametro p 1 p 2 p r p 1 p 2 p r r processi di Poisson indipendenti Figura 2.4: Decomposizione aleatoria di un processo di Poisson. Teorema 2.2 Supponiamo che gli utenti arrivino secondo un processo di Poisson di parametro e che istantaneamente vengano ripartiti in r canali di output C 1,C 2,...,C r con rispettive probabilità p 1,p 2,...,p r. Allora i processi stocastici descriventi gli arrivi ai canali C 1,C 2,...,C r sono indipendenti e di Poisson con rispettivi parametri p 1, p 2,..., p r. Dimostrazione Denotiamo con {N(t),t 0} il processo di Poisson di input di parametro. Dalla (2.2) segue che p m (t) = P { N(t) = m } = ( t)m m! e t (m = 0,1,...). (2.7) Supponiamo che ogni arrivo venga smistato in uno dei canali C 1, C 2,..., C r con rispettive probabilità p 1,p 2,...,p r e sia {N i (t),t 0} il processo stocastico descrivente gli arrivi al canale C i (i = 1,2,...,r). La probabilità condizionata che al tempo t gli m arrivi siano ripartiti in m 1 arrivi al primo canale, m 2 arrivi al secondo canale,..., m r arrivi al canale r-esimo è: P { N 1 (t) = m 1,N 2 (t) = m 2,...,N r (t) = m r N(t) = m } ( )( ) ( ) m m m1 m m1... m r 1 = p m1 1 p m2 2 p mr r m 1 m 2 m r

22 20 CAPITOLO 2. CATENE DI MARKOV CONTINUE = m! m 1!m 2! m r! pm1 1 p m2 2 p mr r (m = 0,1,...), (2.8) ossia una funzione di probabilità multinomiale con r m i = m, p i 0 (i = 1,2,...,r), i=1 r p i = 1. (2.9) La probabilità congiunta delle variabili aleatorie N 1 (t), N 2 (t),..., N r (t), ossia la probabilità che al tempo t siano presenti m 1 utenti nel canale C 1, m 2 utenti nel canale C 2,..., m r utenti nel canale C r è: P { N 1 (t) = m 1,N 2 (t) = m 2,...,N r (t) = m r } = P { N 1 (t) = m 1,N 2 (t) = m 2,...,N r (t) = m r,n(t) = m } = P { N(t) = m } P { N 1 (t) = m 1,N 2 (t) = m 2,...,N r (t) = m r N(t) = m } = ( t)m m! e t m! m 1!m 2! m r! pm1 1 p m2 2 p mr r, (2.10) dove l ultima identità segue dalle (2.7) e (2.8). Ricordando (2.9), la (2.10) può anche essere così riscritta: P { N 1 (t) = m 1,N 2 (t) = m 2,...,N r (t) = m r } = ( t)m1+m2+...+mr m 1!m 2! m r! = ( p 1t) m1 m 1! i=1 e t(p1+p2+...+pr) p m1 1 p m2 2 p mr r e p1 t ( p 2t) m2 m 2! e p2 t ( p rt) mr m r! e pr t. La probabilità congiunta quindi si fattorizza come il prodotto delle probabilità relative ai singoli canali. Ciò implica che per ogni t 0 le variabili aleatorie N 1 (t), N 2 (t),..., N r (t) sono indipendenti tra loro. Inoltre, il processo {N i (t),t 0} degli arrivi al canale C i è un processo di Poisson di parametro p i essendo P { N i (t) = m i } = ( p i t) mi m i! e pi t (i = 1,2,...,r). Il Teorema 2.2 mostra che i tempi di interarrivo del processo N i (t) relativo al canale C i sono indipendenti tra loro ed esponenzialmente distribuiti con valore medio 1/( p i ) (i = 1,2,...,r). Esempio 2.2 Supponiamo che gli utenti arrivino ad un centralino telefonico secondo un processo di Poisson di parametro e che istantaneamente vengano equiprobabilmente ripartiti tra r centralini disponibili, come illustrato in Figura 2.5. Dal Teorema2.2segueche i processidi output relativiaglir centralinisonoindipendenti e ognuno è di Poisson con parametro /r. Inoltre, i tempi di interarrivo del processo N i (t), relativo ad uno qualsiasi dei centralini, sono indipendenti tra loro ed esponenzialmente distribuiti con valore medio r/.

