Modellistica. Cos è un modello Caratteristiche dei modelli Metodi formali Esempi per sistemi semplici

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1 odellistica Cos è un modello Caratteristiche dei modelli etodi formali Esempi per sistemi semplici 26-febbraio-02 Terza Universita degli studi di Roma G.U -FdA- odelli di Processi Descrizione o realizzazione di un fenomeno o di un oggetto, che evidenzia alcuni aspetti di interesse ESEPI odello in scala odello analogico odello grafico odello matematico* Realismo Astrazione * gli unici manipolabili in calcolatore. QUANTO DEVE ESSERE DETTAGLIATO UN ODELLO? Dipende dallo specifico caso. Esistono poche regole e l esperienza. Spesso si inizia con un modello semplice poi si è costretti ad affinarlo. x& = f(x,u) G.U -FdA- 2

2 Statici Una tassonomia dei odelli Dinamici Deterministici Param. concentrati Stocastici P. distribuiti Studiamo questi Stazionari Lineari Nonlineari Tempo-varianti Tempo discreto Tempo continuo semplicità d uso aderenza alla realtà G.U -FdA- 3 odelli Deterministici e non Il modello è deterministico quando sono ben noti tutti gli ingressi applicati τ(t) τ(t) pressione esercitata dal vento Esempio di situazione deterministica: pendolo soggetto a una coppia τ(t) nota, descrivibile come funzione. Esempio di situazione non deterministica: pendolo soggetto a una coppia τ(t) derivante dalla pressione dal vento (caos dovuto a vorticosità). Caso non deterministico: non si può/interessa determinare con esattezza il moto del pendolo istante per istante, si usa una modellazione stocastica: si usano grandezze statistiche, invece di quelle istantanee (ad es. la media, la varianza, ecc..). Il modello matematico è lo stesso, cambia il modo di impiegarlo G.U -FdA- 4

3 out lineare Linearità Sulle caratteristiche statiche (a regime) non lineare in y=f(x) LINEARE y = kx y = y =z dx x è lineare se y = f ( ax+ bx2) = af ( x) + bf ( x2) = ay+ by2 detto PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE NON LINEARE 2 y = x y = x y = sign( x) y = e x G.U -FdA- 5 x(t) Utilità Della Linearità y(t) da x(t) y(t) x(t) y(t) e Kx(t) si deduce Ky(t) Kx(t) si deduce Ky(t) stessa frequenza!!!! Si intuisce che la conoscenza necessaria sul sistema si riduce notevolmente: il modello può essere compattato G.U -FdA- 6

4 Altre proprietà Tempo varianti (non stazionari) y = k( t) x F = () t a (analogo ad un missile che consuma il propellente) Tempo discreto Tc t Tc t Invece di eq. differenziali, eq. alle differenze: Es. Programmi di simulazione sul computer. x + = bx + au k k k G.U -FdA- 7 in out causale G.U -FdA- 8

5 Parametri Distribuiti t x x 2 T t 2 t T=T(x,t) x x 2 Es.: barretta riscaldata ad un estremità Equazione differenziale alle derivate parziali Difficilissima da trattare in generale x T x, x 2 =sensori di temperatura F HG f T T T,, t x I KJ = Soluzione Considerare N elementi(detti elementi finiti) con T= costante all interno T T 2 T 3 T 4... T N Per ognuno scrivere un equazione ottenendo N equazioni differenziali ordinarie G.U -FdA- 9 modello grafico f ES: Sistema assa - Smorzatore x,v D v = x& livello di astrazione equazione dv = ( f vd ) diagrammi f v Si perde il meccanismo FISICO odello in scala: non riportabile qui in quanto non è informazione G.U -FdA- 0

6 ES: Sistema assa - Smorzatore ATTENZIONE al livello di dettaglio fenomeni molto lenti: f D dv 0 f = v D fenomeni molto veloci f Ke m e inoltre F non è costante con la velocità di spostamento Il modello ottimo va determinato in base alle esigenze del problema G.U -FdA- ES2: Circuito RL R L anche questo è un modello POSSIBILI ODELLI v(t) = Ri(t) + L di v i t Quello in scala ha l inconveniente di non essere informazione pura G.U -FdA- 2

7 ES2: Circuito RL A: Se la frequenza è molto bassa Se la frequenza è molto alta ed esistono altre varianti importanti Il modello ottimo va determinato in base alle esigenze del problema capacità parassita G.U -FdA- 3 ES3: assa molla smorzatore f K molla: f e = - K x x smorzatore: x=0 riposo della molla G.U -FdA- 4

8 ES4: 2 masse molla ( ) mx && = f+ K x x Dx& mx && = Kx ( x) Dx& G.U -FdA- 5

9 Pendolo u θ L Coppie input gravità inerzia u τ g L = Lsinθ 2 g θ=0 g (pendoli al lavoro) bilanciamento delle coppie: J & ω = coppie J&& θ = u glsinθ equazione NON lineare ma valida per ogni θ G.U -FdA- 8 Passi per modellare un Σ Diagramma schematico del sistema e definizione delle variabili Derivazione delle equazioni matematiche dei componenti elementari (blocchi). Interconnessione dei modelli elementari Validazione sperimentale (confronto tra simulazioni e esperimenti) eq. di equilibrio Kirchoff: Σ elettrici Lagrange: Σ meccanici Bernoulli: Σ idraulici utili ALTERNATIVAENTE Identificazione del modello dalle misure (legame ingresso-uscita) G.U -FdA- 9