23 2.2. PROCESSO DI POISSON 21 Processo di Poisson con parametro 1/r 1/r 1/r /r /r /r r processi di Poisson indipendenti Figura 2.5: Decomposizione equiprobabile di un processo di Poisson. Il Teorema 2.2 descrive una situazione in cui gli utenti, che arrivano secondo un processo di Poisson di parametro, vengono istantaneamente ripartiti in r canali di uscita C 1,C 2,...,C r utilizzando una scelta di tipo casuale. Vogliamo ora esaminare una situazione in cui gli utenti, che arrivano secondo un processo di Poisson di parametro, vengono istantaneamente ripartiti in r canali di uscita C 1,C 2,...,C r utilizzando invece una scelta di tipo deterministico. Poiché il processo degli arrivi è ancora di Poisson di parametro, i tempi di interarrivo degli utenti in input sono indipendenti ed esponenzialmente distribuiti con valore medio 1/. Supponiamo che al canale C 1 sianoassegnati il primo arrivo, l arrivo (r+1) esimo, il (2r+1) esimo arrivo ed in generale il (ir+1) esimo arrivo(i = 0,1,...).Assumiamoinoltrechealgenericoj esimo(j = 1,2,...,r)canalesiano assegnati il j esimo arrivo, l arrivo (r+j) esimo ed in generale il (ir+j) esimo arrivo (i = 0,1,...), così come illustrato in Figura 2.6. Processo di Poisson con parametro 1,r +1,... 2,r +2,... r,2r,... r processi di Poisson indipendenti Figura 2.6: Decomposizione deterministica di un processo di Poisson. Si nota che la lunghezza dell intervallo di tempo che intercorre tra due arrivi successivi ad un generico canale è la somma di r variabili aleatorie indipendenti ed esponenzialmente distribuite con valore medio 1/. Ricordando che la somma di r variabili aleatorie indipendenti e distribuite esponenzialmente con valore medio 1/ è caratterizzata dalla densità di probabilità(2.6), segue che in ognuno degli r canali disponibili i tempi di interarrivo sono indipendenti e caratterizzati da densità di Erlang di ordine r.

24 22 CAPITOLO 2. CATENE DI MARKOV CONTINUE 2.3 Catene di Markov continue nel tempo Le catene di Markov omogenee continue nel tempo svolgono un ruolo importante nella modellizzazione dei sistemi di servizio e delle reti di code. Definizione 2.2 Una catena di Markov omogenea continua nel tempo è un processo stocastico {N(t),t 0} discreto nello spazio degli stati e continuo nel tempo che descrive un sistema che può transire da uno stato appartenente ad un insieme finito o numerabile {0,1,...} ad un altro stato appartenente allo stesso insieme secondo opportune regole: (i) il comportamento della catena dipende dalla distribuzione di probabilità {p 0 (0),p 1 (0),...} relativa allo stato iniziale N(0); (ii) per ogni t 0 < t 1 <... < t n < t, con t 0 0, la distribuzione di probabilità condizionata di N(t) noti i valori assunti dalle variabili aleatorie N(t 0 ),N(t 1 ),...,N(t n ) dipende solo dal valore assunto dalla variabile aleatoria N(t n ), ossia P { N(t) = x N(t n ) = x n,n(t n 1 ) = x n 1,...,N(t 1 ) = x 1,N(t 0 ) = x 0 } = P { N(t) = x N(t n ) = x n } (2.11) per tutti gli stati x 0,x 1,...,x n,x della catena. (iii) le probabilità condizionate P{N(t) = j N(τ) = i} sono invarianti per traslazioni temporali, ossia sono tali che P{N(t) = j N(τ) = i} = p i,j (t τ), (2.12) per ogni t τ 0 e i,j = 0,1,..., con p i,j (0) = { 1, i = j 0, altrimenti. (2.13) La(2.11) mostra che per una catena di Markov omogenea continua nel tempo la distribuzione condizionata di ogni stato futuro N(t) dati gli stati passati N(t n 1 ),...,N(t 1 ),N(t 0 ) e lo stato presente N(t n ), è indipendente dagli stati passati e dipende soltanto dallo stato presente (proprietà di Markov di assenza di memoria). La proprietà (2.12), che caratterizza l omogeneità (proprietà di stazionarietà) della catena, mostra che le probabilità condizionate dipendono soltanto dalla lunghezza dell intervallo di tempo e non dalla sua collocazione temporale. Poiché (2.12) è una funzione di probabilità condizionata, per ogni t 0 sussistono le condizioni: p i,j (t) 0 (i,j = 0,1...), + j=0 p i,j (t) = 1 (i = 0,1,...). (2.14) Nei sistemi di servizio gli stati della catena di Markov corrispondono al numero di utenti presenti nel sistema e le probabilità p i,j (t) rappresentano le

25 2.3. CATENE DI MARKOV CONTINUE NEL TEMPO 23 probabilità di transire da i utenti a j utenti nell intervallo di tempo (0, t). Invece inunaretedi codeglistatidellacatenasipossonoidentificareconlevarierisorse della rete e le probabilità p i,j (t) rappresentano le probabilità di transire dalla risorsa i alla risorsa j nell intervallo di tempo (0, t). Denotiamo ora con p j (t) = P{N(t) = j} (j = 0,1,...) (2.15) la probabilità che lo stato della catena di Markov sia j al tempo t. Ovviamente, per ogni t 0, si ha p j (t) 0 (j = 0,1...), + j=0 p j (t) = 1, poiché in un fissato istante di tempo il processo deve necessariamente essere in qualche stato della catena. Usando il teorema delle probabilità totali, per ogni t > 0 è possibile esprimere le probabilità di N(t) in termini delle probabilità di transizione (2.12) e delle probabilità di stato iniziali, ossia che conduce a p j (t) = P{N(t) = j} = = p j (t) = + i=0 + i=0 + i=0 P{N(t) = j,n(0) = i} P{N(0) = i}p{n(t) = j N(0) = i}, p i (0)p i,j (t) (j = 0,1,...). (2.16) Il comportamento di una catena di Markov omogenea continua nel tempo è quindi completamente determinato dopo aver specificato la distribuzione di probabilità {p 0 (0),p 1 (0),...} dello stato iniziale e le probabilità di transizione p i,j (t) (i,j = 0,1,...) Derivazione delle equazioni forward di Kolmogorov Come già visto per il processo di Poisson, nelle catene di Markov continue spesso si suppone che in un piccolo intervallo di tempo di ampiezza t le probabilità di transizione assumono la forma: p i,j ( t) = γ i,j t+o( t) (i,j = 0,1,...;i j) p i,i ( t) = 1 γ i,i t+o( t) (i = 0,1,...) (2.17) dove γ i,j sono reali non negativi che rappresentano le frequenze di transizione dallo stato i allo stato j. Procedendo al limite per t che tende a zero nelle