10 Le equazioni di Lagrange d L L q& q i i = u i L = T U T : en. cinetica U : en. potenziale ES7: Un Σ meccanico Indispensabili nel caso dei robot industriali q i : coord. Lagrangiane (posizioni) q: angolo dalla verticale u: coppia al fulcro 2 T = Iq& U = U0 gd cos q 2 d L d T d = = aiq& f = Iq&& q& i q& i L U = = gdsinaf q q q af af Iq&& + gd sin q = u( t) d Anche qui si possono scrivere 2 eqs del ord G.U -FdA- 20 v = 0 t L di + C i(τ)dτ+v c(0) + Ri(t) = v i (t) 0 L d 2 i 2 + R di + C i(t) = dv i v u = Ri(t) ES8: Un Σ elettrico v i + L C i + v c R Un eq. del 2 ordine Oppure... v u L di = v ( c (t) + Ri )+ v i (t) C dv c = i(t) v u = Ri(t) Due eq. del ordine G.U -FdA- 2

11 Due formati standard a) Un equazione differenziale di ordine N a d N y d u N + L+ a y t b but N 0 () = + L+ 0 () Tipi di odelli matematici Relazione ingresso - uscita R S T b) N equazioni differenziali di ordine N x& = a x + b u h h k k N x& = a x + b u N Nh h Nk k dove X è lo STATO Relazione ingresso - stato per ora assumiamo che l uscita sia uno degli stati a lo stato è qualcosa di più di una sostituzione di variabili... G.U -FdA- 22 Ingresso G( ) Deriva da un'equazione differenziale in cui compaiono l'ingresso u(t) e l'uscita y(t) Rappr. Ingresso-Uscita Uscita un operatore lineare (e.g. risposta armonica) a d n y t a d y t ayt b d m () () u () t b dut () n n + L () = m m + L + + but 0 () Per sistemi relativamente semplici Grande semplicità di impiego x SISO; esteso a IO diviene complesso Possibilità di incorporare semplicemente dati sperimentali etodi grafici Requisito essenziale: LINEARITA' G.U -FdA- 23

12 Rappresentaz. Ingresso - Stato - Uscita Basato sulla descrizione dei processi nel dominio del tempo. Ingressi Sistema di eq. differenz. Stato Combinaz. istantanea Uscite stessa trattazione per sistemi IO e SISO enfasi sui fenomeni interni al processo (e.g. istabilità di grandezze non "osservabili") procedure di calcolo automatizzato (per ottenere prestazioni migliori) estensione a sistemi non-stazionari e non-lineari G.U -FdA- 24 Variabili di Stato 26-febbraio-02 Terza Universita degli studi di Roma G.U -FdA-

13 Cosa sono le VdS? Per il principio di causalità, esiste un insieme (minimo) di variabili fisiche che, ad un dato istante, determinano l'evoluzione futura del sistema, in assenza di eccitazioni esterne. Queste sono le Variabili di Stato del sistema. G.U -FdA- 26

14 odelli con le VdS Σ non lineare & RST x& = f( x, u) y= g( x, u) G.U -FdA- 28

15 Linearizzazione 26-febbraio-02 Terza Universita degli studi di Roma G.U -FdA- Si opera attorno ad un punto di equilibrio. Per modelli nello stato:.equilibrio: calcolare x& = f ( x, u) x, u : f ( x, u ) = Linearizzazione 2.variazioni x = x + x, u= u + u espansione in serie di Taylor equazioni linearizzate f ( x, u) = f ( x, u ) + f ( x, u ) x + f ( x, u ) u Se #(var. di stato) o #(ingressi) >, f x e f u sono jacobiani 0 0 x 0 0 u 0 0 f x = R S T f f L x xn V O f fn fn x x G.U -FdA- 3 n U W u = R S T f u f u n L O f u n f u n n U V W

16 Pendolo linearizzato u θ L J & ω = coppie J&& θ = u glsinθ q& = ω & ω = glsin( q) + u θ=0 g pto di equilibrio per u 0 dato u0 ω0 = 0; q0 = arcsin gl variazioni intorno all equil. equaz. linearizzate dsin( q) q= q q ; ω = ω ω ; u = u u ; q& = ω & ω = gl cos( q0) q + u dq = q q0 G.U -FdA- 33 La linearizzazione operata dalla controreazione Relazione lineare desiderata: y=x Relazione non lineare reale: y=v+0.v 3 =f(v) v Open loop f(v) y x + - e v y K v+0.v 3 Closed loop: e=x-y v=ke K(x-y)+0.K 3 (x-y) 3 -y Risolvere per K si ha (x-y) 3 =0 x=y! altra soluzione a f a f 3 K x y y x y + 3 = 0 0. K y = x K Kx y y 0. 3 a f Diminuisce quando K diminuisce G.U -FdA- 34

17 20 y...risultati Numerici open closed K= x 5 x open K=0 K= G.U -FdA- 35