26 24 CAPITOLO 2. CATENE DI MARKOV CONTINUE (2.17) si ha: p i,j ( t) lim = γ i,j (i,j = 0,1,...;i j) t 0 t 1 p i,i ( t) lim = γ i,i (i = 0,1,...) t 0 t (2.18) Teorema 2.3 Le frequenze di transizione γ i,j (i,j = 0,1,...) soddisfano le relazioni: γ i,i = γ i,j (i = 0,1,...) (2.19) j i Dimostrazione Facendo uso della seconda di (2.14) si ha: + j=0 p i,j ( t) = 1 (i = 0,1,...), o equivalentemente: [ ] p i,j ( t)+ p i,i ( t) 1 = 0 (i = 0,1,...) (2.20) j i Dividendoentrambiiterminidi(2.20)per teprocedendoallimiteper t 0, facendo uso delle (2.18) segue immediatamente la (2.19). Vogliamo ora derivare le equazioni forward di Kolmogorov per le probabilità di transizione p i,j (t) e per le probabilità di stato p j (t) di una catena di Markov omogenea continua nel tempo. Teorema 2.4 Sia {N(t),t 0} una catena di Markov omogenea continua nel tempo. Se sussistono le (2.17), le probabilità di transizione p i,j (t) soddisfano il sistema di equazioni differenziali: dp i,j (t) dt = p i,j (t)γ j,j + k jp i,k (t)γ k,j (i,j = 0,1,...) (2.21) da risolvere con le condizioni iniziali (2.13). Inoltre, le probabilità di stato p j (t) soddisfano il sistema di equazioni differenziali dp j (t) dt = p j (t)γ j,j + k jp k (t)γ k,j (j = 0,1,...) (2.22) da risolvere utilizzando la distribuzione {p 0 (0),p 1 (0),...} relativa allo stato iniziale N(0) della catena.

27 2.3. CATENE DI MARKOV CONTINUE NEL TEMPO 25 Dimostrazione Le probabilità di transizione di una catena di Markov omogenea continua nel tempo soddisfano le equazioni di Chapman-Kolmogorov: p i,j (t+ t) = + k=0 p i,k (t) p k,j ( t) = p i,j (t)p j,j ( t)+ k jp i,k (t) p k,j ( t) (i,j = 0,1,...) (2.23) per ogni t 0. Sostituendo (2.17) in (2.23) si ottiene p i,j (t+ t) = p i,j (t) [ 1 γ j,j t ] + k jp i,k (t)γ k,j t+o( t), o equivalentemente: p i,j (t+ t) p i,j (t) t = p i,j (t)γ j,j + k j p i,k (t)γ k,j + o( t), t da cui, procedendo al limite per t che tende a zero, si ricava la (2.21). Per dimostrare la (2.22) osserviamo che per j = 0,1,... risulta: p j (t+ t) = + k=0 + P{N(t) = k}p{n(t+ t) = j N(t) = k} = k (t) p k,j ( t) = p j (t)p j,j k=0p ( t)+ p k (t) p k,j ( t) (2.24) k j per ogni t 0. Sostituendo (2.17) in (2.24) si ottiene: p j (t+ t) = p j (t) [ 1 γ j,j t ] + k jp k (t)γ k,j t+o( t), o equivalentemente: p j (t+ t) p j (t) t = p j (t)γ j,j + k j p k (t)γ k,j + o( t), t da cui, effettuando al limite il t che tende a zero, si ottiene la (2.22). Occorre sottolineare che, eccetto in casi particolarmente semplici, è difficile pervenire alla distribuzione di probabilità {p 0 (t),p 1 (t),...} della catena di Markov risolvendo il sistema di equazioni differenziali (2.22). Spesso quindi si ricorre a metodi di simulazione per fornire delle stime delle probabilità p j (t) (j = 0,1,...) della catena di Markov. Una catena di Markov omogenea continua nel tempo può essere visualizzata mediante un grafo di transizione. In questo grafo ogni stato è rappresentato da un cerchietto etichettato con il numero intero associato allo stato. Gli archi che collegano i nodi mostrano quali sono le possibili transizioni di stato e sono etichettati con le frequenze di transizione.

28 26 CAPITOLO 2. CATENE DI MARKOV CONTINUE Esempio 2.3 Il processo di Poisson, discusso nel Paragrafo 2.2, è una particolare catena di Markov omogenea continua nel tempo il cui grafo di transizione è illustrato in Figura 2.7. I cerchietti sono etichettati con il numero di arrivi 0,1,... e si possonoavere solo transizioni da uno stato a quello immediatamente successivo n Figura 2.7: Grafo di transizione di un processo di Poisson Classificazione degli stati Gli stati di un arbitraria catena di Markov omogenea continua nel tempo possono essere classificati in stati assorbenti, raggiungibili (accessibili) e intercomunicanti. Uno stato i è detto assorbente se γ i,j = 0 per ogni j i, così che il processo, una volta entrato nello stato i, è destinato a rimanere in tale stato. Esempio 2.4 Consideriamo un dispositivo costituito da due componenti che possono essere soggetti a guasti e a riparazioni. Assumiamo che se entrambi i componenti si guastano il dispositivo cessa di funzionare. Inoltre supponiamo che non tutti i guasti dei due componenti sono riparabili e indichiamo con p la probabilità condizionata che il componente sia riparabile dato che si è guastato. Il numero di componenti che funzionano correttamente nel sistema considerato può essere descritto dalla catena di Markov {N(t),t 0} con spazio degli stati {0,1,2} illustrata in Figura λp 2 1 µ 2λ(1 p) λ 0 Figura 2.8: Catena di Markov descrivente il numero di componenti che funzionano correttamente in un dispositivo con probabilità p di riparazione dei componenti. Se un solo componente è in funzione il tempo di riparazione del dispositivo è distribuito esponenzialmente con valore medio 1/µ, mentre il suo tempo di

29 2.3. CATENE DI MARKOV CONTINUE NEL TEMPO 27 rottura è distribuito esponenzialmente con valore medio 1/λ; invece se entrambi i componenti sono in funzione, il tempo di guasto di uno dei componenti è distribuito esponenzialmente con valore medio (2λp) 1 se il guasto è riparabile, mentre il tempo di un guasto del dispositivo è distribuito esponenzialmente con valore medio [2λ(1 p)] 1 se il guasto non è riparabile. Le frequenze di transizione della catena sono: γ 0,0 = 0, γ 0,1 = 0, γ 0,2 = 0, γ 1,0 = λ, γ 1,1 = λ+µ, γ 1,2 = µ γ 2,0 = 2λ(1 p), γ 2,1 = 2λp, γ 2,2 = 2λ. Lo stato 0 è assorbente poiché una volta raggiunto (entrambi i componenti non funzionano) il dispositivo cessa di funzionare. Se si suppone che inizialmente entrambi i dispositivi sono in funzione, dalle (2.22) si ottiene il sistema di equazioni differenziali: dp 0 (t) = λp 1 (t)+2λ(1 p)p 2 (t), dt dp 1 (t) = (λ+µ)p 1 (t)+2λpp 2 (t), (2.25) dt dp 2 (t) = µp 1 (t) 2λp 2 (t), dt da risolvere con le condizioni iniziali p 0 (0) = p 1 (0) = 0 e p 2 (0) = 1, ossia inizialmente entrambi i componenti funzionano correttamente. Se si denota con R la variabile aleatoria che descrive il tempo di rottura del dispositivo, si ha P(R > t) = 1 p 0 (t), ossia la probabilità che il tempo di rottura del dispositivo sia maggiore di t è uguale alla probabilità che fino al tempo t non si sia ancora verificata una rottura del dispositivo. Quindi, la densità del tempo di rottura del dispositivo è: dp(r < t) f R (t) = = dp 0(t), dt dt da cui, facendo uso delle (2.25), si può dimostrare che il tempo medio di rottura è: E(R) = + 0 tf R (t) dt = λ(1+2p)+µ 2λ[λ+µ(1 p)] Nella Figura 2.9 è illustrato il caso in cui p = 1, ossia in cui è unitaria la probabilità condizionata che il componente sia riparabile dato che si è guastato. In tal caso il tempo di rottura del dispositivo è: E(R) = 3λ+µ 2λ 2 = 3 2λ + µ 2λ 2 dove 3/(2λ) descrive il tempo di rottura in assenza di riparazione e µ/(2λ 2 ) il tempo aggiuntivo di sopravvivenza del dispositivo dovuto alla riparazione.